（市政工程专业论文）絮凝体分形仿真模拟.pdf

西安建筑科技大学硕士论文 絮凝体分形仿真模拟 专业：市政工程 硕士生：郭坤 指导教师：王晓昌教授 摘要 在水处理絮凝过程中，水中细小粒子相互碰撞、凝聚、破碎以及再凝聚过程 是一个随机的过程，形成的絮凝体具有分形构造特征。研究絮凝体的成长过程以 及内部构造，对提高水处理固液分离效果具有重要意义。论文采用m a t l a b 工具， 运用有限扩散凝聚( d l a ) 模型、有限扩散集团凝聚( d l c a ) 模型以及有限扩散 凝聚有限扩散集团凝聚( d l a d l c a ) 两阶段模型对水中粒子的凝聚过程进行了 仿真模拟，仿真模拟结果对研究絮体构造有一定的理论和实际意义。 研究表明d l a 模拟絮凝体分形维数在二维空间中随其尺寸的增加有减小的趋 势，其密度随尺寸的增加而呈幂指数减小规律，孔隙率则是呈幂指数增大规律； 在三维空间中所得到的模拟絮凝体的分形维数、密度均随其尺寸增大而增大，孔 隙率则是随尺寸增大而减小；二维模拟絮凝体和三维模拟絮凝体在结构上的这种 差异在于三维的空间屏蔽效应远低于二维空间的屏蔽效应，粒子在三维空间上的 自由度很大。以d l c a 模型所得到的模拟絮凝体结构较为松散，且具有较强的随 机性，其分形维数约为1 8 0 。d l a d l c a 两阶段模型所得到的模拟絮凝体与两个 成长阶段的l e , r 有关。 采用密度函数法、回转半径法、图像分析法分析比较了二维d l a 仿真模拟絮 凝体二维分形维数，得到的分形维数均随模拟絮凝体的尺寸增加而减小。三种计 算方法的结果显示，密度函数法和回转半径法所得到的分形维数基本相当，但图 像分析法所得到的分形维数较小。 运用图像解析法建立了实际图像的投影二维分形维数和实际三维分形维数之 间的关系，结果显示d l a 模拟絮凝体的投影二维分形维数和实际三维分形维数几 乎没有什么显著的线性关系；但对于d l c a 和d l a d l c a 模拟絮凝体的投影二维 分形维数和实际三维分形维数之间存在良好的线性关系。该关系的建立对于实际 絮凝体的三维分形维数分析具有重要意义。 关键词：絮凝体、仿真模拟、分形、有限扩散凝聚、有限扩散集团凝聚 西安建筑科技大学硕士论文 a s t u d y o nt h es i m u l a t i o no ff r a c t a lf l o cs t r u c t u r e s p e c i a l i t y ：m u n i c i p a le n g i n e e r i n g p o s t g r a d u a t e ： g u nk u n i n s t r u c t o r ：p r o f w a n gx i a o c h a n g i nt h ef l o c c u l a t i o np r o c e s so fw a t e rt r e a t m e n t ，t h em u t u a lp a r t i c l e sc o l l i s i o n ， c o a g u l a t i o n ，t h eb r e a k i n gu p ，a n dr e c o a g u l a t i o ni s ar a n d o mp r o c e s s ，a n dt h e o u t c o m i n gf l o c u l u sh a saf r a c t a ls t r u c t u r ec h a r a c t e r i s t i c t h es t u d yo nt h ef l o eg r o w i n g p r o c e s sa n di t si n n e rs t r u c t u r ei so fi m p o r t a n c et oe n h a n c et h es o l i d l i q u i ds e p a r a t i o n e f f i c i e n c y t h ep a p e ra d o p t e dt h em e t l a bt o o l ，w i t ht h eh e l po fd l am o d e l ，d l c a m o d e la n dd l a d l c at w os t a g e sm o d e l ，t h ec o a g u l a t i n gp r o c e s si ss t u d i e dt h r o u g h c o m p u t e r s i m u l a t i o n t h es i m u l a t i o nr e s u l t sh a v eac e r t a i n s i g n i f i c a n c e b o t h t h e o r e t i c a l l ya n dp r a c t i c a l l yt os t u d yt h ef l o cs t r u c t u r e t h es t u d ys h o w s ：t h ef r a c t a ld i m e n s i o no ft h ef l o ci nt h e2 - d i m e n s i o n a ls p a c e d e c r e a s e sa st h ef l o cs i z ea u g m e n t e d ；a tt h es a l n et i m e ，t h ef l o cd e n s f f yr e d u c e sw i t ha p o w e re x p o n e n tr e g u l a r i t y ；a n dt h ev o i dr a t i oi n c r e a s e sw i t hae x p o n e n tr e g u l a r i t y i n t h e3 - d i m e n s i o n a ls p a c e ，t h ef r a c t a ld i m e n s i o no ft h er e s u l tf l o ci n c r e a s e sa si t ss i z e a u g m e n t e d ，w i t hd e n s i t yi n c r e a s e sa n dv o i dr a t i or e d u c e s t h es t r u c t u r a ld i f f e r e n c eo f 2 - d i m e n s i o n a ls i m u l a t e df l o ca n d3 - d i m e n s i o n a lo n ei sm a i n l ya t t r i b u t e dt ot h a tt h e s h i e l d i n ge f f e c ti n3 - d i m e n s i o n a ls p a c ei sl o w e rt h a nt h a ti n2 - d i m e n s i o n a ls p a c e ，a n d p a r t i c l e si n3 - d i m e n s i o n a ls p a c eh a v ear e l a t i v e l yd e g r e eo f 丹e e d o m n er e s u l t i n gf l o c b a s e do nt h ed l c am o d e lh a sam o r es l a c ks t r u c t u r e ，a n dh i g h e rd e g r e er a n d o m n e s s ， w i t haf r a c t a ld i m e n s i o n1 8 0o rs o t h ed l a d l c at w os t a g e sm o d e lr e s u l t sa r e r e l a t e dt ot h ep r o p o r t i o nw i t hr e s p e c tt ot h et w og r o w i n gs t a g e s w i t ht h eh e l po fd e n s i t yf u n c t i o nm e t h o d ，r a d i u so fg y r a t i o nm e t h o da n di m a g e a n a l y z i n gm e t h o d 。t h ef m c t a ld i m e n s i o n s & t h e2 - d i m e n s i o n a ld l a s i m u l a t e df l o cw e r e c o m p a r e da n da l lt h ef r a c t a ld i m e n s i o nr e d u c ea st h es i z e sa u g m e n t e d t h ef i r s tt w o m e t h o d sg o ts i m i l a rf r a c t a ld i m e n s i o n s ，w h i l et h et h i r dm e t h o dg o tar e l a t i v e l ys m a l l e r f r a c t a ld i m e n s i o n t 1 西安建筑科技大学硕士论文 u s i n gi m a g er e s o l u t i o nm e t h o da n a l y z ei m a g ep r o j e c t i o nf r a c t a ld i m e n s i o n ， c o m p a r e dt ot h e3 - d i m e n s i o n a l t h er e s u l ts h o w st h a td l am o d e lh a v en oo b v i o u s l i n e a rr e l a t i o n s h i p ；a st od l c aa n dd l a d l c am o d e l s ，w e l ll i n e a rr e l a t i o n s h i pi s f o u n d ，w h i c hi so fi m p o r t a n c ei nt h es t u d yo ft h e3 - d i m e n s i o n a lf f a c t a ld i m e n s i o no f r e a lf l o c s k e yw o r d s ：f l o c ，s i m u l a t i o n ，f r a c t a l ，d l a ，d l c a 声明 v9 7 0 6 2 本人郑重声明我所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人己经发表或撰写过的研究成果，也不包含本人或其他 人在其它单位已申请学位或为其它用途使用过的成果。与我一同工作的同 志对本研究所做的所有贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了致谢。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 论文作者签名：秆叶日期：唧钿一彤 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安建筑科技大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布 论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或者其它复制手段保存论文。 ( 保密的论文在论文解密后应遵守此规定) 糙各邴叶翎签渤魄彬彬 注：请将此页附在论文首页。 西安建筑科技大学硕士论文 1 1 问题提出 1 绪论 固液分离是水处理的基本环节之一，影响其分离效果的主要因素是颗粒物及 其聚集体的形态。在水处理中，为了去除水中的悬浮颗粒物，通常在水中投加混 凝剂，在沉淀池或澄清池中加以分离。絮体的沉降速率与絮体密实度、形态有很 大关系。如果絮体较为密实、形态结构紧凑，则易于沉降。为了提高絮体的沉降 效率，人们通常采用斜板或斜管沉淀池来尽量缩短沉降时间，而形成的絮体形态 松散、密度小是造成沉降时间长的根本原因。要形成密实、稳固的絮体，有效提 高沉淀效果。必须对絮体的形态结构进行深入研究。 迄今为止关于颗粒物及其聚集体形态的研究则主要是通过实验方法确定，而 且其分析方法粗糙，精度有限，即使采用图像法作为研究手段，也仅仅得到的是 平面投影图像，很难做到三维观测的结果。在最初人们研究絮体形态学时，类比 的是二维d l a 或d l c a 模型模拟图像与所拍摄的絮体平面图形，认为两者从模 型的机制到所形成的图像相像。并且由于实际絮体的一些参数比如分形维数难以 测量，一些学者曾提出了由所拍摄照片二维图像的分形维数来推算出絮体的三维 分形维数，与计算机模拟得到的结果进行对比，其可行性及准确性是未知的。那 么絮体的三维分形维数与二维投影图像的分形维数有无关系还是有什么关系? 要 解决这些问题，势必要通过计算机模拟絮体的成长，并对二维或三维絮体图像进 行分析计算。 为了提高絮体的固液分离效果，提高絮体密度，改善絮体结构，有必要在以 往实验的基础上对絮体进行仿真模拟，探索絮体内部构造特征及其改善途径。通 过模拟，可以详细记录絮体成长过程中的各项参数的变化；可以通过旋转缩放详 细观察所得到的最终絮体的结构；计算絮体的分形维数、孔隙率、密度与粒子数 ( 絮体回转半径) 的关系。 在以往的研究中，本课题得到国家自然科学基金项目( 编号5 0 2 7 8 0 7 6 ) 的资 助，对絮凝体的形成过程，特别是水中溶解性有机物絮凝体的形成方面得到了一 些理论成果，提出了絮体d l a - - d l c a 的生成机理，但对其仿真模拟尚缺乏系统 性研究。 1 2 研究目的 尽管絮体是水处理中常见的一种生成物，但人们对其结构却无法真正观察和 西安建筑科技大学硕士论文 测量。以前为了探寻絮凝体的构造，人们通过推想或理论推导来研究絮凝体。在 分形引入水处理领域后，使人们有了分形这个工具来分析絮体；在随机分形生长 模型提出后，计算机的飞速发展，使通过计算机仿真模拟絮体成为可能。絮体的 仿真模拟是针对絮体分形构造模型模拟开展的基础性研究课题。其目的是通过不 同的絮体生成模型进行计算机仿真模拟，确定各种模型的模拟所得到絮体的特征。 对二维及三维d l a 模型进行了大量模拟实验研究，得出d l a 模型凝聚体的特征； 编写三维d l c a 、三维d l a - - d l c a 的模拟程序，进行此两种模型的初步模拟。 1 3 研究意义 迄今为止，在絮体形态学的研究上，虽然对d l a 的仿真模拟进行了大量的 研究工作，但是关于三维d l a 模型的仿真模拟研究尚属空白，本文通过对水中颗 粒物的三维d l a 仿真模拟，对其模拟结果以及三维聚集体的内部构造做了系统研 究，对提高实际絮凝体的密度，增强絮凝体在水中的固液分离效果具有重要的指 导价值。另外d l a 、d l a - - d l c a 的试探性模拟也为以后絮体的模拟研究提供了 参考，因此本文对絮体的仿真模拟具有实用的参考价值。 1 4 研究内容 本研究采用a m d 6 43 2 0 0 + 高性能计算机，进行了m a t a l a b 平台上二维d l a 、 三维d l a 、三维无网格d l c a 、三维d l a - - d l c a 模型絮体的仿真模拟，并对二 维、三维d l a 模型絮体的分形维数、孔隙率进行分析。具体内容有以下几点： ( 1 ) d l a 模型的模拟 课题组已经进行了絮体的形态学分析并进行了二维d l a 模型的初步模拟研 究。本研究则在其基础上进行了二维及三维d l a 模型的絮体仿真模拟研究。 ( 2 ) d l c a 模型的模拟 根据经典d l c a 模型，编写三维d l c a 模型模拟算法，实现m a t l a b 平台上 三维d l c a 模型的模拟。 ( 3 ) d l a d l c a 模型的模拟 根据课题组所提出的d l a - - d l c a 絮体形成模型，编写m a 廿a b 下三维模拟 程序，绘制d l a - - d l c a 模型模拟所得到的三维图像。 西安建筑科技大学硕士论文 2 分析生长模型及絮凝体模拟研究现状 2 1 分形的基本概念 自然界中存在许多细碎复杂具有自相似的形体，草叶、树冠、山川、河流、 云彩等等，它们看似凌乱却又有某种规律，人们在研究这些图形的时候创立了分 形这一学科。分形的创立者曼得勃罗特原先是为了解决电话电路的噪声等实际问 题，结果却发现了几何学的一个新领埘“。几何对象的一个局部放大后与其整体 相似，这种性质就叫做自相似性。其部分以某种形式与整体相似的形状就叫做分 形，其原义是“不规则的、分散的、支离破碎的”物体。从字面上来讲，分形是 指一类极其零碎而复杂但具有自相似性( s e l fs i m i l a r ) 和仿射性( s e l fa f f m e ) 的 体系，自相似性和标度不变性是其重要特征1 2 】。 分形作为一门新兴学科，因为其广泛的应用价值，正受到各专业科研人员的 关注。严格地而且正式地去定义分形是一件非常复杂而且困难的事情，m a n d e l b r o t 在1 9 8 2 年提出：如果一个几何在欧氏空间中的h a u s d o r f f 维数d h 恒大于其拓扑维 数d t ，即d n d t ，则称该集合为分形集，简称为分形。四年后来他又提出一个更 为实用的定义：组成部分以某种方式与整体相似的形体叫分形。一些不太正规的 定义却可以帮助我们理解分形的含义。在这些定义中，最为流行的一个定义是： 分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程。也就是说，在分形中， 每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已。 分形几何主要研究吸引子在空间上的结构，它和混沌有共同的数学祖先一动 力系统。如果把非线性动力系统看成是一个不稳定的发散过程，那么由迭代法生 成分形吸引子正好是一个稳定的收敛过程。有的混沌学家说，混沌是时间上的分 形，而分形是时间上的混沌例。 分形具有五个基本特征或性质：( 1 ) 形态的不规则性；( 2 ) 结构的精细性；( 3 ) 局部与整体的自相似性；“) 维数的非整数性；( 5 ) 生成的迭代性。 下面是分形几何中最重要的几个例子【4 j ：( 1 ) s i e r p i n s k i 地毯：从一等边三角形 开始进行迭代操作，将其四等分，去掉中心的那部分，无限重复这种操作，最终 所得的极限图形就是s i e r p i n s k i 垫片。s i e r p i n s k i 垫片是如此的完美，著名的巴黎 埃菲尔铁塔正是以它作为平面图。虽然铁塔并没有把分形进行到无穷，但是它已 经体现了这项工程的精彩，即在不损害结构强度的条件下完成了重力的转移。 ( 2 ) m e n g e r 海绵：从表面上看，海绵立方块是一个立方体，是三维的，但它是以某 一构造为基础按规则形成的许多孔洞的高度无序结构。在一定压力下它能压实在 西安建筑科技大学硕士论文 s i e r p i n s k im e n g e r 图2 1s i e r p i n s k i 和m e n g e r 分形 一个平面上，这时就是2 维的。这说明表观看上去充实的立方体实际上是部分充 实的3 维结构，其真实维数大于2 0 而小于3 0 。所以可以说经典几何的整数维数 只能反映物体的表观现象，而分形维数能刻画物体的内在特性。( 3 ) 曼德勃罗特集： 它的数学模型非常简单。连续放大m a n d e l b r o t 集合局部可以制作精美的g i f 动画， 放大过程所呈现的无穷玄机和美感引发人们去探索。取其局部进行放大，可以看 到它的精细结构及其自相似性质，放大可以无限地进行下去。m a n d e l b r o t 集合局 部放大过程精彩地描述了分形的性质，描述了自然界的本质，可以说分形几何是 真正描述大自然的几何学。图2 2 是m a n d e l b r o t 集的整体图形： 图2 2m a n d e l b r o t 集 分形几何的主要价值在于它在极端有序和真正混沌之间提供了种可能性。 分形最显著的性质是：本来看来十分复杂的事物，事实上大多数均可用仅含很少 参数的简单公式来描述。其实简单并不简单，它蕴含着复杂。分形几何中的迭代 法为我们提供了认识简单与复杂的辩证关系的生动例子。分形高度复杂，又特别 简单。无穷精致的细节和独特的数学特征( 没有两个分形是一样的) 是分形的复 杂性一面。连续不断的，从大尺度到小尺度的自我复制及迭代操作生成，又是分 形简单的一面。 “世界是非线性的”，分形无处不在。分形学科的诞生，使得我们重新审视这 个世界。当人们用分形的观点重新审视自然物时，发现自然界的各种各样自然形 态本质上都具有分形的结构。例如，地学方面：海岸线、岛屿、国界、山谷、河 流、路面等弯弯曲曲凹凸不平的形状；生物方面：人的肺，血管，人脑，表面形 状，大多数树木花草地分岔结构；在宇宙方面：天体在宇宙空间中的分布，月坑 西安建筑科技大学硕士论文 的直径分布以及作为月坑成因的陨石和小行星的大小分布，空中云块的边界，雪 花的表面；在物理化学方面：物体的表面由细微粒子集聚成的凝聚体，闪电，多 孔吸附材料的表面，蛋白质高分子的结构分形学家说，自然界处处有分形， 这从物体形态结构方面说明，世界本质上的非线性。 2 2 絮凝体形态学及其分形构造 水体颗粒物的稳定与脱稳聚集过程是一个随机非线性过程，通过絮凝过程可 以了解絮凝体的结构、行为、性能和影响絮凝体形态学的主要因素。本节就絮凝 体的形态学问题探讨絮凝体的一些物理特性。 2 2 1 絮凝体的形态学 细小的颗粒凝聚成大的颗粒或絮凝体是一个随机结合过程，往往具有较低的 密度。不少学者就如何提高絮凝体的粒径、密度，从而达到快速分离的目的进行 了大量工作，这节所涉及的一个重要的理论问题就是絮凝体的形态学 ( m o r p h o l o g y ) 。絮凝体的形态学，顾名思义，就是从絮凝体的形状出发，研究絮 凝体的构造，探讨絮凝体形状对絮凝体密度、强度的影响，进一步了解絮凝体碰 撞结合的自然规律和动力学特征。 长期以来，不同研究者对絮凝体构造进行了深入的研究，也提出了不同的絮 凝体成长模式，但所有的模式都是以欧几里德体系建立的，与自然界不规整体系 有很大出入。2 0 世纪8 0 年代以后，由于在絮凝体形态学研究中引入了分形理论f 零， 人们对絮凝体的构造以及相关的物理特性重新审视，有了全新的观念与手段来处 理絮凝体的形态学问题，并建立了一系列的新理论体系。 2 ，2 2 絮凝体的分形构造 分形理论是揭示自然界非线性过程内在随机性的科学分支，着重研究非线性 系统中有序与无序的统一，确定性与随机性的统一。从字面上来讲，分形是指一 类极其零碎而复杂但具有自相似性( s e l f s i m i l a r ) 和放射性( s e l f a f t m e ) 的体系， 自相似性和标度不变行是其重要特征。 随着对分形研究的逐步深入，人们提出了各种动力学生长模型。这些模型基 本上是建立在2 0 世纪6 0 年代后v o i d 、s u t h e r l a n d 、g o o d a r z - n i a 等对颗粒物的凝 聚模型基础上，并引入分形理论来完善。它们可以分为三类嘲： 一有限扩散凝聚模型( d i f f u s i o n - l i m i t e d a g g r e g a t i o n ) ，简称d l a 模型； 一弹射凝聚模型( b a l l i s t i c a g g r e g a t i o n ) ，简称b a 模型； 一 反应控制凝聚模型( r e a c t i o n - l i m i t e da g g r e g a t i o n ) ，简称r l a 模型。 这三类模型中的每一种又分成两部分，单体( m o n o m e r ) 凝聚和集团( c l u s t e r ) 西安建筑科技大学硕士论文 凝聚。在d l a 模型中，单体凝聚称之为w i t t e n s a n d e r 模型，集团凝聚称之为有 限扩散集团凝聚模型( d i t t h s i o n l i m i t e dc l u s t e r a g g r e g a t i o n ) ，简称d l c a 模型。 在r l a 模型中，单体的凝聚称为v o i d 模型，集团凝聚称为s u t h e r l a n d 模型。在 r l a 模型中，单体的凝聚称为e d e n 模型，而集团的凝聚称为反应控制集团凝聚 模型( r e a c t i o n - l i m i t e dc l u s t e r a g g r e g a t i o n ) ，简称为r l c a 模型。 2 2 3 絮凝体的分形维数及其测量方法 在欧氏几何中，规整几何图形的长度、面积和体积的量纲分别是长度单位的 1 ，2 与3 次方，它们恰好与这些几何图形存在空间的欧氏维数相等，而且均为整 数。对于非规整几何图形，则并非如此，分形图形就是最好的例子。为此人们提 出了一些用于表述分形特性的分形维数的概念。对于任何一个有确定维数的几何 体，若用与它相同维数的“尺”去测量，则可得到一确定的数值；若用低于它 维数的“尺”去量它，结果为无穷大；用高于其维数的“尺”测，结果为零。数 学表达式为： n ( r ) 1 一确 对上式两边取对数，可得： d h = l n n ( o l n ( 1 r ) 其中o h 即为h a u s d o r f f 维数翻，它可以是整数也可以是分数。仇为分数的物 体被称为分形，此时协即为分形维数，简称分形维数。 人们对絮凝体的研究主要从两个方面进行：一是研究实际絮凝体；二是通过 计算机进行模拟研究。 由于絮凝体是分形体，人们就想采取各种手段通过实际絮体得出其分形维数， 在以往的研究中有以下一些方法： ( 1 1 图像法! s , 9 1 通过显微摄影技术，对水中絮凝体进行放大拍摄，运用计算机图像处理软件 分析拍摄的絮凝体图像，可以测得絮凝体的投影面积a 、周长p 和在某一方向的 最大长度，然后求得二维分形维数，再将其换算成三维分形维数。这种方法偏差 较大。 ( 2 ) 粒径分布法【9 ，l o 】 通过测定同等条件下以特征长度三( 一般为某一方向最大长度) 为参数的累 积颗粒浓度分布曲线( 劲和以絮体体积为参数的分布曲线m 的斜率求得。 ( 3 ) 沉降法 】 通过测定或计算絮凝体沉降速度“与特征长度三之间的关系“吐。，从而推 算分形维数。 ( 4 ) 光散射法【1 2 1 3 】 、 西安建筑科技大学硕士论文 光散射法是通过小角度x 射线散射法，根据散射光强竹砂与光波矢量g 之间 的关系以矽= l q l 。求得分形维数。该方法是以瑞利( r a y l e i g h ) 散射为前提，当絮 凝体粒径太大时，产生的偏差较大。这种方法对粒度处于1 2 0 0 n m 的分形体尤为 合适【1 4 】。 ( 5 ) 其它方法 通过光穿过悬浮液光强的脉动现象来表征聚集体的分形维数变化特征，也得 到了一定的应用。该法仅适用于分形维数较大的絮凝体( 通常大于2 ) u s i 。 通过以上方法直接测量絮凝体分形维数都是不精确、不容易的，而且所得到 的结果也不具有可比性，而且无法定量的观测絮凝体的形成过程和特征的改变和 内部构造。因此很多学者试图从计算机模拟方面来研究絮凝体，9 0 年代左右，主 要是应用二维d l a 模型或d l c a 模型来模拟絮凝体，分析絮体特性。2 0 0 0 年左 右，部分学者开始在计算机上进行三维絮凝体的仿真研究。 2 3 分形生长机制及模型 自然界中很多的生长过程( 或者系统的变化过程) 往往受到非局域参量的空 间分布的控制。所谓非局域指的是：在空间一个给定的点处，这个参量的值除了 受到它的最近邻点的影响之外，还受到系统中其他较远处点的影响。非局域参量 可以是固化时温度的分布，流体中的压强，在某一给定点上发现一个扩散粒子或 粒子簇的几率，或是一个带电导体周围的电势等。在有限扩散凝聚模型中，非局 域参量的空间相关性满足局域变动的边界条件的拉普拉斯方程，扩散粒子的浓度 也可以用拉普拉斯方程来描述。在凝聚现象中，几率分布的非局域性扮演了重要 的角色。在有关的生长模型中，主要的假定是：粒子间的黏附是不可逆的，因为 在大量的实际生长过程中，这个条件是可以满足的。 按照上述论法，分形生长模型主要有三类基本模型：反应控制模型、弹射模 型、有限扩散模型。这三类模型又分别按单体凝聚和集团凝聚分为两类。反应控 反应控铆 弹射有般扩敞 苴 日d 掰 v 0 佳 蠢糖 鬃 凝 聚 口t l0 0 k 3 0 0 集 vr 姒 l ，l 2 a 团 急 最翼馥 & 凝 摹越 叭舢- 岛t 襞 脚髀r 图2 3 分形生长的三类基本模型 西安建筑科技大学硕士论文 制模型的单体凝聚模型为e d e n ，集团凝聚模型为( r l c a ) ，弹射模型的单体凝 聚模型为v o l d ，集团凝聚模型为s u t h e r l a n d ，有限扩散模型单体凝聚模型 为d l a ，集团凝聚模型为d l c a 。详细如图2 3 。 图2 3 显示了三类模型在二维平面上的示意图。这个图是由e m e a k i n 用计算 机模拟后得到的，图中分形图为二维空间的所生成的图形，分形维数d 是三维空 间中的分形维数值。 考虑以往絮体成长过程的研究成果，本文主要采用d l a 模型、d l c a 模型 来模拟絮凝体的成长，在此主要介绍d l a 模型和d l c a 模型。 2 3 】d i ，a 水处理中的絮凝可以认为是粒子的随机碰撞，凝聚，破碎，再凝聚的过程。 在此过程中，絮体逐渐成长，最终形成的絮体具有分形形态特征。水体中悬浮颗 粒由无序混乱状态达到一种有序的分形结构。模拟研究絮体的分形结构特征，是 获得改善絮凝效果的有效方法。在1 9 8 1 年，t a w i r e n 和l m s a l l d e r 提出了d l a 模型【l q ，是用来研究悬浮在溶液或大气中的金属粉末、煤灰和烟尘等微粒的无规 扩散凝聚过程。d l a 模型是分形理论中最为人们所重视的生长模型之一，因为按 照这个模型，通过简单的运动学和动力学方程就可以产生出具有标度不变性的自 相似分形结构，从而建立起分形理论和实验观察之间的桥梁，在一定程度上揭示 出实际体系中分形生长的机理，如在胶体悬浮系统，枝晶生长以及聚合物的聚合 过程中。 d l a 模型的生长过程的模拟如下：选取一个l x l 的正方点阵，在该二维平面 中央设置一个固定的粒子，也称之为“种子”。开始时，在平面的边缘上随机地产 生一个粒子，该粒子以布朗运动方式在平面上作无规则运动。假定粒子的运动有 两种可能：一种是与“种子”相碰并附着于“种子”上，形成粒子簇；一种是超出逃 逸半径逃逸；再随机地产生一个粒子，继续作无规则运动。将上述过程重复进行 下去，直至最后在点阵中央形成一个树枝状凝聚体。由于粒子簇的尺寸远小于点 阵尺寸，随机产生的粒子都在远处，它们的随机运动会先与伸展在外边的枝权黏 附，较难进入凝聚体的内部，从而产生了屏蔽效应。 2 3 2 d l c a 分散在流体介质中的微粒的凝聚可以代表产生分形结构的一般过程。如果初 始随机分布的粒子的密度大于零，那么两个“黏性”的粒子碰撞并黏结在一起的 几率是确定的。对这样的系统来说，已经黏结在一起的双粒子凝聚体可以进步 扩散并通过黏结其它粒子或凝聚体形成更大的分形聚集体。只要经过足够长的时 间，系统中的所有微粒就可能凝聚成为一个大的聚集体。 西安建筑科技大学硕士论文 在上面所讨论的过程中，每个凝聚体的运动条件是相同的，不存在d l a 模型 中的种子粒子，每个粒子都在随机运动，每个粒子都是种子。可以这样想像，分 散在一个箱子中的微粒，全部随机运动，凝聚的也随机运动，只要碰到一起就黏 结，如此运动下去，最终形成一个凝聚体，这就是d l c a 模型。相比之下，d l a 模型不考虑粒子簇( 集团) 的运动，一般被认为是某些现象的计算机模拟。 2 3 3 其它生长模型 除d l a 和d l c a 生长模型之外还有弹射模型( b a 模型) 和反应控制模型 ( r l a 模型) 。弹射模型是有m v o l d 在1 9 6 3 年最先提出，当单体的自由程比生 长中的聚集体的尺度要大时，就会产生弹射凝聚，即v o l d 模型 j u 。此时，单体 以直线向凝聚体运动，所以与有限扩散模型相比，单体比较容易进入聚集体内部， 形成的的絮体的结构更加致密，在b a 模型中，按单体凝聚形成的聚集体( v o l d 模型) 在三维欧氏空间中的分形维数d = 刁。 反应控制模型又称为化学控制( c h e m i c a l l y - - l i m i t e d ) 凝聚模型，它认为在动 力学过程中，存在一个势垒，只有克服此势垒才能进行生长。所以在产生一个成 功的附着以前，需要多次的接触。 2 4 仿真模拟研究现状 随着科技的日新月异，计算机业得到极大的发展，计算机的功能也得到很大 的加强，使得大型的仿真模拟称为可能。像d l a 和d l c a 这类随机分形生长模 型是采用蒙特卡罗方式进行模拟的，需要进行大量的计算，因此，絮体的仿真模 拟研究也是随着计算机的发展而不断进步的。 2 4 1d l a 模型应用研究进展 在1 9 8 1 年，提出d l a 模型的一a w i t t e n 和l m s a n d e r ，用来研究悬浮在溶 液或大气中的金属粉末、煤灰和烟尘等微粒的无规扩散凝聚过程，这对于水和空 气污染的控制有重要意义。他们在模拟中取3 6 0 0 个半径约为4 n m 的微粒，让它 们在二维方形点阵和三角形点阵上作无规扩散运动，得到了树枝状的凝聚结构。 并用密度相关函数法求出了凝聚结果的分形维数d - = 1 6 7 。他们认为按d l a 模型 模拟得到的凝聚体，只要尺度足够大，那么其分形维数与模拟时有无点阵以及点 阵的类型( 三角形、方形、六边形) 无关，具有一定的普适性隔蝎】。此后几年， r m e a k i n 做了大量二维及三维d l a 模型的模拟研究1 1 9 , 2 0 , 2 1 。 进入9 0 年代后，随着计算机的硬件的飞速发展，较大粒子数d l a 模型的模 拟成为可能。也延伸出了几种d l a 模型的变体，如各项异性d l a 模型，将种子 由一个粒子延伸为一条线的d l a 模型，后者可以很好的模拟植物的生长。在刘华 西安建筑科技大学硕士论文 杰所著的分形的艺术( 1 9 9 7 年) 书中对这些有所涉及，在谈到d l a 模型的 分形维数时说“后来证明不是这样，分形维数与点阵形状有关，并且粒子数越多， 差别越大旧。” 国外对d l a 模型的研究一直非常热门【2 3 埘】，国内最近也有大量的研究 2 8 - 3 3 】。 城市向周围的扩展、电解沉积，枝状晶生长、粘性指延、金属颗粒聚集、气溶胶 凝聚都可以用d l a 模型来描述。 2 4 2d l c a 模型应用研究进展 美国西北大学的t m h a a r d ，qg e r v a i s ， r n o r m u r aa n dh a l p e r i n 在1 9 9 9 年应用d l c a 模型模拟气凝胶凝聚，研究气凝胶模拟的路径长度分布【3 4 1 。所生成 的絮体呈分形结构，经过模拟结果的三维图像可以清晰的查看气凝胶的分形结构。 美国夏威夷大学的a l b e rs k i ma n dk e 池d s t o l z e n b a c h 研究了差异沉降中的絮 凝模拟【3 ”，在d l a 和d l c a 模型的基础上建立了差异沉降絮凝模型，认为沉降 中的絮体在下沉过程中与水中悬浮颗粒有相对运动，絮体的下半部与颗粒发生絮 凝，而在沉降过程中絮体又会发生随机的旋转。在d l a 模型中是聚集体不动，颗 粒随机从各个方向与聚集体可能发生凝聚，d l c a 中絮凝体是可以随意运动，但 整体不发生旋转。在此模型中，由于絮体与悬浮颗粒有相对速度向下运动，且发 生旋转，颗粒仅从一个方向与其发生碰撞，简化模型假定絮体在一个位置仅有随 机的旋转运动，颗粒从一侧辐射碰撞絮体。此模型所模拟的图像如图2 4 。 图2 4 沉降过程絮凝模型及模拟图 美国华盛顿大学的r a f a e ls a l a z a ra n dl e vd g e l b 于2 0 0 4 年应用d l c a 模型， 模拟研究了胶体结构对吸附性质的影响t 3 6 ，图2 5 是他模拟所得到的图像。 西安建筑科技大学硕士论文 图2 5 胶体结构的d l c a 模拟 国内也有大量d l c a 模型应用的研究。浙江大学的蒋新，在2 0 0 3 年发表了 m a t l a b 平台上d l c a 过程模拟，属于石油方面的研究是中石化的基金项目【3 7 】。利 用m a t l a b 的强大功能，实现了大粒子量的d l c a 过程模拟。通过对无网格重复边 界条件下的扩散控制团簇聚集过程的模拟，可以得到聚集速率，粒度分布，聚集 体结构等重要过程参数。图2 6 是他模拟所得到一幅图片。 图2 6m a t l a bfd l c a 过程模拟 九十年代以前主要注重于d l a 和d l c a 模型本身的研究，在这方面有不少 的论文【3 8 嘞】，九十年代以后出现很多应用方面的研究，采用d l c a 模型模拟研究 4 4 ：4 7 。本文主要研究采用二维、三维d l a 模型模拟絮体的成长，计算了分形维数、 孔隙率、密度等参数，并且实现了d l c a 、先d l a 后d l c a 等模型模拟絮体成 长的算法。 西安建筑科技大学硕士论文 3 絮凝体的分形仿真模拟计算方法 3 1m a t l a b 计算方法介绍 m 列a b 的名称源自m a t r i xl a b o r a t o r y ，它是一种科学计算软件，专门以矩阵 的形式处理数据。m a t l a b 将高性能的数值计算和可视化集成在一起，并提供了大 量的内置函数，从而被广泛地应用于科学计算、控制系统、信息处理等领域的分 析、仿真和设计工作，而且利用m a t l a b 产品的开放式结构，可以非常容易地对 m a t l a b 的功能进行扩充，从而不断深化对问题认识，不断完善。m a r l a b 拥有强大 的图形处理功能，在科学计算可视化处理方面有广泛的应用，在采用m a t l a b 进行 程式开发时，可以集中精力于算法的开发。 m a 廿a b 的语法规则与一般的结构化高级编程语言如c 语言大同小异，而且使 用更方便。它已经将数学问题的具体算法编成了现成的函数，用户只要熟悉算法 的特点、使用场合、函数的调用格式和参数意义等，通过调用函数就可以很快解 决问题，而不必花费大量的时间纠缠于具体的算法。该软件具有强大的矩阵计算 功能，非常适合于有限元等大型数值算法的编程。此外，它不仅可以绘制一般的 二维、三维图形，还可以绘制工程性较强的特殊图形。科学计算要涉及到大量的 数据处理，利用图形展示数据场的特征，它提供了丰富的科学计算可视化功能， 能显著提高数据处理的效率，提高对数据反馈信息的处理速度和能力。 3 2 d l a 模型算法 d l a 模型是分形理论中最为人们所重视的生长模型之一，因为按照这个模型， 通过简单的运动学和动力学方程就可以产生出自相似的分形结构。本文在m a u a b 下实现的二维方形网格d l a 模型模拟，借助m a t l a b 强大的绘图能力，可以很容 易的转化到三维d l a 方形网格d l a 模型模拟。在此主要介绍二维d l a 模型的算 法和程序，三维的算法与此大同小异。 d l a 模型的生长过程模拟如下：选取一个l l 的方形点阵，在该二维平面 中央设置一个固定的粒子，也称之为“种子”。开始时，在平面的边缘上随机地产 生一个粒子，该粒子以布朗运动方式在平面上作无规运动。假定粒子的运动有两 种可能：一种是与“种子”相碰并附着于“种子”上，形成粒子簇；再随机地产 生一个粒子，继续作无规运动。另一种是运动到平面的边缘上，令其停止运动并 消失，或者根据周期性边界条件继续作无规运动。将上述过程重复下去，直至最 后在中央形成一个树枝状的凝聚体，如图3 1 所示： 西安建筑科技大学硕士论文 图3 1 d l a 模型絮体 在实际模拟中，为了提高程序的运行效率，节省时间，采取了以下改进： ( 1 ) 适当减小粒子释放半径，并使其随凝聚体最大回转半径增加而增加； ( 2 ) 使逃逸半径大于释放半径一定值，且随凝聚体最大回转半径增加而增加； ( 3 ) 可以设置粒子运动步长，运行时指定粒子数目； ( 4 ) 能够绘制出d l a 模拟图、分形维数图、孔隙率分析图、絮凝速率图。 其程序算法如下( 其程序结构图见图3 2 ) ： ( 1 ) 设置初始释放半径，步长s t e p ，总凝集粒子数g l s ? d m ，绘图区域； ( 2 ) 根据绘图区域确定凝集中心在屏幕上的坐标，并在中心位置画点，置n = l ； ( 3 ) 根据释放半径，确定逃逸半径，m a x ； ( 4 ) 在半径，n 的圆周的任意位置释放粒子，让其作布朗运动； ( 5 ) 粒子每移动次，都要检测其上下左右的紧邻位置是否为凝集体，若是则 凝集下来，n = n + l ，执行第( 6 ) 步，否则，执行第( 7 ) 步： ( 6 ) 每凝结个粒子，都要计算此粒子与凝集中心的距离是否大于或等于释放 半径，若是则将释放半径= + 1 0 ，- m 麟= r m a x + l o ，然后执行第( 4