（凝聚态物理专业论文）非线性薛定谔方程孤子微扰理论及其在光纤通信中的应用.pdf

一 q k 摘要 非线性薛定谔方程( n l s e ) 是现代科学中最具普遍意义的重要方程之 一，其孤立波解已在许多物理领域中得到应用。在实际非线性系统中，由 于一些微小的附加项不可避免地出现在标准孤子方程中，所以薛定谔孤 子的微扰理论是非常有实用价值的。它主要包括建立在逆散射变换基础 上的孤子微扰理论和以j o s t 平方解( 为逆散射法求解过程中出现的某类 特解) 为微扰展开基的“半”直接法两大类。这两类方法虽然功能强大，但 只适用于可积系统，且数学计算非常复杂而不能被大多数人掌握。我的 导师颜家壬教授发展了一种基于分离变量法的直接孤子微扰理论，它适 用于可积和非可积系统。此方法还成功的解决了暗孤子微扰这一难题。 本文借助于此方法讨论了光孤子通信中一些重要微扰( 双光子吸收、 增益和光谱过滤等) 对光孤子的影响，对适当控制系统参数，从而提高 长距离信息传输精度有一定的理论参考价值。目前，光孤子通信被认为 是光纤通信中最有发展前途，最具开拓性的前沿课题。所以，孤子微扰 理论在光纤通讯中的应用具有非常重要的科研应用价值。另一方面，本 文也为颜教授所发展的孤子微扰理论提供几个重要的实例，使该方法得 到进一步完善和充实。 全文共分为五章：第一章简要介绍孤子及非线性光学的发展史，且从 光纤中群速度色散与非线性效应相平衡时的情况导出n l s e 。第二章讨 论了光纤中一些非常重要的非线性效应。第三、四章分别运用非线性薛 定谔方程的微扰理论研究了光纤中暗、亮孤子的动力学行为。第五章为 对本文工作的总结和展望。 关键词：非线性薛定谔方程；孤子；微扰；光纤通信 a b s t r a c t n o n l i n e a rs c h r 6 d i n g e re q u a t i o n ( n l s e ) i so n eo ft h em o s ti m p o r t a n te q u a t i o nw i t h u n i v e r s a ls i g n i f i c a n c eo fm o d e r ns c i e n c e i t ss o l i t o ns o l u t i o nh a sb e e n a p p l i e di nm a n y f i e l d so fp h y s i c s i nr e a ln o n l i n e a rs y s t e m s ，a d d i t i o n a le f f e c t sa p p e a ri nt h es t a n d a r ds o l i t o ne q u a t i o ni n e v i t a b l y s o ，t h es o l i t o np e r t u r b a t i o nt h e o r yo fn l s ei sv e r yi m p o r t a n ti n a p p l i c a t i o nf i e l d i tm a i n l yi n c l u d e st h ef o l l o wt w ok i n d s ：t h et h e o r yw h i c hb a s e do nt h e i n v e r s es c a t t e r i n gt r a n s ：f o r m a t i o n ( i s t ) a n dt h es e m i , d i r e c tm e t h o dw h e r et h es q u a r e d j o s ts o l u t i o n s ( w h i c ha r et h es p e c i a ls o l u t i o n so ft h en l s eb yu s i n gt h ei s t ) a r ee m p l o y e da st h eb a s i sf o rp e r t u r b a t i o ne x p a n s i o n a l t h o u g hb o t ho ft h et w om e t h o dh a v e i m p o r t a n tl e a r n i n gv a l u e ，b u tt h e ya r ej u s tf i tf o ri n t e g r a ls y s t e m sa n dc a nn o tb eg r a s p e d b ym o s tp e o p l eb e c a u s eo ft h ec o m p l e xc a l c u l a t i o n p r o f e s s o rj i a r e ny a h ，w h oi sm yt h e s i s s u p e r v i s o r ，h a dd e v e l o p e dad i r e c ta p p r o a c ho ft h es o l i t o np e r t u r b a t i o nt h e o r yb a s e do n s e p a r a t i n gv a r i a b l et e c h n i q u e i ti sa p p l i c a b l et ob o t hi n t e g r a b l ea n du n i n t e g r a b l es y s t e m s e s p e c i a l l y , t h ed i f f i c u l tp e r t u r b a t i o np r o b l e mo fd a r ks o l i t o nc a nb es u c c e s s f u l l ys o l v e db v t h i sm e t h o d i nt h i sp a p e r ，w ed i s c u s ss o m es i g n i f i c a n tp e r t u r b a t i o n s ( t w o - p h o t o na b s o r p t i o n ，g a i n ， s p e c t r a lf i l t e r i n ge t a 1 ) i nt h eo p t i c a lf i b r ec o m m u n i c a t i o ns y s t e mu s i n gt h ed i r e c tm e t h o d o u rw o r km a yg i v es o m et h e o r yr e f e l t e n c ev a l u et oe n h a n c et h ei n f o r m a t i o np r e c i s i o n o ft h el o n gd i s t a n c ec o m m u n i c a t i o nb yc o n t r o l l i n gs y s t e mp a r a m e t e r s a tp r e s e n t ，t h e o p t i c a lf i b r ec o m m u n i c a t i o ni sc o n s i d e r e da st h ep r e c e d i n gs u b j e c tw h i c hh a st h em o s t b r i g h tf u t u r e t h e r e b y , t h ea p p l i c a t i o no ft h et h e o r yo fs o l i t o np e r t u r b a t i o n si no p t i c a l f i b r ec o m m u n i c a t i o nh a ss i g n i f i c a n ts c i e n t i f i cr e s e a r c hv a l u e b e s i d e s ，t h e yc a ne n r i c ht h e s o l i t o np e r t u r b a t i o nt h e o r yo fp r o f e s s o ry a ha n do f f e rs o m ei m p o r t a n te x a m p l e s t h i st h e s i sc o n s i s t so ff i v ec h a p t e r s t h eh i s t o r yo fs o l i t o na n dn o n l i n e a ro p t i ca r e i n t r o d u c e di nc h a p t e ro n e w h a t sm o r e ，t h en l s ei sd e r i v e di nt h ec a s eo ft h eb a l a n c eo f g r o u p - - v e l o c i t yd i s p e r s i o na n dn o n l i n e a re f f e c t s s o m ei m p o r t a n tn o n l i n e a re f f e c t sw a sd i s c u s s e di nc h a p t e rt w o t h ed y n a m i c so fd a r ka n db r i g h ts o l i t o ni no p t i c a lf i b r ew e r es t u d - i e qi nc h a p t e rt h r e ea n df o u rr e s p e c t i v e l yb yu s i n gt h ep e r t u r b a t i o nt h e o r yo fn l s e w e s u m m a r i z eo u rw o r ka n dd i s c u s si t sp r o s p e c ti nc h a p t e rf i v e i i t ! 、 i 山 一，：7 ， - 一j 1 k e y w o r d s ： n o n l i n e a rs e h r 6 d i n g e re q u a t i o n ，s o l i t o n ，p e r t u r b a t i o n ，o p t i c a lf i b r e c o m m u n i c a t i o n i i i 第一章绪论 1 1前言 人们对孤子的研究，可以追溯到十九世纪中叶，英国工程师罗素 ( j o h ns c o t tr u s s e l l ) 1 2 】在河边观到一种浅水波包络在运动过程中波形保持 不变，罗素一开始就意识到，这个水包不是普通的水波。罗素在水槽的一 端用一重锤垂直落入水中，对重锤激起的水浪的运动情况进行了反复的 观察，他发现这种水浪与运河中出现的奇特水波基本相同。他进一步研究 发现水波移动速度u 、水的深度d 及水波幅度a 的关系为护= b ( d + a ) ，b 为比例常数。实验结果表明，水波的运动速度与波幅的高度有关，波幅高 的速度较快，且波幅的宽度对高度之比也相对较窄。然而罗素当年未能 从流体力学出发对此新奇现象予以合理的理论解释，因此没有引起人们 的充分重视。罗素发现的5 0 年之后，两位荷兰学者柯特维格( k o r t e w e g ) 与 德弗里士( d e v r i e s ) 【3 】在研究水波时认为，完整的流体动力学方程应该是非 线性的。通常的线性方程仅为波幅远小于波长情况下的一种近似情况， 而当波幅与波长的比值不可忽略时，会出现非线性波或大振幅波，孤立 波即为其中的一种。他们根据水波的非线性与色散特征，得出了著名的 k d v 方程 妒t 一6 妒妒。+ 妒z z 。= o ， 它的一个特解是 妒= 一兰s 砒2 【讵( z u 蝴 ( 1 1 ) ( 1 2 ) 此解表示的是一个振幅为u 2 且以恒定速度u 传播的波包。由该方程获得 的孤立波表面形状以及传播速度，恰与罗素的观察结果一致。至此，孤 立波的存在得到了世人的公认【4 】。当时人们曾一度预言，当两列非线性 波相遇时，孤立波会被撞得四分五裂，于是认为即使孤立波存在，也是 不稳定的，在物理学中它们不会有什么研究价值。 2 0 世纪6 0 年代，空间物理学以及受控热核聚变技术的发展，促进 了人们对等离子体中存在的形形色色非线性波、波与粒子间非线性相互 作用的研究。与此同时，求解非线性方程孤立波解的各种数学方法相继 硕士学位论文 问世。大中型电子计算机也投入运行，它们在复杂的计算中，发挥了神 奇的功能。丕林和克斯姆等人利用电子计算机在数值模拟计算中，研究 两个孤立波的相撞，结果发现，孤立波具有类似粒子的性质，它们互相 碰撞后，不仅能保持能量与动量集中的状态，动量的分配居然与弹性粒 子的情况非常相似。1 9 6 5 年，美国数学家采布斯基( z a b u s k y ) 与克鲁斯卡 尔( k r u s k a l ) 5 】运用数值方法研究了如下k d v 方程随时间的演化问题： 妒+ 妒妒。一卢妒。= o( 1 3 ) 式中p 为色散系数，设边界为周期的，解的初值为妒( z ，o ) = c o s ( 丌z ) 。因 色散系数卢很小，初始时色散项可略去。这样( 1 3 ) 式的隐式解为妒= c o s 丌( z 一妒t ) 。这个解对应的曲线随时间的推移会变得愈来愈陡。在z = o 5 点，当扭1 丌时，解会变得不连续。但当到达或超过这点时，色散项增 大，不能被忽略，这就起到抹平变陡的作用。当江3 6 丌时，有八个孤立 波出现。每一个孤立波均以各自的速度向前运动。非常重要而有趣的现 象是一系列孤立波相互碰撞时，速度发生改变，但碰撞后仍保持波形和 速度不变，具有粒子相碰的特点。他们对孤立波粒子特性的理论研究结 果表明，丕林和克斯姆等人的模拟具有一定的真实性。自此，这些孤立 波由于其所具有的稳定性，被称为孤立子或孤子( s o l i t o n ) 。 此后，人们发现孤子存在于大量物理现象中。1 9 7 2 年，z a b u s k y 与s h a b a t 运用逆散射方法研究非线性薛定谔方程( n l s e ) 时【引，发现其解由一系列 孤子及色散波构成。n l s e 是现代科学中具有普遍意义的重要方程之一 【，。川，其孤立波解已在许多物理领域中得到应用，如等离子物理 u ，挖】， 非线性光学【1 3 】、生物物理学、高分子物理以及星系的形成等。自1 9 7 2 年 z a k h 盯o v 和s h a b a t 首次得到n l s e 的孤立波解以来，在而今许多实验，如 玻色爱因斯坦凝聚中已被观察到f 川。1 9 7 3 年h a s e g a w a 和7 t 却p e r t 首先提 出了在光纤中实现孤子传输的可能性 1 5 ，1 9 8 0 年m o l l e n a u e r 等人在实验 中证实了光纤中孤子的传播现象【埔】。此后，这个领域的研究引起了科学 家们的广泛兴趣，并且取得了很大的进展【 圳，这导致了非线性光学一 个新的分支一一非线性光学的出现 z s - 。引。 1 2 非线性光学 非线性光学作为光学学科中一门崭新的分支学科，在新颖的高亮度 2 非线性薛定谔方程孤子微扰理论及其在光纤通信中的应用 光源一一激光器问世以后，就以她那新奇的面貌展现在世人的面前。在 短短的4 0 年间，非线性光学在基本原理、新型材料的研究、新效应的发 现与应用方面都得到了巨大的发展，成为光学学科中最活跃和最重要的 分支学科之一。 在2 0 世纪中期，与其他物理学学科相比，光学领域略显沉闷，研究 范围偏窄并有陈旧之感。然而，科学家们仍然孜孜不倦，力求创新。非线 性光学的一个重要发展时期是早期的1 0 年( 1 9 6 1 1 9 7 0 ) 。1 9 6 0 年，加州 休斯实验室的梅曼( t h m a i m a n ) 制造的红宝石激光器神奇的辐射一举扫 除了光学领域的沉寂。科学家们立即意识到这是一个开拓崭新研究领域 的极为重要的工具，并迅速开展了多方面的探索工作。自1 9 7 1 年至1 9 9 0 年，非线性光学经历了深入发展的2 0 年。在这2 0 年中，一些新的重要的 非线性光学效应相继被发现，如光学双稳态及混沌，光学压缩态等。光纤 通信亦是在1 9 7 0 年代初开始研究并得到广泛注意的，由于低损耗石英光 纤的制成以及近红外波段激光器性能的提高，光纤通信的研究取得了突 飞猛进的发展，使它成为光纤通信领域最重要和最有发展潜力的手段。 为了充分利用光纤通信所拥有的极高容量和比特率，人们开展了激光束 在光纤中传播特性的研究。贝尔公司的s t o l e n 首先对光纤中的受激拉曼 散射( s r s ) 过程进行了详细的测量【矧，研究还涉及到光纤中的自相位 调制( s p m ) 过程 z8 1 。光学孤子是在传播过程中保持形状不变的一种 光波，自然是光纤通信中最理想的载波光束，它可以经光束中的群速色 散( g v d ) 和s p m 两种过程的结合而在光纤中得到产生与传播。在这2 0 年 中，对于孤子理论有大量的研究工作，包括时间域的孤子和空间域的孤 子，亮孤子，暗孤子和时空孤子等【2 9 ，测。1 9 9 0 年代中，非线性光学研究 又在几个方面取得了重大的进展。特别是光纤通信得到神速发展并深刻 影响了人类社会。而在光纤通信的发展计划中，光孤子通信倍受人们关 注。光孤子由于其极好的波形保持性，对无误码率信息传输的应用前景 十分诱人。由此，科学家们在2 0 世纪8 0 年代发现光孤子的基础上，对时 间孤子，空间孤子，即时空孤子都进行了大量深入的研究。 1 3n l s e 的导出 本节仅从光纤中的群速色散与非线性效应相平衡时的情况来导出 n l s e ，也就是说，讨论光脉冲在光纤中传输时，同时考虑非线性光学效 3 硕士学位论文 应和群速色散的影响，即可得到光纤中光学孤子传输所服从的n l s e 。 光脉冲在光纤中传输时总是存在一定的频率范围，在线性近似中， 常将光脉冲表示成在一定范围内一系列简谐波的叠加。由于各谐波分量 相速度不同，因而光脉冲包络的传输通常以群速 。= 象来表示( k 为光 波波数，( 1 ) 为载波频率) 。由该式可见，群速度是随着频率的变化而变化 的，而光脉冲中不同频率的分量则会以不同的速度进行传播，导致脉冲 分散，这种现象称之为群速度色散( g v d ) 。如考虑无增益和耗散的情况 时，其群速度色散将出现波矢数值( 波数) 按其中心频率u 。的展开式 m 出u 瑚) 笔+ 丢( u ) 。等+ - b p ， ( 1 4 ) 上式描述了与载波频率u 。有轻微偏离的调幅波频率组分的波数。对于 光纤中的光脉冲而言，b p 表示与入射光脉冲功率相关的非线性项，其 中b 为光脉冲的非线性展开系数，b = 紫，式中扎。是光纤的非线性 折射率，一般与光纤介质的一阶非线性电极化系数x ( s ) 有关，量级约为 1 0 _ e c m 。叫，光纤有效折射率佗表示为n 。+ n 。吲z 。n 。为其通常折射率， 其& 为光纤有效截面& = p z ( r j 2 d s ) ，( 1 4 ) 式中黠与光纤色散参数d 相关，若忽略群速高阶色散有d = 击( u 彳- ) = 一簪黠，由此可见，光纤的 群速色散与其非线性效应密切相关。 下面用简单直观的方法建立n l s e ，我们通常所说的光脉冲指的是 波包光脉冲，即以高载频u 。传送但振幅缓慢变化的波包。若波包用复振 幅e ( z ，) 来描述，而光频载波为e t ( 咖o ，则光脉冲电场可写为 e ( z ，t ) = r e ( z ，) e 印【i ( 忌。之一u o ) 】) ，( 1 5 ) 式中r e 表示复函数的实部，u 。是载波信号的中心频率，是它们的波 数，包络函数( 名，t ) 为时空的慢变函数，这表明电场e 的光谱频率在载波 频率u 。附近有局域性结构。鼠o 。光纤属于克尔型非线性光学介薷篓；蒸爹豢曦频率u o 附近 有局域性结构。鼠o。光纤属于克尔型非线性光学介质，考虑 到折射率非线 性，七可以表示为即南：鲁礼。(忌)+n2(忌，u)讲尼=忌(u 硕士学位论文 在光纤中，g v d 效应与s p m 效应相结合成为决定超短脉冲的传播特 性的两个基本的因素。由于它们作用的结果，在光纤中传播的超短脉冲 既可以变宽也可以变窄。在特定的条件下，可以在光纤中形成能在长距 离传播中保持波形不变的超短光脉冲，即光孤子，它在高信息量的光通信 技术中有重要意义。根据n l s e ，可以求解光波在介质中的传播特性。在 一定条件下，光波可以在介质中传播而保持其波形不变。但问题在于， 这时如存在一个小的扰动，这种扰动会否影响光脉冲的特性? 这就是孤 子理论中的一个重要问题一一孤子的微扰问题。 1 4 各种微扰方法的概述 因为导出标准非线性方程的模型往往是高度理想化的，而实际问题 中，考虑到某些实际因素，如阻尼、外加驱动等，往往要讨论包含修正项 ( 即实际的系统和这些理想化的模型之间往往存在的一些细微差异) 的对 应方程。这时严格求解一般是不可能的，然而这些修正项必须是可以当 作小量来处理的，否则，我们将面临新的方程。也正是因为微扰的存在 具有普遍性，因此研究微扰对非线性演化方程的孤子解的影响具有更为 实际的意义。 微扰可以分为两类：一类是哈密顿微扰( h a m i t o n i a np e r t u r b a t i o n ) ，另 一类是耗散微扰( d i s s i p a t i v ep e r t u r b a t i o n ) 。 孤子微扰理论种类繁多，内容丰富。例如：1 修正守恒律( m o d i f i e d c o n s e r v a t i o n1 a w s ) 微扰理论，哈密顿微扰理论，拉格朗日微扰理论；2 基 于逆散射变换( i s t ) 微扰理论；3 基于直接法的微扰理论；4 奇点微扰 理论；5 线性微扰理论；6 基于h i r o t a 方法的微扰理论等等。但其中应用 最为广泛，处理问题能力最强的是建立在逆散射理论基础上的微扰理论 和基于直接法的微扰理论。 基于i s t 微扰理论是由k a u p 【3 2 】，k 盯p m a n 和m a s l o v 【3 3 提出来的，并 在随后的一些工作【3 4 1 3 5 】中得以扩充，k i v s h a r 和m a l o m e d 3 6 】对大量这方面 的工作做了较为详尽的总结。该理论的关键在于：怎样确定散射数据随 时间的演化。该方法建立在逆散射变换的基础上，要求未受微扰影响的 方程能够用逆散射法求解。因而只适用于可积系统。此理论处理孤子微 扰问题的能力很强，能成功的处理很多的孤子微扰问题，但思路迂回曲 6 非线性薛定谔方程孤子微扰理论及其在光纤通信中的应用 折。且对于那些不懂得ist法的人来说想运用此理论是非常困难的。 为了发展一套既适用于可积系统又适用于非可积系统的孤子方程的微扰理论，o s t r o v s k y 【3 7 首先提出了所谓的“直接法”，这种方法的基本 而导出一个关于修正解的非齐次线性化偏微分方程，然后利用与之相应 的线性偏微分算子的本征型辇影驯删掣裂戳蛩薹霎坐薹曼至垡嘴酉霎 发掣尘? 彭勘手剜匦f 雾冀 阪闻雨露囊莲襄藕孝羹衙寻蓁寸羹燮鞑 霞j 蓠舔# 昔盛蚕断踹趟斋掣景硅整编：2 隶酱髟薹表i 蘸些琴器鐾基 塑冀堡攀型磊：鎏；薹豳撕裂酗鬟蕾誊烈雌鞴些薯堑萋鲤雹黧翟要弧 壁掣必薹器? 0 菅薹蚕隧觜雾骥筒鬟新的羹装囊臻雾鍪jj 鍪霉鳖嚣翼 行归 2 ) 应用新的变量= z a ，u = ( 丌咒。) 。e ， 下= 南( t 一考) ，进行归一化，同时略去耗散项，可以得到 i 吣一扣，+ i u 2 札= o ( 2 2 1 ) 方程(2 2 1 ) 存在强度凹下去的暗孤子解。令u = 沂e 徊，并考虑到稳定态解 满足雾= o ，经过计算可由( 2 2 1 ) 式得到 4 0 害：2 一剐2 ( p 一蒯1 2 ( 2 2 2 ) 对上式积分得 吲献1二固 1 2 拙凡- 1 志觚 ( 俪。刊一盟( 2 2 3 ) 由上式很容易看出，当丁由一变至。o 时，暗孤子( 包括中心强度为零 的黑孤子及中心处强度不为零的灰孤子) 相位将发生丌的改变，而亮孤 子在整个脉冲波形中有恒定的相位( 见图2 2 ) 。数学上称暗孤子为拓扑 性孤子 第二章光纤中的非线性光学效应 2 1 群速色散( g v d ) 和自相位调制( s p m ) 光纤中的孤子是光纤色散与非线性相互作用的产物，服从n l s e ， 受光纤线性与非线性特性的支配。光纤特性对光孤子的形成、传输演变 特性与通信能力有决定性影响，是支撑光纤孤子通信的关键因素。 影响光脉冲在光纤中传播特性的有如下几个长度，即光纤长度l ， 色散长度l d = 高及非线性色散长度l l = 击。其中t p 是光脉冲持续时 间，a = 等为光学非线性系数，p 0 为入射至光纤的光波功率，p = 邪0 2 k 为 群速色散系数，表示介质材料的g v d 特性，在光纤通信中有重要作用。 它有多种表示形式，在此仅给出与波长相关的一种 3 s z = 蒹密。研究结 果表明，a d = 1 3 # m 处为零色散波长，在这个波长附近有最小的色散，这 正是早期光纤通信采用1 3 # m 为工作波长的原因。a a d 时，p l o o p s ，p o 1 w ，这时g v d 效应不很显著，但非线性效应却已明显影 响到光脉冲的传播，即有l l l ，l l l ，这时g v d 和s p m 效应两者都必须计及。 由于光纤中存在色散，光信号在光纤中传输会产生损耗和畸变， 从而导致输出信号较之输入信号不仅幅度要减小，而且波形要展宽。由 色散引起的脉冲展宽，将限制光通信号系统的通信容量和传输速率。我 们先讨论g v d 效应对光脉冲传播的影响，而暂不计及非线性项的作用， 则方程( 2 2 ) 变为 。o u 60 2 u 。o z2 2 0 7 2 此方程完全类同于光波经过孔径后的光波衍射方程，对u ( z ，t ) 作f o u r i e r 变换，u ( z ，t ) = 巴u ( z ，u ) e - i w t d w ，从而可以得到脉冲频谱的演化方程为 i 旦坚s 尘= 一互1 p u 2 u ( z ，u ) ， ( 2 4 ) 由方程( 2 4 ) 可求得u ( z ，u ) = u ( o ，u ) e ；卢以，这表明g v d 效应改变了脉冲的 每个频谱分量的相位，其改变量依赖于频率及传输距离，这种相位变化 不会影响脉冲频率，但它能改变脉冲的形状。将上式代入方程方程( 2 3 ) 易得其通解为 ，t ) = 磊1 仁叩，训互i p u 2 z 一册 妣， ( 2 5 ) 其中u ( o ，u ) 是入射光脉冲u ( o ，丁) 的频谱分布。 。对具有高斯型时间分布的入射光脉冲，它在光纤中传播一段距离后， 仍能保持高斯型的时间分布，但脉冲持续时间会变长。在t 时刻，距离 z 处的光脉冲的光电场振幅为 。 叭乞t ) _ 南) ( 1 2 ) e x p 卜蠢】 ( 2 。6 ) 弘 1 1 2 由此可求得z 点处脉冲持续时间t 。为 t l = t p 1 + ( ) 2 】m ( 2 7 ) 非线性薛定谔方程孤子微扰理论及其在光纤通信中的应用 可见由于不同的频率成分在光纤中的传播速度不同，在传播l d 距离后， 脉冲持续时间增加了一倍。 除了脉冲持续时间的变化外，另外一个重要的变化是，不带啁啾的 ( 无相移) 入射脉冲经光纤传输后会具有啁啾特性，即在输出脉冲中产 生了一个随时间变化的相位因子。我们可以把传播后光脉冲的复数光电 场振幅写为 u ( z ，t ) = iu ( z ，t ) l e x p i 咖( z ，t ) 】 ( 2 8 ) 其中相位项为 北= 篱磐季+ a r c t a n c 仁9 ， s g n ( z ) = d = l ，可见输出脉冲被相位调制。由这个相位关系则可得到脉冲 波形中不同部位的频率变化行为 轧：一等：筹丢( 2 1 0 ) 2 一面21 了霄硬 脉冲的不同部位具有不同频率的现象称为脉冲的频率啁啾。上式表明，由 于色散的影响，光脉冲的不同部位钆值不同，其值还取决于p 的正负。 对于正的g v d ，脉冲的高频成分将位于脉冲后沿( t 0 时有乩 0 ) ， 这表示，脉冲的后沿部分，频率会变大。而对于负g v d 情况，高频成分 ( 蓝移) 具有较快的传输速度和较小的传输时延，而低频成分( 红移) 的传输速度则较慢，于是啁啾会引起脉冲的变宽。此外，我们还注意到 由色散引起的脉冲啁啾效应具有线性性质。 根据以上分析知道，我们可以采取一定措施来改善脉冲在色散光纤 中的传输性质。如可以适当选择一段正常色散光纤和一段反常色散光纤 共同构成整个光纤传输线路，使得两段光纤的色散啁啾能够相互抵消， 从而消除脉冲的色散展宽。另一方面，若原始的入射脉冲即是一个啁啾 脉冲，有 u ( o ，t ) = e 印 _ 半鲁 ( 2 1 1 ) 其中c 是啁啾参数，c 0 是正啁啾，c l 的情况。这 时方程( 2 2 ) 变为 豢= 去e - 2 7 z i u l 2 u ( 2 1 5 ) 非线性长度l l 越小，非线性效应越明显，当传输距离z l l 时，非线 性所产生的影响变得较为明显。可以求得上述方程的解为 u ( z ，t ) = u ( o ，t ) e x p i c n l ( z ，t ) 】， 其中相位抽l 为 c n l ( z ，t ) ：i u ( o ，t ) 1 2 掣， l n l ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 其中z 。f f = ( 1 一e - 2 7 。) 2 ，y 为计及吸收的有效长度。 上式表明，s p m 效应并不影响脉冲的形状，但在相位上产生了与强度 有关的相移( 随光强的增大而增大) 。与色散导致的脉冲啁啾效应类似， 1 2 非线性薛定谔方程孤子微扰理论及其在光纤通信中的应用 s p m 也将导致脉冲啁啾效应，使脉冲的不同部位具有与中心频率不同的 偏移量： = 一等= 一掣瓦z e f f ( 2 1 8 ) 要特别注意的是，s p m 所导致的频率偏移将随着传输距离的增加而不断 增大，即脉冲在传输过程中将不断产生出新的频率成分，从而扩大了脉 冲光谱的带宽，可以产生更短的脉冲。因此s p m 对脉冲的主要影响来自 于传输过程中的谱加宽。 光脉冲在光纤中的传播经常需要同时考虑g v d 和s p m 的共同作用， 令= z ( l d ) ，丁= t ( t p ) 则脉冲传输方程可写为 i 页o u = t s g n ( z ) 丽0 2 u 一( 舞) 2 e - 2 7 z m 2 【， ( 2 1 9 ) 当l d l l 时，g v d 占主导地位，而当l d l l 时，则s p m 主要影 响脉冲的传播。在具有正常色散特性的光纤中，低频成分比高频成分传 播的快，由于s p m 效应使光波产生新的频率成分，在脉冲前沿，频率红 移，脉冲后沿，频率蓝移，于是光纤中传播的光脉冲迅速展宽。在具有反 常色散特性的光纤中，由于p 0 ，g v d 效应产生负的啁啾，但s p m 效 应会产生正的啁啾，因此光纤色散造成的脉冲展宽可以在一定程度上从 s p m 效应得到补偿。在适当条件下，这两种作用能达到精确平衡，使得 光脉冲在光纤中传播时会保持一个无啁啾的脉冲。此即为孤子脉冲产生 的根本原因。所以说，光孤子的形成机理是光纤中g v d 和s p m 效应在反 常色散区的精确平衡。 2 2 光纤中的孤子 介质中波的叠加会形成波包，在线性介质中形成的波包会因为介质 的色散效应而在传播过程中逐渐弥散消失，而在非线性介质中则有可能 形成一种不弥散的波包，称之为孤立波或“孤子”。如果一个光脉冲能在 长距离传播时保持其波形不变，则称这种光脉冲为光孤子。我们可以直 接给出大家熟知的n l s 方程( 1 1 4 ) 的孤立波解 u ( 丁，) = 枇c + 尤一酬e x p 一衙+ 兰( 叩2 一k 2 ) 一i 印) ( 2 2 0 ) 1 3 硕士学位论文 其中，叼为孤立波峰值，k 。表示波的传播速度相对于群速度的偏离，0 。 和盯。分别为初始位置参量和初始相位参量。根据前面的分析知道，在反 常色散区域，g v d 和s p m 两种效应总是处于平衡的补偿状态，所以孤立 波存在于光波波长处于反常色散区。而在正常色散区不存在光孤子，只 有脉冲展宽和出现啁啾，但在这个区域却有可能激发暗孤子，它表现为 在均匀背景上出现一个局部的下陷。对应而言，上述所有的光孤子均称 为亮孤子，它是在暗背景中的一个亮点，与暗孤子恰好相反( 见图2 1 ) 。 图2 1 ：a 亮、暗孤子( b 黑孤子、c 灰孤子) 的轮廓曲线。 暗孤子有一些特别的性质，它不像亮孤子那样存在一个阈值条件，其 动态特性与亮孤子也有明显的差异。下面我们从n l s 方程出发，进一步讨 论暗孤子的产生与传播。n l s e ( 1 1 2 ) 应用新的变量= z a ，u = ( 丌咒2 ) m e ， 下= 南( t 一考) ，进行归一化，同时略去耗散项，可以得到 i 吣一扣，+ i u 2 札= o ( 2 2 1 ) 方程( 2 2 1 ) 存在强度凹下去的暗孤子解。令u = 沂e 徊，并考虑到稳定态解 满足雾= 0 ，经过计算可由( 2 2 1 ) 式得到 4 0 害= 2 ( p - p o ) 2 ( p 一蒯1 2 ( 2 2 2 ) 对上式积分得 吲献1 二。2 ) 1 2 j r t a n - 1 丽a 觚 ( 俪。刊一盟 ( 2 2 3 ) 由上式很容易看出，当丁由一变至。o 时，暗孤子( 包括中心强度为零 的黑孤子及中心处强度不为零的灰孤子) 相位将发生丌的改变，而亮孤 子在整个脉冲波形中有恒定的相位( 见图2 2 ) 。数学上称暗孤子为拓扑 性孤子，而亮孤子则为非拓扑性孤子。 1 4 非线性薛定谔方程孤子微扰理论及其在光纤通信中的应用 h a 0 5 兀 t 0 5 尢 e 。 b 0 5 7 z 厂一一 一0 5 兀 一 ； 廿 c 0 5 n 厂一 、 一0 5 尢 图2 2 ：a 亮、暗孤子( b 黑孤子、c 灰孤子) 相位对归一化时间的函数关系。 正是因为在一个连续的或长脉冲的背景上触发暗孤子并控制其相位 十分困难，所以暗孤子的实验观察比亮孤子要晚很多。在m o l l e n a u e r 于1 9 8 0 年观测到亮孤子7 年以后e m p l i t 才在光纤中利用丌相位差以产生奇对称 性才观测到具有基暗孤子特性的暗脉冲【4 。这以后，暗孤子的实验及理 论研究得到了飞快的发展【a 引。 在观察到的时间暗孤子的几个实验中，长的亮脉冲的持续时间约为暗 下陷脉冲时间的十倍，而且背景脉冲在传播中会得到展宽并出现啁啾。 人们便怀疑这是否确实对应暗孤子脉冲。t o m l i n s o n 等人研究表明，叠加 在只有十倍于暗下陷时间宽度背景上的脉冲，在短的传播距离中确显示 出孤子的特性。但经过长距离传播后，暗下陷脉冲也会展宽，暗孤子逐 渐退化。如果要观测到暗孤子的长距离传播，必须相应增加背景脉冲的 持续时间。 前面讨论的都是时域上的孤子，即时间孤子，它的产生是基于群速色 散和自相位调制之间的平衡。同样，基于衍射和自聚焦之间平衡的空间 孤子的研究，近年来亦得到广泛的重视。另一方面，结合时间与空间孤 子的时空孤子( s t s ，又叫光学子弹) ，在实验和理论方面均得到深入研 究。s t s 即是同时得到时间域和空间域的平衡，对时间域的群速度色散 和空间域的衍射效应同时得到自相位调制和自聚焦效应的补偿。光孤子 理论的出现，对于现代通信的发展起到了里程碑的作用，尤其在现代通 信技术的大容量和延长中继距离方向发展时，光孤子传输不变形的特点 决定了它在通信领域里应用的前景。- 2 3 光孤子通信 光纤通信是利用光波为载波，以光纤为传导介质进行信息传输。由于 1 5 硕士学位论文 光波的频率极高( 1 0 1 4 h z ) ，使得光纤通信具有微波，射频波段通信无法比 拟的巨大通信容量，目前已经成为世界上高信息量传输最有效的技术。 在常规的线性光纤通信中，高码率数字在长距离的传输受到了极大的限 制。原因是光纤的能量损耗，使脉冲幅度衰减，而光纤的色散又使脉宽 加宽、脉冲信号畸变。虽然在常规线性光纤通信系统的进展中，逐渐采 用了低损耗的单模光纤系统，在波长1 5 5 m 处，已使损耗降到最低限 度，信号无中继传输距离达到了1 0 0 k m 以上，但是色散问题却始终是影响 光纤通信性能的主要障碍。 以光纤为传输媒介，将信息调制到孤子上进行通信的系统叫做光孤 子通信系统。光孤子通信作为全光非线性通信方案是消除色散的最佳途 径。其基本原理是光纤折射率的非线性( g v d ) 效应导致对光脉冲的压 缩可以与群速色散引起的光脉冲展宽相平衡，在一定条件( 光纤的反常 色散区及脉冲光功率密度足够大) 下，光孤子能够长距离不变形地在光 纤中传输。另一方面，它完全摆脱了光纤色散对传输速率和通信容量的 限制的同时，其传输容量很大。 在1 9 8 0 年贝尔实验室的莫勒诺尔( m o l - l e n a u e r ，l f ) 等人实验成功后，海 斯格瓦( a h a s e g w a ) 等人开始着手研究基本孤子用于通信技术的可能性， 并于1 9 8 1 年首次明确地提出了光纤孤子通信的设想。利用光孤子传输信 息的新一代光纤通信系统，真正做到全光通信，无需光、电转换，可在 越长距离、超大容量传输中大显身手，是光通信技术上的一场革命。根 据受激喇曼散射原理，海斯格瓦设想，把与孤子峰值数量级相同的连续 波泵浦功率，周期地耦合到孤子脉冲的光纤中，通过光纤自身的喇曼模 式，孤子一定与泵浦源发生喇曼作用而得到补充能量。就在海斯格瓦的 设想发表不久，前苏联依萨耶夫等人也公布了他们的方案 蚓。紧接着， 于1 9 8 5 年，莫勒诺尔等人即实现单级喇曼放大实验【z 川。他们以足够的喇 曼增益补充了光纤损耗，在1 0 千米长的光纤末端观察到了无畸变的孤子 脉冲。后来，他们又实现了多级喇曼放大实验，又使孤子无畸变地传输 到6 0 0 0 千米以上的距离【4 4 j 。 光孤子通信是实现超长距离高速通信的重要手段，被认为是第五代 光纤通信系统。近年来美、日、英等国相继进行了光孤子通信传输的实 验，1 9 9 1 年，贝尔实验室在圣迭戈举行光纤通信会议( o f c 9 1 ) ，报导了他 们研究的新成果新泽西州霍姆德尔( h o l m d e l ) 贝尔实验室的莫勒诺尔小组 实现了脉宽6 0 p s 的孤子脉冲，以2 4 g b s 的数据传输速率，反复通过光纤 1 6 非线性薛定谔方程孤子微扰理论及其在光纤通信中的应用 循环圈传输了1 2 0 0 0 千米；西泽西州莫雷山( m u r r a yh i l l ) 贝尔实验室的奥 尔森( n a ol s s e n ) 小组利用多重孤子两路传输9 0 0 0 千米，甚至霍姆德尔的 伯根诺( n s b e r g a n o ) 等人实现了2 万千米传输。这表明光纤孤子通信不仅 可以跨洋，甚至可以在全球任意两地间进行。日本的n t t 公司也在完成 5 g b i t s 传输4 0 0 k m 和l o g b i t s 传输3 0 0 k m 实验的基础上，完成了2 0 g b i t s 传 输2 0 0 k m 和l o g b i t s 传输1