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第 48 卷 第 2 期 2015 年 2 月 天津大学学报(自然科学与工程技术版) Journal of Tianjin University( (Science and Technology) ) Vol.48 No.2 Feb. 2015 收稿日期：2013-09-25；修回日期：2013-11-28. 基金项目：国家高技术研究发展计划(863 计划)资助项目(2011AA04A102). 作者简介：杨玉虎（1962 ） ，男，博士，教授. 通讯作者：杨玉虎，yangyuhu. 网络出版时间：2014-02-28. 网络出版地址：http：/ DOI:10.11784/tdxbz201309096 RV 减速器扭转刚度特性分析 杨玉虎，朱临宇，陈振宇，沈兆光 (天津大学机构理论与装备设计教育部重点实验室，天津 300072) 摘 要：以广泛应用于机器人关节的 RV 减速器为对象，针对其结构特点，构建了减速器整机的几何模型，以及在 ANSYS 环境下考虑轴承刚度、轮齿啮合刚度及各构件弹性的有限元模型，分析得出了对应曲柄轴自转 1 周的整机 扭转刚度的变化规律；与实验结果比较，验证了该模型的有效性与计算精度在此基础上，应用该模型进一步分析 了摆线轮与针齿啮合齿数以及轴承刚度变化对整机扭转刚度的影响规律结果表明：轴承刚度是影响整机扭转刚度 变化的主要因素；在分析整机扭转刚度特性时，将轴承刚度按非线性变化规律考虑时能够更精确地揭示整机的扭转 刚度特性 关键词：RV 减速器；扭转刚度；轴承刚度；啮合刚度； 中图分类号：TH132.414 文献标志码：A 文章编号：0493-2137(2015)02-0111-08 Analysis of the Characteristics of Torsional Stiffness of RV Reducer Yang Yuhu，Zhu Linyu，Chen Zhenyu，Shen Zhaoguang (Key Laboratory of Mechanism Theory and Equipment Design of Ministry of Education， Tianjin University， Tianjin 300072， China) Abstract：The RV reducer，which is widely used in the robot joint，was studies as the research object. The geomet- ric model is constructed based on the structural features of RV reducer，and the FEA model is also established consid- ering bearing stiffness，meshing stiffness of gears，and elasticity of components on the platform of ANSYS. The variation of torsional stiffness，which is generated in a period of rotation of the crank shaft，is compared with the experimental results in order to certify the validity and computational accuracy of the model. By applying this FEA model，the effect of bearing stiffness and the mating tooth number between cycloidal gear and pin gear is further ana- lyzed. The result indicates that the bearing stiffness is the dominant factor that affects the torsional stiffness. Consider- ing the nonlinear variation of the bearing stiffness can reveal the characteristics of torsional stiffness more precisely. Keywords：RV reducer；torsional stiffness；bearing stiffness；meshing stiffness 扭转刚度是 RV 减速器的一项重要性能指标 针 对该类减速器刚度特性的分析与研究一直是研究热 点 目前针对单级摆线传动的刚度特性分析已较为 深入， 其研究内容主要侧重于啮合刚度分析与建模研 究， 考虑因素不仅涉及主要构件的弹性， 同时也计及 摆线轮与针齿间不同接触位置的啮合刚度， 以及多齿 接触下变形协调等复杂影响因素1-2 RV 减速器也是 一种包含摆线传动的二级封闭式行星传动系统， 其低 速级同为摆线传动， 但传动结构与单级摆线区别较 大， 扭转刚度特性也有所不同 因此， 国内外学者针 对该类减速器刚度特性的研究仍在深入 张大卫等3 基于 Hertz 理论建立了摆线针轮啮合刚度模型， 利用 石川公式简化了渐开线齿轮啮合刚度的计算 张迎 辉等4进一步考虑了摆线轮齿廓曲率的影响， 避免了 单对齿啮合刚度为负的情况， 使啮合刚度模型更加精 细 Park5针对减速器的拓扑结构特点建立了整机扭 转刚度半解析模型 Kim 等6在文献5计及轴承的 模型基础上， 考虑了减速器中摆线轮与曲柄轴铰接处 112 天津大学学报(自然科学与工程技术版) 第 48 卷 第 2 期 的轴承弹性， 将轴承等效为一个具有一定刚度的柔性 圆环， 研究结果表明， 轴承刚度是影响整机扭转刚度 的主要因素 上述研究使整机扭转刚度模型逐渐精 细， 但在轴承刚度方面均以线性方式进行处理， 而相 关文献指出， 轴承刚度会随载荷发生非线性变化7； 在 RV 减速器中， 不同啮合位置下各轴承受力的改变 会引起轴承刚度的变化， 因此需要进一步研究这种变 化对此类减速器扭转刚度产生的影响 为建立精细的整机扭转刚度有限元模型， 本文不 仅考虑了上述因素， 还进一步考虑了摆线轮与针齿啮 合齿数、 轴承刚度随载荷变化的非线性特征对扭转刚 度的影响规律 本研究可为该类减速器扭转刚度的 建模提供一种方法上的借鉴 1 拓扑结构与几何建模 RV 传动是由渐开线与摆线齿轮组成的二级封闭 式行星轮系， 一种 RV 减速器的三维模型及其机构简 图如图 1 所示 高速级为渐开线齿轮组成的 K-H 型差动轮系， 由中心轮 1、 径向均匀分布的 3 个行星轮 2 及系杆 7 组成； 低速级为摆线齿轮组成的 K-H-V 型行星轮系， 由径向均匀分布的 3 个曲柄轴 3、 2 个对称布置的摆 线轮 4 与 4 、 若干针齿 5 以及输出盘 6 组成 该轮系 中系杆 7 与输出盘 6 固连为同一构件 3 个偏置方向一致的曲柄轴， 其一端分别与对应 的 3 个行星轮固连， 另一端与输出盘上对应的销孔组 成转动副， 中部与摆线轮构成转动副 轮系传递运动时， 行星轮带动曲柄轴转动， 通过 曲柄轴将行星轮的自转传递给摆线轮实现公转， 而摆 线轮又通过输出盘将其自转反馈给系杆作为差动轮 系的输入运动， 从而构成封闭式行星传动 选取表 1 和表 2 数据(额定负载扭矩 为 3.136,MNmm)构建减速器几何模型， 建模中忽略 各零部件上的倒角、 螺纹孔等对刚度影响不大的局部 细小结构， 假定将针齿视为与针齿壳固连 在 Pro/E 环境下构建几何模型， 如图 1(a)所示 表 1 减速器渐开线行星传动机构基本参数 Tab.1Fundamental parameters of involute planetary transmission mechanism of reducer 齿 数 变位系数 模 数 m/mm 1 z 2 z 1 x 2 x 1.5 15 69 0.5 0.5 表 2 减速器摆线行星传动机构基本参数 Tab.2Fundamental parameters of cycloidal planetary transmission mechanism of reducer 齿 数 c z p z 针齿中心圆 半径 rp/mm 针齿套外圆 半径 rrp/mm 偏心距 a/mm 39 40 114.5 5.0 2.2 （a）三维模型 （b）机构简图 1中心轮； 2行星轮； 3曲柄轴 1； 3曲柄轴 2； 3曲柄轴 3； 4，4摆线轮； 5针齿； 6输出盘； 7系杆 图 1 RV减速器示意 Fig.1 Schematic of RV reducer 2 整机扭转刚度建模 针对减速器的结构特点， 在建模中除考虑主要构 件弹性外， 还需要计及以下影响整机扭转刚度的主要 因素 (1)轴承刚度： 包括曲柄轴与摆线轮相连的转臂 轴承以及系杆与曲柄轴相连的支撑轴承的刚度 (2)啮合刚度： 包括渐开线齿轮与摆线齿轮的啮 合刚度 摆线轮同时与多个针齿啮合， 其啮合齿数随 2015 年 2 月 杨玉虎等：RV 减速器扭转刚度特性分析 113 曲柄轴转角而变化， 因而摆线轮与针齿的啮合刚度也 会发生变化 2.1 轴承刚度 2.1.1 初始位置及坐标系 相关研究7指出， 轴承刚度会随外部载荷发生非 线性变化， 因此有必要对轴承进行受力分析 设针齿 1 与摆线轮齿根啮合的位置为轮系运动 的初始位置， 针齿逆时针方向依次编号 1， 2， 3， ， 如图 2 所示 图 2 针齿编号 Fig.2 Numbers of pins 对应针齿与摆线轮任意啮合位置， 以中心轮回转 中心O为原点， 建立与曲柄轴自转运动固连的动坐 标系Oxyz， 使y轴与曲柄轴偏心方向一致，z轴与曲 柄轴线方向重合， 如图 3 所示 固定减速器输入端， 在输出端施加扭矩T后， 曲 柄轴的受力如图 3 所示 图中 H O为曲柄轴回转中 心， 1 a、 2 a、b、c分别表示曲柄轴相应轴段的长 度 H F为行星轮对曲柄轴的作用力， 1 R、 2 R分别为 2 个支撑轴承对曲柄轴的作用力， t F、 x F、 y F为转臂 轴承对曲柄轴的切向作用力、 x 向作用力和 y 向作用 力， H F、 1 F垂直于系杆 H OO， x F、 y F分别与相应的 坐标轴重合 图 3 曲柄轴受力分析 Fig.3 Schematic of force analysis of crank shaft 2.1.2 转臂轴承受力 曲柄轴及其轴承在运动过程中既承受摆线行星 传动一级的输入载荷， 亦承受该级输出载荷， 故为该 减速器的核心构件 假设 3 根曲柄轴均匀地承受摆 线行星传动机构的输入输出载荷， 对机构进行受力分 析， 得到曲柄轴上与 2 个摆线轮形成转动副的 2 个转 臂轴承的切向受力 t F、 x 向受力 x F和 y 向受力 y F 8-9 分别为 c t 2 121 2p 11 p 2p 11 p 3(/) 6 6 xx y yy Tz mi zzz Tz z iz K r K Tz z iz K r = + = = F FF FF (1) 2 11 2 111 1112 ln 21 y KK K KKK + += 式中： 1 K为短幅系数， 1pp /Kazr=；T为输出盘额定 负载扭矩，N mm；i为减速器传动比 由于 x F、 y F与坐标轴重合且 1 F始终垂直于系杆 H OO， 故对应曲柄轴转过任意转角时， 可以得到曲 柄轴分别与 2 个摆线轮铰接的转臂轴承在坐标系 Oxyz下的合力R和R为 t, t, nx ny n nx ny n = = + + RFFF RFFF (2) H j(21)/3 t,t j0j , j/2j3/2 , =e =e , =e =e, =e in n x nxx nx y nyy ny + FF FFFF FFFF (3) 式中：H pc /izz=；n为曲柄轴的编号， 如图 1 所示， 1,2,3n = 2.1.3 支撑轴承受力 行星轮对曲柄轴的力 H F 8-9可表示为 H 1 2 3 T miz =F (4) 支撑轴承对曲柄轴的作用力主要用于平衡摆线 轮和行星轮对曲柄轴的作用力， 其中摆线轮对曲柄轴 的切向作用力 t F以及行星轮对曲柄轴的切向作用力 H F在支撑轴承处引起的切向力 1t R和 2t R可表示为 12 1ttH 12 2ttH 12 = = aabc aab c aab + + + + RFF RFF (5) 114 天津大学学报(自然科学与工程技术版) 第 48 卷 第 2 期 另一方面， x F、 y F在支撑轴承处引起的作用反 力 1x R、 1y R、 2x R、 2y R可表示为 12 12 12 12 xxx yyy b aab b aab = + = + RRF RRF (6) 设曲柄轴转过任意角度时， 支撑轴承所承受的 合力 1 R和 2 R在坐标系Oxyz下可表示为 111 ,1 , 222 ,2 , nx ny n nx ny n =+ =+ RRRR RRRR t, t, (7) H H j(21)/3 11 j(21)/3 22 j0j 1 ,12 ,2 j/2j3/2 1 ,12 ,2 =e =e e , e =e, =e in n in n x nxx nx y nyy ny + + = RR RR RRRR RRRR t,t t,t (8) 2.1.4 轴承刚度 轴承刚度与载荷R的表达式10为 0.1 r 0.340 10 (cos)kZL=R (9) 式中： r k为轴承刚度，N/mm；Z为滚子数目；L为 滚子的有效长度， mm；为滚动体接触角， ( ) 减速器样机所用轴承基本参数如表 3 所示 表 3 轴承基本参数 Tab.3 Fundamental parameters of bearings 轴承类型 滚子数目 Z 滚子有效长度 L/mm 滚动体接触角 /( ) 转臂轴承 18 15.4 0 支撑轴承 20 11.2 15 将式(1)式(8)计算结果代入式(9)， 可得各轴 承刚度随曲柄轴转角的变化， 如图 4 所示， 图中 pq k 为构件p与构件q之间轴承的刚度 2.2 啮合刚度 摆线轮与针齿间的啮合刚度是该类减速器扭转 刚度的重要组成部分， 同时啮合齿数是影响摆线轮与 针齿啮合刚度的主要因素， 因此， 确定同时啮合齿数 及啮合针齿号是准确建立该减速器扭转刚度的关键 环节 根据文献11可知， 理想的摆线齿廓与标准针齿 啮合时， 有一半针齿同时与摆线轮啮合 然而考虑机 构几何误差和摆线轮修形等因素的影响后， 若不计及 构件弹性变形的补偿作用， 摆线轮与针齿间的多齿啮 合条件将不复存在， 而变为当某一针齿与摆线轮接触 后， 其余针齿与摆线轮间存在大小不等的初始间隙， 间隙量由几何误差和摆线轮的修形量等因素综合确 定 显然， 要使针齿进入啮合， 必须先克服其与摆线 轮间的初始间隙 （a）转臂轴承刚度 （b）支撑轴承刚度 图 4 轴承刚度变化 Fig.4 Variation of bearing stiffness 另一方面， 机构承载后， 针齿和摆线轮在啮合点 处会发生变形 由变形协调条件可知， 各啮合点处的 变形量与该点啮合力臂呈正比 显然， 与摆线轮在啮 合力臂较大的啮合点进行啮合的针齿首先克服间隙 而进入啮合 摆线轮与针齿同时啮合齿数与机构具体的误差、 修形及载荷参数有关， 通常为 4711-12 本文的仿真 算例先以同时啮合齿数为 5 进行计算， 后续将进一步 研究啮合齿数对扭转刚度的影响 啮合针齿号可通 过啮合点对应的啮合力臂确定， 力臂越大， 越先进入 啮合 图 5 为某一时刻与摆线轮啮合的 5 个针齿所对 应的啮合力臂， 图中 c O、 p O、 r O分别表示摆线轮、 针 轮以及针齿的几何中心，P为摆线轮与针轮的瞬时 运动中心 由图 5 中 rp O O P可知 2 rrp11 rpr 12cos /sin/sin k k O PO OKK O OO P =+ = (10) 式中 k 为针齿k与摆线轮啮合点对应的曲柄轴的 转角 2015 年 2 月 杨玉虎等：RV 减速器扭转刚度特性分析 115 进而求得任一啮合针齿对应的力臂表达式为 rp c r sin sin k k O O LO P O P = c 2 11 sin 12cos k k az KK + (11) 图 5 啮合力臂 Fig.5 Arm of meshing force 通过上述方法确定啮合针齿数和针齿号后， 可绘 制曲柄轴回转 1 周过程中摆线轮与各针齿的啮合状 态， 如图 6 所示 针齿号 1 2 3 k 1k + 1kn+ 40 1 2 3 ? ? 曲柄轴转角 M 图 6 摆线轮与针齿啮合状态示意 Fig.6 Schematic of meshing state between cycloidal gear and pin gear 由图 6 可以直观地看出， 参与啮合的针齿随曲柄 轴位置的变化进行轮换 本文假设摆线轮与针齿在 啮合过程中始终保持n个齿同时接触 2.3 网格划分与边界条件 为保证建模精度与计算效率， 需对模型分块处 理 将减速器中曲柄轴、 系杆、 输出盘等形状规则的 构件进行整体自动划分； 将涉及接触分析的构件， 如 太阳轮与行星轮间、 摆线轮与针轮间的啮合处进行局 部网格划分， 同时对网格大小与数量进行控制， 以确 保网格质量， 防止畸变该模型划分网格总数为 89,275， 节点数为 203,049， 其局部网格划分结果如图 7 所示 （a）行星轮与中心轮 （b）摆线轮 （c）针齿壳 图 7 局部网格 Fig.7 Local meshes 在 ANSYS 环境下， 根据表 4 设置各构件的材料 参数， 计入弹性 根据该机构的拓扑关系设置各构件 间的连接方式 针对曲柄轴的具体位置导入对应轴 承刚度数值， 并设置摆线轮与针齿的啮合齿数和位 置 分别在针齿壳和输入轴的端面施加固定约束， 在 输出盘端面施加逆时针的额定扭矩T 表 4 材料参数 Tab.4 Parameters of materials 名 称 材 料 密度 /(kgm -3) 弹性模量 E/GPa 泊松比 输入轴 15CrMo 7,880 212 0.284 行星轮 38CrMoAl7,850 211 0.277 曲柄轴 GCr15 7,830 219 0.300 摆线轮 20CrMo 7,820 211 0.292 针齿壳 GCr15 7,830 219 0.300 输出盘 45 7,890 209 0.269 3 扭转刚度特性 3.1 仿真结果 由初始位置开始， 对应曲柄轴回转 1 周， 等间距 地选取 100 个测点， 分别构建整机的有限元模型 对 应每一个模型导入相应的轴承刚度值， 设置啮合齿数 为 5 并确定啮合针齿号 分别计算每一个模型的扭 转刚度， 可得该减速器整机扭转刚度随曲柄轴转角变 化的曲线， 如图 8 所示 由图 8 可见， 整机扭转刚度在曲柄轴转角为 0 和 180 附近取到峰值， 在曲柄轴转角为 120 和 240 附近时分别取到谷值 峰值位置对应曲柄轴 1 的偏 心方向垂直于曲柄轴孔 1 中心与摆线轮中心的连线 方向； 两个谷值位置分别对应曲柄轴 2 和 3 的偏心方 向， 与相应的轴孔与摆线轮中心的连线垂直 116 天津大学学报(自然科学与工程技术版) 第 48 卷 第 2 期 图 8 扭转刚度随曲柄轴转角变化 Fig.8 Variation of torsional stiffness with angle of crank shaft 还可以看出， 该减速器扭转刚度的算术平均值为 1 1029.46 N m arcmin，波 动 幅 值 为99.54 N m 1 arcmin， 波动幅值占刚度平均值的 9.67% 3.2 与实验结果比较 为验证整机扭转刚度有限元分析的正确性， 以某 公司所生产的同型号 RV 减速器为对象搭建扭转刚 度实验台， 测试了该减速器的扭转刚度， 并与仿真结 果进行了对比研究 实验采用固定输入端， 在输出端加载， 并测量输 出端转角的刚度测试方案， 测试实验台如图 9 所 示 该实验台主要是由激光干涉仪、 扭矩加载装置、 RV 减速器、 分度头等主要装置组成 其中分度头用 于锁定输入轴以及调整输入轴转角， 螺旋千斤顶与力 传感器结合实现扭矩的加载， 激光干涉仪用于测量输 出端转角 1激光干涉仪；2扭矩加载装置；3RV 减速器；4分度头 图 9 RV减速器扭转刚度实验台 Fig.9 Torsional stiffness experimental table of RV reducer 实验测试采样点与仿真模型一致 仿真结果与实 验测试结果的比较如图 10 所示 从图 10 可见， 整机扭转刚度的仿真结果整体上 略高于实测结果 这与建模中忽略输出盘支撑轴承 刚度及零部件装配弹性等因素有关 整机扭转刚度的实验结果与仿真结果的最大相 对偏差约为 10%， 算术平均值的偏差约 5% 从拟合 曲线中也可看出， 两种情况下的曲线趋势相同， 具有 共同的扭转刚度特性 图 10 仿真与实验结果比较 Fig.10Comparison between simulation and experimental results 4 影响因素分析 4.1 轴承刚度的影响 首先， 将轴承设为刚体， 忽略轴承刚度的影响， 计算可得该减速器的扭转刚度随曲柄轴转角的变化 曲线， 如图 11(a)所示 （a）轴承设为刚体 （b）轴承刚度设为常数 图 11 轴承刚度对扭转刚度的影响 Fig.11 Effect of bearing stiffness on torsional stiffness 对比图 8 可见， 扭转刚度曲线的趋势发生了明显 2015 年 2 月 杨玉虎等：RV 减速器扭转刚度特性分析 117 的变化 一方面， 扭转刚度的算术平均值由原来的 1 1029.46 N m arcmin变为 1 2519.70 N m arcmin； 另 一方面， 扭转刚度随曲柄轴转角的变化曲线趋于平 缓 因此可知， 轴承刚度决定着减速器平均扭转刚度 的大小及变化趋势 由此可得， 轴承刚度是决定该类 减速器扭转刚度大小的决定性因素， 也是造成该减速 器刚度波动的关键环节 为进一步探讨轴承刚度随载荷呈非线性的变化 特性对整机扭转刚度的影响， 对应曲柄轴的任意旋转 位置， 将轴承刚度设为图 4 中各轴承刚度的算术平均 值， 计算该减速器的扭转刚度， 并与第 3.1 节、 第 3.2 节中仿真与实验结果对比， 结果如图 11(b)所示 由图 11(b)可以看出， 忽略轴承刚度随载荷的非 线性变化因素后， 整机扭转刚度均值略有提高， 但是 刚度曲线的趋势发生了明显的变化 与实验结果相 比较， 考虑了轴承刚度非线性因素的情况下， 仿真曲 线更接近实验曲线 这说明刚度曲线的变化幅值与 轴承刚度的非线性特征直接相关 因此， 仅将轴承刚 度设置为常数值的分析模型是不够精确的 4.2 啮合刚度的影响 摆线轮与针齿之间的啮合刚度是整机扭转刚度 的重要组成部分 为探究该项刚度的影响规律， 首先 将摆线轮与针齿设为刚体， 其余构件设为弹性体， 得 该减速器扭转刚度曲线如图 12(a)所示 （a）摆线轮和针齿设为刚体 （b）啮合齿数变化 图 12 啮合刚度对扭转刚度的影响 Fig.12 Effect of meshing stiffness on torsional stiffness 为进一步研究摆线轮与针齿间的啮合齿数对扭 转刚度的影响规律， 将摆线轮与针齿间的啮合齿数分 别设为 4、 5、 6、 7， 计算不同啮合齿数下整机扭转刚 度， 结果如图 12(b)所示 对比图 12(a)与图 8 可知， 在忽略啮合刚度时， 整机扭转刚度的整体趋势同样未发生明显变化， 但是 扭转刚度的算术平均值明显增大， 增大幅度为 48.61% 因此啮合刚度是影响整机扭转刚度的主要 因素， 但不影响扭转刚度的波动 由图 12(b)可以看出， 在不同的啮合齿数下， 扭 转刚度曲线变化趋势相同， 且啮合齿数越多， 刚度越 大 但是， 随着啮合齿数的增大， 扭转刚度增大的幅 度略有减小 因此可得， 啮合齿数仅影响整体扭转刚 度平均数值的大小 5 结 论 (1)轴承刚度是影响整机扭转刚度的主要因 素 将轴承刚度视为随载荷非线性变化时能更精确 地揭示整机的扭转刚度特性， 较将轴承刚度视为常数 值时更接近实验测试结果 (2)摆线轮与针齿的啮合齿数是影响整机扭转刚 度平均数值的主要因素之一， 但对扭转刚度的变化趋 势影响不大 (3)对应曲柄轴自转 1 周， 整机扭转刚度在曲柄 轴转角为 0 与 180 附近取得扭转刚度的最大值， 在 120 与 240 附近取得最小值 参考文献： 1 Liu Jingya，Matsumura Shigeki，Chen Bingkui，et al. 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