七年级数学列代数式；求代数式的值华东师大版知识精讲.doc

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知识点概要了解代数式、单项式、单项式的系数和次数、多项式、多项式的次数、整式的概念.能用代数式表示简单问题的数量关系（3）能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义.（4）通过具体例子感受“同一个代数式可以表示不同的实际意义”，“理解符号所代表的数量关系”.（5）了解代数式的值的意义，会计算代数式的值.（6）能读懂计算程序图，会按照规定的程序计算代数式的值，会按照要求设计简单的计算程序，初步感受“算法”的思想及数量的变化与联系.2. 重点难点代数式、单项式、多项式的概念及单项式的系数和次数、多项式的次数与项数、将多项式升（降）幂排列.根据简单问题的数量关系正确列出代数式.（3）读懂计算程序图，计算代数式的值.三. 考点分析用字母表示数用字母表示数可以简明地表达现实中浩繁的数量间的关系，表达数的各种运算定律、性质和法则。如用字母a、b、c表示三个数，则加法结合律可表示为：a+b+c=a+（b+c）=（a+b）+c.在用字母表示数时，应注意：（1）同一个问题中的相同量要用同一个字母表示，不同量必须用不同字母表示.同一个字母在不同问题中的意义也是不同的.如在表示长方形的面积公式时，用s表示面积，a表示长方形的长，b表示长方形的宽，则有s=ab。在这里，s、a、b分别表示不同的量，同样是字母a，在不同的问题中可表示不同的数。（2）应该遵循规定了的、约定俗成的、沿袭的表示习惯.如：用c表示周长，用表示厘米代数式1. 代数式的定义像n-2，3b，m+3等由运算符号连接的式子都是代数式.单独一个数或一个字母也是代数式.2. 写代数式（1）数与数相乘用“”；数与字母，字母与字母相乘用“”或省略不写；（2）字母与数字相乘，数字因式应放在字母因式之前，带分数与字母相乘，带分数要化为假分数.如a不能写成a.（3）代数式中的除号一般用分数线表示.如2ab应写成.（4）几个字母因数排列时，一般按字母顺序排列.如5a2c3b通常写成5a2bc3.（5）代数式若是和或差的形式，且结果中又有单位的，应用括号将代数式括起来，后面再带单位.如（2a+3）不能写成2a+3.3. 列代数式列代数式首先要确定数量与数量的运算关系，其次应抓住题中的一些关键词语，如和、差、积、商、平方、倒数以及几分之几、几成、倍等等.抓住这些关键词语，反复咀嚼，认真推敲，列好一般的代数式就不太难了.整式1. 单项式的相关概念 单项式是数字与字母的积构成的代数式，其中的数字因数是单项式的系数，单项式中所有字母的指数的和是单项式的次数.单独一个数或一个字母也是单项式.2. 多项式的相关概念几个单项式的和叫做多项式.其中的每个单项式是多项式的一个项，次数最高项的次数是这个多项式的次数.按某个字母指数的升降可将多项式进行升幂或降幂排列.3. 单项式和多项式统称整式. 代数式的值根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算，所得的结果是代数式的值.【典型例题】例1. 用代数式表示：（1）a与1的差的平方； （2）a与1的平方差.分析：这两道题的关键词都是差和平方，但由于这两个关键词的顺序是不一样的，所以反映出来的运算顺序也是不一样的：差的平方是先算差，后平方；平方差是要先平方，再相减.解：（1）（a-1）2 ； （2）a2-12.例2. 读出下列代数式：（1）ab3 （2）5x2+7 （3） （4）a（mn）2分析：先弄清每式中所含的运算，明确运算顺序，再按“先算先读，后算后读”的基本原则读出即可.解：（1）a与b的积与3的差；（2）x的平方的5倍与7的和；（3）x与x、y两数的差的商；（4）m与n的差的平方与a的积.例3. 写出下列各式的系数与次数（1）3a （2）-mn （3） （4）2 分析： 单项式的系数是各式的数字因数，次数是式中所有字母的指数的和.解：（1）单项式3a的系数是3，次数是1；（2）单项式-mn的系数是-1，次数是2；（3）单项式的系数是，次数是2；（4）单项式2的系数是2，次数是0.例4. 把多项式重新排列：（1）按的降幂排列；（2）按的降幂排列.分析：重新排列多项式的各项的位置时，要注意连同它前面的符号一起排列.按某字母降幂排列，即将该字母的指数由高到低排列，常数项可作为该字母的指数最低的项.解：（1）（2）例5. 当x=-0.5，y=2时，求代数式x（x-y）2的值.分析：先将字母的值代入后，再将小数化为分数，带分数化为假分数，按运算顺序正确计算即可.解：把x=-0.5，y=2代入，则x（x-y）2= -（-2）2=-（-3）2=-9=-.例6. 下图是一组数值转换机，写出图a的输出结果，找出图b的转换步骤，并完成下表.输 入-300.25图a的输出图b的输出分析：由图可知，图a输出的实际上是代数式3x-2的值，而图b只有在第一步应填“-3”，第二步填“2”时，输出的才是2（x-3）的值.想求输出的数值，只要将输入的数值分别代入这两个代数式就行了.解：图a的输出结果为3x-2， 图b第一步应填“-3”，第二步填“2”；图a的输出值从左至右依次为11，2，2；图b的输出值从左至右依次为12，7，6，.例7. （2008年梅州）如下图所示，在长和宽分别是、的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为的正方形.用，表示纸片剩余部分的面积；当=6，=4，=2时，求剩余部分的面积.分析：第题是根据整体与部分的关系列代数式；第题是由第题的结论求代数式的值.解：剩余部分的面积s=；当=6，=4，=2时，s=64-422=8.例8. 电话费与通话时间的关系如下表：通话时间a（分）电话费b（元）10.2+0.820.4+0.830.6+0.840.8+0.8（1）试用含a的代数式表示b；（2）计算当a=100时，b的值.分析：由图表可知电话费中都包含基本话费0.8元，除0.8元外的电话费都是通话时间的0.2倍.故电话费b（元）与通话时间a（分）的关系是b=0.8+0.2a.解：（1）由题意可得，b=0.8+0.2a；（2）当a=100时，b=0.8+0.2100=20.8（元）.例9. 观察下面一系列等式：32-12=8=81；52-32=16=82；72-52=24=83；92-72=32=84.你从中发现了什么规律？用代数式表述这个规律.分析：观察可知左边是连续奇数的平方差（大数减小数），右边是8的倍数，发现了规律，下一步就可以用代数式表述出来了.解：这个规律用代数式可以表述为（2n+1）2-（2n-1）2=8n（n为自然数） .例10. 你能很快算出19952 吗？分析：为了解决这个问题，我们考察个位数为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可用代数式表示为10n+5，问题即求（10n+5）2 的值（n为自然数） ，试分析n1，n2，n=3，这些简单情况，从中探索其中的规律，并归纳、猜想出结论（在下面横线上填上你的探索结果）.（1）通过计算，探索规律：152=225，可写成1001（1+1）+25，252=625，可写成1002（2+1）+25，352=1225，可写成1003（3+1）+25，452=2025，可写成1004（4+1）+25，752=5625，可写成_，852=7225，可写成_，（2）从第（1）题的结果，归纳、猜想得：（10n+5）2_.（3）根据上面的归纳、猜想，请算出：19952_.解：（1）l007（7+1）+25，1008 （8+1）+25；（2）100n（n+1）+25，n为自然数；（3）100199（199+1）+25=3980025.点评：本例的实质是先用代数式表示出一般情况，再求特殊情况下代数式值的计算规律，归纳出一般性结论，再求这个一般性结论中代数式的值，体现了“特殊 一般 特殊”的思想方法，这正是用字母代数（从特殊到一般）后再求代数式值（从一般到特殊）这种思想方法的反复应用.例11. 若a+2004=b+2005=c+2008，则（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2= .分析：能否从已知条件中求出a-b、b-c、a-c的值是解题的关键.从题设中找到这三个代数式的值显然是比较容易的.解：由a+2004=b+2005=c+2008知，a-b=1，b-c=3，a-c=4.代入原式=12+32+42=26.例12. 已知代数式的值是8，那么代数式的值是 .分析：要求代数式的值，我们会自然想到求x的值.而由已知条件=8，同学们根据已学的知识，是没办法求出x的值的.如果我们细心地观察所求代数式与已知条件间的关系，我们就能发现=，而（x2+3x）的值从条件式中是可以通过结构改造的方法求得的.因此，我们只要将（x2+3x）整体代入，问题就能迎刃而解了.解：由=8得：=7.则=47-20=8.数学思想方法的学习1. 字母表示数的思想引入字母表示数，是从算术进入代数的重要标志之一，正确地理解用字母表示数的意义，是学好数学基础知识的基本要求.2. “特殊与一般”的思想方法从几个简单的、个别的、特殊的情况去研究、探索、归纳出一般的规律和性质，反过来，应用一般的规律和性质去解决特殊的问题，这是数学中经常使用的思想方法，列代数式和求代数式的值，就体现了这种思维方法.3. 整体思想从大处着眼，由整体入手，通过细心的观察和深入的分析，找出整体与局部的有机联系，从整体上把握问题，从而在客观上寻求解决问题的途径的一种常用的方法.【模拟试题】（答题时间：90分钟）一、细心选一选（每题2分，共20分）1. 用字母表示加法交换律，错误的是（ ）.a. a+b=b+ab. m+n=n+m c. pq=qpd. x+y=y+x2. 如果m表示奇数，n表示偶数，则m+n表示（ ）.a. 奇数b. 偶数 c. 合数d. 质数 3. 已知一个三位数，它的百位数字是a，十位数字是b， 个位数字是c，则这个三位数字是（ ）.a. abc b. a+b+c c. 100a+10b+c d. 100c+10b+a4. 下列代数式的意义是a，b的平方和的是（ ） . a.（a+b）2 b. a+b2c. a2+b d. a2+b25. 用语言叙述-2表示的数量关系中，表达不正确的是（ ） . a. 比a的倒数小2的数 b. 比a的倒数大2的数 c. a的倒数与2的差 d. 1除以a的商与2的差 6. 下列说法：a与均是代数式，表示 a除以 c再乘 b，b表示a与b的和的60%，表示的差的平方其中正确的有（ ）.a. b. c. d. 7. 已知a-b=5， c+d=-3， 则（b+c）-（a-d）的值为（ ）.a. 2b. 2 c. 8 d. 88. 当（ ）.a. 3 b. c. d. 2*9. 当（ ）.a. 1 b. 13 c. 0 d. 6*10. 已知-x+2y=6，则3（x-2y）2-5（x-2y）+6的值是（ ） . a. 84 b. 144 c. 72 d. 360二、仔细填一填（每题2分，共20分）11. 小明跑步速度为v米/秒，问他的百米成绩为_秒.12. 用代数式表示比m的4倍大2的数为_.13. 小彬上次数学成绩80分，这次成绩提高了a%，这次数学成绩为_.14. 三个连续的自然数，中间的一个为n，则第一个为 ，第三个为 .15. 矩形的一边长为a2b，另一边比第一边大2a+b，则矩形的周长为_.*16. 如果a=2b， b=4c，那么代数式.*17. 细胞在分裂过程中，一个细胞第一次分裂成两个，第二次分裂成4个，第三次分裂成8个，那么第n次时细胞分裂的个数为 个.18. 当x=7，y=4，z=0时，代数式x（2xy+3z）的值为_.*19. 某人骑自行车走了0.5小时，然后乘汽车走了1.5小时，最后步行a千米，已知骑自行车与汽车的速度分别为v1千米/秒和v2千米/秒，则这个人所走的全部路程为_.20. 教学楼大厅面积s m2，如果矩形地毯的长为a米，宽b米，则大厅需铺这样的地毯_块.三、认真算一算：（每小题6分，共24分）21. （1）在式子中，已知米秒，秒，米/秒，求.（2）已知，求代数式.*（3）已知a是最小的正整数，b、c是有理数，且3+b+（2a-c）2=0，求的值.*（4）如图所示，根据图中标明的尺寸，写出求图中阴影部分的面积s的公式，并求当x=3时，阴影部分的面积（取3.14）. 四、努力解一解（共36分）22. 按如图所示方式在餐桌上摆碗：（1）一张餐桌上放6个碗，3张餐桌上放_个碗；（2）按照上图继续排列餐桌，完成下表.桌子的张数3456n摆碗数23. 某校举办跳绳比赛，第一组有男生m人，女生n人，男生平均每分钟跳105次，女生平均每分钟跳110次，一分钟第一组学生共跳绳多少次？当m=5，n=5时，结果是多少？24. 今年初共青团中央发出了“保护母亲河的捐款活动”，某校初一两个班的115名学生积极参加，已知甲班的学生每人捐款10元，乙班的学生每人捐款10元，两班其余学生每人捐5元，设甲班有学生x人，试用代数式表示两班捐款的总额.*25. 某商店进货价降低8%，而售价保持不变，结果使商店的利润可提高10%，问原来利润是百分之几？ 26. 已知a=3，b=2，计算：（1）a2+2ab+b2；（2）（a+b）2. （3）当a=2，b=1或a=4，b=3时，分别计算两式的值，从中可发现怎样的规律？*27. 一根弹簧原来的长度是10厘米，当弹簧受到的拉力为f千克（f在一定范围内）时，弹簧的长度用l表示，测得有关数据如下表：拉力f（kg）弹簧长度l（cm）110+0.5210+1310+1.5410+2思考：（1）写出当f=7 kg时，弹簧的长度l为多少厘米？（2）写出拉力为f时，弹簧长度l与f的关系式.（3）计算当拉力f=100 kg时弹簧的长度l为多少厘米？试题答案1. c2. a3. c4. d5. b6. d 7. c8. b9. b10. b11. 12. 4m+2 13. 80（1+ a%） 14. n-1，n+1 15. 8a6b 16. 17. 2n 18. 70 19. （0.5 v1+1.5 v2+a）千米20. 21. （1）=820+9.8202=160+1960=2120（米）；（2） =；（3） 由题目条件知：a=1，b=-3，c=2， = ；（4） s=x2-x2=.22. （1）18；（2）18，24，30，36，6n23. 105m+110n ，当m=5，n=5时，105m+110n =1055+1105=1075（次）.24.x+（115x）10+x+（115x）5=+805.25. 设原进价为a，利润为x，依题意知：a+x=（1-8%）a+（1+10%）x，因为x=0.8a，所以原利润率为：100%=100%=80%.毛26. （1） a2+2ab+b2 =32+232+22=25，（2）（a+b）2=（2+3）2=25，（3） 当a=2，b=1 时，a2+2ab+b2=22+221+12=9，（a+b）2=（1+2）2=9， 当a=4，b=3时，a2+2ab+b2=42+24（-3）+（-3）2=1，（a+b）2=4+（-3）2=1，由此可发现（a+b）2=a2+2ab+b2.27. （1）10+0.57=13.5（厘米），（2） 弹簧长度l与f的关系式：弹簧长度l=10+0.5f， （3）10+0.5100=60（厘米）.伎沏谦盖恼绢骆