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第二章第二章 质点组力学质点组力学 自学辅导习题（自学辅导习题（2012 年使用）年使用） 一、单项选择题一、单项选择题. 1.质点组动量守恒的条件是： a.所有外力、内力的合力等于零； b.不受外力作用，或所受外力的矢量和等于零； c.所有内力的矢量和等于零； d.所受外力对任一点力矩的矢量和等于零。 1.b 2.半径为a，质量为m的薄圆片，绕垂直于圆片并通过圆心的竖直轴以匀角速度 ? 转动，则 该薄圆片绕此轴的动量矩的大小为： a. 2 ma 2 1 ； b. 2 ma； c. 2 ma 2 3 ； d.0。 2.a 3.质点组机械能守恒的条件是： a.所有外力和内力都是保守力，或若存在非保守力，但非保守力不作功； b.所有外力都是保守力； c.所有内力都是保守力； d.不受外力的作用。 3.a 4.质量为 1 m的质点，沿倾角为的光滑直角劈滑下，劈的本身质量为 2 m，又可在光滑水平面 上自由滑动。则质点沿水平方向的加速度大小为： a.g sinmm cossinm 2 12 2 + ； b.g sinmm cossinm 2 12 1 + ； c.g sinmm cosmm 2 12 21 + ； d. g sinmm )mm(m 2 12 212 + + 。 4.a 5.质点组对质心动量矩守恒的条件是： a.所有内力对质心的力矩的矢量和等于零； b.所受外力对固定点的力矩的矢量和等于零； c.所受外力的矢量和等于零； d.不受外力作用，或所受外力对质心的力矩的矢量和等于零。 5.d 6.质量为 1 m的质点，沿倾角为的光滑直角劈滑下，劈的本身质量为 2 m，又可在光滑水平面 上自由滑动。则劈的加速度大小为： a.g sinmm cossinm 2 12 2 + ； b.g sinmm cossinm 2 12 1 + ； c.g sinmm cosmm 2 12 21 + ； d. g sinmm )mm(m 2 12 212 + + 。 6.b 7.质点组对固定点动量矩守恒的条件是： a.所有内力对固定点的力矩的矢量和等于零； b.所受外力对质心的力矩的矢量和等于零； c.不受外力作用，或所受外力对固定点的力矩的矢量和等于零。 ； d.所受内力、外力的矢量和等于零 7.c 8.质量为 1 m的质点，沿倾角为的光滑直角劈滑下，劈的本身质量为 2 m，又可在光滑水平面 上自由滑动。则劈对质点的反作用力的大小为： a.g sinmm cossinm 2 12 2 + ； b.g sinmm cossinm 2 12 1 + ； c.g sinmm cosmm 2 12 21 + ； d. g sinmm )mm(m 2 12 212 + + 。 8.c 9.假如质点组不受外力作用，质点组中 a.每一质点必定是静止不动或作匀速直线运动； b.每一质点可能是静止不动的，也可能是作任意运动； c.部分质点静止不动，部分质点作匀速直线运动； d.每一质点都作任意运动。 9.b 10.质量为 1 m的质点，沿倾角为的光滑直角劈滑下，劈的本身质量为 2 m，又可在光滑水平 面上自由滑动。则水平面对劈的反作用力的大小为： a.g sinmm cossinm 2 12 2 + ； b.g sinmm cossinm 2 12 1 + ； c.g sinmm cosmm 2 12 21 + ； d. g sinmm )mm(m 2 12 212 + + 。 10.d 11.质点组中各质点所受内力的特点是： a.所有内力的矢量和等于零，所有内力对任一点力矩的矢量和等于零； b.所有内力的合力等于零，所有内力对任一点的合力矩等于零； c.所有内力的矢量和等于零，所有内力对任一点力矩的矢量和不等于零； d.所有内力的矢量和不等于零，所有内力对任一点力矩的矢量和等于零。 11.a 12.一光滑球a与另一静止的光滑球b发生斜碰。 如两者均为完全弹性体， 且两球的质量相等， 则两球碰撞后的速度所成的夹角为： a. ? 0； b. ? 90； c. ? 180； d. ? 45。 12.b 13.人荡秋千，秋千越荡越高，这是因为： a.人和秋千的内力作用改变了质点系的总能量； b.人和秋千的内力作用改变了质点系的动量； c.人和秋千的内力作用改变了质点系的角动量； d.以上三种说法都对。 13.a 14.长为?的均匀细链条伸直地平放在水平光滑桌面上，其方向与桌边缘垂直，此时链条的一 半从桌上下垂。起始时，整个链条是静止的。则链条的末端滑到桌子的边缘时，链条速度的 大小v为： a.?g3 2 1 ； b.?g3； c.?g 2 1 ； d.?g。 14.a 15.某行星绕恒星的运动过程中，二者所组成的系统的守恒量可能是： a.动量和动能； b.动能和角动量； c.角动量和机械能； d.机械能和动量。 15.c 16.对于受有心力作用的单个质点，若其势能可以表述为 1n arv + =，则其动能的平均值t与势 能的平均值v的关系为： a.vt=； b.v) 1n( 2 1 t+=； c.v)2n( 2 1 t+=； d.vn 2 1 t=。 16.b 17.空中一质量为m的气球，下边连一不计质量的软梯，在梯上站质量为m的人。起始时刻， 气球与人相对地面静止，当人以速度v ? 相对气球向上爬时，气球相对地面的速度为： a.v mm m ? + b.v m mm ? + c.v m mm ? + d.v mm m ? + 17.d 18.多级火箭在飞行过程中，第一级火箭的燃料烧尽后，箭壳受下一级火箭的作用而脱落，则 脱落前后： a.系统质心作惯性运动； b.箭壳的动量守恒； c.箭壳的动量矩守恒； d.箭壳的动能守恒。 18.a 19.质点组内力可以改变系统的： a.动量； b.动量矩； c.运动方向； d.动能。 19.d 20.在下列参考系中， 将导致质点组的动量定理、 动量矩定理和动能定理的形式发生改变的是： a.不同的惯性系中；b.非惯性系中；c.质心参考系中；d.不同的质心系中。 20.b 二、填空题二、填空题. 1.一门大炮停在铁轨上，炮弹质量为m，炮身及炮车质量和等于m，炮车可以自由地在铁轨 上反冲。如炮身与地面成一角度，炮弹对炮身的相对速度为v ? ，则炮弹离开炮身时对地面 的速度v ? 的大小为 。 1. 2/1 2 2 cos )mm( )mm2(m 1v + + 2.一门大炮停在铁轨上，炮弹质量为m，炮身及炮车质量和等于m，炮车可以自由地在铁轨 上反冲。如炮身与地面成一角度，炮弹对炮身的相对速度为v ? ，则炮车反冲的速度u ? 的大 小为 。 2. + cosv mm m 3.质量为 1 m及 2 m的两自由质点互相以力吸引，引力与其质量成正比，与距离平方成反比， 比例常数为k。开始时，两质点皆处于静止状态，其间距离为a。则两质点的距离为a 2 1 时质 点 1 m的速度的大小= 1 v 。 3. )mm(a k2 m 21 2 + 4.质量为 1 m及 2 m的两自由质点互相以力吸引，引力与其质量成正比，与距离平方成反比， 比例常数为k。开始时，两质点皆处于静止状态，其间距离为a。则两质点的距离为a 2 1 时质 点 2 m的速度的大小= 2 v 。 4. )mm(a k2 m 21 1 + 5.雨点开始自由落下时的质量为m。在下落过程中，单位时间内凝结在它上面的水汽质量为 。略去空气阻力，则雨点的运动微分方程为 。 5.g) tm(v) tm( dt d +=+ 6.雨点开始自由落下时的质量为m。在下落过程中，单位时间内凝结在它上面的水汽质量为 。略去空气阻力，则雨点在t秒后所下落的距离=s 。 6. + +t m 1ln m t m 2 t g 2 1 2 22 7.雨点开始自由落下时的质量为m。在下落过程中，单位时间内凝结在它上面的水汽质量为 。略去空气阻力，则雨点在t时刻运动速度的大小=v 。 7.g t2m2 tmt2 2 + + 8.均质扇形薄片的半径为a，所对的圆心角为2，则其质心离圆心的距离为 。 8. sin a 3 2 9.均质半圆形薄片的半径为a，则其质心离圆心的距离为 。 9. 3 a4 10.均质扇形薄片的半径为a，所对的圆心角为直角，则其质心离圆心的距离为 。 10. 3 a24 三、简答题三、简答题. 1.若系统绕通过质心的转轴作定轴转动，则该力学系统的动量等于多少？为什么？该系统的 角动量、动能是否等于零，为什么？ 1.答：由于力学系统的动量等于该系统的质心动量，即 cc vmpp ? = 而对于转轴通过质心的定轴转动，0vc= ? 所以该力学系统的动量等于零，即0vmpp cc = ? 系统绕通过质心的转轴作定轴转动时，系统的角动量 2 c ij= ? ，且0ic， 0 ? ，所以 该系统的角动量不等于零。 由柯尼希定理可知，力学系统的动能等于质心动能与绕质心转动动能之和，即 ttt c +=。 而对于转轴通过质心的定轴转动，0tc=；0t 所以该系统的动能不等于零。 2设 i r ? 和 i v ? 分别为质点i相对于质心的位置矢量和速度，请问 i iir m ? 和 i iiv m ? 分别等于多 少？为什么？ 2.答：均等于零。 设 i r ? 为质点i相对于固定点o的位置矢量， c r ? 为质心c相对于固定点o的位置矢量。则 根据质心定义 = i i i ii c m rm r ? ? 和 ici rrr+= ? 可得： +=+= i ii i i c i ici i i i i i ii c rm m 1 r)rr (m m 1 m rm r ? ? ? 所以：= i ii 0rm ? 对上式两边对t微分，可得0vm i ii = ? 3.轮船以速度v ? 行驶，一人在船上将一质量为m的铁球以速度v ? 向船首抛出，有人认为：这 时人作的功为 mvvmv 2 1 mv 2 1 )vv(m 2 1 a 222 +=+= 其中船和人的总质量为m ,v ? 和v ? 的方向相同。你觉得这种看法对吗？如不正确，错在什么地 方？ 3.答:这种看法不对。此题为内力做功问题。设 v ? 为仍铁球后船和人的共同速度，由于水平方 向不受外力，故水平方向动量守恒，即： )vv(mmvv)mm(+=+ 222 v)mm( 2 1 )vv(m 2 1 mv 2 1 a+= 所以vv m m mvmv 2 1 v m2 m a 2 222 2 += 4.秋千何以能越荡越高？这时能量的增长是从哪里来的？ 4.答:人和秋千踏板组成质点组，在荡秋千时，由于内力作功，质点组的动能增加，从而使势 能也增加，所以秋千会越荡越高。 5.质点组内力的特征是什么？ 5.答:内力的特征是：内力的反作用力一定是内力；内力的矢量和为零；内力对任一点力矩的 矢量和为零；内力的总功在一般情况下不为零。 6.质点组质心相对于质点组的位置，是否与确定质心位矢的参考系的选择和质点组的运动方 式有关？为什么？ 6.答:无关。因为质点组质心相对于质心系的位置完全由质点组的质量分布确定。只要质量分 布不变，质心在质点组中的位置就不会改变。与其它因素，诸如参考系的选择、参考原点的 选择、质点组的运动方式等无关。 7.质心在质点组动力学中有何重要性？ 7.答:质心的引入将复杂的质点组的多质点问题在形式上简化为具有代表性的单质点问题。 这是因为质心的位矢可由质心公式加以确定，质点组的动量可由质心的速度确定，质心的运 动可以由质心运动定理完全确定。 简化了质点组角动量和动能的计算。 这是因为质点组的角动量和动能都可以分成质心 的和相对于质心的两部分。 8.质心参照系在质点组动力学中起到哪些重要作用？ 8.答:质心参照系的原点为质心。它的引入，给处理质点系动力学的某些问题带来许多方便。 简化了质点组角动量和动能的计算。这是因为在质心参考系中，角动量和动能都可分 成质心的和相对于质心的两部分。 利用质心参照系，还可以导出相对于质心的角动量定理和相对于质心系的动能定理， 且这两个定理与相对于惯性系运动的相应定理形式上保持一致。 9.有人问，质点组的角动量和动能都可分成质心的和相对于质心的两部分，那么，质点组的 动量是否也可以写成两部分？为什么？ 9.答:可以。 设 i r ? 为质点i相对于固定点o的位置矢量， c r ? 为质心c相对于固定点o的位置矢量。则 根据质心定义 = i i i ii c m rm r ? ? 和 ici rrr+= ? 可得： 。 +=+= i ii i i c i ici i i i i i ii c rm m 1 r)rr (m m 1 m rm r ? ? ? 于是：= i ii 0rm ?