高中数学模拟试题(附答案及解析).doc

菁优网 高中数学模拟试题（附答案及解析）一、选择题（共10小题）1（2014衡阳三模）复数z=1+i，为z的共轭复数，则=（）a2ibicid2i2（2014上海）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）a1，2b1，0c1，2d0，23（2014广西模拟）将边长为a的正方形abcd沿对角线ac折起，使得bd=a，则三棱锥dabc的体积为（）abcd4（2014河南）如图，圆o的半径为1，a是圆上的定点，p是圆上的动点，角x的始边为射线oa，终边为射线op，过点p做直线oa的垂线，垂足为m，将点m到直线op的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在0，的图象大致为（）abcd5（2014包头一模）设函数，则f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），则（）ay=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称by=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称cy=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称dy=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称6（2014太原一模）复数的共轭复数是（）abcidi7（2014广西）已知双曲线c的离心率为2，焦点为f1、f2，点a在c上，若|f1a|=2|f2a|，则cosaf2f1=（）abcd8（2014上海二模）已知正四棱锥sabcd中，sa=2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）a1bc2d39（2014重庆）已知函数f（x）=，且g（x）=f（x）mxm在（1，1内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（）a（，2（0，b（，2（0，c（，2（0，d（，2（0，10（2013铁岭模拟）设sn为等差数列an的前n项和，若a1=1，公差d=2，sk+2sk=24，则k=（）a8b7c6d5二、填空题（共5小题）（除非特别说明，请填准确值）11（2014乌鲁木齐二模）直三棱柱abca1b1c1的各顶点都在同一球面上，若ab=ac=aa1=2，bac=120，则此球的表面积等于 _12（2014湖南）如图所示，正方形abcd与正方形defg的边长分别为a，b（ab），原点o为ad的中点，抛物线y2=2px（p0）经过c，f两点，则=_13（2014云南一模）已知圆c过双曲线=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是_14（2014上海）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为_15（2014上海）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为_三、解答题（共6小题）（选答题，不自动判卷）16（2014江西）如图，四棱锥pabcd中，abcd为矩形，平面pad平面abcd（1）求证：abpd；（2）若bpc=90，pb=，pc=2，问ab为何值时，四棱锥pabcd的体积最大？并求此时平面bpc与平面dpc夹角的余弦值17（2014江西模拟）设数列an的前n项和为sn，已知a1=1，sn+1=4an+2（nn*）（1）设bn=an+12an，证明数列bn是等比数列；（2）求数列an的通项公式18（2014四川）三棱锥abcd及其侧视图、俯视图如图所示，设m，n分别为线段ad，ab的中点，p为线段bc上的点，且mnnp（1）证明：p是线段bc的中点；（2）求二面角anpm的余弦值19（2014天津）设f（x）=xaex（ar），xr，已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1x2（）求a的取值范围；（）证明：随着a的减小而增大；（）证明x1+x2随着a的减小而增大20（2014陕西）设函数f（x）=lnx+，mr（）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（）讨论函数g（x）=f（x）零点的个数；（）若对任意ba0，1恒成立，求m的取值范围21（2014江苏）已知函数f0（x）=（x0），设fn（x）为fn1（x）的导数，nn*（1）求2f1（）+f2（）的值；（2）证明：对任意nn*，等式|nfn1（）+fn（）|=都成立参考答案与试题解析一、选择题（共10小题）1（2014衡阳三模）复数z=1+i，为z的共轭复数，则=（）a2ibicid2i考点：复数代数形式的混合运算菁优网版权所有专题：计算题分析：求出复数z的共轭复数，代入表达式，求解即可解答：解：=1i，所以=（1+i）（1i）1i1=i故选b点评：本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型2（2014上海）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）a1，2b1，0c1，2d0，2考点：分段函数的应用菁优网版权所有专题：函数的性质及应用分析：当a0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，当a0时，解不等式：a2a20，得1a2，问题解决解答：解；当a0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，当a0时，f（0）=a2，由题意得：a2x+a，解不等式：a2a20，得1a2，0a2，故选：d点评：本题考察了分段函数的问题，基本不等式的应用，渗透了分类讨论思想，是一道基础题3（2014广西模拟）将边长为a的正方形abcd沿对角线ac折起，使得bd=a，则三棱锥dabc的体积为（）abcd考点：棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有专题：计算题分析：取ac的中点o，连接do，bo，求出三角形dob的面积，求出ac 的长，即可求三棱锥dabc的体积解答：解：o是ac中点，连接do，boadc，abc都是等腰直角三角形 do=b0=，bd=abdo也是等腰直角三角形 doac，dobo do平面abc do就是三棱锥dabc的高 sabc=a2三棱锥dabc的体积：故选d点评：本题考查棱锥的体积，是基础题4（2014河南）如图，圆o的半径为1，a是圆上的定点，p是圆上的动点，角x的始边为射线oa，终边为射线op，过点p做直线oa的垂线，垂足为m，将点m到直线op的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在0，的图象大致为（）abcd考点：抽象函数及其应用菁优网版权所有专题：三角函数的图像与性质分析：在直角三角形omp中，求出om，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f（x）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择解答：解：在直角三角形omp中，op=1，pom=x，则om=|cosx|，点m到直线op的距离表示为x的函数f（x）=om|sinx|=|cosx|sinx|=|sin2x|，其周期为t=，最大值为，最小值为0，故选c点评：本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用5（2014包头一模）设函数，则f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），则（）ay=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称by=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称cy=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称dy=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称考点：正弦函数的对称性；正弦函数的单调性菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：利用辅助角公式（两角和的正弦函数）化简函数f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），然后求出对称轴方程，判断y=f（x）在（0，）单调性，即可得到答案解答：解：因为f（x）=sin（2x+）+cos（2x+）=sin（2x+）=cos2x它的对称轴方程可以是：x=；所以a，c错误；函数y=f（x）在（0，）单调递减，所以b错误；d正确故选d点评：本题是基础题，考查三角函数的化简，三角函数的性质：对称性、单调性，考查计算能力，常考题型6（2014太原一模）复数的共轭复数是（）abcidi考点：复数代数形式的混合运算菁优网版权所有专题：计算题分析：复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为a+bi（a，br）的形式，然后求出共轭复数，即可解答：解：复数=i，它的共轭复数为：i故选c点评：本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，共轭复数的概念，常考题型7（2014广西）已知双曲线c的离心率为2，焦点为f1、f2，点a在c上，若|f1a|=2|f2a|，则cosaf2f1=（）abcd考点：双曲线的简单性质菁优网版权所有专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据双曲线的定义，以及余弦定理建立方程关系即可得到结论解答：解：双曲线c的离心率为2，e=，即c=2a，点a在双曲线上，则|f1a|f2a|=2a，又|f1a|=2|f2a|，解得|f1a|=4a，|f2a|=2a，|f1f2|=2c，则由余弦定理得cosaf2f1=，故选：a点评：本题主要考查双曲线的定义和运算，利用离心率的定义和余弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算能力8（2014上海二模）已知正四棱锥sabcd中，sa=2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）a1bc2d3考点：棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：设出底面边长，求出正四棱锥的高，写出体积表达式，利用求导求得最大值时，高的值解答：解：设底面边长为a，则高h=，所以体积v=a2h=，设y=12a4a6，则y=48a33a5，当y取最值时，y=48a33a5=0，解得a=0或a=4时，体积最大，此时h=2，故选c点评：本试题主要考查椎体的体积，考查高次函数的最值问题的求法是中档题9（2014重庆）已知函数f（x）=，且g（x）=f（x）mxm在（1，1内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（）a（，2（0，b（，2（0，c（，2（0，d（，2（0，考点：分段函数的应用菁优网版权所有专题：函数的性质及应用分析：由g（x）=f（x）mxm=0，即f（x）=m（x+1），作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论解答：解：由g（x）=f（x）mxm=0，即f（x）=m（x+1），分别作出函数f（x）和y=g（x）=m（x+1）的图象如图：由图象可知f（1）=1，g（x）表示过定点a（1，0）的直线，当g（x）过（1，1）时，m此时两个函数有两个交点，此时满足条件的m的取值范围是0m，当g（x）过（0，2）时，g（0）=2，解得m=2，此时两个函数有两个交点，当g（x）与f（x）相切时，两个函数只有一个交点，此时，即m（x+1）2+3（x+1）1=0，当m=0时，x=，只有1解，当m0，由=9+4m=0得m=，此时直线和f（x）相切，要使函数有两个零点，则m2或0m，故选：a点评：本题主要考查函数零点的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法10（2013铁岭模拟）设sn为等差数列an的前n项和，若a1=1，公差d=2，sk+2sk=24，则k=（）a8b7c6d5考点：等差数列的前n项和菁优网版权所有专题：计算题分析：先由等差数列前n项和公式求得sk+2，sk，将sk+2sk=24转化为关于k的方程求解解答：解：根据题意：sk+2=（k+2）2，sk=k2sk+2sk=24转化为：（k+2）2k2=24k=5故选d点评：本题主要考查等差数列的前n项和公式及其应用，同时还考查了方程思想，属中档题二、填空题（共5小题）（除非特别说明，请填准确值）11（2014乌鲁木齐二模）直三棱柱abca1b1c1的各顶点都在同一球面上，若ab=ac=aa1=2，bac=120，则此球的表面积等于 20考点：球内接多面体菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：通过已知体积求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为o，球心为o，在rtobo中，求出球的半径，然后求出球的表面积解答：解：在abc中ab=ac=2，bac=120，可得，由正弦定理，可得abc外接圆半径r=2，设此圆圆心为o，球心为o，在rtobo中，易得球半径，故此球的表面积为4r2=20故答案为：20点评：本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力12（2014湖南）如图所示，正方形abcd与正方形defg的边长分别为a，b（ab），原点o为ad的中点，抛物线y2=2px（p0）经过c，f两点，则=考点：直线与圆锥曲线的关系菁优网版权所有专题：计算题分析：可先由图中的点与抛物线的位置关系，写出c，f两点的坐标，再将坐标代入抛物线方程中，消去参数p后，得到a，b的关系式，再寻求的值解答：解：由题意可得，将c，f两点的坐标分别代入抛物线方程y2=2px中，得a0，b0，p0，两式相比消去p得，化简整理得a2+2abb2=0，此式可看作是关于a的一元二次方程，由求根公式得，取，从而，故答案为：点评：本题关键是弄清两个正方形与抛物线的位置关系，这样才能顺利写出c，f的坐标，接下来是消参，得到了一个关于a，b的齐次式，应注意根的取舍与细心的计算13（2014云南一模）已知圆c过双曲线=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是考点：双曲线的简单性质菁优网版权所有专题：计算题分析：由双曲线的几何性质易知圆c过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆c的圆心的横坐标为4故圆心坐标为（4，）由此可求出它到双曲线中心的距离解答：解：由双曲线的几何性质易知圆c过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆c的圆心的横坐标为4故圆心坐标为（4，）它到中心（0，0）的距离为d=故答案为：点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时注意圆的性质的应用14（2014上海）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为（，2考点：分段函数的应用；真题集萃菁优网版权所有专题：分类讨论；函数的性质及应用分析：可对a进行讨论，当a2时，当a=2时，当a2时，将a代入相对应的函数解析式，从而求出a的范围解答：解：当a2时，f（2）=24，不合题意；当a=2时，f（2）=22=4，符合题意；当a2时，f（2）=22=4，符合题意；a2，故答案为：（，2点评：本题考察了分段函数的应用，渗透了分类讨论思想，本题是一道基础题15（2014上海）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（，2考点：分段函数的应用菁优网版权所有专题：函数的性质及应用分析：分别由f（0）=a，x2，ax+综合得出a的取值范围解答：解：当x=0时，f（0）=a，由题意得：ax+，又x+2=2，a2，故答案为：（，2点评：本题考察了分段函数的应用，基本不等式的性质，是一道基础题三、解答题（共6小题）（选答题，不自动判卷）16（2014江西）如图，四棱锥pabcd中，abcd为矩形，平面pad平面abcd（1）求证：abpd；（2）若bpc=90，pb=，pc=2，问ab为何值时，四棱锥pabcd的体积最大？并求此时平面bpc与平面dpc夹角的余弦值考点：二面角的平面角及求法菁优网版权所有专题：空间角；空间向量及应用分析：（1）要证adpd，可以证明ab面pad，再利用面面垂直以及线面垂直的性质，即可证明abpd（2）过p做poad得到po平面abcd，作ombc，连接pm，由边长关系得到bc=，pm=，设ab=x，则vpabcd=，故当时，vpabcd取最大值，建立空间直角坐标系oamp，利用向量方法即可得到夹角的余弦值解答：解：（1）在四棱锥pabcd中，abcd为矩形，abad，又平面pad平面abcd，平面pad平面abcd=ad，ab面pad，abpd（2）过p做poad，po平面abcd，作ombc，连接pmpmbc，bpc=90，pb=，pc=2，bc=，pm=，bm=，设ab=x，om=xpo=，vpabcd=x=当，即x=，vpabcd=，建立空间直角坐标系oamp，如图所示，则p（0，0，），d（，0，0），c（，0），m（0，0），b（，0）面pbc的法向量为=（0，1，1），面dpc的法向量为=（1，0，2）cos=点评：本题考查线面位置关系、线线位置关系、线面角的度量，考查分析解决问题、空间想象、转化、计算的能力与方程思想17（2014江西模拟）设数列an的前n项和为sn，已知a1=1，sn+1=4an+2（nn*）（1）设bn=an+12an，证明数列bn是等比数列；（2）求数列an的通项公式考点：数列递推式；等比关系的确定菁优网版权所有专题：综合题分析：（1）由题设条件知b1=a22a1=3由sn+1=4an+2和sn=4an1+2相减得an+1=4an4an1，即an+12an=2（an2an1），所以bn=2bn1，由此可知bn是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列（2）由题设知所以数列是首项为，公差为的等差数列由此能求出数列an的通项公式解答：解：（1）由a1=1，及sn+1=4an+2，得a1+a2=4a1+2，a2=3a1+2=5，所以b1=a22a1=3由sn+1=4an+2，则当n2时，有sn=4an1+2，得an+1=4an4an1，所以an+12an=2（an2an1），又bn=an+12an，所以bn=2bn1，所以bn是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列（6分）（2）由（i）可得bn=an+12an=32n1，等式两边同时除以2n+1，得所以数列是首项为，公差为的等差数列所以，即an=（3n1）2n2（nn*）（13分）点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要掌握等比数列的证明方法，会求数列的通项公式18（2014四川）三棱锥abcd及其侧视图、俯视图如图所示，设m，n分别为线段ad，ab的中点，p为线段bc上的点，且mnnp（1）证明：p是线段bc的中点；（2）求二面角anpm的余弦值考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角菁优网版权所有专题：空间向量及应用分析：（1）用线面垂直的性质和反证法推出结论，（2）先建空间直角坐标系，再求平面的法向量，即可求出二面角anpm的余弦值解答：解：（1）由三棱锥abcd及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥abcd中：平面abd平面cbd，ab=ad=bd=cd=cb=2设o为bd的中点，连接oa，oc于是oabd，ocbd 所以bd平面oacbdac因为m，n分别为线段ad，ab的中点，所以mnbd，mnnp，故bdnp假设p不是线段bc的中点，则直线np与直线ac是平面abc内相交直线从而bd平面abc，这与dbc=60矛盾，所以p为线段bc的中点（2）以o为坐标原点，ob，oc，oa分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则a（0，0，），m（，o，），n（，0，），p（，0）于是，设平面anp和平面npm的法向量分别为和由，则，设z1=1，则由，则，设z2=1，则cos=所以二面角anpm的余弦值点评：本题考查线线的位置关系，考查二面角知识的应用，解题的关键是掌握用向量的方法求二面角大小的步骤，属于中档题19（2014天津）设f（x）=xaex（ar），xr，已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1x2（）求a的取值范围；（）证明：随着a的减小而增大；（）证明x1+x2随着a的减小而增大考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理菁优网版权所有专题：综合题；导数的综合应用分析：（）对f（x）求导，讨论f（x）的正负以及对应f（x）的单调性，得出函数y=f（x）有两个零点的等价条件，从而求出a的取值范围；（）由f（x）=0，得a=，设g（x）=，判定g（x）的单调性即得证；（）由于x1=a，x2=a，则x2x1=lnx2lnx1=ln，令=t，整理得到x1+x2=，令h（x）=，x（1，+），得到h（x）在（1，+）上是增函数，故得到x1+x2随着t的减小而增大再由（）知，t随着a的减小而增大，即得证解答：解：（）f（x）=xaex，f（x）=1aex；下面分两种情况讨论：a0时，f（x）0在r上恒成立，f（x）在r上是增函数，不合题意；a0时，由f（x）=0，得x=lna，当x变化时，f（x）、f（x）的变化情况如下表：x（，lna）lna（lna，+）f（x）+0f（x）递增极大值lna1递减f（x）的单调增区间是（，lna），减区间是（lna，+）；函数y=f（x）有两个零点等价于如下条件同时成立：（i）f（lna）0，（ii）存在s1（，lna），满足f（s1）0，（iii）存在s2（lna，+），满足f（s2）0；由f（lna）0，即lna10，解得0ae1；取s1=0，满足s1（，lna），且f（s1）=a0，取s2=+ln，满足s2（lna，+），且f（s2）=（）+（ln）0；a的取值范围是（0，e1）（）证明：由f（x）=xaex=0，得a=，设g（x）=，由g（x）=，得g（x）在（，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，并且，当x（，0）时，g（x）0，当x（0，+）时，g（x）0，x1、x2满足a=g（x1），a=g（x2），a（0，e1）及g（x）的单调性，可得x1（0，1），x2（1，+）；对于任意的a1、a2（0，e1），设a1a2，g（x1）=g（x2）=ai，其中0x11x2；g（y1）=g（y2）=a2，其中0y11y2；g（x）在（0，1）上是增函数，由a1a2，得g（xi）g（yi），可得x1y1；类似可得x2y2；又由x、y0，得；随着a的减小而增大；（）证明：x1=a，x2=a，lnx1=lna+x1，lnx2=lna+x2；x2x1=lnx2lnx1=ln，设=t，则t1，解得x1=，x2=，x1+x2=；令h（x）=，x（1，+），则h（x）=；令u（x）=2lnx+x，得u（x）=，当x（1，+）时，u（x）0，u（x）在（1，+）上是增函数，对任意的x（1，+），u（x）u（1）=0，h（x）0，h（x）在（1，+）上是增函数；由得x1+x2随着t的减小而增大由（）知，t随着a的减小而增大，x1+x2随着a的减小而增大点评：本题考查了导数的运算以及利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了函数思想、化归思想、抽象概括能力和分析问题、解决问题的能力，是综合型题目20（2014陕西）设函数f（x）=lnx+，mr（）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（）讨论函数g（x）=f（x）零点的个数；（）若对任意ba0，1恒成立，求m的取值范围考点：利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；函数的零点菁优网版权所有专题：导数的综合应用分析：（）m=e时，f（x）=lnx+，利用f（x）判定f（x）的增减性并求出f（x）的极小值；（）由函数g（x）=f（x），令g（x）=0，求出m；设（x）=m，求出（x）的值域，讨论m的取值，对应g（x）的零点情况；（）由ba0，1恒成立，等价于f（b）bf（a）a恒成立；即h（x）=f（x）x在（0，+）上单调递减；h（x）0，求出m的取值范围解答：解：（）当m=e时，f（x）=lnx+，f（x）=；当x（0，e）时，f（x）0，f（x）在（0，e）上是减函数；当x（e，+）时，f（x）0，f（x）在（e，+）上是增函数；x=e时，f（x）取得极小值f（e）=lne+=2；（）函数g（x）=f（x）=（x0），令g（x）=0，得m=x3+x（x0）；设（x）=x3+x（x0），（x）=x2+1=（x1）（x+1）；当x（0，1）时，（x）0，（x）在（0，1）上是增函数，当x（1，+）时，（x）0，（x）在（1，+）上是减函数；x=1是（x）的极值点，且是极大值点，x=1是（x）的最大值点，（x）的最大值为（1）=；又（0）=0，结合y=（x）的图象，如图；可知：当m时，函数g（x）无零点；当m=时，函数g（x）有且只有一个零点；当0m时，函数g（x）有两个零点；当m0时，函数g（x）有且只有一个零点；综上，当m时，函数g（x）无零点；当m=或m0时，函数g（x）有且只有一个零点；当0m时，函数g（x）有两个零点；（）对任意ba0，1恒成立，等价于f（b）bf（a）a恒成立；设h（x）=f（x）x=lnx+x（x0），h（x）在（0，+）上单调递减；h（x）=10在（0，+）上恒成立，mx2+x=+（x0），m；对于m=，h（x）=0仅在x=时成立；m的取值范围是，+）点评：本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据函数的导数判定函