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摘要 一类趋化模型的定性分析 利用偏微分方程研究生物种群动力学，已经成为非线性偏微分方程研究领域的一个 重要研究方向本文在n 维空间中讨论o t h m o r 和s t e v c n s 4 】提出的一个描述黏菌运动的 一维趋化模型解的性态，确立了解的一些定性性质，从而有助于了解黏菌聚集运动的机 理 第一章足前盲部分，简单介绍与本文相关工作的背景与发展概况 第二章讨论线性增长模型 裳= 肼一p 矗v ”) ， a 酉。p 一心， 一p 鼎v r n o ， $ n ，t 0 ， 霉n ，t o $ 搠，t 0 ， p 缸，0 ) = p 0 ( ) 0 ， 扛，0 ) = t a o ( x ) 0 ，。彘， 其中n 为a n 的单位外法线，区域n c 舻有界光滑 我们证明了上述问题的解扫扛，t ) ，( 甄t ) ) 是整体存在的，且满足：当p 一0 时，p ( z ，t ) 有界，w ( x ，t ) 无界；当p 0 且初值( 。) ，埘0 ( z ) ) 适当小时，p ( 戤t ) ，( z ，t ) ) 有界，同时 还有如下渐近性质， l i r a 。l l p ( x ，t ) 一声1 1 2 2 墨怒l l t ，( x ，t ) 一面0 2 20 ， 其中l 1 1 2 ：i i - f b ( 锄，多= i n l 一1 矗伽( z ) 血，面= p 一1 乒 第三章考虑饱和增长模型 0 优p = d v ( v p p 赤v ”) ，z e i n , 川， 箬p w l - - u 。心+ 7 乇t 。n ，t o ， 瓦心+ 7 而t 。1 0 ，t u ， ( v p 一v 0 一。， 。o f t p 。， p ( x ，o ) 宅p o ( 曲 0 ，叫( ，0 ) = t n d ( z ) 0 ，z 矗， 在本章里，我们证明了细0 。t ) ，t t ，( 毛t ) ) 整体存在此外，当p = 7 ；0 时，还有如下估计t 扣+ 胁( ，+ ：勘广一；洲州) s 嘶) ( 1 + 卢槲) 碡 p ( 州) s r 干富+ 腑撕( 州1 + 觑赤一， 其中b = 土1 + u w _ o 第四章讨论指数增长模型 象= 肼一p 鼎v 0 警= 加一p ) ”， 一p 赤v 0 一。t g n 。t 0 ， o n 。t 0 。 z a n ， 0 ， p ( 嚣，o ) = 细( 曲 0 ，”扛，o ) = 蜘( 0 ，霉彘， 我1 f 】证明jt ( i ) 当p = 0 时。者解( p ( z ，t ) ，硼0 ，t ) ) 是整体存在的，则有 嚣 蒜唧 f 嘶加) ) - 面1 ； 若解在有限时刻t 爆破，则存在矿磊使得 。骧 端呻 r f 一出) ) = ；。 ( i i ) 当p 0 且初值满足某些条件时，如果解在有限时刻爆破，则存在矿矗使得 。警高唧饭陋，巾南h 1 奘锺词，趋化模型。上下解，整体解，衰退 a b s t r a c t t h ea n a l y s i so fap a r a b o l i cs y s t e mm o d e l l i n gc h e m o t a x i s t h ed y n a m i c so fb i o l o g i c a lm o d e l sh a v er e c e i v e di n t m n s i v cs t u d i e s a n di th a 8b e e n 舭 i m p o r t a n t 删i nt h ef i e l do fn o n - l l n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i t h i sp s p c ! r ，md e a l w i t hac i b l 强o fe h e m o t a d sm o d e l s w h i c h 啊吧r ep r o p o 刨x lb yo t l a m t 玎a n ds t e v e n s 4 1i no n t $ d i m e n s i o nc , s s c w eo b t a i ns o i i l co r o p e r t i e so ft h es o l u t i o n s w h i c hh e l pt mt oi m p r o v et h e u n d e r s t a n d i n go ft h em e c l u m t s mt h a tc 鲫埘档t h ea g g r c g 。t t i o no fm y x o b a e t e r i a l s e c t i o n1 w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n da n dh i s t o r ya b o u tt h er e l a t e dw o r k sf o rd a e m o - t a x i sm o d c l s i ns e c t i o n2 ，c o n s i d e rt h ef o l l o w i n gs y s t e m 0 优p = d v , 一p 赤v 0 0 t o 面2 p 一胛t 一p 矗v ”) 菩n ，0 0 ， $ n ，t 0 ， n = 0 ，狮，t 0 p ( z ，0 ) = p o ( z ) 0 ，埘( 霉，0 ) ：= t 0 0 ( z ) 0 ， 茹a ， w h e r eni bt h eu n i to u t e rn m m a lv e c t o ro n0 f 1 i li 8ab o u n d e dd o m a i ni n 曰。w i t hs m o o t h b o u n d a r y0 n w ep r m r et h a tt h e 舳l u t i o no ft h em o d e l 喇t 丑g l o b a l l y , a n di f 芦 0 ，t h es o l u t i o n h a st h ef o l l o w i n ga 町，l 州cb e h a v i o r ： 2 骢p 0 ，t ) 一声h 2 ；0 tt ! 恐i f 扣，t ) 一由1 1 2 。0 ， 轷k 髓6 唧= n 一1j n 翔p ) d 霸西= _ 一1 孬 i ns e c t i o n3 w d e a lw i t ht h e 宝= 肌( v p p 赤v 0 ， 霉 川， 妥；= 黑一p t l ，+ 7 丁呈：， 罩n ，t o ， 否 = 靠一p t l ，+ 7 r 辛；， 罩n ，t o ， ( 审p p i ；面v ”) n = o ， z 。n ，t 。， p 妊，o ) = 翔( 。) 0 ，韬0 ，o ) ；钍1 0 扛) 0 ， 2 a w ep 】姗t h a tt h es o l u t i o no ft h em o d e la d t 8g l o b a l l yf o ra n yi x i t i v ei n i t i a ld a t a , a n di f p = ，= 0 ，t h e n ；缸+ 觚( 圳( 1 + ：勘t ) k o v 一；枷( 引) 蜘( 州l + 硒硒t ) 砖 p ( 列) i - 干害+ 舰撕( z ) ( 1 + 硒t ) 赢， w h e r ek o = 赢 s e c t i o n4i 8d e v o t lt ot h ef o l l o w i n gm o d e l ： 象= 厮一p 赤v 0 ， 筹= ( p 刊”， 一p 赤v 0 一。， $ n ，t 0 ， n ，t o $ m ，t 0 ， v ( x ，0 ) = p o ( x ) 0 ，0 ，o ) = w o ( x ) 0 ，z 彘 上h et o l l o w i n gr e s u l t sa r eo b t a i n e d ： w h e np20 i ft h es o l u t i o np ， ) e x i t sg l o b a l l y , t h e n m 莉a x f l 。+ w 舭o ( z ) c x ”忻嘶f ) a r ) ) 节1 i ft h es o l u t i o n 扫， ) b l o w su pi nt h ef i n i t et i m et ，t h e nt h e r ee x i t s 矿磊s u c ht h a t 。骧 者唧m 嘶d r ) ) = 万1 w h e np 0 i ft h ei n i t i a ld a t as a t i s f i e s8 0 i n ea d d i t i o n a lc o n d i t i o n s ，a n dt h es o l u t i o n 扫，叻 b l o w su pi nt h ef i n i t et i m et t h e nt h e r ee x i t s 矿e 矗s u c ht h a t 。j i mw o ( z * ) 上o 陆一一南h7 1 k e yw o r d s ：c h e m o t a x i sm o d e l ，s u p e r s o l u t i o n ，s u b s o l u t i o n ，d o b a ds o l u t i o n ，c o l l a p s e 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果尽我所知。除了文中特 j , l j j n 以标注和致谢的地方外。论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过 的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意 研究生签名；f 虱森日期。! ! ：! ：! ! 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学，中国科学技术信息研究所国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内 容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可 以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究 生院办理 研究生签名：皿导师签名。诎 第一章前言 生物体为了自身的生存和繁衍，会感知它们所处的外部环境，躲避灾害和不利条件， 向利于自身的环境运动自然界广泛存在着这种趋化现象食草动物向水和植被丰富的 地方迁徙，食肉动物向猎物多的环境运动，有些细菌向氧气密度高的地方运动等都是这 种趋化现象任何一种趋化现象总有两个方面的因素t 外部刺激物，生物体本身及其做出 的反应根据生物体是靠近还是远离刺激物，趋化现象又分为正( 靠近) ，负( 远离) 两种 在各种趋化现象中，有一种描述生物有机体在某种外部化学物质刺激下的运动的趋 化现象 1 9 7 0 年k e l l e r 和s e g c l 在文【1 3 】中最早用一个耦合的抛物型方程组构成的模型 来描述该类趋化现象y a 舀随后解决了该模型解的局部存在性自此之后的三十年时阆 里，生物家和数学家都对此类问题产生了巨大的兴趣，提出并研究了许多不同的趋化模 型趋化模型一般具有下面的形式， 其中n 代表一个封闭 筹= v 州叩肌一小m 刊，z n ，t o ， 裳= q ”+ 口( 1 ，口) “一7 ( ， 扣，$ n ，t o t 妻：妻：o ， 舳，t o ， 丽= 丽= u ， 伪2 ， u “m 力：如l 帕，v 忪，o ) ：仉l 劬，( f 矗， 的环境。“( z ，t ) 代表生物体在位置z 时刻t 的密度，口( $ ，t ) 代表化 学物质在位置时刻t 的浓度，芦( “， ) 代表化学物质的增长率1 ，”) 代表该化学物质 的减少率，_ 是该化学物质的扩散系数x ( u ，n ) 代表生物有机体对外部化学物质作出反 应的敏感系数，它在一个趋化过程中起着关键的作用当( u ，口) 0 时，若x ，口) 0 ，表示正的 趋化过程，生物有机体向化学物质浓度高的位置运动 趋化模型的个显著特点是解可能在有限时刻爆破模型的解是否爆破不但依赖于 初值，还依赖于区域的维数和形状，因此该类模型的研究具有复杂性和困难性w j a 固汀 和s l u c k h a u s 在文【9 l 中研究了一个二维区域中的趋化模型，证明了初值小于某一常数 时，解是整体存在的；当初值大于该常数时，解是爆破的进一步地，他们还证明了若区 域是个圆面，则解只在圆心处爆破 在文f 3 j 中，o t h e m e r 和s t e v c m 建立了个描述黏菌运动的一维数学模型黏菌本 第一章前言 2 身能分泌一种黏液，使得自身更容易运动该趋化模型为。 窘= 。杀( 象一p i 筹) ， 筹= f ( p ，毗 赛一p 熹筹一o ，瓦一p 石蕊瓦。”， 0 $ 0 ， 0 0 ， p ( ，0 ) = p o ( x ) 0 ，硼( z ，0 ) = 咖( 。) 0 ，$ a ， 其中f 0 ，”) 有三种形式， ( i ) t t ，线性增长模式，f 0 ，t t ，) = p 一刖， ( ) ”饱和增长模式z f p ，t l ，) = r p 瓦w 面一_ l + 7 r 毛， ( f i i ) 1 l ，指数增长模式。f p ， ) = 0 ) 掣 该模型中p 代表黏菌的密度，”代表黏液的浓度，它会影响黏菌的分布d ，芦，p 均 是正常数，口是非负常数 基于此，该文考虑了上述模型独立于空问变量的解的渐近性质，证明了t 在情形( i ) 下，若初值取非负常数，且蜘 0 ，则当p 0 且o t 0 时常数解汹，p - 1 p o ) 是渐近稳定的；当p = 0 ，a 0 时解涵，帅+ p o t ) 是不稳定的 在情形( i i ) 下。解有多种情形，或者稳定或者有限时刻爆破，依赖于p 和 的衰减 率p 如果 o ，y = 0 ，则常数解( p ( 1 + v w o ) ，蛳) 是渐近稳定的，只要p 0 ，且1 + 啪 充分大，其中w o 0 在情形( i i i ) 下，当p = 0 ，o x = 0 时，解，帅泸) 足不稳定的；当p 0 时，解( “w o ) 是不稳定的，其中如，蛳 0 y a n gy i n 和c h c nh u a 在文跚】中研究了一类趋化模型 第一章前言 对于情形( i ) ，作者证明了解整体存在；对于情形( n ) 给出了解有限时刻爆破和整体 存在的必要条件 在研究趋化模型时，主要关注解的三种性态。聚集，爆破。衰退其定义如下t ( i ) 如果1 1 墨群l i p ( ，t ) l l * l i p ( ，0 ) 1 1 0 0 且i 扣( 。，t ) 0 * o ， ( v p v ”) 一o ， z 加渺。， 烈z ，0 ) = j ) d ( z ) 0 t p 0 ，0 ) ；= w 0 ( x ) 0 ，霉磊， 3 第一章前言 4 其中n 是a n 的单位外外法线，n 是舻中具有光滑边界的有界区域f 0 ，) 有三种形 式， ( i ) 线性增长模式t f 妇，t t ，) = p 一胛j ( 螂饱和增长模式t f ( p ，t l i ) = r 嚣面一舢+ 7 南， ( i i i ) 指数增长模式：f 纸 ) = 白一p ) t ，其中反仉h p 0 ，a 0 为常数 本文的主要结果足； 在情形( i ) 下，解( “z ，t ) ， 0 ，t ) ) 整体存在，并且当p = 0 时，p ( 茹，t ) 有界，t f ，”无 界当p 0 且初值( z ) ，蛐( ) ) 适当小时，0 ，0 ，t ) ，”( z ，t ) ) 都有界，且成立渐近性质， 墨恐i i p ( $ ，t ) 一剜1 22 墨恐i l t ，扣，) 一面1 2 = 0 ， 其中乒= i n l - 1 ，n p o ( 。) 如，亩= _ i 一1 正 在情形( i i ) 下，解加( 霉，t ) ，t t ，( ，幻) 整体存在当p = ，y = 0 时，解( p ( 。，t ) ， 0 ，t ) ) 满 足t ； + 胁( 圳( 1 + ；型0 t ) 劬一苦”( 引) 蜘( 州1 + 眠b 。砖， p ( z ，t ) r i 害+ 舰蜘( 。) ( 1 + 凰硒t ) 廊t 其中2 壳 在情形( i i i ) 下，当p = 0 时，若解( z ，t ) ( 马t ) ) 整体存在，则成立 嚣 菥唧 o 。嘶a r ) ) - ； 若解在有限时刻t 爆破，则存在矿磊使得 。粤端唧m 嘶，啪) 7 1 当p o 且初值适当时，如果解在有限时刻爆破，则存在矿厅使得 。骧端唧m 卜c 州一赢h = ； 本文所用的主要数学工具是函数变换方法，上下解方法，扰动方法和微分方程最大 值原理 本章研究线性增长模型 第二章线性增长模型 象= 肌( 聊一p 南v 0 ， a ：e f , ， 害m 善e i l , 川， ( 2 ，) 酉2 p 一脚， 善 o o ， f 2 】、 一v ”) o ， 彳施渺o p ( x ，0 ) = j ，0 ( ) 0 ，缸，( z ，0 ) = t j o ( $ ) 0 ， 薯a ， 其中n 为a n 的单位外法线。n 是舻中具有光滑边界的有界区域在以后的的各章中 n ，a n 均表示相同的意义模型中各项的意义已经在前言部分介绍了 运用s h a u d c r 估计和不动点的方法易知( 2 1 ) 的古典解足局部存在的下面我们考察 模型( 2 1 ) 解的整体存在性和有界性 为了书写方便，在以后各章中，对函数，记 z 2 裟，如) ，。搿， ) 首先考虑p o 的情形作函数变换u ( q t ) = i ，则模型( 2 1 ) 变为 豢= d 。鼎可u 咖( ”一焘) ，x e f z , 川， 薰2 “( a + 芦”) 一p ”， 善n ，t o ( 2 2 ) 象扎 z 锄渺o ， p 。 如 0 ) = 嘶) 垒# 。州础) = t f j 0 伽) 。，z 甑 容易证明，( ( 而) ，t t ? ( 甄t ) ) 足( 2 2 ) 的解当且仅当( z ，t ) ， ( z ，t ) ) 足( 2 1 ) 的解记 ? = s u p t ；p ( 而) ， ( z ，) ) 在n f o 旬存在 显然t 0 ，从丽( u ( 窖，t ) ，t ，扛，功) 在n 0 ，t ) 上有定义在以后的各章。t 也表示相同的 意义 下面的引理给出了模型( 2 , 1 ) 解的非负性 引理2 1 如果p ( z ，t ) ， ( z ，) ) 是( 2 1 ) 的解，那么对任意( 毛t ) n f 0 ， ，有 p 扛，t ) 0 ，t t ，扛，t ) 0 5 第二章线性增长模型 证明考虑下面的初值问题 鲁= 跚p ( ；唧一鼎v 钾) ：r e n , ， 爱2 p 一脚 。n ，。 0 ( 2 3 ) 一器v ”) 一。， z 锄渺。， 其中痧= 矿，p = p + 一p - 根据文f 2 a ，模型( 2 3 ) 存在唯解我们只要证明( 2 3 ) 解是非负的，由( 2 1 ) 解的唯 性就可以证明引理的结论 在( 2 , 3 ) 的第一个方程左右两端同时乘以p - 并在n 积分，有 上争血= o p p ( ；唧一赤v 0 卜 而 上警p a x = 一互l 面d 上。一) 2 如， f n p - 。v p g 跏一夏) 妇= 上庐；i 跏卅i 如+ z 胁一( 夏v 0 曲， 注意到声v 一= 0 ，剥v p 1 2 = 0 ，于是 未z 2 ( 引= o ， 从而 上白一) 2 ( 叫) 血。六( 石) 2 扛) 出，j nj n 又因为石扛) = 0 ，所以 上2 ( 州扎 这表明p - ( z ，t ) 在n 上几乎处处为0 ，即j ， ，t ) 0 由( 2 1 ) 的第二个方程知 叱牡( r p ( 圳d f + t l 】0 ( z ) ) e 一， 利用p ( x ，t ) 0 ，易得 ( ，t ) 0 引理2 2 如果( h ( 。，t ) ，t ，( $ ，t ) ) 是( 2 2 ) 的解。那么对任意。n 【0 ，r ) ，有 t l ( o ，t ) s 面0 6 第二章线性增长模型7 证明由引理2 1 ，知p ( $ ，t ) o ，( 霸) 0 根据( 2 2 ) 的第二个方程， 象= 。“+ d i 讥v ”一触一若) 0 ，使得 心，d = 端划。托 从而若 ( $ ，t ) 有界，则p ( x ，t ) 岿有界另一方面， 吣国= ( z p ( ”) 叶+ 撕( 功) e ， 故若 ( t ) 无界，p ( 。，t ) 必无界 对于任意正的初值的条件下，并不能证明解佃( 以t ) ，( 茹，t ) ) 的有界性但是当初值适 当小时，则解扫( 毛t ) ，”o ，t ) ) 是同时有界的饕是下面的定理 定理2 3 如果o t t j 0 ( z ) 易，o 。，”扛，。) = 蜘( z ) 。，z 矗 42 o o t 绣 搬 茹 z 第二章线性增长模型 的解，其中e 0 根据扰动理论，当e 一0 时，( 2 4 ) 的解他扛，t ) ，地0 ，) 点点收敛到 ( 2 2 ) 的解( z ，t ) ，w ( x ，t ) ) 下面证明 础脚) 刍，陇( z ，t ) 嚣 事实上，如果上述结论不成立，则至少有下述一种情况发生； ( i ) 存在，t 。) ，啦，。) = 参，且( 。，t ) 茹，o 挑( z ，) 易，妇n 【o ，t 0 ) ， ( n ) 存在，t o ) ，饥，t o ) = 丢，且毗p ，t ) 翕，o 饥( z ，t ) 易，忱磊x 【o ，t 0 ) 事实上，我们可以取t o = i n f t ；u , ( 0 = 与) ，贝 j 幻满足( | ) 对于( 1 0 ，t 0 可以用同样的方 法得到 现在证明上述两种情形都不能成立 若( i ) 成立，则根据h o p f 引理知知n ，此时杀i 幻) o ，丽 d a u , + d 毒矗v 地v 毗一触( 乜t 一巷) - c l ( 。m 一 0 ， 若( n ) 成立，则警i o ，而“c + 风k ) 一舭一e l 细川一 o ，所以我们得刭 峨( 州) 刍风( 吼t ) 万a u 令t o ，得到”( 为o 易，u ( 岛t ) 品，从而”( 毛t ) 暴，p 如，t ) 詈 作为预备性的结果，我们再给出一个引理 引理2 3 如果非负函数( t ) 满足铲k ( t ) d t o o ，并且 例i ( ) l g 或者 似j 对任意r ，都有1 o + 力一k ( t ) i 曼e ( ) ，其中e ( t ) 满足( t ) 一0 ，t 0 0 那么( ) 一0 ，t o 。 证明参见 2 q l 引理5 1 有了上述引理，就可以证明下面的定理 定理2 4 如果o 蜘 劲a ，o 帅( 删) = 帅。) 吣缸 定理2 5 若p ( 而t ) ， 扛，t ) ) 是( 2 1 ) 的解，则p ( z ，t ) 有莽，w ( x ，t ) 无界，并且 p 缸，) 面o 【口+ 卢( 动】，t l i mw ( x ，t ) = + 证明由定理2 1 知，当p = 0 时解o ，( ，t ) ， ( ，磅) 整体存在，且扫( 毛母， ( 马t ) ) 是 ( z 1 ) 的解当且仅当扣扛，磅， 扫，t ) ) 足( 2 2 ) 的勰。且 ”( 毛t ) = 缸+ 风，o 。) ) e 碲 z 芦铲d 下) ， p 扛，力= ( a + 帅( 瑚“( 州) 唧 z 肚。d r 记q 1 ( t ) 和驰( t ) 分别足下面初值问题 r 叮= 一p q 2 ， 0 ， 【g ( o ) = 笪0 第二章线性增长模型 棚 0 f m = 一胖，t ， lq ( o ) = 面 的解，剐q l ( ) ，q 2 ( t ) 分别是叫。，t ) 的上解和下解计算得 q ，o ) = 冈1 ，q 2 ( t ) = 两1 ， 于是对任意n ，t 0 ，都有 t1 万寿如扣一k 而每， 所以 p 扛，t ) = ( a 4 - 母绚( z ) ) t ( ，幻e 印 阮( 。，布d r ， j o ( 口+ 卢t 如( $ ) ) 口2 ( t ) e x p ( a q 2 ( r ) d r ，c j 0 = ( n + a w o ( z ) ) a o o 。， 并日 ”。，t ) = ；。+ 加如扛) ) u ( z ，t 甲 z 卢u ( s ，r ) d 口一； 芝( a + 觚 ) ) c x p i 鼬( r ) d r 卜芸 = ；( n + 肌( 瑚( 1 + 凰铲；， 从而舰”0 ，t ) = + o o ，定理成立 定理2 6 当p = 0 时，如果如0 ) 在。l 点达到最大值，且m 蟹( a + 卢蛳0 ) ) 口( a + z e l l l i r a s u p l i p ( ，t ) 0 。 i i p ( ，o ) 1 1 。 1 证明由定理2 5 ，得 v ( x ，t ) s ( 口+ 卢( ) ) 面 m 。印a x ( n + 舭( 砌揣 0 ， 一v ”) 。 z a n ，川， 烈毛0 ) = 瑚( 。) 0 ，叫p ，0 ) = w o ( 甸 0 ，彳磊， 作函数变换“( 为t ) = 端，则模型( 3 1 ) 变为 ( 3 1 ) 豢= d a “+ d 矗v u v 螂 一加卜志一赤+ 志 咄洲， 娑：伽业14 一舢+ 善热， 。n ，t 0 ( 3 2 ) 丽= 伽而- 工，, o 一舢+ 再面楠， “n ，b0 嘉h 0 z a n ，t 0 o o ) = 蛳( z ) 垒端 o ，t ，。，o ) = 蛳o ) o ，霉盹 容易证明，( “( ，t ) ， ( z ，) ) 是( 3 2 ) 的解当且仅当( p ( 甄t ) ，w ( x ，) ) 是( 3 1 ) 的解 我们先给出下面的引理 引理3 1 如果( p ( z ，t ) ， ( ，t ) ) 是( 3 1 ) 的解，则对任意( z ，t ) n 0 ，t ) ，有 p ( x ，t ) 0 。 ( ，t ) 0 证明令沁扛，力，姚扛，o ) ) 足初边值问题 鲁= d “+ d 鼎v “v ” 一肚卜志一鼎+ 忐】+ c 蜒n ，b o ， 豢：删髻尝一删+ 爰热“ z n f 0 ( 3 3 ) 面2 删靠一删+ 再面森前“， 。1 2 ，f o ， 7 象- o z 加，t o u ( z ，0 1 = = t 1 0 ( z 1 ，t t ，f z 0 1 = ：t t 舢( $ 1 0 z 矗 其中e 0 根据扰动理论，当f 一0 时， 解( u ( 瓤t ) ，t ，( z ，t ) ) ( 3 3 ) 的解( 而t ) ，地( $ ，t ) ) 点点收敛到( 3 2 ) 的 1 4 第三章 饱和增长模型 f 面证明a 0 ，t ) o ，仰e ( o ，t ) o 事买上，由蜘( 动 0 如缸) 0 知，着引理绪论不 成立。则至少有下述一种情况发生； ( i ) 存在( z o ，t o ) ，魄，t o ) = 0 ，且0 ，t ) 0 ， 。( ，t ) 0 ，v z 矗【0 ，t o ) ， ( i i ) 存在( 却。t o ) ，w e ( $ o ，t o ) = 0 ，且坝( 羁t ) 0 ，( d 0 ，磊【o ，t o ) 若( i ) 成立，则由h o p f 引理知跏n ，此时鲁i 山) o ，而 蹴+ d 鼎v ”一肚 ”志一最+ 而署丽】+ c k ，e o ， 若( 缸) 成立，则警l ( 知。，丽u m 口。+ + 删3 m 一心+ 揣+ e l m 芝e o ， 所以姚慨t ) o ，p t ( 以t ) 0 ，令e 一0 ，褥到u ( 。，t ) o ， ( z ，亡) 0 定理3 1 对任意正初值咖0 ) ，撕扛) ) ，模型( 3 1 ) 存在唯一整体解( z ，) ，t ，( 蜀t ) ) 证明根据引理3 1 及( 3 1 ) 的第一个方程，褥 象一+ 。南触卜南一焘+ 矗 d a d 矗v v 刖鼎 0 ， ( 3 4 ) 霉a n ，t 0 ， ”( 硼= 嘶) 垒捌斋 0 , t o ) = 蜘咖吣瓿 对于模型( 3 4 ) ，我们有 引理3 2 如果“0 ，) ，t i ( ，t ) ) 是( 3 4 ) 的解。则 所以 南纠引) 南，其中幻2 矗 证明根据引理3 1 ，对t | ，我们有 同时还有 t l ，缸，t ) w o ( x ) w _ o 0 1 善擘垒k o ， i + 一1 + 蛳 7 一黑一卢k o u 2 ， 1 + 叫一 7 象= d a u + d - - w v u v w 一黑 d + d 五：；面v - v 一口七0 “2 a 十口t l i 窑= 弛+ d 鼎v u 一黑 d 如+ d 矗v 。v w 一：砍 记q l ( t ) 和啦o ) 分别为初值问题 f 吼= 一声b q 2 ，t 0 ， 1g ( o ) ：锄 和 q = 一钮洲， 第三章饱和增长模型 的群显然有 口t o ) = 蒜，啦o ) 而“k o t ， 根据比较原理知 考玺纠删s 毒1 # l a o k c t ，p + p 室一一、7 一+ 引理结论成立 定理3 2 如果扫( 而t ) ，i l ，( z ，) ) 是( 3 4 ) 的解，并且兰s 则 ； + 觚) ( 1 + ：勘t ) 咖一善”亿力蜘( ( 1 + 硒岛。惫 p ( q 站南+ 脑撕o ) ( 1 + 觚t ) 磕一 证明由( 3 4 ) 的第二个方程，可得 笔= 蛐1 + u w s ， 酉。s 删， 两边同时除以 ，并从0 到t 积分，得 k ”( 州) 乩帅( 。) 。上“( ”) 8 l ，l 从而有 由 得 口0 ，) w c ( 功c x p a u ( z ，r ) d r ) 蜘c 。，“一 熹打) = 嘶( z ) 蜘( $ ) ( 1 + 卢锄t ) 卢硒 p ( 毛0 = ( 口十芦t i ，) 熹+ 舰蜘矧l + # n o k o 幻丙 志+ 硒蜘c 烈- + 腧意 塑o t = 业1 娑1 业0 蛔 j - r _ 。w 羔器= 肌，q + 鼬一a + 鼬一 1 7 第三章饱和增长模型 】i 簪上式从0 到t 积分，得 l ( n + j b t | ，( 霉，t ) ) 一l n ( 口+ 卢t c ，o ( z ) 口f 卢t ( z ，r ) d r ， d 0 所以 。+ 肋( ( a + 觚( 圳e x p m 脚咄r 胁) 孙伽，唧m q 娟+ 胁) ( t + 枷。 即 嘶蛇扣+ 舭( 瑚( ，+ 纠枷一； 本章考虑指数增长模弛 第四章指数增长模型 - - 宝= d v 卜一p 赤v w ) 等= 加刊奶 ( v p 一v ”) 一。， 善n t 0 ， 霉n ，t o ， ( 4 1 ) 茁，t 0 ， p ( x ，o ) = 如0 ) 0 ，t l ，p ，o ) = 撕( ) 0 ，每彘， 已有结果表明，指数增长模型解对初值很敏感，当初值变化很小，( 4 1 ) 的解也可能 由整体存在变为有限时刻爆破或由有限爆破变为整体存在也就是说，一般情形下不能 得到解整体存在或是爆破的充分条件下面给出解整体存在或爆破的几个必要条件 为了书写方便，先考虑p = 。的情形仍作函数变换缸扛，t ) = 端，则( 4 1 ) 变为 甏= d 饥+ d 彘v u 一胪” 警= 一和+ 加) ， 五0 u ：0 ， m z n ，t 0 ， z n ，t 0 ， ( 4 2 ) z 撇，t 0 ， “) = t o 罐者 帅( 印) = 嘶) 吣曲- 先给出下述几个引理 引理4 1 如果( 烈z ，t ) ，口( z ，t ) ) 是( 4 1 ) 的解，则对任意( 奶t ) nxi o ，t ) ， p ( $ ，t ) 0 ，仰( z ，t ) 0 证明运用引理3 1 的证明方法不难得出结论 引理4 2 如果( “( 羁t ) ，w c z ，t ) ) 是( 4 2 ) 的解，则对任意( 。，t ) n i o ，印， 0 “( z ，t ) 面， ( 茁，t ) 0 证明”( z ，t ) 0 已由引理4 1 保证而由 象= d “+ d 鼎审u 一胪” d 1 上+ d 吾v t v t ， 1 9 第四章指数增长模型 可知是”( q ) 的个上解，根据比较原理知戤母s 雹d 借助于上面两个引理，我们可以得到几个有意义的结论经过简单计算有 w 0 ，t ) = 利用引理4 1 可知，对。n ，0 t 。， 否! 等舞b 。币一c 毛r ，a r ) 鼍答【否旱；舞be x p t z 一c r ，d r ) o ，蛳 0 如果( p 扛，t ) ，t l ，( 。，t ) ) 是( 4 1 ) 的整体解，则我们有下述定理 定理4 1 如果( p ( 毛t ) w ( x ，t ) ) 是( 4 1 ) 的整体解，则m ( + o o ) = 0 ，即 搿 瑞唧t f 嘶打，】= ； 证明因为0 ( 毛t ) ， 仁，t ) ) 是( 4 1 ) 的整体解，那么 p ，t ) t l ，( 毛) ) 也定义在t 2 x l o ，+ ) 由( 4 2 ) 得到 记口( ) 为初值问题 象= d a u + d 鼎v “吼一妒” 。a u + d + - - v ”一籍， 瓦o q 一丽b q 2 ，t 。， 【口( o ) = 勘 的解。则q ( t ) 是“( q t ) 的一个下解，“( 而t ) 口( t ) 计算得 t 缸，t ) q c t ) = 第四章指数增长模型 而 ， “p o 嘶啪) 燕= p 【o 嘶一岫 靠唧 z 嘶m 2 靠卜a r 2 熹榔洳( t + z 需d r ) 2 熹呻m ( - + 器t ) 舰h ( - + 器0 一 我们得到t h 恐r e ( t ) = o ，即m ( + o o ) = 0 ，这意味着 搿 端唧忻毗、】7 1 r ) d v j搿【万旆唧t j c “j = 万， 定理得证 如果加( 霸t ) ，”( 耳t ) ) 不是( 4 1 ) 的整体解，则有下面两个结论成立 定理4 2 如果t + o o ，那么存在矿矗，使得 牌端呻m 一州r ) 刁1 证明如果存在k ，对任意0 t 。的情形作函数变换u ( 毛t ) = 端，则( 4 1 ) 变形为t 象= d d 鼎孔嘶一”+ 触最雕n ，t 0 筹= + 肋) 刊”， 象- o ， 心 o ) = 嘶) 垒辞 。州刈) = 蜘p ) 咖缸 易证( p ( z ，t ) ，( 毛t ) ) 足( 4 1 ) 的解当且仅当( ”0 ，t ) ， o ，t ) ) 是( 4 3 ) 的解对于