（计算数学专业论文）椭圆边值问题正交样条配置法的收敛分析.pdf

山东大学硕士学位论文 椭圆边值问题正交样条配置法的收敛分析 王琳 ( 山东大学数学与系统科学学院，济南，2 5 0 1 0 0 ) 摘要 椭圆方程广泛存在于物理、化学等许多学科的实际问题中常见的 有l a p l a c e 方程 a u ( z , ，z 2 ) = 0 ， ( t , 1 z 2 ) n ， 其中a = 0 2 o x ；+ 0 2 o z ! 称为l a p l a c e 算子l a p l a c e 方程又称为势能方程， 在物理学中用来描述势能，如q 上电荷密度不变时的电势能，电流密度 不变的磁势能等等 还有p o i s s o n 方程 a u ( x l ，上2 ) = ，( 卫1 x 2 ) ，( z l ，z 2 ) n 其中，( q ，娩) 伊( n ) 表示源项，如势能中电荷密度 一般椭圆方程为 l u ( x l ，z 2 ) = ，( 0 1 x 2 ) ( x 1 x 2 ) q 其中l 称为椭圆算子，有散度形式 l = 一赛苦( 吲z ，去) + 壹i = 1 “。，毒+ c c n 和非散度形式 l = i 壹, j = l c z ，茜+ 妻阮c z ，毫+ c c 础 为了使椭圆方程有定解，需要一个边值条件，例如d i r i c h l e t 边条件 u ( z l ，勋) = g ( x l ，x 2 ) ，( x l ，娩) 勰， 山东大学硕士学位论文 和n e u m a n n 边条件 a 妄一t 壬( 0 1 2 2 ) = g ( x i 、勋) ，( 2 7 1 。j ) 勰 t r i g 求解椭圆方程的方法很多，如有限差分、有限元和配置法等配置法 是近二三十年发展起来的以满足纯插值约束条件的方式，寻求算子方程 近似解的数值方法，通过分片多项式求近似解，使之在某些特定的点即 配置点上满足微分方程及其边界条件配置法无需计算数值积分，而数 值积分既要增加工作量，又会影响系数矩阵的精度，因此配置法较之有 限元方法具有计算简便以及收敛精度高等优点，广泛的应用于数学物理 以及工程问题其中，利用高斯数值积分公式的节点( g a u s s 点) 代替自然 节点进行配置的方法称为正交样条配置法( o s c 方法) ，较之普通配置法 精度更高，收敛速度更快 但是，以往对椭圆方程进行的正交祥条配置法大多有一些局限性 多数只考虑l 的散度形式。并且只考虑l 为自共轭算子的情况，不考虑 l 中的一阶偏导数b l 。和b 2 u = ，也不考虑算子l 中的混合偏导数a l f t u 。，。 和a 2 1 “w 1 本文讨论了单位区域上的椭圆方程非齐次d i r i c h l e t 边值问题，其中算 子为非自共轭、非散度形式，在分析过程中考虑了一阶偏导数和混 合偏导数“。为了简化计算，令0 1 2 = o - 2 在用分片双三次h e r m i t e 正 交样条配置法逼近椭圆方程的同时，用分片三次h e r m i t e 插值逼近非齐次 d i r i c h l e t 边条件相比较先将非齐次边值问题转化为齐次边值问题再进行 配置的方法，这样的计算更简便，工作量更小最后，得到了配置解的存 在唯一性和最佳阶日，模误差估计 关键词：非自共轭椭圆算子，非齐次d i r i c h l e t 边值问题，分片双三次 h e r m i t e 样条，正交样条配置 i v 山东大学硕士学位论文 c o n v e r g e n c ea n a l y s i so fo r t h o g o n a ls p l i n ec o l l o c a t i o n f o re l l i p t i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s w a n gl i n ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n ds y s t e ms c i e n c e s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , 2 5 0 1 0 0 ) a b s t r a c t e l l i p t i ce q u a t i o n sw i d e l ye x i s ti nm a n yp b r s i c a la n dc h e m i c a lp r o b l e m s o n e f a m i l i a rk i n do ft h ee l l i p t i ce q u a t i o n si sl a p l a c ee q u a t i o n u ( z 1 ，z 2 ) = 0 ，( z 1 t 2 ) q w h e r e = 铲a + i ，2 a z ；i st h el a p l a c eo p e r a t o r t h el a p l a c ee q u a t i o ni sa l s o c a l l e dp o t e n t i a le q u a t i o nw h i c hd e s c r i b l e st h ep o t e n t i a l si np h y s i c s ，f o re x a m p l e ，t h e e l e c t r i cp o t e n t i a lw h e nqc o n t a i n sn oe l e c t r i cc h a r g e s a n dt h em a g n e t i cp o t e n t i a lf o r v a n i s h i n gc u r r e n td e n s i t y , e t c a n o t h e ro n ei sp o i s s o ne q u a t i o n a u ( z l ，3 殛) = ，( 。i 3 乜) ，( x l ，z 2 ) q ， w h e r e 几f 1 ，：r 2 ) c 0 ( q ) i st h e8 0 u r c et e r m ，f o re x a m p l e ，t h ed l a r g ed e n s i t yi nt h e e l e c t r i c a lp o t e n t i a l t h eg e n e r a le l l i p t i ce q u a t i o ni o l u ( x l ，z 2 ) = f ( z l ，z 2 ) ，( 。i 。2 ) q w h e r eli st h ee l l i p t i co p e r a t o r ，w h i c hh a st h ed i v e r g e n c ef o r m l = 一嘉南0 水，去) + 娄舐z ，瓦0 州动 v 山东大学硕士学位论文 a n dn o n d i v e r g e n c ef o r m l = 叠吲z ，磊+ 壹i = 1 坼，差州观 t od e t e r m i n et h es o l u t i o no ft h ee l l i p t i ce q u a t i o n gu n i q u e l yo n en e e d sab o u n d a r yv a l u e c o n d i t i o n ，f o re x a m p l e ，t h ed i r i c h l e tc o n d i t i o n u ( x l ，。2 ) = g ( x l ，z 2 ) ，( 2 1 ，x 2 ) 铀， a n dt h en e u m a n nc o n d i t i o n 嘉出1 鲍) = 9 ( x 1 z 2 ) ，( 钇) 舯 t h e r ea r em a n ym e t h o d st 0s o l v et h ee l l i p t i ce q u a t i o n s ，f o re x a m p l e ，t h ef i n i t e d i f f e r e n c em e t h o d ，t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o da n dt h ec o l l o c a t i o nm e t h o d t h ec o l l o - c a t i o nm e n t h o di san u m e r i c a lm e t h o dw h i c hs e a r c hf o rt h ea p p r o x i m a t i o ns o l u t i o no f t h eo p e r a t o rf u n c t i o nb ys a t i s f y i n gp u r ei n t e r p o l a t i o nc o n d i t i o nf o ra b o u tt h i r t yy e a r s c o l l o c a t i o nm e t h o d se s s e n t i a l l yi n v o l v e sd e t e r m i n i n ga na p p r o x i m a t es o l u t i o nb ya p i e c e w i s ep o l y n o m i a lb yr e q u i r i n gi tt os a t i s f yt h rd i f f e r e n t i a le q u a t i o na n db o u n d a r y c o n d i t i o n se x a c t l ya tc e r t a i np o i n t s c o l l o c a t i o nm e t h o d sn e e d tc o m p u t en u m e r i c a l i n t e g r a lw l f i c hi n c r 渊t h ew o r k l o a da n de f f e c t st h ep r e c i s i o no fc o e f f i c i e n tm a t r i x a s ar e s u l t ，t h ec o l l o c a t i o nm e t h o dh a se a s i e ri m p l e m e n t a t i o na n di sh i g h e rc o n v e r g e n c e r a t et h e mt h ef i n i t ee l c n m n tm e t h o d ，a n di ti sw i d e l yu s e df o r 舳1 v i n gb o t he n g i n e e r - i n ga n dc o m p u t i n gm a t h e m a t i c s s p l i n ec o l l o c a t i o nm e t h o du s i n gt h en o d e so fg a u s s q u a d r a t u r ef o r m u l a ( g a u s sp o i n t s ) a sc o l l o c a t i o np o i n t si sn a m e do r t h o g o n a ls p l i n ec o l - l o c a t i o nm e t h o d ( o s c ) ，w h i c hh a sb e t t e rp r e c i s i o na n df a s t e rc o n v e r g e n c er a t et h a n t h en o m a ls p l i n ec o l l o c a t i o nm e t h o d s t h e r ea r em a n yr e s t r i c t i v ea s s u m p i o n si nt h eo l do r t h o g o n a ls p f i n ec o l l o c a t i o n m e t h o d so fe l l i p t i ce q u a t i o n s o n l yt h ed i v e r g e n c ea n ds e l f - a d j o i n tf o r mo fl i s c o n s i d e r e d t h ef i r s tp a r t i a ld e r i v a t i v e sb l u z la n d6 2 “z 2 ，t h em i x e dp a r t i a ld e r i v a t i v e s a 1 2 t t 1 2 a n da 2 1 t t z 2 la r en o tc o n s i d e r e d t h ee l l i p t i cn o n l a o n o g e n e o n sd i r i c h l e tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so nr e c t a n g l e sa r e d i s c u s s e d ，w h o s el i n e a r ，e l l i p t i c ，n o n s e l f - a d j o i n t ，p a r t i a ld i f f e r e n t i a lo p e r a t o ri sg i v e ni n v i 山东大学硕士学位论文 n o n d i v e r g e n c ef l o r i nt h ef i r s tp a r t i a ld e r i v a t i v e su z la n dt h em i x e dp a r t i a ld e r i v a t i v e s u z l a r ec o n s i d e r e d a s s u m ea 1 2 = a 2 1 f o rs i m p l i c i t y o n ep i e c e w i s eh e r m i t e b i c u b i co r t h o g o n a ls p l i n ec o l l o c a t i o ns c h e m ei sc o n s i d e r e df o rt h ea p p r o x i m a t es o l u t i o n o ft h ee l l i p t i cp r o b l e m s ，w h i l et h en o n h o m o g e n e o u sd i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o ni s a p p r o x i m a t e db ym e a n so ft h ep i e c e w i s eh e r m i t ec u b i ci n t e r p o l a n t t h i sm e t h o dh a s b e t t e rp r e c i s i o na n ds m a l l e rw o r k l o a dt h a nt h o s ew h ot r a n s f o r mt h en o n h o n o g e n e o n s b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m si n t oh o n o g e n e o u so n e s f i n a l l y , e x i s t e n c e ，u n i q u e n e s 8a n d o p t i m a lhe r r o rb o u n d sa r ee s t a b l i s h e df o rt h eo t h o g o n a ls p l i n ec o l l o c a t i o ns o l u t i o n k e yw o r d s ：n o n s e l f - a d j o i n te l l i p t i co p e r a t o r ，n o n h o n o g e n e o u sd i r i e h l e tb o u n d a l 3v a l u ep l n b l c m s ，p i e c e w i s eh e r m i t eb i c u b i cs p l i n e s ，o r t h o g o n a ls p l i n ec o l l o c a t i o n v i i 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。 对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方 式标明。本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：王拯 e t 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：王瓤导师签名：期：业孑。 第一章绪论 考虑二阶椭圆方程非齐次d i r i c h l e t 边值问题 l u = ，( z ) ，z = ( z i ，恐) n ， u = 9 ( z ) ， z 勰， 其中f 2 = ( 0 ，1 ) ( 0 ，1 ) ，加为n 的边界， 厶为椭圆算子，其非散度形式为 l = i 壹叼( z ) 蠢毛+ 壹吣) 瓦+ c ( 础 , j = l i = l 0 散度形式为 l = 一d 壹, j = l 刍( 吲动去) + 壹i = l m z ，矗+ c c 。， 假定机，c 和，为q 上的连续函数，且满足 口1 2 ( 。) = 0 2 l ( z ) ， z n ( 1 1 口) ( 1 1 6 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) 。q 叩l ，啦r ，o s _ f 上；( 1 5 ) b lc x ) l ，i6 2 ( ) l ，ic ( z ) 7 ，。n ， r 0 ( 1 6 ) 对于( 1 5 ) ，分别选取特殊情况叩1 = 1 ，啦= o ；7 l = o ，啦= 1 和7 7 1 = 1 ：伽= 1 ， 可以得到关于的不等式 王，a l l ( z ) ，a 2 2 ( x ) sp ，i0 1 2 ( z ) l p u 。q ( 1 7 ) 本文用分片双三次h e r m i t e 正交样条配置法来逼近上述非齐次d i r i c h l e t 边值问题最初样条配置法是利用三次样条函数并在自然节点上进行配 置，但精度不高1 9 7 3 年，c d e b o o r 和s w a r t z 【1 】1 研究m 阶常微分方程 时，为了加快收敛速度，采用高斯数值积分公式的节点代替自然节点进 行配置，并称这种在高斯节点上的样条配置法为正交样条配置法( o s c 方 。：i 一 仍h n 。归 一 ：l 山东大学硕士学位论文 法) 1 9 7 4 年，d o u g l a s 和d u p o n t 【2 】2 考虑了一维抛物方程的o s c 方法 之后。许多学者研究了二维椭圆方程的o s c 方法，其中多数考虑的是方 程( 1 1 ) 中算子l 的散度形式( 1 3 ) 其中，p r e n t e r 和r u s s e l lf 3 】在1 9 7 6 年 研究了方程( 1 1 ) 中g = 0 的齐次d i r i c h l e t 边值问题，且椭圆算子上的散度 形式( 1 3 ) 满足a 1 2 = 眈1 = b l = 6 2 = 0 c20 p r e n t e r 和r u s s e l l 在假定正交 样条配置解存在且固定间隔差商的偏导有界的条件下，得到了配置解的 日1 和l 2 模误差估计1 9 8 0 年，p e r c e l l 和w h e e l e r1 4 】去掉了【3 】中的限定 条件，证明了当剖分步长h 足够小时配置解存在唯一，并且得到了最佳 阶日- 和l 2 模误差估计但是，为了减少从一般算子l 到l a p l a c e 算子的 分析，( 4 】中假定a l l = 吻的条件是必需的1 9 9 4 年，b i a l e c l d 和c a i 【5 l 考 虑了g 0 , a 1 2 = 眈l = b l = 6 2 = 0 , c 0 的非齐次d i r i c h l e t 边值问题，证明 当h 足够小时配置解存在唯一，并得到了最佳阶h z 模误差估计同年， d i l l e r y 【6 1 6 将b i a l e c k i 和c a i 的结论扩展到了l 为非自共轭算子的情况 本文中，我们考虑算子l 的非自共轭、非散度形式，即( 1 2 ) 中叼，峨0 的情况，为了简化计算，令n n = ( 1 2 ，并假定l 在和2 ( q ) = 0o r 撇) 上是一一的，当h 足够小时，可以证明非齐次d i r i c h l e t 边值问题( 1 1 ) 一( 1 2 ) 的正交样条配置解是存在唯一的，并且得到最佳阶日- 模误差估计本文 的结论还可推广到最佳阶舻和l z 模误差估计 2 第二章预备知识 在本章中，首先给出了在论文中所用到的符号的定义，无特别说明 的符号按通常意义定义；其次列出了证明结论必需的几个重要的不等式 和引理，如逆不等式，离散内积和离散模的性质等等 2 1符号的定义 令瞳q ，墨0 if = l ，2 为( o ，1 j 的两个剖分，满足 0 = z 蠢1 蠢扎_ 1 蠢m ) = 1 对于 = 1 2 和k = 1 ，越，令h = 柚一扣”，且 盈= m p h , ，瓦5 n 臀 乞h = m a x ( 一h - 瓦) 如f 5 】，假定n 上的剖分 z ) 丝。 彰) 盘是正则的，即存在正常数以，晚 和t y 3 ，满足 以_ 1 - h 1 ，口1 - 2 易，啦f h is ，2 在本文中，c 定义为一个一般的正常数，与h 无关，取决于呢，以，1 以及“玎玩，c 的高阶偏导数 对于l = 1 2 ，用m t 和m ? 表示分片三次h e r m i t e 空间，定义如下 m 产 p c 1 1 0 1 1 ：”话“种恳k = 1 ，旭 朋? = ”朋 ：t ，( o ) = ( 1 ) = o 其中r 表示次数不大于3 的多项式组成的集合记 m = 朋1 0 m 2 ，朋o = 朋2 0 朋参 定义( 0 , 1 ) 上的g a u s s 点集为 晚= 0 ”) 丞，i = l ，2 ， 3 山东大学硕士学位论文 其中 f ? ”= z ! 一1 + 矗七= 1 一，肮， = 1 2 ， ( m 为两点g a u s s 求积公式的节点， 矗= ( 3 一石) 6 ，如= ( 3 + 、5 ) 6 ( 2 1 ) 定义q 上的g a u s s 点集为 9 = ( z l ，耽) ：j 反，i = 1 ，2 对于9 上的函数仉。，定义离散内积和离散模如下 对任意非负整数七，i k ( 1 1 ) 和- ( 表示标准s o b o l e v 空间，i i h ( m 为 ，( q ) 上的范数 ! i 2 2几个重要引理 下面给出几个重要的不等式和引理 筇- t ”+ 罢，刚， 逆不等式i s 】：对于”b $ r i l t k0 二。( 厶。) g h 一10 i i p ( j h ) ， = 1 2 ， 8 l0 l 一h j c 一1 i i u i i l 2 ( j “j ， 其中“= ( r 乎- 1 ) r i k ) ( - i ) ，z g ) ，七= i ，l ，f = 1 ，2 ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 引理2 1 令( ，) 口和k 如( 2 1 ) 所定义，对任意口m o ，下列不等式 成立 。峰s ( ，。，t k 。) 口， ( 2 6 ) 2 慨峰( - a i , ， ) 口 ( 2 ” 1 = 1 4 旁嚣州扣 ：1。心 华 飓m肌脚 加扣 山东大学硕士学位论文 证明由( 2 2 ) 可得 其中 l 豕( 1 1 ) c 慨。；1 1 5 = 1 删口sc 俐2 。( 1 1 ) 似札：釜掣壹似k , m - ) 砥1 ) k , m h i ) ) 2 ( 叩) 口= 下( ”( 嚣，- ) ，z ( f l ，) ) 2 k = 1 。m = l i h ( 姊2 ”( ，z 2 ) ，z ( m ) ) t = 等( 。= ) ( 蓉”，z 2 ) $ 。( 0 ，1 】， k=lt=1 钆【o ，1 】 ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 ，1 1 ) ( 2 1 2 ) 要证明( 2 6 ) ，只需证明 恢，。幢i l v x 。：嵫( 1 1 ) ，口朋o ， ( 2 1 3 ) 和 0 l 研0 乞( 12 ) ( k l ：。，1 k ：以) 口， 割m o ( 2 1 4 ) 对于 m o ，令= t k 。，妒= ：，显然有 庐( z l ，) m 2 ，z 1 【0 1 】，妒( ，x 2 ) a 4 1 ，z 2 【o ，1 】 由【2 】中引理3 2 可得 ( 九，( $ 。) 九，( 善- ，) ) ： - 0 1 咖乞( z - ，。z ) d z 。，z 【。，1 】 ( 怯1 ( 忍) ，怯，( ，勉) ) - sz 1 蚝，( 。：) 如t ，z 。【0 ，1 】 利用( 2 2 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 1 ) 和( 2 1 6 ) ，可得 肿缸：0 5 ；曼娑壹( 虹( ：一，) ，蚓f _ ) ) ：棚= 等( 虹( ，) ，札。( ，) ) z k = l 。仇= 1 5 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 分“ 专s 似 ： 谬丁 胁m i l 毋 z 0 ：脚 坚。 帕雠 = m 山东大学硕士学位论文 苫n i 等t , ( k ) 三2 上r 1 程：( f ：一渤 = z 1 ( 仉。( ，。) ，以l ( ，勋) ) 。出。 s 0 1 键，( 。- ，她) 如- 如。= o ，。嵫。， 即( 2 1 3 ) 由【1 1 l 中引理3 1 可得到( 2 1 4 ) 接下来证明( 2 7 ) 对于”m o ，显然有 v ( x t ，- ) f 2 ，g l f 0 ，1 】， ( ，勋) m 1 ，2 ；2 0 ，1 1 则由【2 】中引理3 2 和引理3 3 可得 ( 。( x 2 ) ，( ，钇) ) l 一( m ( ，勋) ，口( ，z 2 ) ) l ，x 2 【0 ，1 】 和 ， ( t k 2 ( z l ，) ，t ，( z l ，) ) 2 一( 2 。2 ( x l ，) ，v ( x x ，) ) 2 ，z l f o ，1 】， 利用( 2 2 ) 和( 2 1 0 ) 即可得到( 2 7 ) 要证明( 2 8 ) ，先利用【1 0 】中( 8 2 4 ) f f j = r 2 ( 1 1 ) e 0 训i l 2 ( 1 ) ， 静日2 ( n ) ， 口= 0o n 鲫 ( 2 1 7 ) 然后利用c a u c h y - s w c h a r z 不等式和( 2 3 ) 可得 22 o f f 2 z ( 1 1 ) i f 。| f b ( 1 2 ) + 2 1 1 v 。i l l 。( n ，o t k 。o 妒( n ) s2 8 。i i 乞m ) ( 2 1 8 ) i = 1 i = 1 则利用( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ，【1 1 j 中不等式 i f l i l t ( n ) sc 0 m i i g ，c 朋o ，i = 1 ，2 ，( 2 1 9 ) 和f 4 】中( 2 6 ) 即可得( 2 8 ) 最后，利用【2 】中( 3 4 ) 和( 2 2 ) ( 2 5 ) ，即可得到( 2 9 ) 引理2 2 对于_ ，w 4 t 1 ( q ) ，有 z 吣 z ，d x l d x 2 - i 查塞妒c 岛卜c ( 1 | 警忆埘+ 0 鬻忆啦) 坤 。烈z ， i 三薹以卜c 叫嚣忆埘+ 0 篱忆啦) 坤 得 证明由g a t m 求积的性质【1 2 1 和b r a m b l e - h i l b e r t 引理( 【9 】中定理2 ) 可 6 第三章正交样条配置法的收敛分析 求非齐次d i r i c h e t 边值问题( 1 1 ) ( 1 2 ) 的正交样条配置解即为： 求u h m ，满足 l u h ( ) = ，( ) ，f g ，( 3 1 ) 且 掣( z p ，n ) = o ，a = o ，1 ，后= l ，n 1 ，l = o ，1 ，( 3 2 ) 掣( 字) 乩n - 0 ，_ 1 ， 2 i _ 0 1 ，( 3 3 ) 在本章中，首先估计了配置解的截断误差，然后利用【7 1 中齐次d i r i c h l e t 边值问题正交样条配置解的存在唯一性，证明了满足方程( 3 1 ) 一( 3 3 ) 的配 置解n 。的存在唯一性，并得到了最佳阶h ，模误差估计 3 1截断误差 定义“的分片双三次h e r m i t e 插值吼m 如下 帮( 扎) - 0 ，i 1 ，f _ 0 ，i 2 幻乩l ，( 3 4 ) 则“有唯一的h e r m i t e 插值u n 1 4 】正交样条配置解的截断误差为 l ( u 一“，f ) ( f ) ，g 下面给出u “的一些逼近性质 引理3 1 若u h 4 ( q ) ，则有 0 t l u h l l h l ( ”) c h 3 b ( 1 1 ) 7 砂6 ) 蛆 ( 坚垫 山东大学硕士学位论文 引理3 2 若“，4 ( n ) ，则有 l l 篙铲忆 c h 4 - 1 - i 卧川州蚧。鲥矧 若u h 5 ( n ) ，则有 f | 备劳蜘c 确k m 邶 0a z i a z ；一i i 口2 。“”“气”“ ( 3 6 ) ( 3 7 ) 证明先证( 3 6 ) 令f 篱。( m ，n = 1 ，2 ，0 i + j 1 ) 为( q ) 上的线性泛函，且满足 铷= 笔铲( ) ， 其中，t p a p 3 ，o 为口在n 上的双三次h e r m i t e 插值，f ，由( 2 1 ) 给出 由s o b o l e v 嵌入定理 1 3 】，粥。为h 4 ( n ) 上适定的有界泛函而且对于所有 次数不大于3 的多项式”有口= o ，故f 搿一= 0 因此，由b r a m b l e - h i l b e r t 引理可得 i l iso l v l 4 1 l ， h 4 ( q ) ，( 3 8 ) 其中 川氛t = 以塞l 瓦筹砌，卜慨 现假设u h 4 ( n ) ，u n 为u 的分片双三次h e r m i t e 插值令 蜘 学查妻 罐半瞄一驯2 ) ，札，l = l u 4 ，l k 。； 口扛l ，轨) = u 一1 + x l ，。2 1 + z 2 g ) 日4 ( q ) 显然有 ! ! i ! ：! ：；! ； j i 笋( e ：m ，苜“) = ( p ) 一( ) 一，畦i 。”， 由( 3 8 ) 可得 口鬈c h 一一p 1 4 i l c h 4 _ 扣7 i t 1 4 ，= c h 4 一叫凤j 山东大学硕士学位论文 由于 釜壹( 。蒜) 2 _ i k = li l l 故( 3 6 ) 成立 类似( 3 8 ) 有 暇。 isc l v l 5 ，i l ，口h 5 c a ) ， 由( 3 9 ) 和吲5 中引理4 1 即可得到( 3 7 ) 下面给出离散模截断误差估计 定理3 1 若l 由( 1 2 ) 给出，h 5 c a ) ，则下式成立 | | ( 一m ) i ksc h 3 0 j j 日s ( n ， 明 ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 证明由三角不等式，( 1 4 ) ( 1 6 ) 0 7 ) 和引理3 2 即可得到定理3 1 的证 3 2配置解存在唯一 为了证明配置解的存在唯一性，先给出下面两个引理 引理3 3 若l 由( 1 2 ) 给出，则有 i i t j c ( 1 i l v l g9 - i i vj i 口) ，口1 , 4 0 证明由( 1 2 ) 可得 其中 2 ( 毋) ( f ) = ( ) ，f g ， ( 3 1 1 ) t ，j = l 2 庐= 幻一b i ，k 一 t = 1 9 ( 3 1 2 ) 2 抒 旺 一 2 4 牡 = 罗 反 胁mm 随茅 垫啊 伊一 山东大学硕士学位论文 ( 3 1 1 ) 两边蒯乘以( f k z ，0 2 2 ) ( ) ，并利用( 1 4 ) ，司得 墨坐毡l 竺生竺1 1 坐2 2 二! 苎墨二二! ! ! 亟兰三( f ) = ( ) 弩1 1 2 丝2 ( f ) + ( 。一。) ( ) ， f g ， 其中r ：。= ( ，江。即) 2 由( 1 5 ) ( 1 7 ) 可得 型釜些学竽型型刍塑瓣，一2 ) ( a 0 2 2p 1。 利用( 1 7 ) ( 2 3 ) 并令f = 肛可得 ，“。芝( f ) s 毛。f ) + 芳爰( f ) s 羞磋，。，+ 参矿( a 则下式成立 羞( 。+ 。：) ( f ) s 参矿( f ) + ( 缱，。一，。，一) ( f ) ，f 9 ( 3 1 1 ) 两端同乘以( 。o - ，) ( f ) 可得到类似的不等式 老( ”。2 。+ 。) ( ) s 参扩( f ) + ( 。一。；，一) ( e ) 岔 两式相加可得 ( 磋。+ 2 缱。+ 吃。) ( f ) 2 筹扩( ) + 4 ：( ，。一。，：。：) ( ) ，f 9 ( 3 1 3 ) 南于 t 孽，。+ 2 t 0 ，。+ t 童。，= ( a t ，) 2 + 2 ( t 芒，却一，。t ，却印) ， 故( 3 1 3 ) 可写成 ( 。) 2 ( f ) 2 等矿( f ) + ( 4 ：一2 ) ( ，。一m 。z ，) ( ) ， 9 ( 3 1 4 ) ( 3 1 4 ) 两端同乘以a g 4 并在蛋上求和，可得 i i 口峰s2 t ，t 2 咖, 1 2 口+ ( 4 ：一2 ) ( 1 l v ；。，略一( 。) 口) ， 由( 2 6 ) 可得 枷峪砸翱m ( 3 1 5 ) 山东大学硕士学位论文 接下来估计例j 口 由( 3 1 2 ) ，三角不等式，( 1 6 ) 和c a u c h y - s c h w a r z 不等式可得 j j 9 j 沽h 厶，i k + 7 “”| i g + 、b ( j j k ；+ l i t kj j ) ( 3 1 6 ) 由( 2 7 ) ，c a u c h y - s c h w a r z 不等式和( 2 3 ) 得 ( i i 。l 曙+ j i t kj 晤) i i a ”i i o ”h ；s ；i l a u 9 + 去。训j 口( 3 1 7 ) 结合( 3 1 5 ) 一( 3 1 7 ) ，并取适当小的e ，即可得到引理3 3 引理3 4 假设( 1 2 ) 给出的l 在 。h 2 ( q ) 阿= 0o r 锄) 上是一一的，且 ( n 1 2 ) m ：( 。) lsc ，q ，对t ，j = 1 ，2 有 l 鬻f 则下式成立 i 筹( z ) 卜g z 觚忍啡“ ( 3 1 8 ) 硎旺口m 训删哪+ 釜金笔竽l 壹壹曲c 尊m ，曲n ，1 1 i ve h 4 。 k = ll - 1 l m = ln = ll 证明由( 1 0 】可知，若l 为一一的，对任意口h 4 0 ，存在咖h 2 ( f 1 ) 满 足 l 毋= ui nn ， 妒= 0 o na q ， ( 3 1 9 ) 其中p 为l 的共轭算子 更进一步有 恻l 舻( i j ) s 硎 怕( 2 ) ( 3 2 0 ) 由( 3 t o ) 和( 上，识口) 驴( n ) = ( 也l v ) l 。( m ，可得 | 口l 知( 1 1 ) = ( 币一毒，l 口) p ( n ) + ( 西，l ) l 2 ( n ) - - ( 毒l 口) 口 + ( 声：l v ) 口， ( 3 2 1 ) 其中5 为的分片常数插值，满足下列不等式 0 矿一妒| f 。( 1 ) sg 矗f l 妒i l 圩- ( 1 1 ) ，( 3 2 2 ) 和 i i 妒l l l - ( 1 1 ) s0 妒l f l 一( t 1 ) sc 1 1 1 1 , - ( 1 1 ) ， ( 3 2 3 ) 1 1 山东大学硕士学位论文 由c a u c h y - s c h w a r z 不等式，( 3 2 2 ) ( 3 2 0 ) ( 1 6 ) 和( 1 7 ) ，可得 ( 妒一声，l v ) l 2 ( | i ) 墨c h t v l l l ：( 1 i ) ”l i p ( 1 dsc h l l u 0 l 2 ( 1 1 ) i 卜0 伊 l 碲 ( 3 2 4 ) 由( 2 2 ) 和引理2 2 - - j 得 陋刎删，t 孔咖i c n 4 叁鬈( i l 翕( 缸刚州+ l l 翕( 舢) ) 陋刎删，( 孔咖i 4 苫善川函( 缸 ) + l i 磊( 缸”) ) ( 3 2 5 ) 由于西在l k t 上为常数，由( 3 2 3 ) 和( 3 2 0 ) 得 登k = l 釜l ；1 | i 丢( 缸。) 1 | l l ( ，c 娜，耋娄i i 翕肋k ，t = ，。c 。舶， 由【7 】中( 3 1 7 ) 可得 苔n i 备n 2i | | i 霹1 9 4 ( 刎忆 c h - 3 明n h t 乩z ( s 2 7 ) 由( 3 2 5 ) ( 3 2 7 ) 可得 i ( $ l t ，) 胪( 1 1 ) 一( 乒，厶，) 口l c h l v l i l t , ) l i v l i j = r 2 ( = , ) ( 3 2 s ) 由( 2 2 ) ( 3 2 3 ) 和( 3 2 0 ) 可得 ( ；，刎。c l l ，怕i i m ，釜壹骂坚l 壹壹l v ( 尊m ，醢n ) i ( 3 ，2 9 ) ( ；，“，) g t 怕m ) 竿l ( 一醢”) i ( 3 由( 3 2 1 ) ( 3 2 4 ) ( 3 2 8 ) 和( 3 2 9 ) 可得到引理3 4 的结论 定理3 2 在引理3 ，4 的假设条件下，当h 足够小时，有 l 舻m ) c l l v l l “口朋o 证明由( 2 6 ) 可知 ( t k l z 2 ，t k 2 ) 岔0 ， o 再由( 2 8 ) ，引理3 3 和( 2 9 ) 可得 h h ：( 2 ) c l l a v l l 口c ( 1 l l v l b + 9 口0 p ( 1 1 ) ) ， h i o ( 3 3 0 ) 1 2 山东大学硕士学位论文 由【7 】中( 2 2 9 )