一种股票价格行为模式的一般化_从布朗运动到分形布朗运动.docx

年月d ecjo urnal o f gu il in inst itute o f el ectro n ic technolo gy一种股票价格行为模式的一般化从布朗运动到分形布朗运动周孝华(桂林电子工业学院 管理系, 广西 桂林 541004)摘 要:通过分析布朗运动与分形布朗运动的仿真过程, 首次提出并论述了分形布朗运动是股价行为的高度逼真。 首次提出分形维纳过程的概念并利用它推导出不付红利股票价格所遵循的含有分形维纳过程的微分方程, 并进行了实例计算。关键词: 股价行为模式; 布朗运动; 分形布朗运动; 分形维纳过程中图分类号: f 832. 6文献标识码: a文章编号: 100127437 (2000) 04295205引言1布朗运动与股价行为仿真将布朗运动 (b row n ian m o t io n ) 与股票价格行为联系在一起, 进而建立起维纳过程 (w ien e r p ro ce ss)的数学模型是本世纪的一项具有重要意义的金融创 新。维纳过程是马尔科夫过程 (m a rko v p ro ce ss) 的一 种特殊形式, 而马尔科夫过程又是一种特殊类型的随机过程。这个过程说明只有变量的当前值与未来的预 测有关, 变量过去的历史和变量从过去到现在的演变 方式则与未来的预测不相关。股价的马尔科夫性质与 弱型市场有效性 ( th e w eak fo rm o f m a rk e t eff ic ien 2 cy) 相一致, 也就是说, 一种股票的现价已经包含了所 有信息, 当然包括了所有过去的价格记录。随着非线性科学, 特别是混沌动力学和分形理论 的发展, 人类对确定论与随机性, 有序和无序, 简单性 和复杂性, 量变与质变, 整体与局部等范畴和概念的 认识有了进一步的深化1 。 在此基础上, 再去考察股 价的布朗运动特征, 我们发现其理论的不完善之处, 也许这就是在实际应用当中存在某些问题的根源。分 形布朗运动 (f rac t io n a l b row n ian m o t io n ) 是对具有 分形特征的自然现象的高阶逼真, 而股价行为正是具 备分形特征的现象。所以将两者联系起来会使我们进 入一个全新的领域。布朗运动, 有时又称布朗噪声, 作为物理现象, 首先由英国生物学家 b row n 于 1827 年由观察花粉微 粒在液面上的“无规则运动”而提出。e in ste in 对这种 “无规则运动”作了物理分析, 并首次提出了 b row n 运 动的数学模型。w ien e r, l evy 等人进一步研究了b row n 运动的轨道性质。 这些性质异常深刻而奇特,与以前分析学中常见的光滑函数迥然不同。w ien e r 提出了在 b row n 运动空间上定义测度与积分, 从而 形成了w ien e r 空间的概念。b row n 运动是一个具有连续时间参数和连续状态空间的随机过程。它是这样的随机过程中最简单, 最重要的特例。1901 年, 法国数学博士 b ach e lie r 在他的博士论 文中, 首次把时间连续的随机过程 b row n 运动与股票价格的变化联系在一起, 对证券定价行为进行研究, 但他的工作在当时并未引起重视, 直到半个世纪 后人们才发现其工作的重要性2 。 f am a 与 m e r to n等人对此进行了发展3 。在七十年代初, b lack 和 sc2ho le s 又在已有结论与方法的基础上进行创新, 推出 基于无红利支付股票的任何衍生证券的价格必须满足的微分方程4 , 他们运用该方程推导出股票的欧式 看涨期权和看跌期权的价值。 收稿日期: 2000- 09- 30作者简介: 周孝华 ( 19652) , 男, 湖南武冈市人, 桂林电子工业学院管理系副教授, 重庆大学工商管理学院博士生, 主要从事经济规划与投资 决策等方面研究.96桂林电子工业学院学报2000 年 12 月一维布朗运动是股价行为的仿真。在一个平面上看, 一维布朗运动构成了最简单的随机分形, 如果我 们 定义一个随机过程 b ( t) 为布朗运动, 则该过程有如下两个性质:(1) 增量 b ( t2 ) - b ( t1 ) 服从高斯分布; (2) 均方增量正比于时间的变化, 即: 1 2n+ 1 .这样在达到最小分辨率之前, 对于不同的时2- n间 t=2 , 可以对每段的中点赋上其两端的平均再- (n + 1) 2 )加 上一个满足 n ( 0, 2 分布的随机数来描述布朗运动, 图 1 为此方法的 8 步置换过程, 图形右边的数字表示加了偏置的点数。e |b ( t2 ) - b ( t1 ) | 2 | t2 -t1 |(1)此时我们说 b 的增量具有统计自相似, 也就是 b ( t01+ t) - b ( t0 ) 及(b ( t0 + r t) - b ( t0 ) ) 对任取的rt0 及 r 0 有相同的有限维数。为简单起见, 令 t0 = 0,1且 b ( t0 ) = 0, 此时两个随机函数 b( t) 及b ( r t)r是统计不可分的。假如我们用整数 16 伸展了时间轴,得到 b ( 16 t) , 再用它除以 4 就能获得与原 b ( t) 在统 计上相同的随机运动。 根据这种统计不可分性, 我们可以对不同的随机运动进行分离, 也就是对证券市场价格波动的结构成分进行分离, 进而针对不同结构成 分采取不同的操作策略, 这是任何成功投资方法中的关键性步骤。为了更深刻地了解布朗运动与分形布朗运动的 区别, 为证券投资决策计算机化提供理论依据及算法。我们利用中点插值方法对布朗运动进行仿真。以t 在 0, 1内变化的随机过程 b ( t) 为例, 令 b ( 0) = 0,并以 高 斯 分 布 n ( 0, 2 ) 来 选 取 b ( 1) , 则 有: v a r (b图 1 布朗运动的生成过程2分形布朗运动是股价行为的高度逼真分形布朗运动是 b. b. m an de lb ro t 及 v an n e ss于 1968 年首先提出的, 用于模拟各种具有分形特征 的噪声等, 现已成为一个能反映广泛的自然物体性质 的数学模型5 。 从视觉上可将分形 (f rac ta ls) 的特征归纳为: 自相似性, 无特征长度, 有精细结构, 或局部 以某种方式与整体相似。这些是股价行为均具备的特 征。 下面我们定义分形布朗运动然后对其进行仿真, 就会发现它更适合用于描述股价行为。在前一节中讨 论的是有着高斯增量的随机过程 b ( t) , 并满足:b (0) ) = 2.(1) -根据定义, 我们要求有下式成立:v a r (b ( t2 ) - b ( t1 ) ) = | t2 -t1 | 2(2)其 中 0 t1 t2 1, 设 b ( 1 ) 为 b ( 0) 与 b ( 1) 的平均2再加上一个满足高斯分布 (0, 2 的随机偏置 d 1 , 则:1 )b ( 1 ) -b (0) =1 (b (1) - b (0) ) + d 1 (3)222hv a r (b ( t2 ) - b ( t1 ) ) | t2 -t1 |( )且 b ( 1 ) - b (0) 有均值为 0, 同样对 b (1) -b ( 1 ) 也42成立。 (2) 式的成立有v a r (b ( 1 ) -21且 h = 2 , 如果考虑一般化的情况, 即 0 h 0 有着相 1 1同的有限维数。 同样令 t0 = 0 及 b ( t0 ) = 0, 则说明两224 v a r (b (1) -b (0) ) + 1 =2 . 1个随机函数 b ( t) 与 rh b ( rt) 是统计不可分的。如果令 1 2.( 1 ) - 1 (b则 2 =类似 ( 3) 式, 令 b( 0) =b1442h = 1 , 则得到了前面的一般布朗运动; 对 h = 0, 则( 1 ) + b ( 0) ) + d 2.按上述步骤可推出 d 2 的方差:2得到一个完全不同的随机行为, 在 t 方向上任意压缩或扩展 b ( t) 的图形, 看上去还是一样的, 也即 b ( t) 的2 2 1 2222 8 . 以 此 类 推, 第 n 次 中 点 置 换 的 n 为: n =97第 4 期周孝华: 一种股票价格行为模式的一般化图形密集地充满了平面上的一个区域, 即它的分数维为 2; 相反的, 如果 h = 1, 图形在 t 方向的扩展必须 以图形在幅度方向上相同的因子的扩展来补偿才能方法对 h 1 时并不能生成真正的分形布朗运动。2因为, 尽管有:v a r (x ( 1 ) - x (0) ) =保持看上去一致, 此时的图形的分数维为 2-h =1.2v a r (x (1) - x ( 1 ) ) =分形布朗运动是一种随机分形, b ( t) 的图形只是某一次的取样图形, 但是对一定的 h , b ( t) 的所有取样都 具有相同的分数维, 且为 d = 2- h . 参数 h (0 h 1) 在直观上表示了图形的粗糙度。可以把分形布朗运2h1222但却没有下式成立v a r (x ( 3 ) - x ( 1 ) ) = ( 1 ) 2h r 2442动分成三个 完 全 不 同 的 子 类: h 也即对不同的时间 t, 不是在统计上都等价的。 这个算法仍然是一个很有用的算法。图 2 就是以此方法生 成的分形布朗运动。解决上述算法中缺陷的一个方法是: 不仅仅是对 中点插值, 而且对所有中点的两个端点也都增加有合适方差的 d n 偏置。这样, 与前者相比, 其工作量将增 加两倍多的偏置计算 (在此略去计算过程)。221 . h =1时是最普通的布朗运动且有独立增量, 即22b ( t2 ) - b ( t1 ) 与 b ( t3 ) - b ( t2 ) ( t1 t2 1 时, 这些增量间有正的相21 时, 增量间存在一个负的相关,关值; 相反, 对 h 2一般此时图形更为奇特, 有较大的分数维。 如图 2 所示。3股票价格行为模式的一般化 分形维纳过程对分形布朗运动的认识, 使我们能够对股票价格的行为过程作一些重大的推广。在此我们提出分形维 纳过程的概念, 这将使得这一描述股票价格行为的模式一般化、精确化。我们定义变量 z 的行为遵循分形 维纳过程, 如果 z 是在很小的时间增量 t 内的变 化量, 则 z 必须满足两个基本性质:(1) z 与 t 的关系满足下列方程式 z = ( t) h(7)其中 n ( 0, 1) , 0 h 1, 当 h = 1 时是通常的维图 2各种 h值对应的分形布朗运动2纳过程。( 2) 对于任何两个不同时间间隔 t, z 的值相 互独立。由此得出 z 本身具有正态分布, 均值 e ( z ) =0, 标准差 ( z ) = ( t) h , 方差 v a r ( z ) = ( t) 2h .考虑在一段相当长的时间 t 中 z 值的增加表为z (t ) - z ( 0). 可以被看成是在 n 个长度为 t 的小 时间间隔中 z 的变化总量, 故 n = t t, 因此n对分形布朗运动的分析比对一般布朗运动分析要复杂得多。 但它却更逼近于股票价格的运动, 所以 研究分析其近似产生过程及特征会对我们分析证券市场行为有较大的帮助。可以把前一节的中点法直接扩展到 h 1 时的2情况, 此时有等式:v a r (b ( t2 ) - b ( t1 ) ) = | t2 -t1 | 2h 2于是可求得中点置换时的偏置 d n 有方差为 :(5)z (t ) - z (0) = i ( t) h(8)i= 1, n ) 是标准正态分布的随机抽样2 222h - 2 )n =(1 -(6)其 中 i ( i = 1, 2,(2n ) 2h值。由性质 (2) 知, i 是相互独立的, 由方程 (7) 可以得到 z ( t ) - z ( 0) 是 正 态 分 布 的, 均 值 e z ( t ) - z与前面 d n 的区别是此时 n 的变化依赖于 h .这种98桂林电子工业学院学报2000 年 12 月( t) h , 方差(0) = 0,标准差 z (t ) - z ( 0) =nd s= 0. 15d t + 0. 30d z ,sv a r z (t ) - z (0) = n( t) 2h = n 1- 2h t 2h .若 s 为某一特定时刻的股票价格, s 为随后短时间间隔后股票价格增长,变量 x 的一般化分形维纳过程定义为:d x = a d t + bd z(9)s其中 a 和 b 为常数。a d t 项说明了 x 变量单位时间的漂移率期望值为 a. bd z 项可被看作为增加到 x 的轨 迹上的噪声或波动率。这些噪声或波动率的值为分形维纳过程的 b 倍。短时间 t 后, 从方程 (7) 与 (9) 可得x 值的变化 x 为 x = a t + b( t) h其中 如前所述。 故 x 服从正态分布, 且 x 的均 值: e ( x ) = a t, 标准差: ( x ) = b ( t) h , 方差:v a r ( x ) = b2 ( t) 2h .类似可得任意时间 t 后 x 值的变化 x 具有正 态分布, 且 x 的均值 e ( x ) = a t , x 的标准差: ( x ) = bn 1- h t h , x 的方差: v a r ( x ) = bn 2 (1- h )t 2h .= 0. 15 t + 0. 30( t) hs其中 是从标准正态分布的随机抽样值。设时间间隔长度为 1 星期或 0. 0192 年, 股票价 格的初始值为 100 元, 即 t= 0. 0192, s = 100,s = 100 (0. 00288 + 0. 30 0. 0192h )当 h = 0. 1 时, 价格的增加服从均值为 0. 288 元, 标 准差为 20 元的正态分布, 即s n (0. 288, 202 ) ,当 h = 0. 5 时 如通常, 则s n (0. 288, 4. 162 ) ,当 h = 0. 9 时, 则s n (0. 288, 0. 862 ).在上述基础上, 我们则可将股票价格 s用瞬时结束语5期望漂移率为 s 和瞬时方差率为 2 s2 的 ito 过程来表达, 表示为:分形布朗运动或分形维纳过程作为对描述股价行为模型的维纳过程的一般化、深刻化具有重要的理 论与现实意义。 综合上述的分析可知, 在考虑到汇率 因素影响的同时, 国际不同证券市场或证券交易所的 价格相同的两种股票经过相同时间后, 股票价格的增 量将服从不同的正态分布。 这一点是非常符合现实 的, 也是在原理论的基础上向前迈进了一大步。= s d t +s d zd s或d s= d t +d z(10)s注意这里的 d z 是分形维纳过程, 变量 , 如通常分别为股票价格波动率与股票价格预期收益率。 下面讨论 h 的经济学意义, 在第 1 节中我们知道可按 h的不同取值范围对分形布朗运动进行分参考文献:类。 同时, h 从 1 变到 0 时, 分形布朗运动的结构变得越来越精细。 也就是说 h 值越小, 运动结构越精 细。 所以反应到证券市场上就是上市公司数目愈多,h 值则愈小; 反之, 上市公司数目愈少, h 值则愈大。 但是, 一个市场的 h 值不能由上市公司数目唯一确1袁闯, 芮明杰主编. 混沌管理 m .12: 6- 24杭州: 浙江人民出版社, 1997,2周孝华, 杨秀苔. 股利贴现的非线性动力学模型 j . 数量经济技术经济研究, 2000, 5: 87- 89m e r to n r. o p t im um co n sum p t io n and po r tfo lio ru le s in a co n23定。对于给定的证券市场或证券交易所, 其 h定作者将另文讨论。值的确t inuo u s- t im e m o de l j . jo u rna l o f e co nom ic t h eo ry.3: 373- 4131971,4( 美) 约翰赫尔著, 张陶伟译. 期权、期货和衍生证券 m . 北京: 华厦出版社, 1997, 1: 205- 258m ande lb ro t b b. t h e f rac te l geom e t ry o f na tu re j . f reem ancom p any, c a lifo rn ia. 1982, 6: 118- 262考虑如下的例子: 一种不付红利的股票, 波动率为每年 30% , 预期收益率以连续复利计每年 15%. 即= 0. 15, = 0. 30, 股票价格的过程为:599第 4 期周孝华: 一种股票价格行为模式的一般化the gen era l iza t ion of a beha v ior m ode l of stock pr icef rom b row n ia n m o t io n to f ra c t io na l b row n ia n m o t io nz h ou x ia oh u a(d ep t. o f m an agem en t, gu ilin 541004, c h in a)a bstra c t: w ith th e stu dy o f em u la t io n p ro ce sse s o f b row n ian m o t io n an d f rac t io n a l b row n ian m o t io n , fo r th ef ir st t im e, th e idea th a t f rac t io n a l b row n ian m o t io n is th e h igh f ide lity b eh av io r s o f sto ck p r ice is p u t