（应用数学专业论文）退化时滞微分系统的最优控制近似最优解和稳定性问题.pdf

摘要 摘要 因为最优控制理论和稳定性理论在生态系统，社会系统，经济系 统和管理系统等各种不同形式系统中得到广泛和重要的应用，许多 学者对它们进行了研究并且得出许多重要的结果，参见文献 1 1 7 。 人们在讨论系统的最优控制和稳定性问题时候，大多讨论的系统都 是针对没有时滞或者没有退化现象的常微分线性和非线性系统，目 前现在这些系统地最优控制和稳定性理论多已发展的相当地成熟和 完善了，参见文献 1 6 1 3 1 4 。也有许多学者只针对退化系统或者只 带有时滞的微分系统的最优控制和稳定性问题进行了讨论，参见文 献 7 9 ，1 1 1 2 ，1 6 ，1 7 ，2 3 。而本篇论文则是对具有时滞的退化系统的最优 控制问题，广义时间最优控制问题的近似最优解和稳定性问题进行 了讨论并且得出了一系列的重要成果。 下面就本论文各章内容进行概述。 第一章，简要地介绍了本篇论文中所涉及到的最优控制，近似最 优解和稳定性的概念和相应的基础知识。 第二章，由于退化时滞系统本身的复杂性，所以讨论该系统一般 形式的最优控制问题就有一定的难度，在本章里就对几类典型的退 化时滞微分系统的最优控制问题进行了讨论并得出了一些结果。 第三章，由于在讨论不具有退化时滞的常微分系统的最优控制 问题时候常常会涉及到右端受到限制的情形，由此推广到讨论退化 时滞微分系统在右端受限的情况时候的最优控制问题，在本章里就 对这样的最优控制问题进行了讨论，得出了一些重要结论。 第四章，讨论了带有时滞的广义时间控制问题的近似最优解问 题。因为时间最优控制问题可以没有解，所以本文从实际出发，求 安徽大学硬上学位论文退化时滞系统的最优控翩，近似最优解和稳定性同题 出了满足一定精度的近似最优解。 第五章，在研究退化时滞微分系统得稳定性问题时，大多讨论得 都是针对线性的系统，而本文主要针对退化时滞非线性系统的稳定 性进行了研究，并且得出了一系列的结果。 关键词：退化微分系统；时滞；最优控制；最优近似解；线性 定常；非线性；稳定性 摘要 a b s t r a c t b e c a u s eo tt h ee x t e n s l v ea n di m p o r 七a n tu s e s0 t h eo p t i m a lc o n t r o lt h e o r ya n ds t a b 订i t yt h e o r yi nm a n yd i 任b r e n ts y s t e m ss u c ha se c o s y s t e m s ，s o c i a l s y s t e m s ，e c o n o m i cs y s t e m s ，n l a n a g e m e n cs y s t e m sa n d5 0o n ，m a n ys c h o l a 王8 h a v es t u d i e dt h e md e v o c e d l ya n do b t a i n e dm a r l yr e s u l t sa b o u tt h e m ，s u c ha s l i t e r a t u r e s 1 1 7 1 h o w e v e r ，w h e nt h e yd i c u s s e dt h et h e o r i e sa b o u ot h eo p e i n t a l c o n t r o la i l ds t a b i l i t y ，t h e yu s u a l l ya t t a c h e dm o r ei m p o r t a n c et ot h e s en o n l l n e a ra n ( 1l i n e a rd i f f e r c n t i a ls y s t e l n sw i t h o u tt ；地i n gt h ee f r e e t s 。ft h ed e l a v a n db e i n gd e g e n e r a t ei n t oc o n s i d e r a t i ( ) na n du n t i ln o w ，t h eo p t l m a lc o n t r o l t h e o r ya n ds t a b i l i t yt h e o r yo fs y s t e m sm e n t i o n e da b ( 】v eh a v eb e e n n s i d e r a b l yd e v e l o p e da l l r o u n d e da n dc o m p l e t e ，s u c ha 3l i t e r a t u r e s 1 6 ，f 1 3 一1 4 1 o f c o u r s e t h eo p h m a lc o n t r o lt h e o r ya n ds t a b i l i t yt h e o r ya b o u to n l ye i t h e r s y s t e i n sw i t hd e l a y so rd e g e n e r a t eo n e sh a eb e e nd i s c u s s e di nn l a n vl i t e r a _ t i l r e s 7 ，8 ，9 ，l l ，1 2 ，1 6 ，1 7 ，2 3 l 。t h e r ea r ea l s os o m ed i s c u s s i 。n sa b o u et h ed e g e n e r a t es y s t e m sw i t hd e l a ys u c ha sl i t e r a t u r e s 1 0 ，1 6 ，2 4 i nt h ep a p e r ，m a n y f h r t h e rd i s c u s s i o n sa b o u ct h eo p t i n l a lc o n t r o lp r o b l e m ? t h ea p p r o x i m a t e 。p t i m a is o l u t i o nt og e n e r a l i z e dt i m eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e ma n ds t a b i l i 七yo ft l l e d e g e n e r a t es y s t e r n sw i t hd e l a va r ec o n s i d e r e da n ds o m ei h l p o r t 龃ta n dm e a n i n g f h lr e s u l t sa r eo b t a i n e di ni t a n dt h e n ，ab r i e fa c c o u r l to fc h ep a p e ri so k r e df b u 。w i n 业y ， i nt h ef i r s tc h a p t e r ，c o n c e p t sa n dt h e i rr e l e 、强n t k n o w l e d g ea b o u tt h e o p t i t n a lc o n t r o l ，a p p r o x i l n a t eo p c n n a ls o l u t i o na n ds t a b i l i ya 工ei n t r o d u c e d i nt h ec h a 】) t e r i nt h es e c o n dc h a p t e r o w i n ge ot h ec 。m p k i t yo f 如ed e g e n e r a t es y s t e m w i t hd e l a i t s e l ci t i ss o m e w h a td i m c u l tt od i 8 c u 8 st h eo p t l m a lc o n t r o la b o u t 安徽大学硕上学位论文退化时滞系统台( j 最优控制、近似最优解和稳定性褐题 t 1 1 eg e n e r a lf o n l lo ft h cs y s t e m ，t h u s ，t h eo p t i m a lc o l l t r o lo fs o m et y p i c a ld e g e n e r a t es y s t e m sw i t hd c l a yi sc o n s i d e r e da n ds o m er e s u l t sa r eo b t a i n e di nt h e c h a p t c 。 i nt h et h i r dc h a p t e r ，b e c a u s et h e r ea r et h e o r i e sa b o u tt h es y s t e m sw i t h o u t b e i n gg e n e r a t ea n dd e l a yw h e nt h e ya r eo fr e s t r i c t e ds t a t er i g h te n d p o i n t ，a n d t h u sb a s e do nt h a t ，t h eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m so f t h eg e n e r a t es y s t e m sw i t h d e l a yw i t hr e s t r i c t e ds t a t er i g h te n d p o i n ti sc o n s i d e r e di nt h ec h a p t e r i nt h ef 0 1 l r t hc 1 1 a p t e r ，t h ea p p r o x i m a t eo p t i m a ls o l u t l o nt ot h eg e n e r a l i z e d t i m eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e mi sc o n s i d e r e di ni tb e c a u s ei t i s p o s s i b i ea n d a 1 1 ( ) w a b l et h a tt h e r ei sn os o h l t i o nt ot h et i m eo p t i m a lc o n t r 0 1 ，f t o ma np r a t i c a l p o i n t a na p p r o x i m a t eo p t i n l a ls o l u t i o nb e i n gs a t i s 6 e dw i t hs o m ep r e c i s i o ni s o b t a i n c di nt h ec h a p t e r ， i nn l e6 f t hc h a p t e r ，t h es t a b i l i t yo ft h ed e g e n e r a t es y s t e mw i t hd e l a yw e r e d i s c u s s e d ，l a n ys c h o l a r sh a v es t u d i e do nt h el i n e a rd e g e n e r a t es y s t e 1w i t l l d e l a y ，h o w e v e r ，i nt l l ep a p e r t h es t a b i i i t yo ft h ed e g e n e r a t en o n n n e a ts y s t e m w l t hd e l a yi sd i s c u s s e ( ia n das e r l e so fi m p o r t a n tr e s u l t sa r eo b t a i n di ni t ， k e y 、v b r d s ：d e g e n e r a t ed i f r e r e n t i a ls y s t e m ，d e l a ) t ，o p t i r n a lc o n t r o l ： a p p r o x i m a t eo p t i m a ls o l u t i o n ；l i n e a rt i m e i n v a “a b l e ；n o n l i n e a r ；s t a b i l i t v 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获芝m 或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 己在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名签字日期：1 口r年r 月 f ，日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了嘞孕有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅本人授登翮以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：压衫印 签字日期： oy 年y 月1 击 学位论文作者毕业去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签名、 签字日期： 万年 电话： 邮编： 日 可 公线 第一章预备知识 第一章预备知识 本章主要介绍本篇论文中所需要的预备知识给出了最优控制，近似最优 解和稳定性的概念和相应的基础知识。 5 1 1最优控制 针对下面系统： j e 圣 ) = a 。) z ) + b o ) 嚣。一1 ) + e “) “ ) ，幻茎。曼“ ( 1 1 1 ) lz ( t ) = 妒( t ) ， t o 一1 s o 这里，z ( ) r “，“( t ) r ”分别是状态向量和控制向量e 舻“，a ( ) ， 口( ) ，g ( t ) 在t 【c 0 ) t 1 连续，而且m n e = n 1 o ，若i 。，r j ，“：( ) 【，它们使得 z ( ，“：( ，) ) 一可( t ：) f d + + e ( 1 ，2 2 l 我们则称( ，“：( ) ) 是上述讨论问题的一个e 近似解。 注意；这里( ，) 小1 分别为欧氏空间的内积和相应的诱导范数。 2 关 是时同 、 k o ，。l = q gp 足 满q阵 矩 z 0 = 余邢础臁；定 里 给 这 q于 第一章预备知识 1 、3稳定性 设有如下的退化时滞微分系统： 2 e 窑 ) = f ( 。，。( 2 ) ，( 2 7 ) ) ，o ， ( 13 1 ) i 。( t ) = 咖( f ) ， 一r so 这里e r ”。“且r 叭七e n 。 f ( ，0 ，) = 0 ，v o o 且f ( t ，) ： o ，+ o 。) c ( 【一r o ，r “、r 4 ) _ 形假设系统( 1 3 1 ) 解存在且连续。 引入以下记号：区间“= o ，+ 。) ，o o 使得：v 妒s ( o d ) n 仇( 如“) 系统( 1 31 ) 过初始条件( z o ，咖) 的解z ( ，t o ，) 满足：f | d ( ，。( ) ) 怄 e ，vt f 女 则系统( 13 1 ) 的零解关于o ( t ，z ( ) ) 在区间矗上为稳定的。若 d 与e 有关，而与t o 无关，则系统( 1 3 1 ) 的零解关于o ( ，。( t ) ) 在区间丘上为 一致稳定的。 定义1 32 ：若系统【13 1 ) 的零解关于a ( t ，z ( t ) ) 在区间厶上为稳定的。 并且对vt o c o 、+ o 。) j ) o 、v 妒s ( o ，( o 。) ) nd ( t o ，+ o 。) ，有： ：爨i j “( t ，( 。) ) f j = o 则系统( 1 - 3 - 1 ) 的零解关于n ( t ，。( t ) ) 在区间 o ，+ 。) 上是 一致稳定的。 定理1 3 1 ：设对系统( 1 3 1 ) 的任一解x ( t ) ，当d ( t ，z ( t ) ) 有界时，沿系统 ( 1 3 1 ) 解的导数a ( ，z ( ) ) 有界，且存在楔函数u ( - ) ，”( ) 及非负非减函数w ( ) ， 以及连续v 泛函v ( t ，) 满足：( 1 ) ：圳ia ( ，z ( t ) ) | | ) v ( t ，z ( ) ) ”( 1 j 。( ，) l i ) ( 2 ) ：d + s 一 ( j i 口( t ，z ( ) ) 忆则系统( 1 3 1 ) 的零解关于o ( t ，z ( t ) ) 在区间 o ，如) 上为一致稳定的，其中o 茎+ o o 若s o 时， ( s ) o ，则系统( 1 31 ) 的零解 关于n ( ，z ( t ) ) 在区间 o ，+ o 。) 上是一致稳定的。 3 安徽大学硕士学位论文：退化时滞系统的最优控制、近似最优解和稳定性问题 第二章几类退化时滞微分系统的最优控制问题 2 1引言 二十世纪五十年代以来，最优控制作为现代控制理论的一个重要分支已 取的很大发展。现在，它在许多系统中发挥了重要的作用，例如，管理系统， 动力系统，生物系统，等等。但是，大多数学者大多讨论的系统都是常微分系 统的读者可以通过参考文献【l 一6 加深对最优控制的了解。当然也有许多学者 讨论了退化系统的最优控制问题，读者可以参看文献 7 ，8 】。 但是，在这个世界里，时滞作为一个客观事实存在在各种各样的系统中。 所以讨论带有时滞的退化系统的最优控制问题也就具有重要的实际意义。在 文献 1 6 的基础上，本章讨论了几类带有时滞的线性退化系统的最优控制问 题。 本文讨论的系统 2 2主要结论 a 硎+ b x ( 一1 ) + g 蛾如f 虬 f ，21 1 妒( t ) 幻一2 5 如 p 一叫 4 t x x e e ，、【 第二章几类退化时滞微分系统的最优控制弼瓤 这里，x ( t ) 胛，x ( t ) 是状态向量，“( t ) 月“，u ( t ) 是控制向量e ，a ，b r “”而且m n 女e = r ， o f 22 1 6 1 假如v j2o 不成立，一定存在这样一个区间t dc 川，对任意 第二章 几类退化时滞微分系统的最优拄制问题 t ，蚓，下面的式子成立： 日( 。j ( ) ，z i ( f 一1 ) ，z j ( z 一2 ) ，a ( t ) ， + ( 一1 ) + 6 “o 一1 ) ，t ，( t ) + d u ( t ) ) h ( z ：( f ) ，z ：( t 一1 ) ，z i ( t 一2 ) a ) ，钍+ ( 一1 ) ，u ) ) q 。 这里，( 1 o 记： 州驴；篡葛 可以得到如果假如阮1 ( ) 可以足够的小，e 也会足够的小以至于v j 0 我们令： 叫牡傺嚣箬 这样我们根据( 3 2 1 6 ) 及文献 1 0 ，可以得到： ，( 0 1 ) = 巧j ( 1 ) 十旬 = 一船盟业业出磐皆业业迎盟j “t 一 荤、塑业絮簪巡趟蛐她( t ) + e l = o l h 幻】 ”7 赡【日i ( i t ) ，( t 一1 ) z ( ) f ( t 一1 ) ；_ ( ) ，“4 ( # ) 十6 “1 ，t ) h 1 ( ( ) ，0 一i ) ，z ( t ) ，z ( 一1 ) ，1 ( 氓“8 ( 巩t ) 出 如 日2 ( 口( f ) ，9 ( t 一1 ) ，2 ( t 1 ) ， ( t ) ，+ ( t ) + j “l ，t ) = e lh 一0 1 一日2 ( ( ) ，( 一1 ) ，z ( 一“( 如一f 。) + e 我们知道，乳t 充分小时，乳也会充分小，这样e 会接近子o ，所以 j ( t 1 ) o ，若 o ，州“：( ) u ，它们使得： j z ( t ：，“：( ) ) 一掣( f ：) i d + + e 我们则称( ：，u 羚) ) 是上述讨论问题( q ) 的一个近似解。 注意：这里( t ，一) 小f 分别为欧氏空间的内积和相应的诱导范数。 本节中，我们先给出本文的所要证的定理，然后介绍几个证明该定理所必 需的引理，再给出关于它的证明 定理4 2 1 ：若引言假设成立，且下面满足引理4 2 2 的条件也成立，设 e ( o ，- ) ，6 和正整数n ，使得： 这里 ( 多) + t q 。( 书) + t q 6 ( 专) + r 6 ( 蚕) + t c ( 芳) + ( q q + g 1 q + 岛) 嘉sd e ，l ( r ) = 竹2 n 茹 i y ( t 1 ) 一y ( 2 ) j ，i t l f 2 lsr ，t l ，2 【一下，列) ，vr o ，t 】， 。( r ) = s 叩 l 4 ( t l ，盯1 ) 一a ( 丁2 ，盯2 ) l ，l r l 一见i + j l 一砚l r ，( 1 ，口1 ) ，( 2 ，晚) 6 ( r ) = s t 妒 i b ( r l ，仃1 ) 一b ( 丁2 ，盯2 ) ，1 7 1 7 - + io 1 一盯2j r ，( l ，盯1 ) ，( 丁2 ，口2 ) c p ) = 5 叩( 1 g ( n ，盯l ，“1 ) 一g ( 丁2 ，盯2 ，u 2 ) l ，l r l 一下2 i + l 口l 一盯2 i + i 也1 一“2 i r ， ( 仉盯1 ) ，( 亿也) ，( u l ，“2 ) u ) ，g l = ( 器掷q = ( 黯瞰，r ) l ， 仍2 ，嚣瑟x u i g ( ，r ，u ) l ，q = ( g 2 例f + t 伤) e c 2 + q 弦， 2 3 安徽大学硕士学位论文，退化时滞系统的最优控制，近似最优解和稳定性同题 同时定义 三= 0 1 ，2 ，2 ) ，如= ，j l 设 u ；( ) ，j 三) ，其使得： 学 ( 蜗，g ( t n u ；) ) 十。( 蟛( 。) t ( 筹) ( 钆弛) ) ) 4 d l d r f 4 22 1 s 詹嘧 ( 蝣( r ) ，g ( n r ，“) ) 十f ( 蝣( ，( 筹) ( 乱_ “) ) d m 、。 其中：甥( ) 是下列线形方程 妒( r ) = z ( 如，q ( ) ) 一g ( 岛) + p a ( r ，r ) + 妒一) + 日( r ，r ) 4 妒p + ? ) + r ，( 筹) ( 。，r ) + 妒( a ) d 口+ f 王，( 鲁争) ( o ，r + r ) + 妒( 口) d 一】d r ，vr 卜一卅 其中j l ，记： i + = m 嘶l ，“一娲) 【s2 6 + 黜，u 一删1 ) 则称( 如，“：( - ) ) 是问题的4 e 的近似解。 该定理必须在以下几个引理的基础上才可以证明，所以我们首先证明如 下几个引理。 引理4 21 ：设引言所述成立，则： d _ f ( r ( t 1 ) ，r ( 2 ) ) 曼t c 4 “1 一2 d + 7 c 4 b ( 1 0 l t 2 1 ) + r 川6 ( h 0 2 ) + c ( i t l 0 2 1 ) + ( 国q + 西q + q ) f l 一2 f 其中。( r ) ，6 ( r ) ，c ( r ) ，q ，晚，岛，晚与定理4 2 1 中表示相同。 同时： d 盯( s 1 s 2 ) = ；( s u pd ( # i ，s 1 ) + s u pd ( z 2 岛) 】，v s l l 尺“ 证明： 1 z ( ，u ( ) ) 1 71 1 a ( t ，r ) 1 z ( r “( - ) ) 1 十f b ( ，r ) 1 f z ( r t 。“( ) ) f + j a ( t ，r - u p ) ) j 】d r j 0 = 菇【( 母( r ) ，c ( r ，r ，u ( ，、) ) 一e ( ，n ”( r ) ) ) d r + 鼻( 妒( a ) ，( 筹) ( 一，r ，( r ) ) 一( 筹) ( a ，n ”( r ) ) ) d 口】d r ；v “( ) ， ( ) 矿 引理4 2 3 ：设引言假设成立及引理4 ，2 。2 所需条件成立，设e ( o ，1 ) 与 t o ，t 】任意给定。 ( 1 ) ：若u ：( ) ，适合： 蛞 ( 妒：( r ) ，g ( r ，t ，u ：( r ) ) ) + 露( 妒：( 。) ，( 鲁手) ( 。，n u ：( ，1 ) ) a b l d ， 蛞劣f ( 蝶( r ) ，g h n “( r ) ) ) + ( 蝶( 盯) ，( 等) ( 矾n u ( r ) ) ) 如 d r 十s 同时键( t ) c ( 【o ，】，舻) 满足下列积分方程； 警：卜文t ( ) ) 叫 h 少沁，口胂p ) + 吲正叶力( 铘1 十( 嚣) ( 8 ，o ) 舻( 8 ) 胡+ 一，( 留) ( p ，一+ 7 ) 。妒( 8 ) d p ) 】打，如【o ，t 】 、7 第四章具有时滞广义时间最优控制问题的近似最优解 则 z ( ， ) 一( ) 1sd ( ) + 、压 ( 2 ) ：若“：( ) u 适合： 这里 则下式成立 。( 。，“一g ( ) j5 4 ( 。) + 麦5 ( 4 2 4 ) u 6 黔) l ( 。) = g ；瓯= 2 ( 口+ g ) + 1 后 ( 蠼( r ) ，e ( r ，r ，u ：( r ) ) ) 十f ( 蝶( 一) ，( 筹) ( qr ，“；( r ) ) ) 如】d r 茎岳卿眦( r ) ，e ( n n u ( r ) ) ) + ( 蝶( 卅，( 筹) ( 叩，“( r ) ) ) d 一陋 + 4 0 剖e ( c - + ) 丁+ 垒1 吗；盟+ t 其中蝶( ) 是方程( 4 2 3 ) 的解。 证明： ( 1 ) 的证明可以参见文献 1 9 ， 下证( 2 ) ，对任意固定t o ，司，由( 4 2 4 ) ，我们很容易得到： ；i z ( t ，“：( t ) ) 各o ) 1 2 至；d 。) z + ( 4 ，25 ) 同时定义 p ( ( ) ，妒( ) ) = m e n s r ( o ，亡 ，咖( ，) 妒( ) ) ，庐( ) ，妒( ) u 其中m e 。s 卜) 表示卜- ) 的i e b e s g i l e 测度和 f ( 札( ) ) = ；。( ，。( ) ) 一y ( ) j 2 ，v( ) u 易见，( 以p ( - ，r ) ) 是完备度量空间，f ( _ ) 是u 上的连续泛函刚( 4 2 5 ) 可 以写成： f ( “s 。陷f 【”( ) ) 托 2 7 安徽大学硕士学位论文一退化时滞系统的最优控制、近似最优解和稳定性问羁 由e k e a l n d 变分原理，存在面( 一) u 满足 f ( 讲) ) f ( u ，帆( ) ，”驯以； 觚6 ) f ( 百。( ) ) f ( “( ) ) + e p ( 札( ) ，百! ( ) ) 此外，根据文献 2 l 】，对任意给定的“( ) 矿和a ( o ，1 ) ，存在l e b e 8 9 u e 可 测集s e ， 【o ，t 】， 满足下式： m e n s 是， = 沁j ( 石一正o ， n s 。) g ( r ，a ，“( 一) ) 一g ( r 吼“e ( 一) ) sa 2 ，v r o ，叫 我们令 则 与下式 i ，r 最 | r 荜s e 。k 丸a = 盟丛莩韭剑胙 0 ) 叫 i ( r ) = 片 4 ( n ，) ( a ) + b ( r ，a ) 庐( 口一r ) + g ( _ a ，“( 口) ) 一口( r ，d ， ( 口) ) 1 如，r ( o ；l ， l 【r ) = o ，r 一r ，o 的解满足下面关系式： 咖。， ( r ) 一也( r ) = 石a ( na ) 。， ( d ) 咖。( d ) 】 + b ( r ，d ) 【咖：， ( 口一r ) 一九( 口一f ) + ( 佑一以o ，1 n ，。) f ( n q “p ) ) 一a ( n 吒妣( 口) 】d 口；r o ，叫 我们再利用文献 2 0 ，22 j 从前面( 4 2 7 ) 和( 4 2 ，8 ) 可以容易得到 鹦躐阶【r ) 竹) 1 s e + 岛7 溉3 = d 2 r ( 4 ，2 ，7 ) ( 4 28 ) 第四章 其有时滞广义时问最优控制问题的近似最优解 我们利用前面( 42 6 ) 不等式子中的第三个，同时取： “( - ) = “。 ( ) 可以容易得到下式戍立。 一面曼i 嘎塾掣蛐却叫) ) - 鲋) 其也就等价于下式： ( 妒：( t ) ，咖：( ) ( z ( ，t t ；( ，) ) 一z ( t ，u ：( ) ) ，艇( f ) ) + ( z ( ，“：( ) 一( ) ，蝶( ) 西! ) ) 、店 其中模( - ) 是下面的积分方程的解： i ( r ) = j 孑 a ( r ，盯) ( 盯) + b ( r ，盯) ( 盯一r ) + e ( n 盯，u ( 盯) ) g ( 7 。，盯，：( 盯) ) 】d 口，r 【o ，t ； i ( r ) = o ，r 一to 】 同样我们可以利用前面讨论可得下面结论： i 。( ，“：( ) ) 9 ( ) i 一4 + g ， j 啦( t ) ls2 西t e ( n 十岛) 2 c b t e ( g 什岛f 1 z ( t ，“：( ) ) 一z ( t ，“。( ) ) i 2 岛e ( g - + 6 ) r 、后2 争、厄 1 蝶( ) 一机( t ) js2 仍e ( d - + c z ) 丁循挚以 我们由( 4 29 ) 和( 4 2 1 0 ) 可以容易得到以下结果： ( 蝶( ) ，畦( t ) ) 一 4 q 岛e ( g - + 岛) 丁+ 垄斗掣+ 卅讵 ( 4 2 9 ) ( 4 2 1 0 ) 而另一方面，我们_ j 以验证： ( 蝶( t ) ( t ) ) = 厝暑( 蝶( r ) ，蚝盯) ) d r = e ( 蠼( r ) ，娥( r ) ) + ( 供【r ) ，a ( n r ) 谨( r ) 十b ( r ，r ) 髭( r t ) + e ( n 瓯“( 口) ) 一g ( r ，盯，缸：( 盯) ) + 厝 筹( r ，a ) 蝶( o ) + 箬( na ) 供( 一一r ) + ( 鬻) ( r ，a ， ( o ) ) 一( 簪) ( r ，q u ；( a ) ) 咖) 打 = 厝【( 啪：0 ) ，g ( r ，a ，“( a ) ) 一g ( r l a ，“：( o ) ) ) + f ( 啦( a ) ，( 鲁孑) ( a ，r ，u ( r ) ) 一( 普) ( 盯，r ，；( r ) ) d 盯) d r + 石( 西；p ) + a ( r ，r ) 妒( r ) + b ( r r ) + 讪( r 十r ) + ( 筹) ( q r ) + 妒p ) 由+ 臣，( 筹) ( 正r + r ) 妒( 口) 而，蝶( r ) ) 出 = 露【 怯( t ) ，c ( r ，a ，( a ) ) 一g ( r 吼u ；( o ) ) ) 安徽大学硕士学位论文，退化时滞系统的最优控制、近似最优解和稳定性问题 一 + f ( 妒；( 。) ，( 等) ( 皿n “p ) ) 一( 筹j ( 以n “：p ) ) 】d 。) d ， 所以我们可以得到所证： 麒( 蝶( r ) ，g ( tr ，u ：( r ) ) ) + ：( g ) ，( 器) ( 吒t “；( r ) ) ) d a 出 厝嘧 ( 蝶( r ) ，g ( nn “( r ) ) ) + f ( 蝶( 们，( 筹) ( q 即。( r ) ) ) 曲 d r + f 4 c _ ( 岛e c 1 + c ) 丁+ 墨圣等j 堕吐+ t j 、店 现在我们已经得到引理4 2 1 ，推论42 1 ，引理4 22 ，引理4 23 ，在它们的 基础上，我们现在给出定理4 2 1 的证明， 证明：根据引理4 2 ，3 ( 1 ) ， 。( j ，“；) ) 一可( 勺) j d ( 勺) + 占 d ( 0 ) + e ，j 三 ( 4 2 1 1 ) 由前面讨论，我们可以得到； d 0 1 ) d ( 。2 ) fs 巧 ，v t l ，。2 【一i ，0 ，j 三( o ) ( 4 2 ，1 2 ) 我们取：j + l ( o ，使得：t + 盼叱如1 成立，则由( 4 ，2 1 1 ) ( 4 21 2 ) ，可以得 到： f z ( 0 一1 ，嵋一1 ( ，) ) 一( 巧一1 ) i d ( 0 。一1 ) + j s 2 6 + 凹，一j 2 时曾，“一删| 郎可以得到： j + 一l d l ，l 。( ，u + ( ) ) 一g ( ) i s2 + 哆p i z ( 冬，“+ ( ) 1 一q j ) l i + m i n u 上l 。( ，“+ ( ) ) 一( o ) 2 。+ 赃。( o ，“+ ( ) ) 一y ( o ) 1 ) sj + 一l 所以有： 赴屯- 一l 一最后我们可以得到所证。 8 s 蝻) s + ，。) 一咖) s2 蚪酱，u 删一酬 2 + k ( 贫，t 哼- l ( ) ) 一( 幻，1 ) j 2 + d 0 + ) + 2 d d + + 4 e 定理4 2 1 证明完毕。 第四章具有时滞广义时间最优控制问题的近似最优解 这样可以知道，一旦我们获得一组满足( 426 ) 成立的控制函数“；( - ) ，j 五， 就可以求出问题( q ) 的妊近似解，至于这组控制函数的存在性手口以及如阿求 出，可以参见文