（应用数学专业论文）随机分形与随机重排.pdf

浙江大学博士学位论文 摘要 分形学作为非线性科学的一个分支，已越来越受到人们的关注今天，分 形学在许多科学领域已得到了广泛的应用，在物理学、生物学、地质学、甚 至在经济学中，分形学已成为一种相当重要的方法特别地，在非线性科学中， 已成为科技人员必备的知识在研究相变、临界现象及品格卜的自旋系统时， 分形更时必不可少的工具 “分形”词首先是由b b m a n d e l b r o t 于1 9 7 7 年提出的分形学主要研 构复杂，用经典或常规的数学方法难于处理，而又十分常见的集合或图形 的几何性质及分析特征分形现象广泛地存在于自然界中，生长模型的分形性 质就是一个很好的例证，同时它也是一个极富挑战性的课题。从本世纪4 0 年 代开始，p l e v y 、a s b e s i c o v i t c h 与s j t a y l o r 等人研究了b r o w n 运动的样 本性质随着近代概率论的发展，融概率论，经典分析，几何学与分形学于一体 的“随机分形”得到了迅速的发展从随机分形的发展过程来看人们研究的最 多的是l e v y 过程( 即独立增量过程) 轨道的分形性质b r o w n 运动与稳定过 程都是l e v y 过程，由于它们具有非常好的概率性质与分析性质，为研究提供 了方便条件，是人们最先也是研究的最完善的两类随机过程 随机分形的发展与数学家s j t a y l o r 的研究工作是密不可分的，随机分形 的几乎每一个重大的进展都有他的影子他独立地或者与他人合作先后解决了 b r o w n 运动水平集的维数问题、b r o w n 运动的维数问题、b r o w n 运动的h a u s d o r f f 测度函数与填充测度函数问题、稳定过程的h a u s d o r f f 测度函数与填充测度函 数问题近柬他又与f r i s t e d t 合作解决了从属过程的填充测度函数问题当然， 对随机分形做出过重大贡献的数学家还有许多，比如r m b l u m e n t h a l 、r k g e t o 。r 、j h a w k e s 、j h o r o w i t z 、b e f r i s t e d t 、w e p r u i t t 等等厂 本文的工作主要集中在以下两个方面： 1 、从属随机过程样本轨道的分形性质， 二、一般情况下随机重排的分形性质 j j - _ _ - - _ ， 、 y 在第二章中我们首先给出了从属过程两种分形维数( h a u s d o r f f 维数与填 充维数) 的极限表达式，它们可使分形维数的计算大为简化，使用也非常方便 特别地、对于一类h a u s d o r f f 维数与填充维数不相等的从属过程我们给出了它 们的分形维数随后我们证明了从属过程样本轨道的填充维数就是它的上指数 n 毳 浙江大学博士学位论文 这一结果使得人们对于从属过程的维数问题有了一个更为全面的了解 由于在物理拳中，分形维数一般是指填充维数，所以填充维数与填充测度 问题已变得越来越重要从属过程的填充测度函数成为人们一直关注的问题之 一本文第二章对从属过程的填充测度函数进行了讨论，并得到了f i 新的结 果：若从属过程x 的上指数不等于1 ，那么： h - p ( x o ，1 】) ： ” n 。 相应于c ! 丛堕凼 + 。 ，】) = 相应于i2 2 凼 l 十o a 5 ” s 【2 + 。 ，“f 、 其中h ( s ) = ! 豢，g ( u ) 为x 的指标函数，( s ) 是任何一个测度函数 g i i j 我们这一结果的证明方法与t a y l o r 与f f i s t e d t 在 2 8 1 中的方法完全不同， 他们的证明与结果的描述都是非常复杂的，且不易于检验与计算( 参见第一章 第五节) 本文的结论则比较清晰、明了，便于使用，也易于检验与计算，这一 结果已发表在中国科学( a 辑，中文版) ，1 9 9 7 ，2 7 ( 1 2 ) ，1 0 9 6 1 1 0 0 随机重排是随机分形的一个重要分支它是c a n t o r 集在随机性方面最自然 的推广因此也受到了人们的广泛关注“随机重排”是1 9 8 4 年h a w k e s 在 3 3 定义的此后一直到1 9 9 4 年才有了比较大的进展，在胡晓予的两篇文章 4 6 】与 f 4 7 q b ，她对c a n t o r 集的随机重排进行了细致的讨论并解决了随机c a n t o r 集 的测度函数问题事实上她解决了满足条件( f 则性) ：y ( 占) 兰e q ( e ) 兰 ( 0 d 1 ，请参见 4 7 ) 的随机重排的h a u s d o r f f 测度及填充测度问题此类随 机重排的结果与稳定过程的结果是相互对应的然而一般的随机重排并不满足 上述条件，比如从属于最简单的序列 2 “ ：= l 的随机重排就不是f 则的本文 第三章对从属于 n 8 8 “ 乞( 口r ，0 d 1 ) 的非f 则随机重排进行了讨论并得 到了他们的h a u s d o r f f 测度函数与填充测度函数结果其中填充测度函数结果 为： 定理3 3 2 ：设彪 ) 为 n 。a ” ：( a 足0 d 1 ) 所定义的随机重排，g ( “) 为其 指标函数设妒是满足条件的测度函数，令 ( f ) = 卫g ( t 尘- i ) 那么有 n p ( k ，：接= 相应于歉：叫收：“一2 。，相应于舌妒2 ( 2 矗) 墨 另外对于h a u s d o r f f 维数与填充维数不相等的随机重排，本文不仅给出了 例子加以说明，而且对它们的填充测度函数给出了一个充分性的结果 第三章第一节对一般随机重排的性质迸行了讨论，得到了许多有意义的 结果首先我们给出了一般随机重排的分形维数( h a u s d o r f f 维数与填充维数) 的 浙江大学博士学位论文 计算公式，使得维数计算大为简化事实上，我们的结果说明了随机重排与从属 过程的分形维数的计算公式是一样的在这一节中我们定义了随机重排的l e v y 但是随机重排并不具有独立增量性，这给研究工作带来了一定的困难 在第一章中，我们首先简单地介绍了后面章节所用到的基本知识其中 包括h a u s d o r f f 澳o 度与维数，填充测度与维数，从属过程及其各种指数，随机 重排的定义及其简单性质接下来我们对随机分形做了一个简短的、主要是针 对本文的文献综述 方向 结束语，简要地总结了一下全文的工作，并指出了进一步研究的 冯敬海 1 9 9 8 年4 月于浙江大学 v 是 浙江大学博士学位论文 a b s t r a c t i n19 7 7 ，m a n d e l b r o t p u tf o r w a r d an e ww o r d “f r a c t a l ，f r o mt h e r e o n s c i e n t i s t si na l m o s ta l ld i s c i p l i n e sh a v ee x p r e s s e dt h ei n t e r e s ti nt h e s t u d yo f f r a c t a l a l o n gw i t ht h ed e v e l o p m e n t 6 f t h em o d e m p r o b a b i l i t y t h e o r y ，t h er a n d o m f r a c t a lh a sd e v e l o p e dv e r yr a p i d l y n o w ，f r a c t a la n d r a n d o mf r a c t a lh a v eb e e na p p l i e di np h y s i c s ，c h e m i s t r y ，b i o l o g y ， e c o n o m i c sa n do t h e rf i e l d s o u r s t u d ym a i n l y c o n c e n t r a t e so nt h ef o l l o w s ( a ) t h ep a c k i n g m e a s u r ef u n c t i o n so fag e n e r a ls u b o r d f n a t o r ( b ) t h ef r a c t a lp r o p e r t i e so f t h eg e n e r a lr a n d o mr e o r d e r i n g c h a p t e r o n ei n c l u d e st h ep r e r e q u i s i t eo f t h i sa r e a t h ed e f i n i t i o n so f h a u s d o r f fm e a s u r ea n dd i m e n s i o n ，p a c k i n gm e a s u r ea n dd i m e n s i o n ， e n t r o p yd i m e n s i o n ，s u b o r d i n a t o r a n dr a n d o m r e o r d e r i n ga r en e c e s s a r y t h e nw e g i v eas y s t e m a t i cs u r v e y o nt h es t u d yo ft h ef r a c t a lp r o p e r t i e s o fs u b o r d i n a t o ra n dr a n d o mr e o r d e r i n g - i nc h a p t e rt o w w ef i r s t l yg i v et h el i m i tf o r m u l a eo ft h ef r a c t a l i n d e x ( t h eu p p e ri n d e xa n d t h el o w e ri n d e x ) o f g e n e r a ls u b o r d i n a t o r ， t h e ym a k e t h ec o m p u t a t i o no ft h ef r a c t a li n d e xs i m p l e i na d d i t i o n w e u s et h ef o r m u l a et oc a l c u l a t et h ef r a c t a li n d e xo fac l a s so fs u b o r d i n a t o r w h i c ht h eu p p e ri n d e xi su n e q u a lt ot h el o w e ri n d e x a n dw eh a v ea e x a m p l e t h a tt h eu p p e ri n d e xo fas u b o r d i n a t o ri so n e b u tt h el o w e r i n d e xi sz e r o s e c o n d l y w ew i l lp r o v et h a tt h eu p p e ri n d e x0 fa s u b o r d i n a t o ri si u s tt h ep a c k i n gd i m e n s i o no f t h es u b o r d i n a t o r si m a g e i nt h el a s t w ew i l lg i v et h ep r o o fo f 也ep a c k i n gm e a s u r ef u n c t i o n so f a s u b o r d i n a t o rw h o s e u p p e ri n d e xi si e s st h a n o n e t h er e s u l to ff r i s t e d t a n dt a y l o ri n 1i sv e r yc o m p l e x ，a n di ti sa l m o s ti m p o s s i b l et oc a l c u l a t e t h ep a c k i n gm e a s u r ef u n c t i o n sb yt h e i rr e s u l t s b u to u rr e s u l t sc a nd oi t c h a p t e r t h r e ew o r k so nt h ef r a c t a lp r o p e r t i e so fr a n d o m r e o r d e r i n g f i r s t l y ，w eo b t a i n e d t h ec o m p u t a t i o nf o r m u l a eo ft h eu p p e rb e s i c o v i t c h v 浙江大学博士学位论文 t a y l o ri n d e xa n dt h el o w e rb e s i c o v i t c h t a y l o r i n d e xw h i c ha r ej u s tt h e p a c k i n gd i m e n s i o n a n dh a u s d o r f f d i m e n s i o nr e s p e c t i v e l y t h ef o r m u l a e o ft h ef r a c t a ld i m e n s i o no fr a n d o mr e o r d e r i n gi st h es a m ea st h e s u b o r d i n a t o rw h i c hh a st h es a m el e v ym e a s u r e i nf a c t ，r a n d o mr e - o r d e r i n ga n d s u b o r d i n a t o rh a v em a n yc o m m o n p o i n t s ，b u t r a n d o mr e o r d e r i n g i sn o ti n d e p e n d e n ti n c r e m e n t ，s oi ti sm o r ed i m c u l tw o r k i n g o n r a n d o m r e o r d e r i n gt h a no ns u b o r d i n a t o r i n 【】a n d 【】，x i a oy h u d e f i n e da n ds t u d i e dac l a s so ft n o r m a l ”r a n d o mr e o r d e r i n g ，t h e o s c i l l a t i o no ft h e “n o r m a l ”r a n d o mr e - o r d e r i n gi ss m a l l b u tag e n e r a l r a n d o m r e o r d e r i n gi sv e r yc o m p l e x a n di t so s c i l l a t i o ni sv e r yl a r g e i n t h i sc h a p t e r ，w eo b t a i n e dt h eh a u s d o k f fm e a s u r ef u n c t i o na n dt h e p a c k i n g m e a s u r ef u n c t i o n so ft i l er a n d o mr e o r d e r i n g sb e l o n g i n g t ot h e s e q u e n c e a n 凳l ( 0 d 1 ) ，i ti s n o tan o r m a lr a n d o mr e o r d e r i n g i n t h e l a s t w ew i l ls t u d yt h em e a s u r ef u n c t i o n so f ac l a s so fr a n d o mr e o r d e r i n gw h i c h t h eh a u s d o r f fd i m e n s i o ni sn o te q u a lt ot h ep a c k i n g d i m e n s i o n t h el a s tc h a p t e rc o n c l u d e st h ew o r ko f t h i sp a p e r ，a n dp o i n t so u tt h e d i r e c t i o n st h a t1w j l lw o r ko n v 浙江大学博士学位论文 第一章绪论 在这一章中我们将介绍后面各章节所用到的基本知识其中包括：( 1 ) d 维欧 氏空间r 4 中任意子集e 的h a u s d o r f f 维数与测度、填充维数与测度及上熵维数 与下熵维数的定义( 2 ) l e v y 过程特别是从属过程( s u b o r d i n a t o r ) 的定义及基本性 质( 3 ) 随机重排的定义及基本性质在本章的最后我们做了一个针对本文的文献 综述 1 1 h a u s d o r f f 测度与维数 定义1 1 1 ：如果函数妒满足下列条件 ( 1 ) 妒：【0 ，1 卜【0 ，l 】， ( 2 ) 妒是单增右连续的， ( 3 ) 存在正常数k 使得 等甄( d 0 ，s 。中 定义1 1 2 ：设e 为欧氏空问r “中任一子集，妒是一个测度函数定义集值函数 庐一，顶e ) = i i 毋i n f x 烈破口，板e f ) ) ：e u 。，撕口似e i ) o ：s “一m ( e ) = + ) ( 1 1 4 ) 称d i m ( e ) 为集合e 的h a u s d o r f f 维数 定义1 1 4 ：对于e cr 4 ，如果存在测度函数妒中，使得 0 o 所组成的集族 r ：表示r 4 中全体二进立方体所组成的集族，一个立方体g 属于r 当且 仅当它每个边的长度为2 1 。，, n ，且它在第i 个坐标轴上的投影是半丌区问 【女，2 ，( ，+ 1 ) 2 ”】，k ，z 对每个x ，令“，( x ) 表示包含x 的边长为2 “1 的那个唯一的二进立方体 r ”：表示月一中全体半二进立方体所组成的集族g f “当且仅当它的每个 边的长度为2 一，n n ，且它在第i 个坐标轴上的投影是半丌区问 【，2 ，( ，+ 1 ) 2 “1 】，k ，z 对每个x r “，我们用v ，( x ) 表示中边长为2 1 且其补集与“。：( x ) 的距离为2 2 的那个唯一的半立方体 定义l _ 2 1 ：设e cr “，妒巾定义集函数如下： 庐一p ( e ) = l i ms u p e ( 2 r , ) ：b ( x ，r j ) 不交，x ，尺“， j )( 1 2 1 ) d _ + d t 浙江大学博士学位论文 驴一p ( e ) = l i m s u p z o ( 2 一) ：甜。( x i ) 不交，x ，e ，2 1 5 ( 1 2 2 ) o _ + u 矿一p ”( e ) = l i m s u p z 矿( 2 1 ) ：v 。( x ) 刁i 交，x ，e ，2 “ d ( 1 2 3 ) d 叶u 然而这些集函数只是预测度，容易看出妒一p 并不具有可数可加性当e 为 r 上有理数集时伊一p ( ) ：妒一p ( r ) = + 而妒一p ( r ) = 0 于是我们对 ， 口一p 进行修正如下： 定义1 2 2 ：设e 亡r 。，妒m 定义 妒一p ( e ) = i n f z 妒一p ( e ，) ：e u e ( 1 2 4 ) 其中下确界是对所有e 的覆盖 e ，) 取的 则p p 成为r 。上的测度称妒一p ( e ) 为e 的妒一填充测度 同样地，我们可以对妒一p 与妒一p ”进行修正如下 妒一p + ( e ) = i n f e 妒一j p ( e ，) ：e u e ， 妒一p ( e ) = i n f z j d ( e ，) ：e u e ，) 则妒一p + 与妒一p ”也是r “上的测度 命题1 2 1 ：若e cr “，妒中，则下列关系式成立 ( a ) 妒一m ( e ) 妒一p ( e ) ( b ) c i 妒一p ( e ) s 妒一p ( ) c z p p ( e ) 其中c 与c 2 是仅依赖于d 与妒的正常数 ( c ) 妒一p ( e ) sg o p + ( e ) ，妒一p ( e ) 妒一p + ( e ) 证明请详见 8 3 】 4 浙江大学博士学位论文 另外关系式妒一p “( e ) 妒一p ”( e ) 是显然成立的以上诸关系式对于讣 算集合的填充测度与维数是极其有用的 我们知道对于h a u s d o r f f 测度，有密度定理成立对于填充测度来说同样有 相应的密度定理( 参见文献【8 3 ) ： 定理1 2 1 ：( 密度定理) 设是定义在厦卫4 ) 上的有限b o r e l 测度即： 0 o ：s “一p ( e ) = + ( 1 2 9 ) 为集合e 的填充维数 填充维数同样具有o - 稳定性 命题1 2 2 ：( 1 8 3 1 ) 若e 。cr “，( ”= 1 ，2 ) 则 d f 砸ue 。) = s u p ( d i m ( e 。) ) h ；l i 对任何ecr “，填充维数d i m 圆与h a u s d o r f f数d i m ( e ) 有如下关系 0 d i m ( e ) d i m ( e ) d 浙江大学博士学位论文 定义1 2 4 ：设e c r “，如果t o p d i m ( e ) d i m ( e ) = d i m ( e ) ，则称e 是一个分 形集，且称，= d i m ( e ) = d i m ( e ) 为e 的分形维数。其中t o p d i m ( e ) 表 e 的拓 扑维数 比如三分集c a n t 。r 就是一个分形集，其分形维数是等 事实上，我们还可以定义另外一种维数：熵维数为此，设e cr “令： m 。( s ，e ) 表示能够覆盏e 的直径不超过占的球的最小数目 鸠( 占，e ) 表示中心在e 上直径为占的互不相交的球的最大数目 显然我们有：m i ( 2 占，e ) 鸩( 占，e ) m ( 圭s ，e ) 定义1 2 5 ：设e cr 4 ，m 1 ( 占，) 与 如( 占，压) 如上所定义则称 6 ( e h i 凹r 哔警， ( e ) i i 紫掣警，_ + ol u 苎6 分别为e 的下熵指数与上熵指数其中i 取1 或2 并没有区别 但是，无论是以) 还是( e ) 都不具有盯一稳定性，于是我们对其进行修f ： 定义1 2 6 ：设e cr “，称 一d i m 女( e ) = i n f s u p f i ( e ，) ：e c u e ， ( 1 2 1 0 ) d i m 女( ) = i n f s u p a ( e ，) ：ec u e ，) ( 1 2 1 1 ) 分别为e 的下熵维数与上熵维数 至此，我们已给出了多种维数的定义，它们之间有下面的关系： 对所有的e r “：0 d i m ( e ) d i m m ( e ) d i m i ( e ) = d i m ( e ) d 参考文献： 8 3 ，【3 8 ，【2 3 6 浙江大学博士学位论文 1 3 从属过程及其简单性质 设黔0 h r ) ，t z o 是r 。( d 是不小于i 的正整数) 中的平稳独立增量过程，这样 的过程也称为l e v y 过程b r o w n 运动与p o i s s o n 过程都是l e v y 过程l e v y 过 程具有强马尔可夫性 若爿= x ( f ) ，t o ) 是l e v y 过程，而是坝f ) 的特征函数，即 则有表达式 ( y ) = e e 。y 。) ) ) 沙。( ，) = e x p 一，烈y ) 】 幻) 吨y ) + 埘+ n e n + 等) ( 1 3 1 ) 其中a r 4 ，s 是d d 阶非负对称矩阵，0 是r 4 中的测度且满足 j j 1 + l x 丽1 2 u ( 出) 伸( 1 3 2 ) 或等价地： j ( 1 a i x l 2 ) u ( 出) o ：y a g ( r ) - - 0 ，_ 0 ) ( 1 3 3 ) ( 1 3 4 ) = i n f a o ：1 y l r e o ( y ) _ 0 ，i y i 。佃 0 3 5 ) 定义1 3 。2 ：( ( 1 5 j ) 没x = x ( f ) ，f o 为l e v y 过程，定义 。= s u p 。：批r 4 等出 o ：i y 【r e o ( y ) 寸+ m ，i y 斗+ 对于l e v y 过程我们还可以定义另外两种指数 y = s u p 口 0 = l i m 。s u p d 一。f j p ( x ( f ) “) 西i 0 ：l i r a 。i n f 口一。f 尸( z ( f ) ! 口) 西卜o ( 1 3 7 ) 其中p 表示概率 定义1 3 - 3 ：设胎 坦0 ，t - - 0 ) 为r “上的一个随机过程称 x 。 o ，l 】 扛r a ：存在re o ，l 】使爿( f ，国) = x 为随机过程在 o ，1 】上的象集，简称的象集 对于任何一个l e v y 过程，o p 。是成立的这些指数与工的象集 的分形维数是密切相关的这一点在后文中就可看到 稳定过程是l e v y 过程中一个重要的子类，如果l e v y 过程x 的指标函数有 浙江大学博士学位论文 表达式 ( y ) = i ( 叫) + 丑 厶( y ，0 ) 2 ( d 0 ) 其中a r “，丑 0 ，口( o ，2 ) 是单位球面s d 上的概率测度0 s “而 丘( y ，印可以写成： | 【l i s g n ( 击，曰) 信等 l ( 啬，o ) 1 “口1 丘( y 曰) 2 1l ( j 缶，o ) 1 + i 。2 、y ，o ) l n i ( y ，o ) 1 口：1 则称x 为稳定过程“称为x 的指数此时不难证明：卢”= = = 口 如果是s j 上的一+ 致分布且a = o ，则称x 为对称稳定过程此时爿的指标 函数可以写为：( y ) = c l y l 8 口= 1 时称z 为c a u c h y 过程 对称稳定过程工具有许多好的性质比如当口1 时双t ) 与r 一。x ( r t ) ，依分 布相等( r o ) ，并且坝o 具有有界连续的密度函数丘( t ，x ) 厶( t ，x ) = t “厶( 1 ，f 。z ) ddn 厶( 1 ，x ) = ( 2 丌) i 盯1 】一1f e f 了么( 怫 其中j 。为第一类b e s s e l 函数当d = - l 时， 六( f ， 加去尽o s ( 川e 吲t 巾咖 从属过程是l e v y 过程中另一个重要的子类，在解决实际问题时时常会碰到 它们比如在排队论，存储论及风险论中都能看到从属过程的影子 一个从属过程 双o ，0 ) 是指一个r 中的平稳独立增量过程，并且当t s 时 ( f ) 一( s ) 0 ，a s 此时 坝f ) ，0 的l e v y 测度u 是支撑在【o ，o o ) 上的b o r e 9 浙江大学博士学位论文 测度并且满足 器啪h 眠 当i x ( o ，f 0 ) 是从属过程时，考虑坝，) 的l a p l a c e 变换是方便的 e e 一硝) = e 一僖，( “ o )( 1 3 8 ) 占( “) = ( 1 一p 一“) “出) ，( u o )( 1 3 9 ) 0 其中d 为x 的l e v y 测度，g ( ) 称为彳的指标函数我们仍然只对 u o ，0 0 ) = 惝的情形感兴趣此时x 是一个具有无穷次跳跃的过程指标函数 g ( “) 对于的分形性质的研究起着举足轻重的作用指标函数本身也具有许多 好的性质首先它是一个完全单调的函数所谓完全单调函数是指： 定义1 3 4 ：( 1 7 】) 设氕x ) 是定义在r 上的实函数如果它满足： f 2 “( x ) 0 ， h = ，2 一 f 阻1 ( x ) 0 ，月= ，2 一 则称以x ) 是个完全单调的函数 由定义不难看出完全单调函数是凸的增函数，于是g ( “) 也是单调凸的，并 且由g ( u ) 的定义及l e v y 测度u 所满足的条件得到：若的e 指数 1 ，u l 充分大时，存在a 刚斗m ) ( 1 3 1 1 ) 分别为的上指数与下指数 由定义可知0 盯口 1 注：下指标的定义也可写为：( 1 5 ) 1 0 浙江大学博士学位论文 吣0 ：j 嘉西 。， 令啪纠表示删的分布，那么 f e x ( f ) 一“) 疵= f 出f x 一“f ( f ，斑) = 蛳_ _ r 占，r a - l e - r a 揪 = 志p 筹办 可知当a d 时，e x ( f ) 一8 0 0 反之，当e ( ，) ” 时，口s 盯， 对于从属过程还可以定义下面两种指数，它们在适当的时候也能起到相当 重要的作用 定义1 3 6 ：设* = 似如，0 ) 是从属过程，定义 y = s u p 缸2 o ，l i m s u p 口一“f 尸( x ( r ) 口砂 o o a - - - - 0 。 y = s u p a 0 ，l i m i n f a ”j ：p ( x ( f ) a ) d t = o ) 它们与工的上指数与下指数盯是密切相关的( 3 7 】与 7 5 】) 稳定的从属过程是从属过程的一个特殊子类，它是指指标函数为 g ( “) = “4 的从属过程，其中0 a 0 n = l ，2 ， ( ”口。a n - 1 ，2 ， ( c ) 日一 n = l 并称这样的数列为容许数列 其实条件( 。) 并不是本质性的，它可以改成口。 + 0 。，丽对结果并没有什 n = l 么影响 考虑概率空间( q ，f ，p ) = ( ，b ( j ) ，”，n 为自然数集，t 是区间i = 【o ，l 】 上的l e b e s g u e 测度，b ( j ) 为，中全体b o r e l 集令x 。( ) = o ) n 是坐标随机变量 t o = ( ，峨，) 到第n 个坐标的投影 x 。( ) ) 是独立同分布的随机变量序列 它们的共同分布为f o ，1 】上的一致分布，并且 。( 甜) 是几乎处处可分的，也就是 说记尸( 国。e o f s ，h m ) = 1 记满足上述条件的集合为a ，则j p ) = 1 对每一个 a ，我们都可以定义自然数集上的一个偏序关系：如果。 印。，则称m _ ” 它是一个随机的偏序关系并记 浙江大学博士学位论文 q ( g o ) = f 棚： o ：口。 o 佃 栅 k r 2 r 烈 浙江大学博士学位论文 使 其中妒( ) = h ( i n 古) 妒一m ( x o ，1 】) = c 关于稳定过程肛 x ，r 0 的填充测度函数的结果主要是由s j t a y l o r 在 1 9 8 7 年得到的： 、 定理1 5 5 ：( 7 5 】) 设肛 删，r 0 是r 4 中的稳定过程，指数为盘 r a i n 2 ，奶，妒 为任意的测度函数令矗( j ) = 5 。烈j ) ，则有： a p ( x 【0 ，1 】) ： o相应于产亟 + o 。 “一州x 【0 1 】) 2 1 + 。相应于n j 1 ：+ o o f r e z a k h a n t o u 与s jt a y l o r 在 9 0 中得到了： 定理1 5 6 ：设肛 删，f 0 是r “( d 2 ) 上的不对称c a u c h y 过程则任给r 4 中b o r e l 集e ，都有： 妒一p ( 讯e ) ) = i e 【， 其中妒( ) = h ( 1 n 1 ) 关于从属过程样本性质的分形结果也是很丰富的首先，j h o r o w i t z 于1 9 6 8 年在( 9 1 】中定义了： 盯= s u p a l ：l i ms u p d 。一1i u ( y ，。o ) 咖= + ) a - - * 0 i 并证明了： 定理1 5 7 ：设爿- f 删，f 0 ) 是一个从属过程，则： d i m ( x 0 ，l 】) = 盯，a s 随后，b e f r i s t e d t 与we p r u i t t 于1 9 7 1 年在【2 7 】中得到了从属过程的确切 h a u s d o r f f 测度函数其程序如下： 设肛f 删，f 0 ) 是一个从属过程，g ( “) 是x 的指标函数如前所述，g (