（凝聚态物理专业论文）3×3维yangbaxter系统的纠缠和berry相位.pdf

，jr ：， -h t 一 独创性 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导下独立进行研究工作所取 得的成果。据我所知，除了特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果。对本人的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文 中作了明确的说明。本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 紧啦 日期： j 让m * m * ” 夕 一- ，一，_ 一r 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容 编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编本学位 论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：鬈盘 指导教师签名： e l 期：趋坦：6 ：生 日期： 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 7 沙t o 6 么 1，1，- 摘要 由于纠缠态对于量子计算的潜在价值，有很多的理论工作致力于纠缠态的定 性和定量描述。用y a n g - b a x t e re q u a t i o n ( y b e ) 及其相关的代数计算b e r r y 相 位和纠缠是近几年来理论物理和数学物理研究领域的前沿分支之一。本文主要是 通过y a n g b a x t e r 方程的方法获得一个9 x 9 的天，( x ，仍，仍) 矩阵，进而研究9 9 的r j ( x ，仍，仍) 矩阵的纠缠和b e r r y 相位。 本文主要分为五章，第二章至第四章是本文的核心部分。第二章着重介绍了m 代数的y a n g - b a x t e r 化。首先给出一个m 代数，由此m 代数构造一个y a n g b a x t e r 方程的解，然后根据尺，( x ) = p ) 【j ，+ ，( x ) m ，】，得到用辫子群代数表示的r ，( x ) 。 第三章，通过尺，( x ) 作用在直积态上，可以生成纠缠态，研究普参数对量子纠缠 的影响。第四章，通过尺，( x ) 构造系统的哈密顿量，从b e r r y 相位的定义出发，研 究系统的b e r r y 相位，结果表y a n g b a x t e r 系统的b e r r y 相位可以用s u ( 2 ) 代数表 示。 关键词：y a n g - b a x t e r 系统：b e r r y 相位；纠缠 ，曩、f- ?i a b s t r a c t d u et ot h e q u a n t u me n t a n g l e m e n ti nq u a n t u m i n f o r m a t i o no f p o t e n t i a l a p p l i c a t i o n s ，t h e r ea r em a n yt h e o r i e st os t u d ye n t a n g l e m e n to fq u a l i t a t i v ea n d q u a n t i t a t i v ed e s c r i p t i o n y a n g - b a x t e re q u a t i o n ( y b e ) a n dr e l e v a n ta l g e b r a i c c o m p u t a t i o na b o u tb e r r yp h a s ea n de n t a n g l e m e n ti sd o m a i nb r a n c hi nr e c e n ty e a r s i nt h i sp a p e r ，t h eq u a n t u mb e r r yp h a s ea n dq u a n t u me n t a n g l e m e n ti nt h e3 3 y a n g - b a x t e rs y s t e ma r ed i s c u s s e dr e s p e c t i v e l y t h i sp a p e rc o n s i s t sf i v ec h a p t e r s ，t h ec o r co ft h i sp a p e ri s c o m p o s e do f c h a p s 2 _ 4 c h a p 2 ，c o n c e n t r a t e so ny a n g - b a x t e r i z a t i o no fma l g e b r a f i r s to fa l l ，a ma l g e b r ai s g i v e n t oc o n s t r u c tab r a i d g r o u pa l g e b r a ，w eg e t a u n i t a r y v s o l u t i o nr j ( x ) o ft h ey a n g b a x t e re q u a t i o n i nt h es a m ew a yw eo b t a i nau n i t a r y s o l u t i o n y b ev i ay a n g b a x t e r i z a t i o na c t i n go nt h es o l u t i o n i nc h a p 3 ，w ep r e s e n ta v 9 9u n i t a r yr - - m a t r i x ，s o l u t i o no ft h ey a n g - b a x t e re q u a t i o n , i so b t a i n e di n t h i s v p a p e r e n t a n g l e m e n tp r o p e r t i e so fr - m a t r i xi si n v e s t i g a t e d ，a n dt h ea r b i t r a r yd e g r e e v o fe n t a n g l e m e n tf o rt w o - q u t r i te n t a n g l e ds t a t e sc a nb eg e n e r a t e dv i ar - m a t r i xa c t i n g o nt h es t a n d a r db a s i s i nc h a p 4 ，ay a n g - b a x t e rh a m i l t o n i a nc a nb ec o n s t r u c t e df r o m v u n i t a r yr - m a t r i x t h e nt h eg e o m e t r i cp r o p e r t i e so ft h i ss y s t e mi ss t u d i e d n l er e s u l t s s h o w e dt h a tt h eb e r r yp h a s eo ft h i ss y s t e mc a nb er e p r e s e n t e du n d e rt h ef r a m e w o r ko f s u ( 2 ) a l g e b r a k e y w o r d s ：e n t a n g l e m e n t ；b e r r yp h a s e ；y a n g - b a x t e rs y s t e m i i 、_ili 目录 摘要i a b s t r a c t i i 目 第一章绪论1 i - i 引言1 卜2 论文的选题背景及意义3 1 - 3 论文的主要内容3 第二章m 代数的y a n g b a x t e r 化5 2 - 1 y a n g - b a x t e r 系统5 2 - 2m 代数的y a n g b a x t e r 化6 第三章纠缠1 0 3 - 1y a n g - b a x t e r 系统的纠缠1 0 第四章y a n g - b a x t e r 系统的b e r r y 相位1 1 4 - 1 y a n g - b a x t e r 系统的哈密顿量1 1 4 - 2y a n g - b a x t e r 系统的b e r r y 相位1 4 第五章总结1 6 参考文献1 7 致谢2 0 i i i f 0 东北师范大学硕士学位论 第一章绪论 卜1 引言 q u a n t u my a n g b a x t e r 方程( 简称q y b e ) 的建立起源于两个方面的物理研究： 一是量子多体问题；二是统计力学中的二维精确可解问题n 3 。由于在量子信息理 论瞳吲中的广泛应用，相应的研究已经深入到物理学的各个领域。近三十年来，有 关q y b e 的研究取得了长足进展删，作为处理一大类非线性量子可积模型的普遍 理论，它已成为理论物理研究中一个蓬勃发展的分支。 由于纠缠量子态在量子信息中潜在的应用，近几年来目的在于产生纠缠量子 态的实验越来越多，也有很多的理论工作致力于纠缠态的定性和定量描述。用 y a n g - b a x t e re q u a t i o n ( y b e ) 撕1 及其相关的代数计算b e r r y 相位和纠缠是近 几年来理论物理和数学物理研究领域的前沿分支之一。量子力学是非定域的理 论，这一点已被违背贝尔不等式的实验结果所证实，因此，量子力学展现出许多 反直观的效应。量子力学中不能表示成直积形式的态称为纠缠态。纠缠态之间的 关联不能被经典地解释。所谓量子纠缠指的是两个或多个量子系统之间存在非定 域、非经典的强关联。量子纠缠涉及实在性、定域性、隐变量以及测量理论等量 子力学的基本问题，并在量子计算和量子通信的研究中起着重要的作用。 多体系的量子态的最普遍形式是纠缠态，而能表示成直积形式的非纠缠态只 是一种很特殊的量子态。历史上，纠缠是近年来在量子物理文献中经常出现的一 个词汇。纠缠态概念最早是由爱因斯坦、波多尔斯基和罗森在他们著名的“e p r 东北师范大学硕士学位论文 佯谬 文章啪1 中提出来的。纠缠态的概念最早出现在1 9 3 5 年薛定谔关于“猫态” 的论文中。纠缠态对于了解量子力学的基本概念具有重要意义，近年来已在一些 前沿领域中得到应用，特别是在量子信息方面。例如，量子远程通信。 纠缠态作为一种物理资源，在量子信息的各方面，如量子隐形传态旧1 、量子 密钥分配、量子计算等都起着重要作用。然而，受实验条件限制和不可避免的环 境噪声的影响，制备出来的纠缠态并非都是最大纠缠态：另一方面，纯纠缠态受 环境的消相干作用也会退化成为混合态。使用这种混合纠缠态进行量子通信和量 子计算将会导致信息失真。为达到更好的量子通信或量子计算效果，需要通过纠 缠纯化技术将混合纠缠态纯化成纯纠缠态或者接近纯纠缠态。因此，如何提纯高 品质的量子纠缠态是目前量子信息研究中的重要课题。 相位的研究是成为现代量子物理发展的重要方向之一。几何相位的概念首先 是p a n c h a r a t n a m 在1 9 5 6 年的论文汹1 中引入的，基于对偏振光的干涉的研究，他 提出了这样的问题，给出两束偏振光，是否有比较它们相位关系的自然方式，他 的回答是，让两束光干涉，如果合成的强度最大，则他们相位匹配( i np h a s e ) ， 这实际上给出了比较任意两束不正交偏振光关系的一种方法( 比较相位的规则) ， 不过，这个规则对于比较正交偏振光的相位就不适用了，它们不干涉且叠加强度 对两束光的相位是不敏感的。对于偏振光1 ，2 ，3 ，一般来说，如果1 和2 共相， 2 和3 共相，那么1 和3 并不一定共相，研究表明3 多出1 的相位是p o i n c a r e 球面上由1 2 3 所围绕的立体角的1 2 ，后来的研究表明，这个额外相位实际上是 b e r r y 相的早期实例。 2 东 1 2 量子力学里的波函数相位问题一直是近几十年来的研究热点问题之一，从动 力学相位的研究到非动力学相位的研究，量子力学的相位问题一直引起理论工作 者的广泛的关注。自从英国b r i s t o l 大学b e r r y 于1 9 8 4 年提出了量子力学中的 绝热的b e r r y 相位以来，量子绝热相位在各个方面的研究取得了很大进展。早在 b e r r y 工作之前，人们已经知道这个相因子的存在，但是人们由于对波函数的单 值性尚未有深入的认识而忽略了它的物理效应。近年来国内外学者都在努力将已 有的物理哈密顿量复杂化，用以解决不同的哈密顿量下的b e r r y 相位，或者是将 绝热的几何相推广到非绝热情况下。并且b e r r y 相位理论在实际物理应用中的作 用也成了一个重要的课题，y a n g b a x t e r 方程和辫子群理论对b e r r y 相和纠缠的 研究提供了强有力的数学工具。 近年来，对于应用y a n g - b a x t e r 方程计算纠缠和b e r r y 相位方面的研究也有 很大进展一1 ，同时，也拓展了y a n g i a n 在物理中的进一步应用。另外，我们知 道掌握了系统的全部对称性意味着可以得到能谱的重要信息，因此y a n g i a n 对称 性还可以应用于能谱结构的研究。y b e 包含了极为丰富的物理内容，它早已存在 于量子力学之中，从量子力学的角度理解y a n g - b a x t e r 方程是最直观而有效的途 径。 卜3 论文的主要内容 本文主要研究3 3 维y a n g b a x t e r 系统的b e r r y 相位和纠缠。 3 东北师范大学硕士学位论文 首先给出一个9 9m 代数，由此m 代数构造一个辫子群代数，然后根据 r ，( z ) = p ( x ) e l + ，( 工) m ，】，得到用辫子群代数表示的r ，( x ) 。第三章，通过置( 工) 作用在直积态上，可以生成纠缠态，计算纠缠度。第四章，通过尺，( 工) 构造系统 的哈密顿量，从b e r r y 相位的定义出发，研究系统的b e r r y 相位，结果表明 y a n g b a x t e r 系统的b e r r y 相位可以用s u ( 2 ) 代数表示。 最后是展望。 4 东北师范大 第二章m 代数 2 - 1 y a n g - b a x t e r 系统 杨一巴克斯特方程包含了极为丰富的物理内容，近年来，越来越多的研究表 明它是处理一大类非线性量子可积模型的普遍理论。他研究的对象是多体系统， 成为数学物理的一个蓬勃发展的分支。由于数学家的参与，很多文现在形式上比 较数学化，然而有不少物理问题又与它密切相关，甚至量子力学中很基础的氢原 子也是如此。 杨一巴克斯特方程及其相关的理论起源于两个方面的物理研究：一是一维量 子多体问题，二是统计力学中的二维精确可解问题。最早引入有实在物理意义的 q y b e 的是杨振宁，1 9 6 7 年他在处理具有6 一函数作用势的一维问题时，为保证 多体散射的自洽条件而引入了q y b e 的原始形式。1 9 7 2 年，澳大利亚学者 r j b a x t e r 在研究统计力学中的二维精确模型时，为了对角化他所定义的转移 矩阵，从另一角度独立的得到了称之为t r i a n 9 1 e s t a r 的关系。当时这两种形式 并未很好的结合起来。直到以l d f a d d e e v 为首的前苏联列宁格勒学派进一步发 展了量子反散射方法，发现杨振宁与r j b a x t e r 引入的这类关系可以写成一般 形式： vvv vvv r ，( 工) r 州( x y ) r f ( y ) 2 r m ( y ) 尺，( j 吵) 尺川( x ) 这对一大类低维量子可积模型有巨大的用途b ，定名y a n g - b a x t e r 方程。随 着各方面研究成果的积累，人们发现o y b e 普遍存在于量子可积问题中，并且起 东北师范大学硕士学位论文 着核心作用。近三十年来，有关q y b e 的研究取得了长足进展。作为处理一大类 非线性量子可积模型的普遍理论，它已成为理论物理研究中一个重要的分支。 用。 2 - 2 m 代数的y a n g - b a x t e r 化 y a n g b a x t e r 方程可以写成 v vv v vv r f ( 石) 尺f + l ( x y ) r f ( y ) 2 r 件l ( y ) r ( 】吵) r i + l ( z ) 2 1 其中普参数x 和y 表示_ _ 维动量，在一些典型的模型口妇中发挥了很大的作 辫子群算符b ；满足辫子群对易关系 p f b 川饥= b i + ! b i b f + 1 l i ，1 1 - 1 ) ，l o o ，1 - 1 1 ) ，1 0 - i ) ，1 - 1 0 ) ，i - 1 1 ) ) 为标准 态，通过计算，文献 3 5 中m 代数可以表示成 m 竺= g 厶k d + g ：厶。k t d + q 一如一t k 事d 2 4 + g f 如，k 。+ g 一如o k t 。+ q 屯一，k 。+ 厶氏k 其中g l = e i n ，9 2 = e t 晚，q = q 1 9 2( 仍，仍都是实数) 把方程2 4 代入方程2 3 盖( 工，仍，仍) 竺= p ( x ) 【巧删+ f ( z ) m 谢a b 】 r v ，( j c ，仍，仍) 的矩阵形式可以写成 7 2 5 东北师范大学硕士学位论文 一_ 魄仍州弓 r ，( x ，仍，仍) 2 g l 口 口l 0 0000口 b0 o 舌丢 ooooo 6 其中口= x x b = 2 x + x - i 引入以满足s u ( 3 ) 口7 3 关系 k ，l j ：，l ( 名，= 1 ，2 8 ) ， i # - - 三以 为了方便引入l 满足关系 l 钉也，圪= 吒川，虬“s 蝴，h = 去厶 构造出s u ( 3 ) 的自旋实现，分别为i 旋，u 旋，v 旋 f 口k ，产e ，啦k 钟吁，噬。= k 叼 砖。= 三( j ? 一j ；) + 三( ，? e x ，；) l 】，( 1 ) = 三( k + 艺) 一号，? e 一三一匕 r 口= u ! 一u 2 ，畔= k e ，噬2 q 产吁 墨2 ) = 三卜三( j ? 一，；) + ( y i 一匕) + j ? e x e 】 l 】，( 2 ) = 1 三( ，1 3 + 1 3 ) + 吉( z + e ) + j 21 3 ，：3 + 丢z e 】 r 掣= 巧吁，啦) - ，产嵋，2 ) - u 产e e 3 ) = 三卜三( ，? 一j ；) 一三( z e ) + 矸e y 。1 3 2 1 l 2 6 ， ， 证 。坦吧o o o o 吼o o o o o 口 o o o o o 6 o o o 口 6 o o o o口一吼6口一吼o o o o 6 口 o 0 口6 0 0 0 o 0 6 口 o 0 0 0 6 o 0 o o 0 口一 量，( x ，仍，仍) = 口 ，+ f + q ( 皑1 ) + 【，? ) + q 一1 ( u ! + _ 1 ) 9 、， r lp， ，l 6 3 + ) 刀 + + u u + + 劫 ，l，l 一 一2 g g + + 、，、， 但一 0 一 u u + + 动 叭， 叭+ ，l ，l l 2 g g + + ) ) 但一 p r上r上 + + + o + r i j + + r，-， 东北师范大学硕士学位论文 第三章纠缠弟二早纠理 3 1y a n g b a x t e r 系统的纠缠 前面已经z 1 09 x 9 r ，( 工，仍，仍) 的矩阵形式，并且用s u ( 3 ) 的i 旋，u 旋，v 旋表示出来。 引入新的参数p ，令工= p 坩，纠缠度与汐有关，借助n e g a t i v i t y 研究纠缠问题， 将盖，( 工，仍，仍) 作用在直积态i m 以) 上，将得到纠缠态侧，由r y ，( x ，仍，仍) 得矩阵形 式可以得到 i ”。= 盏尺一i 聊玎) ( m ，刀= 1 ，0 ，一1 ) 例如：当朋= 1 ，力= 1 时 l ”= 昙( 6 1 11 ) + 口g i o 一1 ) + 凹i l o ) ) 欠v ，( z ，仍，仍) 将纯态转变成纠缠态 根据n ( p ) - 毕 其中忙刊0 表示p l 的迹 m = 万4 ( s i l l 2p + i s i i l 叫而) 3 1 当l 口i = h 时，令x = p 。了时l ”。是两粒子系统的最大的纠缠态 忱= 击( p 讪一幻。1 i o _ 1 ) 呵1 i 一1 0 ) ) 从盖，( 工，仍，仍) 矩阵出发研究纠缠性质，将盖，( 工，仍，仍) 作用在直积态 1 1 ) ，i l o ) ，1 0 1 ) ，1 1 1 ) ，i o o ) ，j - 1 1 ) ，i o 1 ) ，| - l o ) ，i 一1 一1 ) ) 上，研究生成态的纠缠度，能 够得到与式3 1 相同的结论，这表明r 矩阵保持自然基有相同的纠缠度。 1 0 东北师范大学硕 第四章y a n g - b a x t e r 系统的b e rr y 相位 4 - 1y a n g - b a x t e r 系统的哈密顿量 纠缠态的哈密顿量用天，( x ，仍，仍) m 1 表示成 奋：访旦丝翌娑卫盟尺v + ( 口，仍，仍) ：南日( t ) c tk = l ) - c ( 1 ) 【害s h l 9 ( 掣+ 掣) + 牟s i l l 刃( 1 ) oz 一争删棚) + 害叫( 掣删) ) 】 俨) - c ( 2 ) 卜牟s i n 叫? + 砰) ) 譬s i n 0 y ( 2 ) o z + 鱼1 2 一( 哕删) ) - 鲁卸。( 咿缈) ) 】 ) c ( 3 ) 【一譬s i n e ( ，? + f ) 一半s i i l 卯( 3 ) oz + 争d ( 哕螂) ) - 鲁卸：( 垆缈) ) 】 其中c ( 1 ) = 一4 - 厄了h t 3 一s i n 8 ，c ( 2 ) _ - 尘产 q 暑劬+ 她 用，：( 五= 1 , 2 ，3 ，8 ；k = 1 , 2 ，3 ) 表示日 日= c ( k ) z 曰t 五( k h 钔， 系数b ? 的值如下 ，c(3)=一4、r2丁h(02 s i ne r r 曰p = 二笋s i l l 秒； 硝”= 巧 = 。 i 曰r = 一二筝s m p c 。s 缈。弘+ 亍3 - c 。sp s i n 缈c ， 卜：譬s m 蛐一譬妣， i b = 一。s i n 8 c o s r _ a ( 1 ) t + zc 。s 秒s 访以。弘 l 掣，：等s 证汐s m 烈啪+ 譬c 。s 秒c 。s 硎弦 础：孚s 访秒 r b f = 一二争s i l l 乡；召? = 硝。= 。 卜= 譬s 血觚s 一譬c o s 8 s i n t o f 卜= 等s 血触一知s 删， 卜= 等s 缸鼬s 一孚刚s i n 删r 卜= 等s 血触一知觚s f l 础= 车s 证9 其中i = 2 3 c o ( 1 ) = q ，缈( 2 ) = 劬，国( 3 ) = 吃 在日( f ) 七) 中h 随着占的变化而变化，由于哈密顿量的周期性 日( 占( o ) ) = h ( b ( t 七) ) 下( 1 ) 一2 1 ti q 7 ( 2 ) 一2 万 1 一一 q 7 ( 3 ) 一2 万 1 i 一 鸱 可以得到第一个子系统的本征态如下： 譬 誓 i，_i、 一 e 5 1 ) = 击( 荆+ i 。1 ) ) 陋) = 胛i f ( 1 1 0 ) + 1 0 1 ) ) + e 珊i - 1 1 ) 】 相应的本征值为 掣= 竽瓢；n 秒卅。= 。，一i 竽触i n 秒 其中) - ，一1 k _ 4 s i n 丽9 q ：3 厂- 压 对于第二和第三个子系统的结果表示如下 l e ? ) = 砰2 1 1 1 ) + p 一州( 1 0 1 ) + i 一1 0 ) ) 】 e ：2 ) = 击( - 1 。一1 ) + i - 1 0 ) ) l 胖) = 彬2 2 1 1 1 ) + p q ( i o 一1 ) + l - 1 0 ) ) 】 i 砰) = 孵3 j o o ) + p 。恐q 1 1 ) + l - 1 1 ) ) 】 矽) = 万1 ( - 1 l 1 ) + i - 1 1 ) ) i ) = 皑i f 3 i o o ) + e - u 如t ( 1 1 1 ) + l 一11 ) ) 】 相应的本征值为 掣= 竽删灿乡搿= 。，e ( i ) - m 竽删灿9 其中础k ，= 1 4 s i n j 而9 ：i ：3 厂 、t 2 1 3 jr。 一一k 东北师范大学硕士学位论文 4 - 2y a n g - b a x t e r 系统的b e r r y 相位 九刮未眇d r s u ( 2 ) 群的构造如下 哈卺垓量司以写成 r = c ( 1 ) 畦( 础s ，( i 岫躞) + 磁。s 门 2 ) - c ( 2 避( 世掣+ 邵胖) + 犀2 砖2 ) 】 l 日( 3 ) ：c ( 3 ) 己( 召9 掣+ 口p 馨) + 口$ 翔 整个系统可以分解成3 个自旋三和3 个自旋为。子系统组成。实际上我们可以 引入不含时的9 9 的。矩阵，0 矩阵特性如下： o 矩阵使哈密顿量盒和c a s i m i r 算符f t 转化成对角矩阵 1 4 一 ) ) 十 似+ 似 ” 唑 砉， _ 三十 十 十 4 i i p 哆 彤 。一压 = = = 科， 科 q 厂，弋l 一 = 抛_ l 卿吁艰日p ) h 1 = h i doh p i 其中日：1 的孝m = o，九= 0 ，所以子系统日p 为自旋为。的系统。对于! 2 的子系统，引入c 。s 口= 丁2 , 5 s i i l p ， c 。s - - 垫坐粤丝掣， 9 8 s i l l 29 不含蝇州s 孕一s 一竽幄脚2 明 日兰。c o x 血批0 8 , s s i + s i n a s i n f l s 2 托0 8 峨 根据b e r r yp h a s e 的定义， 可以求得子系统h i 的 理：千万( 1 - c o s a ) = 千里孕，参数口与辫子群代数的y a n g b a x t e r 化参数矽有 关。相应的本征态为 = 彳扣+ c o s 扣 = e i ，s t n 扣+ c o s 扣 其中1 1 ) = 。击( | 1 0 ) + | 0 1 i ) ) ，12 = 。去l - 1 - 1 ) ， 二1 v 所以说子系统日善为自旋为j l 的系统。子系统2 ，3 有上述一样的结论 ，= 研( 1 - c o s a ) = 千掣，= o 1 5 日 ，o m = ， 东北师范大学硕士学位论文 第五章总结 由于纠缠量子态在量子信息中潜在的应用，用y a n g b a x t e re q u a t i o n ( y b e ) 及其相关的代数计算b e r r y 相位和纠缠是近几年来理论物理和数学物理研究领 域的前沿分支之一。本文主要是通过y a n g b a x t e r 方程的方法获得一个9 9 的 r i ( x ，铭，仍) 矩阵，主要计算9 9 的r i ( x ，仍，仍) 矩阵的纠缠和b e r r y 相位。 第二章着重介绍了m 代数的y a n g b a x t e r 化。首先给出一个m 代数，由此m 代数构造一个辫子群代数，然后根据r ) = p ) ，；+ ，o ) m ，】，得到用辫子群代 数表示的足( x ) 。 第三章，通过r ，( x ) 作用在直积态上，可以生成纠缠态，计算纠缠度。第四 章，通过r ，( x ) 构造系统的哈密顿量，从b e r r y 相位的定义出发，研究系统的b e r r y 相位，结果表明y a n g b a x t e r 系统的b e r r y 相位可以用s u ( 2 ) 代数表示。整个系统 1 可以分解成3 个自旋寺和3 个自旋为。子系统组成。 1 6 聋 k 缔 卜 - r e v l e f t 7 0 r 1 9 9 3 ) 1 8 9 5 【4 】ch b e n n e t ta n ds j w i e s n e r ，p h y s r e x , l e t t 6 9 ( 1 9 9 2 ) 2 8 8 1 【5 】m m u r a o ，d j o n a t h a n , m b p l e n i o ，a n dv v e d r a l ，p h y s r e v a5 9 ( 1 9 9 9 ) 15 6 6 d r i n f e l dv g h o p fa g e b r a s a n dt h e q u a n t u m y a n g - b a x t e r m a t h d o k l ，19 8 5 ，3 2 ( 1 ) ：2 5 4 - 2 5 8 7 d r i n f e l dv g q u a n t u mg r o u p m 2 6 9 2 7 1 【8 d r i n f e l j s o v i e tm a t hd o k l ，1 9 8 8 ，3 6 ( 2 ) ：2 1 2 2 1 6 【9 v g l o vdb ，k o r e p i nv e t h ey a n g i a ns y m m e t rl e t ta ，19 9 4 ，19 0 ( 3 - 4 ) ：2 38 - 2 4 2 i o o e m l ，x u e k ，c h 0 ym r t tr e l a t m e c h a n i c s j 】p h y s l c t t a ，1 9 9 8 ，2 4 9 ( 5 - 6 ) ：3 5 8 3 6 2 【l1 g eml , x u ek , c h oy m g r e a t e ru n d e r s t a n d i n go fi n t e g r a b i l i t ya n dy a n g i a n s y m m e t r y j p h y sl e t t a ，1 9 9 9 ，2 6 0 ( 6 ) ：4 8 4 - 4 8 8 12 g eml ，w a n gyw l o n g r a n g e - i n t e r a c t i o nm o d e l sa n dad d f o r r n e d - l o o p s y m m e t r y j p h y sr e ve ，1 9 9 5 ，5 1 ( 4 ) ：2 9 1 9 2 9 2 4 1 3 】葛墨林，薛康杨巴克斯特方程 m 】上海：上海科学技术出版社，1 9 9 9 3 5 1 2 9 【1 4 葛墨林，薛康量子力学中的杨巴克斯特方程 m 上海：上海科技教育出版 社，1 9 9 8 11 9 1 4 2 1 4 曾谨言量子力学【m ：卷i i 第三版北京：科学出版社，2 0 0 0 3 2 - 4 8 【1 5 钱伯初，曾谨言量子力学习题精选与剖析 m 】第2 版北京：北京社，1 9 9 9 1 2 1 8 【1 6 喀兴林高等量子力学 m 北京：高等教育出版社，1 9 9 9 2 3 - 4 8 1 7 张礼，葛墨林量子力学中的前沿问题【m 北京：清华大学出版社，2 1 7 f l 东北师范大学硕士学位论文 【1 8 顾莱纳，缪勒量子力学：对称性 m 】第2 版钱裕昆等译北京：北京大学出版 社2 0 0 2 12 6 2 【19 e r i c k s o ncj , l e v r o nd ，h a p p e rw ，e ta 1 s p i nr e l a x t i o nr e s o n a n c e sd u et ot h e s p i n a x i s i n t e r a c t i o ni nd e n s er u b i d i u ma n d c e s i u m v a p o r j p h y s i 沁vl e t t 2 0 0 0 8 5 ( 2 0 ) ；4 2 3 7 - 4 2 4 0 2 0 d r i n f e l dv g an e wr e a l i z a j s o vm a t hd o k l ，1 9 8 8 ，3 6 ( 2 ) ：2 1 2 - 2 1 6 21 w a n gdf ，l i ujt ，c o l e m a np s p e c t r u md i m e n s i o n a ls u p e r s y m m e t r i ct jm o d e l w i t h1 r 2 e x c h a n g e a n d h o p p i n g j p h y s m o d e la n dr t t r e l a t i o n s j j r e vb ，19 9 2 ，4 6 ( 10 ) ：6 6 3 9 - 6 6 4 2 2 2 w a n gzf ，g eml , x u ek t h eh a l d a n e - s h a s t r yp h y sa ，19 9 7 ，3 0 ( 14 ) ；5 0 2 3 5 0 3 6 2 3 】c n y a n g ，p h y s r e v l e t t 1 9 ，1 3 1 2 ( 1 9 6 7 ) ；c n y a n g ，p h y s r e v 1 6 8 ( 1 9 6 8 ) 1 9 2 0 【2 4 r j b a x t e r ，e x a c t l ys o l v e dm o d e l si ns t a t i s t i c a lm e c h a n i c s ( a c a d e m i cp r e s s ， l o n d o n ，19 8 2 ) ；r j b a x t e r ，a n n p h y s 7 0 ，19 3 ( 19 7 2 ) 【2 5 v g d r i n f e l d ，s o v i e tm a t h d o k l3 2 ( 1 9 8 5 ) p p 2 5 4 - 2 5 8 【2 6 e i n s t e i na ，p o d o l s k y b ，r o s e