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几类递归序列的动力学 摘要 耷本塞中，我们系统地研究了几类差分方程的动力学性质，即其解的全局 稳定性、周期特征以及有界性，结论证明了几个猜想本文具体安排如下： 在第一章，我们简要介绍了差分方程的历史背景 在第二章，介绍了本文涉及到的有关差分方程的一些基本概念与结论 在第三章，考察了差分方程 t2i 急- - p x n - 2 p x n - 2 ，n 锄”一 盘n 一1 。 塑动垄堂性质，其中p 0 ，初始条件z - 2 害岫x o 0 , o o ) 使得方程的分母总不为 零得到了下面的结论t ( 1 ) 如果p 1 ，则方程的唯一非负平衡点量= 南是不稳定的( 事实上是一个 鞍点) 在第四章，考察了差分方程 a + 卢卫n + ，y z n 一】 。件12 a + b x n + c x n - 1 n 20 1 ， 解的稳定性特征，其中口，卢，y ，a ，b 。口( o ，o o ) ，初始条件嚣_ l z o 【o ，o o ) 得到 了下面的结论： ( 1 ) 假若方程无基本周期为二的解，且 。( 7 - f l - a ) b ( 7 - 3 q - u 。a ) - c ( 7 + 3 3 - a ) ， 则方程的正平衡点是局部渐进稳定的； ( 2 ) 假若方程有正的基本周期为二的解，则方程的正平衡点是不稳定的( 事 实上是一个鞍点) 在第五章，考察了差分方程 撕= 弓麓等笼岩若尝蓑，n o ，b 一 + 12 i 函石了瓦石磊f _ 干瓦忑了，n 2o ，1 广西大学硕士学位论文几夷递归序列的动力学i i 的动力学性质，其中k 是自然数，二，a ，b o ，b 一，耽m 【o ，m ) 满足g ：k + l b 2 。 0 ，p = 妻b 幻 0 ，初始条件z 础_ l iz 地，。“。o o ，o 。) 使得方程的分母总不为 零我们证明了，满足适当条件的上述差分方程具有如下二周期的三分法特征： ( 1 ) 当且仅当q a 时方程存在无界解 在第六章，考察了差分方程 y n + l = o + b l y n - 1 + 蜥- n - f s + 了 + b 2 k + l y n - 2 k 一- i ，n = 0 ，1 ， + 12 而瓦蕊= 一柚刮一 的动力学性质，其中”k ，”，是自然数，( o ，o o ) ，a 口，b 1 ，6 3 ，b 2 t + 1 0 ，) 满足日，：k + l6 2 h 0 ，初始条件罐1 f 啮，扯1 ，珈【0 o o ) 使得方程的分母总 不为零我们证明了，满足适当条件的上述差分方程具有如下二周期的三分法 特征： ( 1 ) 当且仅当一 n 时方程存在无界解 关键词：差分方程全局渐进稳定性周期解有界性三分法特征 d y n a m r e i c c s u o r f s i s v e e v s e e r q a u l e c n l c a e s s s e s o f ， a b s t r a c t i nt h i st h e s i st h ed y n a m i c s ，i e ，t h eg l o b a ls t a b i l i t y , t h ep e r i o dc h a r a c t e ra n d t h eb o u n d - e d n e 8 sn a 土u r eo ft h es o l u t i o n s ，o fs e q e r a lc l a s s e so fd i f f e r e n c ee q u a t i o n s ，a r es y s t e m a t i c a l l y s t u d l e d w h i c hc o n f i r ms o i u ec o n j e c t u r e s w eo r g a n i z et h et h e s i sa sf o l l o w s ： i nc h a p t e r o n e ，t h eh i s t o r i cb a c k g r o u n do ft h ed i f f e r e n c ee q u a t i o n si si n t r o d u c e db r i e f l y i nc h a p t e rt w o ，s o m eb a s i cd e f i n i t i o n sa n dr e s u l t so ft h ed i f f e r e n c ee q u a t i o n sw h i c hw i l l b eu s e di nc o n t e x ta r ei n t r o d u c e d i nc h a p t e rt h r e e ，w ei n v e s t i g a t et h ed y n a m i c so ft h ed i f f e r e n c ee q u a t i o n 茁n + 1 = 竺= l 一，n = 0 ，1 ，茁“+ 12 髫n - i + p w n - 2 2 w h e r ep 0 ，a n dt h ei n i t i a lc o n d i t i o n s 墨一2 ，茁一l ，z o 【o ，o o ) s u c ht h a tt h ed e n o m i n a t o ro f t h ee q u a t i o ni sn e v e rz e r o w ee s t a b l i s ht h ef o l l o w i n g ： ( 1 ) t h eu n i q u en o n n e g a t i v ee q u i l i b r i u mp o i n t 牙= 南i sg l o b a l l ya s y m p t o t i c a l l ys t a b l e i f p 1 i i lc h a p t e rf o u r ，w ei n v e s t i g a t et h es t a b i l i t yc h a r a c t e ro ft h ed i f f e r e n c ee q u a t i o n t n + 1 = 豇a + 面f i x 而, , + 7 x , , - 1 ，礼= o ，1 ，万忑i 干瓦= 一”u l w h e r eq ，_ 8 ，1 ，a ，b ，c ( o ，o o ) a n dt h ei m t i a lc o n d i t i o n sz l ，z o 【o ，o 。) w ee s t a b l i s h t h ef o l l o w i n g ： ( 1 ) s u p p o s et h a tt h ee q u a t i o nh a s n op r i m ep e r i o d - t w os o l u t i o na n d 口# ( 7 - f l - a ) b ( 7 - f l ，- 。一a ) - c ( 7 + 3 - a ) t h e nt h ep o s i t i v ee q u i l i b r i u mo ft h ee q u a t i o ni sl o c a l l ya s y m p t o t i c a l l ys t a b l e ( 2 ) s u p p o s et h a tt h ee q u a t i o nh a s ap o s i t i v ep r i m ep e r i o d t w os o l u t i o n t h e nt h ep o s i t i v e e q u i l i b r i u mo ft h ee q u a t i o ni su n s t a b l e ( i nf a c t ，as a d d l ep o i n t ) i nc h a p t e rf i v e ，w ei n v e s t i g a t et h ed y n a m i c so tt h ed l i r e r e n c ee q u a t i o n + ，：墅璺堡生鱼堡型二塾坐咝坠，钉：0 ，l ，蜀”15a+boxn+b2x,-2+b2kxu-2k 7 一 w h e r eki sn a r u r a ln u m b e r ，a ，a ，b o ，b 1 ，b 2 + 1 【0 ，0 0 ) s u c ht h a t 口= b 2 1 1 0 ，p = b 2 j 0 ，a n d t h ei n i t i a lc o n d i t i o n sz 一2 一】，z 一2 k ，z 一1 ，x 0 【0 ，o o ) s u c ht h a t ，二u t h ed e 矗a m i n a t o ro ft h ee q u a t i o ni sn e v e rz e r o w ep r o v e dt h a tt h ea b o v ed i f f e r e n c ee q u a t i o n ， u n d e ra p p r o p r i a t eh y p o t h e s e s ，e x h i b i t st h ef o l l o w i n gp e r i o d - t w ot r i c h o t o m yc h a r a c t e r ： ( 1 ) e v e r ys o l u t i o nh a saf i n i t el i m i ti fa n do n l yf f g a i nc h a p t e rs i x ，w ei n v e s t i g a t et h ed y n a m i c so ft h ed i f f e r e n c ee q u a t i o n y n + l ：型生丝萼早善鱼业鲢坠，n ：o 1 2 百瓢五磊一一”仉h w h e r e 叫s ，蜘，a r en a t u r a ln u m b e r s ，( 0 ，o o ) ，a ，8 ，b t ，b 3 ，b 2 k + 1 - 【0 ，0 0 ) s u c ht h a tg = d 2 。一1 0 ，a n dt h ei n i t i a lc o n d i t i o n s 剪一2 女一1 ，弘驰，岫y o f 0 ，o o ) s u c ht h a tt h ed 苫盎m i n a t o ro ft h e ；q u 撕o ni sn e v e rz e r o w ep r o v e dt h a tt h ea b o v ed i f f e r - e n g ee q u a t i o n ，u n d e ra p p r o p r i a t eh y p o t h e s e s ，e x h i b i t st h ef o l l o w i u gp e r i o d - t w ot r i c h o t o m y c h a r a c t e r ： ( 1 ) e v e r ys o l u t i o nh a saf i n i t el i m i ti fa n do n l yi f 口， 凸 k e yw o r d s ：d i f f e r e n c ee q u a t i o n ；g l o b a l l ya s y m p t o t i c a l l ys t a b i l i t y ；p e r i o d i cs o l u t i o n ； b o u n d e d n e s s ；t r i c h o t o m yc h a r a c t e r 芝量叁兰塑圭兰堡篁圭垒耋兰丝垒塑丝墼查茎1 1 i n t r o d u c t i o n d i f f e r e n c ee q u a t l o n sa p p e a ri nt h ef o r m u l a t i o na n da n a l y s i so fs e v e r a ld i s c r e t e - t i m es y s t e m s ， a sw e l ia si nt h es t u d yo fd i s c r e t i z a t i o nm e t h o d sf o rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s s u c he q u a t i o n a l s oa p p e a rn a t u r a l l ya sd i s c r e t ea n a l o g o u so fd i f f e r e n t i a la n dd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w h i c hm o d e lv a r i o u sd i v e r s ep h e n o m e n ai nb i o l o g y , e c o l o g y , p l v s i o l o g y , p h y s i c s ，e n g i n e e r i n g a n de c o n o m i c s m o r e o v e r t h ea p p l i c a t i o no ft h et h e o r yo fd i f i e r e n c ee q u a t i o n si sr a p i d l y b r o a d e n i n gt ov a r i o u sf i e l d ss u c ha sn u m e r i c a la n a l y s i s ，c o n t r o lt h e o r y ，f i n i t em a t h e m a t i c s ， a n dc o m p u t e rs c i e n c e t h et h e o r yo ff i n i t ed i f i e r e n c ee q u a t i o n si si nap r o c e s so fc o n t i n u o u s d e v e l o p m e n ta n di th a sb e c o m es i g n i f i c a n tf o ri t sv a r i o u sa p p l i c a t i o n s s o ，t h es t u d yo fd i f f e r e n c ee q u a t i o n sh a sa c q u i r e dan e ws i g n i f i c a n c ew i t h i nt h ep a s tt w o d e c a d e s e s p e c i a l l yi nr e c e n ty e a r s ，t h e r eh a sb e e nag r e a ti n t e r e s ti ns t u d y i n gn o n l i n e a r d i f f e r e n c ee q u a t i o n s t h es t u d yo fn o n l i n e a rd i f f e r e n c ee q u a t i o n si so fp a r a m o u n ti m p o r - t a n c en o to n l yi nt h e i ro w nr i g h tb u ti nu n d e r s t a n d i n gt h eb e h a v i o ro ft h e i rd i f f e r e n t i a l c o u n t e r p a r t s 。 t h e r ei sac l a s so fn o n l i n e a rd i f f e r e n c ee q u a t i o n s ，k n o w na st h er a t i o n a ld i f f e r e n c ee q u a - t i o n s ，e a c ho fw h i c hc o n s i s t so ft h er a t i oo ft w op o l y n o m i a l si nt h es e q u e n c et e r m s t h e r e h a sb e e nal o to fw o r kc o n c e r n i n gt h eg l o b a la s y m p t o t i cb e h a v i o ro fs o l u t i o n so fr a t i o n a l d i f f e r e n c ee q u a t i o n s f o rs o m er e c e n tr e s u l t sc o n c e r n i n g ，s e e ，f o re x a m p l e ，r e f s 【l - 4 1 ，a n d r e f e r e n c e st h e r e i n t h es t u d y 。o fr a t i o n a ld i f f e r e n c ee q u a t i o n so fo r d e rg r e a t e rt h a no n ei sq u i t ec h a l l e n g i n g a n dr e w a r d i n g ，a n dt h er e s u l t sa b o u tt h e s ee q u a t i o n so f f e rp r o t o t y p e st o w a r d st h ed e v e l o p - m e n to ft h eb a s i ct h e o r yo ft h eg l o b a lb e h a v i o ro fs o l u t i o n so fn o n l i n e a rd i f f e r e n c ee q u a t i o n s o fo r d e rg r e a t e rt h a no n e e s p e c i a l l yt h es t u d yo ft w oo r d e rr a t i o n a ld i f f e r e n c ee q u a t i o n s i sq u i t ec h a l l e n g i n ga n dr e w a r d i n g t w oo r d e rr a t i o n a le q u a t i o n sw i t ha l lo ft h ev a r i a b l e s z n ，z n 一1 ，p r e s e n ti nt h ee q u a t i o na r e e x t r e m e l yd i f f i c u l tt oh a n d l ea n dv e r yl i t t l ei sk n o w n a b o u tt h e m i n 【1 l ，m r s k u l e n o v i da n d g l a d a ss y s t e m a t i c a l l yi n v e s t i g a t e dt h ed i f f e r e n c ee q u a t i o n =石a+瓦fix再+万7z=-1：bn+l ab zc x ，n = o ，1 ，一+ 。+ n l 一。1 w h e r eo z ，p ，y ，a ，b ，ca n dt h ei n i t i a lc o n d i t i o n sz 一1 ，2 7 0a r ea r b i t r a r yn o n n e g a t i v er e a l n u m b e r s t h e yp r e s e n t e ds o m er e s u l t sa n dd e r i v es e v e r a ln e wo i l e so nt h eb o u n d e d n e s s ，t h e g l o b a ls t a b i l i t y ，a n dt h ep e r i o d i c i t yo fs o l u t i o n so ft h ea b o v ed i f f e r e n c ee q u a t i o n i t i sa n a m a z i n gf a c tt h a tt h ea b o v ed i f f e r e n c ee q u a t i o nc o n t a i n s ，a ss p e c i a lc a s e s ，al a r g en u m b e r o fe q u a t i o n sw h o s ed y n a m i c sh a v en o tb e e nt h o r o u g h l yu n d e r s t o o dy e t t h e yp o s es e v e r a l o p e np r o b l e m sa n de o n j e c t u r e s i nc h a p t e rt h r e ea n dc h a p t e rf o u r ，w ec o n f i r mo rp a r t i a l l yc o n f i r ms o m ec o n j e c t u r e si n f 1 1 ，n a m e l y , c o n j e c t u r e1 1 4 8 ，c o n j e c t u r e1 1 4 2a n dc o n 3 e c t u r e1 1 4 3 ! 坠垒兰塑圭兰兰堡窒三一 垒壅塞堡垒型丝塑垄兰2 h i g h e r - o r d e rn o n l i n e a rd i f f e r e n c ee q u a t i o n sa r eo fp a r a m o u n ti m p o r t a 丑c ei 丑a p p 】j l n a j o 丑s w h e r et h e ( n + 1 ) t hg e n e r a t i o no ft h es y s t e md e p e n d so nt h ep r e v i o u s k 只e n e r a t i o n s f o r 5 0 m e 。e c e n t 。譬u i t 8 a b o u th i g h e r o r d e rn o n l i n e a rd i f f e r e n c e e q u a t i o n sc o n c e r n i n g ，s e e ，f o r e x a m p l e ，r e f s 1 2 - 6 1 i nf 7 j ，e c h a t t e u e e ，e a g r o v e ，y k o s t r o va n dg l a d a sc o n s i d e r e d t h ed i r e c e e q u a t i o n =a+垡bx丛,+x,。-2tn+l n = o ，1 ， 。二= n 20 1 ， w h e r et h ep a r a m e t e r so ，7 ，a ，b 0 ，) w i t h ，y + a + b 0 ，a n dw h e r et h ei n i t i a l c o n d i t i o n sz 一2 ，z 一1 ，x 0 【o ，0 0 ) s u c ht h a tt h ed e n o m i n a t i o no ft h ed i f f e r e n c ee q u a t i o ni s n e v e rz e r o t h e ye s t a b l i s h e dt h ef o l l o w i n g ： 一 、 。( 1 ) e v e r ys o l u t i o no ft h ed i f f e r e n c ee q u a t i o nh a saf i n i t el i m i ti fa n do n l yi f ，y a 号翌8 n e r a l i z i n g t h ea b o v er e s u l t s ，i nc h a p t e r f i v e ，w ei n v e s t i g a t et h eh i g h e r - o r d e rn o n l i n e a rd l n e r e n c ee q u a t i o n s ： 钆t = _ o t + 再b l x 瓦n _ i 1 + 面b a x 云n _ 3 再+ _ + 研b 2 荪k + l a i ：n _ _ 2 k _ 1 ，扎= 。，1 ， t h er e s u l t sw h i c hw eo b t a i na l s oc o n f i r mt w o c o n j e c t u r e si n 1 i ，n a m e l y ： c o n j e c t u r e1 1 4 9 a s s u m et h a tp ，q 0 ，o o ) ( a ) s h o wt h a te v e r yp o s i t i v es o l u t i o no ft h ee q u a t i o n z 。+ l = x n - _ 1 + 万p ，n = 0 ，1 ，tn - 2 十口 。o o v e r g e st oap e r i o d t w os o l u t i o ni fa n do n l yi fq = 1 ， s h o w t h a tw h e nq 1t h ep o s i t i v ee q u i l i b r i u mo ft h ee q u a t i o ni s g l o b a l l ya s y m p t o t 一 ( c ) s h o wt h a tw h e nq o ，v 佗1 b yg e n e r a l i z i n gt h ea b o v et w or e s u l t s ，i nc h a p t e rs i x ，w ei n v e s t i g a t et h eh i * g h e r - o r d e r n o n l i n e a rd i f f e r e n c ee q u a t i o n s ： 圹型塑甍羟裹竽业塑，n o ，”一 w eb e l i e v et h a tt h er e s u l t sw h i c hw i l lb ep r e s e n ta r eo f p a r a m o u n ti m p o r t a n e ei nt h e i ro w n r i g h ta n df u r t h e r m o r ew eb e l i e v et h a tt h e s er e s u l t so f f e rp r o t o t y p e st o w a r d st h ed e v e l o p m e n t o ft h eb a s i ct h e o r yo ft h eg l o b a lb e h a v i o ro fs o l u t i o n so fn o n l i n e a rd i f f e r e n c ee q u a t i o n so f o r d e rg r e a t e rt h a no n e t h et e c h n i q u e sa n dr e s u l t sw h i c hw ed e v e l o pi nt h i sp a p e rt o u n d e r s t a n dt h ed y n a m i c so ft h et h r e ec l a s s e so fd i f f e r e n e ee q u a t i o n sa r ea l s oe x t r e m e l y u s e f u li na n a l y z i n gt h ee q u a t i o n si nt h em a t h e m a t i c a lm o d e l so fv a r i o u sb i o l o g i c a ls y s t e m s a n do t h e ra p p l i c a t i o n s 皇叁兰塑圭兰竺竺耋 垒耋堂皇垒型竺丝皇耋4 2 p r e l i m i n a r i e s i nt h i sc h a p t e r ，w er e v i e wt h eb a - s i cn o t i o n sa n dr e s u l t so ft h ed i f f e r e n c ee q u a t i o n sw h i c h w i l lb eu s e di nt h i st h e s i s t h r o u g h o u tt h i st h e s i s ，za n dnd e n o t et h ei n t e g e rs e ta n dt h en a t u r a ln u m b e rs e t r e s p e c t i v e l y l e t ，：j + 1 _ jb eac o n t i n u o u sf u n c t i o n ，w h e r e 老i sa n o n - n e g a t i v ei n t e g e ra n dj i s a ni n t e r v a lo fr e a ln u m b e r sc o n s i d e rt h ed i f f e r e n c ee q u a t i o n y n + l = f ( y n ，y n 一1 ，y n 一) ，n = 0 ，1 ， ( 2 1 ) w i t hi n i t i a lc o n d i t i o n s 拈，拈i + l ，y 0 z i ti sc l e a rt h a ti f w ea r eg i v e n ( k + 1 ) i n i t i a lv a l u e sy - 女，y t 十l ，y 0 正w em a y g e n e r a t e t h ee n t i r es o l u t i o ns e q u e n c e 鲰，n 兰1 ，i e u - k 一i sas o l u t i o no fe q ( 2 i ) a s 七+ 1 i n i t i a lc o n d i t i o n sa r er e q u i r e dt od e t e r m i n ea s o l u t i o nt oe q ( 2 1 ) ，w es a yt h a ti th a sd e g r e e d e f i n i t i o n2 1 t h et r i v i a ls o l u t i o n 吖e q ( 2 1 ) ，a l s ok n o w n t h ee q u i l i b r i u mp o i n t a n dd e n o t e db y 雪，妇旃8s o l u t i o n t o r w h i c hy n = 雪f o ra l l n 2 一k c l e a r l y , t h ev a l u eo f 口i sf o u n dt ob et h er o o to ft h ef o l l o w i n ge q u a t i o n f ( y ，雪，口) = 雪 d e f i n i t i o n2 2d 俐as o l u t i o n ) 墨一o f e q ( 2 1 ) i ss a i dt ob ep e r i o dw i t hp e r i o dp 玎 y n + p = y n l o ra l l 仃一七 俐as o l u t i o n 饥) 甚一ko fe q ( 2 1 i ss a i dt ob ep e r i o dw i t hp r i m ep e r i o d p ，。rbp - c y c l e i ，i t 妇p e r i o d i cw i t hpa n dpi sf el e a s tp o s i t i v ei n t e g e rf o r 弧+ p 三i o ra l ln 一kh o l d s d e f i n i t i o n2 3 脚as o l u t w n ) 筢一ko fe q ( 2 1 ) i ss a i dt ob eb o u n d e da n d p e r s i s t si ， t h e r ee x i s tp o s i t i v ec o n s t a n t s 尸a n dqs u c ht h a tp y n 印o r a l l 铊一k w en o w i m p o s et h ef u r t h e rr e s t r i c t i o nt h a tt h ef u n c t i o nf ( u o ，札1 ，钆k ) b ec o n t i n u o u s l y d 1 行e r e n t i a b l e t h eh n e a r i z e de q u a t i o no fe q ( 2 1 ) a b o u tt h ee q u i l i b r i u m p o i n t 雪i st h el i n e a rd i f f e r e n c e e q u a t i o n z n d - 12o o 磊+ a u g 一l + + 毗z j 一 ，n = 0 ，1 ， ( 2 2 ) w h e r ef o re a c hi = 0 ，1 ，k 啦= 差 弘蕊 塞里叁兰塑圭兰竺篁圭垒叁耋堡垒型竺塑垄兰5 t h ec h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o no fe q ( 2 2 ) i st h ee q u a t i o n a + 1 一a o a 一a l a 一1 一一a k - 1 a a t = 0 d e f i n i t i o n2 4 埘l e t 口b ea ne q u i h b r i u mp o i n to fe q ( 2 1 ) r 矽雪i sc a l l e dl o c a l l ys t a b l ei f , y o re v e r ye 0 ，t h e r ee x i s t s6 0 s u c ht h a t 玎v k ，可 y - 1 y o t ，a n d l y , 一引 t t h e n l 一可i 0 s u c ht h a t 矿暑，一膏，掣一七+ 1 ，：k l ，珈ja n d t h e n l i m = 雪 和，雪i sc a l l e dag l o b a la t t r a c t o ri f , 1 0 re v e r yy - i ，弘+ 1 ，可一l ，y o j ；t 口eh a v e l i m 鲰= 雪 n + o o ( d ) 露i sc a l l e dg l o b a l l ya s y m p t o t i c a l l ys t a b l et li ti sl o c a l l ys t a b l ea n dag l o b a la t t r a c t o r 俐雪i sc a l l e dh y p e r b o l i c 玎n or o o to fe q ( 2 3 ) h a sm o d u l u se q u a lt oo n e o t h e r w i s ei ti s c a l l e dn o n h y p e r b o l i c ( 1 ) 舀i sc a l l e du n s t a b l ei yi ti sn o ts t a b l e g ) 自i sc a l l e das a d d l ep o i n ti fi ti sh y p e r b o l i c ja n d 讯a d d i t i o n 。t h e r ee z i s t sar o o to f e g ( 2 3 ) w i t ha b s o l u t ev a l u el e s st h a n0 7 2 8a n da n o t h e rr o o to fe q ( 2 3 ) w i t ha b s o l u t ev a l u e g r e a t e rt h a no n e d e f i n i t i o n2 5 as e q u e n c e y n ) 忍一ki s 蚴dt oo s c i l l a t ea b o u tz e r oo rs z m p l yt oo s c d l a t e 矿t h et e r m s9 na r en e i t h e re v e n t u a l l ya l lp o s i t w en o re v e n t u a l l ya l ln e g a t i v e o t h e r w i s et h e s e q u e n c ei sc a l l e dn o n o s c i l l a t o r y d e f i n i t i o n2 辱as e q u e n c e 鲰) 甚一 i ss a i dt os t r i c t l yo s c i l l a t o r y 厂，d re v e r yn o 0 ， t h e r ee x i s t n l ，n 2 n os u c ht h a t 铷1 2 0 7 一可 一 挑 。一 望查兰丝圭篓丝篁圭垒耋翼皇童型墼竺窒兰6 d e f i n i t i o n2 7 埘as e q u e n c e ) 。0 0 ：一ki ss a i dt oo s c i l l a t ea b o u t 雪矿t h es e q u e n c e 一 口 墨一女o s c i l l a t e s d e f i n i t i o n2 8 脚as e q u e n c e ) 器一 sc a l l e ds t r i c t l yo s c i l l a t ea b o u t 雪i ft h es e q u e n c e 一雷) 墨一ki ss t r i c t l yo s c i l l a t o r y t h ef o l l o w i n gr e s u l ti su s e f u li nd e t e r m i n i n gt h el o c a ls t a b i l i t yc h a r a c t e ro f t h ee q u i l i b r i u m p o i n t 雪o fe q ( 2 1 ) t h e o r e m2 1 【1 j 口h el i n e a r i z e ds t a b i l i t yt h e o r e m ) 以j 可e v e r yr o o to fe q ( 2 3 ) h a sa b s o l u t ev a l u el e s st h a nd n 岛t h e n 如ee q u i l i b r i u mp o i n t 雪e q ( 2 1 ) i sl o c a l l ya s y m p t o t i c a l l ys t a b l e 1 2 ) i fa tl e a s to n eo ft h er o o t