第八章 排队论.doc

第八章 排队论排队（queue）是社会活动中经常遇到的现象，如顾客到商店购物，学生去图书馆借书，病人上医院看病，仪器等待维修等等，当售货员、图书管理员、医生和修理员的数量满足不了顾客或病人及时服务的需要时，就出现了排队等待的现象由于接受服务的顾客数和服务时间的随机性，排队现象是不可避免的当然增加服务能力可以减少排队现象，但这样势必增加投资，有时因供大于求造成资源浪费因此，在这样一个排队系统中，作为管理人员不但需要了解排队等待服务的顾客数，等待服务时间长度，系统内服务设施的空闲率等数量指标的变化规律，而且需要在满足顾客服务基本要求的条件下，研究如何提高服务质量、降低排队系统运行成本等问题排队论就是解决这类问题的一门科学在排队系统中要求得到某种服务的对象统称为顾客（customer），为顾客服务者统称为服务台（service facility）根据顾客和服务台的不同情况，组成不同的排队系统本章研究的主要内容是排队系统的状态概率、队长、等待时间、服务时间、服务台利用效率等运行指标，以及排队系统的优化问题第一节 排队系统的基本概念一、排队系统的组成一个排队系统或称服务系统（service system），有三个基本组成部分：即输入过程（arrival process ）、排队规则（queue discipline）和服务规则（service discipline）图8-1给出了排队系统的一般结构图8-1 排队模型结构图1 输入过程：指顾客到达排队系统的规律，可用到达时间间隔或单位时间内顾客到达数的概率分布来描述；按到达的时间间隔分有确定的时间间隔和随机的时间间隔；按顾客到达的方式有单个到达和成批到达；从顾客源总体看，分有限源总体和无限源总体2排队规则：排队系统一般分为等待制、损失制和混合制(1) 等待制 顾客到达系统时，如果服务台没有空闲，则顾客排队等候服务等待制服务的方式有： 先到先服务（first come first service，FCFS）：按顾客到达先后给予服务，这是最常见的服务规则 后到先服务（last come first service，LCFS）：如情报收集中最后到达的信息最有价值，往往最先采用 优先权服务（priority，PR）：如医院对危重病人给予优先治疗 随机服务（service in random order，SIRO）：排队系统随机抽取等待服务的顾客(2) 损失制 顾客到达系统时，如果服务台没有空闲，则顾客离去，另求服务如没有足够医生或医疗器械救治急诊患者，医院药物、卫生材料暂缺等(3) 混合制 它是介于等待制和损失制之间的形式方式有： 队伍长度有限，当队伍的长度小于时，新到顾客就排队等待；当队伍长度为时，新来顾客离去如患者住院所需要的病床数有限就属此类 等待时间有限，新到顾客排队等候服务，一段时间后仍未得到服务，顾客离去例如医院血库的血浆、生物制剂等 逗留时间（等待时间与服务时间之和）有限，顾客在系统中的逗留时间不得超过确定的时间例如药品的有效期3服务机构：指排队系统中服务台的个数、排列及服务方式排队系统中服务台的个数可以是一个或多个多个服务台可以是串联或并联排列结构大体有：(1) 单服务台、单列图8-2 队列 服务台输入输出(2) 多服务台、单队列（多队列）输入队列1队列k服务台1服务台k图8-4 图8-3 队列 服务台1输入服务台k输出输出(3) 多服务台串列图8-5 队列 服务台1输入服务台k输出(4) 多服务台混合图8-6 队列 服务台1输入服务台m服务台1服务台n输出队列 医院里的CT室就是(1)的例子，口腔科、理疗室就是(2)的例子，先挂号候诊再住院手术就是(3)或(4)的例子服务方式上有单个服务，也有成批服务的，如医院里的上下电梯二、排队系统的评价指标排队论研究的问题，可以分成两大类，第一类问题是在服务设施设置之前，根据顾客输入过程与服务过程的要求，结合对系统的一定数量指标与服务过程要求（如规定服务质量的必需水平），确定服务设施（如诊断室、检验科、供应中心等等）的规模；第二类问题是对已有的服务系统施以最优控制，改进和提高排队系统工作效率排队系统的数量指标主要有：1 单位时间内到达的顾客数的期望值，即单位时间内的平均到达率，记作而表示相邻两个顾客到达的平均间隔时间2 单位时间内服务的顾客数的期望值，即单位时间内顾客的平均离去率，记作同样，表示每个顾客的平均服务时间3 在时刻时排队系统中恰有个顾客的概率，显然为系统空闲率4 系统内的平均顾客数称为队长（queue length），记作5 系统内排队等待服务的平均顾客数称为等待队长，记作6顾客从进入系统到接受完服务后离开系统的平均时间称为平均逗留时间，记作7顾客在系统内排队等待服务的平均时间称为平均等待时间(waiting time)，记作三、排队模型的符号表示由于排队系统的特征可以有许许多多的组合，从而形成不同的排队模型本章采用/形式表示不同排队模型其中：顾客到达间隔时间概率分布服务时间的概率分布服务台数顾客源总数系统内顾客的容量例如：/ 1 / / 12排队模型的特点是：顾客到达间隔时间和服务时间均服从负指数分布（指负指数分布，具有无记忆性，即Markov性），单服务台，顾客来源总体数无限，系统的顾客容量为12四、排队系统的常见分布顾客到达和离开分别构成排队系统的输入与输出过程流到达分布和离开分布确定了到达系统和离开系统的顾客数这两个随机变量的分布求解排队系统有关数量指标问题，首先要确定顾客到达流的概率分布，即在一定的时间间隔内来个顾客的概率是多大其次是要确定顾客离开流的概率分布，即在一定的时间内服务完个顾客的概率是多大实际问题研究中，可根据原始资料测算顾客在单位时间平均到达流的经验分布，然后按照统计学的方法（例如，检验法）确定资料适合于哪种理论分布，并估计理论分布的参数值，这是确定排队模型的前提1泊松分布（Poisson distribution）在排队论中，最基本的排队模型是在给定时间内到达系统的顾客数服从泊松分布，即顾客到达流是泊松流（也称最简单流）它具有如下性质：(1) 平稳性：在时间内，到达个顾客的概率只与和的大小有关，而与时刻起点无关(2) 无后效性：在时间内到达个顾客的概率与起始时刻之前到达多少个顾客无关(3) 普通性：对于充分小的时间间隔，在时间内最多有一个顾客到达系统即在时间内有2个或2个以上顾客到达的概率极小，有可以证明，在长为的时间内到达个顾客的概率为： （8-1）当时，即单位时间内到达个顾客的概率为：其中为单位时间内到达系统的顾客的期望值2负指数分布(negative exponential distribution)理论上可以证明若顾客在单位时间内到达系统的个数是服从参数为的泊松分布，则顾客到达系统的间隔时间服从参数为的负指数分布，反之亦然即同一随机过程可从两种不同的角度用两种分布来描述负指数分布的概率密度为：间隔时间的期望值同样，对顾客服务时间常用的概率分布也是负指数分布，概率密度为：其中表示单位时间内完成服务的顾客数，也称平均服务率例8-1 某医院外科手术室任意抽查了100个工作小时，每小时患者到达数的出现次数如表8-1，问每小时患者的到达数是否服从泊松分布表8-1 患者在单位时间内到达数的频数分布到达数01234567出现次数1028291610610解 依题意，每小时患者平均到达率(人/小时)现检验这个经验分布是否适合的泊松分布，利用检验法：假设该经验分布适合的泊松分布计算统计量，结果如表8-2 表8-2 泊松分布的拟合检验到达数(n)出现次数理论频数1000100.122412.240.40991280.257125.710.20392290.270027.000.14813160.189018.900.44494100.09929.920.0006570.04160.095260.02071001.00001001.3026接受假设，即患者到达数的经验分布适合的泊松分布第二节 单服务台/ 1排队模型/ 1排队系统是指顾客的到达为最简单流，即顾客到达间隔时间和服务时间均服从负指数分布的单服务台排队系统（single channel system）根据顾客源和系统容量的不同情况，该模型主要有/ 1 / / 型、/ 1 / /型、/ 1 / / 型三种排队规则适用于FCFS、LCFS和SIRO一、/1/模型1模型条件 已知单位时间平均到达率和平均服务率，顾客源无限，容量无限，单列，FCFS排队规则2系统的状态概率和主要运行指标(1) 系统的状态概率对于负指数分布系统的状态概率可以通过图8-7所示的状态转移来求得系统处于稳定状态下的概率（系统内有个顾客的概率）012n-1nn+1图8-7在图8-7中，椭圆圈中的数字表示系统的状态（顾客数），箭头表示从一个状态到另一个状态的转移当系统处于稳定状态时，对于每个状态来说，转入率与转出率相等例如对于状态（），有： （8-2）而状态0，有，因此当时，将代入（8-2）得：解出 设，则有 类似可得 一般地 由概率性质知，即，当时，有： （8-3）我们称为系统的空闲概率，为利用率（utilization rate）（服务台处于繁忙状态的概率）(2) 系统的主要运行指标由（8-3）可以算出系统的主要运行指标系统内的平均顾客数，队长系统内等待服务的平均顾客数，等待队长任何排队模型，当系统在稳定状态时，系统内顾客逗留的平均时间和顾客等待服务的平均时间与队长、等待队长满足Little公式： （证明略） （8-4）系统运行各项指标为： （8-5）显然，它们之间的关系为：公式（8-5）适用于FCFS、LCFS和SIRO三种服务规则，即虽然服务的顺序不一样，但运行指标是相等的（对有优先权的规则不适用）例8-2 设某医院药房只有一名药剂员，取药的患者按泊松分布到达，平均每小时20人，药剂员配药时间服从指数分布，平均每人为2.5分钟试分析该药房排队系统的状态概率和运行指标解 这是一个/ 1 / / 系统，单列，FCFS规则，依题意知：利用公式（8-3）及（8-5）计算得：药剂员空闲率，若按每天8小时工作时间算，该药剂员每天的空闲时间约有1.33小时系统内平均取药人数（队长）等候取药的平均患者数（等待队长）等候取药的平均时间 系统内平均逗留时间 系统内有个患者取药的概率，取有 如果医院希望有足够的座位给取药的病人坐，或者说病人来取药没有座位的概率不超过5%，试问至少应为病人准备多少个座位？设安排个座位数则系统中不超过个病人的概率应不小于95%，即：因为，代入求得即应至少为病人准备15个座位（正在取药的病人除外）例8-3 某医院欲购一台X光机，现有四种可供选择的机型已知就诊者按泊松分布到达，到达率每小时4人四种机型的服务时间均服从指数分布，其不同机型的固定费用，操作费，服务率见表8-3若每位就诊者在系统中逗留所造成的损失费为每小时15元，试确定选购哪一类机型可使综合费（固定费+操作费+逗留损失费）最低表8-3 四种机型的使用费用和服务率机型固定费用元/小时操作费用元/小时服务率人/小时86051075618847201208解 该问题属/ 1 / / 系统，单列，FCFS规则依题意只需计算各种机型在单位时间内的综合费已知：设综合费为： 按（8-3）及（8-5），将各类指标及综合费列入表8-4表8-4 四种机型在1小时内的综合费用机型固定费用操作费逗留损失费综合费80.84846011610502309018482086206011595可见选用C型X光机其综合费最小二、/1/模型1模型条件 已知单位时间顾客平均到达率和平均服务率，顾客源无限，容量为，单列由于系统中排队等待的顾客数最多为，所以在某一时刻某位顾客到达时，如果系统中已有位顾客，那么这位顾客被拒绝进入系统，该系统排队规则是一种混合制2系统的状态概率和主要运行指标(1)系统的状态概率系统的空闲概率和系统内有个顾客的概率为： （8-6）(2) 系统的主要运行指标 （8-7）顾客到达又能进入系统的概率为，故系统的平均有效到达率为：由Little公式，推出平均逗留时间，平均等待时间例8-4 某私人牙科诊所配备一台牙科综合治疗台，由于诊疗室面积有限，只能安置3个座位供患者等候，一旦满座则后来者不再进屋等候已知患者到达诊所的时间间隔和诊断时间均为负指数分布，平均到达时间间隔为50分钟，平均治疗时间为40分钟试分析系统的状态概率和运行指标解 这是一个/ 1 / / 4排队系统，单列，FCFS规则三、/1/模型1模型条件 已知单位时间平均每位顾客需要服务的次数与平均服务率，系统容量等于顾客源总数，单列，混合制服务规则该模型常用于机器故障维修系统和医院病房医护人员对住院病人的护理工作等2系统的状态概率和主要运行指标(1) 系统的状态概率系统的空闲概率和系统内有个顾客的概率为： （8-8）(2) 系统的主要运行指标 （8-9）例8-5 一名护士在ICU病房护理6位危重病人，每位病人一小时内平均呼叫5次，每次护理时间平均为4分钟，呼叫的时间间隔和护理时间服从负指数分布试分析：护士空闲的概率；2人及以上需要护理的概率；等待护理的病人数；每位病人等待护理的平均时间解 这是一个/ 1 / 6/ 6排队系统，单列，FCFS规则由题意知，护士空闲的概率2人及以上病人需要护理的概率呼叫护理的病人数 等待护理的病人数 有效到达率 等待护理的平均时间 结果显示，患者护理的时间只有4分钟，而等待护理的平均时间却要9分钟；病人住院期间护士能随时服务的可能性只有5.22%；系统内通常约有2位及以上的病人在等待护理根据这些情况，建议院方应考虑增加一名护士或减少护理的病人数第三节 多服务台/排队模型/排队模型是指顾客的到达为最简单流，即顾客到达间隔时间和服务时间均服从负指数分布的多服务台排队系统（multistage queue system），各服务台工作相互独立，单队列根据顾客源和系统容量的不同情况，该模型主要有/ / 型、/ /型和/排队规则适用于FCFS、LCFS和SIRO一、/模型1模型条件 已知单位时间平均到达率，单列，个服务台，每个服务台的工作相互独立且平均服务率相同，都等于，顾客源无限，容量无限，排队规则为等待制2系统的状态概率和主要运行指标(1) 系统的状态概率系统的空闲概率，系统内有个顾客的概率以及利用率分别为： （8-10）(2) 系统的主要运行指标 （8-11）例8-6 某医院康复科有4台超短波理疗仪，患者的到达服从泊松分布平均每小时到达12人，每人理疗时间服从指数分布，每台每小时平均服务4人，患者到达后排成一列，依次就诊求：4台仪器同时空闲的概率；计算系统的；患者到达后必须等待的概率解 该排队系统是/ 4 / / 模型，依题意：4台仪器同时空闲的概率按（8-11）分别计算患者到达后必须等待的概率例8-7 在例8-2中，为了减少患者等待取药的时间，考虑增加一名药剂员，其它条件不变试分析增加一名药剂员后药房排队系统的状态概率和运行指标解 原排队系统是/ 1 / / 模型，已知= 5（人），=12.5（分钟）现考虑增加一名药剂员后系统为/ 2 / / 模型由题意知： 系统空闲的概率： 系统运行指标：显然增加一名药剂员后，患者在药房的平均人数比原来减少了约4人，等待取药的时间减少了约12分钟二、/模型1模型条件 系统顾客源无限，容量为，即系统中顾客数达到时，后来的顾客被拒绝进入系统，服务规则为混合制，其它条件同于/ / 模型2系统的状态概率和主要运行指标(1) 系统的状态概率系统的空闲概率，系统内有个顾客的概率以及利用率分别为： （8-12）(2) 系统的主要运行指标 （8-13）例8-8 某乡镇卫生院只有4张病床，病人的到达和输出服从最简单流，平均每两天有1名新患者住院，每名病人平均住7天求此系统的有关运行指标解 该排队系统是/ 4 / / 4 模型，为混合制情形依题意：系统空闲的概率 患者不能立即住院的概率 平均住院病人数 其它指标：三、/模型1模型条件 系统顾客源为，且即一旦系统中已有个顾客，就不会再有新的顾客到达，除非系统中的顾客得到服务后又返回顾客源，系统才可能有顾客继续到来每个服务台在单位时间内服务的平均顾客数为，每个顾客在单位时间内需要服务的平均次数为顾客的到达时间间隔和服务时间均服从负指数分布2系统的状态概率和主要运行指标(1) 系统的状态概率系统的空闲概率和系统内有个顾客的概率： （8-14）(2) 系统的主要运行指标 （8-15）例8-9 某医院设备科有4位修理工，共同负责维修全院10台同类设备，每台设备平均每过一个月就要维修一次(每月按30天计)，每个修理工每次维修一台设备平均需要10天，若设备的正常工作时间和维修时间均服从负指数分布，试求设备发生故障不能马上得到修理的概率以及系统运行数量指标解 系统为/ 4 / 10 / 10 模型，其中：系统空闲的概率设备发生故障而不能马上得到修理的概率系统运行指标四、/模型与个/1模型的比较在最简单流条件下，顾客到达后排成单队列接受服务，排队系统中的状态概率和运行指标与系统的顾客到达率、服务时间、以及服务台数有关如果系统为多队列，且顾客选择队列后不允许变换，这种多队列的系统状态概率和运行指标与单队列系统有何差异呢？下面举例说明例8-10 在例8-6中，患者到达后分成4队列，其它条件不变试分析两种不同队列下排队系统运行指标解 患者到达后排成4队列是4个/ 1 / / 排队模型，每个系统运行状态和指标相同根据（8-3）及（8-5）可求得该系统状态概率和运行指标，并与/ 4 / / 排队模型状态概率和运行指标相比较，结果见表8-5表8-5 / 1 / / 模型与/ 4 / / 模型的运行指标指标/ 1 / / / 4 / / 每小时输入率3人/单个系统12人每小时输出率4人/台4人/台系统空闲率25.00%3.77%平均队长3.004.53平均等待队长2.251.53平均逗留时间60min23min平均等待时间45min8min等待概率75.00%51.00%从表中各指标的对比可以看出，/ 4（单队列）比/ 1（4队列）的效果优越例8-11 某医院病房有3名护士和18位病人，平均每位病人每两小时需要护理一次，每次12分钟，护理时间间隔与护理时间均服从泊松分布现在医院考虑两种工作方案：方案为3名护士各自独立工作，每人固定负责6位病人；方案为3名护士共同护理18位病人，试比较两个方案的优劣解 方案是3个/ 1 / 6 / 6系统，方案是/ 3 / 18/ 18系统，其中，根据（8-9）与（8-15）分别求出两个系统的各项运行指标，见表8-6表8-6 / 1 / 6 / 6模型与/ 3 / 18/ 18模型的运行指标指标/ 1 / 6 / 6（单个）/ 3 / 18/ 18系统空闲率48.45%17.01%平均队长0.851.83平均等待队长0.330.22平均逗留时间20min14min平均等待时间8min2min等待概率51.55%82.99%显然，方案比方案效果优越从上面两个例子得知，个/ 1模型和1个/模型尽管系统内服务台数没有变化，但采用不同的队列方式的系统运行状态和指标是不一样的，联合服务（单队列）要比分散服务（多队列）更为有效，所以在策划一个排队系统时应考虑队列因素第四节 其它类型的排队模型一、 /1排队模型1模型条件 / 1排队模型是单服务台的等待制系统，到达系统的顾客数服从泊松分布，单位时间平均到达率，而各顾客的服务时间是相互独立且具有相同分布的随机变量，服务时间的期望值和方差，仍然为服务率，顾客源无限，容量无限，FCFS服务规则2系统的状态概率和主要运行指标 (8-16)例8-12 某医院放射科有一台CT，患者的到来服从泊松分布，平均每小时2人，每位患者使用CT的平均时间为20分钟，标准差为15分钟据患者反映等候CT检查的时间较长，而管理人员认为是设备的利用率不高，试对双方所提问题进行简要分析解 由题意可知：患者的服务时间是相互独立且具有相同分布的随机变量，顾客到达率；服务时间的期望值；标准差代入（8-16）分别求出设备的空闲率： 等待队长： 等候检查的时间： 结论：设备的空闲率为33.33%，若按每天工作8小时计，几乎有2.67个小时是空闲的；患者等候检查的时间平均为31分钟(比平均服务时间要长)，因此，双方所提问题基本存在二、/1排队模型该系统对顾客服务时间为确定常数，即，而其他条件与/1相同，可根据（8-16）求得系统中的各项运行指标例8-13 某医院检验科有一台全自动血液分析仪，已知每个血样分析需要1分钟，送检样品按泊松分布到达，平均每小时30份试求该系统的主要工作指标解 由题意知，这是一个/1系统，且有：按（8-16）式计算，求出系统运行指标：三、具有优先服务权的/1/模型考虑在/ 1 / / 系统中，进入系统的顾客分为两级：第一级是优先类，到达率为；第二级是普通类，到达率为两类顾客的服务时间均为相同的负指数分布当系统中有第一级顾客到达时，正在接受服务的第二级顾客将被中断服务，重新等待；当系统中只有同一级别顾客时，按先来先服务的原则设：,第级顾客在系统中的平均逗留时间与两级综合在一起的每个顾客在系统中的平均逗留时间，满足： （8-17）由于，而第一级顾客在排队系统中得到服务的情况与第二级顾客的服务无关，即，所以有： （8-18）因此，第级顾客在系统中等待服务的时间和等待队长分别为： （8-19）可验证，在该系统中的和满足：当系统中两类顾客服务时间不相同时，设第一级为，第二级为，其它条件不变，则系统中两类顾客的队长分别为： （8-20）其它运行指标可根据（8-4）Little公式求出例8-14 某私人诊所只有一名医生，来就诊的病人按=2人/小时的泊松分布到达，医生对每个病人的服务时间服从=15分钟的负指数分布假如病人中90%属一般病人，10%属危重病人该诊所的服务规则是先治疗危重病人，然后是一般病人试计算两类病人等候治病的平均时间解 依题意知，危重病人是第一级，一般病人是第二级，且,由（8-19）、（8-20）算出：危重病人等待时间：一般病人等待时间：系统中的其它运行指标：而 显然有：第五节 排队系统的最优化设计作为一个管理决策人员，仅知道如何描述排队系统，计算出它的有关数量指标是不够的我们研究的目的是要在掌握排队模型的基础上，利用它作为决策的工具对排队系统进行最优化设计可以从两个方面考虑：其一，给出系统的某种费用（或利润）结构，要求平均总费用（或平均总利润）最低的情况下做出最优设计(经济效益)在系统稳定状态下，各种费用可以用单位时间来考虑服务成本是可以确切计算或估计的，病人就诊因排队等待而延误时间所造成的损失虽然很难测算，但也可根据统计的经验来估计其二，在一定服务质量指标下要求系统运行效能达到必要的水平(社会效益)下面就平均服务率和服务台数这两个决策变量的优化问题进行讨论一、/1/模型的最优平均服务率费用函数为单位时间服务成本与顾客在系统中逗留损失费用之和的期望值假定服务率是一个连续值则费用函数可为： （8-21）其中：当=1时服务机构单位时间的成本费用每个顾客在系统中停留单位时间的损失费用系统内平均顾客数将代入（8-21），则，于是 ， 令 考虑，解得 （8-22）例8-15 到某设备维修站维修的设备数为泊松流，平均每小时3台假设一台设备停留在维修站一个小时，修理站要支付4元若维修站只有一名维修人员，他的工资是每小时每台12元为使工资与设备逗留费之和最小，该维修员每小时应维修多少台？解 于是 即维修员每小时应维修4台设备此时单位时间支出费用为：二、/模型的最优服务台数费用函数为单位时间服务成本与逗留损失费用之和其中：每服务台单位时间的成本每个顾客在系统中停留单位时间的损失费用系统中有台设备时逗留的顾客数因为是离散型变量，不能直接对求微分因此，采用边际分析法，根据费用函数存在最小值的必要条件，有 （8-23）经计算得出： （8-24）依次求时的值，因为是已知数，可根据（8-23）、（8-24）确定例8-16（费用模型） 某医院要确定其实验室试验设备的最优套数，经统计获悉平均每天来做试验的人数为48人，泊松分布到达假设每个做试验的人的停留损失为每天6元，试验时间服从指数分布，每台设备的服务率为每天25人提供一套试验设备的费用每天4元要求确定该院试验设备的最佳套数，使单位时间服务成本与逗留费用之和最小解 将数据代入（8-11）求出：而取依次代入、和，结果见表8-7表8-7 的边际分析结果设备套数逗留人数20.020424.49021.845154.9430.12442.6450.58221.84527.8740.14222.0630.1110.58228.3850.14571.9520.11131.71因为落在区间(0.582，21.845)内，所以，此时 例8-17（愿望模型） 某医院为了解决看病难问题，想增添B超设备，现已统计出平均每6分钟就有1人做B超检查，每人平均做20分钟若假定患者到达的时间间隔和检查时间均服从负指数分布，管理人员要求合理确定B超台数,使得系统满足两个目标：每台设备空闲率不大于40%；每位患者平均等待检查的时间不超过5分钟试确定最佳B超设备台数C解 依题意：满足第一个目标的条件是： 解出：满足第二个目标的条件是：当时，求出当时，求出所以，同时满足两个目标的条件是：当然，若不存在能同时满足两个目标的值，则需要修正其中某个目标习 题 八1某诊所只有一名医生，来就诊的患者人数服从泊松分布，平均每小时4人；医生诊断时间服从负指数