（固体力学专业论文）考虑偶应力理论的无网格伽辽金法及其在裂纹扩展中的应用.pdf

l ii 东大学硕十学位论文 摘要 传统的连续体力学的弹塑性理论和各种宏观尺度下的本构关系中没有考虑 细观尺度的影响，实际上在岩体中含有可见尺度的小裂纹，裂纹尖端附近存在很 大的应变梯度，它会对裂尖附近应力场和微尺度下的断裂行为产生显著的影响。 在处理裂纹扩展问题时，有限元方法由于单元会产生畸变而需要不断进行网 格重构，并且在求解偶应力理论问题时较困难，需要采用特殊的单元来满足 “c 1 ，现在多采用杂交元和非协调元。无网格伽辽金法采用基于点的近似，可 以完全或部分抛开网格，从而保证了计算精度。它只需要节点信息，而不需要单 元信息，前处理及后处理简单，位移能满足c 1 阶连续。因而在材料弹塑性分析、 大变形分析及断裂分析等方面具有非常广阔的应用前景。 本文研究的无网格伽辽金法，用移动最t j , , - - 乘法插值构造试函数，从能量泛 函的伽辽金弱变分形式得到控制方程，引入罚函数满足本征边界条件，具有求解 精度高，后处理简单等优点。 本文首先对无网格伽辽金法、弹性偶应力理论及考虑偶应力理论的无网格伽 辽金法分别进行了系统的描述，分别计算了受均布荷载的简支梁应力、位移值和 圆孔孔边的应力集中因子，然后计算了圆孔孔边应力集中因子的尺度效应。偶应 力的存在对圆孔周围应力集中起到了缓解作用，应力集中因子随a 1 的增大而增 大，最终趋近于经典理论解。可见，考虑偶应力理论的无网格伽辽金法在求解偶 应力问题方面比有限元法占据很大的优势，并且验证了程序的正确。 随后本文按照修正的最大周向拉应力裂纹扩展准则，用无网格伽辽金法模拟 了受压岩体中裂纹的扩展路径，与r f p a 2 d 计算软件的模拟结果吻合得较好。可 见，无网格伽辽金法在求解裂纹扩展问题中能满足工程上的精度要求，具有推广 应用的价值。 本文着重研究了考虑偶应力理论的无网格伽辽金法在裂纹扩展中的应用，计 算了含斜裂纹受压岩体考虑偶应力时初始开裂角的尺度效应，得出裂纹半长与材 料本征长度的比值越小，裂纹的初始开裂角越小。随后，本文又对考虑偶应力理 论时裂纹的扩展路径进行了跟踪，发现裂纹的扩展路径比不考虑偶应力理论时平 滑。 i x 山东大学硕士学位论文 本文的研究工作拓宽了无网格伽辽金法在岩体工程中的应用，也为考虑偶应 力理论的无网格伽辽金法在裂纹扩展中的应用奠定了基础。 x 关键词：偶应力；无网格伽辽金法；尺度效应；本征长度；裂纹扩展。 山东大学硕七学位论文 a b s t r a c t t h ei n f l u e n c eo ft h em i c r os c a l ei sn o ti n v o l v e di nt h et h e o r i e so fe l a s t i c i t ya n d p l a s t i c i t yi nt h ec l a s s i c a lc o n t i n u u mm e c h a n i c sa n dt h ec o n s t i t u t i v er e l a t i o n s h i p s u n d e rt h em i c r o s c a l e i nf a c t ，t h e r ea r em a n yc r a c k si nt h er o c km a s s a n di nt h e v i c i n i t yo ft h ec r a c kt i p ，t h e r ei sh i g hs t r a i ng r a d i e n tw h i c hw i l li n f l u e n tt h es t r e s s f i e l d sa r o u n dt h ec r a c kt i pa n dt h ef r a c t u r eb e h a v i o ru n d e rt h em i c r o s c a l e w h e nt h ec r a c kp r o p a g a t i o ni s a n a l y z i n g , t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o dr e q u i r e s r e m e s h i n gt or e p r e s e n ta r b i t r a r ya n dc o m p l e xp a t h sb e c a u s et h em e s h e sw i l lb e d i s t o r t e d a n dt h e r ea r em a n yd i f f i c u l t i e si ns o l v i n gt h ep r o b l e m so fc o u p l es t r e s s t h e o r y ，i tr e q u i r e ss p e c i a le l e m e n t ss u c ha sh y b r i de l e m e n ta n di n c o m p a t i b l ee l e m e n t t h ee l e m e n tf r e eg a l e r k i nm e t h o dw h i c hb a s eo nt h ea p p r o x i m a t i o no ft h en o d e sc a n s e p a r a t ef r o mt h em e s h e st o t a l l y o rp a r t l y ，s oi th a st h ea c c u r a t ec a l c u l a t i o n s i t r e q u i r e so n l yn o d e s ，n o te l e m e n t s t h ep r e - p r o c e s s i n ga n dt h ep o s t - p r o c e s s i n ga r e s i m p l e ，t h ed i s p l a c e m e n tw i l ls a t i s f yc - c o n t i n u i t y s oi ti sp a r t i c u l a r l yp r o m i s i n gi n t h ea n a l y s i so ft h ee l a s t i c i t ya n dp l a s t i c i t yp r o b l e m s ，l a r g ed e f o r m a t i o n ，a n df r a c t u r e a n ds o o n i nt h ee l e m e n t f r e eg a l e r k i nm e t h o d s ，t h et r i a la n dt e s tf u n c t i o n sa r ec o n s t r u c t e d b ym o v i n gl e a s t s q u a r e si n t e r p o l a n t s t h eg o v e r n i n ge q u a t i o n sa r eo b t a i n e db ya g a l e r k i nv a r i a t i o n a lp r i n c i p l eo fe n e r g yf u n c t i o n a l p e n a l t yf u n c t i o n sa r ei n t r o d u c e d t oe n f o r c et h ee s s e n t i a lb o u n d a r yc o n d i t i o n t h em e t h o dh a st h ea d v a n t a g e so ft h e 1 1 i g ha c c u r a t ec a l c u l a t i o na n de a s yp o s t - p r o c e s s i n g f i r s t l y , t h ep a p e ri n t r o d u c e st h ee l e m e n tf r e eg a l e r k i nm e t h o d ，e l a s t i c i t yc o u p l e s t r e s st h e o r ya n dt h ee l e m e n tf r e eg a l e r k i nm e t h o dw i t hc o u p l es t r e s st h e o r y f o l l o w i n g ，i tc a l c u l a t e st h es t r e s sa n dt h ed i s p l a c e m e n tv a l u eo f t h es i m p l es u p p o r t e d b e a ma n dt h es t r e s si n t e n s i t yf a c t o ra r o u n dt h eh o l e a n di tc a l c u l a t e st h es c a l ee f f e c t o ft h es t r e s si n t e n s i t yf a c t o ra r o u n dt h eh o l e t h es t r e s si n t e n s i t yi sr e d u c e d b e c a u s eo f t h ei n f l u e n c eo ft h ec o u p l es t r e s s i tg e t sb i g g e rf o l l o w i n gt h ei n c r e a s eo fa 1 ，a n d r e a c h e st ot h ec l a s s i c a lt h e o r ya n s w e r s ot h ee l e m e n tf r e eg a l e r k i nm e t h o dh a sm o r e 山东大学硕士学位论文 a d v a n t a g e st h a nf i n i t ee l e m e n tm e t h o di ns o l v i n gc o u p l es t r e s sp r o b l e m s a n d i t c o n f i r m st h a tt h ep r o g r a mi sc o r r e c t t h ed e m e n tf r e eg a l e r k i nm e t h o di su s e dt os i m u l a t et h ec r a c kp r o p a g a t i o no f t h er o c km a s su n d e rt h ep r e s s u r ea c c o r d i n gt ot h em o d i f i e dm a x i m u mc i r c u m f e r e n t i a l t e n s i l es t r e s sc r i t e r i o n s a n dt h er e s u l t sa g r e ew i t ht h es i m u l a t er e s u l t sb yt h er f p a 2 d s o f t w a r e s o ，t h em e t h o dh a st h ea c c u r a t ec a l c u l a t i o ni ns o l v i n gt h ec r a c kp r o p a g a t i o n ， a n di sv a l u e dt ob ed e v e l o p e da n da p p l i e d t h ep a p e rs t u d i e st h ea p p l i c a t i o no ft h ee l e m e n tf le eg a l e r k i nm e t h o dw i t ht h e c o u p l es t r e s st h e o r yo nt h ec r a c kp r o p a g a t i o n ，a n da n a l y z e st h es c a l ee f f e c to ft h e i n i t i a lc r a c k - e x t e n d i n g - a n g l ei nt h er o c km a s su n d e rp r e s s u r e i ti so b t a i n e dt h a tt h e l e s st h er a t i oo ft h ec r a c kh a l f - l e n g t ht ot h ec h a r a c t e r i s t i cl e n g t ho ft h em a t e r i a l si s ，t h e l e s st h ei n i t i a lc r a c k e x t e n d i n g - a n g l eo ft h ec r a c ki s f o l l o w i n g ，t h i sp a p e rs i m u l a t e s t h ep a t ho ft h ec r a c kp r o p a g a t i o nw i t hc o u p l es t r e s s ，a n dt h ep a t hi ss m o o t h e rt h a n w i t h o u tt h ec o u p l es t r e s s t h ew o r ko ft h i sp a p e rd e v e l o p st h ea p p l i c a t i o no ft h ee l e m e n tf r e eg a l e r k i n m e t h o do nt h ep r o j e c t so ft h er o c km a s s ，a n dl a y st h ef o u n d a t i o no nt h ec r a c k p r o p a g a t i o nf o rt h ee l e m e n tf r e eg a l e r k i nm e t h o dw i t ht h ec o u p l es t r e s st h e o r y k e yw o r d ：c o u p l es t r e s s ； e l e m e n tf l e eg a l e r k i n m e t h o d ； s c a l e e f f e c t ； c h a r a c t e r i s t i cl e n g t h ；c r a c kp r o p a g a t i o n x i i 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：虿避 日期：? 幛复：兰呈 关于学位论文使用授权的声明 本人同意学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的印刷件 和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或其他复制手段保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：邋导师签名：自釜妇日 期：竺节! 山东大学硕士学位论文 第一章绪论 1 r 课题研究的背景与意义 在地下采矿、交通建设工程、水利水电建设、核电站建设中的核废料处理技 术、地震预报中的岩石力学问题等地下工程中，其工程设计、施工、稳定性评价 和岩体加固等都直接依赖于岩体的强度、变形及裂隙的扩展等特性。裂隙岩体是 我国各种岩体工程和环境工程中经常遇到的一种复杂岩体，在工程开挖或附加载 荷的作用下，岩体中裂隙会产生新的扩展，裂隙会贯通，会造成地下水的渗流， 从而会对岩石工程的强度和稳定性造成不利的影响。如：法国的马尔帕塞大坝崩 溃( 1 9 5 9 ) 和意大利的瓦伊昂大坝的边坡失稳( 1 9 6 3 ) 以及地下硐室的垮塌、采矿工 程中的冲击矿压及核废料储存区域的泄漏等都是重大的灾难；广东的大窑山隧道 和广州的地铁也都是因为地层的破裂和透水影响了工程的稳定性甚至造成重大 事故。这类重大地质灾害的发生与地下结构围岩附近的裂纹、应力集中和自由表 面影响密切相关。因此，岩体中裂隙的扩展规律、裂隙群的交汇贯通是很重要的 研究工作，也一直被工程地质界、岩石力学界和相关工程界所重视。 岩石力学是一门边缘学科，岩体断裂和损伤力学的研究越来越受到广大岩土 力学工作者的关注，并取得了大量的成果。目前在该领域常用方法主要有实验方 法、理论分析方法和数值模拟方法。其中，数值分析方法是解决岩土工程问题的 有效手段，越来越多地被应用于岩体稳定性、岩土工程设计和岩土工程基本问题 分析中，该方法主要包括有限元法、边界元法、有限差分法、无网格法等。目前， 有限元方法是发展比较成熟，应用也最为广泛的数值方法，它最先应用于结构的 应力分析，很快就广泛应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续域问题。该 方法是将连续的求解域离散为有限个单元的组合体来近似代替原连续结构，就可 以求出这个组合结构的弹性特性。这样，结构在一定的约束条件下，在给定的载 荷作用下，就可以求解各节点的位移，进而求解单元内的应力【l l 。在处理裂纹扩 展问题时，有限元法中网格的存在妨碍了处理与原始网格线不一致的不连续性， 在裂纹扩展过程中网格会产生畸变，所以每扩展一步都必须对模型重新划分网 格，很多人在这方面做过大量的工作【2 巧】，但他们的方法或只适用于直线型裂纹 【l 东大学硕士学位论文 扩展，或者需要进行人工干预。边界元法是七十年代开始发展起来的一种数值计 算方法，它只需要把问题所涉及区域的边界离散化，把三维问题化为二维问题， 把二维问题化为一维问题，大大减少了工作量及出错的可能性。在处理裂纹扩展 问题时，边界元法只需在边界上及裂纹表面布置节点，避免了网格重新划分的问 题，但边界元法在处理多介质问题、复杂非线性问题及模拟施工过程方面所遇到 的困难限制了它在工程数值分析中的应用。 无网格方法”1 是9 0 年代新兴起的一种数值计算方法，它是采用基于点的近 似，可以彻底或部分的消除网格，不需要网格的初始划分和重构，不仅可以保证 计算的精度，而且可以减少计算的难度。由于无网格法基本方程的数学基础与有 限元法相同，因此它继承了有限元法的优点，并在一定程度上又有新的突破。它 只需计算域的几何边界及计算点，不需要单元信息，因此又具有边界元法的优点， 且可在裂尖布置可移动的加密节点以跟踪裂纹扩展，比边界元法具有更广泛的应 用范围。该方法在大变形和变边界问题中发挥了应有的作用，尤其在二维问题的 裂纹扩展方面充分体现了它的优越性和有效性，因而得到了岩石力学界和相关工 程界的广泛关注【8 。9 】。 连续统力学基于所有物体都具有连续分布的密度这一基本假设，并没有考虑 到偶应力的影响。但是，近年来的一些试验表明，当非均匀塑性变形本征长度在 微米量级时，材料具有很强的尺度效应，这些试验现象都是经典连续介质力学所 无法解释的。例如：f l e c k 和m u l l e r 1 0 】等( 1 9 9 4 年) 在细铜丝的扭转试验中观察 到，当铜丝的直径为1 2 朋时，无量纲的扭转硬化增加至直径是1 7 0 a n 时的3 倍；s t o l k e n 和e v a n s 】( 1 9 9 9 年) 在n i 材质的薄梁弯曲试验中观察到当梁的厚 度从1 0 0 慨n 减至1 2 5 彬时，无量纲的弯曲硬化也显著增加。由于在传统的塑 性理论中本构模型不包含任何尺寸，所以它不能预测尺度效应。而按照量子力学 和原子模拟的方法在现实的时间和长度的尺度下处理微米尺度的结构依然很困 难。以上试验结果都是在材料发生塑性变形时观察到的。对于弹性材料，最近 l a m 等【1 2 】对环氧树脂薄梁的弯曲试验中发现，当梁的厚度从11 5 彬下降到2 5 朋 时，其抗弯刚度提高约2 3 倍，这说明在弹性范围内也有尺度效应的存在。在裂 尖断裂试验研究中，e l s s n e r 1 3 】等测量了单晶铌蓝宝石接口的宏观断裂韧度和原 山东大学硕士学位论文 子分离功，实验结果表明，尽管铌是韧性材料，具有很多位错，但这两种材料的 界面裂纹仍保持为原子尺度的尖裂纹，裂尖没有钝化。 经典弹塑性理论不能很好的模拟裂纹尖端小尺寸范围内的变形。因而，应变 梯度理论在断裂力学上的应用也变得相当重要。所以，建立连续介质框架下，考 虑尺寸效应的本构模型就成为联系经典弹塑性力学和原子模拟之间必要的桥梁， 同时也为材料的宏观断裂行为和原子断裂过程之间建立联系。 偶应力理论应用于岩土工程领域始于上世纪8 0 年代，成果最为突出的首推 m f i h l h a u s 【1 4 1 ，他的工作涉及层状岩体、节理岩体、层状半无限土体、岩煤和砂砾 等。国内在这方面作了开创性工作的有陈胜宏、熊文林、佘成学 1 5 , 1 6 1 等人，他们 主要研究的是偶应力对节理岩体的影响及应用。潘一山【1 7 】等把微结构应变梯度理 论同岩体结合起来，提出了岩石失稳破坏的应变梯度模型，并给出了节理岩体内 部本征长度的数值。 利用有限元方法来求解考虑偶应力理论的问题时，计算结果与单元的选取有 很大的关系，并且单元的选取也比较复杂，尤其是其对本构关系的敏感性。单元 位移解有更高的连续性要求，应力不仅和应变有关，还和应变梯度有关，所以要 求位移解u c 1 ，其只对一维问题可行，对于二维问题，像板、壳等满足位移解 u c 1 是非常复杂的，肖其林、凌中等基于h e l l i n g e r - r e i s s n e r 变分原理【1 8 】提出了 一种新的单元模式杂交混合元。李雷则构造了非协调元和杂交元【1 9 】，而对于 三维问题的求解就更为困难了。而利用无网格伽辽金法求解时，位移解自动满足 u c 1 ，不需要采取特殊的措施。 本文的研究工作扩展了无网格伽辽金法在岩体工程中的应用，也为考虑偶应 力理论的无网格伽辽金法在裂纹扩展中的应用奠定了基础。此课题的研究成果将 对我国一系列大型地下工程、水利工程、地下隧道工程、矿业工程、能源开发工 程、能源储存工程、石油开采工程、煤炭煤气开采工程、核废料深埋工程和大型 地下军事工程等的稳定性具有重要的实用价值和理论指导意义。 1 2 无网格伽辽金方法的发展 无网格方法采用基于点的近似，不需要单元信息，不存在节点与单元的相关 3 山东大学硕十学位论文 !i,一一_ i i 鼍曼曼曼量鼍曼鼍曼鼍曼曼曼曼曼曼曼曼曼量鼍曼晕曼量 条件，仅需要节点的有关信息描述材料体内的应力、应变和位移函数。该方法可 以彻底或部分地消除网格，不需要网格的初始划分和重构，也不需要在材料体内 布设大量的节点，仅在需要特别关注的局部区域内适当密布节点，就可以达到较 高的精度，满足工程精度的要求。 无网格方法在材料弹塑性分析、大变形分析及断裂分析等方面具有非常广阔 的应用前景。近几年来国际上许多著名的计算力学学者，如t b e l y t s c h k o ，w k 1i u ，o r g a nd ，y y l u ，k r o n g a u zy ，grl i u 等【6 , 2 0 , 2 1 1 都对无网格方法进行了 大量的研究工作。 对无网格法的研究可以追溯到2 0 世纪末。n a y r o l e s 等【捌于1 9 9 2 年将移动 最小二乘近似( m o v i n gl e a s ts q u a r e ，m l s ) 引入伽辽金法中，提出了漫射元法 【2 3 】。b e l y t s c h k o 掣6 1 在前人的研究工作上对扩散单元法进行了改进，提出了无 单元伽辽金法( t h ee l e m e n t - f r e eg a l e r k i nm e t h o d ，即e f g ) ，掀起了无网格法 的研究热潮，并给出了e f g 的误差估计【2 4 1 ，对e f g 法中的数值积分方案以及近似 函数的计算方法进行了深入研究【2 5 ，2 6 1 ，并将e f g 方法用于动态裂纹扩展的数值模 拟【2 7 3 0 1 ，克服了有限元方法在模拟裂纹扩展时因为网格发生畸变而需要不断进行 网格重新划分的缺点；由于用移动最小二乘近似可以较容易地构造具有c 1 连续 性的函数，因此k r y s l 等【3 1 】将e f g 用于板壳分析中；l i ugr 等【2 0 】将e f g 和边界 元法相耦合，用于固体的应力分析；b e l y t s c h k o 和d u 等【3 2 , 3 3 , 3 4 1 将e f g 用于三维 撞击和流体晃动分析；c o r d e s 等 3 5 】将e f g 方法用于相变问题的研究；张雄【3 6 】等 将e f g 法的思想应用于节理岩体的分析中；s m o l i n s k i 等【3 7 1 给出了e f g 法显式时 间积分方案并用于求解扩散问题；周维垣等3 8 , 3 9 1 对e f g 进行了详细介绍，并应用 于拱坝开裂分析中；张伟星等【删将e f g 法应用于地基板的应力分析中；庞作会等 4 1 ，4 2 】也对e f g 法进行了介绍，并将其应用于边坡开挖问题中：陈建等【4 3 】采用e f g 法计算含边沿裂纹功能梯度材料板的应力强度因子。研究表明，e f g 法精度和收 敛速度都高于有限元法，而且没有体积死锁现象，但e f g 法计算量大，并且需要 借助于背景网格进行数值积分。其还有一些问题没有得到很好的解决，如：支持 域半径大小的选取还没有理论根据，在每个问题的研究中主要靠作者的经验来选 取。 4 【| j 东大学硕士学位论文 1 3 偶应力理论的发展及研究现状 偶应力理论是微极理论的一个特例，早在1 8 8 7 年，v o i g t 就对偶应力的存在 作了假设，他提出，物体的一部分对其邻近部分的作用可能会引起体力偶和面力 偶。1 9 0 9 年，c o s s e r a t 【4 4 j 兄弟第一次提出了完整的偶应力理论，系统的建立了有 向介质的一维、二维和三维连续模型。因此，偶应力理论又被称为c o s s e r a t 理论。 随后，由t o p i n 4 5 1 ，m i n d l i n 4 6 1 ，e r i n g e n 等人对该理论作了进一步的发展和完善。 其中，1 9 6 4 年，m i n d l i n 4 7 1 提出了具有偶应力的弹性理论，并采用该理论具体研 究了含小孔的无限大平板的应力集中问题，理论预测表明，小孔附近的应力集中 因子会比经典弹性力学所预测的低，并受泊松比和材料本征长度的影响。1 9 6 3 至1 9 6 5 年，m i n d l i n 4 8 】在偶应力理论方面做了大量的工作，明确提出了具有微结 构的线弹性偶应力理论，该理论比原偶应力理论更为广义。 裂纹尖端附近存在很大的应变梯度，因此应变梯度效应会对裂尖附近应力场 和微尺度下的断裂行为产生显著影响。s t e r n b e r g 和m u m 4 明以及a t k i s o n 和 l e p p i n g t o n 5 0 】研究了弹性介质裂尖场的偶应力效应，获得了一些不同于经典断裂 力学的结果。x i a 和h u t c h i n s o n 5 1 】采用偶应力应变梯度理论( c s ) ，对i 型和i i 型 全塑性裂尖场进行了分析，发现对于i i 型裂尖场，裂尖应力水平可提高约2 5 倍， 对于i 型裂尖场则没有这种效应，这是由于“i i 型裂尖场是有旋场，梯度效应较 强，而i 型裂尖场是无旋的，梯度效应较弱”。h u a n g 及其合作者【5 2 - s 6 采用c s 理论，对i ，i i 型裂尖场进行了一系列研究，获得了i ，i i 型裂尖场的渐进解。邱 等采用c s 理论对平面应力状态下的i ，i i 型裂纹作了有限元分析。r a d i 5 8 】采 用c s 理论研究了线性硬化材料的稳态裂纹扩展问题。还有一些研究人员采用s g ( 应变梯度塑性理论) 和m s g ( 基于细观机制的应变梯度塑性理论) 理论对裂尖 场进行了研究。 偶应力理论8 0 年代开始应用于岩土工程。国内在这方面率先进行研究的有 陈胜宏、熊文林、佘成学 1 5 j 6 等人，他们主要研究的是偶应力对节理岩体的影响 及应用。潘一山【1 7 】等把微结构应变梯度理论同岩体结合起来，利用实验研究了岩 石破坏的尺度效应，又提出了岩石失稳破坏的应变梯度模型，并给出了节理岩体 内部本征长度的数值。众多学者在岩体力学方面所涉及的主要工作还有：冲击地 压后变形破坏的梯度塑性理论；多孔介质动力应变局部化分析的梯度塑性模型； 山东大学硕士学位论文 基于应变梯度理论的岩石试件剪切破坏失稳判据；岩石材料应变软化尺寸效应的 实验和理论研究；岩石单轴压缩作用下变形局部化的梯度塑性解；考虑应变率及 应变梯度效应的断层岩爆分析。 目前，关于偶应力理论的数值研究方法主要是有限元法。由于偶应力理论要 求位移解满足“c 1 ，因而对单元的构造造成了困难。很多研究者在单元的构造 上做出了努力。h e r r m a n n 5 9 】曾对弹性偶应力理论的有限元实施作出了探索，通过 l a g r a n g e 乘子引入旋转约束，构造了几种c o 连续的混合单元，但混合元变量众 多，系统刚度矩阵非正定，给储存和求解带来困难。x i a 和h u t c h i n s o n 6 0 l 构造了 几种c 1 连续的单元，计算结果表明，这类单元性能有网格依赖性和本构依赖性， 在应变梯度起作用时或在材料接近不可压缩时，单元性能会变差。s h u 和f l e c k 6 1 1 为了降低单元连续性要求，采用罚函数法放松了旋转自由度约束，取得了较好的 效果。肖其林、凌中、李雷和吴长春1 8 , 1 9 1 采用非协调单元和杂交元分析了偶应力 问题，研究了圆孔孔边的应力集中问题。郑长良、任明法、张志峰和宋和平【6 2 】 将板壳有限元中的k i r c h h o f f 离散技巧应用于偶应力问题，提出了离散c o s s e r a t 单 元，研究了圆孔孔边的应力集中问题，并且指出由于在各种有限元法中，网格划 分时要对单元、边界元、角节点进行特殊处理，不便应用，因此偶应力问题的有 限元法依然没有得到很好解决。z t a n g 6 3 】采用局部无网格伽辽金法( m l p 6 ) 对材料 的应变梯度进行了研究，发现当求解四阶椭圆问题时，m l p g 法比一般的有限元 法及杂交元法要优越。张瑞霞m 】采用无网格伽辽金法对圆孔孔边的应力集中因子 进行了分析。 1 4 本文的主要研究内容 本文第二章分别计算了简支梁的中心轴的挠度值和圆孔孔边应力集中因子 值，通过对这两个经典算例的计算，说明e f g m 不仅对于均匀受力问题具有较高 的计算精度，而且对于应力集中问题也具有较高的可靠性与灵活性。 第三章采用考虑偶应力理论的无网格伽辽金法对圆孑l 孔边的应力集中问题 进行了计算，计算误差较小，并验证了偶应力的存在使应力集中系数降低了。 第四章用无网格伽辽金法对含斜置裂纹的岩体受均布压力作用下的裂纹扩 6 山东大学硕十学位论文 曼曼曼皇曼舅曼! 蔓曼曼! 曼曼曼曼曼曼曼曼曼ii i ：i 曼曼! 曼曼曼曼曼! 曼曼曼曼曼曼 展问题进行了模拟，能满足工程精度的要求，且计算过程简单易行，也说明了程 序的正确性。 第五章用考虑偶应力理论的无网格伽辽金法对含裂纹的受压岩体在偶应力 影响下的扩展路径进行了跟踪。 本文所有算例的程序都是在m a t l a b 中编制实现的。 此课题的研究成果将对我国一系列大型地下工程、水利工程、地下隧道工程、 矿业工程、能源开发工程、能源储存工程、石油开采工程、煤炭煤气开采工程、 核废料深埋工程和大型地下军事工程等的稳定性具有重要的指导意义。 7 山东大学硕士学位论文 第二章无网格伽辽金法 无网格方法是1 9 9 0 s 中期开始新发展的一种新兴的数值分析方法，它保留了 有限元方法的风格，又克服了有限元方法的缺点。 无网格方法是以材料体内分布的节点为主体的数值分析方法，其基本思想是 在材料体内布设一系列的节点，采用一种与权函数有关的近似，使某个域上的节 点可以影响研究对象上任何一点的力学特性。不需要单元信息，不存在节点与单 元之间的相关条件，仅需要节点的有关信息描述体内的应力、应变和位移函数。 当它用于复杂结构、具有复杂的边界条件的边值问题时，更具有其独特的优点。 该方法不需要在材料体内布设大量的节点，仅在需要特别关注的局部区域适当密 布节点，该方法精度高，其求解不仅函数级量连续，而且倒数级量也连续。 在诸多的无网格方法中，以移动最小二乘近似为基础的无网格伽辽金法 ( e f g m ) 的应用最为广泛。移动最小二乘( m l s ) 近似是l a n c a s t e r 等【6 5 】首次提出 的；n a y r d e s 等【6 6 】将这一近似应用于伽辽金方法，提出了扩散单元法( d e m ) ； b e l y s c h k o 等对d e m 进行了改进，提出了无网格伽辽金法。 无网格伽辽金法摆脱了传统数值计算方法中单元体的限制，实现了无单元插 值，极大的简化了前处理工作。使大变形【6 7 】和模型优化【6 8 】等问题的计算分析简 单易行，更使不连续体问题和裂纹扩展追踪问题成为可能。 2 1 移动最小二乘近似 2 1 1基本概念 移动最d , - 乘法简称m l s ，通过几个互不相关的节点上的值，拟合出一个函 数，该函数的光滑性好且导数连续。无网格法就是采用移动最小二乘法所产生的 光滑函数来近似场函数，它保留了有限元法的一些特点，但摆脱了单元的限制， 克服了一般有限元的不足。 在域q 中，定义在x 处的函数“( x ) 的移动最小- - 揪a u6 伍) 为 u h ( ) = p ，伍b ( x ) = p r ( x b ( x ) ( 2 1 ) 9 i 【l 东大学硕十学位论文 “6 似) 为全局意义上的拟合函数或近似函数。凇) 为二维空间坐标x7 = b ，j ，】的 基函数。 为了方便，在二维问题中，基函数可以取以下形式： p 7 伍) = 1 ，x ，y 】 线性基函数、m = 3 p r 伍) = 1 ，x ，y ，x 2 , x y ，y 2 】 平方基函数、m = 6 ； p r ( x ) - - e 1 ，x ，y ，4 7 1 扩展基函数、m = 4 ； 式( 2 1 ) 中的系数向量口似) 由加权最小2 、范数j i g 伍) 】取最小值的条件来 确定，它是空间位置x 的函数。 对整个计算域而言，设在空间位置夏的局部区域中含有n 个节点x ( j = 1 , 2 ，1 ) 。类似全局近似函数式( 2 一1 ) ，写出元的局部区域中的局部近似函 数为 甜6 伍，j ) ：羔p ，伍，牙b ，伍) ：p r ，牙b 似) ( 2 - 2 ) i 在局部域中构造加权最4 , 2 范数 ，k 似) 】= 护伍，元) 一“+ 伍】1 2 = 兰叶伍一x ，如6 伍，x ，) 一“+ 伍，) 其中，k 似) = 啦一x ) 是节点x 的权函数在x 处的值。 式( 2 - 3 ) 写成矩阵形式为 ，【口似) 】= q 口一“】，w ( x x ，) q 口一“】 其中， “+ ：l + 伍。) “+ 伍：) “+ 伍。汗 l o q = p 。似，) p 。伍：) p l 伍。) p ：伍。) p 卅，) p ：) p 伍：) p ：。) p m 。) ( 2 - 3 ) ( 2 - 4 ) 山东大学硕士学位论文 曼曼曼曼曼皇皇曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼! 曼曼曼曼! 曼曼曼! 曼曼曼曼曼曼曼曼! 曼曼曼曼曼曼量曼量曼曼皇曼舅舅曼曼皇i i i ! 皇曼皇曼 咄一) = w l 伍一x i ) 0 0 0 w 2 伍一五) 0 00 比似一e ) 为了确定口( x ) ，令式( 2 3 ) 或式( 2 4 ) 中的，b 伍) 】取最小值。即由泛函极值 条件甜似) a 口= 0 ，得 q r 啦口一q ，w u = 0 ( 2 - 5 ) 为书写方便，引入以下符号：彳伍) = q r w q ，为m m 矩阵；b 伍) = q ，w ， 为m n 矩阵。那么根据式( 2 - 5 ) ，可得待定函数口伍) 为 口伍) = a - i 伍归伍) 比 ( 2 6 ) 其中，a ( x ) 为m x1 矩阵。并且，当a 。1 ( x ) 存在时，式( 2 6 ) 成立。 从式( 2 - 6 ) 可以看出，每个局部域中的近似式( 2 - 3 ) 都对全局近似式( 2 1 ) 有 贡献，或每个局部近似都对全局近似有影响【6 9 】。 将式( 2 - 6 ) 代入式( 2 1 ) ，得 “一伍) ：p r 伍n 一- 伍归伍- 伍) ：n mp j 伍龃一伍归伍) l ，“。伍) ( 2 - 7 ) l j 5 ( 2 - 7 ) 中，在点x i 处，“6 ) “) 。其中，“( t ) 是节点参数，并不是 点x ，处的真实位移或精确值，称为广义位移。注意，在最d , - 乘法计算域中， 节点数目大于或等于基函数的数目，即，l m 。 2 1 2 形函数及其导数 将式( 2 - 7 ) 改写为 “( 砷= 缈“ 其中，够称为形函数矩阵，为lx n 矩阵。 形函数 缈伍) = p r 伍n 一归似) ( 2 - 8 ) 、， l a ， q ， 一 。厶 l 山东大学硕十学位论文 或 缈，似) = p ， ) 彳一伍归似) 】，= p r 似p 一 归，似) ( 2 9 b ) 其中，b i 伍) 为b ( x ) 的第 列。矩阵彳似) 和b 似) 的计算式分别为 彳伍) = q7 w q ( 2 1 0 a ) b 似) = q r 形 ( 2 一l o b ) 形函数仍( x ) 的连续性依赖于权函数w ，伍) 和基函数尸伍) 。对多项式基6 9 1 而言，如果( x ) c 2 ，则妒，伍) c 。 形函数的导数为 = p7 伍妇一伍归伍) j ，。 - - p ，。伍皿。伍归卜p7 伍壮。1 伍) j ，七b 伍) ( 2 1 。1 ) + p r 伍n 。伍归伍) ，。 其中，- _ 1 ( x ) j ，。= 一a - i ( p ，。似n 。1 ) ，玳表空间坐标x 或y 。 2 1 3 权函数及其导数 权函数的选取非常重要，它对拟合的效果产生直接的影响，并且影响很大， 应遵循以下的原则选取权函数【6 9 1 ： ( 1 ) 非负。啦一x ，) o 是局部域上的函数，它表示不同的点k ，掰“伍，) j 处 的资料权重不同； ( 2 ) 要使式( 2 - 6 ) 中的a 。1 伍) 存在，权函数对空间变量的导数存在，可以唯 一确定系数口( ) ； i ( 3 ) 以x x ，) 在自身肖，处取最大值，沿径向越来越小，并在某个影响域边 界上及以外区域为0 ，以减少计算量； ( 4 ) 归一性，即w ，伍) 抱= 1 。 在满足以上原则的基础上，权函数的选择具有任意性，没有具体的原则，常 用的权函数有高斯权函数、锥形权函数、样条函数和指数函数等。 山东大学硕士学位论文 ( 1 ) 高斯函数： w ，c y ) = 三- d 7 甜棚户兰至兰埘， c 2 一t 2 ， 式中d 是节点x 与节点x ，的距离，d = 0 x x ，i i ，d 柑为节点x j 影响域半径蓁 口为常数，对计算结果有较大的影响，当口= 0 4 时计算结果较好。 ( 2 ) 锥形权函数 w ，伍) =盎d ( 一射2 + s 2 碥d 乙j d 鲋柑 ( 2 1 3 ) d d 村 式中，占为一正的小值，k 为正整数。后及占的选取具有一定程度的任意性， 但选取得好可提高计算精度。文【7 0 】提出影响半径d 耐需适当选取，建议在节点均 匀分布时取影响半径为 d m ，= 罢 其中，m 为基函数的项数，c 为节点分布密度，口为大于1 的系数，可取口= 4 。 ( 3 ) 三次样条权函数 伍) = “封+ 4 3j 如 詈一4 ( 丢 + 4 ( 若) 2 _ 詈( 杀 3 三1 “村c 2 - 1 4 ， q d d m 1 w ，伍，：j ，一6 ( 杀 2 + 8 ( 老 3 - 3 ( 杀) 4 l0 叫 dsd f 一”( 2 1 5 ) d d j ，l ， d d 硝 ( 2 1 6 ) d d 。7 ll i 东大学硕士学位论文 其中，d = g x ，) 2 + ( y y ，) 2 ，d 。，为圆形支持域半径，c 是控制权函数相对 权重的参数，其大小为x ，的最小邻域内节点之间的最大距离，k 为正整数。支 持域半径d 耐的选择具有任意性，d 。，大约是c 的2 5 5 倍。实际上，对不同问题， 由计算实施者根据自己的经验确定。 按b e l y t s c h k ot 矛n l uyy t 2 7 】的建议， m 似) = 1 王矿 e - l d 泔一e q m i f c 警 l0 本文选