（基础数学专业论文）关于初等算子一些问题的研究.pdf

关于初等算子一些问题的研究 杨军 摘要算子代数理论产生于2 0 世纪3 0 年代，随着这一理论的迅速发展，现 在这一理论已成为现代数学中一个热门分支它与量子力学，微分几何、线性系 统及控制论，甚至数论和其它一些重要数学分支都有着出人意料的联系和相互渗 透初等算子是算子代数上一类重要的线性映射近年来，国内外诸多学者对初 等算子的各种性质进行了深入研究本文研究的主要内容为初等算子的范数，以 及某些初等算子的次正规性和极大数值域 本文共分三章： 第一章我们主要介绍了在本文中用到的符号，定义和后两章需要的一些定 理首先我们介绍了用到符号表示的意义，接着引用了初等算子，数值域，极大 数值域，算子的谱，近似点谱，次正规算子等概念最后，给出了一些常用定理 第二章我们讨论了b ( n ) 上初等算子的范数其中b ( 咒) 表示无限维可分的 复h i l b e r t 空间h 上有界线性算子的全体组成的b a n a c h 代数首先证明了初 等算子( x ) = a x b + c x 的范数为i i i b 0 + i i c l i 的充要条件是i l c l l = i i a i i i i c l i 且( 小c ) n ( b ) 0 ( a ，b ，c o ) ，并且找到了0 0 的一个下 界，即i i , i i s u p i b i i a + a c 叭然后找出了初等算子的一个下界，即 埏w j v ( b ) 忙02s u p | | i a , l i i i b , 0 + a 1 。! l i a 。i i i i b 2 i i + + k 一1 一l0 b 。咐，其中a 1 0 ， b 1 o ，( a l ，a 2 ，k 一1 ) w a ，( 生 1 ，a 弘1 ，戌a 1 ) | ，和( p l ，舰，蜥一1 ) u 名，( 焉b ，b 口- ，e b i ) n ，并且证明了若l = i i a , l l l l b , 0 删a 2 洲岛+ + 0 a 。i 玩0 ，则u 么。( 鸡a 1 ，以a h n h 儡( b ；b i ，砩b 1 ) n 这里a 1 0 ， 历0 第三章我们讨论了岛( 何) 上初等算子的其它一些性质其中玩( 爿) 表示 b ( 爿) 中h i l b e r t - s c h m i d t 集合证明了若a c = c a ，a 是b 2 ( h ) 上次正规算子， 则页a + c 是次正规算子这里a 盯。( 驴) 而且刻画了初等算子6 ( x ) = a x b 的极大数值域 关键词：初等算子；导子；数值域；范数；一秩算子；次正规算子；极大数 值域 r e s e a r c ho ne l e m e n t a r yo p e r a t o r s y a n gj a n a b s t r a c t ：t h es t u d yo fo p e r a t o ra l g e b r at h e o r yb e g a ni n1 9 3 0 s w i t ht h e f a s td e v e l o p m e n to ft h et h e o r y , n o wi th a sb e c o m ea p o p u l a rb r a n c hp l a y i n gt h er o l e o fa l li n i t i a t o ri nm o d e mm a t h e m a t i c s i th a su n e x p e c t e dr e l a t i o n sa n di n f i l t r a t i o n w i t hq u a n t u mm e c h a n i c s ，d i f f e r e n t i a lg e o m e t r y , l i n e a rs y s t e ma n dc o n t r o lt h e o r y , i n d e e dn u m b e rt h e o r ya sw e l la ss o m eo t h e ri m p o r t a n tb r a n c h e so fm a t h e m a t i c s e l e m e n t a r yo p e r a t o r sa r ei m p o r t a n tl i n e a rm a p p i n g 1 nr e c e n ty e a r s m a n ys c h o l a r s h a v ef o c u s e do nm a n yc h a r a c t e r i z a t i o no ne l e m e n t a r yo p e r a t o r s o nt h eb a s i so fe x - i s t i n gp a p e r s i nt h i sp a p e rw em a i n l ya n dd e t a i l e d l yd j s c u s st h en o l 2 no fe l e m e n t a r y o p e r a t o r s ，s u b n o r m a l i t yo fs o m ee l e m e n t a r yo p e r a t o r sa n dt h em a x i m a ln u m e r i c a l r a n g eo fs o m ee l e m e n t a r yo p e r a t o r s t h i sp a p e rc o n t a i n st h r e ec h a p t e r s ： i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c es o m en o t a t i o n s ，d e f i n i t i o n sa n ds o m ew e n - k n o w n t h e o r e m st h a tw i l lb eu s e di nl a s tt w oc h a p t e r s f i r s t l y , w eg i v es o m en o t a t i o n s s u b s e q u e n t l y , w ei n t r o d u c et h ed e f i n i t i o n so fe l e m e n t a r yo p e r a t o r s ，n u m e r i c a lr a n g e ， m a x i m a ln u m e r i c a lr a n g e ，s p e c t r u i n ，a p p r o x i m a t ep o i n ts p e c t r u ma n ds u b n o r m a l o p e r a t o re t c f i n a l l y , w eg i v es o m ew e l l - k n o w nt h e o r e m s i nc h a p t e r2 ，w ed i s c u s st h en o r n lo fs o m ee l e m e n t a r yo p e r a t o r si nb ( 咒) o f a l lb o u n d e dl i n e a ro p e r a t o r sa c t i n go nac o m p l e xs e p a r a b l ei n f i n i t ed i m e n s i o n a l h i l b e r ts p a c e 爿f i r s t l y , w ep r o v et h a tl i 0 = l i a i i i i b i i + 0 c 0i fa n do n l yi f i i a e l i = i i a 洲c 0a n di - ，( e ) nw _ ( b ) 0 ( a ，b ，c 0 ) a n df i n dal o w e r b o u n do fa ，t h a ti s ，l i 0 s u p l i i i b i i a + a c i i s e c o n d l y , w ef i n dal o w e rb o u n do f x e w n ( b ) ，t h a t i s ，i f a l 0 ，b 1 0 ，( a 1 ，a 2 ，k 一1 ) w a 。( a ； l ，a ；a 1 ，a ：a 1 ) n ，a n d ( p 1 ，p 2 ，一1 ) w 矗( 噬b 1 ，犀b 1 i - 一，或历) ，t h e n i s u p | | i a l i b l i i + a 1 m l i a 2 1 川岛忤+ k 一1 脚一1 1 1 a l 玩i i i ，a l s ow ep r o v et h a ti f l | 硎= i i a l i i i i s l0 + i i a 。i i i i b 2 1 1 + + i i a 。l 玩0 ，t h e n w a ，( 生a ，a ：a 1 ) n n w b 。( 邑b - ，哦马) w h e r ea 1 0 ，b 1 0 i nc h a p t e r3 ，w ed i s c u s so t h e rc h a r a c t e r i z a t i o no ne l e m e n t a r yo p e r a t o r si n b 2 ( 咒) w h e r eb 2 ( 咒) d e n o t e sh i l b o r t - s c h m i d tc l a s s w ep r o v et h a ti fa c = c a a n dai ss u b n o r m a l ，t h e n 入 + ci sas u b n o r m a lo p e r a t o r w h e r ea 口印( b ) a l s ow er e s e a r c ht h em a x i m a ln u m e r i c a lr a n g eo fs o m ee l e m e n t a r yo p e r a t o r s i i i k e y w o r d s ：e l e m e n t a r yo p e r a t o r ，d e r i v a t i o n ，n u m e r i c a lr a n g e ，n o r m ，r a n ko n e o p e r a t o r ，s u b n o r m a lo p e r a t o r ，m a x i m a ln u m e r i c a lr a n g e i v 主要符号表 复数域 h i l b e r t 空间 b a n a c h 空间 爿上全体有界线性算子全体 x 上全体有界线性算子全体 f 上阶矩阵全体 算子t 的谱 算子t 的近似点谱 集合的闭凸包 3 1 ：矾班嗣： d m n聊郴耽咿“瓦 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 己在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：芏五塑日期：! 堕：星 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西 师范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文 的电子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进 入学校图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索：有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名：盥璧日期：! 竺! ：! 前言 初等算子是算子代数上一类重要的线性映射，是联结算子理论与算子代数的 桥梁之一如果把矩阵代数m i ( c ) 看作有限维空间上的算子代数，初等算子的 概念首先出现在1 9 世纪8 0 年代j s y l v e s t e r 的一系列文章中2 0 世纪5 0 年 代以后，人们开始关注初等算子的各种性质，包括初等算子的谱，值域，范数， 正交性，数值域等在文献1 5 】中，设爿是无限维可分的复h i l b e r t 空间，r e c u r t o 刻画了b ( u ) 上初等算子的谱在文献【6 】和文献【4 】中。 a s e d d i k 和 m b a r r a a 分别刻画了初等算子的数值域和初等算子的本性数值域但对于一般 初等算子的范数。人们还没有找到一个计算公式，一些学者证明了关于初等算 子范数的性质和刻画出了某些类型初等算子的范数对于b ( 秆) 上的初等算子 6 ( x ) = a x b ，显然有恻i = i i a i i l i b l l 在素的9 代数中。这个结论也成立( 见 文献【7 】) 在文献【1 】中，j s t a m p f l i 刻画了b ( h ) 上的广义导子的范数公式， 即i i “，b 0 = 也h o a 一刈+ l i b 一刈) 在文献【8 - 1 1 】中，l l s t a c h 6 等人研究了 b ( u ) 上的初等算子u ( x ) = a x b + b x a 的范数的上界和下界在文献【2 】中， m b a r r a a 和m b o u m a z g o u r 找到了b ( h ) 上的初等算子+ 硝x ) = a x b + x 的范数为i i a i i | i b i l + 1 成立的一个充要条件 设h 是无限维可分的复h i l b e r t 空间，b 2 ( “) 表示b ( u ) 中h i l b e r t - s c h m i d t 集合由于在内积忧，y ) = t r ( y x ) = t r ( x y 。) 下，b 2 ( h ) 是一个h i l b e r t 空 间，因而初等算子在b 2 ( 咒) 上的限制具有什么样的性质也是人们感兴趣的问 题在文献【3 】中，b m a g a j n a 证明了6 是岛( 咒) 上次正规( 亚正规) 算子当且 仅当a 和驴都是次正规( 亚正规) 算子对于双交换的算子组a 和毋，侯晋川 在文献【1 2 】中证明了初等算子是岛( 咒) 上亚正规算子当且仅当a 和曰都是 亚正规算子在文献【4 】中，m b a r r a a 研究了的本性数值域 全文共分三章- 第一章主要介绍了在本文中用到的符号，定义和后两章需要的一些定理首 先我们介绍了用到符号表示的意义，接着引用了初等算子，数值域，极大数值域， 算子的谱，近似点谱，次正规算子等概念最后，给出了一些常用定理 第二章我们讨论了初等算子的范数设一是无限维可分的复h i l b e r t 空间， b ( u ) 表示h 上有界线性算子的全体组成的b a n a c h 代数第二节我们证明了初等 算子a ( x ) = a x b + c x 的范数为l i a i i i i b i i + i i c i 的充要条件是0 e l i = l i a i i | i c l i 且h ( a + c ) nw k ( b ) o ( a ，b ，c o ) ，并且找到了i l 0 的一个下界第三节我 们找出了初等算子的一个下界，并且证明了若忙0 = l i a - i i l i b - 0 + l i a 2 u l l b 2 0 + + l l l 鼠0 ，则w a 。( 心a ”一，a ：a 1 ) nf l ，( 垦马，坟b a ) l q 这里 a x 0 ，b a 0 第三章我们讨论了初等算子的次正规性和初等算子的极大数值域我们研究 了一些初等算子的次正规性，而且刻画了初等算子6 ( x ) = a x b 的极大数值域 2 第一章预备知识 1 1 引言 本章主要介绍了本文中要用到的一些符号，定义和后两章要用到的一些定 理第二节主要介绍了初等算子，极大数值域，近似点谱，次正规算子等概念 第三节给出了后两章所需要的几个定理下面是本文用到的一些符号 设“是无限维可分的复h i l b e r t 空间，b ( u ) 表示h 上的全体有界线性算 子易何) 表示b 叫) 中h i l b e r t - s c h m i d t 集合，而且在内积( x ，y ) = t r ( y x ) = t r ( x y ) 下，岛( h ) 是一个h i l b e r t 空间这里打( ) 表示迹当t b ( 爿) 时， 盯叩( r ) ，0 r 0 分别表示t 的近似点谱和t 的范数1 i t i l 2 表示t 在岛( h ) 中的2 - 范数z ，暑z p y 表示一秩算子，对任意z 咒，z o 暑，( z ) = 弦暑，) z 1 2 基本概念 定义1 2 1 f f l 如果a = ( a 1 ，a 2 ，a ) ，b = ( b 1 ，b 2 ，晟) ( a ，最b 何) ) 使得对任意x 且( 咒) ，有僻) = a x l 3 , ，则称是一个初等算子 显然，内导子和广义导子都是初等算子在本文中，为方便起见，内导子， 广义导子 r a ，b ，初等算子6 ，最和分别表示为“( x ) = a x x a ，t a , b 僻) = a x x b ，6 ( x ) = a x b ，6 1 ( x ) = c x ，a ( x ) = a x b + c x ， 定义1 2 2 【6 l 设t b ( “) ，称复数c 的子集 w ( t ) = ( 乳，z ) ：z 州，i l z i i = 1 ) 为t 的数值域称 u ( t ) = s u p i a l a - 矿( r ) ) 为t 的数值域半径显然有u ( 丁) 曼t m 定义1 2 3 f 1 1 设t b ( “) ，定义r 的极大数值域w 0 ( r ) 和正规极大数值域 w n ( t ) 分别为 w o ( t ) = a c ：j z n ) 咒，慨l i = 1 ，熙( t x n , z n ) = a ，熙i i t x i i = i i t i i ， w n ( t ，= 黔l 篡 定义1 2 4 1 1 a l 设a = ( a 1 ，a 2 ，a 。) ( a b ( h ) ) 3 w ( a ) = ( ( a z ，z ) ，( a 2 x ，动，( a 。z ，z ) ) ：z 咒，i l z i j = 1 ) ， f i a i l = s u p ( 1 a ( z ) 1 1 2 + + l i a ( z ) ，i m l = 1 ) 和 u ( a ) = s u p ( 1 a 1 z ，z ) 1 2 + + l a 。z ，z ) 1 2 ) ，l l z 0 = 1 ) 分别叫做a 的联合数值域，联合算子范数和联合数值域半径 若a = ( a 1 ，a 2 ，a ) ，如果“，( j 4 ) = i i a i i ，则称a 是正规化的 定义1 2 5 【1 4 l 设s b ( 7 - ) ，若存在一个h i l b e r t 空间瓦和正规算子满足 2 m ，n b ( 聊，h c 秆和i h = s 则称s 是次正规算子 定义1 2 6 1 1 5 l 设t b ( h ) ，如果存在a c 使得t a 是不可逆的，称a 为 r 的一个谱点所有具有上述性质的复数所组成的集合称为t 的谱，记为盯( r ) 定义1 2 7 【1 5 l 设t b q - i ) ，称 d 卸( t ) = a c ：j z 。) 7 - ，l l z 。0 = 1 ，i i ( t a ) z 。0 + o ) 为t 的近似点谱 定义1 2 8 【1 2 1 我们称算子序列 a ) b ( u ) 是双交换的，如果对于i 互有 a 如= a j a 和a 雒= 书a 1 3 预备定理 定理1 3 1 1 1 4 】设t b ) ，则w ( t ) 总是凸的 定理1 3 2 【1 l 若t b ( h ) ，则w o ( t ) 是非空的闭凸子集。而且有w o ( t ) 丽 定理1 3 3 1 1 4 i 设t b ) ，若t 是正规算子，则u ( t ) = l i t i i 定理1 3 4 【1 i 设a ，b b ( 咒) ，则 0 ，b i i = s u p l l a x x b i i ：x b ( h ) ，0 x 0 = 1 ) = i n 。f l j a a 0 + i i b a 1 1 ) 定理1 3 5 1 7 1 若4 是一个素的c 代数，则i = l l a l l lj b l l ，对任意a ，b a 都 成立这里6 ( z ) = a x b ，任意z 一4 定理1 3 6 1 1 6 1 设e c x ) = a i x b , ，若 a ) 和 且) ( i = 1 ，2 ，n ) 都是双交 = 1 换的算子组，则是正规算子当且仅当所有的a 和且都是正规算子 4 定理1 3 7 【1 2 l 设 a ) 和 b d ( i = 1 ，2 ，几) 都是双交换的算子组，则初等 算子是b 2 ( h ) 上的亚正规算子的充分必要条件是每个a f 和毋都是亚正规算 子 5 第二章初等算子的范数 2 1 引言 研究初等算子的范数是算子理论中一个重要的问题对于初等算子6 ( x ) = a x b ，x 日( 咒) 显然有结论悯l = i i a l l l i b ij 文献【l 】1 给出了定义在b ) 上 的广义导子的范数公式，即0 “b 0 = i 粤f l l a 一刈+ i i b 一刈) 对于一般初等 算子的范数，目前还没有一个计算公式，但是已有许多学者对各种初等算子的 范数进行了估计，在一定条件下给出了范数公式和范数的上下界，可参看文献 【2 ，8 ，9 ，1 0 ，1 7 ，1 8 ，1 9 ，2 0 1 李绍宽和顾才兴在文献f 2 0 中给出了一类初等算子的范数估计， m b a r r a 和m b o u m a z 9 0 1 l r 在文献【2 】中证明了初等算子，+ 以，b 的范数为i i j + 以，日0 = 1 + l i a l l l i b i i 的充要条件是w k ( 岔) nm v ( b ) d 本章第二节我们给出初等算 子a ( x ) = a x b + c x 的范数为i i a l i | i s l i + 0 c 0 的充要条件，并对i i 0 进行了 适当的估计，给出了它的下界第三节我们讨论了初等算子的下界，并给出了 的一些相关性质 2 2 一类初等算子a ( x ) = a x b + c x 的范数 下面的定理是本节的主要结果 定理2 2 1 设a ，b ，c b ( n ) 是非零算子，则0 0 = i i a f | | i b i i + i i c l i 的充要 条件是0 小c l l = i i a l | id c l i 且i ( c ) n 叽( b ) o 为了证明定理2 2 1 ，我们需要下面的引理 引理2 2 2 1 1 】设a ，b b ( u ) 是非零算子，则i l “，口0 = l i a i i + 0 b 0 充要条件 是w ( a ) n n ( 一b ) o 定理2 2 1 的证明。仁因为w k ( a c ) n - ( b ) o ，不妨设p l y 知( c ) n ( b ) 根据正规极大数值域的定义，我们可以找到两个序列 z 。) 咒和 h 有0 z 。0 = 1 ，0 蜘| i = 1 ，并且满足 。l 。i r a 。i i a + c x n0 = i i a e l l = i i a f l l l c l l ，。l i m 。i i b y 1 l = i i b i i 7 j 受( a c ，z n ) 2p i a i i i i c l i ，曼恐( b 蜘，蜘) 2 f i s l l o on o 令 a c z 。= n 。z 。+ 风， 其中c n c ，佛c ，7 t ，l i “。0 = 1 以及( z 。，“。) = 0 对于任意我们总可以选择札。，满足( a c x 。，。) = 风20 同时令 b y = 蜘+ 厶， 其中，晶c ，l i 0 = 1 ，( y n ，v n ) = 仉( b 弧，) = 矗0 对于任意自然数仃，定义算子 k ( z ) = ( z ，3 h ) z 。+ z ，t k ) t h ，v z 爿 易知 l i x 川= 1 事实上， 0 0 = i i z 。o 蜘4 - u 。 0 = s u p0 扛，口。) z 。+ 扛，v n ) u 。0 l l = l l = l = s u pl l ( z ，蜘) ( ，y ) + ( z ，) ( ，y ) 忙= 1 恬= l = s u pl ( z ，! k ) ( z 。，y ) + ( z ，v n ) ( t h ，f ) l 忙l l = l ，卜= 1 由于( z 。，“。) = ( ， o n ) = 0 和i i z 。0 = i l 蜘0 = “。0 = lj v n i i = 1 ， 对于任意的单位向量z 和y ，我们令 和 满足 z = n h y n + 历。v n + 一y l 。f n = 0 r 2 n x 。+ 岛。t k + 加。l ：i ( 弧，l 。) = ( ，k ) = ( z 。，f ：) = ( 。，) = 0 8 i q l 。1 2 + i 岛。1 2 + 1 7 l 。1 2 = 1 和l d 2 。1 2 + i 岛。1 2 + 1 1 2 ，1 1 2 = 1 所以 0 x j0 =s u p i ( z ，鼽。) ( z 。，y ) + ( z ，v n ) ( u 。，y ) 忙= 1 ，i l v l l = l = s u p l o t l 。酝+ 角。勉i l q t 。f f o f + l 伪f f 玩。i 惭1 哪a 删b i i 龇 由于”的任意性，我们有 i i a i i s u ：p 。i 高l ll l ( 1 l b i l 2 a 删即) 9 i i = 丽1 忪 1 2 a 4 - i e i 再由a 的任意性知 l i a i l2s u pi i i i b i i a + 天c 吡 , e w m b ) 证毕 推论2 2 5 若o w n ( b ) ，则i i a i i i i a i i i i b 0 ，而且有c 。i 且n f ( 柚i i 0 = i i a i i i i b 0 证明：因为0 w n ( b ) ，由定理2 2 4 知 而且，若c = 0 ，则有 因此 证毕 0 0 l i a i i i t b i i ，v c b ( u ) = l i a i i | i s c 印i n f ( mi i i i = i i a 川b 1 3 2 3 初等算子e ( x ) = a ，x b i 的范数 i = 1 在叙述主要定理之前，我们首先定义一个集合 定义2 3 1 设b = ( b 1 ，b 2 ，玩) ，其中b i b ( 7 - 1 ) ( i = 1 ，2 ，几) 我们定义b = ( b ，岛，最) 关于g 的联合数值域为集合 w c ( b i e ，b ；e ，b ：c ) = ( a 1 ，a 2 ，a 。) c ”：j t ) 秆满足0 “。0 = 1 ，l i ml i c u 。0 = i i c i i ，l i m ( 日c u 。，) = 丸，i = 1 ，2 ，n ) 我们定义b = ( b 1 ，岛，取) 关于e 的正规联合数值域为集合 w c ( b ：c ，b ；c ，域c ) n = ( a 1 ，a 2 ，a 。) c “：j u 。) 爿满足 0 0 = 1 ! i m ：i i c 0 = i l c i i ，l i m ( 日c 弘。，u 。) = 划b i i j i c i i ，i = 1 ，2 ，n ) 容易证明( b ；c ，彩c ，一，联g ) 和( 研c ，b ；c ，- ，联c ) 都是c “的 非空闭凸子集合 下面引理是本节的一个主要结果 引理2 3 2 若a = ( a 1 ，a 2 ，厶) ，b = ( b 1 ，b 2 ，风) ，则我们有下面的 结果： n ( i ) i i e i l s u p l ( a z ，y ) ( 最，”) l ：l i x l l = i = l = l i v l l = 1 ) t = l n ( i i ) l l e i i s u p l ( a z ，z ) ( b i u ，让) i ：l i z l l = i = 1 ) 证明：( i ) 设x = z 圆 ，则 x l l = i i z l | | i v l i = 1 而且有 i i e i i 芝i i e ( x ) i l 所以我们得到 i i e i i2l a l ( x ) b i + a 2 ( x o t ，) 岛+ + ( z 圆 ) b 。0 0 ( b l u ，v ) a l x + ( b 2 u ，v ) a 2 x + - - + ( i k u ，v ) a 。圳i i ( b l u ，可) ( a 1 z ，笋) + ( b 2 u ， ) ( a 2 z ，y ) + + ( b u ， ) ( a 。z ，) 由于p d e s z 表示定理，上式最后一个不等式成立 又因为x ，y ，t ，v 的任意性，所以有结论 i i 1 i s u p l ( a t z ，) ( 晟札， ) l ：0 2 0 = i l 0 = i i 乱l i = 0 移0 = 1 1 4 ( i i ) 显然 注引理2 3 2 也可以证明推论2 2 5 ，证明如下： 推论2 2 5 的另一种证明设a 一( a 1 ，a 2 ) ，b = ( b 1 ，i ) 如果0 u ，( 岛) ，根 据正规极大数值域的定义，一定存在单位序列 t l 。) “并且满足 l i mi f 岛。= 0 岛f | 】l i m ( 玩t 。，) = 0 根据引理2 3 2 ，则有 陋02s u p ( a l z 。，鲰) ( b 1 t ，i ，v n ) 4 - ( a 2 x 。，鲰) ，) i 1 i x i i = 0 蜘0 = i | 0 = 0 0 = 1 ) ， 令 a l x n b 1 札n 1 1 - 2 确2 i i b l u 。l l 则上式变为 1 1 1 1 s u p ( i l i a 岛o + 丝稿瓮稚鼍掣i - l i 靠o = 1 1 , , * 1 1 = 1 ) 取t , 一o 。，则有结论 忙“之f i a , i i i i 局| f 和 。：疆m = i i i i b i m 证毕 下面定理是对忙0 下界的一个估计 定理2 3 3 若a 1 0 ，b 1 0 ，( a l ，a 2 ，k 一1 ) w a 。( a ；a 1 ，a ；a i ，- ，鬈a 1 ) n 和( p 1 ，p 2 ，一1 ) h ( 呸最，磁b 1 1 ，壤b 1 ) ，则 i i l i s u p l l l a ，洲b - i | + a 1 p 1 i i a 2 i i i i b 2 f | + + k 一1 “。一i l i a 。i i i i b 。川 证明：我们只证7 l = 3 ，其它情况证明相类似 若 ( a “a 2 ) w a 。( a ；a l ，a ； 1 ) ，( p 1 ，p 2 ) w 名，( 鹾历，e b i ) n ， 则存在两个单位序列 z 。) h 和 ) h 满足 l i mi i a ：i l = i i a ll r ，l i m 似1 靠，a 矗) = 九一11 1 a , i a | ， n，l-_ l i r a i i b l t ，1 0 = l i s l 0 ，l i m ( b 1 ，b ) = 雎一1 l i b l 洲最0 1 5 对于i = 2 ，3 都成立 根据引理2 3 2 0 ) ，则有 e l i s u p a l x 。，) ( 日l ，) + ( a 2 x 。，蜘) ( b 2 ) + ( a a x 。，y n ) ( b 3 u 。，) 忙。 l = l f 可。0 = i l u 。| i = 0 | i = 1 ) 令 则有 a 1 z n 鲰2 网 b l t n 2 两而 l l l i s u pi i | a z 。| 且，“。i i + 生生兰! i i 丢蓦娶罱铲+ 主垒兰葡暑羞：罱掣i 取几_ ，则 i i e i i s u p l l l a d l l b , i i + a 1 p l i l 20 1 1 2 孔0 + a 2 p 2 0 a 3 洲b a 推论2 3 4 若( 0 ，0 ) w z 。( b ；b 1 ，e b l ) n u ，( a ； 1 ，a ：a 1 ) 则i i i a l i i i i b - 儿 证明：若 ( 0 ，0 ) ，( 磁b 1 ，联b 1 ) n 由定理2 3 3 得 0 0 s u p l l l a d l l l b , 0 + o l i & i i i i b 。i l + + 0 1 1 a 。b 。i i i ) = l i a - i l l l b ，i | 类似的可以证明若 有 故可得结论 ( 0 ，0 ) w a 。( 啦a 1 ，a ：a 1 ) n 硎l i a l i i i i s l0 1 6 推论2 3 5 设a l 0 ，b l 0 ，若 i ( f 1 气0 ，o ) w a ，( a ；a 。，一，或a 1 ) _ 和 酊向0 ，o ) w b 。( b ；b 1 ，联b ，) _ ， 则对于任意i = 1 ，凡一1 ，都有 i i e ij i a 1 i b l0 + l i a ：岛0 + + l i a , + x l l l 鼠+ 1 推论2 3 6 设a 1 0 ，b 1 0 ，若 ( 1 ，1 ，1 ) w a f ( 钙a 1 ，a ；a 1 ，a ：a 1 ) j v 和 ( 1 ，1 ，1 ) 1 ，( 呸历，毯马，e b l ) n ， 则 0 0 = l i a l i b l0 + i i a 2 1 1 1 1 8 2 0 + + 0 a 。川b 。m 下面定理是本节的另一个主要结果 定理2 3 7 设a 1 0 ，b 1 0 若l i e i i = l i a l l i l i b d l + i i a 2 1 1 1 1 8 2 u + + a l 取i i ，则w a ，( 啦a t ，心a 1 ) l v n ，( 邑b 1 i 一，玩b 1 ) _ j v 妒 证明一我们只证n = 3 ，其它情况证明相类似 如果 i = i i a d 1 i b al l + l i a 2 1 川易0 + i a a u l l b 3 m 则存在两个单位序列 五。) b ( u ) 和f ) 咒满足 l i m0 a 1 b l x 。+ a 2 x b 2 x + a a 岛z 。0 = 0 a 1 l i l i b , 0 + i i a 2 b 2 0 + i a 3 l l l l b a 0 一u u 通过简单的推导有 l i mi i - 4 , 最z 。0 = i i a , i b , i i ， l i ml i x b i x 。0 = l i 最i i ， l i ml i b i x 。0 = i l 最 一 1 7 对于i = 1 ，2 ，3 都成立由于 0 k 鼠z 。一b i x 。1 1 2 = l i x ：x b i x 。1 1 2 + i i b i x 。1 1 2 2 1 1 x b i x 。1 1 2 和 l i x i x b i x 。1 1 2 + l b i x 。0 2 2 t l x b t z 。1 1 2 i i x b i x 。i | 2 + i i b i x 。1 1 2 2 1 1 x b i x 。j | 2 则有 l i mi i x * x b i z 。一且z 。0 = 0 n 对于i = 2 ，3 都成立又因为 l i 以1 x , , b 1 x 。+ & x , , b 2 x 。+ a 3 x b 3 z 。0 2 = i i a l x , , b l x 。1 1 2 + l i a 2 x b 2 x 。1 1 2 + l i a 3 x b a x 1 1 2 + 2 r e ( a 1 历，a 2 x b 2 x , , ) + 2 r e ( a 1 b 1 x n ，a 3 b a x 。) + 2 r e ( a a x , , 1 3 3 ，a 2 b 2 x n ) 和 r e ( a 1 x n b i x n ，a 2 矗岛x n ) l ( a 1 b l x 。，a 2 以b 2 x 。) i i i a l i i i i b , a 2 i 怕20 r e ( a 1 b l 工n ， 3 b a x 。) i ( a 1 b l x 。，a a b a x 。) i i i a l 圳i i a a i | i b 3 i r e ( a 2 b 2 x 。，a 3 b 3 x 。) l ( a 2 b 2 x 。，a 3 b a x 。) i i i a = i i i i b 2 i 删慨i i ， 所以 l i m ( a 1 b l x 。，a 2 2 屯：e n ) = 0 a l t b l 1 月2 川b 2 l | ， l i r a ( a 1 b l x 。，a a 岛) = ”圳旧i a 3 洲岛儿 l i r a ( a a b 3 z 。，a 2 b 2 x 。) = 1 1 月3 i b 3 i a z l 岛m 进一步有 l i ml i a ；a , b i z , , i l = l i 2 a 1 i b l0 和 l i mi i a ；a - 墨b a x 。0 = i l a 3 i a 圳i b mm 一u u 由于 苎：苎! 苎! 旦! 三! 一兰b 邑兰。2 l l 。i i i i a l i i i i b l0 l l b 。l i = o 篙高褊1 1 2 + i l 哿1 1 2 一( 耥黼硫，瞥) 一( 锴，商) 】8 对于i = 2 ，3 都成立简单的推导之后有 恕。器一酱旷= 。 对于i = 2 ，3 都成立令 b l x 。b l x n 2 可机”可 满足i i 让。0 = 1 和l i r ai i e 。0 = 0 设 a ；a a u 。= k i i a 2 1 1 1 1 a , 0 + 风i i a 2 i 川a 10 磊 和 钙a u n = a ：i i a 3 i i i a 0 1 t l - - i - 反1 1 a s i i i i a 。i i v 满足 ( 札。，磊) = 0 ，( ，) = 0 ，i a 。1 2 + 怫1 2 = 1 ，i a ：1 2 + i 反1 2 = 1 则 熙( 耥，札n ) = 熙( 峰笋，衙) = 热( 鼢，衙) = l i r ak = a 1 进一步有