投资的收益和风险的数学建模.pdf

第 25 卷第 1 期 2011 年 2 月 河南财政税务高等专科学校学报 journal of henan college of finance taxation vol 25 no 1 feb 2011 收稿日期 2010 12 30 基金项目 云南省 2009 2010 年高等职业院校基础课程教学改革项目 作者简介 叶华玲( 1961) ， 女， 云南楚雄人， 云南交通职业技术学院讲师， 研究方向为数学教育; 王荣琴( 1966) ， 女， 贵州遵义人， 云南交通职业技术学院副教授， 教育硕士， 研究方向为数学教育与应用数学研究; 王刚 ( 1967) ， 男， 四川广安人， 云南交通职业技术学院副教授， 工学硕士、 教育硕士， 研究方向为应用数学研究。 投资的收益和风险的数学建模 叶华玲， 王荣琴， 王刚 ( 云南交通职业技术学院 文理学院， 云南 昆明 650101) 摘要 在现代商业、 金融投资中， 投资者总是希望实现收益最大化， 然而投资是要承担风险的， 收 益与风险之间存在难以调和的矛盾， 怎样兼顾两者， 寻找切实可行的决策思想， 是投资的收益和风险决策 的一个重要问题。可以利用数学建模思想和方法， 通过相应数学模型的建立和 matlab 求解， 绘制出最 优收益随风险度变化的趋势图， 选择图中曲线的拐点作为最优投资组合。 关键词 投资; 收益; 风险; 数学建模 中图分类号 f83059; f2240 文献标识码 a 文章编号 1008 5793( 2011) 01 0027 04 当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时， 人们就要在深入调查研究、 了解对象信息、 作出简 化假设、 分析内在规律等工作的基础上， 用数学的符号和语言， 把它表述为数学式子， 也就是数学模型， 然 后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为 数学建模。matlab 是一种准确、 可靠的科学计算标准软件， 它具有强大的矩阵运算功能与函数多样性 功能， 是数学建模中常用的工具。 一般说来， 在现代商业、 金融投资中， 投资者总是希望实现收益最大化， 关注于采用什么样的投资方式 可以使总收益最大。然而投资是要承担风险的， 而且高收益总是伴随着高风险， 收益与风险之间存在着难 以调和的矛盾。怎样兼顾两者， 寻找切实可行的决策思想， 是投资的收益和风险决策的一个重要问题。 一、 问题的提出 市场上有 n 种资产 si( i =0， 1， 2， ， n) 可以选择， 现用数额为 m 的相当大的资金进行一个时期的 投资。这 n 种资产在这一时期内购买 si的平均收益率为 ri， 风险损失率为 qi， 投资越分散， 总的风险越 小， 总体风险可用投资的 si中最大的一个风险来度量。 购买 si时要付交易费( 费率 pi) ， 当购买额不超过给定值 u i时， 交易费按购买 ui计算。另外， 假定同 期银行存款利率是 r0( r0=5%) ， 既无交易费又无风险。 已知 n =4 时相关数据为 siri( %)qipiui s1282 51103 s2211 52198 s3235 54 552 s4252 66 540 72 试给该公司设计一种投资组合方案， 即用给定资金 m， 有选择地购买若干种资产或存银行生息， 使净 收益尽可能大， 总体风险尽可能小。 二、 基本假设和符号规定 基本假设: 1 投资数额 m 相当大， 为了便于计算， 假设 m =1; 2 投资越分散， 总的风险越小; 3 总体风险用投资项目 si中最大的一个风险来度量; 4 n 种资产 si之间是相互独立的; 5 在投资的这一时期内， ri、 pi、 qi、 r0为定值， 不受意外因素影响; 6 净收益和总体风险只受 ri、 pi、 qi影响， 不受其他因素干扰。 符号规定: si第 i 种投资项目， 如股票、 债券等， s0表示不投资 ri， pi， qi分别为 si的平均收益率， 风险损失率， 交易费率 uisi的交易定额 r0同期银行利率 xi投资项目 si的资金 a投资风险度 q总体收益 q总体收益的增量 三、 模型的建立与分析 1 总体风险用所投资的 si中最大的一个风险来衡量， 即 max qixi|i =1， 2， ， n 2 购买 si所付交易费是一个分段函数， 交易费 = pixixi ui piuixi u i 而题目所给定的定值 ui( 单位: 元) 相对总投资 m 很小， piui更小， 可以忽略不计。这样购买 si的净 收益为( ri pi) xi 3 要使净收益尽可能大， 总体风险尽可能小， 这是一个多目标规划模型 目标函数: max n i =0( ri pi) xi min max qixi 约束条件: n i =0( 1 + pi) xi = m xi0; i =0， 1， ， n 4 模型简化 ( 1) 在实际投资中， 投资者承受风险的程度不一样， 若给定风险一个界限 a， 使最大的一个风险 qixi/ma， 可找到相应的投资方案。这样把多目标规划变成一个目标的线性规划。 模型 1固定风险水平， 优化收益 目标函数: q = max n +1 i =1( ri pi) xi 约束条件: qixi m a n i =0( 1 + pi) xi = m xi0; i =0， 1， ， n ( 2) 若投资者希望总盈利至少达到水平 k 以上， 在风险最小的情况下寻找相应的投资组合。 82 模型 2固定盈利水平， 极小化风险 目标函数: r = min max qixi 约束条件: n i =0( ri pi) xi k n i =0( 1 + pi) xi = m xi0; i =0， 1， ， n ( 3) 投资者在权衡资产风险和预期收益两方面时， 希望选择一个令自己满意的投资组合。因此对风 险、 收益赋予权重 s( 0 s1) ， s 称为投资偏好系数。 模型 3设定投资偏好， 平衡风险 目标函数: h = min max qixi ( 1 s) n i =0( ri pi) xi 约束条件: n i =0( 1 + pi) xi = m xi0; i =0， 1， ， n 四、以模型 1 为例的 matlab 求解 文中开始部分提出的投资风险问题， 如果采用上述数学模型 1， 建立数学模型为 minf = ( 0 05，0 27，0 19，0 185，0 185) ( x0 x1x2x3x4) t s t x0+1 01x1+1 02x2+1 045x3+1 065x4=1 0 025x1 a 0 015x2 a 0 055x3 a 0 026x4 a xi0; i =1， 2， 3， 4 由于 a 是任意给定的风险度， 到底怎样给定没有一个准则， 不同的投资者认同不同的风险度。不妨 从 a =0 开始， 以步长a =0 001 进行循环搜索， 编制 matlab 程序为 a =0; while( 1 1 a) 1 c =0 050 270 190 1850 185 ; aeq = 11 011 021 0451 065 ; beq = 1 ; a = 00 025000; 000 01500; 0000 0550; 00000 026 ; b = a; a; a; a ; vlb = 0， 0， 0， 0， 0 ; vub = ; x， val= linprog( c， a， b， aeq， beq， vlb， vub) ; a x = x q = val plot( a， q， ) ， axis( 00 100 5 ) ， hold on a = a +0 001; end xlabel( a) ， ylabel( q) 计算结果: a = 0 003 0 x = 0 494 90 120 00 200 00 054 50 115 4q = 0 126 6 a = 0 006 0 x = 00 240 00 400 00 109 10 221 2q = 0 201 9 92 a = 0 008 0 x = 0 000 00 320 00 533 30 127 10 000 0q = 0 211 2 a = 0 010 0 x = 00 400 00 584 300q = 0 219 0 a = 0 020 0 x = 00 800 00 188 200q = 0 251 8 a = 0 040 0 x = 0 000 00 990 10 000 000q = 0 267 3 最优收益随风险度的变化趋势如图 1 所示， 图中的任一点都表示该风险水平下的最大可能收益和该 受益要求下的最小风险， 横坐标为风险度 a， 纵座标为收益 q。 图 1最优收益随风险度变化的趋势图 五、结果分析 1 风险大， 收益也大。 2 当投资越分散时， 投资者承担的风险越小， 这与题意一致。冒险的投资者会出现集中投资的情况， 保守的投资者则尽量分散投资。 3 曲线上的任一点都表示该风险水平的最大可能收益和该收益要求的最小风险。可以针对不同风 险的承受能力， 选择该风险水平下的最优投资组合。 4 在 a =0 006 附近有一个转折点， 在这一点左边， 风险增加很少时， 利润增长很快; 在这一点右边， 风险增加很大时， 利润增长很缓慢。对于风险和收益没有特殊偏好的投资者来说， 应该选择曲线的拐点 作为最优投资组合， 大约是 a*=0 6%， q*=20%， 所对应投资方案为 风险度收益x0 x1x2x3x4 0 006 00 201 900 240 00 400