（基础数学专业论文）具有hollingⅡ型功能性反应的捕食系统的定性分析.pdf

哈尔滨理工人学理学硕十学位论文 具有h o l l i n gi i 型功能性反应的捕食系统 的定性分析 摘要 在生态系统中，种群之间相互作用多数是以捕食被捕食的形式存在的， 具有功能性反应的捕食者一食饵系统在生态系统的研究中扮演着重要的角 色。针对一类具有h o l l i n gi i 型功能性反应的捕食系统，本文的内容包括了 三个部分，主要结论如下： 第一部分，针对一类具有h o l l i n gi i 型功能性反应的连续型捕食系统， 利用等倾线方法研究了系统正平衡点的存在性；通过构造恰当的l i a p u n o v 函数研究了系统正平衡点全局渐近稳定性的充分条件；利用b e n d i x s o n 环域 定理给出了系统极限环的存在唯一性条件，并且利用m a t l a b 软件做了数值 模拟。 第二部分，利用具有逐段常数变元的微分方程思想，在第一部分连续型 捕食系统的基础上，推导出相应的具有常系数功能性反应函数的离散型系 统。利用代数中的特征值法研究了系统正平衡点的局部稳定性；通过构造恰 当的l i a p u n o v 函数给出了系统正平衡点全局稳定性的充分条件，并且利用 m a t l a b 软件做了数值模拟。 第三部分，考虑到种群的许多行为和性质都是随着时间而发生周期性变 化的，因此建立了具有周期系数的基于比率的离散型捕食系统。利用重合度 理论中的延拓定理，得到了周期系统中正周期解的存在条件；利用分析的方 法和不等式技巧，以及对系统右端函数适当放缩，得到了非周期系统中持久 性的充分条件；通过构造恰当的l i a p u n o v 函数给出了系统解的全局稳定性 的充分条件。 对生态系统的持久性、稳定性等理论的研究，可以更好地指导人们利用 自然、改造自然，这对于保持生态系统的多样性和生态环境的可持续发展有 着广泛的理论和现实意义。 关键词h o l l i n gi i 型功能性反应；全局稳定性；周期解；持久性；数值模拟 哈尔滨理工大学理学硕上学位论文 q u a l i t a t i v ea n a l y s i so ft h ep r e d a t o r - p r e ys y s t e m w i t ht h e h o l l i n gi if u n c t i o n a lr e s p o n s e a b s t r a c t i nt h ee c o s y s t e m ，t h ei n t e r a c t i o no fp o p u l a t i o ne a c ho t h e rm o s t l ye x i s tw i t h t h ef o r mo ft h ep r e d a t o r p r e y , t h ep r e d a t o r - p r e ys y s t e mw i t hf u n c t i o n a lr e s p o n s e p l a y st h ei m p o r t a n tr o l ei nt h er e s e a r c ho ft h ee c o s y s t e m a i m i n ga tac l a s so ft h e p r e d a t o r p r e ys y s t e mw i t ht h eh o l l i n gi if u n c t i o n a lr e s p o n s e ，t h ec o n t e n to ft h i s p a p e rc o n s i s t so ft h r e ep a r t s ，m a i nr e s u l t sa r ea sf o l l o w s ： i nt h ef i r s tp a r t ，a i m i n ga tac l a s so ft h ec o n t i n u o u sp r e d a t o r - p r e ys y s t e m w i t ht h eh o l l i n gi if u n c t i o n a lr e s p o n s e ，b yu s i n gt h ei s o c l i n i cl i n em e t h o d ，t h e e x i s t e n c eo ft h ep o s i t i v ee q u i l i b r i u mp o i n ti ss t u d i e d b yc o n s t r u c t i n gas u i t a b l e l i a p u n o vf u n c t i o n ，t h ef u l lc o n d i t i o no ft h ep o s i t i v ee q u i l i b r i u mp o i n t sg l o b a l a s y m p t o t i cs t a b i l i t yi ss t u d i e d 。b yu s i n gt h eb e n d i x s o nw r e a t ha r e at h e o r e m ，t h e e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s sc o n d i t i o n so ft h el i m i tc y c l ei sg i v e n ，a n db yu s i n gt h e m a t l a bs o f t w a r e ，t h en u m e r i c a ls i m u l a t i o ni sm a d e i nt h es e c o n dp a r t ，b y u s i n gt h ed i f f e r e n t i a l e q u a t i o n st h i n k i n gw i t h p i e c e w i s ec o n s t a n ta r g u m e n t ，o nt h eb a s eo ft h ec o n t i n u o u sp r e d a t o r p r e ys y s t e m i nt h ef i r s tp a r t ，t h ec o r r e s p o n d i n gc o n s t a n tc o e f f i c i e n to fd i s c r e t es y s t e mw i t h f u n c t i o n a lr e s p o n s ef u n c t i o ni s d e d u c e d b yu s i n gt h ee i g e n v a l u em e t h o di n a l g e b r a ，t h ep o s i t i v ee q u i l i b r i u mp o i n t sl o c a ls t a b i l i t yi ss t u d i e d b yc o n s t r u c t i n g as u i t a b l el i a p u n o vf u n c t i o n ，t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o no ft h ep o s i t i v ee q u i l i b r i u m p o i n t sg l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t yi sg i v e n ，a n db yu s i n gt h em a t l a bs o f t w a r e ，t h e n u m e r i c a ls i m u l a t i o ni sm a d e i nt h et h i r dp a r t ，t a k i n gi n t oa c c o u n to fm a n ya c t sa n dp r o p e r t i e so ft h e p o p u l a t i o n ，w h i c hi sc y c l i c a lc h a n g ew i t ht h et i m e ，s oar a t i o d e p e n d e n td i s c r e t e p r e d a t o r - p r e ys y s t e mw i t hp e r i o d i cc o e f f i c i e n ti sb u i l t b yu s i n gt h ec o n t i n u a t i o n t h e o r e mo fc o i n c i d e n c ed e g r e e t h ee x i s t e n c ec o n d i t i o n ( ，ft h ep o s i t i v ep e r i o d i c s o l u t i o ni nt h ep e r i o d i cs y s t e mi so b t a i n e d b yu s i n ga n a l y t i c a la n di n e q u a l i t i e s m e t h o d ，a n dp r o p e r l yz o o m i n gt h er i g h tf u n c t i o no ft h es y s t e m ，t h es u f f i c i e n t c o n d i t i o no ft h ep e r s i s t e n c ei nt h en o n - p e r i o d i cs y s t e mi s o b t a i n e d b y 哈尔滨理工大学理学硕十学位论文 c o n s t r u c t i n gas u i t a b l el i a p u n o vf u n c t i o n ，t h es u f f i c i c n tc o n d i t i o no fs o l u t i o n s g l o b a ls t a b i l i t yi sg i v e n t h er e s e a r c ha b o u tp e r s i s t e n c ea n ds t a b i l i t yo fe c o s y s t e mc a nb eu s e dt o g u i d ep e o p l et om a k ef u l lu s eo ft h en a t u r ea n dr e m o l dt h en a t u r e t h o s ew i l l h a v ee x t e n s i v et h e o r e t i c a la n dp r a c t i c a ls i g n i f i c a n c et om a i n t a i nt h ed i v e r s i t yo f e c o s y s t e ma n dt h es u s t a i n a b l ed e v e l o p m e n to ft h ee c o l o g i c a le n v i r o n m e n t k e y w o r d sh o l l i n gi if u n c t i o n a lr e s p o n s e ，g l o b a ls t a b i l i t y ，t h ep e r i o d i cs o l u t i o n ， p e r s i s t e n c e ，n u m e r i c a ls i m u l a t i o n i 哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文具有h o l l i n g1 1 型功能性反应的 捕食系统的定性分析，是本人在导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期 间独立进行研究工作所取得的成果。据本人所知，论文中除已注明部分外不包含他 人已发表或撰写过的研究成果。对本文研究工作做出贡献的个人和集体，均已在文 中以明确方式注明。本声明的法律结果将完全由本人承担。 作者签名：阁前旋啉冲钥朋 ， 哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书 具有h o l l i n gl i 型功能性反应的捕食系统的定性分析系本人在哈尔滨理工 大学攻读硕士学位期间在导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归哈 尔滨理工大学所有，本论文的研究内容不得以其它单位的名义发表。本人完全了解 哈尔滨理工大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门提交 论文和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权哈尔滨理工大学可以采用影 印、缩印或其他复制手段保存论文，可以公布论文的全部或部分内容。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用授权书。 不保密团。 ( 请在以上相应方框内打) 作者签名：翔巧凄红日期：7 矽年瑚炉日 导师签名： 日期：夕哆年钞彦日 哈尔滨理t 大学理学硕+ 学位论文 第1 章绪论 1 1 综述 在生态学中，种群之间相互作用多数是以捕食被捕食的形式存在的。捕食 关系是自然界普遍存在的物种之间相互作用的基本关系，是生态系统研究的一 个主要课题，许多学者对此进行了广泛而深入地讨论并取得了大量的结果。 具有功能性反应的捕食者一食饵系统在研究中扮演着重要的角色。一般的 功能性反应有h o l l i n gi 、i i 、i i i 型等函数，不同的功能性反应函数所体现的捕 食者捕获食饵的能力不同。通过将功能性反应函数引入捕食者一食饵系统中， 能够使系统更真实地反映实际现象。因而对具有功能性反应的捕食者一食饵系 统的研究自然成为现代生态学的一个首要任务，具有非常重要的理论意义和应 用价值。 差分方程是用来描述寿命较短、世代不重叠或数量较少的种群。由于在自 然科学、社会科学和工程技术的许多领域有不少现象只能用差分方程这种离散 的数学系统来描述，因此对差分方程的理论进行研究显得尤为重要。由于受现 实中的许多自然因素( 例如环境、气候、生态空间等) 的影响，种群的许多行 为和性质都是随着时间的变化而变化的，因此对具有周期系数的基于比率的系 统进行详细的理论研究是非常必要的。 1 2 国内外发展概况 1 2 1 捕食系统 1 9 7 9 年，g w h a r r i s o n 研究了一类具有h o l l i n gi i 型功能性反应的捕食系 统，应用稳定性的基本理论得到了奇点的存在性和稳定性【l l 。1 9 8 9 年，井竹君 对此系统继续深入的研究，讨论了奇点的分支、h o p f 分支、形成鞍点环的全 局分支等问题【2 】。 1 9 9 6 年，张娟，马知恩研究了一类具有h o l l i n gi i 型功能反应且两种群均 具有密度制约的捕食系统，应用张芷芬唯一性定理得到了存在唯一稳定极限环 的充分条件【3 1 。 1 9 9 7 年，朴仲铉，薛春艳研究了一类食饵种群具有收获率的h o l l i n g l i 型 功能性反应系统，通过作d u l a c 函数和利用张芷芬唯一性定理，证明了当该系 统具有存放率时，极限环的存在性、不存在性及唯一性；以及当该系统具有收 哈尔滨理丁大学理学硕i j 学位论文 获率时，正平衡点的不稳定性【4 】。 2 0 0 0 年，贾建文，胡宝安研究了一类具有扩散率和h o l l i n gi i 型功能性反 应的非自治捕食系统，应用b r o w e r 不动点定理及l i a p u n o v 函数方法证明了在 适当条件下，系统是特久的。如果系统是周期系统，则在一定条件下存在唯一 严格j 下的全局稳定的周期解【5 1 。 2 0 0 2 年，l s a l m o c e r a 和p w s y 研究了一类具有h o l l i n gi i 型捕食生态系 统，利用拓扑等价系统和h o p f 分支规范型定理，证明了正平衡点外围附近存 在稳定极限环【6 1 。 2 0 0 6 年，肖海滨研究了食饵具有非线性密度制约且捕食者具有线性密度制 约的h o l l l i n gi i 型捕食动力系统。以食饵的环境容纳量为分支参数，由h o p f 分支得n d , 振幅极限环的存在性，同时也得到了正平衡点的全局稳定性和非小 振幅极限环的存在唯一性的充分条件 r l 。 1 2 2 离散捕食系统 考虑到许多生物种群季节性繁殖的特点和当种群有不相重叠的后代时，由 差分方程确定的离散系统比连续系统更能切合实际，也为连续系统的数值模拟 提供了有效的计算参考。 1 9 8 7 年，h o f b a u e rj ，h u t s i nv 和j a n s e nw 研究了一类l o t k a v o l t e r r a 离 散自治的捕食系统，应用分析方法给出了一般的l o t k a v o l t e r r a 离散系统最终 一致有界和永久生存的条伴引。 1 9 8 8 年，c u l l p 研究了单种群离散动力系统的性质，应用l i a p u n o v 函数 方法对平衡点的局部稳定性及全局稳定性进行了较全面的研究【9 ，1 0 1 。1 9 9 1 年， 黄永年在概述了关于单种群离散系统稳定性研究成果的基础上，给出一些新的 结剽】。 1 9 9 9 年，王稳地，陆征一研究了一般的两种群相互作用的离散动力学系 统，得到了两种群的共存系统总存在无界解，并且证明了两种群竞争系统若存 在局部稳定的正平衡点，则必为永久生存 12 1 。 2 0 0 0 年i 廖进昆等考虑了离散捕食链型系统的全局性态，应用归纳法及线 性变换等方法证明了三种群系统的最终一致有界性，给出了系统永久性的充要 条件，讨论了系统全局稳定以及出现混沌的条件【l3 1 。 2 0 0 4 年，杨秀香应用分析方法对一类离散的捕食一食饵系统的奇点进行了 定性分析，从生态学的意义上解释了平衡点外围周期解的存在性、稳定性。另 外，给出了对此系统的两种群同时捕获时得到的最大持续收益的条件1 1 4 】。 哈尔滨理t 大学理学硕 ：学位论文 2 0 0 4 年，李万同，h a i f e n gh u o 研究了离散l e s l i e g o w e r 捕食系统，得到 了系统永久生存的充分条件。在假定系数是周期系数时，得到了周期解的存在 性，最后对系统线性化和构造适当的l i a p u n o v 函数，得到正周期解全局稳定 的充分条件【1 5 】。 2 0 0 6 年，梁志清，陈兰荪研究了类离散l e s l i e 捕食系统，利用重合度理 论及l i a p u n o v 函数方法得到了正周期解的存在性及全局吸引性【1 6 】。 2 0 0 6 年，潘红卫考虑一类具有相互干扰的离散l e s l i e 系统，利用拓扑度理 论，获得了该系统正周期解存在的充分条件【i 引。 1 2 3 基于比率的离散捕食系统 近年来，越来越多的明显的生理学和生物学证据表明，在许多情形下，特 别是当捕食者不得不搜寻食物因此不得不分享或竞争食物时，一个更切合实际 且更一般的捕食者一食饵系统应基于“比率依赖”理论【1 8 1 9 , 2 0 , 2 1 1 。 1 9 9 3 年，f r e e d m a n 和m a t h s e n 运用分析方法及不等式理论研究了比率依 赖型捕食者一食饵系统的解的持久性【2 2 1 。 2 0 0 1 年，h s u ，h w a n g 和k u a n g 利用构造v 函数的方法对具有m i c h a e l i s m e n t e n 型功能性反应的比率依赖型捕食者一食饵系统的解的渐近性态作了详细 完整的分析【2 3 】。 2 0 0 2 年，f a nm 和w a n gk 讨论了具有m i c h a e l i s m e n t e n 型功能反应的非 自治比率型离散的捕食者一食饵系统，利用c a u c h y s c h w a r z 不等式技巧和对周 期解的先验估计，得到有周期正解的充分性条件，但没有考虑系统周期解的稳 定性【2 钔。 2 0 0 3 年，f a n ，w a n g 和z o u 研究了一类非自治的比率依赖型捕食者一食饵 系统的持久性、耗散性、全局渐近稳定性以及j 下周期解和正概周期解的存在唯 一性、稳定性性质【2 5 1 。 2 0 0 4 年，陈晓星针对此系统通过构造适当的l i a p u n o v 函数，建立了保证 离散型基于比率捕食者一食饵系统周期正解的全局稳定性的充分条俐2 6 1 。 2 0 0 5 年，高建国讨论了一类具有h o l l i n gi i i 型功能性反应的基于比率的离 散l e s l i e 捕食者一食饵系统，在假设系统的系数是周期函数下，利用重合度理 论中的延拓定理，得到了该系统正周期解的存在判据，但没有给出系统稳定性 条件【2 7 1 。 2 0 0 6 年，吴润莘，林丽玉针对此系统，利用差分方程比较原理，探讨了周 期情形下此系统的持久性【2 引。 哈尔滨理工人学理学硕i ：学位论文 1 2 4 计算机软件在数学系统中的应用 自然界的捕食系统非常复杂，除了从理论上对表征该系统的数学系统进行 定性分析和定量研究。人们往往借助于计算机模拟手段，通过大量模拟试验来 分析系统稳定性及其参数的稳定域，从而探讨通过哪些人为控制可以优化系 统，提高系统的稳定性，使其朝良性循环的方向发展。 1 9 8 3 年，李超应用计算机软件进行了草间小黑蛛对棉铃虫幼虫的捕食系统 的数值模拟f 2 9 ) 。 1 9 8 6 年，周集中，陈常铭应用计算机软件对其研究的单种捕食者，单种猎 物系统的稳定性进行了较为全面的数值模拟【3 叫。 2 0 0 4 年，李白珍等应用计算机软件对斑块生境中具有捕食风险的动力系统 进行了数值模拟，模拟结果表明系统中食饵种群的空间平均平衡密度随扩散速 率增加而减小，捕食者种群平衡密度的变化趋势则取决于系统斑块之间的扩散 形式【3 l 】。 2 0 0 7 年，郭基凤，裴利军利用w i n p p 软件对具有h a s s e l l v a r l e y 型功能反 应的捕食系统的各平衡点的稳定性进行了验证【3 2 1 。 2 0 0 8 年，方辉平，吴永峰利用m a t l a b 软件研究了一类捕食系统解的有界 性，画出了轨线的走向和极限环的大致位置，使所得结论更直观明了 3 3 1 。 1 3 存在的问题及有待进一步研究的内容 连续系统通常描述生命长、世代重叠并且数量很大的种群，而离散系统通 常描述生命短、世代不重叠的种群，或者虽然是生命长、世代重叠，但其数量 较少的种群。对于连续系统与离散系统的研究，无论是在研究内容上还是在研 究方法以及所得的结论上，都存在很大的差异，还有待进一步研究。 对于离散型周期系统解的存在性的研究，本文中则采用了不等式的放缩来 实现的。离散型周期系统作为一种特殊的系统，它能更准确的反映离散系统解 的性态，对整个离散系统的研究有着重要的理论意义。 对所得结论，应用m a t l a b 软件进行了数值模拟，既证实了文章结论的存 在性，又使得文章结论直观明了。 1 4 课题来源 本课题来源于导师的黑龙江省自然基金项目。 哈尔滨理_ t 人学理学硕 ：学位论文 1 5 主要研究内容 1 5 1 一类具有h o l l i n gi i 型捕食系统的定性分析 在现实世界中，捕食系统中捕食者往往也具有密度制约的影响。在已有捕 食系统的基础上，本文考虑捕食者具有线性密度制约的因素，研究一类食饵具 有非线性密度制约且捕食者具有线性密度制约的h o l l i n gi i 型捕食系统 x 爿( a - 一地) ) - y 靠 y 72 y ( - 扎聃靠) 其中以，c ，d ，口，万，p 均为j 下常数；x ( f ) ，y ( t ) 分别表示食饵、捕食者在时刻t 两种 群的密度；晟( 工) 是食饵非线性密度制约的制约部分。 本文通过构造恰当的l i a p u n o v 函数研究了j 下平衡点全局渐近稳定性的充 分条件，利用p o i n c a r 6 b e n d i x s o n 环域定理得到了系统极限环的存在唯一性条 件。 1 5 2 一类具有h o l l i n gi i 型离散捕食系统的定性分析 离散系统比连续系统具有更加复杂的种群动力学行为。在对连续型生态数 学系统进行离散化时，所得离散型生态数学系统与相应的连续系统在动力学性 质方面有时存在很大的差异。通过对1 5 1 中连续系统的合适修正，可得相应 的离散系统 川“) 爿( f ) e x m 吲( f ) 以( 删叫f ) 志) 州一e x p - d - 6 y + 怒) 其中口，c ，d ，口，6 ，p 均为f 常数，x ( f ) ，y ( t ) 分别表示食饵、捕食者在时刻t 两种 群的密度， ( z ( f ) ) 是食饵非线性密度制约制约部分。 本文研究了系统正平衡点的局部稳定性，并且通过构造恰当的l i a p u n o v 函数给出了系统全局稳定性的充分条件。 1 5 3 一类具有h o l l i n gi i 型基于比率的离散捕食系统的定性分析 由于受现实中的许多自然因素( 例如环境、气候、生态空间等) 的影响， 种群的许多行为和性质都是随着时间的变化而变化的，因此对具周期系数的系 统进行详细的理论研究是非常必要的。通过对基于比率的捕食系统离散化，可 哈尔滨理t 大学理学硕：j j 学位论文 得相应的基于比率的离散系统 x ( f + 1 ) = 工( f ) e x p 口o ) 一c o ) 工( f ) 一而( x ( f ) ) 一了踹) y o + 1 ) = j ，o ) e x p 一d ( f ) 一万( f ) y ( f ) + 了踹) 其中工( f ) ，y ( t ) 分别表示食饵、捕食者在时刻t 两种群的密度；j i l ( x ( f ) ) 是食饵非 线性密度制约制约部分；口( f ) ，c ( f ) ，d ( f ) ，a f t ) ，f l ( t ) ，万( f ) ，p ( t ) 是周期为国的连续函 数。考虑到系统的实际意义，仅讨论满足初始条件工( 0 ) 0 ，y ( o ) 0 的解。 利用重合度理论给出了系统正周期解的存在性判据；利用分析的方法和不 等式技巧，通过对系统右端函数适当放缩，给出了系统持久性的充分条件；通 过构造恰当的l i a p u n o v 函数给出了系统周期解全局稳定的充分条件。 1 5 4 数值模拟 应用m a t l a b 软件对本文所研究的结论，系统正平衡点的全局稳定性、极 限环的存在唯一性进行了数值模拟，估计到系统解的性态，使论证过程更加直 观明了，体现了计算机技术在提高系统求解效率和结果可视化方面的优势。 哈尔滨理t 大学理学硕上学位论文 2 1 基本定义 第2 章预备知识 2 1 1 二维自治系统的相关概念 考虑一般二维自治系统 艘) = p ( 碱y ( ) ( 2 - 1 ) 【y o ) = q ( 工( f ) ，y o ) ) 定义2 1 瞰1 3 0 若点( 而，) 使e ( x o ，y o ) = 0 ，q ( x o ，) = 0 ，则称( 而，) 为系 统( 2 1 ) 的平衡点。 定义2 2 3 4 设( j c o ，) 是系统( 2 - 1 ) 的平衡点。如果对( 而，蜘) 的任一邻域 u ，存在( 而，) 的一个属于u 的邻域u ，使系统( 2 1 ) 的每一条轨线 ( x ( f ) ，y ( f ) ) ，若有( x ( o ) ，y ( o ) ) u i ，则对一切t 0 ，有o ( f ) ，y ( f ) ) u ，就称平 衡点( ，) 是稳定的；否则就称为不稳定的。 如果( ，甄) 稳定，并且有 l i m 1 ：1 h l y ( f ) l 就称平衡点( 而，) 是渐近稳定的。 定义2 3 4 1 7 - 7 5 孤立的闭轨叫做极限环。如果存在包含极限坏1 1 的环形域 u ，使得从u 内出发的轨线当t 一佃时都渐近地接近极限环r ，则称极限环 r 为稳定的；否则，称r 为不稳定的。 2 1 2 一阶差分方程组的相关概念 考虑二维差分系统 o + 1 ) = g f ( x 1 ( f ) ，乇( f ) ) ( 2 2 ) 其中，汪l ，2 ，g f ( x ( f ) ) 为连续函数，x ( t ) = ( 五( f ) ，x 2 ( t ) ) ，t z 。 定义2 4 t 3 5 瑚若存在点x ( f ) = ( i ( f ) ，蔓( f ) ) 7 ，使得对所有的t z g f ( x ( f ) ) = i ( f ) 则x ( f ) = ( i ( f ) ，工：( f ) ) 7 称为系统( 2 2 ) 的平衡点。 定义2 5 3 q 若存在正常数m ，m ，使系统( 2 2 ) 的任意正解( x l ( t ) ，x 2 ( t ) ) 均满 足m l i m i n f x , ( t ) l i ms u p x ( t ) m ( i = l ，2 ) ，则系统( 2 - 2 ) 是持续生存的。 定义2 6 3 5 1 如果存在一个正整数k ，使得x k = x o ，当t 0 ，且v ( x ) = 0 ( 2 ) 在日内，对于每一个k 0 ，曲面v ( x ) = k 是一个闭曲面，而且函 数v ( x ) 在工= x + 处有唯一的极小值； ( 3 ) 函数 a v ( x ) = y ( g ( 工) ) 一y ( 工) 对所有的工h 为非负的，则称函数v ( x ) 是系统( 2 2 ) 在区域日内的l i a p u n o v 函数。 2 1 3 非线性常微分方程泛函方法的相关概念 设z z + r r + 分别表示全体整数，全体j 下整数，全体实数和全体正实数所组 成的集合；r ”表示刀维欧式空间。 设x ，y 是两个b a n a c h 空间。设m ：x 专y 是一个映射，用d o m m 表示m 的定义域，i d l 膨表示膨的值域，k e r m 表示m 的核，k e t ：m = 缸ix x ， m ( x ) = 0 。 设，n 7cx 是x 的子空间，并且0n 7 = x 。用d i mn 表示的维数， c o d i mn 表示的余维数，即c o d i mn = d i m x d i m n = d i m n 。设集合 qcx ，西表示集合q 的闭包，m 表示集合q 的边界。 定义2 7 唧7 7 踟设尸c 厶为全体缈周期序列所组成的子空间，则范数为通 常的上确界范数l | i i ，即 = 哩p ) i ，x ( f ) ，。，l = o ，1 ，2 ，o d - l 其中厶= x ( t ) ix ( t ) r ”，t 7 ) ，缈为给定的j 下整数。 定义2 8 1 3 8 1 7 8 设x ，y 是赋范向量空间，l ：d o m lcx 专y 为线性映射。如 果d i m k e r l = c o d i mi m l 0 ，当( x ，j ，) ( 而，y o ) ； ( 2 ) v = 导矿( 石( f ) ，y ( f ) ) 0 ，使得对一切u ( t ) m ，都有l “( f ) l k ，v t j ； ( 2 ) 集合m 中的函数等度连续，即对任给g 0 ，存在万= 8 ( e ) 0 ，使得 当f i ，乞j ，i t i - t 2 l 0 ，曲面v ( x ) = k 是一个闭曲面，而且函数 r ( x ) 在z = 石处有唯一的极小值； ( 3 ) 条件a v ( x ) = y ( g ( j ) ) 一v ( x ) 0 对所有z f ( 正象限) 都满足； 喻尔滨理t 大学理学硕。 ：学位论文 ( 4 ) a v ( x ) 不沿着在平凡解工= 工+ 近旁的解恒等于o 。 则称系统( 2 2 ) 是全局稳定的。 哈尔滨理工人学理学硕j 二学位论文 第3 章具有h o l l i n gi i 型连续捕食系统 3 1 引言 关于食饵具有非线性密度制约且捕食者无密度制约的h o l l i n gi i 型捕食系 统的研究，已有许多结果【4 3 托4 5 1 ，得到了捕食系统至少存在一个稳定的极限环和 正平衡点全局稳定性的充分条件等结论。本章研究了一类食饵具有非线性密度 制约且捕食者具有线性密度制约的h o l l i n gi i 型捕食系统，得到了系统正平衡 点的存在性条件。利用构造恰当的l i a p u n o v 函数给出了正平衡点全局渐近稳 定性的充分条件，并得到了系统极限环的存在唯一性条件。 3 2 系统建立 在现实世界中，捕食系统中捕食者往往也具有密度制约的影响。2 0 0 3 年， 陈柳娟等研究了如下系统 警训( 口刮沪蝌叫加) ) ) 训而a x ( t ) 警训如杯怒， 其中p ，b ，c ，e ，k ，口，均为正常数；j r ( f ) ，y ( t ) 分别表示食饵、捕食者在时刻t 两种 群的密度；此文中对该系统给出了完整的定性分析，证明了该系统至多有一个 极限环，存在极限环的充要条件是平衡点不稳定。 在上述捕食系统的基础上，本章中考虑捕食者具有线性密度制约因素，研 究一类食饵具有非线性密度制约而捕食者具有线性密度制约的h o l l i n gi i 型捕 食系统如下 其中口，c ，d ，口，万，p 均为正常数；z ( f ) ，y ( f ) 分别表示食饵、捕食者在时刻t 两种 、 群的密度；i i l ( x ( f ) ) 是食饵非线性密度制约的制约部分。 对系统( 3 1 ) 作如下基本假设： ( h 1 ) ：p - f l d 0 ；h ( o ) = 0 ，j i l ( x ( f ) ) 0 ，( 工o ) 0 ) ；h ( o ( x ( ，) ) o ，( f = l ，2 ) ， ( x ( t ) 0 ) 。 地面口一+ y 一哆 叫 生们 、， 1 一t 、， 工一f 、， 一 防型堆 x l w 件 一， 、， p 力 删 叻 似 卜 警警 哈尔滨理t 大学理学硕f ：学位论文 考虑到系统( 3 1 ) 的生态意义，可仅在q = 0 ( f ) ，y ( f ) ) ix ( f ) o ，y ( f ) 0 ) 内 讨论。 3 3 正平衡点的存在性 系统( 3 1 ) 的平衡点应满足 “沪引一靠 阻2 ， 外d 一万y + 而p x ) = o 下面