线性代数10.ppt

*线性代数*,什么是线性代数？,（一）线性,线性linear，指量与量之间按比例、成直线的关系,只有数乘和加减。,线性就是变量都是一次的，没有变量之间的乘法，,一元线性函数在平面直角坐标系中的关系描述为一条直线，所以把这种函数形象地称为“线性”函数，显然，过原点的直线是最简单的线性函数。,线性代数研究的都是线性问题!,代数学的英文名称是algebra，是9世纪阿拉伯数学家花拉子米的一部著作的名称。原意是“还原与对消的科学”。什么叫做对消，大家知道的有正负对消，就是解方程时所谓的移项，所谓还原，就是把本来淹没在方程中的x把它暴露出来，还原了x的本来面目，所以方程是和代数紧密联系的。,“代数”这一词在我国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直到1859年，清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译成为“代数学”，一直沿用至今。,（二）代数,历史上线性代数的第一个问题是关于解线性方程组的问题，而线性方程组理论的发展又促成了作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展，这些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。最初的线性方程组问题大都是来源于生活实践，正是实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。,另外，近现代数学分析与几何学等数学分支的要求也促使了线性代数的进一步发展。,第一章行列式,第一节二阶与三阶行列式,用消元法解二元线性方程组,两式相减消去，得,一、二阶行列式,1、引入,类似的，消去，得,方程组的解为,由方程组的四个系数确定.,8,中国地质大学（北京）线性代数主讲教师：耿凤杰,由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表,定义1,即,主对角线,副对角线,若记,对于二元线性方程组,系数行列式,计算,1）对角线法则,行标,列标,记,记,则二元线性方程组的解为,系数行列式,系数行列式,11,中国地质大学（北京）线性代数主讲教师：耿凤杰,例1,解,12,中国地质大学（北京）线性代数主讲教师：耿凤杰,二、三阶行列式,定义2,记,（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.,13,中国地质大学（北京）线性代数主讲教师：耿凤杰,三阶行列式的计算:对角线法则,二、三阶行列式,14,中国地质大学（北京）线性代数主讲教师：耿凤杰,三阶行列式的计算:对角线法则,二、三阶行列式,注意对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.,解,按对角线法则，有,例2,求行列式,解,按对角线法则，有,例3,求解方程,所以,若系数行列式,3、三元线性方程组,则,例4解线性方程组,解,由于方程组的系数行列式为,且,同理可得,故方程组的解为:,其中为将系数行列式的第i列分别用常数项来代替而得的新的行列式.,第二节排列及其逆序数,一、排列与逆序,“”六个数字可以组成多少个六位数？,2、定义,1、引例,把个不同的元素排成一列，叫做这个元素的全排列（或排列）.,级排列共有种,如：,特别：把个不同的数码、组成的有序数组称为一个级（阶、元）排列.,级排列共有种：,级排列共有种：,例排列中，,我们规定各元素之间有一个标准次序,个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.,3、逆序数,32514,定义,分析,定义,的逆序.,则称这两个数组成一个逆序.,中，若数,在一个排列,前面比,大的元素的个数称为元素,排在元素,请同学们以最快的速度写出所有级排列.,逆序数为奇数的排列称为奇排列；,逆序数为偶数的排列称为偶排列.,4、排列的奇偶性,例1计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.,1）,定义一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.,解：,故此排列为偶排列.,217986354,当时为偶排列；,当时为奇排列.,解：,2）,计算排列的逆序数，并讨论奇偶性.,分析,当为奇数时，该排列为奇排列.,当为偶数时，该排列为偶排列；,特别：将相邻两个元素对调，叫做相邻对换.,1、定义,二、对换,在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换.,例,1）,2）,2、对换与排列的奇偶性的关系,定理1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。,证明：设排列为1）,易见除外，其它元素的逆序数不改变，,若,对换,对换后,的逆序数不变，而的逆序数减1；,若,对换后,的逆序数增1，而的逆序数不变.,因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性。,设排列为2）,对换,次相邻对换,所以任意两个元素对换，排列改变奇偶性.,次相邻对换,欲,即,次相邻对换,推论,奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.,定理2,个元素()共有!个阶排列,其中奇、偶排列各占一半.,证明:设共有个奇排列,个偶排列，现证.,故必有,奇排列,偶排列,所以,前两个数对换,个,个,偶排列,奇排列,所以,前两个数对换,个,个,排列具有奇偶性.,一次对换，排列改变奇偶性.,个不同的元素的所有排列种数为!,三、小结,4个元素()共有!个阶排列,其中奇、偶排列各占一半.,第三节n阶行列式的定义,1.3n阶行列式的定义,一、概念的引入,三阶行列式,说明(1)三阶行列式共有6项,即3!项.,说明(2)每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积.,说明(3)每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的列下标排列的逆序数.,1.3,例如a13a21a32,将行下标标准排列,列下标排列312的逆序数为,t(312)=1+1=2,偶排列.a13a21a32的前面取+号.,例如a11a23a32,将行下标标准排列,列下标排列132的逆序数为,t(132)=0+1=1,奇排列.a11a23a32的前面取号.,其中是对列下标的所有排列求和(3!项),t是列下标排列p1p2p3的逆序数.,2、n阶行列式的定义,定义:设由n2个数排成一个n行n列的数表,作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积,并冠以符号(1)t,得到形如,其中p1p2pn为自然数1,2,n的一个排列,t为排列p1p2pn的逆序数.,的项,所有这n!项的代数和,称为(由上述数表构成的)n阶行列式.,记作,简记作det(aij).数aij称为行列式det(aij)(第i行第j列)的元素.,即,说明1.行列式是一种特定的算式,它是根据求解方程个数和未知量个数相同的线性方程组的需要而定义的;说明2.n阶行列式是n!项的代数和;说明3.n阶行列式的每项都是位于不同行,不同列n个元素的乘积,的符号为(1)t;,说明4.一阶行列式的符号|a|=a,不要与绝对值符号相混淆,一般不使用此符号.,例1:计算对角行列式,解:分析.,展开式中项的一般形式是,从而这个项为零,同理可得:p2=3,p3=2,p4=1.,所以只能p1=4;,若p14,则,即行列式中非零的项为:,(1)t(4321)a14a23a32a41,即,例2:计算上三角行列式,解:分析,展开式中项的一般形式是,所以非零的项只可能是:a11a22ann.,从最后一行开始讨论非零项.显然,pn=n,pn1=n1,pn2=n2,p2=2,p1=1,即,显然,=1458,同理可得下三角行列式,对角行列式,38,中国地质大学（北京）线性代数主讲教师：耿凤杰,上、下三角行列式,39,中国地质大学（北京）线性代数主讲教师：耿凤杰,对角行列式,结论：上三角形、下三角形及对角形行列式的值等于主对角线上n个元素的乘积,四、小结,第四节行列式的性质,42,中国地质大学（北京）线性代数主讲教师：耿凤杰,a11a12a1n,a21a22a2n,an1an2ann,行列式dt称为行列式d的转置行列式.,证明:记行列式d=det(aij)的转置行列式为:,性质1:行列式与它的转置行列式相等,即dt=d.,按定义,即bij=aji(i,j=1,2,n),又由行列式的另一种表示得,所以,dt=d,结论成立,说明:行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的结论,对列也同样成立.,性质2:互换行列式的两行(列),行列式变号.,证明:设行列式,是由行列式,互换i,j(ij(或ij)时,aij=0,即,则矩阵a分别称为上三角矩阵和下三角矩阵.,或,例如,为同型矩阵.,同型矩阵与矩阵相等的概念,1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.,给一个线性方程组,系数矩阵,增广矩阵,解方程组：,把第1个方程分别乘以（-2）、（-1）加到第2个、3个方程,把第1行分别乘以（-2）、（-1）加到第2、3行,把未知量系数和常数按原顺序写成下表,把第3个方程分别乘以（-4）、1加到第2个、1个方程,把第3行分别乘以（-4）、1加到第2、1行,把第2个方程与第3个方程互换位置,把第2行与第3行互换位置,分别把第1个方程和第3个方程乘以,分别用,乘第1行和第3行,和,和,把第3个方程分别乘以（-1）、1加到第1、2个方程,分别把把第3行乘以（-1）、1加到第1、2行,定义2（矩阵的初等行变换）,用一个非零数乘矩阵的某一行（列）；,用一个数乘矩阵的某一行（列）加到另一行（列）上；,交换矩阵中某两行（列）的位置。（换法变换）,梯形矩阵,阶梯矩阵,约化梯形矩阵,特点(1).可划出一条阶梯线,线的下方全为零;,特点(2).每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数,阶梯线上的第一个元素为非零元,即非零行的阶梯线上的第一个元素为非零元.,阶梯型矩阵：,约化阶梯型矩阵：,定理任一矩阵可通过有限次初等行变换化为阶梯形矩阵。,用初等变换将a化为行阶梯形矩阵:,定理任一矩阵可通过有限次初等行变换化为唯一约化阶梯形矩阵。,gauss消元法：线性方程组方程组的初等变换阶梯形方程组求解,增广矩阵矩阵的初等行变换阶梯形矩阵,3利用初等变换解一般线性方程组（化阶梯方程组）,这时去掉它们不影响(5)的解,(5),其中,方程组(5)中的“”这样一些恒等式可能不出现,而且(1)与(5)是同解的,也可能出现，,为了讨论的方便，不妨设所得的阶梯形方程组为,考察方程组的解的情况:,由cramer法则，此时(6)有唯一解，从而(1)有唯一解,(6),i)若这时阶梯形方程组为,其中,时，方程组(5)有解，从而(1)有解，,时，方程组(5)无解，从而(1)无解,分两种情况：,此时去掉“”的方程,此时方程组(7)有无穷多个解，从而(1)有无穷多个解.,(7),ii)若，这时阶梯形方程组可化为,其中,事实上，任意给一组值，由(7)就唯一,地定出的一组值,这样一组表达式称为方程组(1)的一般解，,表示出来,结论：就阶梯形方程组而言1有矛盾方程：无解；2无矛盾方程：有解；（1）方程个数=未知数个数：解唯一；（2）方程个数未知数个数：解无穷多：,例解线性方程组,解,对应阶梯形方程组为,因为无论取何值，都不会使第三个方程成立，所以此方程组无解，亦即原方程组无解。,例解方程组,解：,原方程组与方程组,同解。,故原方程的一般解是,，,是自由未知量。,例解下列线性方程组,解,对应阶梯形方程组为,例解齐次线性方程组,解,所以，一般解为,（为自由未知数）,注：（1）通常总是取非主元未知数为自由未知数(系数不是阶梯形矩阵主元的未知数)；（2）阶梯形方程组不含“0=0”的方程。（3）对齐次方程组消元时，只需对系数矩阵进行初等行变换,齐次线性方程组的解,定理1在齐次线性方程组,中，如果，则它必有非零解。,定理3:如果齐次线性方程组(3),的系数行列式d0,则齐次线性方程组(3)没有非零解.,(3),定理4:如果齐次线性方程组(3)有非零解,则它的系数行列式d必为零.,定理n元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式d=0。,证：充分性，若d=0,如果经过初等变换化为同解的阶梯形方程组,其中,例讨论取值与下列方程组解的关系,解,情况1且,因为阶梯形方程组无矛盾方程且方程个数=3=未知数个数故原方程组有且只有一个解。,因为阶梯形方程组无矛盾方程且方程个数=13=未知数个数故有无穷多个解。,情况2,因为，此时阶梯形方程组的最后一个方程为0=3是矛盾方程，所以原方程组无解。,情况3,gauss消元法：线性方程组方程组的初等变换阶梯形方程组求解,增广矩阵矩阵的初等行变换阶梯形矩阵,结论：就阶梯形方程组而言1有矛盾方程：无解；2无矛盾方程：有解；（1）方程个数=未知数个数：解唯一；（2）方程个数未知数个数：解无穷多：,第三节数域,一、数域,减法要求引入负数,除法要求引入分数,开方要求引入无理数,负数开偶次方要求引入虚数,nzqrc,数是数学的一个最基本的概念，回顾一下数的发展过程：,设p是由一些数组成的集合，其中包括0与1，,差、积、商（除数不为0）仍是p中的数，则称p为一个数域,如果p中任意两个数（这两个数也可以相同）的和、,常见数域：复数域c；实数域r；有理数域q；,（注意：自然数集n及整数集z都不是数域）,2.数域的定义：,若数集p中任意两个数作某一运算的结果仍在p,中，则说数集p对这个运算是封闭的,数域的等价定义：如果一个包含0，1在内的数,集p对于加法，减法，乘法与除法（除数不为0）,是封闭的，则称集p为一个数域,二、数域的性质定理,证明：设p为任意一个数域由定义可知，,于是有,进而有,而任意一个有理数可表成两个整数的商，,是一个数域,例1证明：数集,证：,又对,设,则有,设,或,矛盾）,（否则，若,则,于是有,为数域,一、n维向量的概念,二、n维向量的运算,第四节n维向量空间,三、n维向量空间,一个线性方程与一个有序数组存在一一对应关系,引例,例如:在描述一空间运动物体时,不仅与所处的空间位置(x,y,z)有关,还与时间t有关,这就是四维时空空间,用向量表示为(x,y,z,t).,机身的仰角,机身的水平转角(02);,机翼的转角(-);,确定飞机的状态,需要以下6个参数:,飞机重心在空间的位置参数p(x,y,z).,所以确定飞机的状态需用6维向量(x,y,z,)表示.,在日常工作,学习和生活中,有许多问题都需要用向量来进行描述.,称为数域p上的一个n维向量；,由数域p上的n个数组成的有序数组,称为该向量的第i个分量,注:向量常用小写希腊字母来表示；,向量通常写成一行,称之为行向量；,一、n维向量的概念,1定义,向量有时也写成一列,如果n维向量,的对应分量皆相等，即,则称向量与相等，记作,称之为列向量,2向量的相等,3特殊向量,零向量：分量全为零的向量称为零向量，记作0,即,负向量：向量则向量,称为向量的负向量，记作,k为数域p中的数，定义向量,称为向量与的和；,称为向量与数k的数量乘积,设向量,二、n维向量的运算,1定义,定义向量,1）,2）,3）,7）,8）,4）,5）,6）,2向量运算的基本性质,9），,10）若,则,即，若，则或,三、n维向量空间,定义,数域p上的n维向量的全体，同时考虑到,定义在它们上的加法、减法和数量乘法，称为数域p上的,n维向量空间，记作,若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组,2.5线性相关性,重点与难点：,1.线性组合,2.向量组等价,3.线性相关性,4.极大无关组,一、线性组合,1.定义,若向量可表成向量组的一个线性组,合，则称向量可由向量组线性表出.,若，也称向量与成比例.,则称向量,为向量组,的一个线性组合，,中的数,使,其中,叫做这个线性组合的系数.,如果有数域p,零向量0可由任一向量组线性表出.,一向量组中每一向量都可由该向量组线性表出.,任一维向量都是向量组,也称为n维单位向量组,的一个线性组合,事实上，对任意都有,若能，写出它的一个线性表示式,解：设，即有方程组,（1）,例1判断向量能否由向量组线性表出.,对方程组(1)的增广矩阵作初等行变换化阶梯阵,所以方程组(1)有解它的一般解为,得(1)的一个解，,令,从而有,1、定义,二、向量组的等价,向量组等价.,若向量组中每一个向量,若两个向量组可以互相线性表出，则称这两个,可以经向量组线性表出；,向量组之间的等价关系具有：,1)反身性,2)对称性,3)传递性,2、等价的性质,证,三、线性相关性,1、线性相关,定义1：向量组称为线性相关,如果存在p上不全为零的数,的,使,3）一向量组线性相关的充要条件是其中至少有一,个向量可由其余向量(若有的话)线性表出.,2、线性相关性的有关结论,2）一个向量组中若有一向量为零向量，则该向量,组一定线性相关.,线性表出，且表示式唯一。(习题3),都线性无关.,4）一个向量组中若部分向量线性相关，则整个向,量组也线性相关；,一个向量组若线性无关，则它的任何一个部分组,例判断向量组,是否线性相关？若线性相关，求一组非零数,使,解：,设,即有方程组,解之得,为任意数,所以线性相关.,令,则有,使,有无非零解，故,3、线性相关性的重要性质,1）充要条件,特别地，对于n个n维向量,解,例,因为,故向量组a1a2a3线性相关而向量组a1a2对应分量不成比例，所以线性无关,解,例,n维单位坐标向量组构成的矩阵为i(e1e2en)是n阶单位矩阵由|i|10所以此向量组是线性无关的.,线性无关，则向量组,简证：,两向量组相对应的齐次线性方程组分别为,定理1向量组a1a2am(m2)线性相关的充要条件是在向量组中至少有一个向量能由其余m1个向量线性表示,证明必要性,如果向量组a1a2am线性相关则存在不全为0的k1k2km，使得k1a1k2a2kmam0不妨设k10于是a1(1/k1)(k2a2kmam)即a1能由a2am线性表示,定理1向量组a1a2am(m2)线性相关的充要条件是在向量组中至少有一个向量能由其余m1个向量线性表示,证明充分性,如果向量组中有某个向量(不妨设am)能由其余m1个向量线性表示即有12m1使am1a12a2m1am1于是1a12a2m1am1(1)am0因为12m11不全为0所以向量组a线性相关,3).基本性质定理,定理2设与为两个,i)向量组可经线性表出；,则向量组必线性相关.,ii),向量组，若,要证线性相关，即证有不全为零的数,使,证：,由i)，有,作线性组合,中，方程的个数s未知量的个数r，,所以（）有非零解.,则也使,推论2任意n1个n维向量必线性相关.,推论3两个线性无关的等价向量组必含相同个数,的向量.,（任意个n维向量必线性相关.）,定义1设有向量组：a1a2am如果在中能选出r个向量a1a2ar满足(1)向量组a1a2ar线性无关(2)向量组中任一个向量都可由a1a2ar线性表示那么向量组a1