第六章矩阵的特征值和特征向量知识点梳理.doc

第六章矩阵的特征值和特征向量知识点梳理(一).相似的概念：1.定义：_。2.性质：(1)._。 (2)._。 (3)._。(二).矩阵的特征值和特征向量1.定义：_ _ _2.求矩阵A的特征值和特征向量的步骤：(1)._(2)._ _ _。3.特征多项式、特征向量、特征值的性质：(1)._。(2)._。(3)._ _ _。(三).矩阵通过相似变换化为对角阵问题：1.A可以对角化的充要条件：_。2.对角化的计算步骤：._ ._ _ ._ _ _ _。3对角化性质：(1)._。 (2)._ _ _。 (3)._。 (4)._。(四) .实对称矩阵的对角化1.实对称矩阵的性质：(1)._。 (2)._。 (3)._。 (4)._。2.正交的定义：_。 正交矩阵的定义：_。 一个矩阵是正交矩阵的充要条件：_。(五).考研例题：1.求下列矩阵的特征值和特征向量，哪个矩阵可以对角化？A=，B=。2. A=与B=A=与B=，哪一组相似？3.假如是A的一个特征值，证明(1) .k是kA的一个特征值。(2) . 是A的一个特征值，是A的一个特征值。(3) .a+b+c是aA+bA+CI的特征值。(4) .f()是f(A)的一个特征值。4. 假设n阶矩阵A是可逆的，那么A的特征值是，求的特征值。5. 三阶矩阵A的特征值是(1，-1，2)，B=，求(1).B的全部特征值以及所有的相似对角阵。(2).求以及 (3).求。6.假设，、是A的特征值，分别属于、的特征向量，证明：+不可能是A的特征向量。7.假设A、B是n阶方阵，且AB，下列结论正确的是哪一个？ (A). I-A=I-B (B).A、B有相同的特征值和特征向量 (C).A与B都相似于一个对角矩阵 (D).对任意常数t，tI-A与tI-B是相似的。8.假设A、B都是n阶方阵，证明AB与BA有相同的特征值。9.n阶矩阵A的所有元素全为1，求A的特征值。10.设，a,b满足什么条件时，矩阵A可对角化。11.已知=(1，1，-1)是矩阵A的一个特征向量。 求：(1).确定a，b，所对应的特征值是多少？(2).A能否相似于对角矩阵，说明理由。12.已知A的特征值是=-2，=-2，=4，它们依次的特征向量为=(1，1，0)，=(-1，0，1)，=(1，1，2)，又知B=(0，1，-1)，求。13.三阶实对称矩阵A的特征值分别是1，2，3，A的属于1，2的特征向量为=(-1，-1，1)，=(1，-2，1)，求 (1) A的属于3的特征向量 (2).矩阵A。14.假设A是三阶矩阵，b=(1，1，-2)，已知线性方程组AX=B有解，但不唯一，(1).求a (2).求正交矩阵Q，使QAQ为对角矩阵。15.假设A、B是同阶方阵，若A相似于B，(1).证明A与B的特征多项式相等。(2).举出一个二阶方阵的例子，说明(1)中的逆命题不成立。(3).当A、B都是实对称矩阵时，(1)中的逆命题成立。16.假设实对阵矩阵A，求可逆矩阵P，使PAP是对角矩阵。小结：(1).求特