（基础数学专业论文）发展的ginzburglandau方程的一些奇性极限.pdf

摘要 这篇文章给出关于发展的色散g i n z b u r 9 一l a n d a u 方程一些结果这些方程 是b 细u e l ，b r e z i s 和h 6 l e i n 4 在1 9 9 4 年写得文章中的静止状态这篇文章考虑了 部分耗散的情况另外，给出了一个确切的”半古典”极限根据所考虑的尺度变化 相应得到了拉普拉斯方程，热方程以及波动方程作为极限方程还用时间离散化方 法证明了弱解的存在性 关键词：奇性极限，发展的g i n z b u r g l a n d a u 方程，弱解，存在性 a bs t r a c t w e 舀v es o m ep a r t i a lr e s u l t sr e g a r d i n g t oe v o l u t i o n a r yd i s p e r s i v eg i n z b u r g 。 l a n d a ue q u a t i o n sa s s o c i a t e dw i t ht h es t a t i cc a s ec o n s i d e r e di nb 6 t h u e l ，b r e z i s a n dh a l e i n 【4 】w et r e a tt h ep a r t i a u yd i s s i p a t i v ec a s e m o r e o v e rw ep e r f o r ma n e x a c t “s e m i - c l a s s i c a l “l i m i t w eo b t a i na l t e r n a t i v e l yt h el a p l a c e 。h e a ta n dw a v e e q u a t i o n sa sl i m i te q u a t i o n ，d e p e n d i n go n t h es c a l i n gt h a tw ec o n s i d e r w ea l s o s o l v et h ee x i s t e n c eo fw e a ks o l u t i o n sb yt h ed i s c r e t e t i m em e t h o d k e yw o r d s ：s i n g u l a rl i m i t s ；e v o l u t i o n a r yg i n z b u r g 。l a n d a ue q u a t i o n s ；w e a k s o 。 l u t i o n ；e x i s t e n c e 致谢 本文自始至终是在雷雨田教授的殷切关怀和悉心指导下完成的，倾注了导师大 量的心血导师渊博的专业知识，严谨的治学态度，精益求精的工作作风，诲人不倦 的高尚师德，严于律己，宽以待人的崇高风范，朴实无华，平易近人的人格魅力对我 影响深远不仅使我掌握了基本的研究方法，树立了远大的学术目标，还使我明白了 许多待人接物和为人处世的道理导师富有创造性的见解以及具体的建议，为作者 确定了整个课题的方向在此，谨向导师表示崇高的敬意和衷心的感谢! 感谢高洪俊教授，张吉慧教授，杨作东教授等各位基础课老师在教学期间给予 的支持和帮助! 感谢单春燕，莫晶，岳倩钰，何艳伟等同学在三年的学习和生活中给予的关心和 帮助! 感谢我的父母和哥哥，弟弟，以及我的男朋友，他们无私的关怀是我努力进取的 动力，使我永远不会感觉孤单和疲倦! 在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成， 有多少可敬的师长，同学，朋友给了我帮助，在这里请接受我诚挚的谢意! 最后衷心感谢对我硕士论文进行评审的各位专家教授，感谢对论文的指导和提 出的宝贵意见! 张健 江苏南京 2 0 1 0 年3 月 第1 章引言及陈述结果 在【4 】中，b t h u e l ，b r e z i s 和h 6 l e m 研究了当e _ 0 嬲j v 砰+ 击z ( 1 刊i2 ) 2 ) ( 1 ，) 的极小元的极限行为，其中q 是砰上的单连通有界区域，g ：a q 呻c 是在a q 上几乎 处处使得i 夕| = 1 的映射且珥= u 日1 ( q ，c ) ，u = g 在a q 上) ( 1 1 ) 的极小元满 足方程 a u e - - - u e 半 ( 1 2 ) 他们对极小元的行为给出了完整的描述这些结果依赖于9 的拓扑度即d = d e g ( 9 ，a q ) 若d = 0 ，对于每一个q 1 ，在g 1 ，口( 丽) 内，有_ u o ，其中缸。是从q 到s 1 在p q 上使得“o = g 的唯一调和映射更确切地，令u o = e ，有 4 。 圣。2 o 在q 内， ( 1 3 ) p 锄= g 在a q 上 在d 0 的情况下，把无限能量的极限叫做g 比b u r g l a n d a u 涡旋 在l i n 【6 】中研究了( 1 2 ) 的热流方程 = 矿+ 壶( 1 一l u 引2 i ) 矿 ( 1 4 ) 因而在一定的条件下可以证明下面的结果 定理【3 】如果初始值乱5 收敛到兀名。苦岛e h ( 剖，则( 1 4 ) 的解矿( z ，亡) 在空间l 乙( 豆 r + ) 内强收敛到 兀名。蕾南e 讯。础，在空间砚( 豆一 6 ，6 d ) r + ) 内弱收敛到兀墨。毒尚e 蛔( 引) ，其中( z ，t ) 满足 瓮= 龇，在q 6 1 7 一，6 d ) r + 内 1 第1 章引言及陈述结果 2 另一方面，对于( 1 4 ) 我们也有一个结果： 内容为： 圭让；= 矿+ 1 ( 1 一妒1 2 ) u e ， ( 1 5 ) 定理【3 ，】假设跣m 一。毒苒= 0 ，且当e 一0 ，入c _ o o 则对于( 1 5 ) 的解魄在 空间l 乙( 西r + ) 内收敛到n 名1 旦i x - 丑b l e 讷引，其中在q 上 ( z ) = 0 ，在a q 内危( z ) = o ( z ) 本文的目的是研究当g 一0 时的方程： 仨iua+采aue琵=蓍1u 叫们卟? 丸6 ， 溉蓍斤哪也| 2 ) 札7 ， u 。= 一虿1 i 1 2 ( 1 一i t 上。1 2 ) + 孬1 u 。( 1 一i 1 2 ) 2 这一稳态方程是如下泛函的极小元所满足的e u l e r _ l a 铲a n g e 方程( 参见文献【2 】) ： 脚) = 互1zi v 砰+ 击肌2 ( 1w ) 2 一方面，它具有鲜明的物理背景，在超导，超流等相变理论的研究【4 ，2 3 ，2 4 1 中e 着重 要的作用例如：g i n z b u r g l a n d a u 理论很好的描述了i i 类超导体的电磁行为，人 们根据这个理论预言并验证存在磁通线另一方面，它又具有几何背景，特别是它与 第1 章引言及陈述结果 3 调和映射的研究【1 1 】密切相关现在，该模型在几何，拓扑等多个数学领域都有很深 的研究 本篇文章仅考虑下面的情形：在a q 上，l g i = 1 ，a e ；在q 上，m = 1 ，a e ，假定 有相容性条件：在o g _ l ，讥= g 显然所有这些条件暗示了 d e g ( g ，a q ) = 0 对于( 1 6 ) ，( 1 7 ) 进行变化，能够得到不同的极限方程 i ) 拉普拉斯方程： 一a u = u i v u i 2 i u i = 1 a e ， u i 鲫= g i i ) 热方程： 万a 而饥一u = 仳i v u i 2 ， i 乱| = 1 口e ， u l o n = g ， 及 i i i ) 波动方程： 乱( z ，0 ) = 妒( z ) 饥。一- n , - - 一 t , ( m 2 一三l v u i 2 ) ， i u i = l a e ， u o n = g ， 乱( z ，0 ) = 矽( z ) ， u t ( x ，0 ) = 0 u 优2 a u = 一, 4 1 u t l 2 2 i v u l 2 ) ， 第1 章引言及陈述结果 4 u l = 1a e ， u l a a2 夕， u ( z ，0 ) = 妒( z ) ， u t ( z ，0 ) = 0 确切地说，本篇文章是这样安排的：在第2 章中，证明以下结果 命题2 1 对任何妒h 2 ( q ) ，( 2 1 ) 存在全局解u 。使得 地c ( r 十，h 2 ) nc 1 ( 时，l 2 ) 另外，魄满足( 2 2 ) 命题2 2 假设在空间l 2 ( ( o ，t ) xq ) 内，当e o 时，魄强收敛n u ，则有u ( z ，t ) = u 0 ( z ) ，其中咖( z ) 为( 1 3 ) 所定义的调和映射 命题2 3 如果初始值矽恒等于调和映射u o ( 由( 1 3 ) 定义) ，则在空间口( o ，t ；h 1 ( q ) ) 内，对任意p ( 3 0 及t o 收敛到某个极 限u ( z ，t ) ，n u ( x ，t ) 不依赖于亡县p u ( x ，t ) 兰u o ，其中u o 表示由( 1 。3 ) 所定义的从q n s l 的唯一调和映射，即 一铷= u o l v u o l 2 ， i u o i = 1 a e ， 乱o i o n = 夕 此外，如果魄的初始值妒等于u o ，则有对任意的p ( 3 0 及t 0 ，b 不依赖于g ，对于( 3 1 ) 的解u 。满足：- u 在空 n c ( o ，zl 2 ) 中强收敛，u 。_ u 在空间己o o ( o ，t ，h 1 ) 中弱收敛，其中极限u 是方 程 云研a 札t 一仳= u i v u l 2 | u i = l a e , u ( o ) = 砂 的解 定理3 1 假设o ( s ) _ 0 但是踏_ 0 ，则在空间p ( o ，t ，h 1 ) 中，对任意的p o 。，t 0 ，b 为常数，则一u 在空n c ( o ，r ；l 2 ) 内强收敛，在空间l ( o ，t ；h 1 ) 内弱收敛，其中u 是调和映射热流方程的解： 口 一u ：钆l v 乱1 2 ， a g + b 2 u t 一u2 钆lv 乱l 。 l u i = l o e ， u l o a = g ， u = 0 ) = 矽( z ) 另一方面，若格一0 ，但是踏_ 0 ，则有对任意的p o 。及丁 o 。，札e ( z ，t ) 一咖 在驴( 0 ，t ；h 1 ( q ) ) 内强收敛 在第4 章中，对地关于时间作尺度变化： ：= ( z ，矾) ， 第1 章引言及陈述结果 6 容易验证满足： 钯。+ e 2 = 一丢( 1 一i i ) i i 魄+ 互1 ( 1 一i 1 ) 2 ， 和 话t + 9 2 = 一( 1 一i 1 2 ) i v 。1 2 + 去魄( 1 一j 仇j 2 ) 2 ， 同时得到( 定理4 1 和4 2 ) 定理4 1 函数v 。在空n c ( o ，t ；l 2 ) 内强收敛到u ，在空i l l o o ( 0 ，t ；h 1 ) 内弱收敛 到u ，其中v 是调和映射波动方程的解： 一；u = - v ( i v t l 2 一 i v v l 2 ) ， m = 1a e ， v l a a = g ， v ( x ，0 ) = 妒( z ) ， v t ( x ，0 ) = 0 定理4 2 函数在空间c ( o ，t ；l 2 ) 内强收敛到口，在空间l o o ( o ，t ；h 1 ) 内弱收敛到u ， 其中u 是调和映射波动方程的解： 仇t 一2 a v = 一v ( i v t l 2 2 1 v v l 2 ) ， i v i = 1 a , e ， v l o n = g ， v ( x ，0 ) = 矽( z ) ， v t ( x ，0 ) = 0 在这个情形下，同时给出了渐近扩展的一个形式计算 在第5 章中，用离散化方法得n t 弱解的存在性( 参见命题5 1 和5 2 ) 命题5 1 对任意的矽h 1 ，( 5 1 ) 存在弱解魄 命题5 2 对任意的妒h 1 ，( 5 8 ) 存在弱解 第2 章色散情形下的部分结果 在本节中，考虑 磊1 。u 。l u 。i ( 1 一i u i ) + 2 - 蠹2 u e ( 1 一i u 。i ) 2 ， 在a q 上，( 2 1 ) 在q 内， 其中d e g ( g ，a q ) = 0 ，矽h 2 ( q ) ( 2 1 ) 在c ( o ，t ，h 2 】) 中的任意解满足 z 学+掣= 丢上i v 卯 ( 2 2 ) 首先有 命题2 1 对任何矽h 2 ( q ) ，( 2 1 ) 存在全局解u 。使得 u 。c ( x + ，h 2 ) n c l ( r + ，l 2 ) 另外，魄满足( 2 2 ) 证明：这个结果可以由b r e z i s - g a l l o u e t 【5 】的方法得到 注意到在证明存在性结果时估计( 2 2 ) 是非常重要的另一方面，( 2 2 ) 是对这一 问题所知道的唯一的结果所以这就是为什么要限制d e 夕( 夕，a q ) = 0 考虑极限行为，有： 命题2 2 假设在空间l 2 ( ( o ，t ) q ) 内，当s o 时，u 。强收敛到u ，则有u ( z ，t ) = u 0 ( z ) ，其中珏o ( z ) 为( 1 3 ) 所定义的调和映射 证明：( 2 1 ) 等价于 击( 1 一m ) 2 ) ， ( 2 3 ) 、l， p j 一 萨从妒 u l l = 缸 卜归 d 纯 m 7 一 e b ) 肛眦 呐 州在在 一| 船 ， + 动“矽 厶 i l l l 钛力 i j 巧 孔n “ u u u 第2 章色散情形下的部分结果 8 用砺t 采以3 ) ， 。一u e t = z ( u 。薅+ 虿1 “出水1 一i 叫) 瓦一刍( 1 一l u , i ) 2 砑) ， 然后积分： 上i 让“1 2 d x = iz ( 她砑+ 击讪水1 卟1 ) 硒一西1u 舡一i u 印2 瓦t i a ) d x 取虚部得到 旦d t ( 一fi w , l ：一掣) 一o ， 上面等式也等价于： 磊d ( 上学+ 掣) 一o 对时间进行积分，从而有： 上学+ 掣= 三z l v 卯 根据上面的等式，有： 上掣舛k 1 2 ( 1 一ii ) 2 4 畔 令_ 0 ，然后取极限，有r u i = 0 ，i uj = 1 ，根据古典变分原理，以) f 1 d e g ( g ，a q ) = 0 和 连续性，得到i u i = 1 a e 用砺乘( 2 3 ) ， 。砭= ( 瓦+ 孬1 乱。l 缸。l ( 1 一i u 。i ) 瓦一面1 “。( 1 一i u 。i ) 2 丐) ， 取实部，有： 兰掣：一，m(l顷)2 一一= 一，7 了z i 、t t i 疣 弋一1 1 厂 由于u 。在空间l ( r + ，h 1 ) 内有界，可以在此空间内取一列子列，从而有 i r a ( a u ，瓦) ji r a ( 说1 在d 7 上， 第2 章色散情形下的部分结果9 丢掣j o 在d ，上 融陬1 2 7 ， 第2 章色散情形下的部分结果 1 0 收敛最后，注意到因为u 。在空间l ( r ，h 1 ) 内有界，在空间日1 中，( t ) 一 u 0 ， 所以，f i 让。( 丁) 一u o ( t ) 怕- _ 0a e t 【0 ，】，进而知在l 1 【o ，r 】上，| i 地( t ) 一 u o ( t ) 恼- c ，即在己1 o ，h 1 】上，有u 。( t ) _ u 0 ，即层厶i 缸。t1 2 d x d t c ，再由抛物嵌入定理就得到所得的结果即对任意p o 。和t o ，b 不依赖于g ，对于( 3 1 ) 的解u 。满足：u 。_ 乱在空 1 日- c ( o ，t ，l 2 ) 中强收敛，u 。_ u 在空间三o o ( o ，l 日1 ) 中弱收敛，其中极限u 是方 程 n 2 + 6 2 u t 一u = u l v u l 2 ， = l a e ，u ( o ) = 妒 的解 证明：类似命题( 3 1 ) ，首先计算能量估计用砑乘以( 3 2 ) ： u “2 = ( 。+ 跣) ( 砑+ 虿1 “。i i ( 1 一i u 。i ) 瓦一孬1 u e ( 1 一i u 。1 ) 2 函) ， 在q 上积分， l u e t 2 = ( a + b ) ( l 她瓦+ 胁k m 斗舶砑去”k 炉 取( 3 6 ) 的实部，得到： 上乱乞- - b l m ( 上( 觚硒+ 上萨1 i u e i( 1 - m ) 瓦一孬1u 印一i u 2 司 一口爰( 上掣+ 上掣) ， 第3 章耗散情形 1 4 。= 口，m ( 上( u 。砑+ z 虿1u 。i 蚓( 1 一m ) 瓦一孬1 “印一k 1 ) 2 司 呜d ( 上i v 芋i 2 - + 上掣) ， 对上面两个等式进行线性计算得： 口加1 2 + ( 。2 州2 磊d ( z 学+ 上掣) 一o 志z r 似+ 上 即 南z t 上u 乞+ 上 螋= 丢zi v 卯+ 上学， 学+ z 掣 对( 3 2 ) 也计算形如( 2 4 ) 的等价形式用砺乘以( 3 2 ) ，得到： = 三上i v 卯 ( 3 7 ) 地。巧= ( 。+ b 0 ( a u 。砺+ 刍l u e l 3 ( 1 一i u 。i ) 一孬1 蚶i ( 1 一i 魄| ) 2 ) ( 3 8 ) 取( 3 8 ) 的实部： 墨譬= 。冗e ( 札。瓦+ 虿1k 1 3 ( 1 一i 让钔一刍l | 2 ( 1 一i | ) 2 ) 一b l m ( a 砭) ( 3 9 ) 再取( 3 8 ) 的虚部： i m ( 魄t 面) = b r e ( 砑+ 孬1 i u 。1 3 ( 1 一 对( 3 9 ) 和( 3 1 0 ) 进行线性计算 南爰堂2 = 州口2 + 6 2 况 弋 缸。1 ) 一刍i u 。1 2 ( 1 一i i ) 2 ) + 。i m ( a u 。砺) ， ( 3 1 0 ) 口2 + 6 2 砒“一面u 。) ( 3 1 1 ) f l 了( 3 7 ) ，在空 f i - j l ( r ，日1 ) 中有界，t 在空间l 2 ( ( o ，t ) q ) 中也是有界的由古 典紧性结果，得魄_ “在空间c ( o ，正l 2 ) 强收敛和在空间l o o ( o ，t ，h 1 ) 弱收敛另外， f l 了( 3 7 ) ，知道i u i = 1 , a e 从而可以对( 3 1 1 ) 取极限，有： i m ( 口2 + 6 2 砜一瓦u ) = 0 掣 厂，地学 第3 章耗散情形 1 5 所以， 0 2 + 6 2 其中入是实数由于a ( 1 u t 2 ) = 0 ，有， 由孺a瓦0i u l 2 = o ，得到： 通过线性计算： 因此， 一2 1 v u l 2 + ( 再用i t 乘以上式， 得证 口 一l t u t 一瓦u = 入， 2 1 w 1 2 + 倔+ u 瓦= 0 ， 0 2 + 6 2 0 2 + 6 2 n 2 + 6 2 ( 让愿+ u 砺) = 0 ， 讹t 一面u ) + ( v 训2 = 面( 0 2 + 6 2 0 2 + 6 2 矶一乱瓦) = 0 ， u t 一u ) ， 饥一u = u l v , 卫1 2 ， i u i = 1 a e 注意：若令u = e 坩，则目满足： 口2 + 6 2翌一a o ：0 况 因此：一叭o 。h _ 一o o 及氏= 0 所以，u _ 咖恒为调和映射所以有： 定理3 1 假设。( e ) 一0 但是特一0 ，则在空间驴( o ，t ，h 1 ) 中，对任意的p 0 0 ，t 。o ，有 证明：把魄写为： “。( z ，t ) 一u o ( x ) 嘶：吨鼎啦 第3 章耗散情形 1 6 所以 t 肭2 d x d t = 群z 瓣加驯2 妣 等式( 3 7 ) 变为： z t 上i t ( z 1 2 出出+ 上三i v 1 2 + 丝学= 三上i v 妒1 2 因此在空间l ( r + ，h 1 ) 中有界，v e t 在空间l 2 ( ( o ，t ) q ) 中有界所以存在子列 使得以下收敛成立： j 秽 在空间 l o 。( r + ，h 1 ) 内弱收敛， tj 仇在空间l 2 ( r + ，l 2 )内弱收敛， _ 在空间c ( ( o ，t ) ，l 2 )内强收敛， 和川= 1 a e 另( 3 1 1 ) 可以写为， 筹岳譬一c 砜一瓦酬 而 6 ( e ) ai 1 26 ( ) 0 ：= = 一一 o ( ) o t 2 2 a ( e ) o t 1 2 1 由于性竽在空间l 2 ( ( o ，t ) q ) 中有界，以及上面的收敛性，有 所以v 满足： 从而v 是 的解另外， 6 ( ) sa 2 a ( e 1 况 1 2 10 在日_ 1 ( ( 0 ，t ) q ) 内， i m ( o g e v e t 一砺) = 0 ，= 1 a e v t a v = u i v 口1 2 i i v i = 1 当t o o 时， ( 亡) _ u o 在h 1 上强收敛 ( 3 1 2 ) 回到u 。，有 群o j 0 2 1j 厂f lo ( e ) 2 + 6 ( ) 2蚝1 2 d x d t + ( 口v 计+ 掣 另一方面，由能量估计( 3 1 2 ) 得 z t i u t l 2 d x d t + 互1i v u l 2 ( t ) = 互1 丘i v 矽1 2 对( 3 1 3 ) 左边的第一项，用代替u 。再由( 3 1 4 ) ，从而得到 l l ： 其中层( u ；) = 厶 i r a q i 2 + 程就变为 l t 固定实数a i v e t i ，0 f 2 令e 趋于0 ， o t 1 2 d x d t + e e ( u e ) ( t ) = 互1 上i v 卯 ( 3 1 3 ) 加跳+ 伽1 砰一上学上 ( 3 1 4 ) i v t1 2 d x d t ， 丝掣对 在口，塑坐架产丑】中用能量估计，上面方 t 1 2 d x d t + e ( 地) ( t ) ：z 学肭2 础+ 伽1 砰( 学) 和e 使得盟坐猿笋丑a 等式变为： z d z d 亡+ 忍( u 。) ( t ) o 上l 。1 2 如d 亡+ 上三i v u l 2 ( 三! 铲) 有： 上i 仇1 2 出出+ 。l i m 。s u p e 。( 魄) ( t - 0 0 。上i 仇1 2 如出+ 上三l v u 。1 2 由于在空间l 2 ( o ，a ，l 2 ) 中，当e _ 0 ，v e tj 仇，以及，当亡一o o ，v ( x ，t ) 一u o ( z ) 在空 间日1 中强收敛让a 趋于无穷： 。l i 。m 。s 卸忍( u 以t ) z 三i v 札。1 2 第3 章耗散情形 1 8 对固定的时间乃( t ) _ u o 在空间日1 中强收敛，所以整个子列收敛由于在空 间日1 中，( t ) _ u o ，所以，i iu e ( t ) 一l , 0 口) i i 1 0 o e t o ，】，进而知， 在空间l 1 o ，】上，i i ( t ) 一u o ( t ) i i - c ，因此，在l 1 o ，h 1 】上，( t ) _ 咖， 即f 厶lu “1 2d x d t c ，再由抛物嵌入定理就得到所得的结果 注：对于系统( 1 7 ) ，我们可以用类似的方法得到上述结论 第4 章半古典极限 在本章中，我们回到原始系统( 2 1 ) 对钍e 关于时间进行尺度变化： 函数满足， ( z ，t ) = 地( z ，酎) 知十= 一去( 1 一z 上面的式子等价于： 1 1 + 西1 ( 1 l 魄1 ) 2 仇， i s 仇。+ 2 + 互1 ( 1 一i v , i ) l u , l v , 一三( 1 一i v , i ) 2 = o ( 4 1 ) 得到的结果是 定理4 1v e 一口在空间三( 取+ ，日1 ) 弱收敛，在空间c ( o ，t ，l 2 ) 强收敛，其中 满足： 仇。一a v = - v ( i 仇1 2 一去i v 1 2 ) ，i 口i = 1 ，a e ， v ( t = 0 ) = 妒， 或等价地，当v = e 徊，有 即 证明：用砺乘( 4 1 ) ， v t ( t = 0 ) = 0 ， 钆一x o = 0 t s 。丐+ 2 魄砺+ 互1 ( 1 一1 i ) i i 丐一三( 1 一i v 。1 ) 2 瓦= o ， 魄。砺+ 2 a v o n + 三( 1 一i v , i ) l v 。1 3 一丢( 1 一i v 。1 ) 2 m 2 _ o 1 9 第4 章半古典极限 2 0 取虚部，得到 等价地， 将( 4 1 ) 用砸乘，得： r e ( e v 。丐) + i m ( e 2 巧) = 0 ， r e ( 三。砺) + ，m ( 丐) = o ， 一爰( 1 一2 ) + 2 i m ( a v e 瓦) = 0 话。诟+ 2 k v 赢a + 1 ( 1 一i i ) 1 1 晤一主( 1 一i | ) 2 瓦= o ， 在q 上积分： 诡kk “2 + e 2 上舰砑+ 三上( 1 一 取实部，然后对时间积分，有： i i ) i 1 晤一三( 1 i 1 ) 2 v 。砑= 0 ， ( 4 2 ) fl v 叫2 + 掣= f l v 卯， 所以u 。在空间l o o ( r + ，h 1 ) 中有界，在空间l 2 ( r + ，h _ 1 ) 中有界, - - d a 析取子列，使 得j 在空间l o o ( r + ，h 1 ) 中弱收敛和一口在空间c ( o ，t ，l 2 ) 中强收敛另一 方面，由( 4 2 ) 得： 三二兰上：2 厂j m ( 瓦) ( 丁) d r ( 4 3 ) l 掣在空间l ( o ，正l 2 ) 中有界，所以它弱收敛到某个函数u ，由( 4 3 ) ， 1 一1 j 。j m ( 可u ) ( 丁) 打在回7 上， 因此，u = 露i m ( 可a v ) ( r ) d r 所以，在( 4 1 ) 式中，让s 趋于o ，得到： 讹+ ：1 o 。，m ( 可u ) ( 丁) d 丁= 。， 及u ( 亡= 0 ) = 妒，v t ( t = 0 ) = 0 和川= 1 令u = e 胡得： 仇= e i o i o t ， ( 4 4 ) 所以， 即 可= e 一谚， u = 一e i 0j v 口1 2 + e i p i a o ， t e 徊t 目。+ 三e 徊z 。，钉亿( e i p ( 一e t 9 i v 伊 2 + e i o i a o ) ) ( 丁) d 丁= 。， 。吼+ o 。州一i v 卯+ 脚) ( 丁) d 丁= 。， 一仇+ 三z 。，仇( z 口) ) d r = 。， 一a 0 = 0 根据最后一个等式， 扩一互1 z e i 0 a o = o ， 一e 徊 o t l 2 + i e i p 口托一丢i p p + 去e i 日l v o l 2 = _ d o l o t l 2 + 丢e 钼i v p l 2 ， 从而， 得证 一去a v = - v ( i 仇1 2 一i v u l 2 ) = 1 ，a e ， 类似地，对于( 1 7 ) ，可以得到定理4 2 ： 定理4 2 仇一口在空间l o o ( r + ，日1 ) 中弱收敛，且在空间c ( o ，zl 2 ) 中强收敛， 其中秒满足： 口抛一2 a v = 一v ( i v t l 2 2 1 v v l 2 ) ，l i = 1 ，a e ， 或等价地v = e i o 有 v ( t = 0 ) = 妒， v t ( t = 0 ) = 0 ， 0 “一2 a 0 = 0 证明：可以由定理4 1 的证明方法得到 第4 章半古典极限 下面形式得得到的渐近扩展即： 命题4 1 令= u + 剐+ 2 0 2 2 + ，则u 在形式上满足： 和u = i r a ( w e ) 满足 即 r e ( w e ) = - 2 0 t 钍圹三u = 一4 钆巩，u ( 亡= o ) = o ， 饥( 亡= 0 ) = 一i v 矽1 2 证明：在( 4 1 ) 式中，用的形式扩展，并f h ( 4 4 ) ，以及g 的1 次项，有 w t + a v + 互1 uz 。驯印) x j d t ( 2 l u i w 州可) = j d t ( 2 | u i 一1 ) + 互1 uf o ti m ( j 可) 巧打( 2 m 一1 ) + _ 1 ) + 三掣( 2 | u i _ 1 ) _ 0 i 恍+ u + j l f o rj m ( 巧) 巧d 丁+ 互1 j ( o ti m ( ，可) 幻打+ 互1 uz 。，m ( ，西) 巧d 丁= 。 注意到jf oi m ( v = 乒) 巧d t = 仇用可乘以( 4 5 ) ，得 ( 4 5 ) w t e + a v 可+ 互1z 。，r r t ( v z j 面) z j d t - - 互1z t ，m ( 可) 巧d 丁+ u 硼t = 。( 4 6 ) 另一方面由矾= 一i o t - ，所以( 4 6 ) 变为： 洳西) t + a v e + 互1 t 州矾，打+ j lf o t 驯u 捌扣= 。( 4 7 ) 首先取( 4 7 ) 的虚部： 因此， r e ( u e ) t = - i m ( a v 西) = 一a o = - 2 0 f t r e ( u e ) = - 2 0 t ，( 4 8 ) 第4 章半古典极限 2 3 因为u ( t = 0 ) = 0 ，所以 取( 4 7 ) 的实部： 一驯t + r e ( 删+ 互1z 。州乱砂+ i 1 o t 州可) 扣，0 由于o = m 2 = 2 r e ( a v 可) 十2 i v u l 2 ；( 4 9 ) 变为： ，m ( u 可) 。；l v u i 。一：lf o r ，m ( 口z ，巧) 巧打三z ，m ( 可) 2 j 打= 。 令礼= i m ( w 可) 关于时间t 对上述方程进行微分： 由 再由 所以， ( 4 9 ) u 一( i v 呐i 。一主，m ( 万) 巧一互1 ，仇( u 捌巧= o ， ( 4 1 0 ) 一三，m ( u 巧万) 巧一三，仇( 哳可) 巧 ( 巧万) ( 埘巧) ( 钉巧巧万) 一三，m ( 呦巧西) ， j m ( j 可巧) j m ( ) ) 一a i m ( u 可) + j m ( u x j v + 三j m ( u 巧) 一百1j m ( v x j x j 巧) = 一互1 ，m ( u 巧巧可) 一 去m ( u 巧) 一，m ( 哟) + ，仇( 哟) + 三，仇( 喁巧) 一互1 ，m ( v x j x j w ) 一丢，m ( 劫一三，仇( 巧) 一三，m ( 乃) 巧三i m ( w x 歹砒 z m ( u 可) + i m ( u 列砀) + 去m ( u z j ) 一丢，m ( u 删万) u + ，m ( 巧砚j ) + ，m ( u 砀巧) 扣 尹 埘 切师如 ， 口 矾 m 、， 一= 、 力 声 瓦 ：霎 j，勺一酬 m m m r上r上r上 1 2 1 2 1 2 一 一 一 1 2 1 2 一 一 第4 章半古典极限 2 4 综上面，( 4 1 0 ) 变为： 毗t + ( i v u l 2 ) t 一虿1 u + ，m ( 呦) + ，m ( u 。j ) = 0 饥。一丢u = 一( 1 v u l 2 ) 。一，m ( ) 一i r a ( u z j ) = 一i m ( u 可) ， 一i m ( w a 可) = 一j m p ( 一e 一胡i v o 24 - e - i o i a o ) 】= - ( - 2 0 t a o ) = - 4 0 t t o t 剩下的结果可以由u 所满足的方程直接计算得到 第5 章存在性的证明 本章中，首先考虑 ， i t 一地一壶j 1 2 ( 1 一i u , 1 2 ) + 弘1 ( 1 一j j 2 ) 2 = 0 ， u 。( z ，t ) = g ( x ) 在a q 上， ( 5 1 ) lu e ，0 ) = 妒( z ) 在q 内， 其中d e g ( g ，a q ) = 0 ，矽h 1 ( q ) 定义5 1 函数u 若满足以下条件则称其为问题( 5 1 ) 的弱解： 1 ) ：u l o o ( o ，t ；h 1 ( q ) ) i 1c ( o ，t ；l 2 ( q ) ) ，酉o u l 2 ( ( o ，t ) xq ) ； 2 ) ：对任意的妒舒( q r ) ，q r = ( 0 ，t ) q ，以下积分等式成立： z r h 害+ 去咄1 一i 1 2 ) 2 - 3 ) ：u ( z ，t ) = 9 ( z ) ，在a q 上 u k l u 鬼1 2 ( 1 一i 钆知1 2 ) i o - - u 妒) 如出= o ； 4 ) ：u ( z ，0 ) = 妒( z ) 首先有 命题5 1 对任意的妒h 1 ，( 5 1 ) 存在弱解魄 首先证明两个引理 引理5 1 对任意的砂h 1 ( q ) ，( 5 1 ) 的解u 。在空间c ( o ，卅，h 2 ) 内满足 ? 加1 2 + z 学+ 掣= 壶上i v 卯 辑2 ， 证明：用瓦乘以( 5 1 ) ，在q 上积分有， zi 钍i = 上u 。砑+ 上 刍l u l l 2 ( 1 一i 让。1 2 ) 一面1 u 以一i u 。1 2 ) 2 】瓦 然后分部积分，得到 、 zk t l 2 = 一zv v 砑+ z 击仳。i f 2 ( 1 一i 乱。1 2 ) 一孬1u 。( 1 一i 缸。1 2 ) 2 】甄 取实部，上面的等式变为 f ni 1 2 = 一上丢学 对时间进行积分，得到 o l , 1 2 + z l v 羞, 1 2 + 因为l 矽i = 1 ，所以有 z t 上 u e t 2 + l ，q 证毕 考虑如下时间离散化问题 2 + 1 2 ) 2 业= 三上l v 卯+ 上学 1 2 ( 1 一l u e l 2 ) 2 4 2 = 互1z i v 卯 去( u k + l - u k ) + 孬1u m ( 1 一i u 1 2 ) 2 一1 仳m + 1 1 2 ( 1 一i “1 2 ) 一u k + l = 0 i ( 5 3 ) u 如+ l i o n = 夕( z ) ，k = 0 ，1 i ，n 一1 ， u 七+ 1 ( z ，0 ) = 矽( z ) ，k = 0 ，1 ，一1 ， 其中九= 斋，矽是初始值函数 ( 5 4 ) 引理5 2 对任意固定的忌，若u 忌l 2 ( q ) ，则问i 雹i ( 5 3 ) 一( 5 4 ) 存在一弱解u 七+ 1 h 1 ( q ) ，使得对任意的妒曙( q ) ，有 l hf n ( u k + l - u l ) 妒+ 。 刍u + 1 c 1 一i u 奄+ 1 1 2 ) 2 一言u 耙+ 1 i u _ i c + 1 1 2 ( 1 一i 乱七十1 1 2 ) 】妒+ 上v u 。k 5 + 1 5 v ，妒2 。 证明：在空间日1 ( q ) 上，考虑泛函 f 【乱】= 五1l i 让1 2 ( 1 一i u l 2 ) 2 ， v i a l = 互1 上i u 2 d x , e m = 互1z i v u 脚】= 州+ 去g m + 酬一上倒z ， 吲d 一如 厂，地 一 吲 上 一2 v 一 其中厂l 2 ( q ) 为已知函数应用y o u n g 不等式得知，存在正常数g ，岛，使得 上，u d x 0 ，使得 h i u 去g m + 驯叫一c 上i 卯如， 因此h 【u 是有下界的下面证明日阻】满足强制性条件如果i i 也1 1 日：( q ) _ + o o ，h u 】_ + o o 另一方面，显然日 u 】在空间日2 ( q ) 上是弱下半连续，根据文献【2 8 】得出结论， 存在u 日1 ( q ) ，使得 h u 小= i n f 。, e h j ( a ，s 1 ) h i l l ， 且钆。为对应于h u 的e u l e r 方程 丢u + 蟊1u ( 1 一2 一1u 愀1 一m 一让= ， 的弱解取，= u 忍，得到( 5 3 ) 一( 5 4 ) 的一个弱解u 奄+ 1 证毕 口 7 现在，定义问题( 5 1 ) 的逼近解铲如下： 乱h ( z ，t ) = u k ( x ) ，k h t ( k + 1 ) h ，七= 0 ，1 ，n 一1 ， 下面，证明命题5 1 u ( z ，t ) = 9 ( z ) ， 钍 ( z ，0 ) = 矽( z ) 证明：首先，定义算子a ， ( 仳 ) = 虿1u 南( 1 一蚶) 2 一1u 七i 1 2 ( 1 一卅) ， 矿= u + 1 一t 上， 其中m t ( 七+ 1 ) h ，k = 0 ，1 ，一1 在( 5 5 ) 中，令妒= 元1 ( u 知+ l 一) ，得到， f f t 去( u k + l 一) 】2 d x + 厶【壶u 七+ 1 ( 1 一l u k + l 2 ) 2 一吉让知+ l i u 知+ 1 1 2 ( 1 一i u 詹+ 1 1 2 ) 】丢( u 磨+ l u k ) d x + 厶v 乱七+ 1 v 元1 、u 七十1 一u k ) d x = 0 第5 章存在性的证明 2 8 分部积分有： 加吣删2 如+ 上袅掣+ 上袅 再在时间上积分： t 脑u k + l u k ) 2 如+ 上掣+ u k + 1 1 2 ( 1 一i 乱岛+ 1 1 2 ) 2 4 2 u k + 11 2 ( 1 一i u k + 11 2 ) 2 4 e 2 所以， 去 仳 在空间l 2 ( ( o ，t ) q ) 内有界 = 0 = 三上m ( 5 6 ) 由( 5 2 ) ，( 5 5 ) ，( 5 6 ) 并应用紧性结果【1 0 】可知，存在u 的一个子列( 不妨仍用原来的序 列表示) ，满足， 缸 土乱，在空间l ( 0 ，t ；h 1 ( q ) ) 内， u 一让， 在空间c ( o ，t ；l 2 ( q ) ) 内， 去u k + l - u , ) 土窑， 在空间f ( ( 0 ，t ) 堋) 内， a 。( a u ) 二w ，在空间l 詈( ( o ，t ) q ) 内 根据( 5 5 ) ，对任意的妒曙( q t ) ，有， f q 1 hh 妒+ a 。( u ) ( p - u h a c p ) 如d 亡= o ， 考虑泛函f 叫= 击厶i u l 2 ( 1 一川2 ) 2 ，令 = 他u 2 ( 州) 气乎一 ，由掣= 专u ( 1 一2 ) ( 1 3 1 u 1 2 ) ，当( z ，t ) q n 时，f u 】为凸函数，对任意 的s l o 。( o ，t ；h 1 ( q ) ) ，由泰勒展式有， z 死万1i s l 2 ( 1 一i s l 2 ) 2 如出一z q 万1 妒1 2 ( 1 一i u 叩) 2 如班 上n 孬1u 卟叩) ( 1 - 3 l 让叩) ( s 。) 她( 5 7 ) 第5 章存在性的证明 z ni 孬1 矿( 卜晰) ( 1 _ 3 卅) u h - - w u 石孔i 孬1 以1 一l 矿1 2 ) ( 1 3 i 矿1 2 ) 一m + i 死露1 以卜坩) ( 1 _ 3 l 扩1 2