（应用数学专业论文）hopf分支在泛函方程中的发展近况综述.pdf

摘要 h o p f 分支是研究一族具有参数的动力系统，当参数经过某个特殊值时，系统的平衡 解能否进入周期轨道的问题。 这方面的研究起源于近1 0 0 年前p o i n c a r e 1 的工作，他给出了平面系统的例子， 1 9 2 9 年俄国人h n d r o n o v 给出了平面向量场中相关的定理及计算公式。直到1 9 4 2 年俄国 人h o p f 2 才第一次给出了著名的n 维向量场情形的h o p f 分支定理( 见文献 3 的附录) 。 有限时滞r f d e 的h o p f 分支的研究工作。首先由c h a f f e ，n 和h a l e j k 用不同 的方法所给出。1 9 7 1 年c h a f f e 在文 1 3 中利用中心流形定理给出了存在性定理。关于 具有限时滞r f d e 的h o p f 分支的分支方向及稳定性的计算问题。从方法上看主要有以下 二种： 第一种，积分平均法。见文献 6 ， 1 4 ， 1 5 和 1 6 。 第二种，p o i n c a r e 标准型法。见文献 5 ， 1 7 将h o p f 分支推广到无限时滞r f d e 的工作，最早的是p l i m a 2 7 1 9 7 7 年的博士论 文，也可以在h a l e 文 2 8 的第四部分看到，他在那里概述了l i f i l a 的主要结果。l i m a 在文 2 7 中首先建立了一整套使得h o p f 分支可行性的公理 全局h o p f 分支从分支的角度研究f d e 的周期解的大范围存在性的方法，主要有两 种a 一种是1 9 7 4 年，n u s s b a u m 在文献 3 5 所引的参考文献中用b r o w d e r 在文献 3 5 所 引的参考文献中的思路，成功地得到了现在人们广泛应用的“喷点不动点定理”；研究 全局周期解分支的另一种方法是e r b e 等在文献 1 6 中应用等变拓扑度理论，建立了关 于f d e 的全局h o p f 分支理论 本文着重对近3 0 年来h o p f 分支在f d e 中的发展情况做一综述，把每一发展阶段的 主要成果和计算方法做一简单介绍。 关键词：h o p f 分支；泛函微分方程 a b s t r a c t t h eh o p fb i f u r c a t i o ni st h ed y n a m i c a ls y s t e m st h a ts t u d i e sac l a nh a v i n gp a r a m e t e r w h e n p a r a m e t e rp a s s e sac e r t a i ns p e c i a lv a l u e ，w h e t h e rt h ee q u i l i b r i u ms o l u t i o no ft h es y s t e mc a n e n t e rt h ep r o b l e mo ft h ep e r i o do r b i to rn o t t h er e s e a r c ho ft h i sa s p e c to r i g i n a t e s p o i n c a r e s 1 w o r k s l 0 0n e a ry e a ra g o ，h eg a v et h e e x a m p l eo ft h ef l a ts u r f a c es y s t e m r u s s i a na n d r o n o vg a v ea x i o m sa n dc a l c u l a t i o nf o r m u l ai n 1 9 2 9 w h i l et h et w om e n sw o r kw a sc o n c e r n e dw i t ht w o - d i m e n s i o n a lv e c t e rf i e l d s u n t i l 1 9 4 2 ，r u s s i a nh o p f 2 】j u s tg a v et h ef a m o u snd i m e n s i o n sv e c t o rf i e l dh o p fb i f u r c a t i o nt h e o r e m f o rt h ef i r s tt i m e ( r e f e r i n gc u l t u r a lh e r i t a g e 3 】a p p e n d i x e s ) t h ee x i s t e n c et h e o r o mo ft h eb i f u r c a t i o no fr f d eh o p fo ft h ef i n i t er e t a r d f i r s ti tw a sg i v e n b yc h a f f e ，n w i t hh a l e j t h eku s i n g d i f f e r e n tm e t h o d s i n1 9 7 1c h a f f eg a v et h ee x i s t e n c e t h e o r e mb yu s i n gc e n t e rm a n i f o l d si nt h et e x t 1 3 c o n c e r n i n gt h ec a l c u l a t i o np r o b l e mo f t h e o r e md i r e c t i o na n dt h es t a b i l i t yo fh o p fb r a n c hf i n i t et h a ti si n c l u d e di nt h e 丘i t er e t a r dr f d e , t h e r ea r et h ef o l l o w i n gt w om e t h o d s ： t h ef i r s t , i n t e g r a lc a l c u l u sa v e r a g em e t h o d y o uc a nr e f e rc u l t u r a lh e r i t a g e 6 ，1 4 ，1 5 ，1 6 1 t h es e c o n d ，p o i n c a r en o r m a lf o r m sm e t h o d r e f e t i n gc u l t u r a lh e r i t a g e 5 ，【1 7 i ti si nt h ep l i m a d o c t o r a ld i s s e r t a t i o no f2 7 1 9 7 7t h a tt h eh o p fb i f u r c a t i o ni se x p a n d e dt o i n f i n i t er e t a r dr f d e i tc a nb ea l s os e e ni nt h ef o r e - p a r to ft h eh a l et e x t 2 8 】i nw h i c hh es a y st h e m a i nr e s u l to ft h el i m aa 1 1 f u r t h e r m o r e ，h eb u i l tu paw h o l es e to ff e a s i b l ea x i o m t om a k i n g h o p fb r a n c hf e a s i b l ei nt h et e x t 2 7 f i r s t t h em e t h o do fg l o b a l h o p fb i f u r c a t i o nr e s e a r c h e st h e e x i s t e n c eo ff d ep e r i o d i c s o l u t i o n ，i ti si n v i d e di n t ot w om e t h o d s o n ei s1 9 7 4 ，n u s s b a u mg o ts p r a yf i x e dp o i n tt h e o r e m s u c c e s s f u l l yt h a ti sb e i n ga p p l i e de x t e n s i v e l yb yp e o p l e ，i nt h ew a yo ft h i n k i n gi nt h er e f e r e n c e 3 5 b yb r o w d e r t h eo t h e ri se q u a lv a r i e t yt o p o l yt h e o r yt h a tw a sa p p l i e db ye r b ee t c i nt h e c u l t u r a lh e r i t a g e 1 6 】i nw h i c hh eb u i l du pg l o b a lh o p fb i f u r c a t i o nt h e o r ya b o u tf d e _ 1 1 - i sp a p e rs u m m a r i z e dt h ed e v e l o p m e n ts i t u a t i o no fh o p fb i f u r c a t i o ni nt h ef d ed u r i n g3 0y e a r s a n di t s i m p l yi n t r o d u c e d t h em a i nr e s u l ta n dt h ec a l c u l a t i o nm e t h o di ne v e r yd e v e l o p m e n tp h a s e k e yw o r d s ：h o p fb i f u r c a t i o n ；f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：牲日期；塑z ：竺 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：东 北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论 文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：越 指导教师签名： 日 期：a q z ! 皇，t e t期： 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 逸丝 业五：叼 电话： 邮编： 引言 分叉问题的研究源于对天体力学、弹性力学、流体力学和非线性振动中的一些失稳 现象的探讨，它有着深刻的应用背景。因此，长期以来分叉研究主要在应用领域中进行。 直到本世纪7 0 年代，由于动力系统、非线性分析和非线性微分方程等方面研究的推动， 以及随计算机科学的发展而来的强有力的数值手段的协助，才开始形成分叉的数学理论 和方法，并在生物学、生态学、物理学、力学、化学、数值计算、控制、工程技术、以 至经济学和社会学中得到广泛的应用。当前，分叉的研究无论是在理论上还是应用上都 在迅速深入地发展。在实际应用中，许多系统都含有参数，考虑当参数连续地变动时， 系统的拓扑结构是否会发生变化，这就是含参数系统的分叉问题。 h o p f 分支是研究一族具有参数的动力系统，当参数经过某个特殊值时，系统的平衡 解能否进入周期轨道的问题。虽然h o p f 分支方法不是解决这一问题的唯一方法，但是 近3 0 多年来，却得到人们很大的注意，不仅对原来所考察的o d e ( o r d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ) 系统进行更深入的研究，而且在f d e ( f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ) 系统以及p d e ( p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ) 系统进行了广泛地推广工作。 本文着重对近3 0 年来h o p f 分支在f d e 中的发展情况做一综述，把每一发展阶段的 主要成果和计算方法做一简单介绍，共分四节。 第一节叙述o d eh o p f 分支情形，这方面的研究起源于近1 0 0 年前p o i n c a r e 1 的工 作，他给出了平面系统的例子，1 9 2 9 年俄国人a n d r o n o v 给出了定理及计算公式，他们 在这方面的工作涉及的是二维向量场。直到1 9 4 2 年俄国人h o p f 2 才第一次给出了著名 的n 维向量场情形h o p f 分支定理( 见文献 3 的附录) ，现己成为经典周期解理论的一 个重要组成部分。从常微分方程的观点看，它是属于线性系统的扰动理论；_ 而从现代分 支理论的观点来看，h o p f 分支定理实际上是提供了处理含参数的动力系统，当参数变动 时，如何引起相空间轨道的拓扑结构发生本质性改变的一种最简单方法。 第二节叙述有限时滞r f d eh o p f 分支情形，将o d e 的h o p f 分支定理推广到f d e 中 是一个非常自然的问题，这个工作首先开始于r f d e ( r e t a r d e df u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ) 把o d e 的h o p f 分支定理推广到r f d e 中来，最大的困难是r f d e 的相空间是 一个无限维的函数空间，但是中心流形定理和空间的谱分解理论成为有力的工具，它们 能使无限维的问题转化为有限维问题得以解决。有限时滞的r f d eh o p f 分支的存在性 定理。首先由c h a f f e ， n 和h a l e j k 用不同的方法所给出。1 9 7 1 年c h a f f e 在文 1 3 中利用中心流形定理给出了存在性定理。关于具有限时滞r f d e 的h o p f 分支的分支方向 及稳定性的计算问题。已有许多人加以研究，这方面的文章很多。从方法上看主要有以 下二种： 第一种，积分平均法。见文献 6 ， 1 4 ， 1 5 和 1 6 。 第二种，p o i n c a r e 标准型法。见文献 5 ， 1 7 第三节叙述无限时滞r f d eh o p f 分支情形，将h o p f 分支推广到无限时滞r f d e 的 工作，最早的是p l i m a 2 7 1 9 7 7 年的博士论文，也可以在h a l e 文 2 8 的第四部分看 到，他在那里概述了l i m a 的主要结果。l i m a 在文 2 7 中首先建立了一整套使得h o p f 分支可行性的公理。 第四节叙述全局h o p f 分支情形，全局h o p f 分支从分支的角度研究f d e 的周期解的 大范围存在性的方法，主要有两种。一种是1 9 7 4 年，n u s s b a u m 在文献 3 5 所引的参考 文献中用b r o w d e r 在文献 3 5 所引的参考文献中的思路，成功地得到了现在人们广泛应 用的“喷点不动点定理”；研究全局周期解分支的另一种方法是e r b e 等在文献 1 6 中应 用等变拓扑度理论，建立了关于f d e 的全局h o p f 分支理论。 2 1 o d e 的h o p f 分支 考虑一族自治的含参数的o d e 系统 警- 他，p ) ( 1 ) 这里x e r “，i t ，i e r ，满足某些光滑性假设。 又假设： 1 0 对每一个i t e i ，x - 0 是相应( 1 ) 的一个孤立的平衡点( s t a t i o n a r yp o i n t ) ，( 这 不失一般性，对于非零的平衡点，只要做一个坐标平移即可) 。 2 0 ( 1 ) 在石- 0 处可线性化为 其中a ( i t ) d x f ( o , i t ) 得， 警- 爿( ) y ， ( 2 ) ( j a c o b i a n 阵) ，彳( 肛) 有一对单共轭复特征根a 和石，使 ( p ) = a ( f ) + 洳( p ) 且对某个i t , e z 有i o , ( i t , ) 一，o ，a ( i t , ) 一0 ，口( 心) 一o ，彳( 以) 除i w o 外没有零实部特征 值。 在上面两个基本假设下h o p f 分支定理断言：对以的某单侧邻域的一切p ，从相应 的系统( 1 ) 的零解附近产生小振幅的周期轨道族。该定理的详细叙述及证明可在任何 一本h o p f 分支的专著中找到。 假设2 0 中的以称为参数i t 的临界值( c r i t i a lv a l u e ) ，通常可假设以t 0 ，否则 只要做一个关于参数的线性变换即可，这样i 是包含原点的一个开区间。 这方面的研究起源于近1 0 0 年前p o i n c a r e 1 的工作，他给出了平面系统的例子， 1 9 2 9 年俄国人a n d r o n o v 给出了定理及计算公式，他们在这方面的工作涉及的是二维向 量场。直到1 9 4 2 年俄国人h o p f 2 才第一次给出了著名的n 维向量场情形h o p f 分支定 理( 见文献 3 的附录) ，现已成为经典周期解理论的一个重要组成部分。从常微分方程 的观点看，它是属于线性系统的扰动理论：而从现代分支理论的观点来看，h o p f 分支定 3 理实际上是提供了处理含参数的动力系统，当参数变动时，如何引起相空间轨道的拓扑 结构发生本质性改变的一种最简单方法。 h o p f 分支定理中的最本质性的假设是条件2 0 ，下面以二维为例加以说明，且均取 临界值为2 c 一0 。这样当2 0 时，原系统( 1 ) 的一次近似系统( 2 ) 有一对共轭虚根： a ( o ) - i a * o ，x ( o ) - 一，a , o ，o ，由隐函数定理，在一。附近存在唯一一条表示( 1 ) 的 平衡点的光滑曲线并- x ( 2 ) ，r x ( o ) = o ：巩厂( x ( p ) ，2 ) 的特征根a ( p ) 和x ( 2 ) 是2 的光滑函数，且一0 时位于虚轴线。这样当卢一0 的时候，线性系统( 2 ) 的平衡点 x ( o ) 一。为中心，而原系统( 1 ) 的平衡点x ( o ) 一。则或是稳定的，或是不稳定的，又 由条件r e a7 ( o ) - o 于是当参数从弘一0 的左边连续变动到右边( 或者相反的方向) ，原系 统( 1 ) 在平衡点工( 肛) 附近的轨道的稳定性将发生改变，h o p f 分支正是由这种平衡点 “失稳”而产生小振幅的周期轨道。对于高于二维的情况，这种失稳现象同样发生。这 是因为在一。附近，当d ，( x ( ) ，) 的特征值穿过虚轴对，则平衡点z ( 肛) 的稳定流 形与不稳定流形的维数将发生改变，所以高维( 以至无限维) 空间的h o p f 分支，都将 以二维平面做为基本背景。 条件2 0 中的r e a ( o ) # o 也称为“横截性”( t r a n s v e r s a l ) 条件，直观上看，这个 条件意味着当参数肛经过临界值时，d ，( x ( p ) ，p ) 的特征值a ( p ) 和万( 肛) 将穿过虚 轴。即与虚轴横截相交。条件2 0 中的彳( o ) 除f 外没有零实部特征值。这一条件，从 现代分支理论的分类来看，它使h o p f 分支是属于横截类里的余维( c o d i m e n t i o n ) 1 的 h o p f 分支情形 4 。 通常的h o p f 分支定理，为了计划上的需要，还要假设 3 0 4 ( o ) 的特征值除“外均具有严格负实部。于是，假设2 0 中的最后一句将自然 满足，因而略去。条件3 0 对h o p f 分支的计算带来很大方便。这从下文就可看到。 h o p f 在文 2 中主要解决了周期轨道的存在性。事实上，h o p f 分支定理提供了导致 周期轨道产生，对参数来说有三条可能性，即 ( i ) 肛) 0 ，( i i ) 卢一0 ，( i i i ) 卢0 。 4 由“横截性”条件，h o p f 分支只能发生在临界值的某一侧，当然参数恰好取临界值时也 有可能存在周期轨道。但是这是一个至今没有完全解决的公开问题 4 。于是产生一个 如何确定分支方向的问题。下面给出上临界( s u p e r c r i t i c a l ) 和下临界( s u b c r i t i c a l ) 的定义。 5 若r e a ( o 卜0 ，那么当，0 时产生周期轨道称为上临界；当p c o 时产生 周期轨道则称为下临界。若r e a ( o ) c0 ，则一切相反。 自h o p f 定理问世以来，这方面的研究工作主要集中在以下三个问题上： 1 判断分支方向。 2 确定周期轨道的稳定性。 3 周期解的近似表达式。 文 6 用经典的平均法研究了这些问题，文 5 则用中心流形定理和p o i n c a r e 标准 型详细的给出了判断以上三个问题的分支公式。近3 0 多年来，关于h o p f 分支方面的文 章层出不穷，也出现了几本专著，文 3 是系统的总结7 0 年代以前这方面研究成果的一 本专著，文 5 是介绍7 0 年代以来h o p f 分支理论在许多方面发展的最新成果的- - f 7 专 著。在文 3 7 ，7 ，和 8 中也叙述了这方面的内容。 下面介绍一下利用p o i n c a r e 规范型所给出的二维向量场上的h o p f 分支公式： 首先考虑一般的实2 x2 系统： e ，。乏p ：泓) 、 ( 2 1 ) 1 i ：一，2 g 。而；p ) ”“7 假设k ，石：) 一( o ，o ) 是奇点，在该奇点处的特征方程( 不妨设参数肛t 0 的情形，否 则做参数变换即可) 有一对复的共轭特征根a 和万，使得a ) = a 似) + f 0 ) 这里 埘( 0 ) 一，o ，口( o ) 一o ，a7 ( 0 ) ，0 令z 一五+ ；则系统( 2 1 ) 等价于复的一维系统 2 一a z + 9 0 ，孑；p ) ( 2 2 ) 这里 如刊- ：五洲嚣+ 。6 z i “) a ( p ) _ 口( 肛) + f 珊( p ) 5 做拟恒等变换：2 一亭+ z 倍，手；p ) t 宇+ ：。蒌：i i f i 通过一系列计算，可将( 2 2 ) 简化2 斧7 c 成 j a ( k + z ? c 舢粒) ( 2 3 ) 其中 “小骂产+ 毕+ 鹄+ 譬 因此 c l ( o ) 。去卜n - 圳2 一判12 ) + 等 亿。， 这里z 是一个复变量，a ( o ) = i w o ，mz 1 疋1 97 l 工- 思x = 的，c j ( p ) 是复值的。 文 5 给出了h o p f 分支特性的计算公式： ”一帮 罢【h c l ( o ) 怕甜( 0 ) 】 ：t2 r e c 。( o ) 这里c l ( o ) 由上( 2 4 ) 给出 这些岛是( 1 6 ) 的9 0 ，乏乒) 的幂级数展开式的系数，可以由方程( 1 ) 的右端的展 开式经过一系列计笪得到。 肛：是参数卢。雎e 展开式中的第1 项，它决定分支方向当口( o ) o 时，p ：，o 为上临界，p ： 0 。一般设口一0 为临界值。于是p 属于含原点的某个开区间i e r 与o d e 相似。仍 先假设： 1 0 对一切肛，f ( o ，p ) 一0 ，即庐一0 是一个孤立的平衡点，妒c 2 0 在毋0 处( 4 ) 可线性化为 矿( f ) 工( 肛) ， ( 5 ) 其中工( ) 一只( 0 ，芦) ，( f r e c h e t 导数) ，( 5 ) 的特征方程是， d e t a ( a ，p ) 一0 ( a ，) - 盯z e a 9 d r l ( 0 ，p ) ， ( 6 ) ，7 ( 日，p ) 是满足上( p ) 妒一f d 卵( p ，p ) 庐( 的玎玎函数矩阵，其每一元素是有界变差 函数，这样为了便于讨论，我们常把( 4 ) 写成： x ( t ) - l b , ) x , + ，( 五，p ) ( 4 ) 把o d e 的h o p f 分支定理推广到r f d e 中来，最大的困难是r f d e 的相空间是一个无 限维的函数空间，但是中心流形定理和空间的谱分解理论成为有力的工具，它们能使无 限维的问题转化为有限维问题得以解决。 有限时滞的r f d eh o p f 分支的存在性定理。首先由c h a f f e ，n 和h a l e j k 用 不同的方法所给出。1 9 7 1 年c h a f f e 在文 1 3 中利用中心流形定理给出了存在性定理， 他的主要假设是：c 1 ，当p 在临界值p = 0 附近，( 5 ) 有唯一一对单共轭复根口( 肛) 访( 肛) ， 8 使得 a ( o ) 一0 口( p 卜0 6 ( 弘卜0 当0 ( p 弘。 当0 p s 以 当一0 时，( 5 ) 的特征根除i b ( 0 1 外都具有负实部。 c 2 ，p - 0 时，( 4 ) 的平衡点妒一。为一致渐近稳定a 他证明了对每一个 o ，段 ， 在c 中的一0 的某个开球内存在非空的周期轨道族r ( p ) ，且r ( _ f 1 ) 全部位于c 中的一 个二维局部中心流形m ，上，m ，同胚于r 2 中某个包含原点的开盘。 h a l e 在文 1 2 中的假设是： ( q ) 一0 时，( 5 ) 有一对单共轭虚根九- v o ，v o - 0 。且除凡与无以外所有的特 征根a 均满足对任意的正整数埘有；l - m ；t 。( 这个条件亦称为无共振虚根) ( 日：) r e a 7 ( o ) 一0 。 由以上这两个假设，h a l e 用更替法( a l t e r n a t i v em e t h o d ) 证明了h o p f 分支的存 在性。h a l e 的假设中没有通常的假设3 0 ，即一0 时除氓外其余特征根均有严格负实 部这一条件。但是由此得不出稳定性的结果。条件( q ) 在于保证更替法可以实行，因为 更替法实际上是f r e d h o l m 定理的推广。而f r e d h o l m 定理要求在同一个周期函数空间里 才有效。在利用c 空间谱分解理论的基础上，假设( l ) 的作用使隐函数定理得以使用， 从而得到了h o p f 分支存在性的定理。 关于具有限时滞r f d e 的h o p f 分支的分支方向及稳定性的计算问题。已有许多人加 以研究，这方面的文章很多。从方法上看主要有以下二种： 第一种，积分平均法。见文献 6 ， 1 4 ， 1 5 和 1 6 。 第二种，p o i n c a r e 标准型法。见文献 5 ， 1 7 。下面就这两种方法的基本思想做 一简单介绍。这两种方法的原始背景都是o d e 系统。将它们推广到r f d e 中来，实质上 是如何将有限维空间里的方法推广到无限维空间上来。 积分平均法是从k r y l o v 和b o g o l i u b o v l 9 3 4 年的著名论文 1 8 发展起来的。所考虑 的问题是，对于一个线性o d e 系统 j 。彳r ( 7 ) 9 ( 这里x e r “，a 是n ，l 数量矩阵) 是临界情形( 即( 7 ) 存在非零的周期解) 时，加 上小的扰动，即考虑扰动系统 j - , 4 x + e f ( f ，x ) ( 8 ) ( 这里，( f + ，x ) 一，( f ，x ) ) 是否还会有周期解。我们知道临界情形是结构不稳定的。 无论多么小，也很难保证( 8 ) 一定有出周期解。积分平均十分巧妙地解决了这一问 题。这方面的详细论述请见文 1 9 的第五章，另外文 2 0 的第四篇第二章也介绍了这一 方法。 将积分平均法运用于h o p f 分支中来，最早见于 6 。在文 6 中，作者先处理二维 情形，把平面上一个二维方程先实行极坐标变换，再实行积分平均法，得到了判断h o p f 分支存在与稳定性的方程。对于高维( ，lz3 ) 的情形，基本想法是化高维为二维问题。 具体步骤大致如下，由假设条件，原方程( 1 ) 可分解为 j - a ( u ) x + p e ( 肛) y + 高阶项 ( 9 ) 矿一以y + h ( 卢) 并+ 彬( ) y + 高阶项 其中( z ，y ) e r 2 r ”2 - r 4 。4 是2 2 数量阵，有一对共轭复特征根，心是n 一2 数量 阵，其7 一2 特征根均无零实部。e ，h ，m 都是适当的数量矩阵。 将( 9 ) 适当简化再使用极坐标变换z1 ( r c o s o ，r s i n 0 ) 和积分平均法。( 9 ) 式等价 于 ，- s ”( y + y 2 “，j ) + d ( s 2 “1 ) 百。+ d ( ) ( 1 0 ) - 一如+ d ( s ) 这里l ， y ( y o ，吼，) ，y y ( y ，岛，) 因为心的订一2 个特征根无纯虚根，由中心流形 定理保证了存在一个三维中心流形。由y - y ( y o ，吼，肛) 给出。z 通过点 ( x ，y ，芦) - ( o , o , o ) 且与( z ，u ) 空闻相切。三是一个不变流形。h o p f 分支的周期轨道将位 于z 上。把y - y ( y 0 , 岛，) 代入到( 1 0 ) 中，得到三上的一个二维方程，这样高维问题 就被降为一个二维问题处理了。正如作者所说，这种想法为向无限维推广铺平了道路。 r f d e ( 4 ) 的解空间c 为无限维，利用文 1 2 的空间谱分解理论，仍然可把h o p f 分 支问题化为某个二维模式处理。由于( 5 ) 有一对共轭虚根：( o ) 1 i w o ，那么由文 1 2 ， 1 0 c 空间被分解成c 中两个闭子空间的直和，即 c i p + q 这里p 是对应于f 的二维广义特征向量空间，q 是它们的补空间。再把( 4 ) 写 成一个抽象的o d e 方程： 交，- a x | + e x o f o x t ，l l ，e 、 ( 荔d ) ( 1 2 ) 这里4 是线性方程( 5 ) 的解算子半群r ( f ) 的无限小生成元，置c 是( 4 ) 的对 应t 土气+ y 的解 x o - ：当翥。 ，i n x n 单位阵。显然0 0 时( 1 2 ) 就成为( 4 ) 的小扰动形式。 令墨是( 1 2 ) 的解，那么墨可分解为 x | i x ；+ x ? i 中( 1 i ，五) + 砰 ：i x ( f ) + 誓 这里f 是置在p 上的分量，砰：是j v e q 上的分量。中是p 的基底，v 是共轭空间 的基底，而x ( f ) 可看成置在p 的基底中上的坐标，内积( ，) 的定义见文 1 2 。在这个 分解下( 1 2 ) 就成为 x ( t ) ；4 x ( f ) + 胖( o ) ，( z ( f ) + y ，p ) 】：- 4 y , + 丑f f ( 石( f ) + 誓，肛) ( 1 3 ) 这里4 和如分别是4 在p 和q 上的限制。而x ( t ) e r 2 ，和高维情形类似的处理， 最后h o p f 分支问题主要由( 1 3 ) 的第一个方程决定，而它是一个二维方程。 下面介绍第二种方法。所谓p o i n c a r e 标准型，可以认为是把一个动力系统在平衡 点展开的幂级数化成某种便于研究的特殊形式的一种方法，当然这种变换是拓扑等价 的。这一想法起源于p o i n c a r e 的工作 2 1 ，有关这一理论的详细论述请看文 2 2 ( 或 2 3 ) 的第五章，以及 4 的第三章。 1 1 文【5 j 是将p o i n c a r e 标准型用于h o p f 分支的一本最新专著，不仅对0 d e ，而且对 f d e 以及p d e 的某些类型提供了h o p f 分支计算公式。下面我们把文 5 的基本做法介绍 如下。文 5 均需要假设条件3 。 首先看o d e 情形( 其它情形均以此为基础) ，由于( 2 ) 有一对共轭复根a 和万以及 假设3 0 ，根据文 2 4 或 2 5 可知对每一个固定的参数口，在r 4 的原点邻域存在一个2 维 中心流形巴( 若在含参数的栉+ 1 维空间里是3 维的) ，并且由h o p f 分支得出的周期轨 道都位于q 上。文 5 的基本想法是：把q 上的周期轨道投影到巳的切平面上，由于中 心流形c 。与切平面的同肝性，从而这些周期轨道的定性性质可由切平面上的一个二维 方程所决定，而这个二维方程又可化为二维的p o i n c a r e 标准型加以讨论。具体步骤略 述如下： 第一步，建立坐标( 或投影算子) 。 对于( 1 ) 的任何一个解x ( t ) ，定义 z ( f ) 一( q + ，工( f ) ) ( 1 4 ) w ( t ) - x ( o z ( f ) 日( ) 一三( f ) 可( p ) i x ( 0 2 r e z ( f ) q ( ) 其中g 是4 ( p ) 对应于a ( ) 的特征向量，g 是爿( ) ( z ( 卢) ) 对应于石( 肛) 的特征 向量。( ，。) 表示h e r m l 1 a n 积( “，v ) 。萃呸q 。显然z 和手是x ( f ) 在q 和虿上的局部坐 标。( a 表示a 的共轭算子) 。 第二步，分解原方程。 若把( 1 ) 写成 则由( 1 4 ) ，( 1 ) 被分解为 j 一彳( ) x + ，( x ，)( 1 ) 2 一a ( ) z + g ( z ，丢，矽；弘) w = a ( i t ) w + h ( z ，乞，；p ) ( 1 5 1 ) ( 1 5 2 ) 这里g ( z ，云形；p ) - ( 口，( 形+ 2 r e z q ；p ) ) 日( z ，乞，矽；) 一，( 缈+ 2 r e z 旮 ；p ) 一2 r o c 由于b o p f 分支的周期轨道都位于c 。上，我们可以把( 1 5 1 ) 与( 1 5 2 ) 都限制在 c 。上讨论，若令 w ( t ) - 形( z ( f ) ，三( f ) ；p ) 代入到( 1 5 1 ) 中，那么原方程( 1 ) 在巴上的轨线性质就完全由一个复变量的数 量方程 2 腥+ g ( z ，云p ) ( 1 6 ) 来决定。这里g ( z ，云p ) g ( z ，z w ( z ，三；芦l 弘) 第三步，利用p o i n c a r e 标准型计算h o p f 分支。 由于( 1 6 ) 是一个复变量的数量方程，它可以等价于一个2 2 得实变量系统，i f i 2 x 2 系统的p o i n c a r e 标准型为： 岩。爿缸弦+ 宴口，归吲“+ 。硎伍，】。“) ( 7 ) 这里 础) 一( 三艺芝劣) ) 龇) 刊小训) 引小矧淼哿 陋隆 ) l 为f 的连续可微阶数。 p o i n c a r e 标准型( 1 7 ) 的最大优点是容易证明周期轨道的存在性与计算周期轨道的 稳定性。关键性的一步是存在一个解析的坐标变换，可以把( 1 6 ) 化成( 1 7 ) ，然后利 用幂级数展开，经过相当的复杂计算，文 5 给出了显示h o p f 分支特性的计算公式： ”峨c t ，( o ) f ：- 一啄1 i m c 。( o ) + ：盯( o ) 】 ，：一2 r e c , ( 0 ) 这里c 1 ( 。) 。习i 2 | 9 1 1 | 2 一判12 ) + i 1 9 2 l 这些g 是( 1 6 ) 的g ( z ，云芦) 的幂级数展开式的系数，可以由方程( 1 ) 的右端的展 开式经过一系列计算得到。 弘：是参数卢。荟地# 展开式中的第1 项，它决定分支方向当a ( o b o 时r ： o 为上临界，肛：co 为下临界。 t 是周期r - ) 一i 2 3 g 丢mt + 。g ”“) 展开式中的第3 项，其中一1 ，一。 户：是周期轨道的特征指数- ) = 卢：e 2 + p 。s 4 + o - 5 ) 展开式中的第1 项，决定稳定 性。芦：( 0 为轨道渐近稳定，皮，o 为不稳定。 对于r f d e ( 4 ) ，相空间c 是无限维的，上面的做法是在有限维空间r “中进行的， 如何把上面的做法推广到无限维空间中去呢? 这需要以下几个基本准备。 第一， 定义无限小生成元。线性方程( 5 ) 的解所定义的解算子r e ) 构成一个 强连续算子半群，它的无限小生成元爿似) 定义为： m 肛咖 当一r s 0 0 当0 = 0 a 是c 卜c 一个闭算子，它的谱都是点谱，且与特征方程( 6 ) 的特征根相同 1 2 。 这些性质的作用在于，h o p f 分支是由无限小生成元的点谱产生的，在o d e 情形，对应的 无限小生成元就是线性方程( 2 ) 的系数阵爿) 。 第二，把( 4 7 ) 扩充为c 空间内的一个抽象o d e 方程： 交t - a ( u ) x , + r x t ( 一夏d ) ( 1 8 ) 龇妒川当；言。 显然当0 = 0 时，( 1 8 ) 式就是( 4 ) ，( 1 8 ) 的最大好处是便于在c 空间里进行类似于 ( 1 5 1 ) - 与( 1 5 2 ) 那样的分解。五是对应于( 4 ) 的f2 f o + r 的解。 1 4 第三，c 空间的谱分解，令a 一( 1 ，- f ) 则a 决定c 空间的一个直和分解。 c 一只o q 其中只是由a 的广义特征向量构成，是二维的，q 为补空间的，无限维。这里只 的作用相当于前面o d e 情形的窜和目所起的作用。 第四，c 中存在方程( 4 ) 的一个二维中心流形，且h o p f 分支的周期轨道都位于其 上，这在本节开始已经说明，是由c h a f f 在文 1 3 中给出的。 我们已经看到，p o i n c a r e 标准型方法的最本质想法是，把中心流形上的h o p f 分支 的周期轨道投影到它的切平面上来研究，有了以上四个准备，只要建立投影算子就可以 了，而投影需要内积来定义，这个内积的定义是： 和，妒) 一矿( o ) 妒( o ) 一正。j 二矿( 亭一日) 咖( 口) 矿( 宇) 鸳 这里妒c ，妒r 霹于a ( z ) 的共轭空间。( 1 8 ) 的解置的投影定义为： z ( r ) - ( g ，墨) 矽( f - 置( 们一2 r e z ( f ) q ( p ) ) 关于具体的计算步骤与o d e 大致相同，可参看文 5 的第四章。最后，我们指出， 这种算法之所以能计算出周期轨道的稳定性，关键是假设3 0 ，因为在这个条件下，稳定 性完全由中心流形决定，没有这一假设，将得不到稳定性的结果。 3 无限时滞r f d e 的h o p f 分支 系统发生影响，于是与后者不同，相空间必须选为定义在( 一m ，o 】上的函数空间。这样的 空间与有限时滞的c 空间有本质性的不同，这是把h o p f 分支推广到无限时滞r f d e 的最 大困难，即如何选择恰当的相空间。 将h o p f 分支推广到无限时滞r f d e 的工作，最早的是p l i m a 2 7 1 9 7 7 年的博士论 文，也可以在h a l e 文 2 8 的第四部分看到，他在那里概述了l i m a 的主要结果。l i m a 在文 2 7 中首先建立了一整套使碍h o p f 分支可行性的公理，这里我们介绍这样空间的 一个例子。 设g ，g ：( 一0 0 ，0 ) 一r 是非负连续函数，且满足： 1 0 g ( f + 5 ) s g ( t ) g ( s ) 2 。 g ( s ) 出c m 3 。 存在一个磊( 一哆o 使得g ( 岛) c 1 令 叫所删愀舶等价类卜叫一m 吖心纵钏止0 这里l s pc m ，这样的空间我们称为空间邱 设，c r ，三：i x b v r “，( ) 爹对连续， m ，。) 一0 ，且a ，( 吨考虑线性方程： 霄( 小- 工( 肛) 置 以及扰动方程 ，( 卢，妒) 对有二阶连续偏