（概率论与数理统计专业论文）基于copula方法提取非线性时间序列的趋势项.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 本文对运用动力系统方法研究预测非线性时间序列的问题进行了探讨，并主要针对 其中时间序列提取趋势项在方法上有所创新。 文中研究的对象是美国证券市场这个复杂系统，通过对标准普尔和n a s d a q 指数时 间序列进行观测，寻找复杂系统中蕴藏的函数关系具体而言，先是利用c 数的方_opula函 法构造衡量模型，并提取该时间序列的趋势项，进而以时间序列的趋势项为数据寻找复杂 系统中蕴藏的函数关系，在寻找函数关系时论证了美国证券市场是一个具有混沌特征的 复杂系统，最终确定使用动力系统方法对证券市场指数进行了短期的预测 本文内容具体安排如下： 第一章：首先简要介绍了c o p u l a 函数、经验c o p u l a 函数的定义以及s k l a r 定理等相关知 识 第二章：应用c o p m a 函数方法构造了积分绝对误差这一衡量模型，为下面提取时间序 列的趋势项做理论和方法上的准备 第三章：为了研究美国证券市场这个复杂系统，势必要找到该系统内部蕴含的函数关 系，以标准普尔和n a s d a q 指数为观测时间序列。通过线性和分段线性的方法对提取过 趋势项的时间序列进行预测，结果表明该时间序列来自非线性有混沌特征的复杂系统 第四章：这部分是本文的核心，在确定美国证券市场具有混沌特征之后讨论了混沌 理论中的动力系统方法，通过对二维时间序列进行相空间重构最后寻找到复杂系统内蕴 藏的函数关系并对其进行了较好的短期预测 第五章：阐述了本文的结论，用c o p u l a 函数构造的积分绝对误差模型的方法来提取时 间序列的趋势项效果较好：美国证券市场是一个具有混沌特性的非线性系统用动力系统 方法来短期预测市场走势较为有效 关键词：时间序列的趋势项；c o p u l a 函数；积分绝对误差；动力系统；相空间重构 基于c o p u l a 方法提取非线性时问序列的趋势项 e x t r a c t i n gt h et r e n d so ft i m es e r i e sb a s e d o nt h e c o p u l a r f u n c t i o n s a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ed i s c u s st h eu s eo fd y n a m i c a ls y s t e m sm e t h o d st os t u d yn o n - l i n e a t i m e s e r i e sp r e d i c t i o np r o b l e m ，a n de s p e c i a l l yh a v ea ni n n o v a t i o ni ne x t r a c t i n gt h et r e n d so ft i m e s e r i e sm e t h o d o l o g i c a l l y t h eo b j e c tw ec o n c e r nh e r ei sac o m p l e xs y s t e mo ft h eu s s t o c km a r k e t ，b yu s i n gt h e t i m es e r i e so b s ；e r v a t i o n so fs t a n d a r d p o o ra n dn a s d a qi n d e x ，i no r d e rt of i n dt h ef u n c t i o n r e l a t i o n s h i po ft h ec o m p l e xs y s t e m f i r s to fa l l ，w eu s ec o p u l af u n c t i o nt os t r u c t u r eam e a s u r e m o d e la n de x t r a c tt h et r e n d so ft i m es e r i e s ，a n dt h e nw i t ht h et r e n d so ft i m es e r i e sd a t ao ft h e c o m p l e x i t yo ft h es y s t e mt of i n dt h ef u n c t i o nr e l a t i o n s h i ph i d d e ni ni t w h e ns e a r c h i n gf o rt h e r e l a t i o n s h i po ft h es t o c km a r k e t ，w ed e m o n s t r a t et h eu n i t e ds t a t e ss t o c km a r k e ti sac o m p l e x s y s t e mw i t hc h a o t i cc h a r a c t e r i s t i c s ，u l t i m a t e l yw ed e t e r m i n et ou s et h em e t h o do fd y n a m i c a l s y s t e mf o rt h es h o r t - t e r mp r e d i c t i o no ft h es t o c km a r k e ti n d e x t h e r ea r ef o u rp a r t si nt h i sp a p e r ： 1 t h ei n t r o d u c t i o no fc o p u l af u n c t i o n s ，i n c l u d i n gt h ed e f i n i t i o no fc o p u l af u n c t i o n sa n d e m p i r i c a lc o p u l af u n c t i o n s ，a n dt h et h e o r e mo fs k l a r 2 w em a k eu s eo fc o p u l af u n c t i o nm e t h o di nt h i sp a p e rt os t r u c t u r eam e a s u r em o d e lt o e x t r a c tt h et r e n do ft i m es e r i e s 3 i no r d e rt os t u d yt h ec o m p l e xs y s t e mo ft h eu s s t o c km a r k e t ，i ti sb o u n dt of i n dt h e f u n c t i o n so fi n t e r n a lr e l a t i o n sw h i c ht h es y s t e mc o n t a i n s u s i n gt h ed a t ao fo b s e r v a t i o nt i m e s e r i e so fs t a n d a r d & p o o ra n dt h en a s d a qi n d e x ，w em a k eap r e d i c t i o no ft h et r e n d so ft h e t i m es e r i e sb yl i n e a ra n dp i e c e w i s el i n e a rm e t h o d s ，a n dt h er e s u l t ss h o wt h a tt h et i m es e r i e s c o m ef r o mac o m p l e xs y s t e mw h i c hh a sc h a o t i cn o n - l i n e a rc h a r a c t e r i s t i c s 4 t h i sc h a p t e ri st h ec o r eo ft h ep a p e r a sk n o w i n gt h ef a c tt h a tt h eu s s t o c km a r k e th a s c h a o t i cc h a r a c t e r i s t i c s ，w em a k ead i s c u s s i o nb yn s i u gt h ed y n a m i c a ls y s t e mm e t h o d t h r o u g h m a k i n gt h ep h a s es p a c er e c o n s t r u c t i o no ft i m es e r i e so ft w o - d i m e n s i o n a lc o m p l e xs y s t e m ，w ec a n f i n dt h ef u n c t i o nr e l a t i o n s h i ph i d d e nw i t h i ni ta tl a s t a n dm 2 , k eab e t t e rs h o r t - t e r mf o r e c a s t 5 i nt h i sc h a p t e rw em a k et h ec o n c l u s i o n si n c l u d i n ge x t r a c t i n gt i m es e r i e st r e n d sb yu s i n g t h ei n t e g r a la b s o l u t ee r r o rs t r u c t u r em o d e lw i t hc o p u l af u n c t i o n si sp r o v e db e t t e r ；t h eu s s t o c km a r k e ti san o n l i n e a rs y s t e mw i t hc h a o t i cc h a r a c t e r i s t i c s ，i ti sam o r ee f f e c t i v ea p p r o a c h f o rs h o r t - t e r mp r e d i c t i o nb yt h ed y n a m i cs y s t e mm e t h o d k e yw o r d s ：t r e n d so ft i m es e r i e s ；c o p u l af u n c t i o n s ；i a e ；d y n a m i c a ls y s t e m ；s t a t es p a c e r e c o n s t r u c t i o n 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工 作所取得的成果尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外，本论 文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他己申请学位或 其他用途使用过的成果与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论 文中做了明确的说明并表示了谢意 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任 学位论文题目：盔孟纽! 竖塑丝望坠! 坠盗丑鲨堕! ! 塑壁型竺垒鎏业 作者签名：! 基筐! 垒 日期：斗年月旦日 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间论文 工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅学校有权保留论 文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印、或扫描等复 制手段保存和汇编本学位论文 学位论文题目：蔓童! ：鲨兰塑丝丝塾堑壁鱼坚塑塑鱼型竺坐堤 大连理工大学硕士学位论文 己i 言 = i目 时间序列分析方法是生产和实践中经常用到的研究手段，在经济、医学、气象、水利 等领域有着广泛的应用 本文所要研究的时间序列是非线性随机序列，是指从非线性系统通过观察或实验获 取的时间序列对于从确定性系统通过观测得到的非线性时间序列，通常的思路是通过建 立确定性数学模型来研究它，特别是当确定性系统具有混沌特征时，f 1 】已经论证对非线性 时间序列采用动力系统的方法进行预测比较有效 动力系统方法主要是针对确定性平稳的时间序列然而通过观测或实验手段得到的 时间序列往往含有噪声，也可能不平稳，于是在对观测系统的混沌特性进行预测前，要对 观测的时间序列进行降噪处理，即对含有随机性因素影响的观测序列提取趋势项 本文在提取趋势项的判断标准上引入一种新的衡量准则，基于c o p u l a g 亨法构造积分 绝对误差函数，以此来判断不同方法所提取趋势项的合理性并将动力系统f 1 1 建立在所提 取的趋势项数据基础之上，针对次贷危机以来美国证券市场实际数据进行了模拟和预测， 得到了满意的结果 本文的写作思路及架构如下：首先用c o p r a p j 5 l 数方法构造衡量模型以标准普尔和 n a s d a q 指数为观测时间序列，通过h - 步平滑法和指数加权平均法提取时间序列的趋势 项然后通过线性回归和二次多项式的方法对提取过趋势项的时间序列进行预测，结果表 明该时间序列来自非线性系统，随后采用分段线性和近似线性的方法对时间序列进行的 预测表明该时间序列来自有混沌特征的复杂系统最后采用动力系统的方法，通过对二 维时间序列进行相空间重构最后寻找到复杂系统内蕴藏的函数关系，并对其进行了较好 的短期预测 一般而言最终要处理的数据是来自非线性确定性系统的多变量时间序列。本着由简 及难的思路，本文主要从二维时间序列着手类似的可以将二维的结果推广到更高的维 数。在现实世界中，复杂系统的观测数据多为二维以上时间序列，本文作为c o p u l a s 法在 提取趋势项上的应用，以二维数据作为铺垫，更多的应用是在高维时间序列上 1 基：t c o p u l a 方法提取非线性时间序列的趋势项 l c o p u l a 知识准备 1 1c o p u l a 函数简介 c o p u l a 函数的提出要追述到1 9 5 9 年，s k l a r 指出可以将一个联合分布分解为它的阶边 缘分布和一个c o p u l a 函数，这个c o p u l a 函数描述了变量间的相关性由此看出，c o p u l a 函数 实际上是一种将联合分布与它们各自的边缘分布连接在一起的函数，因此也有人将它称 为连接函数 c o p u l a 方法有很多优点首先，c o p u l a i 弱数可用于构造灵活的多元分布现有的大多 数多元分布函数都是一元分布函数的简单延伸，例如他们通常都要求所有的边缘分布都 服从同样的分布f 如多元正态分布的所有边缘分布都服从正态分布，多元学生t 分布的所有 边缘分布都服从一元学生t 分布) ，而现在我们可以将k 个任意形式，如正态分布、学生t 分 布、指数分布、对数正态分布等等的边缘分布通过任- - c o p u l a 函数连接起来，生成一个 有效的多元分布 其次，常用的相关系数是线性相关的度量指标，通常只在变量的线性变换下才不会发 生改变，而由c o p u l a 函数导出的一致性和相关性测度，对于严格单调增的变换都不改变， 因此应用范围和实用性更广 另外c o p i l l 耀论在实际应用中有许多优点，如运用c o p u l a ；理论构建金融模型时，可 以将随机变量的边缘分布和它们之间的相关结构分开来研究，其中边缘分布的选择不受 限制，而且若对变量作单调增的变换，f l j c o p u l a 函数导出的一致性和相关性测度的值不会 改变，因此建立在c o p u l a 理论上的模型更实用、更有效，可以广泛应用于风险管理、资产 定价和多变量金融时间序列分析等方面 1 2 c o p u l a 函数定义及相关定理 以下是关于c o p u l a 函数一些基础知识，有助于充分理解本文积分绝对误差模型的构 造过程及思路 定义1 1 ( 锄以8 函数) 设如果二元函数c 满足以下条件? 以，对任意的( 乱，口) 产= f o ，1 】2 ，都有o 卿，砂1 ； 例对任意的( u ， ) 1 2 = 【0 ，1 2 ，都有c ( 让，o ) = c ( 0 ，t ，) = 0 ，c ( 钍，1 ) = t ，c o ，t ，) = ； 俐对任意的u l ，u 2 ，口1 ，睨7 ，且u l u 2 ，t j ls 吨都有 k ( ( u 1 ，u 2 】【v l ，吻】) = c ( u 1 ，v 1 ) + c ( u 2 ，v 2 ) 一c ( u 1 ，v 2 ) 一c ( u 2 ，掣1 ) ； 则称函数c 为c o p u l a 函数例 2 大连理工大学硕士学位论文 定义1 2 ( 经验铆也f o 函数) 设( 咒，y o ，i = 1 ，2 ，扎是从二元连续分布抽取的样 本，其样本容量为仡那么经验t z d 函数由以下形式给出砂 ，= c r 0 ，砖 a 0 ，其中a 0 为大 于0 的常数此时c o p u l a 函数可以写成： c b ( 2 王，秽) = a 0 ( f ( 一1 ) ( 也) ，g ( 一1 ) ( 秽) ) ( 2 1 ) 4 大连理工大学硕士学位论文 这里m 是二元正态分布函数，f ( ) 和g ( ) 分别为边缘分布函数而值得注意的是在 中盯1 ，c r 2 和相关系数p 都是未知参数 由定义1 2 ，如果给出( 譬) ，i = 1 ，2 ，的一组估计值，则有相应的经验c o p u l a 函数存 在，记为0 ( 让，t ，) 对任意的( 缸，口) 1 2 = 【0 ，1 】2 ，可以将由( 参) ，i = 1 ，2 ，几确定的残差向 量( 象) ，i = 1 ，2 ，礼按照大t j , j t 顷序进行排序，记为言( 1 ) 言( 2 ) ( n ) 和厅( 1 ) 西( 2 ) 而f 仃、那么经验c o p u l a 函数有如下形式给出： d ( 让， ) ：善岛( 警，等) = 击怨，甄_ 1 ) ，饥辄_ 1 ) ，等乱 吾，等口 丢 ( 2 2 ) 【 1 ，z = s = 1 可以用秩的方式改写( 2 2 ) 式，记氙的秩为r ( 氙) ，吼的秩为r ( 锨) 那么改写d ( 让，口) 为如 下形式： 。( u ，f ) = 击冬1 击r ( 靠) 景：而k ) 口) 专孑u 置z j - 兰- - 1 ； 7 4 时，积分绝对误差一直在1 o e 一0 0 1 6 以上数量级变动，可以说对积分 绝对误差影响可以忽略，于是我们取入】= l o 8 和a 2 = 7 4 来对趋势项进行估计下图3 4 是 指数加权平均法给出的趋势项的估计值，其中红色实线为原始观测数据，蓝色星星为提取 的趋势项 02 04 0 8 0 1 0 0 图3 4 在加权平均法下分别对两类指数提取趋势项 1 0 砀 hm 如 = _ 吼 蜀 ：l 乖 = 玩 大连理工大学硕士学位论文 3 3 两种方法比较 最后对h - 步平滑法与加权平均法的估计效果进行比较，下图3 5 是对两种指数用h - 步 平滑法与加权平均法分别提取趋势项后的残差图像的比较其中红色的虚线代表h 步平 滑法提取趋势项后的残差波动，蓝色实线代表加权平均法提取趋势项后的残差波动 从数量级上看，加权平均法提取趋势项后的残差的数量级是1 o e 一0 0 3 ，h 步平滑法是 1 o e + 0 0 2 ，而原始数据的数量级是1 o e + 0 0 3 它们残差的数值都是在0 附近上下波动，且 均值近似于0 ，并且残差落在靠近0 点的数目比远离0 点的明显要多很多这说明作为提 取趋势项的方法它们都是可行的，但是从图像上还是可以看出两类方法有所不同 从图中可以看出加权平均法提取趋势项后的残差波动近乎一条。均值的直线，波动 幅度与h - 步平滑法比较起来非常小。从残差波动的数量级上可以看出h 步平滑法稍有不足， 但是不能总是认为残差的波动越小说明趋势项的估计效果越好。因为近乎于直线的极小 幅度的波动，说明了时间序列中的随机波动项没有被很好的与趋势项分离，那么加权平均 法提取的趋势项必然含有随机项干扰的因素 这样看来，加权平均虽然在理论方法上对h - 步平滑法做了改进，但是它同时也忽视了 随机项的波动因素，对随机项的处理不妥当，导致最后提取的趋势项中含有过多随机的因 素鉴于此，本文下面对美国证券市场复杂系统的研究所采用的趋势项数据，确定用h 步 平滑法提取的时间序列趋势项 豁p h d _ 1 i jt i lk 0 ”“0 “，铺一 ；f 一 ： i 1 q l i i i _ i 图3 5h - 步平滑法与加权平均法针对两类指数提取趋势项后的残差图像的比较 1 1 基于c o p u l a 方法提取非线性时间序列的趋势项 4 寻找函数关系 4 1 线性回归法 4 1 1 基本思想 。 对于美国证券市场这个复杂系统来说，要预测它的走势，必然要建立有效的数学模型， 通过对历史数据的分析寻找到该系统隐含的函数关系对于美国证券市场这个复杂系统， 我们并不能确定它是线性还是非线性系统，可以首先从线性的角度用线性模型来寻找函 数关系，进而对系统走势进行预测，将预测的结果与真实的数据进行对比，做出是否为线 性系统的判断，线性模型如下： ( 窆) 一( = ) 讹地a i 刮- 2 、+ a _ p ) ， 他1 ， 其中p 是正整数，根据经验可以将p 的取值范围定为p 4 ，我们将p 的值定为3 有下面 的模型： ( 乏) 一( 怕( 翻+ 蜘) ， 其中a 1 、口2 和锄是未知参数2 2 阶方阵，实际上它们有形式如下： ( 4 2 ) q 1 10 、，q 2 l0 、q 3 10 、 铆2i o q 1 2 夕艘2 。io 毗7 艘3 | 、oa 3 2 广 我们知道在时间序列的一个较短的时期内变动不是很大，于是可以将它们三个看成 是不变的，但是从长期看来它们是变动的现在关注的是它们的短期不变的情况下如何 来估计并构建以上的递推模型在这里需要知道q 】、a 2 和q 3 的估计值将h 步平滑法提 取的趋势项估计值代入以上模型，通过时间序列a r ( p ) 模型可以求出q 】、q 2 和a 3 的估 计值a 】、奶和彘这样利用经验数据求出了递推估计趋势项模型： ( 意) = a ，a - 1 + a 。a - 2 + a 3 ( 耄：) ， 模型建立以后可以给出美国证券市场的走势预测 4 1 2 线性回归法的预测 ( 4 3 ) 为了检验美国证券市场这个复杂系统是否属于线性系统以h - 步平滑法估计出的趋 势项( 象) 为原始数据用趋势项前半段数据来估计递推线性模型的三个未知参数，并最终 得到这三个参数的估计值a 1 、a 2 和函由此建立起来线性回归模型，然后对趋势项后半 1 2 大连理工大学硕士学位论文 段进行验证分析应g j m a t l a b 3 4 进行编程实现对这三个未知参数的估计，具体计算结 果如下： d i s c r e t e - t i m ei d p o l ym o d e la ( q ) y ( t ) = e ( t ) a ( q ) = 1 一1 0 0 3 q - 1 _ 0 0 0 4 3 4 2 q - 2 + 0 0 1 5 2 7 q 一3 e s t i m a t e du s i n ga r ( 7 f b 7 7 t , o w 7 ) f r o md a t as e tal o s sf u n c t i o n2 8 8 2 0 2a n df p e3 0 5 6 6 8 s a m p l i n gi n t e r v a l ：l d i s c r e t e - t i m ei d p o l ym o d e la ( q ) y ( t ) = e ( t ) a ( q ) = 1 1 0 0 7 q 一1 + 0 0 0 0 7 1 1 3 q 一2 + 0 0 1 6 2 2 q 一3 e s t i m a t e du s i n ga r ( 7 f b 1 7 死。锄7 ) f r o md a t as e t ：bl o s sf u n c t i o n9 8 3 7 6 2a n df p e1 0 4 3 3 8 s a m p l i n gi n t e r v a l ：1 由此可以得到线性回归模型如下： 0 4 = - 1 7 5 0 4 1 + o 6 9 6 3 0 4 2 + 0 0 5 3 9 7 0 4 3 同理也甭 6 t = - 2 0 3 7 b i 一1 + 1 1 9 3 玩一2 0 1 5 6 3 b i 一3 由此得到预测趋势项的线性回归模型为： ( 意) = ( 一：7 5 2 0 。3 7 ) ( 芒：) + ( m 譬6 31 ，0 9 3 ( a i - 2 ) + ( n 。( 搿401 5 6 3 3 ， + l ii ，。1 ( 4 ) 一0 饥一 、 下面是由该线性模犁樟拟的证券市场击势的图像 图4 1 线性回归法对两类指数提取趋势项 显而易见线性回归模型递推估计出来的市场走势明显与事实不符，从图像上看来该 系统走势有发散的趋势，从数量级上看来它们的数量级分别是1 o e + 0 1 7 和1 o e + 0 1 9 ，这 与原始数据的数量级1 0 e + 0 0 3 差了很多，由此可以初步断定美国证券市场这个复杂系统 是非线性的系统下面从另一种方法来证明它的确是非线性复杂系统 1 3 基于c o p u l a 方法提取非线性时间序列的趋势项 4 2 二次多项式方法 4 2 1 基本思想 考虑到趋势项( 麓) 中，b i 的数值会对口t 有所影响，同理啦的数值会对b i 有所影响 因此构造二次多项式模型如下： a i2c 1 8 2 1 + c 2 a 4 1 玩一1 + c 3 b 。2 1 ， 其中c 1 、c 2 和c 3 未知同线性回归法一样，可以认为在较短的时间序列中c 1 、c 2 和c 3 是 不变的，本文思路是先应用h 步平滑法求出趋势项的估计值西、西和而，于是有趋势项的 估计值： 同理可以求出坟的估计为： 那么构建出二次多项式模型： =矗011+而啦一lbiai一1 + 西6 1 1 = c 1 0 0 1 + c 2 啦一一十c 3 0 0 1 b i 一面n 1 1 + 西啦一l b i 一1 + c 6 - 2 1 ( 主) = ( 耋) n 孙( 耄) h + ( 耄) “ 5 ， 模型建立以后可以给出递推模型下的证券市场的走势下面应用h - 步平滑法求出趋势项 的数据采用二次多项式方法估计趋势项 4 2 2 二次多项式法的预测 由h 步平滑法估计趋势项，得到趋势项的估计值隆) 采用h 步平滑法得到的趋势项 估计值的前半段。来估计二次多项式模型的6 个未知参数，并最终得到这6 个参数的估计 值a = 0 7 2 3 1 e 一0 0 3 、而= 一0 4 3 0 3 e 一0 0 3 、西= 0 2 3 8 5 e 一0 0 3 、面= 0 2 0 2 8 e 一0 0 3 、西= 一0 0 5 0 4 e 一0 0 3 和西= 0 3 6 1 4 e 一0 0 3 用后半段来与由此建立的预测模型对证券市场走势的预测进行比较，下图4 2 是二次 多项式模型趋势项的估计值图像 显而易见二次多项式模型递推估计出来的趋势项的估计值效果非常差，对标准普尔 指数的估计从图像上看该趋势项最后是发散的从数量级上看来的数量级是1 o e + 0 2 9 4 这与原始数据的数量级1 0 e + 0 0 3 差了很多而n a s d a q 指数估计最后趋势是0 值，这明 显与现实不符 综合以上两种方法对趋势项的估计可以得到下面的结论：线性回归法和二次多项式 方法对趋势项估计严重失真，并不能反映美国证券市场的特征，由此可以判断出美国证券 1 4 大连理工大学硕士学位论文 图4 2 二次多项式法对两类指数提取趋势项 市场属于非线性系统下面用非线性的方法来寻找美国证券市场复杂系统的函数关系。并 对市场走势进行预测首先来看分段线性的方法 4 3 分段线性法 4 3 1 基本思想 对于来自非线性系统的时间序列来说，分段线性是最常用的方法，美国证券市场系统 是否可以用分段线性函数关系来描述并预测首先有分段线性数学模型如下： 设o = 幻 亡1 = 1 是区间 o ，1 】上的一种分割，记乃( 亡) = 靠 谢。) ，1 歹 m 一1 ，k ( 亡) = i t 。一，s 。 概| ，b = ( 6 0 ，6 0 ，6 m ) t ，记 g 删) = 薹( 鬻卜觜删 ( 4 6 ) 为依次连接点( t o ，b o ) ，( t 1 ，6 1 ) ，( ，b m ) 的分段线性函数，称b 为g m 的系数 模型建立以后可以给出分段线性模型下的证券市场的走势下面还是应用前面例子 中的数据，用分段线性方法预测证券市场走势 4 3 2 分段线性法的预测 由h 一步平滑法估计趋势项，得到趋势项的估计值( 玺) 在本例中取m = 5 ，于是分段线 性模型有如下形式【5 】： g 鲋= j 壹= lc 鬻t 一紫删 7 ， 用h 步平滑法得到的趋势项估计值的前半段，来估计分段线性模型的5 个未知参数。 然后预测后半段并与实际的趋势项进行比较 1 5 基于c o p u l a ；b - 法提取非线性时间序列的趋势项 经过m a t l a b 编程计算【3 】 4 】，有关于标普5 0 0 模型的5 个参数估计分别为： b o = 1 3 9 8 6 7 ，b l = 1 4 8 1 5 9 ，6 2 = 1 5 0 1 4 0 ，5 3 = 1 5 0 6 3 0 ，b 4 = 1 4 4 9 9 9 同时有n a s d a q 模型的5 个参数估计值分别为： b o = 2 4 5 5 5 2 ，b l = 2 5 5 9 1 7 ，b 2 = 2 6 3 0 6 2 ，b z = 2 6 8 1 6 0 ，b 4 = 2 4 1 1 7 2 有t ( 4 7 ) 式参数模型的估计，于是可以建立分段线性模型，进而对市场走势进行预测 经过数值模拟计算，得到分段线性方法下对证券市场走势的预测，见下图4 3 ，其中蓝色实 线为观测数据，红色虚线前半段为h 步平滑法得到的趋势项，红色虚线后半段为应用分段 线性模型预测的走势 图4 3 分段线性方法对两类指数提取趋势项 从图4 3 中可以看出相对于线性的方法，分段线性已经将大体趋势预测的比较好了但 是具体看来，分段线性预测的市场走势并没有如真实市场走势的那般剧烈向下，而是一种 较为缓和的渐进向下发展的趋势，并且没有反映出市场走势的波动真实的市场走势是较 为剧烈震荡向下发展，而预测的趋势却是在高位平缓，并未见震荡之势由此可以看出分 段线性方法的局限性，而且美国证券市场这个复杂系统具有混沌的特性。因此下面引入动 力系统的方法来研究这个问题最终给出市场的走势 4 4 动力系统方法 4 4 1 基本思想 对于未知数学模型的混沌动力系统，通过观测或实验手段可以获得多变量时间的序 列为了找到该系统的数学模型函数关系，关键的一步是要对相空间进行重构，将多变量 的时间序列重构成一个m 维的状态空闯 1 6 大连理工大学硕士学位论文 f t a k e n s 和r m a n e 6 1 的延迟嵌入定理证明了只要适当选取延迟时间间隔r 和嵌 入维数m ，原未知数学模型的混沌动力系统的几何特征与重构的m 维状态空间的几何特 征是等价的，它们具有相同的拓扑结构，这意味着原来未知数学模型的混沌动力系统中的 任何微分或拓扑不变量可以在重构的状态空间中计算，并且可以通过在重构的m 维状态 空间中建立数学模型对原未知数学模型的动力系统进行预测 不妨记观测到的多变量时间的序列为 靓n 怎，( 2 = i ，2 ，l ) ，假设t = n + p ， 前n 个数据作为构造模型所需的样本，后p 个数据作为预测精度的度量采用延迟重构法， 在相空间中重构的状态向量为： x t l = ( x l ，n ，x l ，n n ，z l ，n 一( t i r t i - - 1 ) n ；x 2 ，n ，x 2 ，n 一您，x 2 ，竹一( m 2 1 ) 忍；x l m ， x l ，n 一亿，x l ，l 一( m l 一1 ) 屯) 冗m ，铭= n o ，n o + 1 ，n ( 4 8 ) 式中0 2 】型翌 ( 彻一1 ) 力+ 1 ) ；n ( z = 1 ，2 ，三) 和m l ( 1 = 1 ，2 ，l ) 分别代表延迟时 间间隔和嵌入维数如果m z 或m ：lm z 充分大，则砀是原动力系统相应的一条轨道 1 = i 到酽中的嵌入由此可得到上的一个离散的动力系统g ：r m r t m 使得 x n + l = g ( 砀) ( 4 9 ) 或者得到多元函数g l ：俨一r ，满足 o z ，n + 1 = g l ( z n ) ，z = 1 ，2 ，二( 4 1 0 ) 非线性时间序列预测问题就是根据 规，礼) 怎1 ( ：= l ，2 ，l ) 构造g z 的一个近似形 式岛，也就是要寻找的未知复杂系统函数关系的一个估计下面的工作将主要分为三个 步骤： 1 、第一步要确定延迟时间间隔： 2 、第二步是确定重构的相空间的维数； 3 、第三步估计函数关系并对该系统进行预测。 4 4 2 延迟时间间隔的确定 由f t a k e n s 和r m a n e 的延迟嵌入定理知，选择7 i 的基本思想是使z n 和z n + 下具有 某种程度上的独立但又不完全相关，以便它们能在重构的相空间中作为独立的坐标处理 本文采用的方法是自相关函数法，它的基本思想是要考察观测量z 和z n 秆与平均观测量 的差之间的线性相关性即如果假设 其中童：寿n 孙则使 n - - - - i z 住+ r 一牙= c 乙( z n 一厉) ， 1 7 ( 4 1 1 ) ( 4 1 2 )川 一z n z 既 一 一z r+n z 瞄 基于c o p m a 方法提取非线性时间序列的趋势项 最小的c l ( r ) 为 斋( z n + r 一牙) ( 一牙) 既( 7 ) = 坚l 矿一 ( 4 1 3 ) 斋( z n 一互) 2n 厶“f l “， n - - - - i 称这样的c l ( r ) 为线性自相关函数，取第一次为。时的f 为延迟时间间隔 4 4 3 嵌入维数的确定 本文采用虚假邻点法来确定嵌入维数，这是建立在以下事实的基础上：选择太小的维 数将导致那些在相空间中离得比较远的点会在重构的相空间中靠近其基本思想是当嵌 入维数从m 变到m + 1 时，考察轨线砀的邻点中那些是真实的邻点，那些是虚假的邻点， 当没有虚假邻点时，可以认为系统的几何结构被完全打开。 设的最近邻点为砀m ) ，即 i ( 行) 一硫l l 2 j ：o ，鼍嗡，j 却j i 确一巧| | 2 ( 4 1 4 ) 当嵌入维数从m 变到m + 1 时它们之间的距离变为 i i ) c ，7 ( n ) 一x 1 j 步“) = 、川h ( n ) 一砀i l 妒】2 + 【( n ) + m r 一+ m r 2 ( 4 1 5 ) 若l i ) ( 7 ( 竹) 一罗+ 1 1 l ：i , l l x 竹( n ) 一i i 妒大很多，可以认为是由于高维吸引子中两个不相 邻的点在投影到低维轨线上时变成相邻的两点造成的，因此这样的邻点是虚假的具体说 有以下不等式，当 ixil(n)+m,r-xn而+m广vliii i 2r d f ( 4 1 6 ) l mj 一 、 t l x 唧( - ) 一砀1 1 2 时，) c ，7 ( n ) 为砀的最近邻点，其中经验取值为1 5 左右 对于相空间中的每个) 【f l ，按式( 4 1 4 ) 找出其最近邻点，并由式( 4 1 6 ) 1 拘标准判断最近邻 点是否虚假从而可以计算出虚假最近邻点的比例让m 从1 开始增加，计算每个m 时的 虚假最近邻点比例直到虚假最近邻点的比例小于0 0 5 或虚假最近邻点不再随着m 的增 加而减少时，可以认为系统的几何结构完全打开，此时的m 即为嵌入维数 4 4 4 估计函数关系 本文采用的是局部多项式预测法，以下是具体数学模型，设时刻t 的状态向量为 x t2 ( z 1 ，? ，z 1 ，? 一n ，z 1 ，t 一( m l - 1 ) n ；x 2 ，r ，x 2 ，t 一亿，z 2 ，丁一( m 2 - - 1 ) 您； ；z l ，r ，z 工，? 一亿，。l ，r 一( m 工一1 ) v l ) ( 4 1 7 ) 对p 步之后的值z 1 ，t 却进行预测，于是研+ p 的第一个分量的预测值意1 ，丁+ p 由s 阶多 项式得到，即 1 8 大连理工大学硕士学位论文 童1 ，t + p = g 1 ( x t ) m 1 1m 1 1 = c d + c 踺钆m l n + +理k 2 k s x l ，? 呐n 礼r 吨n k l = o k l = 0 ，k 。= k s 一1 - - = 也= k l r n 2 - 1m 2 1 + 醒m ，它+ +皖咖卜? 一k 吨 k l = 0k z = 0 ，j b = 七8 一i - - - - = k 2 = k l + ，n , - - 1 + c 鬟：。工，r 一七。亿+ + r r l , l - 1 删k 2 k s ”，亿t 吨亿( 4 1 8 ) k l = 0k l = 0 ，k 。= 丘。一1 。= = k 2 = k l 找x 丁的k 个最近邻点如，：，) c a 耳，如果系统是确定的，则当x t 靠近) 【a 耳时， 研+ p 也靠近x 。片+ p ，于是问题转化为求系数 最小 4 4 5动力系统在股市上的应用 对于美国证券市场这个动力系统，本例依然采用标准普尔5 0 0 和n a s d a q 周收盘价 作为时间序列观测样本但是为了便于计算本例将样本的范围扩大，观测的时间范围是从 1 9 8 8 年1 月4 日到2 0 0 9 年2 月9 日，共计1 1 0 2 组数据由于混沌数学模型中动力系统方法只能 进行短期的预测对于长期的预测不是动力系统方法的优势所在于是将1 9 8 8 年1 月4 日到 2 0 0 8 年1 2 月8 日共计1 0 9 2 组数据作为构造模型所需的样本最后l o 个数据作为预测精度的 度量，本文将用这1 0 个数据与动力系统模型的预测进行比较 首先确定延迟时间间隔，本文采用自相关函数法通过m a t l a b 数值计算可以得到 自相关函数法对两类股市关于延迟间隔r 变化情况的图像4 4 其中横轴是丁变化情况， 纵轴是仇( 丁) 的取值变化情况从图中不难发现标准普尔5 0 0 手旨数的c l ( ，- ) 第一次取0 值 时的时间间隔- r = 3 1 ，n a s d a q 指数的g l ( r ) 第一次取0 值时的时间间隔 r 2 = 3 0 其次确定相空间的维数m ，由于观测数据是二维的，有m ：m 】+ m 2 于是采用虚假 邻点方法分别对m 】和m 2 进行估计，经过计算得到m 1 ：4 和m 2 ：5 ，相空间的维数m ： m l + m 2 29 在得到时间间隔和相空间维数后，要进行相空间的重构对于原始时间序列f z z 。 磐， f 2 ；1 ，2 ) ，本例采用延迟重构法重构了相空间通过局部多项式预测法对式( 4 1 8 ) 的l o 个未 知系数进行估计，并对系统的走势进行了短期预测，为了便于分析例中截取了包含1 0 个预 测数值的后1 0 2 个数据，最终得到图像4 5 1 9 9 l 4 ” 一 l 咖 c ” 一l炳 c 江加 c ” 一 ，m 0 “ c 露 印 使 24 2 r x_ g一 却 口 z k 胁 | i 2 却 ? _ z一 切 k口 z k 脚 基于c o p u l a 方法提取非线性时间序列的趋势项 8 & pt i m e y 图4 。4 自相关函数法对两类股市关于延迟间隔r 变化情况 s & pi n d e x 图4 5 动力系统对两种指数短期预测 大连理工大学硕士学位论文 图像4 5 中蓝色实线代表真实的证券市场走势，红色虚线代表趋势项，并且最后一小 段l o 个数值是动力系统方法对该系统的预测值 从图中直观上可以看出动力系统的方法对n a s d a q 指数市场走势预测的较好，对标 准普尔5 0 0 市场指数预测的不尽如人意，但是这并不能说明动力系统的方法不能很好预测 该系统的