（应用数学专业论文）一类非局部抛物型方程解的渐近性态.pdf

摘要 本文我们考虑下面带有齐次d i r i c h l e t 边界条件的非局部抛物型方程解的渐近性态， 地- 蚪黹一印一 0 ， 这里a 0 ，p 0 ，是单调减函数我们得到：( a ) 当0 0 ，u ( x ，t ) 是全局有界的，并且存在唯一全局渐近稳定的稳态解；( b ) 当1 p 0 ， u ( x ，t ) 是全局有界的，并且至少存在一个局部或全局渐近稳定的稳态解；( c ) 当p = 2 时如果 0 2 时，存在个a 0 使得当a ”或当0 0 ， w i t hh o m o g e n e o u sd i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n ，w h e r ea 0 ，p 0 ，i sd e c r e a s i n g i ti sf o u n d t h a t ：( a ) f o r0 0 ；( b ) f o r1 p o ；( c ) f o rp = 2 ，i f0 2 ，t h e r ee x i s t saa 0s u c ht h a tf o ra a + ，o rf o r0 0 ， v ( p ( u ) l v 砂1 ) = 0 ， z q ，t 0 ， ( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) 以及对让和西在a q 上加一些边界条件描述( 【1 ，2 】) j 这里q 是r “( n 1 ) 中一个有界光滑区 域，表示导体所占的空间( 热敏电阻中导体的体积) ，在物理学中对应于n = 3 6 ( x ，t ) 代表导 体两端的电压，u ( x ，t ) 代表电流通过导体时导体内部的温度，k ( 札) 0 代表导体的热传导系 数，p ( u ) 代表导体的电导率抛物方程( 1 1 1 ) 用来描述热敏电阻中导体的温度变化：而椭圆 方程( 1 1 2 ) 在假设温度在时问和空间上变化不是太快时用来描述温度变化过程中系统的能 量守恒 在适当的假设下，方程组( 1 1 1 ) ，( 1 1 2 ) 能简化为个非局部抛物方程我们假定导体的 热传导系数仡和导体的密度p 是常数如果初始温度u ( z ，0 ) 仅在z 一轴方向发生变化且导 体两端的电压之差是定值y ，这时方程组( 1 1 1 ) ，( 1 1 2 ) 经过尺度变换后可化为下面的一维 抛物方程： 毗砘一揣，- l x l , 扮0 ， ( 1 1 3 ) 这里( u ) 表示导体的电阻，a = v 2 当热敏电阻中的导体是短且平时，此非局部抛物方程能 用来描述热敏电阻中导体的温度变化如果热敏电阻的导体是长且薄时，其温度变化能被下 面的二维非局部抛物方程描述： 毗2 她+ 揣一叫d 诊0 ， ( 1 1 4 ) 这里d 是热敏电阻中导体所占空间q 的横截面，l ( u ) 现在表示导体的电导率，a = j 2 4 2 ，这 里a 是横截面d 的面积，电流j 为常数根据导体自身的性质：电阻即可能是温度的增函数 也可能是温度的减函数，因此，可以被假设为单调函数方程( 1 1 3 ) ，( 1 1 4 ) 的详细推导过程 参看【3 ：4 】及相应的参考文献如果热敏电阻的导体是圆柱形时，我们可以利用分段处理，仅 考虑一小部分导体而不是整个导体，此时其温度变化也可以用方程( 1 1 4 ) 描述( 【5 】) 方程( 1 1 3 ) 也能用来描述线性物质的热粘滞流在这种情形下，假定压力丁满足o r l o x = 0 和丁o v o z ，这里t ，( z ，t ) 是y 一轴方向的速率而对于非线性物质，经过适当的尺度变换， 】 2 东南大学硕士学位论文 其热粘滞流可用下面方程描述： 撕砘一揣，- l o ) ，方程 毗- 揣一卸 0 ， ( 1 1 5 ) 能用来描述导体中的温差电流( 看【6 】及相应的参考文献) ，这里p 1 ，歹为电流密度 另外，当p = 1 时，方程( 1 1 5 ) 可以描述切割机在高压下切割金属的现象( 【7 ，8 ，9 】) ，它也 可以描述大量细胞在化学物质作用下相互反应的现象( 【1 0 】) ，对e u l e r 方程用不变测度的方 法，方程( 1 1 5 ) 也能用来研究流体的湍流性( 【1 1 】) 在本文中，我们研究带齐次d i r i c h l e t 边界条件的方程( 1 1 5 ) 我们总假设在小时间段 ( 0 ，t ) 内方程( 1 1 5 ) 有唯一光滑的解事实上，当函数，是l i p s c h i t z 连续的并满足，( s ) 2c 0 ，s 0 时，此( 局部) 存在性和唯一性结果能用p i c a r d 迭代方法获得( 【3 】) 同时，用p i c a r d 迭代方法也能证明，要么爆破发生( i iu ( ，t ) ii o o o o 当t t + 。o ) ，要么解全局存在且有界 热敏电阻问题已经吸引了大量研究者的兴趣a n t o n t s e v 和c h i p o t 在【1 】中用能量方法 证明了方程组( i i 1 ) ，( 1 1 2 ) 解的爆破性质，并在【2 】中得到进一步的结果对于一个特殊 的热敏电阻装置，b a r a b a n o v a 在【5 】中用类似的方法也证明了方程组( 1 1 1 ) ，( 1 1 2 ) 解的爆 破性质另外，方程组( 1 1 1 ) ，( 1 1 2 ) 对应的稳态解也在【1 2 ，1 3 ，1 4 】中被详细研究如果，是 一个减函数：对任意的p 0 ，n 17 非局部抛物问题( 1 1 5 ) 的比较原理是成立的( 【3 ”因 此，当，递减时，l a c e y1 3 ，1 5 1 详细考虑了方程( 1 1 3 ) 并得到：如果j ：产( s ) d s ”时没有稳态解，对应的解u ( x ，t ) 全局爆破；当入= ”时，对于 l ( s ) = e 一，( 1 1 3 ) 也没有稳态解，但对应的解乱( z ，t ) 全局存在却是无界的；当0 a ， l 1 1 ； i 让( z ，0 ) = t 幻( z ) ， z q ， 这里a 0 ，p 0 f 满足条件 ，( s ) 0 ，( s ) 0 ，s 0 ，f ( s ) d s 0 0 ( 1 2 2 ) 由条件( 1 2 2 ) 我们可以证明比较原理是成立的，参看【3 ，4 ，1 5 ，2 0 0 u o ( x ) c ( _ ) 且u 0 ( z ) = 0 ，z a q 不失一般性的，我们取伊f ( s ) d s = 1 对于q ，我们假设 ( h ) qcr n 为有界光滑凸区域；对任意y o a q ，0 1 2 在y o 的切平面s k 与a q 相切于唯 一点珈，即 珈 = na q 我们的主要结果如下： 当0 0 ，u ( x ，t ) 是全局有界的，并且存在唯一全局渐近稳定的稳 态解 当1 p 0 ，札( z ，t ) 是全局有界的，并且至少存在个局部或全局渐 近稳定的稳态解 当p = 2 时，令”= 2 1 0 f 2 1 27 其中i a q i 表示o f l 的面积如果0 2 时，存在一个a + 0 使得当入 ”或当0 2 时，边界层对爆破速率无影响 本文的基本框架如下第一章介绍了课题背景、研究综述及本文主要结果第二章研究 方程( 1 2 1 ) 的稳态问题，并利用稳态解构造出随时间单调递减的上解及随时间单调递增的 下解来研究问题( 1 2 1 ) 解的稳定性第三章考虑临界情形? 即p = 2 ，a = 2 1 0 r a l 2 我们先利用 稳态解构造出一个随时间单调递增的全局无界的下解? 又采取分段函数的方法构造出个整 体存在的无界上解，从而得到u ( x ，t ) 无限时刻全局爆破第四章研究p 2 时解的爆破性质 第二章稳态解及其稳定性 2 1 稳态解 在描述问题( 1 2 1 ) 解的渐近性态和构造上下解的过程中，问题( 1 2 1 ) 的稳态解起到了 关键性作用，所以我们首先考虑问题( 1 2 1 ) 的稳态问题对应于( 1 2 1 ) 的稳态问题是 叫+ i 了云了h i 彳丽( w ) = 。，z q ；叫= 。，z a q ( 2 - 1 1 ) 为了研究非局部稳态问题( 2 1 1 ) ，考虑下述椭圆方程 a w + m ( w ) = 0 ， z i l ；t t ，= 0 ，z a q ， ( 2 1 2 ) 这里p 0 ，满足( 1 2 2 ) 众所周知，应用单调迭代理论可以证明问题( 2 1 2 ) 在础( q ) 中有 解利用带有d i r i c h l e t 边界条件的一算子的强制性，问题( 2 1 2 ) 在础( q ) 中存在唯一非负 解伽( z ；p ) ( 2 l 】) 为了建立非局部问题( 2 1 1 ) 和局部问题( 2 1 2 ) 之间的关系，对于任意的肛0 ，令 a ( 肛) 2p ( 上，( ) 出) p ( 2 1 3 ) 因为加( z ；p ) 是非负的，所以这样定义的函数是有意义的由于伽( z ；p ) 对p 是解析的，不难推 断函数a ( p ) 对弘也是解析的 下面的定理建立了非局部问题( 2 1 1 ) 和局部问题( 2 1 2 ) 解之间的关系证明是显然的 定理2 1 1 如果w 是问题俾1 j ，相对于a = 知的一个解，这时w 也是问题仁1 纠相对于 p = 知( 血，( 叫) 出) p 的一个解反之，如果叫是问题r 2 i 剀相对于p = 肋的一个解，这时 w 也是问题俾1 j i 相对于入= a ( p o ) 的一个解 上述定理允许我们通过分析函数a ( p ) 的性质来研究问题( 2 1 1 ) 下面的引理给出( 2 1 2 ) 解的一些性质 引理2 1 2 设埘( z ；p ) 是问题仁f 纠的解，则有 例加( z ；肛) 关于p 是严格递增的，并且对于固定的p ，雌在q 内是有界的 一砂址札。叫( z ；p ) 圣 ) - o 。在q 内一致成立，这里西 ( z ) 是一在础( q ) 中的第一特 征函数且满足m a , x x n 圣p ( z ) = 1 证明：方程( 2 1 2 ) 对p 求导，得到 知一，( 刎咿八_ 0 ， 蚝q ( 2 1 4 ) iw u ( x ) = 0 ， z a q 第二章稳态解及其稳定性 因为，( s ) 0 ，z q 对于一个固定的p ，任何充分大的常数都是 问题( 2 1 4 ) 的一个上解：因此0 w t gz 豆由此得( ) 令圣譬( z ) 是一在础( q ) 中的第一特征函数，对应的第一特征值为入1 ( q ) 规范化圣乎( z ) 使得m a , x , x n 圣p ( z ) = 1 我们利用圣p ( z ) 构造问题( 2 1 2 ) 的下解对于固定的正数q ，a 圣p ( z ) 是问题( 2 1 2 ) 的下解，只要 一( a 入1 ( q ) 西? ( z ) ) = 乜a 1 ( q ) 圣p ( z ) p ，( q 圣? ( z ) ) ，z f 1 故只要选择o t 使得a 1 ( q ) 口= p ，( q ) ，则a 圣乎( z ) 是问题( 2 1 2 ) 的下解 考虑实函数f ( 0 1 ) = a l ( q ) a ，( n ) 显然，f 是个从对到耐的微分同胚定义q ( p ) 为 f 的反函数：则函数q ( p ) 是递增的并且也是一个从耐到耐的微分同胚因此，q ( p ) 圣p ( z ) 是问题( 2 1 2 ) 的一个下解，从而q ( p ) 圣p ( z ) 加( z ；肛) 由于，( s ) 0 ，当p 0 0 ，容易得 q ( p ) 一0 0 这就证明了( 龇 - 下面利用引理2 1 2 证明对于0 p 1 ，问题( 2 1 1 ) 的解是唯一的 定理2 1 3 如果0 ps1 ，则对于任意的入0 ，问题俾j 砂的解是唯一的 证明：由定理2 1 1 ，只需证明a ( p ) 是严格递增的对方程( 2 1 2 ) 在n 上积分，我们有 上n 筹出+ a ；p 宁地 这里a a v 是外法向导数，因此 砌) 叫- p ( 一上n 雾d s ) p ( 2 1 5 ) 对肛求导得 = ( i - p ) p 弋一上n 等d s ) p + 刖1 。p ( _ z qo 咖w d s ) p 1 ( 一上n 券d s ) - 因为a w l a v 0 ， 且 胪l i m a ( p ) = 。o 证毕 i i 为了讨论a ( p ) 在p 1 时的性质，我们需要如下的引理 引理2 1 4 假设饼cq ，加n 和w n 分别为问题俾j 纠在q 7 和q 上的解则对于任意的 卢 0 ，切加n 在q 7 上恒成立 5 6 东南大学硕士学位论文 证明是明显的 引理2 1 5 设f ( 8 ) 满足f ，j 2 砂且伊f ( s ) d s = 1 令t l ，( z ；p ) 是下述问题 a w + p f ( w ) = 0 ，z b ；t l ，= 0 ， z 3 b ( 2 1 6 ) 一面1 面d wi t = r 以，一：，。v l f f i 梳d r i r = r = 讵， 其中b = z r 九：i z i r ，= i z i 证明：方程( 2 1 6 ) 化为球坐标形式 伽( r ) + 兰亏兰加7 ( ，) + p ，( t t 7 ) = o ， o ， r ；t ( r ) = t t 7 7 ( o ) = o ( 2 1 7 ) 在( 2 1 7 ) 两边同乘w 7 并在( o ，r ) 上积分得 掣柏一, o 凡掣咖一p o m m 灿一o ， 这里m = m a x o 一 ，rw ( r ) = 硼( o ) 由上式可得 去( 掣) 2 2 办( s ) 蜒2 z 徘) d s = 2 ( 2 ) 考虑下面的辅助问题： z + p 9 ( z ) = o r 一6 r r ；z ( r ) = z 7 ( r j ) = o ； ( 2 1 9 ) 【z ( r ) = m a x r 一蜓r 茎r 名( ，) = z ( r 一6 ) = m ，0 ，sr 一正 其中0 g ( 8 ) ，( s ) 在( 2 1 9 ) 两边同乘z 7 并在( r 一正r ) 上积分得 ( 以r ) ) 2 = 2 p 三9 ( s ) 幽= 2 p 【g ( z ) 一g ( m ) 】 ( 2 _ 1 1 。) 这里g ( z ) = 伊g ( s ) d s 因为z l ( r ) o 第二章稳态解及其稳定性 当r 一6 7 晶冉川m ) 一删 ( 2 1 1 3 ) ：-(n-1)v2-瓦c(z)-g(m)+pif(z)一夕(z)】r5 = 一一j zl f j iz - 1 一 。，。“， j 、1 ，j 。 现选择p 充分大使得 p 之舻：器，篆端串掰 4 ， p 之加2 ：器) 葡j 南嚣群 ( 2 工1 4 ) 由关系式( 2 1 1 3 ) 和( 2 1 1 4 ) 可得 z ( r ) + 兰三! z ，- i - # f ( z ) o ， 冗一6 ， 冗， 而且，z ，( 0 ) = z ( r ) = w ，( 0 ) = w ( r ) = 0 ，因此石是问题( 2 1 7 ) 的一个下解由此得 z ( r ) 叫( 7 ) ，t t j ( 冗) z 7 ( r ) 0 ( 2 1 1 5 ) 对任意的0 e 1 2 ，选取 ( a ) g ( s ) 满足0 9 ( s ) f ( s ) 和1 一 竺掣兰芝塑二；2 【g ( 。) 一g ( m ) 】 2 ( 1 2 e ) pp 证毕 i 由上述两个引理可以得到p 1 时，( 2 1 1 ) 解的分类 定理2 1 6 设( s ) 满足门2 纠和伊f ( s ) d s = 1 ，q 满足例则下面的结论成立 f 如果1 p 0 ，问题俾- i 纠至少存在一解 2 如果p = 2 ，令”= 2 1 0 q 1 2 当0 a 2 ，存在a 0 ，当0 a ”时，问题俾_ f f ，无解而且，u u 。入( 肛) = 0 7 8 东南大学硕士学位论文 证明：任取y o 0 f 1 不矢一般性设y o = 0 ，0 q 在y o 的切半回为 z r ”：x l = 0 且 qc z r n ：z 1 o ) 由条件( h ) ，存在两个球q l ，q 2 ( q 1cqcq 2 ) 都与q 相切于y o 点：其 中q i = z r n ：i z y i i r i ，i = 1 ，2 ) 由引理2 1 4 ，在q 1 上w n w m ，在q 上w n 2 w n 应用引理2 1 5 ，我们有 仍一去学一去警一去掣一。 p 们1 、p l p 们1 和 扼：一l i m 螋2 一l i m 型塑一l i m 与螋：以 # - - - + c oq 社d x l # - - - c o 弘d x l # - - - * c oq 棒d x l 从而 一 竺塑 以，一l 血 掣迎：以 0 弘d x lp - - - + o o 弘d - t 1 因为y o o n 是任意点? 所以有 一去上n 等出 仰q i ，忪。 和 一熙去上n 筹d s = 仰q | 由( 2 1 5 ) ，可得 ( i ) 如果0 o z 嘶 令t ，( z ，t ) 三t t ，( z ；p ) ) ，贝0 仇一 一尚= t 肛7 c t ，一锗 第二章稳态解及其稳定性 让p ( t ) 是下面方程 p 他) = 描! 蓝等川0 ) - 伽 ( 2 2 1 ) 的解 如果存在g o 使得 a 入( 肛o ) ，伽 ；g o ) t 正0 ( z ) ， 则p ( t ) 递减的从而u ( z ，t ) 也是递减的并且满足 旷血一若街独 所以 ( z ，t ) 是( 1 2 1 ) 的一个递减的上解 如果存在i t o 使得 入a ( p o ) ，加( z ；p , o ) t 幻( z ) ， 则p ( ) 递增的从而v ( x ，t ) 也是递增的并且满足 舢一赢韵姐 所以u ( z ，t ) 是( 1 2 1 ) 的一个递增的下解 有了以上的准备，就可以讨论问题( 1 2 1 ) 解的渐近性态 定理2 2 1 设0 0 ，( 1 2 1 ) 的解是全局有界的，其稳态解是全局渐近稳 定的 证明：由定理2 1 3 知，对任意固定的a ，问题( 2 1 1 ) 存在唯一的稳态解叫( z ；p 1 ) ，其中a = a ( p 1 ) 设万( ) 满足( 2 2 1 ) 对任意的初值咖( z ) 0 ，选择万( o ) = p 1 使得叫( z ；可o ) 咖( z ) 由于入7 ( p ) 0 ，从而a = 入( p 1 ) 0 都成立，因此t t ，( z ；p 1 ) 是全 局渐近稳定的证毕 _ 如果p 1 ，入( p ) 不再是增函数? 情形比较复杂我们首先考虑问题( 1 2 1 ) 的有界解及其渐 近性态我们需要常微分方程( 2 2 1 ) 关于参数a 的稳定性结果令0 0 ，或者a 7 1 ) = 0 并且肛l 是一个向上的转折点，则p 1 是渐近稳定的 2 如果入7 ( u 1 ) 0 ，对于充分小的e 0 ，当1 1 g o p 1 + e 时，g ( t ) 是递减的并且 g ( t ) 一p 1 当t o o ；另一方面，当p l e 9 0 p 1 时，p ( t ) 是递增的并且p ( t ) 一p l 当t o o 所以“1 是渐近稳定的另外三种情况的证明类似 _ 有了引理2 2 2 ，我们就能讨论问题( 1 2 1 ) 当1 ps2 时解的有界性及其渐近性态 定理2 2 3 设，( s ) 满足n 2 纠和铲l ( s ) d s = 1 ，q 满足例如果1 0 ，对于充分小的 e 0 ，当肛1 g o f t i - t - z 时，u ( t ) 是递减的并且p ( t ) _ p l 当t 0 0 ，因此加( z ；p ( t ) ) 一叫( z ；p 1 ) 当t 一；另一方面，当p 1 一e 加 p 1 时，p ( t ) 是递增的并且p ( t ) _ p 1 当t 0 0 ，因此 t ( z ；p ( 州l t l j ( z ；p 1 ) 当t 叶o o 如果硼( z ；p 1 一e ) 如( z ) 加( z ；p 1 + e ) ，u ( x ，t ) _ t ，( z ；p 1 ) 当 t 0 0 所以硼( z ；p 1 ) 是渐近稳定的 _ 对于p = 2 ，我们有类似的结论，证明类似 第二章稳态解及其稳定性 定理2 2 4 设，( s ) 满足以2 纠和舻f ( s ) d s = l ，q 满足俐如果p = 2 ，则对于任意的 0 ” 这种情况( 1 2 1 ) 没有稳态解，由a ( p ) 的定义，可知 ( 五抛) 如) p p o 因此我们能找到一个关于肛的递增下解t ，= 叫( z ；p ( t ) ) 并且满足u ( z ，t ) 一。 一t 。o ) 所 以u ( x ，t ) 是无界的 ( i i ) a = a + ，( 1 2 1 ) 有唯一的稳态解 记这唯一的稳态解为w + ，存在一个值旷满足w = t t ，( z ；矿) 和 ( 上伽忙) p 萨一 而p p + 时，我们有 ( o s ( 训) 如) p p 对于任意的初值u o ，我们能选取g o 矿使得w 伽( z ；p o ) u o ，因 此可以构造一个关于p 的递增下解t ，= 伽( z ；p ( t ) ) 并且满足u _ 一t 。) 所以t ( z ，t ) 是无界的，且唯一的稳态解t l j + 也是不稳定的 ( i l i ) a ”，( 1 2 1 ) 仅有两个稳态解 我们记这两个稳态解分别为w l ，w 2 ，其中q = 叫( z ；m ) u = l ，2 ) 设弘1 抛：则w l w 2 由入( 肛) 的定义，可知 ( 上触) 出) p p 入，肛 p 胁 再一次，对于任意的初值u o ，我们选取g o w 2 ，我们能选取伽 比使得w ( x ；比o ) u o ，则找到个增加的下解秽并 且满足u _ 0 0 ( t _ t + ) 这种情况，让是无界的最大的稳态解w 2 是不稳定的 ( i v ) 另外的情形2 入 ”，( 1 2 1 ) 至少有三个稳态解或者入= ”，( 1 2 1 ) 至少两个稳态解 我们记( 1 2 1 ) 的稳态解为w 1 = 硼( z ；助) 0 = 1 ，t n ) 设脚满足p 1 p 2 ，则 有t l ，1 w 2 叫m 由a ( p ) 的定义，可知 ( 上伽) 出) p p a ，p 和 ( 上加) 如) p p = 入，p = 以江1 一，m ) 依照情形( i i ) 和( i i i ) ，用类似的方法我们可得到： ( a ) 如果u o w l ，则u w l 当t o 。 ( b ) 如果u o q ( 1 歹m ) ，则u 小于或等于哟并且整体存在 ( c ) 如果w j u o w k ( 1 j k m ) ，则u 保持在屿和w k 之间 ( d ) 如果一1 u o 哟+ 1 u 2 ) ，并且a ( p ) 满足 ( 上伽) 如) p p a ，蜥一t p a ， 脚 p 蜥+ 1 ， 或者u o a ，p p a ， p 助 和 ( 上，( 埘) 如) p p a ，脚 0 ，入( p ) = ( 如，) 出) 2 p t l j ( z ；肋) ，则叫( z ；p ( t ) ) 为( 3 1 1 ) 关于t 非减的下解，且叫( z ；p ( t ) ) _ o 。 一t ) q ) 本章主要的目的是构造一个整体存在的上解v ( x ，t ) 用来证明( 3 1 1 ) 的解札( z ，t ) 无限时 y ( z ，t ) = t ( 暑( z ，t ) ；p ) ) ，。s d ( z ) e ) ，z q ，t 。 ( 3 1 2 ) 【y ( z ，t ) = m ( ) = m a y o 0 ， 这里! ，( z ，t ) = d ( x ) e ( t ) 1 ，( t ) 0 是待定函数，而t 7 ( 可( z ，) ；p ( ) ) 满足 卜 卜0 吣虾1 扮0 ( 3 1 3 ) i - 叫( o ；p ( t ) ) = w f ( 1 ；p ( t ) ) = 0 ，t 0 显然，m = m a x o ，1 j 叫( 耖；弘( z ) ) = ( 1 i p ( ) ) 令r = d ( z ) ，则有 伽r r + 器f ( 叫) = 0 。r e ) ，t 0 (314)d l 伽( o ) = 石w 【r 。( t ) = o ，t o 卜7 忘蕊a dd w 芝0 0 5 f t 翟0 嚣篡0 江， 【叫( 耖( 础) ；p ( t ) ) = ，z ，t ，攀l 健( t ) = l 矿 i 菩叫一八 卜 仉 坳 塑 1 4东南大学硕士学位论文 由w 的定义，显然有y 和v y 在d ( z ) 号( t ) 处连续我们先来考查p 与埘( z ；p ) 的最 大值m 之间的关系由引理2 1 2 知，m 关于p 单增且当p _ 。o 时，m _ 0 0 另外? 我们 能选择p ( o ) ( 或等价于m ( o ) ) 充分大使得v ( z ，0 ) 咖( z ) ( 这种选择是可能的因为t i ，_ 0 0 当 肛_ ，并假设如( z ) ? u ：( z ) 是有界的) 为了去验证v ( x ，t ) 是一个上解j 我们需要做一些准备 工作 由( 3 1 4 ) 式，我们得到 而丽w rf ( i = 孚， ( 3 1 6 ) 、f ( 叫) 一 ) e 。 、。 这里f ( 8 ) = 伊，( 盯) 打 0 由上式得 厕= o m 志 ( 3 ”) 当s m 时，我们有f ( s ) 一f ( m ) = ，( p ) ( m s ) ，口( s ，m ) 再由，( s ) f o m ( m - 百s ) - f 一- ( 一s ) d s ：厂1 一! 垫! 二生：d s m 。m j o ( m s ，( m s ) ) f 。 考虑到s ，( s ) 一o ( s o o ) ，因此l 妇“。o 。别m = 。o ，即 l i mm 、2 p = 0 (3111)m_ o o v。 、 由参考文献【1 0 】知，如果a q 是充分光滑的，则在边界附近的邻域内d ( z ) 是光滑的并且 存在正常数k 使得i a d i k 在此邻域内成立对任意的( t ) 0 ，定义q 。= z q ：0 0 和l i r a 。o o p ( s ) ，( s ) = c o 0 成立例如( s ) = e - 8 ，或l i r a i n f ，o o9 ( s ) c 0 和 1 6 东南大学硕士学位论文 l i r a i n f s _ p ( s ) ，( s ) s = c i o ( a 2 成立i 例如f ( s ) = b ( i + s ) 1 ，b o ，则函数 v ( x ，t ) 是问题p f i ，的一个上解，并且v ( x ，t ) 一( t o o ) ，z q 证明：第一种情况：设，满足l i m i n f 。9 ( s ) c 0 和l i r a p ( s ) ，( s ) = c o 0 当 d ( z ) 2e ( t ) ( z q ) 时，利用关系式( 3 1 i 2 ) ，我们得到 刑m - a v 一器 猢一而丽i f ( m 而耀器f 赢( s ) d s 磊t o n 蕊l g - 警) 一 ( i q q 。 ) + i a 叭俜、 一e 2 2 抽一殍杂端粝 猢一碍蕾糌哥“”引 选择k 1 = ( c o l a l ) c s k l o f 2 1 ) 和e ( ) = ( k 1 m ) m 因此，当m 1 时，我们有0 1，ml， 4 2 i a q i f ( m ) 一聒) 一l 一。 所以由上式可得 坠4 v 丝2 e 1 0 罂1 2 + j 厂o m 邝) d s 1 ，m 1 选取m ( t ) 满足 加) = 笔铲，川 由此我们得到 刑) 聊) - 哗铲_ 0 ，m 1 对f 3 2 2 1 式积分我们有 蔗揣如乱 另外，考虑到l i r a 。o op ( s ) ，( 5 ) = c o ，我们得到 熹1 c oj 严m ( o ) 三d s 0 存在且m ( t ) _ o 。 一o o ) 当0 0 ，丘( t ) 0 ，毒( t ) 0 ，m 1 第二种情况：设，满足t i m i n f 。o o p ( 5 ) ，( s ) s = q o ( q 2 ) 和l k n i n f 。- 9 ( s ) c 0 取e ( t ) 是一个充分小的正常数使得在q 。内成立a d 0 并满足 因为 可得 l q q 。i 2 k e 1 屈i a q iq 7 c 。 当d ( x ) q ) 时，我们有 取m ( t ) 满足 厂( y ) 必( t 卜丽而而丽2 而 a f l l 2 j 丽 ( m ) 丽丽 ( i q q 。i ，( m ) + e i a q i 、芸、f ，( 5 ) 幽一驴l a q i k 掣) 2 抛一殍痒端 m ( t ) 一 p ( m ) ，( m ) 三2r 幽v 磊监l a f l 巡l + 胪饰) d s 一亟锷业) ； 猢一硒拦等而刈耕 絮铲= 溉c ( 1 - f m f ( s ) d s ) 乩 而矿。一 1 ， 型监c 丝+ o m ，( s ) d s l 十 八s j d s l f 4 ( t ) = i z ( m r ) f ( m ) ，t 。 ( 3 2 3 ) 1 8 东南大学硕士学位论文 因此，当d ( x ) e 和m 1 ，我们有f ( v ) 0 对( 3 2 3 ) 积分，可得 m 、( t ，赢拈t 由( 3 1 9 ) ，我们司得 f 2t m ( t ) 1 虿厶( o ) 。， 由此推得，m ( t ) 对任意的t 0 存在且m ( t ) 一。o ( t 一。o ) 当0sd ( x ) 时，我们有 刑) = 唧( 咖脚；俐) 一了a d 面d w + 知) - 勰 掣一硒岿等而地胁1 铲 e 2 ( 型尘算丛坐+ ，( 5 ) d s ) 2 这样，在每一种情况下，只要取m ( o ) 充分大，v ( x ，t ) 都是问题( 3 1 1 ) 的一个整体存在的上 解证毕 - 本章的结果可总结为下述定理 定理3 2 2 如果f ( s ) 满足定理了2 j 中的假设，q 满足例则对任意的初值u o ，问题p j 纠 的解u ( x ，t ) 无限时刻整体爆破，即当t 一时，u ( x ，t ) 一。，坳q 第四章爆破及爆破的渐近性态 4 1 爆破性质 定理4 1 1 设f ( s ) 满足f ，j 2 纠和伊f ( s ) d s = 1 ，q 满足例如果p = 2 ，入 = 2 1 a v t l 2 ，则 证明：由定理2 1 6 知，在a a + = 2 l a q 2 和铲f ( s ) d s = 1 成立的情况下，( 1 2 1 ) 没有稳态解 g ( t ) 的递增下解v ( x ，t ) = 叫( z ；p ( t ) ) ，并且v ( x ，t ) _ ( t t o o ) 下面要证对于任意的初值 令d ( x ) = d i s t ( x ，a q ) ，对任意的s ( t ) 0 ，定义q 。= z q ：0 0 是一个待定函数：而钾( 剪( 。? t ) ；p ( ) ) 满足 叫w + p ( 功，( 叫) = o ， o 0 w r r + 嚣，f ( 硼) = 。，。r e ( t ) ，t 。， ( 4 1 3 ) = 缸刊- o ，洲 p 卜一譬等+ 舯一o ，吲掣巩圳， 心“， 【叫( 耖( 州) 洲t ) ) = o ，z mt o ，警i r - 印) = o 赢f ( m = 孚， ( 4 ) 、f ( 叫) 一 ) e 。 、 这里f ( s ) = 伊，( 盯) 打 0 积分( 4 1 3 ) 得 帅) = 孚以m m ) d s 东南大学硕士学位论文 他) d r = 鬻帅) 层仍丽纠t ) 层 ( 4 ) 由定积分定义和( 4 1 6 ) ，我们有 上，( y ) 如= 上n 。f ( m ) d x + 上。，( 叫) 如 1 1 2 1 f ( m ) + l a f 2 l “，( 加) d r ，0 卵似m ) 伸啡 丢= 铜铡，m 刊i n 丽l + 南) 由于a a + = 2 1 a f l l 2 ，我们取一常数o r l qj ( 镢一v s l a f 2 1 ) ，显然 3 忙面f 蒜一万1 o 令e ( t ) = a x - f i f ( m ) ，由( 3 1 1 0 ) 知，当m _ 。o 时，e ( t ) _ 0 ( 4 1 5 ) 在( o ，r ) 上积分，可得 j 厂。埘志f ( m = 孚= 嵩a f ( m ( 4 1 7 )o ，- 一一 一 i t ij f ( s ) 一 ) ) 、7 当z q q 。b e ， 尸( y ) = 庇一揣府一五西丽下弓彳五7 灭a 亏磊耵 庇一厕a 。， 这里我们假设庇a f ( m ) 当z q 。时，我们首先对( 4 1 7 ) 关于t 求导并得到 一一船删m ) _ f ( 冽圭z 南 + 去，( m ) 财( t ) f ( 伽) 一f ( m ) 1 z 【f ( s ) 一f ( m ) 】_ 幽：= a + b 对于a ，利用( 3 1 8 ) 式，我们有 4 一器棚即) _ f ( 刎上 赢 一船砌