量子力学答案(周世勋).pdf

1 量子力学教程量子力学教程 习题解答习题解答 量子力学教程量子力学教程 习题解答习题解答 2 量子力学教程量子力学教程 习题解答说明习题解答说明 为了满足量子力学教学和学生自学的需要，完 善精品课程建设，我们编写了周世勋先生编写 的量子力学教程的课后习题解答。本解答 共分七章，其中第六章为选学内容。 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 3 目录 第一章 绪论 第二章 波函数和薛定谔方程 第三章 力学量的算符表示 第四章 态和力学量的表象 第五章 微扰理论 第六章 弹性散射 第七章 自旋和全同粒子 4 1.1由黑体辐射公式导出维恩位移定律：cmbbt m 03 109 . 2 ,= 。 证明：证明：由普朗克黑体辐射公式： d e c h d kt h 1 18 3 3 =， 及 c =、 d c d 2 =得 1 18 5 = kt hc e hc ， 令 kt hc x =，再由0= d d ，得.所满足的超越方程为 1 5 = x x e xe 用图解法求得97. 4=x，即得97. 4= kt hc m ，将数据代入求得cm109 . 2 , 03 = bbt m 第一章第一章 绪论绪论 5 1.2在0k附近，钠的价电子能量约为3ev,求de broglie波长. 解： 0 10 a7.09m1009. 7 2 = me h p h # 1.3. 氦原子的动能为kte 2 3 =，求kt1=时氦原子的de broglie波长。 解： 0 10 a63.12m1063.12 32 = mkt h me h p h 其中kg1066. 1003. 4 27 =m， 123 kj1038. 1 =k # 1.4利用玻尔索末菲量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量。 （2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。 已知外磁场t10=b，玻尔磁子 123 tj10923. 0 = b ，求动能的量子化间隔e，并与k4=t及 k100=t的热运动能量相比较。 解：（1）方法1：谐振子的能量 22 2 2 1 2 q p e += 6 可以化为 () 1 22 2 2 2 2 2 = + e q e p 的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为 2 2 ,2 e bea=，相空间面积为 l, 2 , 1 , 0, 2 = nnh ee abpdq 所以，能量l, 2 , 1 , 0, =nnhe 方法2：一维谐振子的运动方程为0 2 =+ qq，其解为 () +=taqsin 速度为 ()+=taqcos，动量为()+=taqpcos，则相积分为 ()()nh ta dtt a dttapdq tt =+=+= 2 )cos1 ( 2 cos 22 0 22 0 222 ，l, 2 , 1 , 0=n nh t nha e= 2 22 ，l, 2 , 1 , 0=n 7 （2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。由 r v evb 2 =，得 eb v r = 再由量子化条件=l, 3 , 2 , 1,nnhpdq， 以 22 ,ebrrrvp= 分别表示广义坐标和相应的 广义动量，所以相积分为 nhebrrvdpdp= 2 2 0 22 ，l, 2 , 1=n，由此得半径为 eb n r h =，l, 2 , 1=n。 电子的动能为bn eb n be ebr ve b = = h 22 2 2 2 1 2 1 2 1 动能间隔为jbe b 23 109 = 热运动能量（因是平面运动，两个自由度）为kte=，所以当k4=t时，je 23 1052. 4 =；当 k100=t时，je 21 1038. 1 =。 8 1.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两个光子的能量相等，问要实现这种转化，光子 波长最大是多少？ 解：转化条件为 2 ch e ，其中 e 为电子的静止质量，而 c =，所以 c h e ，即有 0 831 34 max a024. 0 103101 . 9 10626. 6 = c ec h （电子的康普顿波长）。 9 第二章第二章 波函数和薛定谔方程波函数和薛定谔方程 2.1.证明在定态中，几率流与时间无关。 证：对于定态，可令 )r () r () r () r ( m2 i e ) r (e ) r (e ) r (e ) r ( m2 i )( m2 i j e ) r ( ) t ( f ) r () tr ( * et i et i * et i et i * et i rrrrh rrrrh h r r rr hhhh h = = = = = ）（）（ ， 可见tj与 r 无关。 10 2.2 由下列定态波函数计算几率流密度： ikrikr e r e r = 1 )2( 1 )1( 21 从所得结果说明 1 表示向外传播的球面波， 2 表示向内(即向原点) 传播的球面波。 解：分量只有和rjj 21 rr 在球坐标中 + + = sinr 1 e r 1 e r r0 rrr r mr k r mr k r r ik rrr ik rrm i re rr e r e rr e rm i m i j ikrikrikrikr rhrh rh rh h r 3 0 2 0 22 0 1 * 1 * 111 ) 11 ( 1 ) 11 ( 1 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 2 )( 2 ) 1 ( = += = = rj1 r r 与同向。表示向外传播的球面波。 11 r mr k r mr k r r ik rrr ik rrm i re rr e r e rr e rm i m i j ikrikrikrikr rhrh rh rh h r 3 0 2 0 22 0 * 2 * 222 ) 11 ( 1 ) 11 ( 1 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 2 )( 2 ) 2( = += = = 可见，rj r r 与 2 反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。 补充：设 ikx ex =)(，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？ = dxdx*q 波函数不能按1)( 2 = dxx方式归一化。 其相对位置几率分布函数为 1 2 =表示粒子在空间各处出现的几率相同。 12 2.3 一粒子在一维势场 = axax axxe a n a tx te i n n , , 0 0 ,sin 2 ),( h 16 2.4. 证明（2.6- 14）式中的归一化常数是 a a 1 = 证： = ax axu xu , 0 , 0 )( 0 运动，求束缚态( 0 0ue)的能级所满足的方程。 解：粒子所满足的s-方程为 )()()()( 2 2 22 xexxux dx d =+ h 按势能)(xu的形式分区域的具体形式为 ：) x (e) x (u) x ( dx d 2 1101 2 22 =+ h ax ：)()( 2 22 2 22 xex dx d = h axa ：) x (e) x (u) x ( dx d 2 3303 2 22 =+ h = ax axu xu , 0 , 0 )( 0 中运动，求束缚态)0( 0 ue 的能级所满足的方程。 解：（最简方法-平移坐标轴法） ： 1101 2 2 eu=+ h （0） ： 22 2 2 e= h （02a） ： 3303 2 2 eu=+ h （2a） = =+ = 0 )(2 0 2 0 )(2 3 2 0 3 2 2 2 1 2 0 1 h h h eu e eu = =+ = (3) 0k e2k (2) 0k )eu(2k (1) 0k 3 2 13 22 22 2 22 2 0 2 11 2 11 h h 束缚态0e 0 u 26 xkxk xkxk feee xkdxkc beae 11 11 3 222 1 cossin + + += += += 0 )( 0 )( 3 1 = = e b 有限有限 有限有限 因此 xk xk fe ae 1 1 3 1 = = 由波函数的连续性，有 ) 7 ( feak2cosdak2sinc),a2 () a2( ) 6 ( fekak2sindkak2cosck),a2 () a2( ) 5 ( ckak),0 () 0 ( ) 4 ( da),0 () 0 ( ak2 2232 ak2 1222232 2121 21 1 1 =+= = = = (7)代入(6) akd k k akc k k akdakc 2 1 2 2 1 2 22 2sin2cos2cos2sin+=+ 利用(4)、(5)，得 27 0ak2coskk2ak2sin)kk( )kk( 0ak2cos2ak2sin) k k k k ( 0a 0ak2cos2ak2sin) k k k k (a ak2sind k k ak2cosaak2cosaak2sina k k 2212 2 1 2 2 21 22 1 2 2 1 22 1 2 2 1 2 1 2 222 2 1 = =+ =+ +=+ 即得两边乘上 q 28 2.8分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为 = ， ， ， ， , 0 , 0 , 0 , )( 1 0 xb bxau axu x xu 求束缚态的能级所满足的方程。 解：势能曲线如图示，分成四个区域求解。 定态s-方程为 )()()()( 2 2 22 xexxux dx d =+ h 对各区域的具体形式为 ：) 0( )( 2 111 2 =+ xexu h ：)0 ( 2 2202 2 axeu=+ h ：)( 2 3313 2 bxaeu= h 29 ：)( 0 2 44 2 xbe=+ h 对于区域，=)(xu，粒子不可能到达此区域，故 0)( 1 =x 而 . 0 )( 2 2 2 0 2 = h eu 0 )( 2 3 2 1 3 = + + h eu 0 2 4 2 4 =+ h e 对于束缚态来说，有0eu 0 2 2 12 = k 2 02 1 )( 2 h eu k = 0 3 2 33 =+ k 2 12 3 )( 2 h eu k + = 0 4 2 44 =+ k 22 4 /2hek= 各方程的解分别为 xkxk xkxk feee xkdxkc beae 33 11 4 223 2 cossin + += += += 30 由波函数的有限性，得 0 )( 4 =e有限， xk fe 3 4 = 由波函数及其一阶导数的连续，得 ab = ) 0 () 0 ( 21 )( 33 2 xkxk eea = akdakceeaaa xkxk 2232 cossin)()()( 33 += akdkakckeeakaa akak 2222133 sincos)()()( 33 =+= bk febkdbkcbb 3 2243 cossin)()( =+= bk efkbkdkbkckbb 3 3222243 cossin)()( = 由、，得 akdakc akdakc ee ee k k akak akak 22 22 2 1 cossin coscos 11 11 + = + (11) 由 、得dbkkcbkkdbkkcbkk)cos()sin()sin()cos( 23232222 = 0)sincos()sincos( 22 3 2 22 3 2 =+=+dbkbk k k cbkbk k k (12) 令 2 1 11 11 k k ee ee akak akak + = ，则式变为 0)sincos()cossin( 2222 =+dakakcakak 31 联立(12)、(13)得，要此方程组有非零解，必须 0 )sincos()cossin( )cossin()sincos( 2222 22 3 2 22 3 2 = + + akakakak bkbk k k bkbk k k )()1 ()( 0) 1)(cos)(sin 0coscossincos )cossinsinsinsinsin cossinsinsincoscos 0)cossin( )cossin()sincos)(sincos( 3 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2222 22 3 2 22 3 2 22 2222 3 2 22 3 2 22 3 2 2222 3 2 22 += =+ =+ + + =+ + k k k k abtgk k k abk k k abk akbkakbk akbk k k akbk k k akbk akbkakbk k k akbk k k bkbk k k akakbkbk k k akak即即 32 把代入即得 )()1 ()( 11 11 11 11 2 1 3 2 3 2 2 akak akak akak akak ee ee k k k k ee ee k k abtgk + + += 此即为所要求的束缚态能级所满足的方程。 # 附：从方程之后也可以直接用行列式求解。见附页。 ） （ ） （ bkakekbkakekbk akekbkakekkeek bkakekbkakekkbk akekbkakekkee ekbkkbkk ebkbk akak eek ekbkkbkk ebkbk akkakk ee ekbkkbkk ebkbk akkakkkee akakee bkbk bkbkbkbk akak akakakak ak akakak ak akakak ak ak akak akak 2222232 2222321 22 2 222322 2 2 22232 32222 22 22 1 32222 22 2222 32222 22 22222 22 sinsinsincoscos coscossin)( sincossinsincos sincoscos)( sincos cossin 0cossin )( sincos cossin 0sincos )(0 0 sincos0 cossin0 0sincos)( 0cossin)( 33 3311 33 3311 3 311 3 311 3 3 11 11 + + = =+ = = + 33 0 )(sin)()(cos)( )(sin)()(cos)( )(cos)(sin)( )(sin)(cos)( 31 31 311 311 231 2 22231 231 2 22231 221231 2 2 2232 = + += + += bkak bkak bkakak bkakak eabkkkkabkkkke eabkkkkabkkkke eabkkkabkkkee eabkkabkkkee 0)( )()()()( 0)()()( )()()( 231 2 231231 2 2 2 31 2 2 231 2 2231 231 2 2231 11 3 3 = + =+ + kkk ekkkabtgkkkkekkk eabtgkkkkkkk eabtgkkkkkkk akak bk bk 此即为所求方程。 34 第三章第三章 力学量的算符表示力学量的算符表示 3.1 一维谐振子处在基态 t ix ex 22 22 )( = ，求： (1)势能的平均值 22 2 1 xu=； (2)动能的平均值 2 2 p t =； (3)动量的几率分布函数。 解：(1) =dxexxu x2 2 2222 2 1 2 1 h = 2 2 2 22 2 4 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 h 4 1 = + = 0 1 2 2 ) 12(531 2 aa n dxex nn axn l (2) =dxxpx p t)()( 2 1 2 2* 2 35 =dxe dx d e xx 2222 2 1 2 2 2 2 1 )( 2 1 h =dxex x2 2 )1 ( 2 222 2 h 2 2222 222 2 =dxexdxe xx h 2 2 3 22 2 = h h hhh = 4422 2 2 2 2 2 h 4 1 = 或 hhh 4 1 4 1 2 1 =uet (3) =dxxxpc p )()()( * 2 1 22 2 1 =dxee px i x h h 36 =dxee px i x h h 22 2 1 2 1 + =dxe pip x 22 2 2 2 2 2 )( 2 1 2 1 hh h + =dxee ip x p 2 2 2 22 2 )( 2 1 2 2 1 hh h 2 2 1 22 2 2h h p e = 22 2 2 1 h h p e = 动量几率分布函数为 22 2 1 )()( 2 h h p epcp = # 3.2.氢原子处在基态 0 / 3 0 1 ),( ar e a r = ，求： (1)r的平均值； (2)势能 r e2 的平均值； (3)最可几半径； (4)动能的平均值； (5)动量的几率分布函数。 解：(1) drddrre a drrr ar sin 1 ),( 0 2 2 00 /2 3 0 2 0 = 37 = 0 /23 3 0 0 4 drar a ar + = 0 1 ! n axn a n dxex 0 4 0 3 0 2 3 2 ! 34 a a a = = 0 2 2 0 3 0 2 0 /2 3 0 2 0 2 00 /2 3 0 2 0 2 00 2/2 3 0 22 2 14 4 sin sin 1 )() 2( 0 0 0 a e a a e drre a e ddrdre a e ddrdre ra e r e u ar ar ar = = = = = (3)电子出现在r+dr球壳内出现的几率为 = 0 2 0 22 sin),()(ddrdrrdrrdrre a ar2/2 3 0 0 4 = 2/2 3 0 0 4 )(re a r ar = 38 0 /2 0 3 0 ) 2 2( 4)( ar rer aadr rd = 令 0321 , , 0 0 )( arrr dr rd = ， 当0)( , 0 21 =rrr时，为几率最小位置 0 /22 2 00 3 0 2 2 ) 48 2( 4)( ar er a r aadr rd += 0 8)( 2 3 0 2 2 0 = = e adr rd ar 0 ar =是最可几半径。 (4) 2 2 2 2 2 1 = h pt = 0 2 00 2/2/ 3 0 2 sin)( 1 2 00 ddrdree a t arar h = 0 2 00 2/2 2 / 3 0 2 sin)( 11 2 00 ddrdre dr d r dr d r e a arar h + + = 22 2 2 2 sin 1 )(sin sin 1 )( 1 r r rr 39 = 0 / 0 2 0 3 0 2 )2 ( 1 ( 2 4 0 dre a r r aa ar h 2 0 22 0 2 0 4 0 2 2 ) 44 2 ( 2 4 a aa a hh = (5) drrpc p ),()()( * r r = = 2 00 cos 0 2/ 3 0 2/3 sin 1 )2 ( 1 )( 0 ddedrre a pc pr i ar h h = 0 cos 0 /2 3 0 2/3 )cos( )2 ( 2 0 dedrer a pr i ar h h = 0 0 cos /2 3 0 2/3 0 )2( 2 pr i ar e ipr drer a h h h = 0 / 3 0 2/ 3 )( )2 ( 2 0 dreere ip a pr i pr i ar hh h h + = 0 1 ! n axn a n dxex 40 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 )2 ( 2 2 0 2 0 3 0 2/3 p i a p i a ip a hh h h + = 2 2 2 2 0 0 33 0 ) 1 ( 4 2 1 h h h p a a ip ipa + = 222 2 0 44 0 0 33 0 )( 2 4 h h h + = pa a aa 222 2 0 2/ 3 0 )( )2 ( h hh + = pa a 动量几率分布函数 422 0 2 53 0 2 )( 8 )()( h h + = pa a pcp # 3.3 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是 0= eer jj 2 sin mne r me j l h = 41 证：电子的电流密度为 )( 2 * mnmnmnmne i ejej llll h rr = 在球极坐标中为 + + = sin 11 r ee rr er rrr 式中 eeer rrr 、为单位矢量 ) sin 11 ( ) sin 11 ( 2 * * mnrmn mnrmne r ee rr e r ee rr e i ejej ll ll rrr rrrh rr + + + + = ) sin 1 sin 1 () 1 1 ()( 2 * * mnmnmnmnmnmn mnmnmnmnmnmnr rr e r r e rr e ie llllll llllll r rrh + + = mnl q中的r和部分是实数。 eimim r ie j mnmne rh r ll )( sin2 22 = e r me mn rh l 2 sin = 可见，0= eer jj 2 sin mne r me j l h = 42 3.4 由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的。 (1)求一圆周电流的磁矩。 (2)证明氢原子磁矩为 = )( 2 )( 2 cgs c me si me mm z h h 原子磁矩与角动量之比为 = )( 2 )( 2 cgs c e si e l m z z 这个比值称为回转磁比率。 解：(1) 一圆周电流的磁矩为 adsjiadm e = （i为圆周电流，a为圆周所围面积） 2 2 )sin( sin rds r me mn = l h 43 dsr me mn 2 sin l h = drdr me mn 2 2sin l h = )(rdrdds= (2)氢原子的磁矩为 = 00 2 2 sin drdr me dmm mnl h = 00 2 2 sin2 2 drdr me mnl h ddrdr me mn = 2 000 2 2 sin 2 l h 2 meh = )(si 在cgs单位制中 c me m 2 h = 原子磁矩与角动量之比为 )( 2 si e l m l m zz z = )( 2 cgs c e l m z z = 44 3.5 一刚性转子转动惯量为i，它的能量的经典表示式是 i l h 2 2 =，l为角动量，求与此对应的量子体系 在下列情况下的定态能量及波函数： (1) 转子绕一固定轴转动： (2) 转子绕一固定点转动： 解：(1)设该固定轴沿z轴方向，则有 22 z ll = 哈米顿算符 2 22 2 2 2 1 d d i l i h z h =, 其本征方程为 (th与 无关，属定态问题) )( 2)( )()( 2 22 2 2 22 h h ie d d e d d i = = 令 2 2 2 h ie m =，则 0)( )( 2 2 2 =+ m d d 取其解为 im ae=)( (m可正可负可为零) 45 由波函数的单值性，应有 imim ee=+ +)2( )()2( 即 1 2 = mi e, m= 0，1，2， 转子的定态能量为 i m em 2 22h = (m= 0，1，2，) 可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。 定态波函数为 im m ae=, a为归一化常数，由归一化条件 2 1 21 2 2 0 2 2 0 * = = a adad mm 转子的归一化波函数为 im m e 2 1 = 综上所述，除m=0外，能级是二重简并的。 46 (2)取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为 2 2 1 l i h= th与与 无关，属定态问题，其本征方程为 ),(),( 2 1 2 eyyl i = (式中),( y设为h 的本征函数，e为其本征值) ),(2),( 2 ieyyl= 令 2 2h=ie，则有 ),(),( 22 yylh= 此即为角动量 2 l的本征方程，其本征值为 ) , 2 , 1 , 0( ) 1( 222 llhllh=+=l 其波函数为球谐函数 im m mm epny)(cos),( lll = 转子的定态能量为 2 ) 1( 2 i e hll l + = 可见，能量是分立的，且是) 12(+l重简并的。 47 3.6 设t=0时，粒子的状态为 cossin)( 2 1 2 kxkxax+= 求此时粒子的平均动量和平均动能。 解：cos)2cos1 (cossin)( 2 1 2 1 2 1 2 kxkxakxkxax+=+= cos2cos1 2 kxkx a += )()(1 2 2 1 22 2 1 ikxikxkxikxi eeee a += h h 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 0 += ikxikxkxikxixi eeeee a 可见，动量 n p的可能值为hhhhkkkk 2 2 0 动能 2 2 n p 的可能值为 2 2 2 2 0 22222222 hhhhkkkk 对应的几率 n 应为 h2) 16 16 16 16 4 ( 22222 aaaaa h 2 ) 8 1 8 1 8 1 8 1 2 1 (a 上述的a为归一化常数，可由归一化条件，得 hh2 2 2) 16 4 4 (1 222 =+= aaa n n h/1=a 48 动量p的平均值为 02 16 2 16 2 16 22 16 20 2222 =+= = hhhhhhhh a k a k a k a k pp n nn = n n n pp t 22 22 2 8 1 2 2 8 12 0 2222 += hhkk 8 5 22h k = 49 3.7 一维运动粒子的状态是 ，求： (1)粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的平均动量。 解：(1)先求归一化常数，由 = 0 222 2 )(1dxexadxx x 2 3 4 1 a = 2/3 2=a x xex 22/3 2)( = )0(x 0)(=x )0(x + =dxxxedxxepc xikikx )(2) 2 1 ()( 2 1 )( )(2/32/1 hh + + + + + =dxe ik e ik x xikxik)( 0 )(2/1 3 1 ) 2 2 ( h 2 2/1 3 2 2/1 3 )( 1 ) 2 2 ( )( ) 2 2 ( h hhp i ik x + = + = 动量几率分布函数为 2222 33 2 2 2 2 3 2 )( 12 )( 12 )()( pp pcp + = + = h h h h 50 (2) =dxe dx d xeidxxpxp xx )(4)( ) ( 3* h =dxexxi x 23 )1 (4 hh =dxexxi x 223 )(4 hh ) 4 1 4 1 (4 22 3 =hh i 0= 3.8.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a，如果粒子的状态由波函数