（基础数学专业论文）不变子空间方法在非线性偏微分方程中的应用.pdf

摘要 在本文中，我们主要做了以下三个方面的工作： 1 利用不变子空间方法，我们给出了一般薄膜方程 t h = - - f ( u ) u z z z g ( u ) u z u z 嚣一 ( 仳) u ：霉 一d ( 札) 乱：乱扰+ p ( u ) 正+ 口( 乱) 钆： 兰f m 的分类在这些方程中微分算子州乱】允许不变子空间，眠是由n 一阶常 系数常微分方程 l y 】= 秒( n + 一1 ( n - 1 ) + + a o y = 0 ，( n = 4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9 ) 定义的多项式型、三角型、指数型或者混合型线性子空间在这些不变子空 间中，我们构造了方程对应类型的精确解，并将这些方程约化为有限维动力系 统 2 将不变子空间方法进行推广，并用于带有交错扩散项的非线性方程组 饥= 【( u ， ) + p ( u ， ) 】z + r ( u ，u ) 三f 1 【u ，叫， 砚= l 9 ( 札，t ，) + q ( u ，u ) 毗】2 + s ( 乱，v ) 三f 2u ，叫 的分类在这些非线性扩散方程组中，向量微分算子( 凡【u ，u 】，f 2 u ， 1 ) 允许不 变子空间峨。咤，而孵。咤是由常微分方程组 l 1 【引三y o u ) + a n l - 1 y ( n l - 1 ) + + a l y 7 + a o y = 0 ， l 2 【z 】三z ( n 2 ) + b n 2 - 1 z ( n 2 1 ) + + b l z i + b o z = 0 定义的线性子空间，n l ，n 2 = 2 ，3 ，4 ，5 在不变子空间呱，咤中，我们构造 了这些方程的精确解，并将它们约化为有限维动力系统在大多数情况中，这 些精确解的两个分量属于不同的“纯量”子空间 3 利用与不变子空间方法相关的不变集方法，我们构造了二维带有能源项 的非线性反应扩散方程 u t = 月( 札) z + b ( u ) + c ( t 上) t 正：+ d ( u ) u ；+ q ( u ) i 的精确解我们给出了在函数集合e 1 = 【u ：= ，( 亡) f ( 乱) ，u v = ，( 亡) f ( 让) ) 和e 2 = 铭：t k = ，( 亡) ( 茁) f ( t 。) ，u v = 夕( ) y ( 可) 吻f ( 牡) ) ( ， 夕) 中不变的反应扩散方程，并得到它们的精确解这些解可以看成多孔介质 方程的自相似解的推广我们还描述了这些精确解及其对应介面的行为 关键词：薄膜方程，非线性交错扩散方程组，二维非线性反应扩散方程，不变 子空间方法，不变集 a p p l i c a t i o no fi n v a r i a n ts u b s p a c em e t h o d t o n o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，t h r e ep r o b l e m sa r ec o n s i d e r e dq sf o l l o w s ： 1 b yi n v a r i a n ts u b s p a c em e t h o d ，c l a s s i f i c a t i o no ft h eg e n e r a l i z e df o u r t h o r d e rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o na r i s i n gf r o mt h el i q u i df i l m s 锃t = 一，( 毯) 锃船z z 一譬( 牡) 缸一九( t 1 ) 谴z - d ( u ) u ：u z z + p ( u ) u x z + 口( u ) t 层 兰f m i sd e s c r i b e d ，w h e r e 州叫a d m i t st h ei n v a r i a n ts u b s p a c e d e f i n e db ys o m e n - t hl i n e a ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hc o n s t a n tc o e f f i c i e n t s l 晦1 = 秒( n + o n l 影m 一1 + + a o y = 0 ，( n = 4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9 ) t h es u b s p a c e s a x eo nt h ep o l y n o m i a l ，t r i g o n o m e t r i c ，e x p o n e n t i a lo rm i x e d f o r m e x a c ts o l u t i o n so ft h e s ee q u a t i o n sa x ec o n s t r u c t e do nt h es u b s p a c e s t h e nt h e s ee q u a t i o n sa r er e d u c e dt os y s t e m so fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 2 c l a s s i f i c a t i o no ft w o - c o m p o n e n tn o n l i n e a rc r o s s - d i f f u s i o ns y s t e m s u t = ，( u ， ) + p ( u ，u ) 】z + r ( u ，v ) 三月 u ， 】， v t = b ( 仳，u ) + q ( u ，砂) 】z + s ( u ，v ) 兰岛【札，u 】 i sp r e s e n t e db ya d e v e l o p i n gi n v a x i a n ts u b s p a c em e t h o d t h ev e c t o rd i f f e r e n t i a l o p e r a t o r ( f l u ，u 】，易阻， 】) a d m i t si n v a r i a n ts u b s p a c e 呢l 咤d e f i n e db yt h e s y s t e mo fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s l 1 【可】三( t 1 1 ) + a n l - l y ( n l - - 1 ) + + a l y 7 + a o y = 0 ， l 2z 】三z ( n 2 ) + b n 2 - 1 z ( n 2 - 1 ) + + 6 l z 7 + 6 0 z = 0 ， w h e r en l ，n 2 = 2 ，3 ，4 ，5 e x a c ts o l u t i o n so ft h e s es y s t e m sa r ec o n s t r u c t e d t h e nt h e s es y s t e m sa x er e d u c e dt of i n i t e - d i m e n s i o n a ld y n a m i c a ls y s t e m s i n i i i m o s tc a s e s ，t w oc o m p o n e n t so ft h ee x a c ts o l u t i o n sb e l o n gt od i f f e r e n t “s c a l a r s u b s p a c e s 3 w eu t i l i z et h em e t h o do fi n v a r i a n ts e tr e l a t e dt oi n v a r i a n ts u b s p a c e m e t h o dt od e r i v et h ee x a c ts o l u t i o no ft w o - d i m e n s i o n a lr e a c t i o n - d i f f u s i o ne q u a - t i o n sw i t hs o u r c et e r m 毗= a ( u ) u z z + b ( u ) u w + c ( 钍) 砭+ d ( u ) u ；+ q ( ) i ti ss h o w nt h a tt h e r ee x i s t sac l a s so fr e a c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n sw h i c ha r ei n - v a r i a n tw i t hr e s p e c tt ot h es e t se 1 = u ：= v x f ( t ) f ( u ) ，吻= 厂( t ) f ( u ) a n de 2 = u ：u z = a s ( z ) ，( ) f ( 牡) ，乱v = 6 ，( ! ，) 9 ( ) f ( u ) ) ，w i t h ，g a s ar e s u l t ，w eo b t a i ne x a c ts o l u t i o n so ft h ec e r t a i nn o n l i n e a rr e a c t i o n - d i f f u s i o n e q u a t i o n s t h e s es o l u t i o n se x t e n dt h ew e l l - k n o w ns e l f - s i m i l a rs o l u t i o n so ft h e p o r o u sm e d i u me q u a t i o n t h eb e h a v i o rt os o m es o l u t i o n sa n dt h ec o r r e s p o n d - i n gi n t e r f a c e sa r ea l s od e s c r i b e d k e yw o r d s ：t h i nf i l me q u a t i o n s ，n o n l i n e a rc r o s s - d i f f u s i o ns y s t e m s ，t w o - d i m e n s i o n a ln o n l i n e a rr e a c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n s ，i n v a r i a n ts u b s p a c em e t h o d ， i v 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规 定。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电 子版。本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国 科学技术信息研究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全 文数据库或其它相关数据库。 保密论文待解密后适 学位论文作者签名： 伽? 年c 刖汨 指导教师签名：陋 汐f 月呼日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢 的地方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：等务焉 年月f ；日 第一章绪论 1 1非线性偏微分方程( 组) 客观世界的物理量一般是随时间和空间位置而变化的，因而可以表达为时间 坐标亡和空间坐标( z l ，x 2 ，z 3 ) ，这种物理量的变化规律往往表现为它关于时间和空 间坐标的各阶变化率之间的关系式，即函数u 关于t 与( z l ，z 2 ，z 3 ) 的各阶偏导数 之间的等式这样一类的包含未知函数及其偏导数的等式称为偏微分方程一般 来说，如果( z 1 ，z n ) 是白变量，以仳为未知函数的偏微分方程的一般形式是 尸( 鼢-，茄) o ， a z 1 a z 2 n7 v ( 1 1 ) 这里p 是它的变元函数，i q i = q l + + a n p 所包含的偏导数的最高阶数称为 偏微分方程的阶数由若干个偏微分方程所构成的等式组就称为偏微分方程组，其 未知函数也是若干个【5 2 1 将方程( 1 1 ) 改写成算子形式 p m = 0 ， 其中p 是偏微分算子如果p 满足可加性条件，即 p 【q 仳l + q u 2 】_ c 1 p u l 】+ c 2 p u 2 ，q ，岛r 那么方程( 1 1 ) 被称为线性偏微分方程否则，被称为非线性偏微分方程【4 8 1 类似 地，也可以给出线性偏微分方程组和非线性偏微分方程组的概念 在物理学及其他各门的自然科学，技术科学中，大量的问题都可以归结为偏微 分方程进行研究微积分产生以后，人们就开始把力学中的一些问题，抽象为偏微 分方程进行研究早在1 8 世纪，人们已经将弦振动的问题归结弦振动方程，并探讨 了它的解法随后，人们又陆续了解了流体的运动、弹性题的平衡和振动、热传 导、电磁相互作用、原子核和电子的相互作用、化学反应过程等等自然现象的基 本规律，把他们写成偏微分方程的形式，并且求出典型问题的解答，从而通过实践， 验证这些基本规律的正确性，显式了偏微分方程对于认识自然界基本规律的重要 性 1 第一章绪论 偏微分方程理论研究一个方程( 组) 的求解方法、是否有满足某些补充条件的 解( 解的存在性) 、有多少个解( 解的唯一性和自由度) 以及解的各种性质等等，并 且还要尽可能地用偏微分方程来解释和预见自然现象以及把它用于各种科学和工 程技术偏微分方程理论的形成和发展都与物理学和其他自然科学的发展密切有 关，并且彼此促进和推动其他数学分支，如分析学、几何学、代数学、拓扑学等 理论的发展也给予偏微分方程以深刻的影响【5 2 1 非线性偏微分方程研究作为数学模型描述出现在物理学、化学、信息科学、 生命科学、空间科学、地理科学和环境科学等领域中的非线性偏微分方程的解法 以及解的性质等问题，是非线性科学的重要组成部分关于非线性偏微分方程的研 究在1 9 世纪末已经开始，但由于其本身的复杂性，似乎每一个方程都有各自不同 的解法，很难有共同的方法和技术来解决，所以被认为是一种个性极强、很难处理 的问题这种局面发生根本性的变化是从2 0 世纪六十年代开始的这时发现了许 多不同的偏微分方程有某些共同的性质，有共同的求解方法和性质相似的解这样 就使得非线性偏微分方程成为研究非线性现象共同的- f 新型的交叉学科今天 非线性偏微分方程的研究几乎已经渗透到自然科学、工程科学、数学和社会科学 的几乎每个学科门类【4 9 1 1 2偏微分方程的精确解 从上节对于偏微分方程的描述中，我们可以看出，在偏微分方程理论的研究 中，有两方面是人们所关心的一方面是关于偏微分方程精确解的求解；另一方面 是偏微分方程解的存在性唯一性正则性的研究这两个方面在偏微分方 程理论研究的不同历史时期的发展和发挥的作用是不同的在文献【3 4 】的引言中， g a l a k t i o n o v 和s v i r s h c h e v s k i i 通过叙述偏微分方程研究的历史对精确解在偏微分 方程理论的研究和发展中发挥的作用，给出了很深刻的描述他们将偏微分方程理 论研究的历史分成四个阶段，这里我们将他们对这四段历史的描述翻译整理如下： 在偏微分方程理论的早期( 1 8 世纪和1 9 世纪) 研究中，重要问题之一就 是寻找和研究可积的方程，特别是有显式解的方程行波解似乎是人们发 现的第一类具有特定形式的精确解，这类解开始是发现于线性波动方程 的达朗贝尔公式中f o u r i e r 在研究热传导方程时，发展了变量分离方法 2 西北大学博士学位论文 在1 9 世纪三十年代，变量分离法又被s t u r m 和l i o u v i l l e 推广为了获得物理 学和力学中各种线性和非线性方程的精确解，许多著名的数学家，例如，e u - l e r 、l a g r a n g e ，l i o u v i l l e 、s t u r m ，l a p l a c e ，d a r b o u x ，b 苞c k l u n d ，l i e 、j a c o b i 以 及b o u s s i n e s q 等等，发展了各种方法和技巧这些方法包括一些特殊的变换、 对称、展开法以及分离变量法等等相似解在1 8 7 0 年左右和1 8 9 0 年左右分别 出现在w e i e r s t r a s s 和b o l z m a n 的著作中1 9 0 4 年p r a n d t l 构造了二维边界层方 程( b o u n d a r yl a y e re q u a t i o n ) 的自相似解自此，在一些文献中，经常都会出现初 边值问题的自相似解对称约化是一种可以被公式化的寻找常微分方程和偏微分 方程精确解的方法，它的出现最早可以追溯到l i e 在1 9 世纪八十年代和九十年代 撰写的论文中 在2 0 世纪上半叶，人们根据方程在数学物理中的重要性来决定它们在偏微 分方程理论中研究的顺序因此，各种不同类型的偏微分方程解的存在性唯 一性正则性的理论研究有了本质的进展，而精确解的研究失去了以前的优 越性到了2 0 世纪三十年代，特别是四十年代和五十年代，在各国的工程技术、 工业以及军事等领域中，要求对气体和流体动力学中一些很难的实际问题进行 渐近分析和奇异性分析因此，精确解和自相似约化又重回研究的舞台在2 0 世 纪三十年代的这个领域，第一个重要的观点和结果要归功于y o nm i s e s 、7 o r l k 舀r m 缸、b e c h e r t 、g u d e r l e y 、s e d o v ( 2 0 世纪四十年代) 以及其他一些专家，他们 利用伸缩和相似的技巧研究复杂的非线性模型和奇异现象这些气体和流体动力 学模型包括一些非线性方程组，其中很多问题严谨缜密的数学分析至今仍然令人 难以琢磨相似精确解是唯一可能发现非静态和奇异演化的决定性特征的方法， 例如，在气体动力学中球形波的聚焦和激波现象由此，新的和一般的偏微分方 程的群分析方法和思想首先应用于气体动力学和流体动力学，而这一工作首先是 由o v s i a n n i k o v 在2 0 世纪五十年代开始发展的在l i e 群的基础上，他提出一般 的方法去获得方程的不变解和部分不变解群不变解( 包括其特殊形式行波和 相似形式在流体动力学中的重要作用，是通过2 0 世纪四十年代b i r k n o f f 给出一个 注记来强调的 2 0 世纪后半叶，人们对于精确解和可解模型的兴趣几乎增加一倍首先，是由 于与现代物理、力学和科技相关的应用领域产生更多复杂的与非线性偏微分方程 3 第一章绪论 组相关的模型在这种背景下，值得一提的是在2 0 世纪五十年代出现的退化的非 线性多孔介质方程( p o r o u sm e d i u me q u a t i o n ) 弱解的新理论( 其唯一性可以追溯 到1 9 0 1 年的经典的h o l m g r e n 方法) 和在2 0 世纪六十年代初期在非线性光学中 由薛定鄂方程( s c h r s d i n g e re q u a t i o n ) 爆破解描述的自聚焦其次，在2 0 世纪六十 年代和七十年代用于研究非线性可积方程的方法有了很大的发展，例如，逆散射方 法和l a x 对给出了一类完全可积的演化方程，这类方程拥有可数个精确解集合 2 1 世纪初，偏微分方程理论发展的特征似乎和2 0 世纪五十年代的是相似 的人们感兴趣的许多非线性偏微分方程复杂程度之高，以至不能立即用数学 的方法建立他们的存在性正则性例如，在高阶高维的薄膜方程( t h i nf i l m e q u a t i o n ) 、高阶k d v - 型方程、拟线性波动方程和方程组( 包括广义相对论的方 程) 的理论中还有很多重要的公开问题现代偏微分方程理论提出了一些新的高阶 典范模型，而许多经典的技巧基本上都不能应用于研究这些模型在这些和其他一 般的偏微分方程理论较难的领域中，精确解将继续发挥它重要的作用 从上述g a l a k t i o n o v 和s v i r s h c h e v s k i i 的描述中，我们可以看到精确解的研究 几乎贯穿整个偏微分方程理论的研究换言之，他们所看到的偏微分方程发展史是 与精确解有关的发展史特别地，自2 0 世纪五十年代开始，精确解在菲线性偏微 分方程理论研究中发挥着非常重要的作用在文献 3 4 】中，他们指出恰当的精确 解可以最优地描述出下列泛函类： ( 1 ) 局部和全局泛函类； ( 2 ) 唯一性的泛函类； ( 3 ) 有一般的适定的渐近行为的泛函类 例如，在热方程理论研究中，其基本解具有这三个作用阻- 3 2 l ；z e l d o v i c h - k o m p a n e e t z b a r e n b l a t t ( z k b ，1 9 5 0 ) 自相似解在经典的多孔介质方程的理论研究 中，也发挥了这三个作用【3 4 ，1 删 从上述偏微分方程发展的历史可以看出。早期求解微分方程精确解的方法有： 特殊的变换法、展开法、分离变量法、李群方法等等而到了中、后期，由于出现 大量复杂的非线性方程，上述一些方法得到进一步推广，同时也产生了一些新方 法通过简单的归纳，这些方法是： ( 1 ) 非经典对称( n o n c l a s s i c a ls y m m e t r i e s ) ； 4 西北大学博士学位论文 ( 2 ) 部分不变解方法( m e t h o do fp a r t i a l l yi n v a r i a n ts o l u t i o n s ) ； ( 3 ) 弱对称( w e a ks y m m e t r i e s ) ； ( 4 ) 势对称( p o t e n t i a ls y m m e t r i e s ) ； ( 5 ) l i e - b 洳k l u n d 对称( l i e - b i c k l u n ds y m m e t r i e s ) ； ( 6 ) 条件l i e - b 鼍c l d u n d 对称( c o n d i t i o n a ll i e - b 酏l d u n ds y m m e t r i e s ) ； ( 7 ) 直接法( d i r e c tm e t h o d ) ； ( 8 ) p a i n l e v 6 截断方法( t r u n c a t e dp a i n l e v 6a p p r o a c h ) ； ( 9 ) 微分约束法( d i f f e r e n t i a lc o n s t r a i n tm e t h o d ) ； ( 1 0 ) 广义分离变量法( m e t h o do fg e n e r a l i z e ds e p a r a t i o no fv a r i a b l e s ) ； ( 1 1 ) 泛函分离变量法( m e t h o do ff u n c t i o n a ls e p a r a t i o no fv a r i a b l e s ) ； ( 1 2 ) 逆散射变换法( i n v e r s es c a t t e r i n gt r a n s f o r mm e t h o d ) ； ( 1 3 ) h i r o t a 双线性法( h i r o t ab i l i n e a rm e t h o d ) ； ( 1 4 ) d a r b o u x 变化方法( d a r b o u xt r a n s f o r mm e t h o d ) ( 1 5 ) 齐次平衡法； ( 1 6 ) 函数展开法； ( 1 7 ) 首次积分法； ( 1 8 ) 符号不变法( s i g n - i n v a r i a n tm e t h o d ) ； ( 1 9 ) 不变子空间法( m e t h o do fl i n e a ri n v a r i a n ts u b s p a c e s ) 等等 参考文献【3 ，1 2 ，1 3 ，2 4 ，4 9 ，8 0 ，7 8 ，7 9 ，1 0 9 ，1 1 0 ，及其参引文献在下文中，我们可 以看到上述提到的各种方法之间都有着某种联系 事实上，在利用上述一些方法研究方程( 组) 精确解的同时，下面的问题也得 到了研究：( 1 ) 从已知的解导出新解；( 2 ) 方程的约化；( 3 ) 非线性方程的线性化； ( 4 ) 方程的分类；( 5 ) 偏微分方程解的渐近形式( 众所周知，通过对称约化得到的偏 微分方程的解往往渐近的趋于低维方程的解，这些解能够描述一些重要的物理现 象) ；( 6 ) 数值计算；( 7 ) 守恒律等等【2 4 1 不变子空间方法是研究非线性偏微分方程( 组) 精确解非常有效的方法，本文 正是利用不变子空间方法给出一类四阶非线性偏微分方程和带有交错扩散项的非 线性偏微分方程组的分类，并且利用与不变子空间方法相关的不变集方法构造了 二维非线性反应扩散方程的不变解，我们还给出这些不变解及其对应介面的性质 5 第一章绪论 分析 1 3 线性不变子空间方法 利用不变子空间方法，g a l a k t i o n o v 在文献【3 5 】中构造带有二次非线性项的演 化方程的广义分离变量解2 0 0 7 年，他和s v i r s h c h e v s k i i 在文献( 3 4 】中又系统的讨 论了物理学和力学中非线性偏微分方程的不变子空间和精确解事实上，在此之 前，他们发表了大量关于非线性偏微分方程不变子空间和精确解的文章1 9 5 - 删在 不引起混淆的情况下，本文将线性不变子空间简称为不变子空间下面，我们简单 介绍一下不变子空间方法。 设费是一个毙一阶微分算子 f 【叫兰f ( x ，t ，d ：仳) ，( 1 2 ) 其中卢( ) 是充分光滑的函数，且d $ = o o z 令 ( z ) ，厶( z ) 为仃( n 1 ) 个 线性无关的函数，用眠表示它们的线性扩张 眠= c ( z ) ，矗( z ) ) ， 即帆是以 ( z ) ，厶( z ) 为基构成的线性子空间 定义1 1如果算子户满足下面的条件 f 【】眠， 那么称线性子空间帆在算子户作用下不变或称算子户允许不变子空间帆 由线性代数知识知，户i 帆】帆意味着有下面的等式成立 n、 n 户l c t 五( z ) ) = 诎( c l i 一，) 五( z ) ，弘r ， ii = l i = l 其中 也) 是户( 竺lc i 五( z ) ) 在线性子空间帆中关于基 五( z ) ) 的展开系数 注1 1类似地，我们也可以给出微分算子p 以及向量微分算子允许不变子 空间的定义等等m 现在考虑一阶演化方程 毗= p i l l 兰户( z ，让，u x ，d ：仳) 6 ( 1 3 ) 西北大学博士学位论文 如果卢允许不变子空间帆，则方程( 1 3 ) 有形如 u ( z ，t ) = 白( 亡) 五( z ) i = 1 的解，其中q ( t ) 满足下面的有限维动力系统 c ，( ) = 如( c 1 ( ) ，( z ) ) ，i = 1 ，n ( 1 4 ) 由此，偏微分方程( 1 3 ) 被约化为有限维动力系统形如( 1 4 ) 的解被称为方 程( 1 3 ) 广义分离变量解。 注1 2一般情况下，在方程( 1 3 ) 中，若算子户允许不变子空间帆，则我们 也称帆为方程( 1 3 ) 的不变子空间 假设不变子空间帆是他一阶线性常微分方程 三m 三( n ) - 4 - a n - 1 ( z ) s ，( n - 1 ) + - i - a l ( z ) y 74 - 知( z ) y = 0 ( 1 5 ) 的解空间，则微分算子卢允许不变子空间帆的不变条件是 一， d n 卢- 4 - a n - 1 ( z ) d ( n - 1 ) 户+ + a l ( z ) d 户+ a o ( x ) f i i 曰】三0 ， ( 1 6 ) 其中可( n ) = d n y l d x n ，d 表示关于z 的全微分【疗1 表示约束条件：三m = o 以 及三m = 0 关于。求各阶导后的等式，即d j l u = 0 ，歹= 1 ，2 ，三【叫可 以看成是方程( 1 3 ) 的条件l i e - b 她k l u n d 对称或者广义条件对称【1 0 9 ，1 1 0 1 在微 分约束方法中，常微分方程( 1 5 ) 也可以看成是方程( 1 3 ) 满足的线性微分约 束【l 5 8 - 6 0 与对称和l i e 群方法相关的系统的微分约束方法是在2 0 世纪四十年代 由b i r k h o f f 和2 0 世纪六十年代由y a n e n k o 分别在流体动力学和气体动力学方面 提出的事实上， 微分算子声允许由线性常微分方程( 1 5 ) 定义的不变子空间 牟今方程( 1 3 ) 与线性微分约束( 1 5 ) 相容 利用不变子空间方法，我们也可以将二阶演化方程 u “= 户【叫三户( 。，u ，磋u ) 约化成为二阶有限维动力系统 7 第一章绪论 利用不变子空间方法将方程( 1 3 ) 约化成有限维动力系统的步骤可以简化如 下： ( 1 ) 利用不变条件( 1 6 ) 确定出微分算子户的表达式以及常微分方程( 1 5 ) 中 系数o i ( z ) ； ( 2 ) 求解常微分方程( 1 5 ) ，得到微分算子户允许的不变子空间识； ( 3 ) 在不变子空间帆中构造方程( 1 3 ) 的精确解( 1 4 ) ； ( 4 ) 将精确解( 1 4 ) 代入方程( 1 3 ) 中，得到关于展开系数c d t ) 的常微分方程 组 在利用不变子空间方法研究非线性偏微分方程精确解的时候，除了可以研 究1 2 节最末段提到的那些问题外，还可以研究下面的问题： ( 1 ) 户一 以) ：给定一个非线性偏微分算子户，确定其所有允许的不变子空 间： ( 2 ) 以一 卢) ：给定一个子空间以，确定所有允许它的微分算子( 分类) ； ( 3 ) 给定微分算子声的阶数，寻找其允许不变子空间的最大维数； ( 4 ) 给定微分算子户，其允许的最大维不变子空间是什么? 其允许的维数低于 最大维的不变子空间是什么? ( 5 ) 允许一些特定情形的子空间( 例如，多项式形式的不变子空问，三角函数不 变子空间，指数函数不变子空间等) 的微分算子的一般表达式； ( 6 ) 由不变子空间方法可以派生出哪些新的方法等等 1 4 本文主要研究的内容 本文主要是利用线性不变子空间方法研究一般薄膜方程 让t = 一，( t 正) t k 王一9 ( 让) 仳z u 瑚咎一九( u ) u ：z d ( u ) 记z + p ( 钍) z + g ( 毯) 记 三f u 】 8 ( 1 7 ) 西北大学博士学位论文 和带有交错扩散项的非线性偏微分方程组 饥= 【f ( u ，v ) u + p ( 缸，秒) 】z + r ( u ， ) 三日 也， 】， 仇= b ( 乱，钉) + q ( u ，v ) u 】王+ s ( u ，u ) 三足【u ，钉】 ( 1 8 ) 的分类，并利用与不变子空间方法相关的不变集方法构造二维带有能源项的非线 性反应扩散方程 毗= a ( t 正) + b ( 心) + c ( u ) + d ( 乱) 吒+ q ( t 正) ( 1 9 ) 的不变解 在第二章中，我们将给出方程( 1 7 ) 的物理背景以及方程( 1 7 ) 在线性子空 间中的分类，其中是由下面的常系数线性常微分方程定义的 l 【! 】兰可( n + a n _ z y ( n 一1 + + a l y 7 + 口o y = 0 a t r ) ( 1 1 0 ) 在这种情形下，的基是由关于z 的幂函数、三角函数、指数函数或者这三种 函数混合构成的若的基是关于x 的幂函数( 三角函数、指数函数或者这三 种函数混合) 构成的，我们一般就称是多项式型( 三角型、指数型或者混合 型) 不变子空间，而得到的相应的精确解也是多项式型( 三角型、指数型或者混合 型) 多项式型的精确解可以看成是解关于空间变量z 的有限的幂级数展开，而三 角型则可以看成是有限的傅立叶展开【6 3 】事实上，这些类型的精确解在一些重要 的偏微分方程的研究中都有很重要的意义我们可以通过举例说明这点 例1 1 二次h a m i l t o n - j a c o b i 微分算子f l y 】= 茁+ u ! 允许二维不变子空 间= c 1 ，x 2 】，由不变子空间法我们可以得到方程 v t = 霉+ 2 的一个特解 秒= 一扣4 删一扣 而在变量变换u = e 的作用下，我们就得到热方程 毗2u z x 9 第一章绪论 的基本解 t ：( 4 仉) 一 e 类似地，我们也可以考虑高维的情形 例1 2经典的多孔介质方程 铭t = x u ，( 。，t ) r n r 十，仇 1 ， ( 1 1 1 ) 有著名的z e l d o v i c h - k o m p a n e e t z - b a r e n b l a t t ( z k b ) 解 b ( x , t ) = t - k n f ( y ) ，爹2 砉，括而 而， 其中 ( y ) 叫。( 扎+ 】击，a 0 - - = 笔， a 为一个大于零的常数事实上，当m = 1 时，方程( 1 1 1 ) 就是热方程，而当m 一 1 + 时，b ( x ，t ) 趋于热方程的基本解在方程( 1 1 1 ) 中，在压力变换口= u m - 1 作用 下，得到方程 1 3 t = m u u + 当j v 1 2 m 一工 此方程等号右端的算子允许子空间= z i ，i x l 2 ) 由不变子空间方法， 在中，我们可以求得此方程的一个特解，而此解正是口= b ( x ，t ) m 换言 之，方程( 1 1 1 ) 的z k b 解在变量变换的意义下，也可以看作是某个线性子空间中 的解 注1 3例1 1 和例1 2 中的不变子空间均可以看成是多项式型的不变子空 间 例1 3 在k d v 方程 t “+ 6 让q z + “z 托= 0 中，令= 此，我们得到势( p o t e n t i a l ) k d v 方程 u t + 3 ( ) 2 + u 粼= 0 ， 再令u = 2 ( 1 n i u i ) z = 2 v z v ，即仳= 2 ( 1 n i v l ) 互王，则 r p 】三饥k 一仇+ u 珊一4 u z 嚣+ 3 ( ) 2 = 0 ( 1 1 2 ) 1 0 西北大学博士学位论文 算子r 允许指数型二维不变子空间吁p = z z 1 ，e p - z ) ，利用不变子空间方法，我 们可以求得方程( 1 1 2 ) 的解 = c 1 ( t ) + a c l ( ) 矿- z 一衍。町p ， 其中a 为任意常数，c 1 ( 亡) 为关于t 的任意不为零的函数由此，我们可以得 到k d v 方程一个单孤子解。另外，微分算子r 在线性子空间形严= c 2 7 r 当a 0 时，此解是负的，表示 相面右行的行波 在第三章中，我们将不变子空间方法做了一点推广，并将其用于研究方程 组( 1 8 ) 在线性子空间孵，咤中的分类，其中峨。w 叼2 是由下面的常系数 线性常微分方程组定义的 l 1 【剪】三可n 1 ) + 口n - 一l 可n l 一1 + + 。1 可7 + a o y2o ， ( 1 1 3 ) l 2z 】三z ( n 2 ) + b n 2 - 1 z ( n ：- 1 ) + + b l z 7 + b o z = 0 在子空间哪。咤中，我们可以构造出方程组( 1 8 ) 精确解( 让，口) ，且方程 组( 1 8 ) 可以被约化为n l + n 2 维动力系统在大多数情形下，牡和u 属于不同的 “纯量 不变子空间 第一章绪论 在第四章中，我们将利用与不变子空间方法相关的不变集方法，在函数集合 e l = t l ：= ，( t ) f ( u ) ，嘶= f ( t ) v u f ( u ) 和 易= 仳：= ( z ) ，( t ) f ( 仳) ，u v = 6 ，( 可) 夕( ) f ( 牡) ) ( ，夕) 中构造二维带有能源项的非线性反应扩散方程( 1 9 ) 的不变解，并将该方程约化为 有限维动力系统这类解可以看成是对自相似解的推广在这部分内容中，我们还 研究了这类解及其对应介面的相关性质 1 2 第二章不变子空间方法在一般薄膜方程中的应用 2 1引言 在这一章中，我们将利用不变子空间方法给出形如 瓦o u fu 卯0 4 u - 9 ( u ) 瓦o u 丽0 3 u 叫u ) ( 象i ) 2 叫乱，( 塞) 2 狰0 2 7 2 州面0 2 u 俐( 褰) 2 协1 ， 三f m 的一般薄膜方程的分类，并将分类结果应用于求一些典型方程在其不变子空间中 的解其中，g ，h ，d ，p 和q 都是关于u 的光滑函数 形如( 2 1 ) 的四阶非线性偏微分方程可以刻画很多液体薄膜中的问题 当，( 牡) = 1 ，9 ( u ) = d ( u ) = 0 ，p ( 让) = - 1 ，q ( u ) = 1 一a ，h ( u ) = 一a 时，方 程( 2 1 ) 就是m k s 方程( m o d i f i e dk u r a m o t o - s i v a s h i n s k ye q u a t i o n ) 瓦0 u m 一丽0 4 u + a ( 象) 2 一面0 2 u + ( 1 一a ) ( 塞) 2 ( 2 2 ) 瓦一一丽【、孬，j 一面+ ( 1 _ a ) i 、瓦厂 ( 2 2 ) 在相变过程中，这类方程作为两相分离界面的运动模型，由b e r n o f f 和b e r t o z z i 在 文献【7 】中提出的当入= 0 时，方程( 2 2 ) 就是著名的k s 方程( k u r a m o t o - s i v a s h i n s k ye q u a t i o n ) 6 5 ，9 3 】若令f ( u ) = p ( u ) = 1 ，g ( u ) = h ( u ) = 2 ，d ( u ) = q ( u ) = 0 ，则方程( 2 1 ) 就变成c k s 方程( c o n s e r v e dk u r a m o t o - s i v a s h i n s k ye q u a r t i o n ) o a u 。a o z 2 。( 0 a 2 z u ：+ 让+ ( 爱) 2 ) ， c 2 3 ， 十1 i 十l l1 i 二o l a a z 2 a z 2 。”a z 、7 这一方程可以描述晶体粗化过程( c o a r s e n i n g ) 【：1 3 1 若令 ，= m ( u ) r ( 乱) ，g = 2 m ( u ) r ( u ) + m 7 ( 乱) r ( 乱) ， ( 乱) = m ( 乱) 爿( 乱) ， d = ( m ( 扎) 爿( 让) ) ，p = q 7 ( “) m ( 让) ，q = ( m ( 乜) q 7 ( u ) ) 7 ， 则方程( 2 1 ) 就变成 象= 一杀( m ( u ) 未( 尺( u ，、丽0 2 u q ( 钍) ) ) ( 2 4 ) 第二章不变子空间方法在一般薄膜方程中的应用 这类方程是在建立液态膜动力学模型时给出的1 8 i5 1 1 只要在方程( 2 4 ) 中， 令r ( u ) = k ，我们就得到著名的c a h n h i l l i a r d 方程 o u 0 ( m ( 札，瓦0 ( 七象划u ，) ) ， 皿5 ， 其中k 是一个常数c a h n h i l l i a r d 方程最初是由c a h n 和h i l l i a r d 于1 9 5 8 年在研 究热力学中两相物质( 如合金，聚合物等等) 之间相互扩散现象时提出的【1 4 1 后来， 在描述生物种群的竞争与排斥现象1 2 6 】、固体表面上微滴