高中数学选修23人教a教案导学案121排列的概念.doc

排列的概念【学习目标】1.了解排列、排列数的定义；掌握排列数公式及推导方法；2. 能用“树形图”写出一个排列问题的所有的排列，并能运用排列数公式进行计算。3.通过实例分析过程体验数学知识的形成和发展，总结数学规律，培养学习兴趣。 重点：排列的定义、排列数公式及其应用难点：排列数公式的推导【教学过程】合作探究一： 排列的定义我们看下面的问题（1）从红球、黄球、白球三个小球中任取两个，分别放入甲、乙盒子里 （2）从10名学生中选2名学生做正副班长；（3）从10名学生中选2名学生干部；上述问题中哪个是排列问题？为什么？概念形成1、元素：我们把问题中被取的对象叫做元素2、排列：从个不同元素中，任取（）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。说明：（1）排列的定义包括两个方面：取出元素，按一定的顺序排列（与位置有关） （2）两个排列相同的条件：元素完全相同，元素的排列顺序也相同合作探究二 排列数的定义及公式3、排列数：从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示议一议：“排列”和“排列数”有什么区别和联系？4、排列数公式推导探究：从n个不同元素中取出2个元素的排列数是多少？呢？呢？（）说明：公式特征：（1）第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是，共有个因数； （2）即学即练:1.计算 (1）； (2） ；(3)2.已知，那么 3且则用排列数符号表示为( ) 例1 计算从这三个元素中，取出3个元素的排列数，并写出所有的排列。 点评：在写出所要求的排列时，可采用树状图或框图一一列出，一定保证不重不漏。变式训练：由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的三位数？并写出所有的排列。5 、全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的全排列。此时在排列数公式中， m = n全排列数：（叫做n的阶乘）. 即学即练:口答（用阶乘表示）：（1） （2） （3）想一想：由前面联系中（ 2 ) ( 3 ）的结果我们看到，和有怎样的关系？那么，这个结果有没有一般性呢？排列数公式的另一种形式：另外，我们规定 0! =1 .想一想：排列数公式的两种不同形式，在应用中应该怎样选择？例2求证： 点评：(1)熟记两个公式；（2）掌握两个公式的用途；(3)注意公式的逆用。思考：你能用计数原理直接解释例2中的等式吗？（提示：可就所取的m个元素分类，分含某个元素a和不含元素a两类）变式训练：已知，求的值。（n=15）归纳总结：1、顺序是排列的特征；2、两个排列数公式的用途：乘积形式多用于计算，阶乘形式多用于化简或证明。【当堂检测】 1若，则 （ ） 2若，则的值为 （ ） 3 已知，那么 ；4一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假定每股岔道只能停放1列火车）？答案：1、b；2、a；3、8；4、1680。课后练习与提高 1下列各式中与排列数相等的是（ ）（a） （b）n(n1)(n2)(nm) （c） （d）2若 nn且 n20，则(27n)(28n)(34n)等于（ ） （a） （b） （c） （d）3.已知，则n= 。4.计算 。组合【学习目标】： （1）理解组合的定义，掌握组合数的计算公式 （2）正确认识组合与排列的区别与联系 （3）会解决一些简单的组合问题【重难点】：掌握组合定义及与排列的区别，会计算组合数情景导入问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？检查预习合作探究合作探究：探究1：组合的定义？一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.探究2：排列与组合的概念有什么共同点与不同点？ 不同点: 排列与元素的顺序有关， 而组合则与元素的顺序无关.共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素” 问题三：判断下列问题是组合问题还是排列问题? (1)设集合a=a,b,c,d,e，则集合a的含有3个元素的子集有多少个?(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票? 组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果.探究3：写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合 每一个组合又能对应几个排列？交流展示精讲精练例1判断下列问题是排列问题还是组合问题？（1）a、b、c、d四支足球队之间进行单循环比赛，共需要多少场比赛？（2）a、b、c、d四支足球队争夺冠亚军，有多少场不同的比赛？变式训练：已知abcde五个元素，写出取出3个元素的所有组合例2计算下列各式的值（1） （2）变式训练：（1）解方程 （2）已知反馈测评1、判断下列语句是排列问题还是组合问题(1)某人射击8次，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种?(2)某人射击8次，命中4枪，且命中的4枪均为3枪连中，不同的结果有多少种?2、计算（ ）a120 b240 c60 d4803、已知=10，则n=（ ）a10 b5 c3 d24、如果，则m=（ ）a6 b7 c8 d91、给出下面几个问题，其中是组合问题的有（ ）由1,2,3,4构成的2个元素的集合 五个队进行单循环比赛的分组情况由1,2,3组成两位数的不同方法数由1,2,3组成无重复数字的两位数a b c d2、的不同值有（ ）a1个 b2个 c3个 d4个3、已知集合a=1,2,3,4,5,6，b=1,2，若集合m满足bma，则这样的集合m共有（ ）a12个 b13个 c14个 d15个4、已知 5、若x满足，则x= 6、已知参考答案：1c 2b 3c 4 m=14，n=34 5 2,3,4,5,6 n=2组合与组合数公式一、学习目标（1）理解组合的定义，掌握组合数的计算公式（2）正确认识组合与排列的区别与联系（3）会解决一些简单的组合问题学习重难点：组合与排列的区分二、学习过程问题探究情境问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？合作探究：探究1：组合的定义？一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.探究2：排列与组合的概念有什么共同点与不同点？ 不同点: 排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关.共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素” 问题三：判断下列问题是组合问题还是排列问题? (1)设集合a=a,b,c,d,e，则集合a的含有3个元素的子集有多少个?(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票? 组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果.探究3：写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合 abc ， abd ， acd ，bcd 每一个组合又能对应几个排列？组合排列abcabdacdbcdabc bac cabacb bca cbaabd bad dabadb bda dbaacd cad dacadc cda dcabcd cbd dbcbdc cdb dcb问题四：你能得出组合数的计算公式吗？= = = 规定： 典例分析例1判断下列问题是排列问题还是组合问题？（1）a、b、c、d四支足球队之间进行单循环比赛，共需要多少场比赛？（2）a、b、c、d四支足球队争夺冠亚军，有多少场不同的比赛？变式训练1 已知abcde五个元素，写出取出3个元素的所有组合例2计算下列各式的值（1）（2）变式训练2 （1）解方程 （2）已知三、反思总结1区分组合与排列 2组合数的计算公式的说明 四、当堂检测1、计算（ ）a120 b240 c60 d4802、已知=10，则n=（ ）a10 b5 c3 d23、如果，则m=（ ）a6 b7 c8 d9组合应用题【学习目标】： （1）理解组合的定义，掌握组合数的计算公式 （2）会解决一些简单的组合问题 （3）体会简单的排列组合综合问题【重难点】：掌握组合数及简单组合题情景导入问题一：高一（1）班有30名男生，20名女生，现要抽取6人参加一次有意义的活动，问一下条件下有多少种不同的抽法？只在男生中抽取男女生各一半女生至少一人问题二：10个不同的小球，装入3个不同的盒子中，每盒至少一个，共有多少种装法？合作探究：完成问题一问题二的方法总结 交流展示精讲精练例1 六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端； （2）甲、乙必须相邻； （3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙之间间隔两人； （5）甲、乙站在两端； （6）甲不站左端，乙不站右端.变式练习1.、7名学生站成一排，下列情况各有多少种不同的排法？（1）甲乙必须排在一起；（2）甲、乙、丙互不相邻；（3）甲乙相邻，但不和丙相邻.例2平面上给定10个点，任意三点不共线，由这10个点确定的直线中，无三条直线交于同一点（除原10点外），无两条直线互相平行。求：这些直线所交成的点的个数变式练习2、a, b是异面直线；a上有6个点，b上有7个点，求这13个点可确定平面的个数反馈测评1、从4名男生和3名女生中选4人参加某个座谈会，若这4个人中必须既有男生又有女生，则不同的选法有（ ）a140b120 c35d34 2、从5位男教师和4位女教师中选出3位教师派到3个班担任班主任(每班一位班主任)，要求这3位班主任中男女教师都要有，则不同的选派方案共有（ ）a210种b420种 c630种d840种 3、（09天津卷）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）种。排列组合综合应用学习目标：1、掌握排列和组合数的各个性质并能熟练运用。2、认识分组分配和分组组合问题的区别。3、能够区分和解决分组分配和分组组合问题。重点：熟练掌握排列和组合数的各个性质并能熟练运用难点：能够区分和解决分组分配和分组组合问题。合作探究、精讲点拨。1.分组分配问题探究：将3件不同的礼品（1）分给甲乙丙三人，每人各得1件，有多少种分法？（2）分成三堆，一堆一件，有几种分法？答案：（1） (2)1种 （4）因为没有规定谁得1件，谁得2件和3件，那么谁都可以得1，2，或3件，故应比（2）扩大倍，则一共有种。（5）解法一：第一堆有种分法，第二堆有种分法，第三堆有种分法，所以一共有种分法，但因为堆与堆之间没有区别，故每种情况只能算一种情况，因此，共有种分法。解法二：设6件礼品分3堆有x种分法，在平均分成3堆后再分给三个人，又有种分法，故将6件礼品分给三个人，每人2件共有x种分法，再由（1）知它应等于种，列方程得x，可得x 。点评：本题中的每一个小题都提出了一种类型的问题，搞清类型的归属对今后的解题大有裨益。其中：均匀不定向分配问题非均匀定向分配问题非均匀不定向分配问题非均匀分配问题均匀分配问题。这是一个典型的问题，要认真体会。变式训练1、按下列要求把12个人分成3个小组，各有多少种不同的分法？（1）各组人数分别为2，4，6人；（2）平均分成3个小组；（3）平均分成3个小组，进入3个不同车间。简答：（1）=13860，（2）=5775，（3）分两步：第一步平均分成3组，第二步让3个小组分别进入不同车间，故有=34650种不同的分法。2分组组合问题。 例二：6名男医生，4名女医生选3名男医生，2名女医生，让他们到5个不同的地区巡回医疗，共有多少种不同的分派方法？把10名医生分成2组，每组5人且每组要有女医生，有多少种不同的分派方法？若将这两组医生分派到两地去，并且每组选出正，副组长2人，又有多少种方法？解析：取部分元素进行排列，一定要先取后排。解：（1）法1：分三步：从6名男医生中选3名 从4名女医生中选2名 对选出的5人全排列，故一共有种 法2：分两步：从5个地区中选出3个地区，再将3个地区的工作分配给6个男医生中的3个，再将剩下的2个地区的工作分给4个女医生中的2个，故一共（2）医生的选法有两类： 第一类：一组女医生1人男医生4人，另一组女医生3人男医生2人，因为组合组之间没有顺序，故一共有种不同的选法。 第二类：两组都是3男2女，考虑两组没有顺序，因此有不同的选法，因此医生不同的选法总数为. 分派到两地种方法，每个小组选出正副组长各有种选法，故一共有。点评：对于排列组合的综合题，常采用先组合（选出元素），再排列（将选出的这些元素按要求进行排序）。变式训练2、从6个男同学和4个女同学中，选出3个男同学和2个女同学分别承担a、b、c、d、e五项不同的工作，一共有多少种分配工作的方法？简答：一般方法是先选后排，按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程分步，故有=14400种方法。3. 相同元素的分组分配问题例3：某校高二年级有6个班级，现要从中选出10人组成高二年级女子篮球队参加县高中年级篮球比赛，且规定每班至少要选1人参加，这10个名额有多少种不同的分配方案？ 解析：名额分配问题，名额之间没有区别，可以采用隔板法。 解：因为名额之间没有区别，所以可以把它们视作是排成一排的10个相同的小球，要把这10个小球分开成6段，且每段至少一个小球，为达到这个目的，我们把这10个球拉开，每两个球之间空出一个位置，两端不留位置，共9个位置，现在要把这9个位置中放入5个隔板，则每一种放法把这10个球都能分成6段，得到的结果对应于一种分配方案，故有种放法。点评：相同元素的分配问题，通常可以采用隔板法。 例4. 求方程x+y+z=10的正整数解的个数。 解析：可以将方程解的问题转化为相同元素的分配问题。解：将10个球排成一排，球与球之间形成9个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x、y、z之值，则隔法与解的个数之间建立了一一对立关系，故解的个数为=36（个）。 点评：该题的转化是关键，将方程的解转化为小球的分配的问题，使问题豁然开朗；既好理解，又便于计算。在做题时注意体会。变式训练3：20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个不同盒子中，要求每个盒子里的球数不少于该盒子的编号数，问有多少种不同的方法。简答：由于每个盒子里的球数不少于编号数，则在2号盒子内放入1个球，3号盒子放入2个球，然后把余下的17个小球分成3份放入3个盒子中，相当于16个空位放2个隔板，故一共种不同的方法。 排列组合综合应用学习目标：（1）能够熟练判断所研究问题是否是排列或组合问题；（2）进一步熟悉排列数、组合数公式的计算技能；（3）熟练应用排列组合问题常见解题方法；（4）进一步增强分析、解决排列、组合应用题的能力。重点：熟练掌握排列和组合数的各个性质并能熟练运用难点：解题思路的分析。合作探究、精讲点拨。1、能排不能排问题(即特殊元素在特殊位置上有特别要求)例1（1）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？(2)7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(3)7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？(4)7位同学站成一排，其中甲不能在排头、乙不能站排尾的排法共有多少种？解析: 解决此类问题的关键是特殊元素或特殊位置优先.或使用间接法 解：(1)先考虑甲站在中间有1种方法，再在余下的6个位置排另外6位同学，共种方法；(2)先考虑甲、乙站在两端的排法有种，再在余下的5个位置排另外5位同学的排法有种，共种方法；(3) 先考虑在除两端外的5个位置选2个安排甲、乙有种，再在余下的5个位置排另外5位同学排法有种，共种方法；本题也可考虑特殊位置优先,即两端的排法有,中间5个位置有种，共种方法；(4)分两类乙站在排头和乙不站在排头，乙站在排头的排法共有种，乙不站在排头的排法总数为：先在除甲、乙外的5人中选1人安排在排头的方法有种，中间5个位置选1个安排乙的方法有，再在余下的5个位置排另外5位同学的排法有，故共有种方法；本题也可考虑间接法，总排法为，不符合条件的甲在排头和乙站排尾的排法均为，但这两种情况均包含了甲在排头和乙站排尾的情况，故共有种点评：上述问题归结为能排不能排问题，从特殊元素和特殊位置入手解决,抓住了问题的本质，使问题清晰明了，解决起来顺畅自然变式训练1、某天课表共六节课，要排政治、语文、数学、物理、化学、体育共六门课程，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，共有多少种不同的排课方法？ 简答：对特殊元素数学和体育进行分类解决（1）数学、体育均不排在第一节和第六节，有种，其他有种，共有种；（2）数学排在第一节、体育排在第六节有一种，其他有种，共有种；（3）数学排在第一节、体育不在第六节有种，其他有种，共有种；（4）数学不排在第一节、体育排在第六节有种，其他有种，共有种；所以符合条件的排法共有种本题也可采用间接排除法解决不考虑任何限制条件共有种排法，不符合题目要求的排法有：（1）数学排在第六节有种；（2）体育排在第一节有种；考虑到这两种情况均包含了数学排在第六节和体育排在第一节的情况种所以符合条件的排法共有种变式训练2、（2005北京卷）五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有( )（a）种 （b）种 （c）种 （d）种简答：本题在解答时将五个不同的子项目理解为5个位置，五个工程队相当于5个不同的元素，这时问题可归结为能排不能排排列问题(即特殊元素在特殊位置上有特别要求的排列问题)，先排甲工程队有，其它4个元素在4个位置上的排法为种，总方案为种故选(b)2相邻不相邻问题(即某些元素不能相邻的问题)例2、 7位同学站成一排，(1)甲、乙和丙三同学必须相邻的排法共有多少种？(2)甲、乙和丙三名同学都不能相邻的排法共有多少种？（3）甲、乙两同学间恰好间隔2人的排法共有多少种？解析：相邻排列组合问题一般采用大元素法,即将相邻的元素“捆绑”作为一个元素，再与其他元素进行排列，解答时注意“释放”大元素，也叫“捆绑法”不相邻排列问题(即某两或某些元素不能相邻的排列问题)一般采用“插空法”。解：(1)第一步、将甲、乙和丙三人“捆绑”成一个大元素与另外4人的排列为种，第二步、“释放”大元素，即甲、乙和丙在“捆绑”成的大元素内的排法有种，所以共种；(2)第一步、先排除甲、乙和丙之外4人共种方法，第二步、甲、乙和丙三人排在4人排好后产生的5个空挡中的任何3个都符合要求，排法有种，所以共