（基础数学专业论文）弱紧弱连续算子的不动点定理及其应用.pdf

山东大学硕士学位论文 弱紧弱连续算子的不动点定理及其应用 郭千桥 ( 山东大学数学与系统科学学院，济南，2 5 0 1 0 0 ) 摘要 近年来，在数学、物理学、化学、生物学、医学、经济学、工程学和控制 论等许多科学领域出现了各种各样的非线性问题，在解决这些非线性问题的过程 中，非线性泛函分析发挥了越来越重要的作用 半序方法是非线性分析中一类非常重要的方法在研究非线性方程的可解 性时，常会遇到缺乏紧性这一困难，例如研究无界区域上的积分方程或无穷维 b a n a c h 空间中的微分方程时，所出现的算子往往缺乏紧性，这类算子的研究困 难较大在【1 一 3 1 和【5 】- 【8 】中，郭大钧教授在完全不考虑紧性的条件下，仅用半 序的某些不等式就获得了某些算子不动点的存在唯一性以及迭代序列的收敛性 定理，并将其应用到无穷区域上的非线性积分一微分方程上去，取得了很好的结 果另外，杜一宏在 4 】、李福义等在 9 一 1 l 】、郭林在 1 2 】、张志涛在 1 3 、孙经 先在 1 4 】和【1 5 中对各类紧性和连续性较弱甚至缺乏紧性和连续性的算子进行了 研究，得到了较好的结果 本文主要利用半序方法、锥理论和逐次迭代技术对一些紧性和连续性较弱 的算子进行了讨论 全文共分三章 在第一章，作者在连续性和紧性较弱的条件下给出了算子不动点存在性的 两个定理作为应用，还研究了非线性积分方程解的存在性 在1 1 中，作者首先获得了如下两个算子不动点的存在性定理： 定理1 1 p 是e 中锥，a ：kv 斗e ，且 一“ “a v ( v 若v x v 】，下列两个条件之一成立 i ) 若爿x x ，则存在y ，v y x ，使缈 y i i ) 若a x x ，则存在y ，“ _ y x ，使砂 y 并且下列两个条件之一成立： a ) p 是正则的，4 是次连续的 b ) p 是正规的，a 是凝聚的 山东大学硕士学位论文 则a 在研，v 】中至少存在一个不动点 定理1 2 p 是e 中锥，a ：【1 1 , v 】_ e ，且 爿 x ，则存在y ，“ x ，使a y “，a v x 与a x 蔓x 中必有一种情况成立) ，且定 理l _ 1 中条件a ) 或b ) 满足，则a 在 “，v 】中至少存在一个不动点 在1 2 中，我们将定理1 1 应用于如下的非线性积分方程： l 训卅以x ) ：等删妙， 其中0 x s l ，0 y 时，t ( x ，y ) 0 ：当x 0 ，使当0 x , y 1 ，x y 时，有l r ( x ，y ) i c k y l ”s ( x ，_ y ) ，其中c 是常数，s ( e y ) 在0 x , y ( r ) 与4 ( ( ，) ) ( r ) 中必有一个成立) 则爿在h v 】中至少存在一个不动点 定理2 2a ： “，v 】- + e 是次连续减算子，满足： z j 曼a u a v v ， 则a 在阻，v 中存在不动点的充要条件是i i ) 定理2 3a ： “，v 】一e 是次连续增算子，满足： “a u v a v ， 则a 在 “，v 中存在不动点的充要条件是i i ) 注2 1这里对锥没有任何限制，对算子仅有次连续的要求这些结果都 是新的 在2 2 中，我们将定理2 ，1 应用到如下的h a m m e r s t e i n 积分方程： 坤) = 【泓u ) 南出= 似吼 结论2 1 若k ( t ，s ) ：r ”r ”斗r 非负连续，k 0 ，其中k ( t ，s ) = k 。( f ) 尼2 ( s ) ， 用c 。( r “) 表有界连续函数空间，p = c ；( r + ) = 刊x ( f ) o ，f r “) 是c 。( r “) 中的非负锥，则a 在p 中至少存在一个不动点 1 1 1 坐堡茎兰堡圭兰垡堡壅 在第三章，作者对正规锥上f r e c h e t 可微的减算子进行了研究，得到了 不动点的存在唯一性定理，并将该定理应用到二阶常微分方程两点边值问题 上去，得到了方程解的存在唯一性定理 在3 1 中，我们得到了如下的减算子不动点存在唯一性定理： 定理3 1 e 是b a n a c h 空间，p 是e 中的正规锥，a ：p 斗p 是减算子，满足 i ) a ：p 寸p 是f r 6 c h e t 可微的： j j ) 存在 0 ，使得列0 蔓a - o ： i ) 存在非负整数肘，使得v x o x o ，h e a2 护，x o l ，有 一a 2 ”占兰a ( x ) , i j a 在p 中存在唯一不动点x + ，而且对任意初值p ，及迭代序列 x 。2 a x hl h = 1 2 、) ， 都有 ；j x 。一r _ 0 ( + c 。) 注3 1郭林在 1 2 的定理2 3 8 得到了算子不动点的存在性，这里减弱了 对锥的要求，并用条件i i ) 和i i d 代替了定理2 3 8 中的条件j 旯r 使a ，甜， 从而得到了算子不动点的存在唯一性定理 在3 1 中，作者研究了二阶常微分方程两点边值问题 首先给出了一个引理： 引理3 一 令e = c ( g ) ，p = ( 妒( z ) f 妒( x ) 0 ，v x g ，考虑算子 足妒( x ) = l 七( x ，y ，妒( y ) ) 咖， 其中g 表r ”中某有界闭集，假定k ( x ，y ，“) ，残( x ，y ，“) 在( x ，y ) g g , 0 “ + 上连续，则v ( x ) p ，k ：p 斗尸f 砖c h e t 可微，且其f 厄c h e t 导算子k ( 妒。) 是下面 的线性积分算子： k ( 口，o ) 自( x ) = f 、七：( z ，y ，妒o ( ，) ) ( y ) 咖 然后给出了如下的二阶常微分方程两点边值问题解的存在唯一性定理： 一窘= f ( t 棚v ， o 1 ； 【x ( o ) = x ( 1 ) = 0 结论3 1 假设 u 东大学硕士学位论文 i ) 0 f ( t ，x ) 关于x 递减，且关于x 在 o ，+ o o ) 上存在一阶连续偏导数 i i ) 0 “a v x ，t h e ne x i s t sy ，v y x ，a y y i i ) i fa x x ，t h e n e x i s t sy ，h y x ，砂 x t h e n e x i s t s y ，“ x 砂 “ a “ v i f v x 【z f ，v 】，a x a n dxa r e a l w a y sc o m p a r a b l ef ie a x x o ra x x h o l d s ) ， a n da ) o rb ) o ft h e o r e m1 1i ss a t i s f i e d ，t h e nah a sa tl e a s to n ef i x e d p o i n ti n 阻，v 】 i n 12 ，w ea p p l y t h e o r e m l 1t ot h ef o l l o w i n gn o n l i n e a ri n t e g r a le q u a t i o n ： l 圳小f ：掣删妙， w h e r e 0 s 工蔓1 ，0 y ，t ( x ，y ) 0 ；i fx 0 ，f o r 0 兰，少! 】，工j ，；丁( 工，) ) s c x 一少j 。s ( x ，) ，h e r e ci sa c o n s t a n t ，s ( x ，y ) i sn o n n e g a t i v ea n db o u n d e d ，0 x ，y 兰1 ，m o r e o v e r , _ s ( x ，v ) 粤婴+ 了考针0 。 t h e n ，t h ee q u a t i o nh a s a tl e a s to n es o l u t i o n v ( x ) i nc 0 ，1 ，a n d s a t i s f i e d 1 + ( x ) 0 i nc h a p t e r2 w eo b t a i nt h ee x i s t e n c et h e o r e mo ff i x e dp o i n ti nt h ec o n d i t i o no f d e m i c o n t i n u o u s w ea l s oo b t a i nt h es u m c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n so fe x i s t e n c eo f t h ef i x e dp o i n to fm o n o t o n eo p e r a t o r s a sa p p l i c a t i o n ，w ei n v e s t i g a t et h ee x i s t e n c eo f t h ep o s i t i v es o l u t i o no fh a m m e r s t e i ni n t e g r a le q u a t i o n i ns 2 1 ，也ea u t h o ro b t a i n st h ee x i s t e n c et h e o r e mo ff i x e dp o i n ti nt h ec o n d i t i o n o fd e m i c o n t i n u o u sa n dt h es n f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n so fe x i s t e n c eo ft h e f i x e dp o i n to fm o n o t o n e o p e r a t o r s 1 h e o r e m2 1ei sab a n a c hs p a c e ，pi sac o n eo f e ，a ：阻v 斗e i sa d e m i c o n t i n u o u so p e r a t o r , a n dt h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sa r es a t i s f i e d i ) “蔓a “，a v v o r “a u 。4 v v i i ) t h e r ee x i s t sac o n t i n u o u s m a p p i n gh ： 0 , 1 - - 沁v 】，h ( 0 ) = l d ，h o ) = v s u c ht h a tv t 0 , 1 ，爿( ( ，) ) a n d h ( t ) a r ec o m p a r a b l e ( i ，e 爿( ( f ) ) j ? ( r ) o r 4 ( ( f ) ) sh ( t ) h o l d s ) t h e nah a sa tl e a s to n ef i x e dp o i n ti n m ，v 】 t h e o r e m2 2 a ：【“，v _ e i sad e m i c o n t i n u o u sd e c r e a s i n go p e r a t o r “s a u ，a v v ， t h e nt h es u f f i c i e n ta n d n e c e s s a r yc o n d i t i o n o f t h ee x i s t e n c eo f t h ef i x e d p o i n to f v f l f 山东大学硕士学位论文 t h e o r e m2 3 4 ：h v 】oei sad e m i c o n t i n u o u sa n di n c r e a s i n go p e r a t o r 爿“v s a v t h e nt h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o no f t h ee x i s t e n c eo f t h ef i x e dp o i n to f r e m a r k2 1h e r et h e r ei sn ol i m i tf o rt h ec o n e a n dt h eo p e r a t o ro n l yn e e d t ob ed e m i c o n t i n u o u s t h e s er e s u l t sa r ea l ln e w i n 2 2 ，w ea p p l y t h e o r e m 2 1t ot h ef o l l o w i n gh a m m e r s t e i ni n t e g r a le q u a t i o n ： 加) = l “) 南船血( f ) c o n c l u s i o n2 1i f k ( t ，s ) ：r 。r 。斗r i s n o n n e g a t i v e a n dc o n t i n u o u s k 0 ，w h e r ek ( t ，j ) = k 1 ( ，) 女2 ( 5 ) ，c 3 ( r 。) d e n o t e s t h e s p a c e o fb o u n d e da n d c 。n t i n u o u s f u n c t i 。n 尸= c ；【r + ) = x l x ( ，) o ，r r x ) i s a n 。n n e g a t i v e c o n ei n c “j f h e n 。q h a sa t l e a s to n e f i x e dp o i n t i np i nc h a p t e r3 ，w ed i s c u s st h ef r d c h e td i f f e r e n t i a la n dd e c r e a s i n go p e r a t o ro nt h e n o r m a lc o n et oo b t a i nt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s st h e o r e mo ft h ef i x e dp o i n t ，w e a l s oa p p l yt h et h e o r e mt ot h et w o p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fs e c o n do r d e r o r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，a n dt h e no b t a i nt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s st h e o r e m o ft h es o l u t i o no ft h ee q u a t i o n i n 3 1 ，w e o b t a i nt h ef o l l o w i n ge x i s t e n c ea n du n i q u e n e s st h e o r e mo ft h e f i x e dp o i n to f d e c r e a s i n go p e r a t o r ： t h e o r e m3 1ei sa b a n a c h s p a c e ，p i san o r m a lc o n eo fe ，a ：p p i s a d e c r e a s i n go p e r a t o r , a n dt h ef o l l o w i n g c o n d i t i o n sa r es a t i s f i e d ： i 、a ：，- - - pi sf r d c h e td i f f e r e n t i a l ； i i 、t h e r ee x i s t s 0 s u c h t h a tr _ a o a 2 0 i i i ) t h e r ee x i s t san o n n e g a t i v ei n t e g e rm ，s u c h t h a t v x p ，a o ，h e a 2 0 ，a o 】 一a 2 “0 a ( x ) l x 些查查兰堡主兰垡堡壅 一 t h e nah a se x a c t l yo n ef i x e dp o i n t x i np , m o r e o v e kf o ra n yi n i t i a lx 。p c o n s t r u c t i n gt h es u c c e s s i v es e q u e n c e x 。= a x ，1 = 1 , 2 ，) w eh a v e i b 。一x i - , 0 ( ”砷+ 。) r e m a r k3 1i nt h e o r e m 2 3 8o f 1 2 ，g a ol i no b t a i nt h ee x i s t e n c et h e o r e m o f f i x e dp o i n t ，a n dh e r e ，w er e d u c et h ec o n d i t i o no f c o n ea n ds u b s t i t u t ei i ) a n di i i ) f o 。 t h ec o n d i t i o n 五r ，a 2 i nt h e o r e m2 3 8 a n d h e n c eo b t a i nt h ee x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s st h e o r e m o ft h ef i x e dp o i n to fd e c r e a s i n go p e r a t o r i n 3 2 ，w ei n v e s t i g a t et h et w o p o i n tb o u n d a r y v a l u ep r o b l e mo fs e c o n do r d e r o r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n a tf i r s t ，w es h o wal e m m a l e m m a3 1 l e te = c ( g ) ，尸= 妒( 工) | 妒( x ) o v x g ) c o n s i d e r t h e f o l l o w i n g o p e r a t o r k c p ( x ) = 【一( x ，y 妒( y ) ) 妙 h e r egd e n o t e sab o u n d e dc l o s es e ti nr 。，s u p p o s ek ( x ，y ，“) a n d ( x ，y ，“) a r e c o n t i n u o u s o n ( x ，y ) g g ，0 “ + 。t h e nv e 0 ( x ) p ，k ：p 寸p i sf r d c h e t d i f f e r e n t i a l ，a n d i t sf r d c h e td e r i v a t i v e o p e r a t o rk ( 妒o ) i s t h e f o l l o w i n g l i n e a r i n t e g r a lo p e r a t o r ： k ( 妒o ) h ( x ) = l ，k ：( x ，y ，妒o ( y ) ) ( y ) 咖 t h e nw eo b t a i nt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s st h e o r e mo ft h es o l u t i o no ft h e f o l l o w i n gt w o - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fs e c o n do r d e ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ： 一窘= f ( t ，x ) v 吲叫】； ix ( 0 ) = x o ) = 0 c o n e i u s i o n 3 1s u p p o s e j ) 0 蔓f ( t ，工) i sd e c r e a s i n gw i t hx ，a n d i th a sc o n t i n u o u sf i r s to r d e rp a r t i a l d e f i v a t i v ew i t hx o n 【o ，+ ) ； i i ) 0 0 ，使 0 x y j i i x l 蔓n l l y t l 定义1 2 p 是正则锥是指x 。 c e ，则 x l x 2 - - x 。- y x 。寸x e ( n + ) 引理1 1p 的正则性蕴涵正规性 定义1 3 d c e ，算子a ：d 寸e 称为d 上的减算子，若x 1x 2 d ，且 工1 0 2j a x l a x 2 定义1 4 算子a ：d _ 称为次连续的，若 弱 x 。，x d ，。斗x ja x 。斗a x 定义1 5 算子a ：d _ e 称为凝聚的，若4 连续，有界，且对任何非相对紧的 有界集s c d ，都满足口( 爿( s ) ) 甜a v z ，则存在y ，v y z ，使a y y 山东大学硕士学位沦文 i i ) 若爿x u o ，且a w 1 p 令“= w ，则 下面选取“。( r = 2 , 3 ，) 当“，“m = 2 , 3 ，) 取定时，取x g 满足条件 x 十且陋一z i n _ i8 其中m o z + 且v 脚z + ，不存在x g ，使一b i n _ 1 | 1 一i n _ 2 l l ( 1 2 ) ( 1 3 ) 令“，= x ( 由i ) 知，这样的x 必存在若x 不唯一，我们取其中之一即可) 这样，我们得到一个增序列 “o “l ! ，2 “” y o “。，使a y o y o 3 q 州 n 1 m o ， 工 砜 舢 h = v g 已 山东大学硕士学位论文 令 9 y 。“n = d 0 由“。一“，知，存在n 。ez + ，当” 。时，有 她一u n 怦d ( 1 7 ) ( 1 8 ) 又 1n 、 y 。 “+ “。+ i “这里打 n 。， l l _ 9j 由( 1 7 ) ，( 1 8 ) ，( 1 9 ) 及单调范数的意义知 i i 胪m - y 。叫1 = 占扑一吼 - r 砒，这里h ”。 p 4 1 v n n o , 有i l y 。一。一“。j h y 。g 及“。的选取方法知应 故有 酏。+ ：一：，。扎* t 。一“。k 、+ ：一“、+ t i t 。，v ”，”。 这与“。_ “。矛盾 故( 1 6 ) 成立，邸“，为4 的一个不动点证完 定理1 2 尸是e 中锥，a ：k v 】斗e ，且 若v x h v ，下列两个条件之一成立 i i i ) 若爿x x ，则存在y ，“ x ，使4 y “， a v x - q 出蔓x 中必有一种情况成立) ，且定 山东大学硕士学位论文 理1 1 中条件a ) 或b ) 满足，则a 在 “，v 中至少存在一个不动点 证明以( 1 1 0 ) 成立为例证之，只需证明定理1 1 中i ) 或l i ) 成立即可事 实上，我们可证i ) 和i i ) 均成立，以i ) 为例证之 令g = b 旧x _ x “，v ，从g 中任取，下设v 二 x 。，：阻，v 都有 a z ： 现取一个气，v ：。 x 。，则4 毛z 。令：。= 圣乇单，则z 。寸，且 其中= 。满足 。4 z 。：。( h = 0 , 1 ，2 ，) ( 1 1 2 ) 由一次连续知出。3 爿，又由p 的闭性及( 1 1 2 ) 知_ 曼x 。，这与g 矛盾 故i ) 成立i i ) 可类似证明成立 当( 1 1 1 ) 成立时，类似可证定理1 2 中f i j i i i ) 和) 均成立，故爿在v 】中至 少存在一个不动点证完 1 2定理在非线性积分方程上的应用 我们将定理1 1 应用于非线性积分方程： 1 训卅：辫删妙， ( 1 1 3 ) 其中0 工s 1 ，0 y 时，t ( x ，y ) 0 ：当x y 时，t ( x ，j ，) 0 ： ( i i ) j v 0 ，使当0 x ，y l ，x y 时，有i 丁( x ，y ) l c l x - y l 9 s ( x ，y ) ，其中c 是常数，s ( t y ) 在o 墨y 1 上非负有界，且满足甄s ( x , y _ 2 0 证明 当t ( x ，y ) = 0 时结论显然成立，敌下设r ( z ，y ) 0 山东大学硕士学位论文 作代换 则方程( 1 1 3 ) 变为 贴) = 志。 l 工】 ( 1 1 4 ) 贴，= f ：而怒1 南妙， 并且1 ( x ) 0 对应于妒( x ) 0 姗，= 端 则( 1 1 5 ) 变为 ( 1 1 6 ) 贴) = j ：筹南吵 ( 1 易知，与r ( x ，y ) 类似，r ( x ，y ) 也满足( l ) 干口1 1 1 ) 令e ：c o ，l 】，p ： 妒c o ，1 如( x ) o ，v o x s l ，则p 是e 中一个正规锥 考察算子 c 蝴，= j ：辫，高萨- ( 1 由参考文献 2 第三章例2 2 知，算子爿：j p 斗p 是减算子，而且是全连续的，并满 足a 护 0 ，a ：目。4 口 当a - o ：a o 时结论显然成立，以下我们设a ：o 妒，即( 爿妒) ( 工) 妒( x ) 且( 4 妒) ( x ) 妒( 工) ， q x o ，l 】由 ( 1 1 6 ) 和( 1 1 8 ) 知 ：而1 淼y ，南1 妙吲z ， oo ( + 妒( x ) ) ( x 2 2 ) + 妒( y ) 。 且 j ：雨i 嬲y ，志1 妙蚓班v 蚓o i l 】 j o ( + 妒( x ) ) ( x2 2 ) + 妒( y ) 6 山东大学硕士学位论文 记 易知 令 坼，= ：等高萨， 日( x ) 妒( x ) + 妒2 ( x ) 且h ( x ) 妒( x ) + 妒2 ( x ) ，v x 【o ，l 】 ( 1 2 0 ) f ( x ) = p ( x ) + 1 肝4 h _ ( 一x ) - 1 2 ( 1 ，2 1 ) ，( x ) 妒( x ) 且，( x ) 妒( 工) ，v x ( o ，1 1 ( 1 2 2 ) 即f 妒又易知a o 厂，故a o ， 妒 又由( 1 1 6 ) ，( 1 1 8 ) ，( 1 1 9 ) ，( 1 2 1 ) ，( 1 2 2 ) 知 ( 倒班器= 盟杀篙盟川蚰( 删班厂( x ) , v x 0 1 即 厂 ( i ) 验证成立 故由定理知，a 在咿，a 臼 中至少具有一个正不动点妒。( x ) c 【o ，1 】由( 1 1 4 ) 令矿( x ) 2 i 弓丽，则妒( d c 【。，1 且o ( f ) 与4 ( ( ，) ) sh ( ，) 中必有一个成立) 则爿在阻，v 】中至少存在一个不动点 证明以“a u ，a v v 为例