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复杂曲面的高精度数字化表示 学科：机械制造及其自动化 研究生签字：谚袢杉 指导教师签字： 摘要 数字化曲面是一个连续曲面的数字化点集合。随着现代制造技术的发展， 各种复杂曲面的应用越来越多。这些复杂曲面一般是用繁琐的函数表达式来表 示，这样的表示对于其后序的工作如精密加工制造、虚拟制造仿真、工程分析、 产品再设计及产品精密测量都不利。在这种情况下工程上就将这些复杂曲面离 散成一系列的型值点，如何用这些点精确地复现原曲面就有着很重要的意义。 本课题的主要目的就是寻求复杂曲面的高精度数字化描述方法。以往只给 出离散点集位置坐标的数字化曲面对边界条件依赖较大，很难实现对曲面的精 确描述。基于此，本文通过对几种数字化曲面描述精度进行对比，提出了为实 现曲面的高精度描述，数字化曲面所给出的最佳信息应为离散点的位置坐标和 曲面在边界点的准确切矢的观点。数字化曲面的这些信息可以通过对理论模型 离散数字化得到。本文对双三次样条函数、弗格森样条曲面及孔斯样条曲面的 描述精度进行比较，并推导出表示后曲面一些重要微观特性的求解公式。最后， 通过对蜗杆齿面的仿真得出以下结论：孔斯样条曲面表示不但精度较高，而且 适用范围广。 基于该理论，探索出一种坐标测量机上复杂曲面轮廓度的算法，实现无论 对何种理论模型的曲面，只要给出规定格式的数据，根据实测数据就可利用该 面轮廓度算法实现面轮廓度测量，提高了测量软件的通用性。因此该课题的研 究不但能带来良好的经济效益，而且能推动坐标测量技术的发展。 关键词：曲面表示；数字曲面；样条曲面；曲面测量；面轮廓度 t h e h i g hp r e c i s i o nd i g i t a le x p r e s s i o no ft h ec o m p l e x s u r f a c e d i s c i p l i n e ：m e c h a n i c a lm a n u f a c t u r ea n da u t o m a t i o n s t u d e n ts i g n a t u n ：泓留铀拶帆 s u p e r v i s o rs i g n a t u n ：w o 儿叼了：相0 奴， b 。 d i g i t a ls u r f a c ei sad i g i t a lp o i n ts e to fac o n t i n u o u ss u r f a c e a c c o m p a n yt h e d e v e l o p m e n to fm o d e mm a n u f a c t u r et e c h n o l o g yt h ec o m p l e xs u r f a c e sa r ea p p l i e d i n c r e a s i n g l y t h ec o m p l e xs u r f a c e sa r eg e n e r a ld e f i n e db yc o m p l e xe q u a t i o n s ， w h i c hi sd i f f i c u l tt ot h es u b s e q u e n tw o r ks u c ha sp r e c i s i o nm a n u f a c t u r e ，v i r t u a l m a n u f a c t u r e e m u l a t i o n ，e n g i n e e r i n ga n a l y s i s ，p r o d u c td e s i g n a n d p r e c i s i o n m e a s u r e m e n t s ot h ec o m p l e xs u r f a c ei se x p r e s s e db ys o m es c a t t e r e dp o i n t si nt h e e n g i n e e r i n gf i e l d c o n s e q u e n t l y , t h er e s e a r c ho nh o wt oe x a c t l yc o n s t r u c tt h e c o m p l e xs u r f a c ew i t ht h e s es c a t t e rp o i n t si sv e r yv a l u a b l e t h ep r i m a r yp u r p o s eo ft h i sp a p e ri st of i n dt h em e t h o d sr e p r e s e n t i n gt h e c o m p l e xs u r f a c ee x a c t l y t h ed i g i t a ls u r f a c ed e f i n e do n l yw i t ht h ec o o r d i n a t e so f s c a t t e r e dp o i n t si sd e p e n d e n to ni t sb o u n d a r yc o n d i t i o n sg r e a t l y , s oi ti sd i f f i c u l tt o r e p r e s e n tt h es u r f a c ee x a c t l y h e n c e ，an e wv i e w p o i n ti sp r e s e n t e dt h a tt h ed i g i t a l s u r f a c ec a nb ee x p r e s s e de x a c t l yb yt h ec o o r d i n a t e so fs c a t t e r e dp o i n t sa n dt h ee x a c t t a n g e n tv e c t o r so fb o u n d a r yp o i n t sb yc o m p a r i n gt h ee x p r e s s i n gp r e c i s i o no fs e v e r a l k i n d so fd i g i t a ls u r f a c e s a n dt h e s ei n f o r m a t i o no fad i g i t a ls u r f a c ec a nb eo b t a i n e d b yd i s p e r s i n gi t st h e o r e t i c a lm o d e l t h ed e s c r i p t i o np r e c i s i o no ft h eb i - c u b i cbs p l i n e s u r f a c e 、f e r g n s i o ns p l i n es u r f a c ea n dc o o n ss p l i n es u r f a c ea r ec o m p a r e di n t h i s p a p e r s o m ef o r m u l a sw h i c hc a ne x p r e s ss o m ei m p o r t a n tm i c r oc h a r a c t e ra r c e d u c e d f i n a l l y , ac o n c l u s i o ni so b t a i n e db yt h ee m u l a t i o no fw o r ms u r f a c e ：f i t t i n g s u r f a c ew i t hc o o n ss p l i n es u r f a c ec a nn o to n l yo b t a i nh i g ha c c u r a c yb u ta l s oa p p l y t h eg r e a t e rs c o p e b a s e do nt h et h e o r y , ak i n do fa r i t h m e t i co fm e a s u r i n gp r o f i l ee r r o ro fc o m p l e x s u r f a c eo nt h ec o o r d i n a t em e a s u r i n gm a c h i n ew a sa c q u k e d n om a t t e rw h a tt h et y p e o ft h es u r f a c e ，o n c et h ed a t ai sg i v e na c c o r d i n gt ot h ep r e s c r i p t i v ef o r m a t ，t h e m e a s u r e m e n to ft h ep r o f i l ec a nb er e a l i z e db yt h i sa r i t h m e t i cb a s e do nt h er e a l m e a s u r ed a t a i te n h a n c e st h eu n i v e r s i t yo ft h em e a s u r es o f t w a r e i nc o n c l u s i o n ，t h e r e s e a r c hc a nn o to n l y b r i n gg r e a te c o n o m i c a lb e n e f i t ，b u t a l s o p r o m o t et h e d e v e l o p m e n to f t h ec o o r d i n a t em e a s u r i n gm a c h i n et e c h n i q u e k e yw o r d s ：s u r f a c ee x p r e s s i o n ，d i 西t a ls u r f a c e ，s p l i n es u r f a c e ，s u r f a c e m e a s u r e m e n t ，s u r f a c ep r o f i l ee r r o r 1 绪论 1 1 数字化曲面研究现状 1 绪论 自二十世纪八十年代末美国率先提出“先进制造技术”的概念以来，对先进 制造技术的研究与开发在世界范围内受到普遍重视。先进制造技术发展的总趋 势可归纳为：精密化、柔性化、数字化、虚拟化、网络化、智能化、敏捷化、 清洁化、集成化及管理的创新。数字化设计与制造技术是先进制造技术的的基 础。随着制造业的发展，各种复杂曲面的应用越来越多。这些复杂曲面的表达 式非常繁琐，工程上通常将其离散化为一系列的型值点。合理、简单及精确地 描述这些复杂曲面，对于产品精密加工制造、虚拟制造仿真、工程分析、产品 再设计及产品精密测量都具有重要的理论及实践意义。 数字化曲面是一个连续曲砸的数字化点集合。数字化曲面的来源主要有两 种途径：一种是设计复杂曲面时直接用离散点集来表示该曲面。另一种是用测 量仪器获得的离散的型值点集，这主要用来对实物进行反求或评定误差。 当前进行自由曲面研究的人非常多“”“，研究的过程一般是：曲面 数字化一曲面重构一网格简化一曲面拟合一数控加工。因为它们针对的对象是 复杂的外形曲面( 如摩托车车盖等) ，这些件一般不进行相对运动或零件之间的 精密配合，所以对于这些曲面的精度要求不高，因而他们着眼点是放在如何能 够方便的实现曲面的可控性、光顺性及较高的拟合效率。自由曲面的表示方法 主要有b 样条曲面和b e i z i e r 样条曲面。最近几年又出现了用x 样条曲面来表 示自由曲面。自从国际标准组织于1 9 9 1 年正式颁布了关于工业产品几何定义的 s t e p 国际标准，把n u r b s 方法作为定义产品形状的唯一数学方法后，大家就开 始广泛使用n u r b s 样条曲面来表示数字曲曲“制o ”1 。因为用n u r b s 表示的曲 面外形受权因子影响很大，如何确定权因子就成为大家关注的问题“”。 对于由繁琐的函数表达式表示的共轭曲面或共轭修型曲面，由于它们要进 行精确的相对运动及精密的配合( 如弧齿锥齿轮齿面等) ，而它们繁琐的表示方 法又不利于曲面的后序工作，如精密加工、工程分析和精密测量等，因此需探 索一种表示简单且能高精度的描述该复杂曲面的方法。这种描述方法主要包括 复杂曲面的数字化和数字化曲面的精确表示。在进行复杂曲面的数字化过程中， 为了提高表示精度，离散化时不仅要给出一组有序点集的位置坐标，而且应再 给出曲面的一些精确信息，如边界条件或曲面在该点的切矢及法矢。这些精确 的信息可由理论模型中的函数表达式计算得出。附加这些重要信息以后，就可 实现复杂曲面的精确描述。 西安工娅大学硕士学位论文 若数字亿曲面是一组有序数字点集的位置坐标和曲面在点集豹切矢和法矢 的信息集合，则人们童要提出两种方法来求解该数字化曲面。一种是代数样条 曲面的最，j 、二乘法“。4 ”，即预先设一未知系数项的高次方程( 譬如三个三次b 样条曲线方程相乘) ，然后利用该方程梯度应与已知法矢一致的原则加一约束方 程，最厢利用最优化方法来求解出该方程的系数项。这种方法的描述方稔为高 次方程，描述过程中涉及方程的降次工作、积分工作和最优化过程，处理起来 非常麻烦。勇一种方法是样条益面法m 1 ，即利用已知的数字点集的位矢预先构 造b 样条曲面方程，再附加上约束方程( 切矢或法矢约束方程) ，最后利用最优 化方法求解其控锎顶点，从箍可以得至g 数字化赫面的具体解析表示，但这种方 法的目的是为了光顺曲面，而不是为了提高曲面的描述精度。 此外，在一些精密测量的领域肉，有人采用先将复杂益面的理论模型离散 化再由弗格森样条曲面方程拟合表示。”，实质是先进行曲面的数字化，形成数 字纯曲衙，在此基础上再选用数学模型将被测魏面描述成一系列曲面片的组合 曲面。该方法的目的是提高曲面的拟合精度，是值得我们借攘的。 1 2 课题的来澡及意义 本课题来源于“c n c 齿轮测量中心产业纯”开发项习。 西安工业学院测量与控制技术研究所一直从事于齿轮测罴的研究工作，早 在1 9 9 5 年就醴研制成功了潮肉酋台c n c 齿轮测量中心，填补了多项国家空白。 该产品是西安正业学院拥有自主知识产权的高技术测量仪器，可广泛应用于汽 率、航空、航天、机床工其、仪器仪表、国防工业等科研部门及工厂计量室。 齿轮测摄中心是一种四轴联动的坐标测量机，在它的软件系统中已针对具体零 件开发如一些专用铡量软件，使玄可以完成基本零俘的准确测量。但这些测量 软件都是针对具体零件进符开发，通用性不强。 本课题的目的是实现数字化曲面豹精确表示。基于该理论，希耀可以达到 这样的目标：无论对何种理论模型的曲砸，只要给出规定格式的数据，根据实 测数据就可以实现曲面的测蠡与评定，从而提高测量软件的通用性。因此该课 题的研究能推动坐标测量技术的发展，有着比较重大的理论意义和实践意义。 本课题的研究还可以实现未知理论模型零件的反求。当前，知识产权受到 火家的重视，很多情况下，一些璧要的零件，我们只能得到一些离散的点集， 如何高精度的表示这样的数字化曲面就缀有意义。 本课题的研究还有助子数字共轭曲面的求解。数字共轭曲面的求解分为两 种情况：一种是根据一个馥面和两曲面的共轭运动，求解其共轭曲面；另一种 是根据两共轭曲面求解两越面的棚对运动。在加工时，第二种情况实际求解的 是加工时刀具相对予工件的相对运动。该课题的研究使我们一方面可以根据已 知的数字化监面和它们的共轭运动，利用点一点共轭法来求解其共轭曲面，另 一方面也可以根据两个作共轭运动的数字化曲灏来求解其共轭运动，从而为数 字化曲面的共轭展成加工奠定理论基础。 2 西安工业大学硕士学德论文 1 3 本课题研究的主要内容 本课题研究的主要内容是实现数字化蝗面的精确表示。匿为数字化曲面是 一系列离散点的信息集合，首先我们需要探讨数字化曲面的信息集合中包括何 种信息才能实现曲面的高糙度表示。进一步我们再探讨采用俺种方法求解数字 化曲面的解析表示，这种表示方法要精确并尽可能简单。 1 4 本文的主要工作 本课题主要目的是实现数字化曲嚣的精确描述。具体解决姨下闯题：进行 曲面数字化，获得数字化曲面的合理信息集合；探索数字化曲面的表示方法， 实现数字化曲婚高耪度的表示；对表示出的解析曲面进行拟仑糖度分析及重要 微观特性的求解；最后探讨该方法在实际钡4 量中的应用。 全文共分五章，具体内容如下： ( 1 ) 绪论； ( 2 ) 数字化曲面袭示的数学模型； ( 3 ) 数字化曲面表示的精度分析； ( 4 ) 数字化曲面的表示在圆弧蜗书 齿面轮廓度测量中的应用： ( 5 ) 结论。 3 2 数字化曲面表示的数学模型 2 数字化曲面表示的数学模型 2 1 曲面的数字化 2 1 1 曲面的数字化方法分类 曲面的数字化是指在控制精度的前提下合理确定曲面数据点的数量及其分 布，最终目的是为形成数字化曲面提供合理、精确的三维数据。曲面的数字化可 分为实物测量数字化和理论模型离散数字化两类方法。 2 1 2 实物测量数字化方法 实物零件的数字化方法是通过特定的测量设备和测量方法获取零件表面离 散点的几何坐标数据。获得了样件的表面三维信息，才能实现复杂曲面的建模、 评价、改进、制造。一般说来，三维表面数据采集方法可分为接触式数据采集 和非接触式数据采集两大类。接触式有基于力一变形原理的触发式和连续扫描 式数据采集和基于磁场、超声波的数据采集等。而非接触式主要有激光三危测 量法、激光测距法、光干涉法、结构光学法、图象分析法等。另外，随着工业 c t 技术的发展，断层扫描技术也得到了应用。 实物测量时，采样点越密集，则测量精度越高，测量效率越低，反之，采 样点越稀疏，测量精度越低，而测量效率则高。测量时为兼顾测量效率及测量 精度，一般采用自适应测量方法进行测量“。这种方法是根据曲率自动调整测 量点的密度，曲率大，测量取点密，曲率小，测量取点稀。 2 1 3 理论模型已知的曲面数字化方法 理论模型已知的曲面数字化方法是通过对曲面所给定的理论函数表达式进 行计算而得到一系列离散的数字点集。与实物测量数字化方法相比，这种方法 不含加工误差和测量误差，所得到的点是理论准确点，因此曲面反求时一般要 求过每一个点。正如前文所述，为了确保实现曲面高精度的表示，要对数字化 曲面所包含的信息提出一定的要求。若数字化曲面的信息中只包含一系列点集 的位置坐标，实现对它的高精度的表示是不大可能的。因此需要探讨在此信息 基础上应再附加何种信息才能保证数字化曲面的表示精度。 4 西安工业大学磷士学位论文 因为曲面最重要的微观特性是曲面上点的切矢和法矢，所以我们试着探讨 在点的位矢基础上附加点的切矢和法矢，观察具有这样信息的数字化曲面经过 反求| 【三l 盾表示精度有什么改变。融此在对理论模型进行离散化时，不仅要计算 出理论娅匿上离散点的位置坐标，而且还要计算这些点在理论曲面上的切矢与 法矢。 2 2 数字化曲面表示的数学模型 数字化曲面是一个连续曲愿的数字化点集食。数字化曲蕊的表示主要解决 如何用最简单的方法实现对它的离精度数学描述，以使后序利用该拟合模型进 行的工作( 如求解该曲谣的微观特性、对曲面的品质分析及对曲面的数控加工) 易于进行。 2 2 1 表示方法分类 数字化曲面的表示方法可分为两大类：插值法和遇近法。插值法中曲面的 表示是逶过所有豹数据点，这种方法逶常用于精确点的拟台。遥近法中酋箍豹表 示不必通过所有的数据点，但它表达了对数据点总体最优逼近的程度，这种方法 通常援于处理大量的数据点或耀要蹲测爨误差帮噪声进行平均化的情况之中。 曲面拟合技术方法可分为两种：纂子点一样条曲线的曲面构造方法和基予点的 睫面撅含方泫。蘸者类似予腿面鹣正向设计，精先圭点数合出构成曲匿豹网格 曲线，最后由网格曲线构造曲面；后一种方法是直接进行曲面对数据点的最小 二乘羧会，最终得到满足拟合竞蓑豹遥遮曲西( a p p r o x i m a t i o ns u r f a c e ) 。 2 2 2 数字亿鞠菰的分类 若从构成数字俄曲面的信息集合这个角度来分类，数字化曲面分为两类： 一类是表示自由曲面的一系列仅由离散点位置嫩标信息构成豹数字化越面，另 一类是表示复杂曲面的具有更多信息构成的数字化曲面，这魑信息中不仅包含 离散点的位置坐标，露且还包含一些重要的附加信息( 譬如曲疆的切矢及法矢) 。 对于第一类数字化曲面，姗面表示精度不高，本文称这种数字化曲面为自由型 数字化曲露。霭对于第二静数字化曲薤，由于该面一般要进行重要的传动与配 龠，表示的精度必须要高，本文称这种数字化曲面为约束型数字化曲面。 2 2 3 数字化曲面表示方法的选撵 a 自由型数字化曲面的表示方法 s 西安工业大学硕士学位论文 自由型数字化商筒豹表示是当前研究韵一个热点领域。它的表示方法有多 种，主簧方法是采用最小二乘法和样条曲面来求解数字化曲蕊的解析表永。常 用盼样条曲面有双三次样条函数、孔斯样条益面、弗格森样条益面、b e z i e r 、b 样条曲丽和n u r b s 曲面。当前，也出现了一些改进的或新的表示方法，如e b 样 条曲面和x 样条曲面。上述方法中后几稀应用受为广泛，因为采用这些方法进 杼曲厦的表示厢嚏面的外观可控性较好，通过调整控制顶点或权因子可以实现 曲面外观的调整，从而改善曲面的光顺性。但使用这撩方法时由于仅仅已知数 字点集的位置嫩标，属于欠约束问题，因此必须加边界条件，才能有唯一解。 然而如果边界条件稍傲改动，益面就会发生较大的改变，因诧这些表示方法的 缺点是表示精度不高。 b 法矢委l 数字化曲面的寰示方法 约束型数字化曲面的数据信息中不仪包含离散点集的位鼹坐标，而且还包 括一些其它重要豹约柬信息。因为切矢和法矢是曲面最重要的微观特性，所以 可选择这两个信息作为数字化曲面的约束信息。我们研究的融的不仅是要实现 数字亿曲面的商精度表示，而且要求这种表示方法尽可能简单，若同时选择切 矢和法矢两种信息作为约束信息，则曲面的表示方法必然会繁琐一然。因此一 般选择一种约束信息，或选择法矢或选撵切矢作为约束信息，本文中称法矢为 约束信息的数字化曲厩为法矢型数字化曲面，称切矢为约束信息的数字化曲面 为切矢穗数字化曲面。 对于法矢作为约束信息的数字化曲面，可采用代数样条曲面的最d , - 乘拟 会方法进行数字化瞳面的表示。这种方法的实质是保证拟合詹的曲面每处的梯 度与原理论曲面的法矢方向一致。 设数字化曲面中离散点集的位矢为曰- ( a j ，p f a j ) 帮，法矢为n i ，首先 将该曲面的函数表达试设为： ，o ，y ，：) t m s o 料f ( y ) q o b 甜 # ，帮扭 其中： m 。( 、n j ( y ) 、q o ) 分别为对应于放面在三个坐标方向上备自一缎节 点的三次样条函数。岛“是实数系数项。一旦c j 肿确定，则代数样条曲面的方 程就唯一确定。 弓i 入代数距离方程；l ( e ) - 【，镌j ，a p i ，强2 为了引入法矢这个约束，另设一方程为： m ( c ) - 捌w 瓴p ，) 一i 8 2 一( 正慨，l ，a ，2 ，p l ，) - - h i , 1 ) 2 + ( ( n j ，j p 啦，鼽，) - - ? 1 1 , 2 ) 2 + ( ( p 蛆，p 啦，p 蛐) 一吃，) 2 6 谣安工业大学硕士学位论文 若将求解实系数项的方程定义为线性组合： f ( c ) 一l ( c ) + 蝴( c ) 一m i n 则会出现两个问题：求解过程中会产生奇异矩阵；代数样条曲面不连 续。 故又引入调整方程： g 。m 甓+ 2 9 + 嚣+ 2 9 + 2 9 斗f 鳓彘 从而可推出最终求解实数系数项豹方程为： f ( c ) 一l ( c ) + t a l m ( c ) + a h g ( c ) 一脚巍 方程中斯与为权因予，可以通过在不同区间配鬣不同的权因予来调整局 部被逼样条曲瑟的外腮。 c 切矢型数字化曲面的裹示方法 对予切矢作为约束信息的数字化曲丽，它的表示方法主要有三种：双三次 样条函数、孔斯样条曲面、弗格森样条曲面。采用这曼种方法进彳亍数字化曲面 的解析式求解，系数矩阵缀相近。系数矩阵壹接显含数字点集的位置坐标、一 阶偏导矢和混合偏导矢，已知切矢后可以直接进行求解，求解过程非常简单。 这三种方法的具体数学模型如下： ( 1 ) 曲面的双兰次样条函数裘示 1 ) 定义。 d e d o o r 在1 9 6 2 年提出了一种定 义在矩形区域矩形分割上的双三次 样条函数插值方法，从理论上证明了 插值双三次样条函数存在豹难一往，v f 弗且建立了有效的算法。采用双三次 黼数就是采用两个一元三次丞数的 直积。它定义如下： 设在t l v 平面上的矩形区域r ： a i b c ，d 上给定一个矩形网格 分割a = au a v ，其中 1 轴讪 图2 1 h “l 矩形参数域图 au ： a = t l o u l u 。= b av ： c = v o v l v 。= d 凡满足下述两个条传的函数p ( u ，v ) 称为双三次样条醋数。 在每个子矩形r i j ： u ，- i ，u 。 v j _ 1 ，v j ( i = 1 ，2 ，n ：j = l ，2 ，n 1 ) 上， p ( u ，v ) 关于u 和v 都是三次多项式函数，即 地v 卜。毳瑶 咄“y p 啤t ) 7 7 ( 2 1 ) 西安工业大学硕士学位论文 在整个r 上，函数p ( u ，w ) 的偏导数帮， ，卢- o , 1 ，2 ) 是连续 的。 2 ) 数学模擞 在证明插值双三次样条函数存在难一性时，证明只要知道r ，的四个顶点上 的函数值，两个方向的一阶偏导数值以及二阶混合偏导数值等十六个数据，r ， 上的双三次样条薛数p ( u ，v ) 就可由如下形式碓一确定： 茗国，d f f i ( u 一嗨一，) 】弘魄) 】【c b 隧据j ) r 盼一v 一搭 ( 2 2 ) ( u ，v ) r l j 式中记号 u _ u 。；】代表关于变元( u - u 。) 的lx 4 阶矩阵； 睁一嗨。强t 国一嗨。) 3 翻- - u l 。) 2 趣一冁。)1 1 v - v 1 代表关于变冗( v - v ) 的4 1 阶矩阵： 【( v v h ) rt 【( y - 1 , 1 1 ) 3 ( v - v j 一1 ) 2p v ，_ 1 ) 1 】1 ； c ，代表系数矩阵： 【c k _ 毛吐薯- 1 , t 薯，j q嘞 p i 一1 j - 1 p 吨i p t i 4如 呸吐j q 岱- 1 ，j 吼。j 1嘶 毫一1 , j 。1i 。 n墨j 系数矩阵 c 。，中各元素的意义分别是 蟊一氟魄，”j ) p q 一毛瓴，”j ) s q 一茗。乳，9 j ) 魄) 】- p 溶川。 2 酵 3 霹 0 l 2 霹 3 砰 0 o 1 砰 2 趣 1 o l 蟹 1 囊 o o 22l1 g ，3g j 3g ，2g ，2 332l g ，g j g sg s 001 0 10 00 8 ( 2 3 ) ( 2 。4 ) 西安工业大学硕士学位论文 鼻一吩一, l j 一1 g 一”j 一”卜1 ( 2 ) 曲面的孑l 斯样条曲面表示 1 ) 参数三次样条曲线的h 分段h e r n l m i t e 插值 如果给定数据点号，i o ，1 ，2 ，以及其切矢毒，i - o ，1 2 ，捍，又对数据点实 行了参数化，决定了参数分割。：t 心c “：t “。，就可构造一条分段三次多 项式曲线p ( u ) ，插值于给定的数据点及其切矢，即有 尸0 i ) ；卑p i ) - 只f 一0 , 1 , 2 n ， 可以给出它的分段表示式： 尸0 ) - f o ( 0 墨( f ) a , 6 0 ( t ) a , o x ( t ) 】 层 墨n 露 层+ ， “f 蔓h 墨峨+ 1 ( 2 5 ) i 。0 , 1 , 2 h 一1 其中t 。坐。 a f 参数三次样条衄线具有如下性质： 具有二阶连续导矢。 存在唯一性。当数据点、边界条件与参数分割确定后，所定义的参数三 次样条曲线就是唯一的。 收敛性。如果数据点取自某已知或未知的被插曲线，且所取数据点不断 加密时，所生成的参数三次样条曲线序列将收敛到被插曲线。为了在捶值曲线 中构造出局部曲率变化较大的部分形状，在该局部范围内适当加密数据点，就 可达到预期效果。 计算稳定。改动一点或边界条件，它对样条曲线的影响将随着与该点相 隔段数的增多而迅速衰减，这带来了计算上的稳定性。 整体性。尽管改动一点或边界条件的影响随着相隔段数的增多而迅速衰 减，但其影响将涉及整条曲线。这样的性质使得参数三次样条曲线不便于进行 局部修改。 2 ) 孔斯样条曲面 孔斯样条曲面定义如下： 给定拓扑点阵p 。f 一0 ，1 2 ，胁：，一0 ，1 , 2 ，l ，且所决定的两个参数分割 a 。：“o “1 “2 “。与a ，：v o h v 2 k 分别是关于参数u 与v 的任意递增 9 西安工业大学硕士学位论文 序列，那么就可以给出分片定义在子矩形区域“；s “墨“。，v ，s v v j , 1 上用参数 双三次h e r m i t t e 形式表示的孔斯样条曲面方程式： p ( u ，v ) ap o o ) e o ) a ；g o ( s ) a i g 。o ) 】 最 号“j 川 艺j 昂o ) e ( f ) a ，g o ( f ) ，g 1 0 ) ( 2 6 ) 其中s t 专 ，f o ，1 2 ，m 一1 - f 一半，一o ，1 , 2 ，n 一1 0 右端四阶 ： 。 系数方阵中左上角二阶子块内的元素即是数据点阵给出的数据点，是曲面片的 四个角点，即曲面网格线的交点。左下角、右上角与右下角各四个元素分别为 该四角点处的u 向切矢，v 向切矢与混合偏导矢。f o ( s ) 、f 。( s ) 、g o ( s ) 、g 。( s ) 、 f o ( t ) 、f 。( t ) 、g o ( t ) 、g 。( t ) 是指参数三次样条曲线的混合函数。 ( 3 ) 曲面的弗格森样条曲面 表示 给定呈拓扑矩形阵列的数据 点p i j ，i = o ，i ，m ：j = o ，1 ，n ， 将弗格森三次样条曲线用来生成 插值于该点阵的曲面。沿u 向和 v 向分别由三切矢方程再加上边 界条件，即可得到数据点处所有 的u 向和v 向切矢p ，j 和p m 图2 2 弗格森样条曲面图 并生成u 向和v 向网格线，从而构成了曲面的网格骨架，给定的数据点就是网 格交点。定义在子矩形区域u ，u u 。，v ，v v 。的弗格森样条曲面的分片表 达式为： p ( - ，v ) - 【f o o ) e o ) g 。o ) g ，0 ) j只，+ 1 只“m ，“ oo 0o 矗o ) e p ) g o o ) g ，o ) ( 2 7 ) 其中s t u f ，ia 0 ，1 2 ，m 一1 ：t v 一，j - 0 ，1 ，2 ，n 一1 ，弗格森样条曲面如 图2 2 所示： 弗格森样条曲谣能够实现沿公共边界相邻曲面片具有公共的跨界切矢，但 它生成的曲面片在接近角点处局部变得平坦。 1 0 w 一彬一 勋纠肋w职肋肋啪 肪删蹦伊鼢删蹦铲 r1l【 西安工业大学硕士学位论文 d 约束型数字化曲面表示方法的选撵 对于切矢作为约束信息的数字化曲面，选用双三次样条函数、孔斯样条曲 面、弗格森样条曲面来求解其解析表示，在求解过程中可以将已知条件直接代 入系数矩阵中进行求解。 对于法矢作为约束信息的数字化曲面，选用代数样条曲面的最小二乘拟合 方法求解其解析表示，在求解过程中要引入三个方程，m ( c ) 方程中要对预设样 条曲面方程求每点的梯度，g ( c ) 中要进行积分运算，最终的优化方程中还包含 两个可调节的权因子，程序的自动化功能降低。总体来看，这种方法不但算法 繁，而且该方法的出发点依然是实现曲面的可控性，表示精度不高。 通过比较，在本文中首先选择切矢作为约束型数字化曲面的约束信息。在 此基础上选择较为接近的三种曲面的表示方法即双三次样条函数、弗格森样条 曲面和孔斯样条蓝面来表示数字化曲面。 1 l 3 数字化曲面表示的精度分析 3 数字化曲面表示的精度分析 3 1 数字化曲面表示的精度分析 3 1 1 表示精度的定义及求解 为了探讨实现高精度数字化曲面的表示方法，本文分别对自由型数字化曲 面和约束型数字化曲面进行反求，又对反求后曲面的表示精度进行对比。 表示精度是指拟合后的曲面与原理论 曲面差距的大小，具体是指拟合曲面与原 理论曲面的偏离程度。 在求解拟合曲面到原理论曲面的偏离 距离时，采用的方法是求拟合曲面上的点 到理论曲面上对应点之阔的距离。这就需 要在拟合后的眭i 面里选择一些点作为参考 数据点集，以这些参考点集到原理论曲面 的距离为目标函数，对拟合精度进行评价。 本课题在进行具体仿真计算时，为了更客 观的对拟合精度进行评定，将每一个拟合 后的曲面片所对应的矩形参数域沿两参数 图3 1 拟合误差图 方向均匀细分成1 6 个小矩形参数域，以这些小参数域的交叉点为参考数据点， 计算这些参数数据点到理论曲面的距离，其中最大的即为该曲面片的拟合误差。 按同样方法计算出所有曲面片的拟合误差，所有误差中的最大值即为曲面的整 体拟合误差。由于这种拟合偏差属于小偏差，因而在进行具体计算对应点的距 离时，就直接计算这些参考点到理论曲面上同参数的对应点( p * o ，p + 。，) 之间的 距离来近似代替拟合曲面到原理论曲面的距离。 3 1 2 自由型和约束型数字化曲面反求方法的比较 为了探讨约束型数字化曲面的表示和自由型数字化曲面的表示对精度的影 响，从而找出实现高精度描述数字化曲面的方法，本文对这两种方法进行了比 较。 由于本文采用的约束型数字化曲面为切矢型数字化曲面，它的表示方法是 双三次样条霸数、弗格森样条曲面和孔期样条曲面这三种方法，而这三种方法 也可用来进行自由挺数字化益面的表示，因而本文就采用这三种方法进行自由 型和约束型数字化曲面表示的 b 较。这兰种方法是作为自由型数字化曲颂的表 示方法还是作为切矢型数字亿曲面的表示方法主要取决予它们的系数矩阵的求 解。作为自由型数字化曲面进行拟合时使用这三种方法前酋先要利用m 连续方 程计算出每点的饬矢，然后代入系数矩阵求解。而作为切矢型数字化曲面进 行拟含时则是先通过理论表达式直接计算出每一点的理论切矢值后代入系数矩 阵求解。 a 双三次样条函数表示方法中系数筑阵的求解 通过双三次样条函数p ( u ，v ) 的数学模型，可以看出该方法在子矩形r l + 上的表示式完全决定于系数矩阵 c 。而该矩阵是由离散点集的位置坐标和一 阶偏矢及二阶偏导矢决定。在自由型与约束型数字化曲面中离散点的位置坐标 都已给出，那么解决该问题的关键是求鳃这龋离散点集在曲面上的切矢。 对于切矢型数字亿曲面，是通过复杂曲面的理论函数表达式赢接计算得出 曲面准确的理论切矢。 对于自由型数字化益面，煲唾首先由点拟会出构成曲面两参数方向上的网格 曲线，求取网格线上的切矢即为离散点在妲丽上的一阶偏导矢。 一般情况下，如果仅给点集的位矢，对其进行拟合，那么这种方法属于欠 约束阋题，除了利用位矢外，还要再根据具体情况附加两个边界条件，才能使 最终的解唯。在求解切矢的过耧中用的是m 连续方程，其求解过程如下： 分别固定v = v j 和u = u l ( i = 1 ，2 ，m ：j = 1 ，2 ，n ) ，则分别形成两簇三 次祥祭函数的1 1 1 连续方程， ) t p i - i j + 懒矿3 卜半+ 艘警】 ， ( i 2 1 ，2 ，m - 1 ) 岛一吒0 f ，v i ) 低t + + 鲜j q t j 1 3 卜孚螂，+ 警】 z ， ( j 2 1 ，2 ，n - 1 ) * 毛如，v j ) 荐加上边界条件分别对两簇参数通过追赶法求解出曲面上所有节点沿u 向 和v 向的一阶偏数p l j 和q t j o 在边界条件未知情况下一般选用单位模长的切矢作 为边界条件。 对于混合偏导数的求解采用如下的公式： 龋安工业大学硬士学位论文 低鸠+ u i s i , i + l 3 卜半m + 警】( 3 s ， $ j * 工。，0 f ，匕) 上式是以u 向的一阶偏导矢为输入数据，再加上混合偏导矢的边界条件， 翔可通过追赶法求出所有点的二阶混合偏导矢。 b 孔斯样条曲面表示方法中系数矩酶的求解 从其数学模型可以得出结论：该数字化曲面的表示仍然是由系数矩阵唯一 决定，关键问题依然是求解切矢。 对于切矢型数字化曲磷，由理论方耩计算得出精确的理论切矢，再将其直 接代入求解方程就可以求出数字化曲蘑的解析表示。 对予自由黧数字化曲面，必须先求出一阶二阶偏导矢。沿u 向和v 向分别 电三切矢方程 ”+ 2 ( ”挑心啡等“。争 ( 3 4 ) i = 1 ，m 一1 a 一t + 2 ( a ，一+ a 服，+ a h - 一氇垒a 丝y _ z + 垒a 马j ( 3 5 ) j = l ，n 一1 荐加上边界条俘，通过追薤法即可得到数据点处所有的u 向和v 向切矢凡。 和凡，。 一般补充的边界条件楚边界点集的一阶偏等矢和四个角点混合偏导矢，这 样形成的已知数据信息如表3 1 ： 表3 1 数字化曲面已知信息集合 r ，m 。r op u ，o 1 nr ，j o 。 p v ，m b心。凡，p o 。p ，。 p op 1 op 1 1 p l ，np ，。1 n i - ； ： p op - o氏， k 。p ， 。 r or p o 气。气 具体求解未知切矢的步骤如- f ： 固定数据点阵的第二下标j ( j = 0 ，l ，2 - n ) ，得数据点p t j ( i = 0 ，1 ，2 m ) ， 加上端点切矢毫舢与虎刖住边界条件，在u 参数分割矗。土j 鸯造参数三次样条 曲线，通过追赶法求出所有u 向蚓格线( v = v 。j = o ，1 ，2 ，n ) 上网格点处的所 1 4 西安工业大学硕士学位论文 有u 蠢切矢。 固定j ( j = 0 ，n ) ，分别以v = v 。- qv = v 。边界上网格点的跨界切矢 p “，j ，i = 0 ，1 ，2 m ( 即v 向阏格线豹端点切矢) 视作“数据点”，以r ，。j 与n ，。 视作吣巍点切矢”边爨条件，在u 参数分割。上构造参数三次样条曲线，通过 追赶法解出的未知切矢即为两u 边界网格线上网格点处的混会偏导矢。 网定数据点阵第一下标i ( i = 0 ，l ，2 ，m ) ，得数据点p 。j = o ，1 ，2 - - n ，加 上端点切矢段。与段，。作边界条件，在v 参数分割a 。上构造参数三次样条曲 线，通过追赶法求出所有v 向网格线( u = u 。，i = 0 ，1 ，2 ，m ) 上网格点处的所有v 向切矢。 固定i ( i = 0 ，1 ，2 ，m ) ，视p 。j = o ，1 ，2 ，n 为数据点，以步骤2 求出 的端点混合偏导矢p u y ，。与n 。视为端点切矢边界条件，在v 参数分割厶，上构 造参数三次祥条曲线，通过追赶法解出豹未知切矢即为所有网格煮处的混合偏 导矢。 c 弗格森祥条曲面表示方法中系数矩阵韵求解 弗格森样条曲面的系数矩阵与孔斯梯条曲面系数矩阵的求解过程基本相 闷，只要令孔斯样条曲面的系数矩阵中左下角四个二阶混合偏导矢为零即可得 到弗格森样条曲面的系数矩阵。 d 求解系数矩阵的追赶法 从上述a 、b 和c 中可以看出求解系数矩阵都使用了追赶法。因为按照它们 的已知信息，m 连续性方程都可以写成如下形式( 不间方法不同情况下系数矩 阵和常数项中各项的值有所不同) ： a m d 彳_，d_ d o d l d 2 d 。d d 。 镌为艨求的切矢。连续性方穰中寿n + 1 个来艇数，只有n 1 个方程，所以 必须补充两个边界条件。 对a 进行l u 分解： 。 痒 如h h 口 魄口t 口1 1 西安工业大学硕士学位论文 爿一l u p 。 九1 阻 九2p 2 九- 1p 九。p 1 y o 1 y 1 1 y 2 f风一a 其中 ht 以展( 七一o ，1 2 ，n 一1 ) l 反+ 1 一口一九+ 1 y i f l y - d l u m y 由u r n y 得 。m 。n 。w y y 。n 一，。+ 。( k - n - l , n - 2 , , o ) 用此追赶法，即可得到m 的值。 3 1 3 仿真分析 1 y 。- l 1 a 仿真方案设计 在进行仿真时，为观察已知条件对反求后的曲面拟合精度的影响，将数字 化曲面分为四种情况： 边界条件a 情况：给出边界点的单位一阶偏导矢和四个角点的单位混合偏 导矢； 边界条件b 情况：给出边界点上准确的一阶偏导矢和四个角点的准确混合 偏导矢； 边界条件c 情况：给出边界点的准确一阶偏导矢和所有边界点的准确混合 偏导矢。 已知信息d 情况：对于切矢作为约束信息的约束型数字化曲面，给出所有 离散点的准确一阶偏导矢和准确混合偏导矢。 1 6 、， 玎32 l 蕾 艮vb y 1 0 九p 一 i 如何 1 0 t y y ，l。l 得 d _ 砂 由 西安工业大学硕士学位论文 本文就对这