（微电子学与固体电子学专业论文）纳米级多耦合rlc互连延时分析.pdf

摘要 摘要 随着集成电路技术进入纳米级，互连的延时效应日益显著，已成为影响集成 电路设计最具挑战的问题之一。本文主要研究了纳米级耦合互连线延时的解析建 模问题，改进了传统的将互连线抽象为集总非耦合电路，进而进行解析建模的思 路，是互连延时解析计算结果更加精确。在获得纳米级互连电阻、电容和电感等 寄生参数后，针对互连结构中的顶层互连，文中结合解耦合计算方法和电报方程， 建立了考虑耦合效应的互连延时解析计算模型，求出了互连延时的解析表达式。 仿真结果表明，与传统的s p i c e 软件相比，由本文互连延时解析模型得到的结果 十分精确，而且大大缩短了仿真机时，提高了仿真计算效率。本文解析模型在超 大规模集成电路互连延时分析和优化中具有独到的优势和潜在的应用前景。 关键词：耦合解耦合互连延时电报方程 a b s t r a c t a b s t r a c t a st h es c a l eo fi n t e g r a t e dc i r c u i t sr e a c h e st h en a n o m e t e rl e v e l ，t h ei n t e r c o n n e c t d e l a yw h i c hi so n eo ft h em o s tc h a l l e n g i n gp r o b l e mi ni cd e s i g n , h a ss i g n i f i c a n t l y a f f e c t e dt h ep e r f o r m a n c eo fi c t h i sp a p e rm a i n l yf o c u s e so nt h ea n a l y t i c a lm o d e l i n g o fn a n o m e t e rs c a l ei n t e r c o n n e c td e l a y i nt h ep a p e r ，t h et r a d i t i o n a lm e t h o dw h i c h d e s c r i b e di n t e r c o n n e c tb yn o n - c o u p l e dl u m pc i r c u i t sh a sb e e ni m p r o v e d ，a n dam o r e a c c u r a t ed e l a yr e s u l th a sb e e no b t a i n e d t h ep a p e rf i r s to b t a i n st h er e s u l t so f 心l ，c p a r a m e t e r so ft o pl e v e li n t e r c o n n e c to fn a n o m e t e ri c ，a n dt h e na na n a l y t i c a ld e l a y m o d e lc o n s i d e r i n gc o u p l ee f f e c ti sp r o p o s e du s i n gd e c o u p l ec a l c u l a t i o nm e t h o da n d t e l e g r a p he q u a t i o n i ts h o w s t h a tt h ei n t e r c o n n e c t d e l a y r e s u l ti sv e r ya c c u r a t e c o m p a r e dw i t hs p i c e m e a n w h i l e ，t h es i m u l a t i o nt i m eh a sb e e ng r e a t l ys h o r t e dw h i c h p r o v e st h eh i l g he f f i c i e n c yo f t h em o d e l t h ei n t e r c o n n e c td e l a ym o d e lp r o p o s e di nt h i s p a p e rh a su n i q u ea d v a n t a g e sa n dp o t e n t i a la p p l i c a t i o n si nv l s it i m i n ga n a l y s i sa n d o p t i m i z a t i o n k e y w o r d ：c o u p l ed e c o u p l e i n t e r c o n n e c td e l a y t e l e g r a p h e r se q u a t i o n s 第一章绪论 第一章绪论 1 1 研究背景 近年来，集成电路产业一直遵循摩尔定律迅猛发展，技术的进步和特征尺寸 的缩小使得集成电路的性能大大提高，芯片内部核心工作频率达到了g h z 级别。但 是，集成电路特征尺寸的缩小也带了新的问题和挑战，例如，芯片制造工艺更加 复杂，新工艺开发成本更高；芯片功耗更大；还有一个重要挑战就是集成电路互 连问题。在以往的微米以及低速集成电路中，互连线被认为是透明的，在设计和 验证分析集成电路性能时不考虑芯片互连网络的影响。但是由于特征尺寸的减小 和多层互连结构的应用。互连横截面积和间距越来越小，互连密度以及互连引线 层数逐渐增加，由此引起的互连电阻、电容和电感等寄生效应将严重影响电路性 能【l 】。因此，互连已经成为决定集成电路性能、封装密度、可靠性、制造成品率 和成本的最重要因素之一。当集成电路技术发展至亚1 0 0 n m 技术时代以后，微电子 技术将面临着器件和互连技术两个方面的挑战 2 1 。对于器件而言，这些挑战包括栅 介质的直接隧穿效应、迁移率降低效应以及可靠性等问题；而对于互连技术来说， 导线电阻率的降低、新型互连材料的集成、互连引线和通孔图形的加工、芯片平 坦化的控制和高可靠性等方面的实现将是严峻的挑战。 纳米级集成电路的互连网络对芯片的延时、功耗和可靠性等参数都有严重影 响。尤其是互连延时，该课题已经成为集成电路设计方法学中的一个重要研究方 向。由于互连网络得几何尺寸随着特征尺寸的减小而减小，其电学寄生参数凸现 出来，导致了互连网络中的信号延时。互连网络的延时会直接影响芯片的核心工 作频率，如果在集成电路设计过程中没有对互连线上的延时做精确分析，很有可 能使设计得芯片在物理实现后出现时序违例，无法达到顶层设计要求的性能参数， 甚至造成错误。而且，在纳米级集成电路中，由于互连网络的规模更大，相互之 间的耦合效应也由于距离的缩短而增强，由此导致的互连线耦合寄生电容和寄生 电感值增大，使得互连网络延时的精确计算和分析变得更加困难。 1 2 研究意义 随着微电子工艺技术的飞速发展，半导体集成电路的特征尺寸不断缩减，芯 片互连网络的延时极大地影响了纳米级集成电路的性能，使得互连已经成为限制 整个芯片性能的关键因素之一，因此，如何分析并精确计算在纳米级工艺下的互 连延时已经成为近期的研究热点，相关研究十分活跃。 在深亚微米集成电路中，由于互连延时随特征尺寸的减小而增加，互连延时已 经成为设计高性能芯片的关键参数之一。在以往的集成电路设计流程中，一般采 2 纳米级多耦合r l c 互连延时分析 用s p i c e 或类似软件读入集成电路互连网络的电路网表文件，并计算其上的延时， 计算主要原理为利用拟合近似等复杂的数学方法解互连网络的偏微分方程，得出 其电流和电压传播表达式，进而计算延时。这种方法得到的结果十分精确，但是 计算相当复杂，效率很低，尤其是对于当今的纳米级集成电路而言，数目巨大的 互连网络使得利用s p i c e 方法计算互连网络的延时变成了一个不可能完成的任务。 即便只是利用s p i c e 分析互连网络中关键路径的延时，也会耗费大量的仿真机时， 从而增加集成电路产品的开发周期。所以，为了快速精确的计算纳米级集成电路 中互连网络的延时，必须通过分析其特点建立互连延时的解析模型。近年来，随 着各国研究者的努力，该种解析模型层出不穷，有些解析模型的精度已经十分理 想，达到了设计应用的标准。但是，绝大部分互连延时解析模型都是首先将集成 电路的互连网络抽象为r c 树电路或者r l c 树电路，进而进行延时分析和建模。这 种建模方法将互连网络间的耦合寄生电容和电感抽象为接地的电容和单独的线电 感，这样分析建模显然可以大大降低计算复杂度，而且得出的电路可以利用r c 或 r l c 树的特性计算延时。但是显然这种建模方法是一个近似，虽然在输入波形处 于一些特殊情形时，这种建模方法得出的延时结果是是比较精确的，但是，它并 不能反映实际集成电路中互连网络的特性。所以本文基于互连网络的实际电学结 构，构建了一种计算耦合互连电路延时的解析模型，该模型中并不将耦合寄生电 容或电感直接等效处理，而是根据不同的输入波形形式对其进行解耦合计算，进 而计算互连网络的延时。显然，本文的互连延时计算结果会更加精确，而且由于 采用解析计算结果，所以计算的效率也很高。 1 3 国内外研究现状 集成电路中互连网络引起的信号完整性问题很早就引起了人们的重视，国 内外研究人员针对由于芯片互连寄生参数增大导致的互连延时、串扰等问题提出 了很多解析计算模型。这些解析模型各有特点，其中一些研究结果精确度很高， 已经在实际集成电路设计流程中起到了重要作用。 s p i c e 和a s x 电路模拟器是非常好的延迟分析工具【l 】1 2 】。它们能非常准确地计 算互连延迟，但是计算效率非常低下，特别是对于线性电路。而互连线就是线性 电路，因此一类降阶模型技术【3 】【4 】【5 】如a w e l 3 1 ，已用来计算互连延迟。它们与模 拟方法有相同的精度，却有更高的效率。但是它们有稳定性和保守性的问题，并 且在设计早期使用它们来计算延迟还是很昂贵。因此既有效率又容易实现的延迟 度量已成为许多研究者研究的热点，只要它们的精度和可信度比较合理。 e l m o r e 6 1 于1 9 4 8 年提出了一个计算瞬态阶跃响应到达它最终值的5 0 时的时间 计算表达式。它的原理是用冲激响应的平均值( 也就是一阶矩分量) 来近似单调阶跃 第一章绪论 3 响应波形到达它最终值的5 0 时的时间。e l m o r e 延迟是冲激响应的一阶矩分量。它 有时相当不准确，因为它忽略了顺流电容的漏电阻。为了取得更高的精确性，需 要利用高阶矩分量。 k a h n g 和m u d d u r l 提出了三个延迟度量，所有的延迟度量都是采用前三个电路 矩分量m l 、m 2 、1 1 1 3 。第一个度量是从这三个矩出发，通过计算两个极点和余式， 然后去掉次要极点来评估。第二个度量是用这两个极点产生的传输函数来计算。 最后一个度量是把一阶矩分量加到冲激响应的标准误差上。这些度量比较适合高 感应传输线，而不适合r c 树。a l p e r t t 8 】等近来提出了一个简单的二阶矩度量，叫做 d 2 m 。对于远端节点有比较高的精确性。 a w e 利用前2 q 个矩分量来匹配传输函数的q 个极点和q 余式。一旦极点和余式 被计算出来，就可以构造时域公式，然后利用n e w t o n r a p h s o n 等迭代技术就能得 到5 0 点的时延。这个方法比传统的类s p i c e 模拟器快很多，但与延迟度量相比仍 然昂贵。t u t u i a n u 等【9 】提出的2 极点近似法就是基于这样一种思想。 k a y 希i p i l e g g i t l o 】注意到了非负冲激响应与概率密度函数的相似性，提出了用概 率密度函数来拟合冲激响应瞬态的计算方法，命名为p r i m o 。l i nt a o 等【l l 】对 p r i m o 方法进行了改进，提出t h - g a m m a 方法。h - g a m m a 方法是目前互连延迟评估 的好方法。为了快速计算，它需要查找一个二维表。 y a n gx i a o d o n g 等【1 2 】利用了一类新的瞬态定义来做互连线的延迟评估。他们对响应 做傅立叶变换，进而得到幅值和相位响应的矩分量，然后利用一阶或高阶矩分量 来评估延迟，取得了比较好的结果。 1 4 本文主要工作与结构安排 本文主要研究了耦合电容和耦合电感对互连延时的影响。研究工作从分析提 取互连寄生参数( 电阻r 、电感l 、电容c ) 的着手，分别分析了耦合电容和耦合电感 对延时的影响，然后对耦合电容和耦合电感进行了解耦合，得到等效电容和等效 电感，建立一个包括耦合电容和耦合电感的模型。本文所建立的模型最大优点在 于能够节约大量仿真机时，对于超大规模集成电路的设计、制造和测试具有重要 的理论意义与潜在的应用前景。 论文的第二章首先讨论了关于提取寄生参数用到的电磁场的知识，为分析参 数提取奠定基础。分析了部分元等效电路，然后分析了r c r l r l c r c s 树状 模型和传输线模型。最后提出了对寄生参数的提取。 论文的第三章重点讨论了耦合电容和耦合电感对互连延时的影响，并对耦合 互连线进行了解耦合电容和耦合电感，然后讨论了最坏情况下的等效电容。 论文的第四章研究了基于传输线理论的对多耦合互连线的解耦合，包括耦合 4 纳米级多耦合r l c 互连延时分析 电容和耦合电感。并且对解耦合电路后对延时进行计算，在多数情况下，多耦合 互连的延时误差在1 0 以内，并且建模后的电路简单，使复杂的多耦合互连线简 化。本章模型不仅保证了计算精度，而且大大缩短了仿真机时，从而显示出本章 方法的优越性和可行性。 论文的最后对本文提出的模型与计算方法进行了全面总结，指出本文工作的 不足之处并对下一步研究工作做出展望。 第二章寄生参数提取及互连延时模型综述 5 第二章寄生参数提取及互连延时模型综述 本章寄生参数提取可以定义为：在给定版图和相关制造工艺数据的前提下，进 行建模和确定集成电路电学特性参数的过程。【1 2 】而建模其实就是给出物理模型的 一种等效电路结构，其中包含了有源器件和无源电路元件。其目的是为了能得到 电路模拟所需的参数，能在制造之前预先对版图进行验证，进而做出校正。 本章的首先将介绍一些麦克斯韦方程的相关知识，作为后文推倒计算的理论基 础。随后本章将介绍一些重要的电路模型。由于我们后面的参数提取方法建立在 传输线模型的基础上，所以本章对麦克斯韦方程与传输线模型的联系做一些简要 介绍。本章随后介绍了一些重要的互连线寄生参数提取方法。最后，本章介绍了 当今业内应用比较广泛的延时模型。 2 1 麦克斯韦方程组基本知识 随着这里给出麦克斯韦方程【1 3 】的一般形式及其一些变形。普通的电磁场是以六 种量表示的，分别为：e 称为电场强度( v m ) ；h 称为磁场强度( m ) ：d 称为电 位移矢量( q m 2 ) ；b 称为磁通密度( w b m 2 ) ；j 称为电流密度( a j m 2 ) ；p 称为电荷密度 ( q m s ) 。 如果以上的这些量处处连续而且有连续导数，那么这些参数将符合麦克斯韦方 程组的微分形式 v x e = 一 疵； v 曼2o ； ( 2 1 ) v x h = c o d + j ； v x ) = p ； 这些方程还应包括表示电荷守恒的连续性方程 v 歹：一望( 2 2 ) 方程组( 2 1 ) 中对应的麦克斯韦方程的积分形式为 扣西一邻吾峨 制b 孬= o ； 弘也丢肛一f f 7 峨 q 。 熟西d = 瞰p d t 以上讨论的都是一些场量，而在电路中见到更多的是以下这些量：v 称为电压 ( v ) ；i 称为电流( a ) ；q 称为电荷( c ) ：、王，称为磁通( w b ) ；旷称为电通( c ) ；u 称为磁势 6 纳米级多耦合r l c 互连延时分析 ( a ) 。各场量与各电路量的明确关系可总结如下： v = 弘西； v = 妒最 i - 咿娥 l f ，t ：胪击； 2 5 q = 洳妣 p = i h * d 值得一提的是，式( 2 5 ) 中的电路量为标量，而它们的积分都需要有一个参照位。 对“线积分 得到的量，如电压，习惯上将积分途径的起点作为参考零点；而对 于“面积分”得到的量，如电流，习惯上取电流正的方向作为正方向，电荷为正 电荷量减去负电荷量的一种“净量”值。 综合( 2 - 3 ) ( 2 - 5 ) 可以得到场和电路的混合形式方程： 弘万一警； 刳曰d = o ；( 2 6 ) 似万= 等托 制d d = g 连续性方程的场和电路的混合形式方程为 妒毋一鲁 ( 2 - 7 ) 方程组( 2 - 1 ) ( 2 3 ) ( 2 6 ) 的第一式描述的是法拉第电磁感应定律( f a r a d a y s l a wo f i n d u c t i o n ) ，它所表示的物理意义为变动磁通将在环绕它的途径中感应出一电 压。而上述每一方程组的第二式就是安培电流定律( a m p e r e s c i r c u i t a ll a w ) 扩展到 随时间而变动的情况。第三式表明磁通无“磁源 ，也就是说所有的磁力线都是 没有起始点，也没有终点的。每一个方程组的第四式就是高斯定律( g a u s s sl a w ) ， 其物理意义是电力线开始于电荷，终止于电荷。最后，式( 2 2 ) ( 2 - 4 ) ( 2 7 ) 为电荷守 恒定律( 1 a wo f c o n s e r v a t i o no f c h a r g e ) 的不同表达形式，其物理意义是电荷既不能产 生，也不能消灭，而只能传输，电流线必须开始和终止于电荷密度增加或者减少 之点。 对于场所存在的媒质，除了上述的方程之外，还需要能说明媒质特性的方程， 这就是本构关系： 第二章寄生参数提取及互连延时模型综述 7 d = d ( e ，日) ； b = b ( e ，h ) ； j = j ( e ，h ) 式( 2 8 ) 说明本构关系中的d 、b 、j 为e 、h 的函数，在自由空间中，该关系 可以被简化为如下形式： d = e o e ； b = 地日； 歹：0 式中，e o 是真空的电容率或介电常数；1 t o 是真空的感应率或磁导率， 其单位为m k g s c ( 米千克秒库) ，其中 s 。- 8 8 5 4 1 0 1 2 志1 0 - 9 刚朋 地= 4 n x l o 7 h m ( 2 9 ) 按国际规定， ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 另外，在某些条件下，许多材料的组成关系变成简单的线性比例关系，本文后 面讨论到电介质时，如无特殊说明都是指这类媒质，这类媒质又被称作线性媒质， 即满足 d = e ； b = 日； ( 2 - 1 2 ) j ：矗 同自由空间一样，是媒质的电容率或介电常数，肛是媒质的感应率或磁导率，而 参数。称作媒质的电导率。媒质可以根据。值分类，具有大。值的材料称作导体，而 具有小。值的那些材料称作绝缘体或介质，有时为分析简便起见，常将良好的导体 看作日 - o - - o o 的理想导体，而将良好介质看作i j o - - - 0 的理想介质。 比值黜称为相对介电常数或相对电容率，良好导体的相对介电常数很难测 量，一般可近似为l 。大多数线性物质的磁导率p 都很接近于自由空间的磁导率， 即相对磁导率旷灿接近于l 。 2 2 1 部分元等效电路模型 2 2 互连线的电路模型 对1 9 7 4 年，a e r u e h l i 1 4 】就提出以部分元等效电路( p e e c ：p a r t i a le l e m e n t e q u i v a l e n tc i r c u i t ) 法解决三维导体结构的电场磁场组合建模问题。为了用等效电路 模型分析空间分布的场问题，必须从描述宏观电磁现象的基本麦克斯韦方程组导 出以导体表面电荷密度和电流为未知量的积分方程，并从中推导出等效电路的形 式。我们从e m q s 的方程组【1 5 】出发，可得磁矢量表达式 8 纳米级多耦合r l c 互连延时分析 v 2 彳= 一 ( 2 1 3 ) 由该方程，在k 个导体的系统中磁矢位的表达式为 确) 2 喜卷尸 力厕力“( 2 - 1 4 ) 同样由似稳场标量位的方程1 5 1 也可得标量电位的表达式为 航) 2 荟老严( 盯枷，f ) ( 2 - 1 5 ) 上面( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 中的积分核函数岫1 ) 为 盼) - 南 亿 经过计算推到可以得到下述公式 型+ 要羔尝障( f ，尹) ，( 尹，t ) d v 仃p 钟7 ro ：( 2 1 易 = 一羔v i 弘( 妒。) 撕力咖i 要从( 2 1 7 ) z 。一1 0 p e e c 的具体电路形式，需要将电流密度了和导体表面电荷密度p 离散化。一般可采用矩形脉冲基函数展开，即认为在每个单元上电流密度和电荷 密度为常量。这样的离散化自然引出了电路的单元分割，但是对于有厚度的导体， 内部有三个方向的体电流，如图2 1 。 2 x 电 兀 图2 1 矩形导体的电流体积单元 有了上述分割后，可以对写成分量形式的电流密度了j - j x x + j y y + j z z 的各分量作 如下基函数展开 第二章寄生参数提取及互连延时模型综述 9 n t 【1 厶2 善o 心2 0 ( 9 。历缃) ( 2 1 8 ) n t l to 、”， 其中伴、y 、z ，代表方向，而l l l ( 代表导体k 上的第n 个单元。导体表面又可以分割 成如图2 5 的样子 容单元 同样对道题表面的电荷密度进行离散化 成( ，) 2 萎如厶( ，心2 i ( 。历哪) ( 2 - 1 9 ) m i t 。，。， 将( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 代入( 2 1 3 ) ，并且只取一个方向分量，得到 掣臀陋? 叫掣 协2 。， 一矧去p n 凼i 掣 将上式在每一个体积电流单元上积分，就可z 。，1 0 一系列的可视为伏安关系的方程， 比如将它在第1 个体积单元上演长度积分，再经过整理得 娥力也+ 列k = l n = ll 够，叫掣协2 。， + 剁去黔力凼l 掣= 。 上式是p e e c i 拘基础，等式左边的每一项都具有一定的物理意义。将它的两边同时 除以单元l 的横截面积a t 后，按电阻的定义，第一项可改成 = 厶 ( 2 - 2 2 ) 其中v 丫为第1 个体积单元上沿r 方向的电压降，脚l 表示第1 个体积单元上沿r 方向的电 阻，而i 饥则表示该体积单元上沿r 方向的电流。( 2 2 1 ) 可写成 1 ，+ 1 ，+ = 0 ( 2 2 3 ) 1 0 纳米级多耦合r l c 互连延时分析 其中 屹= 劂k - i , , - il 旦4 r ：去孵 n 她i 掣 协2 4 ， v l 表示由于单元本身的电感和其他单元的互感效应作用到单元l 上所产生的压降， 由此可以引出部分电感的概念。 部分电感的概念最早在1 9 0 8 年由r o s a 指出，一般的电感只能对封闭的回路定 义，但实际电路中回路往往很复杂，具有很强的分布参数效应，难以作整体分析， 所以对于复杂的电路，往往引入部分电感的概念。 部分电感是相对于从回路电感( l o o pi n d u c t a n c e ) 而言的。由电流回路j 上流过的 单位电流在回路i _ e 弓l 起的磁链( 磁通匝数) 为， i 乡 i l o o p il o o p j 图2 3 回路j 对回路i 的磁感应 回路电感定义为 易：挚 1 根据磁通的定义和磁矢位的定义有 y = 俨孬= ( v j ) 击 ss 再利用斯托克斯公式 x 补蠢= 气暴蕊 其中l 为包围s 的环路，将它代入( 2 2 6 ) v ，= 扣万 ， 对于第j 个回路对第i 个回路的磁通贡献用下式表示 v 。= 气氐击i 其中 元= 尝孵 ( 2 2 5 ) ( 2 - 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 - 2 8 ) ( 2 2 9 ) ( 2 - 3 0 ) 第二章寄生参数提取及互连延时模型综述 1 1 将( 2 - 3 0 ) 代人( 2 2 5 ) 篌4 l f = 寺孵 沼3 - ， 以上推导都是在假设回路为无限细导体的前提下进行的，当导体横截面不能看作 无限小时，有下式 铲去躺也叱 ( 2 - 3 2 ) 式( 2 3 2 ) 为回路电感的完整形式。其中的a i 、码分别为回路i 、j 的横截面积。由积分 的线性性质可知，将上式中的两积分回路可以拆成若干段 = 上4 7 r a ，a j 军军骑卟z 。z ，l 础, ( 2 - 3 3 ) t - 中 中去澌叱 亿3 4 ， 它代表的是回路i 上的子段k 与回路j 上的子段l 之间的部分电感，式中的a i 【、b l 【、a l 、 b 1 分别指子段k 、l 的起止点。由( 2 3 4 ) 可知，式( 2 2 4 ) 括号中的项表示单元l 、n k 之间 的部分电感，于是它可以被写成 屹：k 兰n 掣 ( 2 3 5 ) 屹= 穹笋 ( 2 一 对于( 2 2 1 ) 等式左边的第三项，可以用差分形式代替其微分形式 k = 砉誊卜，_ 4 昭_ i 矗f g f f + , , ) d s - 删上4 = ss ：阶k 叫协3 6 ， 其中r i 、r 1 分别表示单元l 在y 方向上的正、负端点位置。使用格林函数表示上式有 v c ：童兰( f ) i ，g ( n n 凼一户( t n 凼1 ( 2 - 3 7 ) 进一步可以写成 v c = ( f ) 切( 础) + 一m ( 础) 一j ( 2 3 8 ) 其中，称为部分电位系数，而为小片1 1 1 l 【上的电荷量。式( 2 - 3 8 ) 给出了电感单元两端 之间的电压差，而电感单元，的两端对应的是两个电容单元的中心( 即节点上) ，假 定电荷都集中在节点上，那么由上述离散过程可得方程 l ：批_ 协3 9 ， 上式为普遍意义下的电位系数的定义，其中的西 p - 与p p 为内部节点的电势和电 1 2 纳米级多耦合r l c 互连延时分析 位系数，而p 与p p 为表面节点的电势、电位系数和电荷量。 于是我们可以定义上式中的p p 的逆c p 为部分电容矩阵，它代表的是电容单元 与电容单元之间的电容，即满足 q l = c l l l + c 1 2 ( l 一2 ) + + c l 肘( o l 一j l f ) q 2 c 2 l ( l 一2 ) + 2 + + ( 0 2 - o u ) ( 2 - - 4 0 ) q 0 = c 0 l ( j l ，一1 ) + c ：w 2 ( m 一2 ) + + c 巾 整理成矩阵形式就是 q l q 甄 呶 2 j l f ( 2 - 4 1 ) 其中c s 矩阵就是电容矩阵。( 2 - 4 0 ) ( 2 - 4 1 ) 中的元素的关系如下 m = c o ( 2 - 4 2 ) 一l c = 一g ( f ) ( 2 - 4 3 ) 值得一提的是式( 2 3 9 ) 中的下半部分指的是内部节点与表面电荷之间的关系，在 p e e c 建模中，把它们建立成一系列电荷控制电压源，于是下列差分关系成立 yu 。 吃+ f - - e e i , , 睹 p p ；t 础) 一瓤赫) 】( 2 - 4 4 ) k = lm = l 其中的i 指内部节点编号，k 为净流入电容单元节点的电流，而为电感单元，两端由 电容效应引起的电压差随时间的变化率。 图2 7 左边为一无厚度的矩形导体结构，右边为它的p e e c 等效电路结构。a 2 、 a 4 为电感单元，而a l 、a 3 和a 5 为电容单元，可以看出它们是互相错开半个单元的。 表示电容单元的自容，表示它们之间的互容；表示电感单元的电感。 a la 3a 5 图2 4 简单无厚度导体及其p e e c 等效电路 采用p e e c 法解决三维导体结构的电场磁场组合建模问题，其特点为： m 材 枷 跏跏 肪 一 一 一 三一 n n 第二章寄生参数提取及互连延时模型综述 1 3 1 直接从电磁场方程出发得出三维结构的等效电路，具有理论上的严谨性，而 且电路分析可同时在频域和时域进行； 2 由于从电磁混合方程出发，而非单纯从e s 或恒定电场恒定磁场出发，因此该 方法体现了电、磁的相互作用，比较完整地反映了系统电磁作用的实质； 3 p e e c 模型采用的是e m q s 模型，因此它在频率方面还是有一定的局限性。当 频率或速度达到很高时，即当e m q s 假设不能成立时，由于需要考虑导体中的位移 电流，那么导体的电感部分不能简单的存在，系统中的电位与电荷的关系也不能 简单地表示成电容，此时，唯有用全波的方法对原问题进行建模； 4 p e e c 方程由电磁场方程得到，对于任何包含导体的三维结构都可以用等效电 路实现。具体而言就是，将整个结构划分成若干块，同时将积分形式的麦克斯韦 方程离散化为电路模型，每个分块代表了一个电路单元，而离散化后得到的积分 方程中的电磁参数就成为了各单元之间的“互参数”，称为“部分元件”。而整个等效 电路由各部分电路元件组合而成，称部分单元等效电路( p e e c ) 。划分越精细，我 们就能得到越精确的模型； 5 元件的参数可分别由前面第4 点在推出p e e c 模型中得到的积分求和式中的互 参数得到。 以上介绍的是p e e c 的最基本概念，在它诞生之后的几十年间，有大批的学 者提出了针对它的改进模型，其中比较有名的有r p e e c 模型1 16 1 以及改进的p e e c 模型【1 7 1 。但是，在芯片尺度与计算所用电磁波最小波长相比还小很多时，一般采 用无延迟的p e e c 模型就够了。 互连树模型和传输线模型 p e e c 模型在描述物理结构方面是相当精确的，但同时，其求解比较复杂。对 于互连线，我们有时可以用更简单的r c r l r l c r l g c 树状模型来建模，以简化 参数提取和电路求解。这些树状模型在电路模拟中会经常用到，因此，在这里做 一些简单介绍。 ( a ) r c 树模型 在集成电路发展的早期，互连线作为导线，可以忽略电容、电感效应，而只需 要考虑它的电阻。当集成电路尺寸越做越小，时钟频率越来越高之后，互连线的 电容效应也显现出来。 图2 5 给出的是r c 树状模型的几种形式，比如我们要将一段互连线( 图2 6 ) 建 模成l 型的r c 树状模型，如图2 5 所示。 1 4 纳米级多耦合r l c 互连延时分析 f 。 工与) 工 丁6。丁 ( c ) 1 i 型 图2 5r c 树状模型的几种形式 图2 6 中的互连线被分成了四份，每一份在图2 1 0 中都用一个l 型的r c 树状模型 代替。 i n - 二二 二二二二二 二二二工二二 0 u t 工 图2 6 一段互连线 h p t 广亍啊，t c 工c 了c 工c 了 图2 7 互连线的r c 树模型 如果将问题考虑的更复杂一点，那么每段之间( 或只是临近段之间) 还有互容， 成为i 网状模型。我们在e q s 近似下提取的就是互连线的r c 网状模型。 ( b ) i 也树状模型 信号处在一定的频率段时，由于频率w 与c 处在分母上，所以相对于电感而言 电容对阻抗z 的贡献不是那么明显，而电感的效应却由于频率的升高突显出来。此 时，我们可以将r l 树状模型用到互连线上。同样对于图2 8 被分成四段的互连线， 用i 也建模得到的结果如下。 h f 一呲 第二章寄生参数提取及互连延时模型综述 1 5 之间( 或只是临近段之间) 的互容、互感，上述模型还可以变化成r l c 网状模型。 如果应用电感的电纳s ，即电感矩阵的逆来代替电感，就构成了r c s 模型。s 相对l 的优势在于它是稀疏的，会在计算速度上带来好处。 ( d ) 传输线模型与r l g c 树状模型 有损耗的传输线方程如 型：g 矿一c 竺( 2 - 4 5 ) 貌魂 m o v ：一彤一三塑( 2 - 4 6 ) a z研 ( 2 4 5 ) ( 2 _ 4 6 ) 可由麦克斯韦方程组推出【1 5 】。( 2 - 4 5 ) ( 2 - 4 6 ) 中的z 表示传输线的纵深 方向( 或者说信号传播方向) ，t 表示时间，g 、c 和r 、l 分别表示单位长度的电导、 电容和电阻、电感。它们的值取决于传输线截面的具体形状和它周围包围它的材 料 r l c , - c 树状模型与传输线模型最为接近，可以被称为传输线等效模型。传输线 模型中给出的参数都是单位长度的量( 分布参数) ：单位长度的电阻、单位长度的电 感和单位长度的电导、单位长度的电容等。r l g c 树状模型如下图2 1 0 图2 1 0 互连线的传输线等效模型 锨垅 图2 1 1 推到传输线方程的几何图不 如图2 1 1 ，两根导线平行于z 轴，其中c 甜为闭合路径，包围导线1 ，c l 连接导线 1 和2 ，它们都在x y 平面上。由麦克斯韦方程的积分形式( 2 3 ) 有 ，一一，一 de d = 一二l b 孬( 2 - 4 7 ) c j ，西 c p ”s 气a 斑= l 僦+ 、蚤丞( 2 - 4 8 ) c 口一s 其中的s ：指由c 科包围的同样位于平面之内的面，而i 指通过s z 并且其正方向符合右 手定则的电流。由于t e m t l 5 】模式下，e ：= 0 和h ：= 0 ，在每一点上都成立，因此在s ： 1 6 纳米级多耦合r l c 互连延时分析 上的每一点都有 b 西= o ；d 西= 0 那么( 2 - 4 7 ) ( 2 4 8 ) 可变形成为 ，忒雹d z - o 驴巫= i 僦 ( 2 _ 4 9 ) ( 2 5 0 ) ( 2 5 1 ) 上两式类似于恒定电场所满足的方程( 2 - 2 1 ) 和恒定磁场所满足的方程( 2 3 0 ) ，不 同的是积分路径要限定在x y 平面内。接下来，我们假设导体1 和2 为理想导体( p e c ) ， 而且上面流过的电流分别为i 和i ，假设它们之间填充的介质材料为均一、无损材 料。这样，我们可以在平面c 碍内定义导体1 与2 之间的电压为 y = 一雷万= e 雷万 ( 2 - 5 2 ) 这里的p l 和p 2 分别指在平面c 科内导体1 和2 上的点。上式经整理得 y = 2 ( e 出+ z , d r ) ( 2 - 5 3 ) i o v = ( 警出+ - 笔- d y ) ( 2 - 5 4 ) 另外，根据( 2 一1 ) 中第一式的时域形式和e 却容易得到 ( v 两，：一誓：一譬 ( 2 5 5 ) 墒y = 鲁= 一鲁 协5 6 ) 将( 2 5 5 ) ( 2 - 5 6 ) 代入到式( 2 - 5 4 ) 中有 警= 一昙f ( b 出一b ，d y ) ( 2 - 5 7 ) 上式右端的被积函数可以被改写成 b , a x - b a y - - # 屯讲 ( 2 5 8 ) 这里 盈：二墼：二丝塑兰 ( 2 - 5 9 ) 铲可丙扩。百一 眩。5 a i l 定义于路径c l 上，垂直于路径c l ，将( 2 - 5 8 ) 代入到( 2 - 5 7 ) 娑：一昙f 雪色刃 (260)i = 一一i 厅i iz - 昆西电 ” 上式右端的线积分为单位长度的流过两根导体之间的磁通，其方向满足右手定则。 由电感的定义式( 2 - 2 5 ) ，我们可以得到 竺：一三塑( 2 6 1 ) 这里m e 就是单位长度的电感。同理，f 1 1 ( 2 5 1 ) 式还可以推出类似的方程 第二章寄生参数提取及互连延时模型综述 1 7 丝：_ c 竺( 2 6 2 ) 瑟研 这里的c 就是单位长度的电容。式( 2 6 1 ) 和( 2 6 2 ) 是在假设导线为理想导体，介质为 无损均匀介质的情况下得到的。真实的互连线结构需要考虑非理想导体和介质损 耗，得到的方程就是上一节中的( 2 - 4 5 ) 式和( 2 - 4 4 ) 式 丝：名矿一c 竺( 2 - 4 5 ) 砚 0 t 竺：一心一一a ( 2 - 4 6 ) 一= 一 ，一j ，一 弛矾 其中的g 为单位长度的电导，而r 为单位长度的电阻。 至此，我们就完成了从描述场行为的麦克斯韦方程到描述电路元件行为的传 输线方程的推导，即在它们之间建立起了一种联系。 2 3 寄生参数提取 在2 2 节中，我们给出了常用的互连线建模方式，建模的目的是要使用电路模 型的形式来对互连线的电磁场行为进行模拟，而电路模型中的参数还需要通过参 数提取来获取。电路参数一般描述的是电压与电流之间的关系，所以如何获得电 压与电流之间的关系表达式成为参数提取的关键，本节将介绍相关的内容。 本节首先将简要回顾一些重要的互连线寄生参数提取方法，并对它们的优缺 点做一些论述。这些方法包括有限元方法( f e m ：f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ) 、矩量法 ( m o m ：m e t h o do f m o m e n t ) 和边界元方法( b e m - b o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ) ，以及 有限差分法( f d m ：f i n i t ed i f f e r e n c e m e t h o d ) 。 2 3 1 有限元方法 有限单元【1 8 】【1 9 】的思想c o u r a n t 于1 9 4 3 年提出，它是求解边值问题的一种数值 技术，它以变分原理和剖分插值为基础。在早期，应用瑞利一里兹方法的有限元 法以变分原理为基础，广泛用于拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场， 称之为里兹有限元法。此后证明，应用矩量法中的迦略金法或最小二乘法等同样 可得到有限元方程。因此，有限元法可用于任何微分方程描述的各类物理场。 有限元的总体思路可概述为：以变分原理为基础，把数学模型( 微分方程) 转化 为相应的变分问题，即泛函求极值的问题；然后利用对场域剖分，对微分方程的 解在每个剖分单元上分别进行插值近似，把微分方程离散成代数方程组，进行求 解得到原系统解的离散近似解。 其步骤总结如下： 1 给出数学模型( 微分方程) 相应的变分问题： 1 8 纳米级多耦合r l c 互连延时分析 2 应用有限单元剖分场域，选取相应的插值函数，对精确解在每个剖分单元 上的值进行插值近似； 3 变分问题( 即泛函的极值问题) 离散化成一个多元函数的极值( 已经不是泛函 的极值) 问题，根据函数极值原理导出一组代数方程组； 4 求解代数方程组。 早期的有限元方法，用剖分单元上的插值基函数来表示矢量电场或磁场，会遇 到几个严重的问题。首先，可能会有非物理的解出现，这通常是由于未强加散度 条件而引起的：其次，在材料界面和导体表面强加边界条件不方便；再次，存在 处理导体和介质边缘及角的困难性，这是由与这些结构相关的场的奇异性造成的。 幸运的是，一种崭新的方法已在8 0 年代末9 0 年代初出现，这就是所谓矢量有限元 方法，它将自由度赋予单元棱边而不是单元节点，因此又叫棱边元，近年来，已 开展了大量关于它的研究，得到一些成功的应用1 1 3 】。 有限元法的特点： 1 离散过程保持了明显的物理意义。这是因为变分原理描述了物理学中的最 小作用原理，如力学中的哈密顿原理、最小势能原理；静电学中的汤姆逊定理： 光学中的费尔马定理等。因此，基于问题固有的物理特性而进行离散化处理，可 以保证方法的正确性、数值解的存在和稳定性； 2 与其他差分法比较，有限元可以求解场域边界复杂的问题，对多媒质的场 域也可以求解； 3 困难在于：( 1 ) 需要找出微分方程对应的变分问题；( 2 ) 由于区域的剖分越来 越密使得最后得到的代数方程组的维数很大，难以快速求解。 有限元法【1 9 1 之所以有着非常强大的生命力和广阔的应用背景，主要在于 方法本身的优点： a ) 有限元法采用物理上离散与分片多项式插值，因此具有对材料、边界、激 励的广泛适应性； b ) 有限元法基于变分原理，将数理方程求解变成代数方程组的求解，因此非 常简易； c ) 有限元法采用矩阵形式和单元组装方法，各环节易于标准化，程序通用性 强，具有较高的计算精确度，便于编制程序和维护，适宜于制作商业软件； 国际学术界对有限元法的理论、计算技术以及各方面的应用做了大量的工作 2 0 1 2 1 1 1 2 2 1 2 3 2 4 1 1 2 5 1 ，许多问题具有现成的程序，可用的商业软件资源较多( 比如 a n s y s 、m a t h c a d 、f e m l a b 和m a t l a b 等都有相关软件工具包提供) 。 第二章寄生参数提取及互连延时模型综述 1 9 2 3 2 矩量法 矩量法1 1 9 1 是一种将连续方程离散化为代数方程组的方法，此法对于求解微分方 程和积分方程均适用。1 9 6 3 年，k k m e i 在其博士论文中首次采用了该方法。而 r f h a r r i n 垂o n 于1 9 6 8 年在其专著中，对此法在电磁场问题中的应用做了深入分 析。矩量法的算法思想是先将需要求解的微分方程或积分方程写成带有微分或积 分算符的算子方程，再将待求函数表示为某一组基函数的线性组合的形式，代入 算子方程，最后用一组选定的试验函数对所得的方程取矩量得到代数方程组或矩 阵方程。接下来就是求解矩阵方程的过程。矩量法在被h a r r i n g t o n 引入到电磁计算 领域后，近些年来又有大批学者将它应用到互连线的参数提取中来 【2 6 】【2 7 】【2 3 】【2 9 】【3 0 】【3 l 】【3 2 】【3 3 1 。 2 3 3 边