（应用数学专业论文）非线性动力系统分岔、混沌理论及其应用.pdf

北京交通大学硕士学位论文 中文摘要 摘要：本文首先应用非线性动力系统中的分岔和混沌理论，研究一个时滞生态模型 的分岔与混沌，提出并改进了原有结果。其次，研究m o d i e dc h 系统和m o d i f i e d l 豇系统的混沌同步和控制问题以及在安全通信中的应用。 全文共包括五章。 第一章，简单介绍与本文有关的动力系统局部分岔及混沌理论。 第二章，对一个复杂的时滞生态模型进行细致的研究。首先，根据不动点的 数目将参数平面进行划分，然后应用中心流形定理，证明在非双曲不动点，存在的 是超临界分岔而不是鞍结点分岔。对于非零不动点的稳定性及其分岔，运用定性 分析与数值模拟的方法进行研究，得出一些有趣的动力学行为。特别地，我们解 释了3 - c y c k 和4 一c y c l e 看似存在而实际不存在的现象。最后，计算最大i ，y a p l m o 、，指 数并证实了混沌的存在性。 第三章，引进o b 咖d i 日使得两个m o 砌e dc h e n 连续混沌系统达到同步。 将这两个已经同步的m o d i 矗e dc h e n 系统分别作为通信系统的传输器和接收器，利 用两种方式将信号加到传输端。研究发现：无论用哪种方式，传输端和接收端的同 步依然保持，从而进一步证明基于o b s e e rd e 8 i 印的同步方案具有鲁棒性。最后， 给出两个信息加密的例子，证明了基于0 b 8 e r v e rd e s i 印的混沌同步方案在安全通 信系统中的有效性。 第四章，用符号函数代替l 2 系统中的一个非线性项，得到一个新的三维分 段线性连续的自治系统( 称为m o d i f i e d 瞄系统) 。我们给出该系统的一些基本定 性性质。然后利用反馈控制方法，将混沌控制或抑制到平衡点或者周期轨道上。 几种不同的同步方案实现两个m o d i f i e dl 豇系统的同步。研究表明：与l i 系统相 比，m o d i f i e dl 讧具有很多优点，它不仅保持了典型的非线性现象，而且在理论上 更容易分析，在实际应用中具有更强的可操作性。 第五章，对本文进行了简要的总结。 关键词：动力系统；混沌；分岔；混沌控制；混沌同步 分类号：0 1 7 5 1 2 ；0 1 7 5 1 4 ；0 1 9 a b s t r a c t a b s t r a c t ：ht h j 8t 麟s ，b yt h et h e o uo fb i f i l r c a t i o n s 觚dc h a 硝，w ea t 矗r s ti m 髑t i g a t e 陆c i o n s 锄d 血so fad e l a y e de c o l o 舀c a lm o d d t h e n ，w e d i 8 c u 龉t h ec h 螂c o n t m ia n ds v n c h r o n i z a t i o ni l lan l o d m e dc h e ns v s “ma n da m o d i 矗e dl 武玛，s 胁，r 鹤p e c t i v e l y a 1 8 0 ，w es t u d yt h ea p p h c a t i o no fc h sc 如t r o l 觚d 町，n d l 州z a t i o i ns e c l l r ea 叫n m l l n i c a t i o n t h e l a y o u to f t h i s t h e s i 8 i 8 鹪f o u o 稍 hc h 印t e r1 ，ab r i e fr 嘶e wc o n c e m i n gt h et h e o r yo f1 0 c a lb i f l l r c a t i o n 龇l d c ：h a o bo fn d i l l i n e a rd 1 i r 卫【锄i c a l 瑁t e m si si n t r o d l l o e d i i lc h a p t e r2 ，a m p h c a t e dd e h y e de o d l o g i c a lm o d di 8s t u d i e di nd e t a i l f i r 8 t ，t h ep a r 锄e t e rp l 柚ei sd i v i ( 1 e di n 七ot h r d i 虢r tr 晒伽，i nw h i c ht h e r e 醯tv a d o u s 矗x e dp o i n t so ft h em o d e l s e 啪d ，b yu 8 i n gt h e 侧l t 凹m 舡l i f b l d 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r o d u c e dt o a d l i e v et h es y n c h r i z a t i o ft w om o d i 矗e dc l l e ns y s t e 瑚i h e 伽os y n d l r o n i z e d s y s t e 瑚a r el l da st h et r 觚s m i t t e ra n dt h er e c e i v e ro fa 唧u r e 哪m i l l l i c a t i 8 y 8 t e m ，r 鹤p e c t i v e l yn r t h e m o r e ，t w om e 乞h o d sa r e 瑚棚t o 嘲e c tt h ei n f o r m a t i o n 8 i g n a ii n t on l ec h a o t i cd r i v e - s y s t e ma tt h et r 咖m i t t 盱i np a r t i c u l a r ，w eo b t a i n e d ， i nw h i d 地v e rm e t h o dt h ei n f o r m a t i o n8 i g n a li 8a d d e d ，t h e 毋r n d m 吼i z a t i o no ft h e t r a n s m i t t e ra n dt h er e c e i v e ri ss t i l lm a i n t 痂e d w h i d ha ：l s o 矗l r t h e r v e r i f i e st h a 土 t h e 町，n i z a 土i o nb a s e do nt h eo b 跎r v e ra p p r 0 8 ( 啦i sar o b u s tp h e n o m e i l o n i n a d d i t i o n ，t w o 既砌p l e so f8 i g n a lt r a n s m 碱o nb a s e do nap a i ro fs y | 1 c h 删z i n g m o d i f i e dc h e n ss y s t e m sa r ea p p h e dt op r 部e n tt h ee 行e c t i 、，e n e 龉o ft h em e t h o di n 8 e c u r ec o m m u i l i c a t i 蚰 i nc h a p t e r4 ，b yr e p l a c i n gaq u a d r a t i cn o n l i n e a rt e 瑚i nl is y s t e mw i t ha p i e c e 呐l i n e 盯s i g 删l l l lf l l l l c t i o n ，an e ws i i i l p b f i e dt h r o e - d i m e 璐i o n a lp i e c e w i s ec o n - v 北京交通大学硕士学位论文 t i 肌。惦a u t o n o 加o u 88 y s t e m ( am o d i 6 e dl 证s y s t 锄) i si n t r o d u c e d t h eq u a l i t a t i v e p r o p e r t i 鹤o ft h em o d i 6 e dl ds ) ，s t 咖a r e8 t u d i e d b a s e d t h e p r o p e r t i 曙，t h e f e e d b a c kc o n t r o l l a wi 8a p p l i e dt os u p 阴sc h a t oo n eo ft h et h r e q u i k b r i ao r p e r i o do r b i t s s e 、惯a ld i 饪e r e n ts y n d h r o n i z e dm e t h o d sa r ea p p l i e dt oa c h i 删et h e 8 t a t e 町，i l 幽n i z a t i o no fh ，0i d e l l t i c a lm o d i 矗e dl ds y 8 t 锄s t h e s er 船u l t ss h a w t h a t 疵e rt h es i l i l p l i 丘c a t i o n ，t h em o d i 矗e dl 讧s y s t e mc a ns t m 妇pt h eb 够i c 衄d 咖i c 址n o i l l i n e a rp h e n o m e n a c 锄p a r e dw i t ht h e 耐g i n 缸i 证8 y 8 t 锄，t h em o d i 矗e d l 讧s y s t 锄h a sal o to fa d 矾m t a g 铅，b yw h i d ht i i em o d m e di j 豇s y s t e mc a nb e 啪r e e 鹪i l yi m p l 锄e n t e db yt h e 训i c a l 舭l a l y 8 i 8 ，a n dm o r ep r a c t i c a b l em a d eb y8 e c r e t o o h m l n i c a t i o 瑚 i nc h 印t e r5 ，w eb r i e n y 伽d u d et h et h e 豳 k e y w o r d s ：d y n 锄i c a l 盯s t 锄；c h a o s ；b i l r c a t i o n ；c h a 嘴c o n t r 0 1 c h a 饵 町m i h r o n i z a t i o n c l a s s n o ：0 1 7 5 1 2 ：0 1 7 5 1 4 ：0 1 9 插图目录 1 1 鞍结分岔s a d d l e d e b i f i i r c a t j d 4 1 2 超临界分岔驰a n s a i t 砌b 如r c a t 加， 5 1 3叉式分岔p i t 枞b i 慨1 0 n 5 1 4p o i n c a 西a n d r o n a 卜h 0 p f 分岔 p o i n c a r 玉a n d i o 舯* h 叩fb i f u r c a t i 帆 6 2 1根据不动点的数目，将该模型的参数平面进行划分p m m e p l eo ft h e m o d d ，m 哪矗r 雠i n g d s t e n c e 代g i 蚰8o f t h e 丘艟d p o i n t 8 1 5 2 2 当6 譬o 5 时，关于e _ x 的分岔图j i _ e 蜊搬c a t i 0 咀d i a g r 岫i n ( o - x ) 讪时地妇 6 = 0 5，1 9 2 3 当6 = o 5 时，局部放大的关于e 分岔图t h em 哪i b e d 础吣c a t i o nd i a g m i ( o x ) p l e f b rb = 0 5 ，2 0 2 4 当6 = o 5 时，不同的c 值相对应的相图t h ep h ep o r t r a i t 8 蛔v 8 r j o 咖v “嘲 0 f ca ：t6 = o 5 。2 0 2 5当b 盘2 1 时，关于o - x 分岔图1 h eb i 缸伽i c 咀d 姆a mj n ( o x ) p l a 埘矗 6 = 2 12 1 2 6 当6 = 2 1 时。放大的关于。幔分岔图t h em a 醇m e db i f u i 嘶i d i a 旷枷i n ( c - x ) p l a f o r6 ；2 1 2 l 2 7 ( a ) 当6 = 2 1 ，c = 1 6 4 6 7 时的相图( ”当6 = 2 1 ，c ；1 8 0 0 时的相图( a ) t h ep h a 坼p o f t r a i t s6 ”b = 2 1 ，c = 1 6 4 6 7 ( b ) t h ep h a 船p o f t m i t s 时矗= 2 1 c = 1 8 0 0 2 2 2 8 当6 = 2 1 ，c = 1 5 6 2 0 1 时，关于c _ x 的分岔图 t h ep h a p o n r a i t s6 ” 6 = 2 1 c ；1 5 6 2 毗。2 2 2 9 ( a ) 当6 = 3 时，关于o x 的分岔图( b ) 与( a ) 图相对应的最大l y 印w 指数图 ( c ) 当6 = 3 5 时，关于c - x 的分岔图( d ) 与( c ) 图相对应的最大l y a p u n o v 指数 图 ( a ) t h eb i 蚴i o nd i a g m m w h 叫6 = 3 ( b ) t h e m 缸蚰u ml y 印u n o v 。【p 佃e n t bo o r r e s p o n d i n gt o ( a ) ( c ) t h eb i 陆c a t i o nd a g r 蛐w h e n6 ；3 5 ( d ) 1 l h e m 戤王m m i o r 8 p 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t 鹤而( c ) 6 i 班a j s 翱( t h ed 船h e dh 聃) 蛐d 童3 ( t h e h d l i n e ) ，w h e d o t 粕，3 0 3 3m o d m e dc h 误差系统的解口= 1 t 1 8 ，6 = 0 1 6 8 7 5 ，c = 7 口= o 1 ( a ) t 一8 l 平 面( b ) t e 2 平面( c ) t c 3 平面t h e8 0 l u t i o no f t h ee r r 甜m o d i n e dc h g y s t 哪丽t h 口= 1 1 8 ，b = o 1 6 8 7 5 ，c = 7 ，柚d 口= 0 1 ( a ) t 0 1p l 衄e ( ” t 一8 2p l e ( c ) t e 3p l a n e 3 1 3 4 系统( 3 3 1 6 ) 和系统( 3 3 1 7 ) 的解( 其中8 ( f ) = f a i n ( “) ，f = o 0 5 ，= 3 ) ( a ) 信号z - ( 虚线) 和i 1 ( 实线) ，其中代表i l ( b ) 信号勋( 虚线) 和i 2 ( 实线) ，其 中代耘2 ( c ) 信号$ i ( 虚线) 和甄( 实线) ，其中五代表i 1 t h e8 0 1 u t i 螂 o f b q ( 3 3 1 6 ) 锄d e q ( 3 3 1 7 ) ( w h e 阳s o ) = n 讥( 以) ，f = o 0 5 ，；3 ) ( a ) 8 i g n a l 8 譬l ( t h ed a s h e dl i n e ) a n d 奎l ( t h es o l i d1 i n e ) ，w h 盯e 耐d e n o t 幅蠹1 ( b ) s i g n a l s 如( t h ed 船h e dl i 船) 卸d 牙2 ( t h e 叫i dl i n e ) ，w l e r e 吐d 蚰o t 鹤孟2 ( c ) s i g n a l 8 幻( t h ed 鹤h e d l i n e ) 8 n d 童3 ( t h es o l i d l i n e ) ，w h e d e n o t 船孟3 3 3 3 5 系统( 3 3 1 8 ) 利系统( 3 3 1 9 ) 的解( 其中s ( t ) = f s i ，l 和t ) ，一o 0 5 ，u = 3 ) ( 8 ) 信号$ ，( 虚线) 和i t ( 实线) ，其中吐表示孟，( b ) 信号z 2 ( 虚线) 和i 2 ( 实线) ，其 中吐表示i 2 ( c ) 信号3 ( 虚线) 和孟3 ( 实线) ，其中代表孟3 t h e 烈u t i 0 f e q ( 3 ，3 1 8 ) 船d e q ( 3 3 1 9 ) ( w h e r e8 ( t ) = f 酊n ( u t ) ，f = o 0 5 ，u = 3 ) ( a ) s i 驴a kz l ( t h ed 嬲h e dl i n e ) a n d 牵1 ( t h es o l i dl i ) ，w h e r ez id 0 t 鹊孟1 ( b ) 8 驴a l s 现( t h ed 鹪h e dh n e ) a 1 1 d 童2 ( t 1 塘s o l i du n e ) ，w h 盯ez ；d e n o t 嘲而( c ) s i g n a l 8 $ 3 ( t h ed 躺h e d l m e ) 柚d 毛( t h e m i i n e ) ，w h e r e 矗d e n o t 髑毛3 4 3 6信号的功率谱( a ) s ( t ) = f “n ( 讲) ( 其中f = o 0 2 ，；1 o ) ( b ) ，( t ) ( c ) 一( t ) 如唧b p e c t n l n l so ft h es i 印a 1 8 ( a ) 8 ( ) = f s f n ) ( w h e r e f = o 0 2 ，= 1 o ) ( b ) 矿( t ) ( c ) 一( ) 3 5 x 插图目录 3 7 信号的功率谱( 其中r = 0 0 5 ，兄= o 0 2 ，玛= o 0 1 ，r = 0 0 4 ，屁= 0 ，岛= o ，嘶= 1 ，屹= 2 ，咄= 3 ，地= 4 ，屿= 5 ，岫= 6 ) ( b ) 矿( t ) ( c ) 一o ) p 佣惯8 p e c t m m 8o f t h es i g m l l s ( a ) s ( t ) = f 鲥n ( “) ( w h e 阳 凡= o 0 6 ，尼= 0 0 2 ，玛= 0 0 1 ，风= 0 0 4 ，f 5 = o 0 3 ，岛= o ，帆= 1 ，吨= 2 ，1 3 = 3 ，地= 4 ，5 = 5 ，啦= 6 ) ( b ) 矿o ) ( c ) 。一0 ) 。3 6 4 1 ( 8 ) 当d = 3 6 ，6 = 3 ，c = 2 0 ，l n 混沌吸引子的数值模拟( b ) 当口= 2 8 ，6 = 3 5 ，c = 1 6 m 0 d 访e dl n 混沌吸引子的数值模拟 ( a ) - i kl 豇c h t i c 叭r a c t m m 嘶c a h y 斑m h t e d 稍t hd = 3 6 ，6 = 3 ，dc = 2 0 ( b ) t h e m o d m e di 廊昭札咖d i a o t i ca t t 阳c t o r 咖盯i c a l l y 棚i a 枷d 埘t hd = 2 8 ，6 = 3 5 dc ；1 63 8 4 2当6 = 3 5 ，c = 2 0 时的最大i 帅1 m o v 指数关于d 的图像m “i m a ll y 印 哪佃明t s 螂l 壕4w h e n6 = 3 5 ，衄dc = 2 0 4 1 4 3 当d = 髂山= 3 5 ，c = 2 0 时，平衡点的稳定性的数值模拟( a ) 在t = o 时， 对于岛，加入控制函数哟= 一1 6 勉，1 = 均= 0( b ) 在t = 2 0 时，对 于日，加入控制函数”2 = 一2 3 扛一5 6 ) ，“1 = t 3 = 0 ( c ) 在t = 2 0 时，对 于点l ，加入控制函数t 2 = 一2 3 扛+ ) ，l = t 1 3 = o t h es t a b i l i z a t i o no f t h ee q u n i b r i b 姗m 既i c a l l y8 i i n u l a 七e d 耐t hn = 2 8 ，6 = 3 5 ，柚dc = 2 0 ( 8 ) t h e c o n t 删l 跏t | 2 = 一1 6 缸，“1 = 蜥= oi sa c t i v a t e da tt ；0f o r 岛( b ) t h e c o n t r o l l 珊t 2 = 一2 3 扣一5 6 ) ，l = 坳= o i sa c t i v a t e d8 t t = 2 0 矗”e ( c ) 1 陆ec c 删r o l l a w t 2 = 一2 3 扛+ 5 6 ) ，l = t 3 = 0 i sa c i v a t e da t t = 2 0 瞳n 4 5 4 4 系统( 4 2 2 ) 的混沌吸引子被抑制到极限环( 8 ) 对于l ，控制函数u 2 = 一1 髓9 扛一 5 6 ) ，“1 = 螂= o ( b ) 对于e l ，控制函数忱= 一1 8 8 9 0 + 5 6 ) ，口l = t | 3 = o t h ec h a o t i c8 t t 埔c t o 埽o ft h e8 y 8 t e m ( 4 2 2 ) 8 珊8 u p p r e 啪dt ot h eh m i tc y c l 髓 ( a ) t h ec o n 咖l l w t | 2 = 一1 ，8 8 9 任一5 6 ) ，u 1 = u 3 = o f o r 耳( b ) 耽e t r o l l a w 坳= 一1 8 8 9 扛+ 5 6 ) ，t l = 3 = o f b r n 4 6 4 5 在无a c t i v e 控制准则时，驱动系统和响应系统的解关于t 的图像( a ) 信号。l ( 虚线) 和现( 实线) ( b ) 信号虮( 虚线) 和抛( 实线) ( c ) 信号：1 ( 虚线) 和钇( 实 线) t h e8 0 l u t i o i 峙o ft b ed r i v ea n dr 嘲p 曲s e 妁r 吕t e m sw i t h o u ta c t i v e n t r 0 1 l 拥r ( a ) s 珈a l s 观( t h e d 柏h e d l i 啦) 柚d 却( t h e h dh 脯) ( ”啦皿a l s 讥( t h e d a s h e d l i ) 锄d 抛( t h e s o h d l i 聃) ( c ) s j 驴a 】8z l ( t h e d 鹪h e d l i n e ) 蚰d 勿( t h e l i d l i n e 、，4 7 北京交通大学硕士学位论文 4 6 在a c t i v e 控制准则下，驱动系统和响应系统的解关于t 的图像( a ) 信号。l ( 虚 线) 和z 2 ( 实线) ( b ) 信号鼽( 虚线) 和l f 2 ( 实线) ( c ) 信号z l ( 虚线) 和2 2 ( 实线) t h e l u t i 吼so ft b ed i i v e8 n d 懈p o i l 盯s t 咖训t ha c t i v e 咖t r o ll 删( a ) s i 弘a 1 8 善1 ( t h ed 捆h e dl i n e ) 锄d 却( t h e h dl h 曲( b ) s i 弘a l s 讥( t h ed 鹊h e d u ) 8 n d l l 2 ( t b e l i d l i ) ( c ) 8 自朗a l s ：l ( t l 把d 雅h e d u 蛳) 8 n d 现( t h e l i d u n e ) 鸫 4 7 在o n e 哪u p l i n gb ya c t i v e 控制下，驱动系统与响应系统的解关于t 的图像 ( a ) 信号z 1 ( 虚线) 和勋( 实线) ( b ) 信号1 ( 虚线) 和抛( 实线) ( c ) 信号乱( 虚 线) 和勿( 实线) t h e l u t i o n bo ft h ed r i v e 柚d 懈p o n 舱叼，8 t e 瑚讲t h 伽e 唧u p h n g 匆a c t i v ec o n t r o ll a w ( 8 ) s i 班a 1 bz l ( t h ed a s h e dl i i 坤) a d 娩( t h e s o l i dn m ) ( b ) s 培l l s9 1 ( t b ed a s h e dl i m ) d 船( t h e i i dl i ) ( c ) 8 i i 皿a l s 以( t h ed 鹧h e d l 衄) 卸d 勿( t h e 舯b d l i d e ) 4 9 4 8 同步误差系统的解关于t 的图像( a ) 信号8 1 ( b ) 信号e 2 ( c ) 信号8 3 t h e 山m 锄i c so f s y n 出r o n i 蚰戗f o 糟( a ) 8 i 】妒a le l ( b ) s i 弘a le 2 ( c ) s i 弘a le 3 5 0 4 9 在a d 印t i v ea c t i v e 控制下，驱动系统和响应系统的解关于t 的图像( 8 ) 信号。1 ( 虚线) 和z 2 ( 实线) ( b ) 信号m ( 虚线) 和轨( 实线) ( c ) 信号# l ( 虚线) 和勿( 实 线) t h es 0 1 u t 妇0 f n 地拍v e 腿dm 叩l o n 阳町r s t 哪w i t ha d a p t i v ea 吼 c o n t r o l ( 8 ) s i g n a | sz l ( t h ed a s h e d l i n e ) dz 2 ( t h e8 0 l i d l i n e ) ( b ) s i g n a l s 讥 ( t h ed h e dh m ) d 抛( t h e h dl i n e ) ( c ) 8 i g n a l 8 旬( t h ed h e dl i n e ) d 现( t h e8 0 l i d l i n e ) 5 1 4 1 0 同步误差系统的解关于时间的图像( a ) 信号e ls 培n “e l ( ”信号e 2 ( c ) 信号e 3 t h ed y n 锄i 馏o f8 y n d m m i z a t i o ne r r o r 8 ( a ) 8 i 印a l8 l ( b ) s i g n a l 。2 ( c ) 8 i g n a l 白5 2 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。特 授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：纠辨 签字日期：7 竹f 年f 朗俚日 导师签名 翦鸿钩 签字日期：矽衫年f 胡f 阳 致谢 本论文的工作是在我的导师曹鸿钧副教授的悉心指导下完成的。两年多来， 无论在学习和生活中，曹老师自始至终都给了我大量的支持和帮助。他时常的鞭 策和鼓励是我克服困难，增强学习积极性和信心的动力源泉。同时曹老师孜孜不 倦的学习精神以及兢兢业业的工作精神也激励我努力学习。曹老师以渊博的知识 系统、严谨务实的治学态度和把握科学前沿的敏锐洞察力使我受益匪浅；他谦虚 正直、平易近人的长者风范和对学生无微不至的关怀是给我的另一笔人生财富， 在此特向曹老师表示深深的敬意和感激。 感谢关心我们成长的学校、学院领导，感谢给我以传道授业解惑和在生活学 习上支持帮助我的所有老师们。尤其要感谢师母蒋尧珍老师，两年多来，她在生 活和学习上也给了极大的关心和帮助 感谢同门的师弟师妹们，共同的学习、探讨与合作使我收获多多。感谢所有 一路走来、互相勉励的同学和朋友，感谢他们在学习和生活中给予我的关心和帮 助。， 感谢二十多年来抚育我成人，支持我完成学业的父母，感谢他们的鼓励和教 诲，他们对我的无私支持和鼓励是我前进的最大源泉和动力。还有我的姐姐和弟 弟，他们的支持和鼓励也是推动我不断进步的动力。 最后，诚谢各位专家和学者在百忙中审阅我的论文，诚恳接受您的宝贵意见 和建议，并期待您的批评和指导。 孙慧静 2 0 0 6 年1 1 月 于北京交通大学理学院 1引言及背景综述 动力系统是随时间的改变而发展的系统。它的主要研究目标是研究随着时问 的长期发展，系统的状态是如何改变和演化的。动力系统理论的主要研究内容包 括系统的结构稳定性，轨道的稳定性。分岔、混沌理论等。动力系统是一个实际背 景很强的数学分支，已经获得了非常成功的应用。现在，动力系统的理论和方法 已经被广泛应用到物理、化学、生物、人口动力学、流行病学以及经济学等领域。 动力系统已经成为数学领域中非常具有吸引力的重要分支。 1 1 动力系统的局部分岔理论 分岔现象是指动力系统的定性行为随着参数的改变而发生质的变化分岔现 象的研究起源于1 8 世纪以来对弹性力学、天体力学、流体力学和非线性中的失稳问 题。然而，长期以来分岔现象的研究是分散在各个具体应用领域中进行。直到2 0 世 纪7 0 年代，分岔理论才形成为研究各种分岔现象中共性问题的分支科学。分岔理 论的研究揭示了系统的各种运动状态之间的相互联系和转化。 在研究动力系统的局部分岔的过程中简化动力系统的一个方法是中心流形定 理【l 2 j 。应用中心流形可以降低系统的维数，从而达到简化系统的目的。本文第二 章应用含参数映射的中心流形定理对一个离散化系统进行化简，而后分析其不动 点的分岔。 1 1 1中心流形定理 ( a ) 向量场的中心流形定理 考虑向量场 圣= 血+ m ，) ， ( 。，剪) 碍彤( 1 叫 妒；。玢+ g ( z ，y ) ， 其中 ，( o ，0 ) 一0 ，d ，( o ，o ) = o ， 9 ( o ，o ) = o ，d 9 ( o ，o ) = o ， a 是一个特征值的实部为零的c c 矩阵，b 是一个特征值的实部为负数的s s 矩 阵，和g 都是伊函数。 1 北京交通大学硕士学位论文 定义1 1 1 一个不变流形称做向量场( 1 1 1 ) 的中心流形，假若对于充分小的6 ，不 变流形可以表示为如下的式子 w 7 。( o ) = ( z ，可) r 。r 8 l 暑，= ( z ) ，l z i 1 ，则 l ( z ) 一( z ) i = d ( i z l 9 ) ， 当z 0 。 ( b ) 映射的中心流形定理 考虑映射 茁”舭+ ，( 。，) ， ( z ，g ) r cxr s( 1 1 3 ) 可卜+ b 可+ g ( 茁，暑，) ， 或 z 计1 = a + ，( ，) ， + l = b + 9 ( z 。，蜘) ， 其中 ，( o ，o ) = o ，d ，( o ，o ) = 1 ， 9 ( o ，0 ) = o ，d 9 ( o ，o ) = 1 ， 2 l 引言及背景综述 ，9 在原点的某邻域内是伊的。a 是一个特征值的模等于1 的c c 矩阵，b 是一个 特征值的模小于l 的s 5 矩阵。显然( z ，! ，) = ( o ，0 ) 是映射( 1 1 3 ) 的一个不动点。其 线性化的映射是不能判定它的稳定性的。因而有以下几个定理。 定理1 1 4 映射( 1 1 3 ) 存在一个伊中心流形，且可以被局部的表示为如下的形式 i i ，c ( o ) = ( z ，暑) r c 。 矿l ! ，：= 九( ) ，i z i 最 ( o ) = o ，d ( o ) = o ) ， 对于充分小的6 。映射( 1 1 3 ) 限制到中心流形上得到： t 正卜+ a 钍+ ，( t ，l ( “) ) ，( 1 1 4 ) 对于充分小的t 彤。 定理1 1 5 ( i ) 若映射( 1 1 4 ) 的零解是稳定的( 渐近稳定的) ( 不稳定的) ，则映 射( 1 1 3 ) 的零解也是稳定的( 渐近稳定的) ( 稳定的) 。( i i ) 若映射( 1 1 4 ) 的零解是 稳定的，( z ”，旷) 是映射( 1 1 3 ) 的解，则对于充分小的( 跏，珈) ，映射( 1 1 4 ) 存在一个 解，使得 i 一t ，l i 七旷， i 孙一 ( ) i s 七矿， 对于所有n ，其中k ，卢都是正常数，且p 1 ，则 ， 矗( z ) = ( z ) + 0 ( 茁i 。) ， z _ 0 。 1 1 2 局部分岔的类型 下面介绍动力系统的几种典型的局部分岔现象及产生这些分岔的充分条件1 1 _ 3 】。 ( a ) 向量场典型的分岔 ( 1 ) 鞍结分岔( s a d d l en o d eb i f u r c a t i o n ) 考虑单参量向量场 圣= p z 2 ，z r 1 ，p r 1 ， 它的平衡点由p z 2 = 0 确定。显然，当p o 时， 有两个平衡点，z l = 、面，耽= 一、，伍，且z l = 、，伍是稳定的，勋= 一、，面是不稳定 的。这两个平衡点在z p 平面上分布在抛物线上( 如图1 1 所示，实线表示稳定， 3 北京交通大学硕士学位论文 虚线表示不稳定) 。可见p = 0 是分岔点。分岔点p = o 有这样的特点：在p = o 一 侧，没有平衡点，而在另一侧有两个平衡点，一个稳定，一个不稳定。我们称这样 的分岔为鞍结分岔。 一盼量 、 、。j 图1 1 鞍结分岔s a d d l en o d eb i 矗h c 砒i 如 考虑一般的单参数向量场 孟= ，( z ，p ) ， z 冗1 ，肛r 1 ， ( 1 1 5 ) 其中肛为参数。 定理1 1 7 ( 鞍结分岔的条件) 对于向量场( 1 1 5 ) 经历一个鞍结分岔的条件为： ，( o ，o ) = o ，鬈( o ，o ) = o ， 箬( o ，o ) o ，象( o ，o ) o ， ( 2 ) 超临界分岔( n a m c r i t i c a lb i f c a t i o n ) 考虑向量场 士= ，坷一矿，z _ r 1 ，p r 1 ， 上