（理论物理专业论文）原子霍尔效应边界态和量子主方程的若干研究.pdf

中国科学技术大学硕士论文 摘要 本文包括作者研究生期间在愿王重玺鏊鏖边界态和量王韭应戡蛙方面的研究工作。 环流的宏观量子化是超流体最引人瞩目的性质之一。1 9 9 5 年玻色一爱因斯坦凝聚的 实现为超流提供了一个新的研究对象，使得人们可以对转动的超流体进行深入的研究。实 验上观测到了涡旋线，并进一步观测到了涡旋晶格。当冷原子的转速进- 步增大，涡旋品 格会融解成一种新的强关联系统一量子霍尔液体。对高速转动冷原子中霍尔效应的研究 g 日w i l k i n 等人发起，他们首先认识到高速转动冷原子气与强磁场下电子气体的相似性，通 过数值计算对其基态给出了讨论。随后一些文章对这个问题进行了研究，着重对其基态 波函数的描述。以及稳定的填充因子的探讨。在前四章中我们原子霍尔效应的边界态进 行了深入分析。通过两个系统之问的映射m e ，给出原子霍尔液体中的横向响应m a s s c o n d u c t a n c e ，并将c h e r n - s i m o n 平均场描述推广到原子霍尔效应中，并且我们给出等级 构造原子霍尔液体的边界激发般描述。 研究量子系统与外界环境相互作片j | 对量子信息处理起着重要作用。第五章中我们对 杂化纠缠态与热库相互作用时量子态非定域性的演化进行了研究。 全文共分五章。第一章首先介绍玻色爱因斯坦凝聚的背景知识。第二章简要的回顾 电子中量子霍尔效应。第三章介绍了近年来原子霍尔效应的研究进展。第四章给出了我 们在原子霍尔效应的边界态的研究结果。第五章我们讨论了量子非定域性的若干问题， 提出求解类主方程的般方法。 荡泓狡 第3 页 中国科学技术大学硕士论文 a b s t r a c t t h i st h e s i si n c l u d et h ew o r ko nt h ee d g es t a t eo fa t o m i ch a l le f f e c ta n dq u a n t u m n o n l o c a l i t y t h e q u a n t i z a t i o no fc i r c u l a t i o ni so n e o ft h ef s e i n a t i n gp h e n o m e n ao fq u a n t u mm e - c h a n i c s t h er e a l i z a t i o no fb o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t i o nh a so f f e r e dan e w t e s t i n gg r o u n d ， a n do n ec a ni n v e s t i g a t et h er o t a t i n gp r o p e r t yo fb e ct h e o r e t i c a l l ya n db ye x p e r i m e n t ， v o r t e xl i n ec o m e si n t ob e i n gw h e nb e ci sr o t a t e d t h ee x p e r i m e n t e r sh a v eo b s e r v e dt h e v o r t e xl i n e ，m e a s u r e di t sp a r a m e t e ra n dt h ev o r t e xl a t t i c e w h e nt h er o t a t i o nv e l o c i t yi s f a s t e r ，t h ev o r t e xl a t t i c ew i l lm e l ti n t oan e ws t r o n gc o r r e l a t e ds y s t e m ，q u a n t u mh a l ll i q - u i d w i l k i ne ta ls t u d i e dt h ep o s s i b l eq u a n t u mh a l le f f e c ti nr a p i d l yr o t a t i n gc o l da t o m s t h e yf o u n dt h es i m i l a r i t yb e t w e e nr a p i d l yr o t a t i n ga t o m sa n dt h e2 de l e c t r o nu n d e r h i g hm a g n e t i cf i e l d a n dd i s c u s s e di t sg r o u n ds t a t e s e v e r a lp a p e r sf o l l o w i n gd i s c u s s e d t h ei m p r e s s i b l eg r o u n ds t a t ea n ds t a b l ef i l l i n gf r a c t i o n i nt h ep r e c e d i n gf o u rc h a p t e r s ， w ei n v e s t i g a t et h ee d g es t a t et h o r o u g h l y w eb u i l du pan e wm a pmh e ，a n dg e tt h e m a s sc o n d u c t a n c e w et h e ne x t e n dt h ec h e r n - s i m o nm e a nf i e l dd e s c r i p t i o na n dt h ec o m - p o s i t ep a r t i c l ed e s c r i p t i o nt oa t o m i ch a l le f f e c t ，a n dw eg i v et h eg e n e r a ld e s c r i p t i o no f h i e r a r c h i c a lc o n s t r u c t i o na t o m i ch a l ll i q u i d t h ei n t e r a c t i o nb e t w e e nt h eq u a n t u m s y s t e ma n d e n v i r o n m e n ti si m p o r t a n tt oq u a n t u mi n f o r m a t i o n i nt h ef i f t hc h a p t e rw ed e a lw i t ht h ed y n a m i c so fq u a n t u m n o n l o c a l i t y f o rah y b r i de n t a n g l e ds t a t ei nat h e r m a lr e s e r v o i r t h i st h e s i si sd i v i d e di n t of i v ec h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e rw ei n t r o d u c et h ec o n c e p t o fb o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t i o n i nt h es e c o n dc h a p t e rw er e v i e wt h ee l e c t r o nq u a n t u m h a l le f f e c tb r i e f l y i nt h et h i r dc h a p t e rw ei n t r o d u c et h ep r o g r e s si na t o m i ch a l le f f e c t i nt h ef o u r t hc h a p t e rw eg i v et h er e s u l to fe d g es t a t ei na t o m i ch a l le f f e c t i nt h el a s t c h a p t e r w es o l v eo n e1 【l r l do fm a s t e re q u a t i o na n dd i s c u s st h es o m e p r o b l e m a b o u t q u a n t u m n o n l o c a l i t y 第4 页 中国科学技术大学硕士论文 第一章引言 1 9 9 5 年美国c o l o r a d o 和m i t 两个小组分别在r b 原子气体和n a 原子气体中实现玻色一 爱网斯坦凝聚( 简n b e c ) 【1 ，2 ，3 ，这一工作被认为是2 0 世纪物理学的一个重大成就，最近 给取得这个成就做出主要贡献的三位物理学家c o r n e l l 、k e t t e r l e 和w i e m a n 授予了2 0 0 1 年 诺贝尔物理奖。冷原子气体易于操控，使得我们可以从实验上更好的研究量子力学的多 体问题以及超流、超导等宏观的量子化现象。b e c 的实现也促进了原子激光，多体的量子 纠缠等其他方向的发展。 液氦的超流已经有很多年的研究历史，1 9 2 4 年l o n d o n 指出液氮的超漉转变是由于低 温下液氦中发生t b e c ，1 9 4 7 年l a n d a u 给出了液氦的激发谱【4 】，b o g o l i u b o v $ 1 j 用玻色凝 聚的假设处理弱相互作用玻色子问题给出玻色液体的能谱 5 】。超流体。个引人瞩目的性 质就是它对转动的响应。1 9 4 9o n s a g e r 引入了涡旋线v o r t e x 来解释超流体对转动的响应， 绕涡旋线的环流是宏观量子化的f 6 】 c vd l ：k 墅k ：0 ，1 2 ， j m 1 9 6 1 年环流量子化i t v i n e n 在实验上给予验证f 7 1 。但由于液氦的超流成份相对较少，使得 实验不能对理论给予进一步的验证。 b e c 的实验实现重新唤起了人们对超流中涡旋的兴趣，理论和实验都得到了进一步 的发展。1 9 9 9 年，b u t t s 和r o k h s a r 通过对g r o s s - p i t a e v s k i i 的数值求解，预言了转动b e c 气 体会出现涡旋晶格v o r t e x - l a t t i c e 【8 1 即类似于第二类超导体中a b r i k s o v l a t t i c e 的涡旋分 布图样，并被接下来的几个实验所验证9 ，1 0 。w i l k i n 等人通过少量粒子系统h a m i l t o n i a n 的对角化，给出了系统在转速不同时的在转动坐标系下的近似的基态波函数。并进步 指出，当转速进一步增大时，涡旋晶格v o r t e x - l a t t i c e 会融解成为一种新的不可压缩的强关 联液体一量子霍尔液体f 1 1 ，1 2 1 。量子霍尔效应是低温二维电子气体中所形成的一种宏观 的量子效应，近2 0 年来在理论和实验上对其进行了深入的研究。由于在冷原子中实现量 子霍尔效应对实验的要求太高，现在的实验条件难以达到，关于这方面的_ t i 作主要集中 在理论研究上。几个理论组对各种不可压缩的基态波函数，准激发的分数统计的性质， 实验的实现条件进行了比较详细的研究。 第5 页 中国科学技术大学硕士论文 下面我们将先对电子中的霍尔效应作一个较为详细的介绍，并介绍近年来对高速转 动原子的理论研究的结果，然后给出我们对原子中量子霍尔效应及边界态研究的些结 果。从我们的结果中可以看到电子霍尔效应与原子霍尔效应之间的深层次的联系。 第6 页 中国科学技术大学硕士论文 第二章电子中量子霍尔效应 本章我们先介绍二维自由电子气中的量子霍尔效麻，包括l a u g l l l i n 的规范论证，对分 数霍尔效应的解释，j a i n 的复合费米子理论。c h e r n s i m o n g i n z b u r g - l a n d a u ( c s g l ) 平 均场理论，以及文小刚给出的电子量子霍尔效应中拓扑序，边界态的相关理论【1 3 ，1 4 ，1 5 ， 1 6 ，1 7 。 2 1 经典霍尔效应 通常的霍尔效应指的是金属中电子的输运性质：通电的金属放在均匀的磁场中会产 生与电流和外磁场方向都垂直的电压，这个横向的电压被称为霍尔电压。 图2 h 电子中霍尔效应示意图 对2 维的情形定义相应的霍尔电阻r h ( 或霍尔电导啪) 1 r 日= 磊b 或盯日= 署 ( 2 1 ) 礼q b 、 7 其中n 为载流子浓度。对于电子q2 e ，我们定义v = 嚣= 号箍，则霍尔电导可以写成 e 2 。h 2 ”i ( 2 2 ) 这里，称为朗道能级填充因子，s 是样品的面积，n 且= ( 杂) 称为磁长度，它是强磁场下 的特征长度，他日= i ；匆为朗道能级的态密度。我们通常利用霍尔效应来判断载流子电荷 的正负。 霍尔电阻随磁场线性变化这条规律在1 9 8 0 年受到了动摇。v o nk l i t z i n g 等人发现了 在二维电子系统中的量子霍尔效应，即霍尔电导在极低温下呈现出宏观的量子效应，它 第7 页 中国科学技术大学硕士论文 以譬的整数倍跳跃变化 1 8 】。霍尔电导a h ( 或r 打) 在磁场变化的某一范围内不随磁场改 变保持为譬的糇数倍。v o nk l i t z i n g 因这一发现获得1 9 8 5 年的诺贝尔物理学奖。 1 9 8 2 年，崔琦、s t r 6 m e r 和g o s s a r d 发现在适当条件下，霍尔电导可以在一段磁场范围 内保持譬的分数倍，即分数量子霍尔效应【1 9 】o1 9 8 3 年，l a u g h l i n 提出了分数量子霍尔效 应的基态波函数，成功的解释了分数霍尔平台，并预言了分数电荷激发存在【2 0 】。崔琦、 s t r s m e r 和l a u g h l i n 于对分数量子霍尔效应的实验发现和理论解释荣膺1 9 9 8 年的诺贝尔 奖。 霍尔效应的原理可以理解为：在金属导体或半导体中沿z 轴方向加上磁场b ，电子 在l o r e n t z 力下分离堆积，最后形成y 方向的电场邑，在y 方向上建立电势差y 。 自由电子在均匀磁场f 的运动可以由量子力学算出，采用对称规范，电子h a m i l t o n i a n ：为 去。+ 萼扩+ ( 地一丁e b 妒】妒= e 砂 ( 2 3 ) 引入复数坐标 一等，= 嚣 ( 2 4 ) 一瓦五。一瓦7 4 及产生湮灭算符 n = 击( z + 杀加+ = 砺1 ( z + 一) ( 。 满足对易关系 【a ，a + 】_ 1( 2 6 ) 贝l j h a m i l t o n i a n 化为 = 舰。( 一+ ；)( 2 7 ) 其中u 。= 等为同步回旋频率，求解可得l a n d a u 能级 e ；( k + ；) 眦，k ：0 ，1 ( 2 8 ) 第8 疆 ! 里型兰垫查奎耋堡圭丝壅 考虑l a n d a u 能级的简并度。引入 b = 去( 矿+ 毫) ，b t = 去( 。一面0 ) ( 2 国 易得 6 ，b t = 1 ，k ，6 】= 0 ，b 】= 0 ( 2 - 1 0 ) 它与h a m i l t o n i a n 对易，有共同得本征态，则 矿6 妒k l = l c k l ，l = 0 ，1 ，2 ( 2 1 1 ) 最低l a n d a u 能级的波函数为 皿叫= c o n s t ( z ) 。8 。 ( 21 2 ) 可见l 的最大值标志l a n d a u f i e 级的简并度。对面积为s 的样鼎，简并度为 g _ l m 。= 鑫= t s e b = 杀 ( 2 1 3 ) 其中西= b s 为穿过样品的总磁通，币d = 学为量子化磁通。 由泡利原理，每个l a n d a u 轨道只允许一个无自旋费米子占据，定义填充因子 样品中电子数 n n dl t b ( 2 1 4 ) 加入外电场e ，可以得到横向电导( 电阻) ，即霍尔电导。h a m i l t o n i a n 在l a n d a u 规 范下写为 ：坠絮幽瑚， ( 2 1 5 ) 此时简并的l a n d a u 能级展宽为能带 s = ( k + 互1 ) + e 嘞+ 筹( 善) ( 2 1 6 ) 易得$ 方向平均电流密度为 驴警 ( 2 1 7 ) 得横向电导，即霍尔电导为 = 詈 ( 圳 当载流子浓度不便时，霍尔电导。日与磁场b 成反比。 第9 页 中国科学技术大学硕士论文 2 2 1 整数霍尔效应 2 2 量子霍尔效应 图2 ，2 ：量子霍尔效应 实验发现，在p = 1 即最低l a n d a u 能级刚好填满，。呈现出一个平台，即整数量子霍 尔效应( i q h e ) 。1 9 8 2 年崔琦等人用更纯净的样品发现在p = j 1 ，；等处仃。也出现平台， 即分数量子霍尔效应( f q h e ) 。 整数量子霍尔效应可以看成无相互作用的电子系统中的现象，l a u g h l i n 对整数霍尔 效应给出规范论证 17 j 。 如图所示，考虑环状样品，插入磁通垂，规范势发牛改变 a a + 山岔 ( 2 1 9 ) 其中山= 芒为一一常数，可得 元e 叫s - , n _ - o 峨 = 一筹 ( 2 2 0 ) h e l l m a n - - f e y n m a n 定理可得 图2 3 ：规范论证 o e6 e 1 2 丽2 丽 第1 0 页 ( 2 2 1 ) 一一：堡兰堑堡奎堂堡圭丝奎 ：。：= = ；一 = = = = = ! = = = = = ! = ：= = = ! = ：= = ! ! = 2 = = ! ! = = ? ! = 喜：= ! = = = = = = = = ；2 = 5 = 3 一 即绝热的插入磁通圣会在样品中产= ； z 方向电流，变换后的h a m i l t o n i a n 与初始h a m i l t o n i a n 相 差规范变换，能量的增加是由于1j 始h a m i l t o i a n 本征态的重新排布。初始时电子的波 函数在方向上呈高斯分布，中心在耶处，l a n d a u 能级的简并度就是如从0 到“时状态的 取值数。考虑一一完全填满的l a n d a u 能级，电子密度分布如图 图2 4 ：粒子密度分布 当磁通量6 垂绝热增大到垂d = ! ，电子密度分布整体向右移动一格，此过程中能量改 变为6 e = e v ，故 = 丽6 e = 要v ( 2 2 2 ) 。一丽一百。 峥“j 从而给出正确的横向电导 p 2 口= i ( 2 2 3 ) 倘若电子总数不变，改变磁场改变简并度原来填满的能级变成不满或过满，上述分析不 再有效。实际样品中有杂质存在，它们会捕获电子成为定域态。由于杂质存在，l a n d a u l 能 级展宽成能带。当改变磁场使费米面b 位于两个l a n d a u 能带之间示，定域态中电子不能 作为载流子参与导电，磁场的改变不会改变h a l l 电流，则= l 时。会出现一个平台。 2 2 2 分数霍尔效应 实验上看分数量子霍尔效应与整数效应类似的，但分数量子霍尔效应的发现却在理 论上对传统费米液体理论提出了挑战。由于在 0 ，无相互作用的基态高度简并。如果相互作用强度q 鼬，则相互作 用不会激发径向自由度，也不会改变系统的总角动量，只改变多体基态的简并度，在这一 近似下我们就可以考虑总角动量同定的简并子空间，在简并子空间下来将h a m i l t o n i a n 对 角化。这与处理电子霍尔效应时最低l a j l d a u 能级的假设相同。最低l a n d a u 能级近似下 ( l l l ) ，单粒子波函数可以写成 帅，驴去 潞e 卅22 丽1 如一“2 ( 3 1 1 ) 相互作用部分可以写为【3 6 】 h = ，。n k ，o k 。n 。( 3 1 2 ) 其中 。m = 熹嘉蒜嵩 强埘 将n ，l 固定，把相互作用h a m i l t o n i a n 对角化来求解相互作用原子系统的基态。b e r t s c h 等 人对少数原子的h 岫i i t o n i a n 对角化发现当工sn 时，h a m i l t o n i a n 的基态存在解析解f 3 9 1 。 n 粒子系统基态能量为 最。= n 2 ( 1 + 鲁) ( 3 1 4 ) 第2 3 页 中国科学技术大学硕士论文 j a c k s o n 、s m i t h 等人通过解析的方法求得了此解析解【3 6 ，4 0 卜h u a n g 等人将这一结果推 广到相互作用更复杂的隋况4 1 1 。当l = n 时，n 体波函数为 皿= n ( 盈一z c ) e 印( 一坩) ( 3 ，1 5 ) t j 即单个涡旋解。 当l n 时，原子系统的基态不再具有简单的解析形式只能通过对少量粒子的数 值计算来进行研究。c o o p e r 等人通过对少量粒子转动坐标系下基态进行求解，得到转动 坐标系下基态的角动量厶与转动坐标系转速n 的关系 i r d i i ，1 2 1 。并结合电子霍尔效应中复 合粒子的概念提出近似的基态波函数。当转速很大时，基态为l a u g h l i n 态；当转速处于 中间值时，基态为复杂的m o o r e - r e a d 态，r e a d r e z a y i 态。 对g p 方程求解与最低朗道能级下h a m i l t o n i a n 对角化的方法有明显不同，g p 方程给 出的结果不再有转动对称性，而对角化方法给出的结果是角动量的本征态。c o o p e r 、w i l k i n 、 g u n n - - 人通过数值计算指出，当粒子数n 增大时，会在不同角动量l 的态之间出现很多准 简并的态，这预示着对称性自发破缺，发生相变。进步的研究表明转速较低时，系统满 足g p 方程的描述，形成涡旋晶格，当转速进一步增大，系统发生相变，形成新的相，类似 于电子的量子霍尔效应，在某些填充因子下会形成不可压缩的量子液体f 1 2 1 。 考虑二维各项同性的h a m i l t o n i & n ，在转动坐标系下哈密顿量为 日= 嘉+ j 1 m 2 r 2 2 一西r p ( 3 1 6 ) ：鱼兰二! 兰鱼型+ ( u 。一u ) 拿r p (317)2m 、。 = ( p - m w 享x r ) 2 + 一1 2 m ( 磊一“2 ) ( 茗2 + 莓，2 ) jp 】8 ) m。2 。、一” 。7 、1 。7 0、。7 第2 4 页 中国科学技术大学硕士论文 f妻ab-0433黧1 i “一飞，瞄豳囊 f瞩瑚瞳 f 。，瓷圈l 墨 ! 雁斋、一一灌恩 上式表明转动的系统哈密顿量与电荷为矿的粒子在磁场b + = 旦皇；型下的h a m i l t o n i a n 相 似，当束缚频率u o 与转动角速度u 相等时，两系统h a m i l t o n i a n 相同，类似于量子霍尔效 应中，定义填充因子 nhnhn ”一a q b * a2 r o w 。而 ( 3 1 9 ) 其中 为涡旋的个数。考虑相互作用 y = q 6 ( r i r j ) ( 3 2 0 ) 当转速接近于束缚频率“一l d 0 ，相互作用预示着会发生量子霍尔效应。可以证明此 时l a u g h l i n 态为系统精确的基态。c o o p e r 等人在周期性边界条件下对少量粒子能隙进行 计算 ( ) = e ( f l v f + r 1 + 1 e ( f n = - r 1 一e ( n ) 。1 ( 3 2 1 ) 发现在某些填充因子处，如v = ；，l ，；系统有能隙，体系基态为不可压缩的液体。当填 。12 f i m n g 0 。矗廊。8 。 充因子p 大于某一临界值，即转速低于某一临界值时，能隙趋于0 ，系统可以由g p 方程来 描述，其基态解为涡旋晶格。他们还将电子霍尔效应中不可压缩液体的基态波函数推广 到原子中，对不可压缩液体的填充因子进行解释。 第2 5 页 ” ” ” poc山co罩母石x山 中国科学技术大学硕士论文 1 9 9 1 年谢心澄等人在研究电子的量子霍尔效应时，在费米子和玻色子之间找到一个 映射，指出玻色子霍尔效应和费米子霍尔效应的填充因子的关系 击= 瓦1 + 1 ( 3 2 2 )叶 并得出结论：当且仅当玻色子与费米子系统都有分数量子霍尔效应，映射成立 4 2 1 。玻色 一爱因斯坦凝聚实现使得这种玻色子的霍尔效应的研究成为可能。2 0 0 1 年p a r e d e s 等人提 出了如何将= 的l a u 西l u n 态激发，并测量准激发的分数统计的方案1 4 3 。r e i j n d e r s 等人 考虑了带自旋的相互作用，给出了系列新的填充网子f 4 4 】。 b e c 具有非对角长程序，不可压缩的量子液体不具有非对角长程序。由涡旋晶格v o r t e x l a t t i c e 至l j 量子霍尔液体的转变发生相变，非对角长程序消失。s i n o v a 等人给出了一个判 据，将密度分布与凝聚原子的百分比联系了起来，为实验的进展提供了理论基础4 5 1 。这两 个系统的相似性，使得很多在电子霍尔效应巾行之有效的方法可以拿过来用。r e g n a u l t 等 人在球面上对系统h a m i l t o n i a n 分析给出了填充因子的j a i n 序列= i 籍，刍 4 6 】。c a z a l i l l a r 研 究了基态为l a u 曲l i n 波函数的原子霍尔液滴的边界态 4 7 。由于原子霍尔效应中缺乏相应 的输运性质，c a z a l i l l a 通过研究霍尔液滴的形变来描述边界态，这种方法不易推广到复杂 的填充因子研究中去。 原子中量子霍尔效应的理论上的进展比较多，但实验的要求太高不易实现。系统处在 最低l a n d a u 能级，要求相互作用不能太强，粒子数不能太高，大约1 0 3 量级，温度要求很 低，大约几个n k 。理论上还要求转动角速度与束缚频率很相近，为了激发准粒子，冷却准 粒子，进一步要求更低的温度。实验上在这个方向上也取得了显著的进展，最近j i l a 产 生了处于最低l a n d a u 能级的准2 维气体，e n s t j , 组在谐振予束缚势上加上了个很小的 四次束缚势，这样就可以使两个频率达到相同，从而达到临界状态【4 8 ，4 9 】。实验迈出了 重要的。涉，但要观测到原子中的量子霍尔效应，理论和实验都还有很长的路要走。 第2 6 页 中国科学技术大学硕士论文 第四章原子霍尔效应的边界态 从前面的论述中我们可以看到电子量子霍尔效应和高速转动冷原子中霍尔效应的很 强的相似性。电子霍尔效应中很多成功的概念都借鉴过来，最低l a 肛d a u 能级、不可压缩 流体、填充因子、准激发的分数统计、复合粒子的等概念，都推广到了原子霍尔效应中。 但由于电子带电，而原子系统是电中性的，又使得很多概念，在原子霍尔效应中找不到对 应。电子的霍尔效应表示的是电子的输运性质，而这似乎在转动原子中不存在。这种困难 导致现有的理论研究大都集中在寻找不可压缩的基态波函数、填充因子上，而难以给出 平均场描述，以及对原子霍尔效应的边界态、拓扑序的系统描述。 4 。1 原子霍尔效应一般描述 为了将电子霍尔效应中对边界态及拓扑序的系统描述推广到原于中来，我们对两个 系统的相似性作了深入的分析。我们发现如果给出一个m e 的映射，就可以将电子霍 尔效应的描述方法推广过来，在原子效应中也可以定义类似于电子霍尔效应中霍尔电导 的量m a s sc o n d u c t a n c e ，给出横向响应，这样在原子中有类似的输运性质f 5 0 ，同时很自 然的会得到描述原子霍尔效应的平均场描述f 5 1 】从而给出原子霍尔液滴的边界态及拓扑 序的系统描i $ 5 2 + 5 3 1 。 4 1 1原子霍尔效应的横向响应 我们先考虑转动坐标系下自由粒子的哈密顿量e q ( 3 1 6 ) 。如前所述，当岫= u 时 转动原子的h a m i l t o n i a n 可以写为 其中 且 日= ( p - f q a * ) 2 q + a + = m 岔r 旷b + = 矿v a = 2 m ? r 第2 7 页 ( 41 ) ( 4 2 ) ( 4 3 j 中国科学技术大学硕士论文 ! = = ! 釜= = = = = = = = ! ! ! _ = = = = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 2 原子处在最低l a n d a u 能级( l l l ) 的波函数为 锄( z ) ：n i z i e i 。1 2( 4 4 ) 其中2 = o ，1 ，2 ，。为平面复坐标z = 1 2 盟a b ，她为归一化常数，。b = 、杀j 为等效磁长 度。考虑相互作用n 个粒子 h ：妻坚掣+ 。6 ( r l - r ，) 粘萎掣+ ”吾6 ， ( 4 5 】 填充因子定义如前 = 万n 万h = 一n 丽h 一而n a ( 4 6 ) 2 万万2 一丽3 而 卜o 当相互作用强度目危u ，原子系统处于最低朗道能级( l l l ) ，h 啪i l t o n i a n 的基态为不 可压缩l a u g h l i n 态 奶= ( 一。k ) le x p 一钟 ( 4 7 ) j k i = 1 其中z = 2 ，4 ，在这个态下给出填充因子，= a 考虑到霍尔效应是横向响应，结合电子霍尔效应的原理，我们在自由h a m i l t o n i a n 加上一项类重力：r 页, m g y ( 在这里这项是假想的，后面的讨论将会看到，在量子霍尔效 应中这一项是一个平均效应，由相互作用导致、真实存在的) 并写成g e 。y ，自由粒子 的h a m i t o n i a n 变为 日= ( p - 1 m w r 窘r ) 2 + m 9 可 ( 4 8 ) = ( p - 2 m q , a * ) 2 一k q * e + ( 4 9 ) 2 m 。、7 参照前面对电子霍尔效应中横向电导的原理，我们在这里引入一个横向电导 喝= 芸= 百n q * ( 4 1 0 ) 2 万2 百 川) 篦2 8 页 中国科学技术大学硕士论文 现在我们再来看转动原子的h a m i l t o n i a n h 弋n ，( p 一矿a ：) 2 h = 半 z ， 1+ 砸一r j ) ( 4 1 1 ) i j 在最低l a i l d a u 能级近似下，其基态为l a u 曲u n 波函数霍= l - i ( z j - - z k ) 。e x p - 昝【盈| 2 1 j “ 填充因子为p = ，l 为偶数，而横向电导呈现宏观量子化的平台虻，= 警= ”址h z 。这里 与电子不同的是原子是玻色子而电子是费米子。从前面对原予气体与电子霍尔气体的比 较可以看到，这并不会影响量子霍尔效应的出现，而恰恰反映了b o s o n 与f e r m i o n 之间的一 种映射，击= 瓦1 + 1 。 由于前面给出了一个新的横向电导，当发生分数量子霍尔效应时，一：，会出现宏观量 子平台，激发的准粒子带有分数“电荷”曰= 年，但这里q + ，矿都是假想的，不是可测的物 理量。响应关系q + e = m g ，矿b = m 2 u 表明在电子霍尔效应中电荷对电磁场的响应，在 这里对应于原子质量对转动缸和我们引入的类重力场g 的响应；电荷驴的分数化可以认 为准激发具有分数的质量。 q + = 譬= t m g = 丁m 9 伽+ = 等丑2 7 广z 0 2 = 孚。u ( 4 1 2 ) ( 4 1 3 ) 我们在2 维电子气体与腺子气体之间建立映射e m ，b 一2 u ，e g 我们把这个对应贯 彻到电子霍尔效应和原子霍尔效应的类比中，来重新认识原子霍尔效应。 日= ( p - - 1 m 越f r ) 2 + m g 口 ( 4 1 4 ) 我们现在可以清楚的看到质量m ，在转动速度场2 m w ，与类重力场m g y t t 狞横向响应，直 接定义一个原子中的横向响应n l a s sc o n d u c t a n c e 【5 0 】 喵= 了i r n = 丽n m v = 筹 ( 4 1 5 ) 填充因子为 v = 蕊瓣n s 雨丽一n 蕊n h y v ( 4 1 6 ) ”2 瓦顼丽一蕊 ( 4 16 ) 得到如下的关系 噶= 西t s m = “丽m 2 f 4 1 7 ) 第2 9 页 中国科学技术大学硕士论文 考虑相互作用，基态为l a u g h l i n 基态，出现量子霍尔效应，i i l a 8 8c o n d u c t a n c e 会在填充因 子为= 呈现出分数平台。激发态为l 8 u 曲l i n 准粒子，具有分数的质量。 nn 田+ = ( 盈一如) ( 白一z k ) 2e x p - i 勺1 2 】 ( 4 1 8 ) m 一= ( 勺一z k ) e x p 一i 勺1 2 】 ( 4 1 9 ) j = 1 关于准激发的分数质量也可以从l a u g l l l i n 的思想实验得到。在原子霍尔液滴中绝热 的插入一根涡旋线圣矿= 警，类似于f k a d a y 定律，在霍尔液体中会产生一个角向的类重 力场。由于霍尔液体的横向响应产生径向的质量流。这个过程可以描述为 峨篆出= 喵碱2 7 r r = 喝6 圣= v 百m 2 i 2 1 r h = v m ( 4 2 0 ) 其中菇= 丽1 警为f 缸a d a y 定律在超流体中的对应，蝣的存在源于量子霍尔液体的不可压 缩性，保证了超流体中的环流量子化。 原子霍尔效应可以解释为在转动坐标系中原子受到非惯性力科里奥里力的作用，发 生偏转，原子之间的相互作用产生个平均场m 9 ，抵消掉非惯性力的作用，最终在原子 中形成稳恒的质量流。这类似于通电金属中产生霍尔电压的过程。当相互作用的原子系 统处于最低l a n d a u 能级时，原子之间的相互作用使得基态为不可压缩s j l a u g h l i n 态，原 子流体中的载流子即为具有分数质量的l a u g h l i n 准粒子。转速改变或引入质量流会激发 准粒子，原子中的杂质会使准粒子局域化，这样载流子的浓度并不发生改变，导致原子中 的m s s 8c o n d u c t a n c e 出现宏观的量子化的平台。 在原子霍尔效应中定义了横向响应之后，可以给出平均场描述，并进一一步给出边界 效应的系统描述。 第3 0 页 褂 一0 一 旦溉 2 中国科学技术大学硕士论文 4 1 2 复合粒子及等效场描述 本节来讨论分数量子霍尔效应的复合粒于理论，及c h e r n - s i m o n - g r o s s - p i t a e 、，s l ( i i ( c s g p ) 平均场描述【5 1 】。复合粒子的概念在前面介绍电子的量子霍尔效麻中介绍过了，我们在 这里把这个概念推广到原子霍尔效应巾。复合粒子在原子霍尔效应中就是指束缚着涡 旋v o r t e x 西矿= 等的原子，这里原子是玻色子。交换两个束缚着口个v o r t e x 的原子，会 产生位相因子( 一l 严。当。是偶数时，复合粒子满足玻色统计：当a 是奇数时，复合粒子满 足费米统计。复合粒子描述给出的是一个平均场理论。 转动坐标系中n 个相互作j i = j 粒子的h a m i l t o n i o a l ，写成二次量子化的形式 h = d 2 r 妒( r ) 二堡堕2 i ；i ! ! i 2 l 坐币( r ) + ；d 2 r d 2 r ，妒( r ) 妒( 一) y ( r r ，) 砂( r ，) 妒p ) ( 4 2 1 ) 作变换 咖( r ) = e - 。e ( 。妒( r )( 4 2 2 ) 其c p e ( r ) = ，护一0 ( r r ，) 扩( r 7 ) 妒( r 7 ) ，变换后h a m i l t o n i a n 为 h=d2r州r)下(-ihv-mv(r)-mc(r)2m) ( 4 2 3 ) + 互1 厂d 2 r d 2 r ( r ) 扩( r 7 ) y ( r r ，) 毋( r ) 咖( r ) ( 4 2 4 ) 其中v ( r ) = ”w r 为速度规范场，一( r ) = 案一fd 2 r 寻暑c t ( r ) 咖( r 7 ) 为c h e r n s i m o n 统计规范势，规范场的荷即为原子的质量。可以看出每个复合粒子束缚的统计规范场 6 ( r ) - - e i j o ，c j = 2 了r h a 忡) 1 2 = a 垂。忡) 1 2 ( 4 2 5 ) 当o = 2 k ，为复合玻色子；d = 2 k 一1 ，为复合费米子，为整数。 对a = 2 k ，给出复合玻色子的c s g p 平均场描述。 h = 赤哪t ( r ) ( - 访v m v ( 旷州r ) ) 2 帅) + ；d 2 r ( j 卯- 扎) 2 蚴) 拉氏鼍为 工= 扩( i 觚+ m k + m c o ) 曲一丽1 f 矿( 一i 危v m v m c ) 2 一2 ( 1 毋1 = - n ) 2 一羔e 肼簟巩白 第3 l 页 ( 42 7 ) ( 4 2 8 ) 中国科学技术大学硕士论文 其中最后一项；纛e ”“q 巩岛为被称为g h e r n s i m o n ：f f 页。 c s g p 平均场理论可以给出量子霍尔液体统一的描述。考虑叫= c o n s t ，= 0 的情 况。明显的可以看出，h a 埘l t o n i a n 存在常数基态解西= v 佤c = 一v ，此时凸= 矗。其 物理意义可以看出c h e r n s i m o n 统计规范势抵消了速度规范势，低温下相互作用的复合 玻色子发生玻色凝聚，基态为超流体。l a u g h l i n 准粒子即为超流基态的涡旋v o r t e x 激发。 涡旋激发可以写为渐进形式= 元e “，c ( r ，妒) = 士等。原子的m a s sc o n d u c t a n c e 也可得 到，质量为速度规范势的荷，运动方程为，= 一矿譬= 喝g j ，其中矿= o j y 0 。这种统 计规范变换自然的将分数统计包含在内，复合玻色子的统计角为口= 蠡。 当a = 2 k 一1 ，表示的是系统的复合费米子描述。这里与电子霍尔效应类似，复合费 米子束缚t 2 k 1 个涡旋，复合费米子在约化速度场下发生整数景子霍尔效应，填充因子 为p = p ，v 。h ( r ) 一m 峨，拿xr ，其中。f f = 2 w 一( 2 k 一1 ) 0 。n ，即为原子的分数霍尔效 应，填充因子为p = 蕊= 备雨，给出j a i n 填充序列。 我们已经给出了原子霍尔效应与电子霍尔效应之间的映射，这两者存在着深刻的关 系，我们将这些关系列出来 2 “jhbm e v ac a ( 4 2 9 ) 圣y h 圣dc 只，h g p d 其中g r ，e p d 分别表示束缚圣y ，垂d 的复合粒子。 4 2 原子霍尔液体边界态及拓扑序 前面几节中，我们讨论了原子霍尔效应与电子的量子霍尔效应之间的对应关系，给 出了原子霍尔效应的平均场描述。本节我们将给出无能隙边界激发态及拓扑序的系统描 述，原子霍尔液体的边界态也是无能隙手征l u t t i n g e r 液体 5 3 】。 4 2 1无能隙边界激发态 我们从原子霍尔效应的拉氏量出发 厶= 警( k 一知彩q 第3 2 页 ( 4 3 0 j 中国科学技术大学硕士论文 m 为原子质量，m 矿为涡旋量子署，k 是c ，( 1 ) 规范场表示外界的扰动；c , 曩j c h e r n 。s i m o m t 究 计规范场；z 为偶数，c 。可以看成声速。e q ( 4 3 0 ) 是2 5 8 在原子霍尔效应中得推广。由此可 以得到原子霍尔液体的响应方程 m ，= ”互m 而2 岛e 1 ”讳k ( 4 3 1 ) 其中= 蠹e 1 ”岛c 。为粒子流。可以将这个拉氏量进行推广到等级构造得到k 矩阵，t 矢 量等拓扑序数。 考虑一个有限大小的霍尔液滴，边界的存在会破坏体系的规范不变性，为了保证规 范不变性不变，要求边界有力学响应。在转动坐标系下，由43 0 可得分数霍尔效应的边界 作用量，一维手征场 & 由e = 出出【菇( a 咖+ ”盘) 以纠 ( 4 | 3 2 ) 其中 表示边界波的速度，由边界的束缚势所决定。这样的手征场描述与2 6 3 类似，其对 易关系为 f ”( 妒) ，( z ) 】= 6 ( z y ) 陋( z ) ，曲( ) 】= 薪s g n ( z y ) ( 4 3 3 ) 其中霄( ) = 氅。则h a m i l t o