等差数列前N项和的公式.ppt

等差数列的前n项和的性质及应用,复习回顾,(1)等差数列的通项公式:已知首项a1和公差d,则有:an=a1+(n-1)d已知第m项am和公差d,则有:an=am+(n-m)d,d=（an-am）/（n-m）(2)等差数列的性质:在等差数列an中,如果m+n=p+q(m,n,p,qN),那么:an+am=ap+aq,返回,泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？,下一页,问题2：对于这个问题，德国著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？）,这个问题，可看成是求等差数列1，2，3，n，的前100项的和。,100个101,高斯,下一页,探究发现,问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？,这是求奇数个项和的问题，不能简单模仿偶数个项求和的办法，需要把中间项11看成首、尾两项1和21的等差中项。通过前后比较得出认识：高斯“首尾配对”的算法还得分奇、偶个项的情况求和。有无简单的方法？,下一页,探究发现,问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？,借助几何图形之直观性，使用熟悉的几何方法：把“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形。,下一页,探究发现,问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？,获得算法：,下一页,问题3:,求:1+2+3+4+n=?,记:S=1+2+3+(n-2)+(n-1)+n,S=n+(n-1)+(n-2)+3+2+1,下一页,设等差数列a1,a2,a3,它的前n项和是Sn=a1+a2+an-1+an(1)若把次序颠倒是Sn=an+an-1+a2+a1(2)由等差数列的性质a1+an=a2+an-1=a3+an-2=由(1)+(2)得2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+.即Sn=n(a1+an)/2,下面将对等差数列的前n项和公式进行推导,下一页,由此得到等差数列的an前n项和的公式,即：等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。,上面的公式又可以写成,解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。,正所谓：知三求二,下一页,（2）1+3+5+（2n-1）=,（1）1+2+3+n=,（3）2+4+6+2n=,上面习题的答案在以后会经常用到。,n（n+1）/2,n（n+1）,n2,=,Sn=,=,Sn,Sn,1.将等差数列前n项和公式看作是一个关于n的函数，这个函数有什么特点？,当d0时,Sn是常数项为零的二次函数,则Sn=An2+Bn,令,【说明】,推导等差数列的前n项和公式的方法叫；,等差数列的前n项和公式类同于；,an为等差数列，这是一个关于的没有的“”,倒序相加法,梯形的面积公式,Sn=an2+bn,n,常数项,二次函数,（注意a还可以是0）,例1如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多一支，最上面一层放120支。这个V形架上共放着多少支铅笔？,解：由题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔数成等差数列，记为an,其中a1=1,a120=120.根据等差数列前n项和的公式，得,答：V形架上共放着7260支铅笔。,例2：在等差数列an中，,（2）a1=14.5，d=0.7，an=32，求Sn,（2）由等差数列的通项公式，得,14.5+(n-1)0.7=32n=26,（1）a3=-2，a8=12，求S10,解：（1）a1+a10=a3+a8=10,由以上例题可以得出:在求等差数列的前n项的和时,当知道首项和公差,或者是知道首项和末项,均可以得出.,例3:已知等差数列an中a2+a5+a12+a15=36.求前16项的和?,解:由等差数列的性质可得:a1+a16=a2+a15=a5+a12=36/2=18sn=16/218=144答:前16项的和为144。,分析：可以由等差数列性质，直接代入前n项和公式,例4等差数列-10，-6，-2，2，前多少项的和是54？,本题实质是反用公式，解一个关于n的一元二次函数，注意得到的项数n必须是正整数.,下一页,解：将题中的等差数列记为an，sn代表该数列的前n项和，则有a1=10,d=6(10)=4,根据等差数列前n项和公式：,解得n1=9,n=3(舍去),因此等差数列10,6,2,2，前9项的和是54.,设该数列前n项和为54,下一页,得,例5已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，求Sn.,解：,S10=310，S20=1220,巩固练习,1、已知a6+a9+a12+a15=192,求S20,2、凸n边形各内角成等差数列，公差为10，最小内角为100，则n等于（）（A）7（B）8（C）9（D）8或9,a6+a9+a12+a15=192，a6+a15=a9+a12=a1+a20,a1+a20=96,由题意，得:,解得n=8或n=9（舍）,B,3.一个项数为36的数列的前四项和是21，后四项和是67，求这个数列的和。,4求集合M=m|m=7n,n是正整数,且m100的元素个数,并求这些元素的和.,解:,由7n100得n1时：,当n=1时：,不满足式.,点评：,分类讨论思想,例:若数列an的前项和Sn满足Sn=an2+bn,试判断an是否是等差数列。,巩固练习,观察上面的式子,我们可以看出它是关于n的二次函数,从而等差数列的前n项和可以写成形如:,将等差数列的前n项和公式写成上述形式,有利于求其前n项和的极值:,等差数列前n项和再认识:,例6：已知数列an是等差数列，且a1=21，公差d=2，求这个数列的前n项和Sn的最大值。,等差数列的前n项的最值问题,等差数列的前n项的最值问题,例7.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.,解法1,由S3=S11得,d=2,当n=7时,Sn取最大值49.,等差数列的前n项的最值问题,例7.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.,解法2,由S3=S11得,d=20,a8，S3=S11，问：这个数列的前几项的和最大？,例7的变式题二：等差数列an的首项a10,前n项和为Sn，Sm=Sl,问:n为何值时，Sn最大？,例8.设等差数列的前n项和为Sn,已知a3=12,S120,S130.(1)求公差d的取值范围;(2)指出数列Sn中数值最大的项,并说明理由.,解:(1)由已知得,法2,Sn图象的对称轴为,由(1)知,由上得,即,由于n为正整数,所以当n=6时Sn有最大值.,Sn有最大值.,例9：已知在等差数列an中,a10=23,a25=-22,Sn为其前n项和.,（1）问该数列从第几项开始为负？（2）求S10（3）求使