（应用数学专业论文）约束锥内部为空时向量均衡问题的最优性条件.pdf

川i i i ii ii ii i i ii ii ii ii i y 17 4 6 6 7 4 摘要 摘要 本文首先在约束锥拓扑内部为空时利用集合的拟内部的概念给出了带约束 的向量均衡问题的弱有效解的充分性和必要性条件。作为它的应用，还给出了 带约束的向量变分不等式、向量优化问题的弱有效解的最优性条件。然后，在 约束锥拓扑内部为空时给出了带约束的集值向量均衡问题的弱有效解，h e n i g 有效解和全局真有效解的充分性和必要性条件。作为它的应用，还给出了带约 束的向量变分不等式、向量优化问题的弱有效解，h e n i g 有效解和全局真有效 解的最优性条件。 关键词：向量均衡问题：集值向量均衡问题；最优性条件；弱有效解；h e n i g 有 效解；全局真有效解 a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，f i r s to fa l l ，w ep r e s e n tt h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o r w e a k l ye f f i c i e n ts o l u t i o nt o t h ev e c t o re q u i l i b r i u mp r o b l e m sw i t hc o n s t r a i n t sb y u s i n gt h en o t i o no fq u a s ii n t e r i o ro fac o n v e xs e tw h e nt h ec o n s t r a i n tc o n eh a sa n e m p t yi n t e r i o r a sa p p l i c a t i o n s ，w eg i v et h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o r w e a k l y e f f i c i e n ts o l u t i o nt ot h ev e c t o rv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s a n dv e c t o r o p t i m i z a t i o np r o b l e m sw i t h c o n s t r a i n t s t h e n ，w ep r e s e n tt h en e c e s s a r ya n d s u f f i c i e n tc o n d i t i o n s f o rw e a k l ye f f i c i e n ts o l u t i o n ，h e n i ge f f i c i e n ts o l u t i o na n d g l o b a l l yp r o p e r l ye f f i c i e n ts o l u t i o nt o t h es e t - v a l u e dv e c t o re q u i l i b r i u mp r o b l e m s 、析t l lc o n s t r a i n t sw h e nt h ec o n s t r a i n tc o n eh a sa ne m p t yi n t e r i o r a sa p p l i c a t i o n s ，w e g i v et h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n s f o rw e a k l ye f f i c i e n ts o l u t i o n ，h e n i g e f f i c i e n ts o l u t i o na n dg l o b a l l yp r o p e r l ye f f i c i e n ts o l u t i o nt ot h es e t - v a l u e dv e c t o r v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e s a n dv e c t o r o p t i m i z a t i o np r o b l e m s w i t hc o n s t r a i n t s ， r e s p e c t i v e l y k e yw o r d s ：v e c t o re q u i l i b r i u mp r o b l e m s ；s e t - v a l u e dv e c t o re q u i l i b r i u mp r o b l e m s ； o p t i m a l i t yc o n d i t i o n ；w e a k l y e f f i c i e n ts o l u t i o n ；h e n i ge f f i c i e n t s o l u t i o n ；g l o b a l l yp r o p e r l ye f f i c i e n ts o l u t i o n 1 1 目录 目录 摘要：i a b s t r a c t i i 第1 章引言1 第2 章预备知识4 第3 章约束锥内部为空时向量均衡问题的最优性条件7 3 1 预备知识7 3 2 最优性条件8 3 3 应用1 5 第4 章约束锥内部为空时集值向量均衡问题的最优性条件1 7 4 1 预备知识1 7 4 2 最优性条件1 9 4 3 应用3 4 致 射一3 9 参考文献4 0 攻读硕士学位期间的研究成果4 4 i i l 第1 章引言 第1 章引言 向量均衡问题的理论是当今非线性分析的重要组成部分。向量变分不等 式，向量优化，向量n a s h 平衡以及向量补问题均为向量均衡问题的特例。 1 9 8 0 年，意大利著名学者g i a n n e s i 1 为给出多目标规划弱有效解的最优性 条件，在r ”空间中引进了向量变分不等式的概念。1 9 8 7 年，我国著名学者陈光 亚 2 】在无限维空间中将向量变分不等式的概念用于向量优化的研究。陈光亚与 杨晓琪 3 】在1 9 9 0 年提出了无穷维空间中的向量互补问题及向量变分不等式模 型。1 9 9 2 年，陈光亚【4 】又提出了带变动控制结构的向量变分不等式模型。1 9 9 3 年，杨晓琪【5 】研究了向量变分不等式的对偶问题。这些开创性的研究在国际上 引起了广泛的响应。1 9 9 4 年，德国著名学者b l u m 与o e t t l i 6 在有广泛影响的 论文“f r o mo p t i m i z a t i o na n dv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e st oe q u i l i b r i u mp r o b l e m s 中 引入了数值函数的均衡问题的模型，并指出了数学规划问题，不动点问题，博 弈问题，变分不等式问题，互补问题，鞍点问题均是均衡问题的特例。1 9 9 6 ， 1 9 9 7 年s c h a i b l e 等【7 】以及o e r l e 等【8 】在向量变分不等式与数值函数的均衡问题 的概念基础上提出了更一般的向量均衡问题的概念。自此向量变分不等式，向 量均衡问题成了非线性分析与运筹学领域中的一个热点问题。人们对不同的模 型，在不同的条件下主要研究了向量变分不等式，向量均衡问题解的存在性( 见 【1 - 2 7 ) 。 随着对向量变分不等式，向量均衡问题的深入研究，一些深层次的问题渐 渐被人们关注。其中之一是研究向量变分不等式与向量均衡问题解的最优性条 件。它的重要性在于可把具约束的向量变分不等式，具约束的向量均衡问题转 化成一个无约束的向量变分不等式、无约束的向量均衡问题，或者转化成一个 无约束的数值优化问题。其重要性还在于向量变分不等式，向量均衡问题的最 优性条件不仅为向量变分不等式，向量均衡问题的算法提供理论依据，并且它 还与向量变分不等式，向量均衡问题的其他理论，如稳定性理论，灵敏性理论， 对偶理论有着密切的关系。 第1 章引言 在向量优化的最优性条件的研究方面，已有不少工作见 2 8 3 4 】。而研究向 量变分不等式与向量均衡问题解的最优性条件的论文并不多。 g i a n n e s s i 等 3 5 在足”空间中把具约束的向量变分不等式问题转化成无约束 的向量变分不等式问题，并给出了有效解与弱有效解的充分性条件。m o r g a n 与 r o m a n i e l l o 3 6 禾f j 用次微分的概念，在h i l b e r t 空间中对向量广义拟变分不等式 问题的弱有效解给出了k u h n t u c k e r 条件。杨晓琪与郑喜9 0 1 3 7 在赋范线性空间 中利用凸分析与非光滑分析做工具，给出了向量变分不等式问题的占近似解的 充分性条件与必要性条件。龚循华 3 8 】在局部凸空间中给出了具约束的锥凸向 量均衡问题解的最优性条件。仇秋生【3 9 】给出了非锥凸向量均衡问题弱有效解 的最优性条件。 g o n g 3 8 所给出的向量均衡问题的最优性条件，要求约束锥的拓扑内部 不为空集。这个条件较为严格。例如，常用的赋范线性空间，p 与 l p ( q ) ( 1 _ _ 0 ，d j d ) 。 4 第2 章预备知识 分别记d 的闭包与d 的内部为c l ( d ) i n t da 设么cx o ，f ：a xa 专2 ”。v x a ，令 f ( x ，彳) = 惺w 4 f ( x ，j ，) 。 凸锥c 的一个非空凸子集b 称为是c 的基，若 c = c o n e ( s ) n _ 0c l ( s ) 。 易知，c 4 a 当且仅当c 有基。设b 是c 的基。令 c ( b ) = y e c 4 ：存在f o ，使得y ( 6 ) f ，v 6 b 。 由凸集分离定理，我们可以知道c a a 。显然，c ( b ) cc 4 。设b 是c 的 基，则。叠c l ( b ) 。由凸集分离定理，存在y ， o ) ，使得 ，= i i l f 杪( 6 ) ：b e b ) y ( o ) = o 。 令 = y l ，：y 。( y ) i ，2 。 则是y 中的开凸平衡零元邻域。 下面介绍拟内部和支撑点的概念。 l i m b e r 和g o o d r i c h 【4 0 定义了凸子集d 的拟内部为： g f ( d ) = z d ：e l c o n e ( d - z ) = z 。 若d 是，p 或口( q ) ( 1 o ，g ( y ) 一t ( v 一“) k ，则甜萑u 。 则 ( c ) 存在y + c o ，z 一k 。，使得z ( g ( ) ) = o ，且 y ( f ( x o ，r 。) ) + z ( g ( - 吒) ) = = m ，i n 。 y ( r ( x o ，y ) ) + z ( g ( y ) ) ) 。 反之，若存在x o a 使得( c ) 成立，则( a ) ，( b ) 成立。 证明：先证明当( a ) 与( b ) 成立时，必有( c ) 成立。 设，z 和开凸平衡零元邻域ucz 如( b ) 中所给，定义y xz 中的两个子 集如下： 五= ( y ，z ) y z ：存在y ，使得j ，一f ( x o ，y ) c ，g ( y ) 一z k ， 岛= - t c ，t ( v - u ) ) y z ：t o ，l , l u ，c i n t c 。 我们可以知道，巨和最是非空凸集，且易是开集。此外，还有置n 岛= a 。 假若不然，则存在( y ，z ) 互，( m ，t ( v - u ) ) e 最，使得 ( y ，z ) = ( 一纪，t ( v - u ) ) ， 其中t 0 ，u u ，c i n t c 。 于是， y = 一t c ，z = t ( v - u ) 。 由( y ，z ) 巨，存在y k ，使得 啦一f ( x o ，y ) c ，g ( y 7 ) 一，( v 一“) k ， 从而， f ( ，y ) - i n t c ，g ( y ) 一t ( v 一“) k ，t o 。 9 第3 章约束锥内部为空时向量均衡问题的最优性条件 由条件( b ) ，知“仨u ，这与“u 矛盾。因此，巨n 岛= o 。据凸集分离定理， 存在( o ，o ) ( y ，z ) r z ，t 吏j ! 导v ( y ，z ) 巨，v ( 一t c ，t ( v - u ) ) 最，有 令f 一0 ，得 y ( 啦) + z 。( ，( v 一“) ) y ( 少) + z ( z ) 。 o y ( j ，) + z ( z ) ，v ( y ，z ) 巨。 则y c 。假若不然，则存在o c c ，使得 从而， y ( c ) o 。由( 3 1 ) ，有 于是， o y ( y + 纪) + z ( z ) ， y ( c ) 令，专佃，得厂( c ) 0 ，矛盾。 - y ( y ) 一z ( z ) 我们还有y + 0 。假若y = 0 ，由( 3 1 ) ，有 ， o z ( z ) ，v ( y ，z ) 巨。 ( 3 1 ) ( 3 2 ) 由条件所设，存在i k ，使得g ( i ) q i ( k ) 。1 主t 3 4 ，g f ( k ) = ( k ) ，则 g ( i ) k ，有 于是， g ( i ) 一( g ( i ) 一z ) = z k ，v z k 。 第3 章竺壅堡塑塑塑至堕塑量望堑塑望箜垦垡堡垒堡 一一 ( f ( x o ，i ) ，g ( 可) 一z ) 巨， 由( 3 2 ) ，有 z ( g ( i ) 一z ) o ，v z k 。 于是， 一z ( g ( i ) ) 一z ( z ) ， v 2 k 。 再由g ( i ) n ( k ) ，知z 。= o 。 从而( y ，z + ) = ( o ，o ) ，这与( y ，z ) ( o ，o ) 矛盾。 因此，y t 。 o ) 。 v ( y ，z ) 巨，存在y k ，使得y f ( ，y ) c ，g ( y ) 一z k 。 由g ( y 7 ) 一( z 一七) = g ( y ) 一z + 七k + kc k ，知( y ，z 一后) 巨，v k k 。 由( 3 1 ) ，有 0 o ，有舭k 。再由上式，则有 z ( 砒) y ( y ) + z ( z ) 。 于是， z 悱掣。 由a 的任意性，令兄一佃，得 z ( 七) o ， 于是， z ( 七) o ，v 七k 。 ( 3 3 ) 第3 章约束锥内部为空时向量均衡问题的最优性条件 这表明z 一k 。 由向量x o a 是( v e p c ) 的弱有效解，有g ( x o ) ek 。易知v y k ，有 k 妇，一掣卜再帅，有 。y + ( f ( ，y ，) ) + z ( g ( y 7 ) ) 一三二_ 苎堕， 取j ，= 而，注意到f ( x o ，x o ) = 0 ，我们有 z ( g ( ) ) o 。 另一方面，由z 。一k + ，g ( x o ) k ，知z ( g ( 而) ) o ， 于是， ，( g ( x o ) ) - - o 。 ( 3 4 ) 再注意到对任意的y x o ，有( f ( x o ，y ) ，g ( y ) ) 互，由( 3 1 ) ，得 o y ( f ( x o ，y ) ) + z ( g ( 少) ) ，v y e x o 。 因此，我们证得，存在y c o ) ，z 一k ，使得z ( g ( ) ) = o ，且 y ( f ( x o ，而) ) + z ( g ( 而) ) = 池y e x o y 。( f ( x o ，y ) ) + z 。( g ( y ) ) ) 。 下面证明若存ex o a 使得( c ) 成立，则有( a ) ，( b ) 成立。 设存在彳，y ec o ，以及z 一f ，使得z ( e ( x o ) ) - - o ，且 ( f ( x o ，c j ) ) + z ( g ( ，咕) ) = ：m ，i n 。 y ( f ( x o ，j ，) ) + z ( g ( y ) ) ) 。 ( 3 5 ) 我们断言： f ( x o ，么) r 、( 一i n t c ) = 。 假若不然，则砂f ( x o ，a ) r , ( - i n t c ) ，有y f ( x o ，a ) 且y 一i n t c 。 1 2 一笙! 主丝壅筻塑塑塑至堕塑重望堑塑望箜墨垡丝垒堡 一 - _ _ _ - _ _ - _ - _ _ 一 于是，砂7 a ，使得j ，= ，( ，y ) 。贝t jf ( x o ，y ) 一i n t c ，又由y c + o ) ， 有y 。( f ( x o ，y ) ) 0 。由y 彳，知g ( y ) k ，再由z 一k + ，有z + ( g ( y ) ) o 。 从而， y ( f ( x o ，y 7 ) ) + z ( g ( j ，7 ) ) o = y + ( f ( x o ，) ) + z ( g ( ) ) ， 这与( 3 5 ) 矛盾。因此，：c o a 是( v e p c ) 的弱有效解。即( a ) 成立。 在条件( c ) 中，若z = 0 ，有 o = y ( f ( x o ，x o ) ) - y ( f ( x o ，y ) ) ，v y x o 。 由y 。c o ) ，知不存在y k ，使得f ( 而，y ) - i n t c 。此时条件( b ) 自然成 立。 在条件( c ) 中，若z 0 ，则j ，z ，使得 z 。( ，) o 。 ( 3 6 ) 令 u = “z ：z + v ) - - z + ( “) 0 ，g ( y ) 一，( 1 ，一“) k ，由z 一k + ，有 z 。( g ( y ) 一，( v 一甜) ) = z ( g ( y ) ) 一r ( z ( v - - z * ( 甜) ) o ， 于是， z ( g ( y ) ) r ( z ( v ) 一z ( “) ) 。 假若“u ，则有 z v ) - z ( “) o ， 于是， 第3 章约束锥内部为空时向量均衡问题的最优性条件 z 。( g ( y ) ) o ，g ( y ) - t ( v - u ) ek ，则必有 材萑u 。否则，甜u ，就有g ( j ，) k ，从而少a ，而f ( x o ，y ) - i n t c ，这 与( v e p c ) 的弱有效解矛盾。因此，定理3 2 1 中的条件( a ) 与( b ) 成立，可 知定理3 2 1 中的( c ) 成立。 充分性。从定理3 2 1 的证明可知而a ；是( v e p c ) 的弱有效解。 1 4 第3 章约束锥内部为空时向量均衡问题的最优性条件 注2 1 比较本文的定理3 2 1 与 3 8 l e e 的定理3 1 ，我们削弱了i n t k a 的 条件而得到了相同的结论。 3 3 应用 在本节中，我们利用第二节的结果给出了向量变分不等式与向量优化问 题的弱有效解的最优性条件。 定理3 3 1 ；& i n t c a ，g ：x o 哼z 是k 一凹映射，存在i x o ，使得 g ( i ) q i ( k ) ，且丁：彳专l ( x ，y ) 为映射。若下面两个条件满足： ( a ) 向量x o a 是( v v i c ) 的弱有效解； ( b ) 存在v z 及开凸平衡零元邻域ucz ，对任意的y k ，若 ( r x o ，y x o ) - i n t c ，且对某个， 0 ，g ( y ) - t ( v - u ) ek ，则叠u 。 则 ( c ) 存在，e c o ) ，z 一k ，使得z ( g ( ) ) = o ，且 y ( ( 砜，j c 0 一) ) + z ( g ( 而) ) = m y 。 ! n 。、y ( ( r x o ，y 一而) ) + z ( g ( y ) ) 。 反之，若存在：c o a 使得( c ) 成立，则( a ) ，( b ) 成立。 证明：设f ( x ，y ) = ( a ，y - x ) ，毛y a 。易知协x o ，f ( x ，x ) = o ，且 f ( x ，y ) 关于y 是c 一凸的。由所设可知定理3 2 1 的条件满足。再由定义3 1 2 可知结论成立。 定理3 3 2 设i n t c a ，g ：五_ z 是k 一凹映射，存在孑x o ，使得 g ( i ) q i ( k ) ，r f ：a 寸j ，是c 一凸映射。若下面两个条件满足： ( a ) 向量而a 是( v o p c ) 的弱有效解；。 第3 章约束锥内部为空时向量均衡问题的最优性条件 ( b ) 存在，z 及开凸平衡零元邻域u ，对任意的y x o ，若 s ( y ) - s ( x o ) - i n t c ，且对某个f 0 ，g ( y ) - t ( v 一“) k ，贝, t j u 仨u 。 则 ( c ) 存在厂c o ，z 一k + ，使得z ( g ( ) ) = o ，且 y ( 厂( ) ) “( g ( ) ) = 卿叭厂( 少) ) “( g ( y ) ) ) 。 反之，若存在：c o a 使得( c ) 成立，则( a ) ，( b ) 成立。 证明：设f ( x ，y ) = f ( y ) - f ( x ) ，：r ，y a 。易知坛x o ，f ( x ，x ) = o ， 且由是c 一凸映射，可知f ( x ，y ) 关于y 是c 一凸的。由所设可知定理3 2 1 的条件满足。再由定义3 1 3 可知结论成立。 注3 3 1 在定理3 3 2 中，我们把较弱的条件：存在孑x o ，使得 g ( i ) q i ( k ) ，取代了较强的s l a t e r 条件：存在i x o ，使得g ( i ) i n t k ， 且( a ) 与( b ) 不仅作为得至u ( c ) 0 0 充分性条件，也是必要性条件。 1 6 第4 章约束锥内部为空时集值向量均衡问题的最优性条件 第4 章约束锥内部为空时集值向量均衡问题的最优性条件 4 1 预备知识 本章在不加说明时，设x 是实h a u s d o r f f 拓扑线性空间，】，与z 是实局部 凸h a u s d o r f r 拓扑线性空间。设是x 的非空凸子集，f ：) c o x o 斗2 r ，g ： k 2 z 都是集值映射。k v x ，y x o ，f ( x ，少) o ，g ( y ) 囝。设c 是y 中的 闭凸点锥，k 是z 中的闭凸点锥。定义约束集 a - - x x o ：g ( x ) n k a 。 考虑带约束的集值向量均衡问题( s v e p c ) ：找i a ，使得 f ( i ，少) n ( 一p o ) ) = 囝，渺a ， 效解， 若存 h e n i g 第4 章约束锥内部为空时集值向量均衡问题的最优性条件 易知，向量x a 是集值向量均衡问题的h e n i g 有效解当且仅当 f ( x ，a ) n ( - i n t c v ( b ) ) = o 。 设( x ，y ) 为从x 到j ，的连续线性算子全体组成的空间。v h t ( x ，y ) ， 记( 办，x ) 为h 作用到x 上的值。 带约束的向量变分不等式( v v i c ) 是向量均衡问题( v e p c ) 的一种特 殊情形。 定义4 1 4 设丁是从彳到l ( x ，y ) 的集值映射，设 f ( x ，y ) = ( 戤，y - x ) ，x ，y a 。 如果i e 彳是向量均衡问题的弱有效解( h e n i g 有效解，全局真有效解) ， 则x a 称为是向量变分不等式的弱有效解( h e n i g 有效解，全局真有效解) 。 带约束的向量优化问题( v o p c ) 是向量均衡问题( v e p c ) 的另一种特 殊情形。 定义4 1 5 设缈是从彳到j ，的映射，设 f ( x ，y ) = 缈( y ) 一伊( x ) ，x ，y a 。 如果x a 是向量均衡问题的弱有效解( h e n i g 有效解，全局真有效解) ， 则x a 称为是向量优化问题的弱有效解( h e n i g 有效解，全局真有效解) 。 引理4 1 1 1 3 4 1 设点凸锥c 有基b ，则 ( i ) 对l ，中的任意开凸平衡零元邻域uc ，有 ( g ( b ) ) o ) c c ( b ) 。 ( i i ) 对任意的厂c ( b ) ，存在y 中的开凸平衡零元邻域uc ，使得 厂( o ( b ) ) o 。 ( i i i ) 若闭凸锥c 有有界闭基b ，贝, t i n t c = c a ( b ) ，其中i n t c 表示c 关 1 8 第4 章约束锥内部为空时集值向量均衡问题的最优性条件 于( ，】，) 的拓扑内部。 4 2 最优性条件 本节我们给出带约束的集值向量均衡问题的弱有效解，h e n i g 有效解与全 局有效解的最优性条件。我们不需要目标空问的序锥的拓扑内部与约束锥拓 扑内部均为非空的条件，此外，我们还将看到，这些条件【3 8 i 既是充分的又是 必要的。 + 集值映射f ：k x o 专2 r 称为关于第二个变量是c 一凸的，若对任意 固定的x ：c o ，弘，y 2 x o ，v t 【o ，l 】，有 t f ( x ，y , ) + o - o f ( x ，y e ) c zf ( x ，t y i + ( 1 一f ) 儿) + c 。 集值映射g ：c o 一2 z 称为是k 一凹的，若v y ；，y 2 x o ，v t “0 ，1 】，有 t g ( y 。) + ( 1 一，) g ( 儿) cg ( 劬+ ( 1 - t ) y z ) - k 。 在本章的以下部分，记厂( f ( 粕，y ) ) o 表示( w ) o ，v w e f ( x o ，y ) 。 定理4 2 1 设m c a ，r v xez o ，f ( x ，x ) = ( 0 ，且f ( x ，y ) - 关t y 是c 一 凸的，g 在x o _ j 2 是k 一凹的，且存在i x o ，使得g ( i ) n g f ( k ) g 。若下 面两个条件满足： ( a ) 向i _ x o 彳是( s v e p c ) 的弱有效解； ( b ) 存在，z 及开凸平衡零元邻域ucz ，对任意的y x o ，若 w - i n t c ，_ 且z - t ( v - u ) k ，其中m ，f ( x o ，y ) ，z e o ( y ) ，且f 0 ，则甜萑u 。 则 ( c ) 存在厂c o ，g 一k ，z o g ( ) n k ，使得g ( ) = o ，且 1 9 第4 章约束锥内部为空时集值向量均衡问题的最优性条件 ( f ( ，y ) ) + g ( g ( y ) ) 厂( f ( 而，) ) + g ( z o ) ，v y x o 。 反之，若存在x o a 使得( c ) 成立，则( a ) ，( b ) 成立。 证明：先证明若( a ) 与( b ) 成立，则( c ) 成立。 设1 ，z 和开凸平衡零元邻域ucz 如( b ) 中所给，定义y xz 中的两个子集 如下 巨= ( y ，z ) 】厂z ：3y k ，使得j ，一c ，7 一z k 其中w 7 f ( x o ，y ) ，z g ( ) ) ， 易= - t c ，( ，一“) ) ，z ：t o ，甜u ，c i n t c 。 由f ( x ，y ) 关于y 的c 一凸性及g 的k 一凹性，可知巨，易是非空凸集，且巨 是开的。此外，还有巨n 易= o 。假若不然，则存在 ( y ，z ) 巨，( 嘞，t ( v - u ) ) e 2 ，使得 ( y ，z ) = ( 一纪，t ( v - u ) ) ， 其中r 0 ，u u ，c i n t c 。 有 y = - t c ，z = t ( v - u ) 。 由( j ，z ) 置，存在y k ，使得 - - t c - - w c ，7 一，( ，一甜) k ， 其中w ef ( x o ，y ) ，g ( y ) 。 有 w 一i l l t c ，z - t ( v - u ) k ，t o 。 由条件( b ) ，知u 萑u ，这与u u 矛盾。因此，置n 最= o 。 据凸集分离定理，存在( o ，o ) ( 厂，g ) r xz ，使得v ( y ，z ) 岛， 第4 章约束锥内部为空时集值向量均衡问题的最优性条件 v ( - - t o ，f ( v 一“) ) 岛，有 令t 专0 ，得 特别地，有 ( 一纪) + g ( r ( 1 ，一“) ) o 。由( 4 1 ) ，有 于是， o 0 ，有2 k k 。再由( 4 3 ) ，则有 于是， g ( x k ) 厂( y ) + g ( z ) ， o k k ，v 3 , o 。 g ( 七) 型掣，v k e k , v 2 0 由五的任意性，令兄一4 - o o ，得 g ( k ) 0 ，v k k 。， ( 4 3 ) ( 4 4 ) 这表明g 一k 。由向量而a 是( s v e p c ) 的弱有效解，由a 的定义知存在 气g ( ) nk ，对而，由0 e f ( 而，而) ，气g ( ) ，有( 。，z 0 一詈) 互。 再由( 4 1 ) ，有 有 。g ( ) 一丁g ( z o ) ， 笙! 童丝塞堡塑塑塑窒壁垒篁塑量望箜塑墨塑星垡堡垒堡 一 i - _ _ _ - _ - _ _ i - _ _ _ - - _ _ - - _ _ _ - - _ _ _ _ - _ - _ _ _ _ _ - - - - _ - i _ _ _ 一 g ( z o ) 0 。 另一方面，由g 一k ，z o k ，知g ( z o ) 0 ， 于是， g ( z o ) = o 。 ( 4 5 ) 因此，我们证得，存在厂c o ，g 一k ， f 吏得g ( z o ) = o ，且 厂( f ( 粕，y ) ) + g ( g ( j ，) ) ( f ( 而，而) ) + g ( z o ) ，v y x o 。 下面证明若存在而a 使得( c ) 成立，则( a ) ，( b r i g o ：。 设存在而a ，厂c o ) ，ge - k ，使得g ( 知) = o ，且 厂( f ( 而，y ) ) + g ( g ( y ) ) ( f ( 而，而) ) + g ( ) ，r y ex o 。 我们断言： r ( x o ，y ) c 、( - i n t c ) = ，砂a 。 ( 4 6 ) 。 假若不然，则万a ，使得 f ( ，y ) n ( - i n t c ) ：a 。 则存在诼f ( 而，y ) r 、( - i n t c ) ，即有访f ( x o ，歹) ，且诼一i n t c 。由 f e c o ，有( 谚) 0 ，材u ，c i n t c v ( b ) 。 由f ( x ，y ) 关于y 的c 一凸性及g 的k 一凹性，可知互，巨是非空凸集，且岛 是开的。此外，还有巨n 历= 彩。假若不然，则存在 ( y ，z ) e 巨，- t c ，f ( v ”) ) 岛，使得 2 s w