工程测量常用数学知识和计算公式总结.pdf

测量测量测量测量 计算公式 袁成才 编制 2013-6-1 平面直角坐标 纵轴为X轴且表示南北方向，向北为正， 向南为负。 横轴为Y轴且表示东西方向，向东为正， 向西为负。 象限分布为顺时针。 为了避免测区内的坐标出现负值，可将坐 标原点选择在测区的西南角上（可将测区 坐标原点加一个大数）。 六位数（如：566666.00） N X o E Y 北 袁成才 编制 2013-6-1 坐标换算（施工坐标、测图坐标） 小坐标 、 大坐标 AOB为施工坐标系，XOI为测图坐标系。 设为建筑基线上的一个主点，它在施 工坐标系中为A,B，在测图坐标系中 的坐标为X,Y，X0,Y0为施工坐标原 点在测图坐标系中的坐标，a为X轴与A轴 之间的夹角。将点的施工坐标换算成 测图坐标，其计算式为（见下图） X=X0+Acosa-Bsina Y=Y0+Asina-Bcosa 将测图坐标换算成为施工坐标，其计算式为： A=(X-X0）cosa+（Y-Y0）sina B=(X-X0）sina+（Y-Y0）cosa O 1B 2B 3B 3A 2A 1 A A B Y Y0 o B A x0 x a 袁成才 编制 2013-6-1 任意距离点F的坐标（已知X1,Y1；X2,Y2)求X3,Y3坐标。 三角函数 sinA=（Y1-Y2)/d得出A X3=X1+FcosA Y3=Y1+FsinA X1 Y1 A点 X3 Y3 X2 Y2 B点 d（L） F 袁成才 编制 2013-6-1 在平面内，已知A点，B点坐标，亮点见得距离公式 设：A点（y1,y1) B点（x2,y2) 则：角度=cos-1(y2-y1)/(x2-x1) C A B （三角函数） 22 y2)+(y1+x2)-x1|=AB| 22 C+A=B 袁成才 编制 2013-6-1 测量中常用数学基础知识 一、几何基础知识 1、换算 角度的表示通常有角度值和弧度制两种。 1圆周=360 1=601=60 360=2弧度 180=弧度 弧度 180 1 =520626） 180 （1弧度 = = 袁成才 编制 2013-6-1 测量中常用数学基础知识 二、三角形 （1）三角形内角和等于180 （2）三角形面积等于 三角形的面积： （3）在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。 高）底( 2 1 a C B B A a b c C sin 2 1 BCA= )( )( 22 22 22 222 bcbcbca acacacb bac bac = += += += 袁成才 编制 2013-6-1 测量中常用数学基础知识 （4）已知：正长和角度，求斜长。 斜长=正长除以cosa 3、在圆中，圆心角的度数等于它所对弧的度数如图 式中：R-半径 a-弧度 正长增量（斜长） 正长 = acos a 正 长 斜长 A C B O M R a 2 a 圆心角 aRACB=弧长 ) 2 cos1 ( 2 cos 2 sin22 2 sin a R a RRMC a RAMAB a RAM = = = 袁成才 编制 2013-6-1 测量中常用数学基础知识 （二）三角函数基础知识与测量直角坐标系 D12sinaY12Y D12cosaX12X += += 增量（坐标正算） 袁成才 编制 2013-6-1 测量中常用数学基础知识 （二）三角函数基础知识与测量直角坐标系 如图为测量直接坐标系，数学上的三角和解析几何中的有关公式，可以直接应用 到测量计算中来。 1、三角函数的定义，角a的三角函数正弦（sina）余弦（cosa）正切（tana） 余切（cota）正割（seca）余割（coseca）分别定义如下： 12x 12 tan 12 12x cos 12 12 sin = = = y a D a D y a 邻边 对边 斜边 邻边 斜边 对边 12y 12 coseca 12x 12 sec 12y 12x cot = = = D D a a 对边 斜边 邻边 斜边 对边 邻边 O a 1（x1，y1） x12 y12 2（x2，y2） D12 角a的反三角函数分别用以下符号表示：arcsina（反正弦） arccosa（反余弦）arctana(反正切）arccota（反余切） 袁成才 编制 2013-6-1 测量中常用数学基础知识 2、坐标正算。如图已知x1，y1 a D12 求 x2，y2。 x12=D12cosa y12=D12sina x2=x1+x12 y2=y1+y12 3、坐标反算。如图已知x1，y1 ；x2， y2求D12和a x12 y12 arctan a y12 x12y1) (y2x1) (x2 D12 2 2 2 2 = +=+= 袁成才 编制 2013-6-1 坐标反算时，角度a的象限确定见下图和表，角度a是从X轴 顺时针旋转到直线01.02.03.04形成的夹角。 坐标反算 象限象限01 010101（北东）（北东） 02020202（东南）（东南） 03030303（南西）（南西） 04040404（北西）（北西） x +-+ y +- a 09090180180270270360 袁成才 编制 2013-6-1 坐标反算 例题：如图所示，MN为场地两控制点，欲建立以AB，CD为主轴线的施工方 格网.(建筑工程测量）p124-125页 解：测设步骤如下： （1）在施工总平面上布设方位格控制网，计算出各点坐标（注意，控制点 坐标与方格网的坐标必须是同一建筑坐标系，用X,Y表示）。各点坐标如 下 xm=533.200ym=275.420 xb=700.00yb=650.000 xn=574.830yn=556.750 xc=800.00yc=450.000 xo=700.00yo=450.00 xd=600.00yd=450.000 xa=700.00ya=250.00 CASi0fx-4850P型计算器数值转换成角度步骤 按 + 输数值 10COS EXE（=角度） SHIFTtan-1SHIFT=DMS=DMS SHIFTANS 袁成才 编制 2013-6-1 坐标反算 （2）计算测设数据。 确定以N点位极角的计算式为 0375572528822349 25287976arctan0.14 Ynm Xnm arctan )o 164.509m(NyXS 8223492553arctan1.17 YNo XNo arctana NO 2 NO 2 NO = + =+= = =+= = （3 3 3 3）实测）实测 1 1 1 1）在N点安置经纬仪，后视M点，以正镜，倒镜顺时针测575730角，定出NO方向 线，从N点起量164.509m定出o点，这时主轴线交点就测出来了。 2 2 2 2）移仪器于o点，后视N点，逆时针测a=493228（顺时针测a1 3102732正倒镜 取中，定出OB方向线，从O点起量200m，定出B点，正倒镜180，定出OA方向线，从o点 起量200m定出A点，这样方格网基线即测完。转90定出OC方向，从o点起量100m，顶出C 点。再倒镜180，定出OD方向，从o点起量100m，定出D点，纵横两条主轴线测设完毕， 纵横轴线直角误差不赢超过5。 袁成才 编制 2013-6-1 坐标的解析计算 一、点在平面直角坐标系的表示方法 平面直角坐标系是由两条互相垂直的坐标轴所组成的。 两条轴线的交点称坐标原点，与原点相交的两坐标轴值为零. 如下图所示，在平面上任意一点至Y轴的垂直距离叫做该点的纵坐标用X表示。至X 轴的垂直距离叫做该点的横坐标，用Y表示。 地面上任意一点的平面位置，在图纸上通常用A（x，y）表示。图中A点坐标 X=150m，y=170m，可写成（150，170）。 y xa O ya x A 袁成才 编制 2013-6-1 坐标的解析计算 二、坐标增量 两点的坐标之差叫坐标增量，纵坐标差叫纵坐标增 量 ，用x表示。横坐标之差叫横坐标增量，用y表示。 在图中，若A点坐标为A（xa，ya）， B点坐标为B（xb，yb），则A点对B点的增量为 x=xa-xb y=ya-yb 三、计算两点间的距离 从右图中看出，用为x与y互相垂直，就组成以 x和y为直角边的直角三角形，AB距离L是三角形 的斜边，所以AB两点距离 22 yxL+= o y ba x a b L x y A（xa，ya） B（xa，ya） a 三角关系 坐标增量 袁成才 编制 2013-6-1 坐标的解析计算 （例1）设A（xa=567.600，ya=763.450）,B （xb=483.260，yb=712.710），求增量 x=？y=？两点间的距离L=？。 解：纵坐标增量 x=xa-xb=567.600-483.260=84.340m y=ya-yb=763.450-712.710=50.740m 两点距离 myxL427.98740.50340.847 2222 =+=+= y ba x a b L x y A（xa，ya） B（xa，ya） a 三角关系 坐标增量 袁成才 编制 2013-6-1 坐标的解析计算 四、直线与坐标轴的夹角 在图中，如果过B点作两条坐标轴不限，从图形中可以得出这样的三角关系： AB两点斜线对横轴的夹角a 68558 66220.1 740.50 340.84 y x tga ) :1 ( L x cos L sin y x x y tg AB cos y x sina y x tga = = = = a a y a ctga y x a x y ctga y ba x a b L x y A（xa，ya） B（xa，ya） a 三角关系 坐标增量 45131 51551 . 0 427.98 740.50 sin = = = L y sinaLy cosaLx cosaLy sinaLx = = ? 以上是由已知两点坐标来计算距离和角度，利用 公式也可以用已知距离和角度来计算坐标增量即： 袁成才 编制 2013-6-1 坐标的解析计算 如图已知AB两点距离L=98.427m,AB两点斜线 与横轴夹角a=58586求A点对B点的增 量x=？，y=？ 解： sina=sin58586=0.85688 cosa=cos58586=0.51551 x=Lsina=98.4270.85688=83.340m x=Lcosa=98.4270.51551=50.740m y ba x a b L x y A（xa，ya） B（xa，ya） a 三角关系 坐标增量 袁成才 编制 2013-6-1 坐标的解析计算 五、求两条直线的夹角 已知ABC三点，求以C点位极角的a=?,线段AC=?,BC=? 三点坐标分别为： xa=337.200 ya=312.100 xb=310.700 yb=325.400 xc=272.300 yc=157.300 解：1、画图 1）根据已知点坐标，吧点位大致标在坐标平面上 （点位的上下左右关系是，纵轴大者在上，横轴大者在右） 2）过C点（极角作纵横坐标补线，这时两条直线间的角 度关系就明朗化了。 2，计算坐标增量 （1）A点对C点的增量 xac=xa-xc=337.200-272.300=64.900m yac=ya-yc=312.100-157.300=154.800m （2 2 2 2）B B B B点对点对点对点对C C C C点的增量点的增量点的增量点的增量 xbc=xb-xc=310.700-272.300=38.400m ybc=ya-yc=325.400-157.300=168.100m 袁成才 编制 2013-6-1 坐标的解析计算 3、计算对坐标轴（横轴）的夹角 1）AC斜线对横轴的夹角 4、求线段长 2）BC斜线对横轴的夹角 3）两条线AC、BC的夹角 544422 41925. 0 800.154 900.67 = = = yac xac tg 32512 22844. 0 100.168 400.38 = = = ybc xbc tg 2425932512544422 = = mbcybcxBC macyacxAC 430.172100.168400.38 854.167800.154900.64 2222 2222 =+=+= =+=+= 袁成才 编制 2013-6-1 坐标的解析计算 4)、已知ABC三点，求以C点为极角的=？三点坐标为： xa=633.000 ya=774.700 xb=626.000 yb=657.680 xc=578.000 yc=734.000 解：1、画图 根据三点坐标，吧点坐标在坐标平面上。过极角作坐标 轴补线。如图： 2、计算坐标增量 1）A点对C点的增量 xac=xa-xc=633.000-578.000=55.000 yac=ya-yc=774.700-734.000=40.700 2）B点对C点的增量 xbc=xb-xc=626.000-578.000=48.000 ybc=yb-yc=657.680-734.000=-76.320 3）计算两条线直线对坐标轴的夹角 从作图中看到，两直线在纵轴两侧，因此计算对纵轴 的夹角比较方便 3029485945750336a 3 859457 59000. 1 000.48 320.76 xbc ybc tg 2 50336a 74000. 0 000.55 700.40 xac yac tga a) 1 ( = + =+= = = = = = = ? ? ? BC AC 袁成才 编制 2013-6-1 坐标的解析计算 （例5）已知ABC三点，求以C点位极角 的=？AC=?BC=? 三点坐标为： xa=439.120ya=932.450 xb=362.640yb=854.300 xc=417.300yc=877.200 解： 1、画图 过极角作坐标纵横轴补线，吧点标在坐标 平面上 2、计算坐标增量 1）A点对C点的增量 xac=xa-xc=439.120-417.300=21.820 yac=ya-yc=932.450-877.200=55.250 2）B点对C点的增量 xbc=xb-xc=362.640-417.300=-54.660 ybc=yb-yc=854.300-877.200=-22.900 4561134902534222332190a 3 253422 41895. 0 660.54 900.22 xbc ybc tg 2 23321a 39493. 0 250.55 820.21 yac xac tga a) 1 ( ) 3 =+ + =+= = = = = = = ? ? ? BC AC m ybc BC m a xac AC 263.59 38641.0 900.22 sin )2( 403.59 36732.0 820.21 sin )1( 38641.0253422sinsin 0.36732233sin21sin BC,AC ) 4 = = = = = = = = 袁成才 编制 2013-6-1 坐标解析计算应用注意如下几个问题- 小结 首先要建立以纵，横坐标增量为直角边而组成直角三角形的概念；否则了其 它计算江无从下手。 计算直线与坐标轴的夹角都是锐角，计算三角函数时，直线与Y轴的夹角对应 边为x。直线与X轴夹角对应边为y。换算过程注意不要弄错。 计算两条直线夹角（称极角）时，要先分别算出两个锐角，然后再相加（如 例4）或相减（如例3）算出夹角。 在坐标平面上标点（画图）时，要注意点位上下左右关系，防止相对位置标 错，误将两角相加变相减（或相减变相加）造成错误。 两控制点钟任意一点都可以做为极角（观站点），其计算结果是一样的，但 认定一点后，现场施测时必须用这一点作为测站。否则因极点不同，原计算 数据部能使用 必须使用同一坐标值，建筑坐标或测量坐标；施工坐标或测图坐标； 小坐标或大坐标 两者不能混用袁成才 编制 2013-6-1 大坐标换成小坐标实例 如下图：已知A、B、C、D点大坐标，换算 成小坐标（施工坐标） A点大坐标 XA=500.900YA=421.296 B点大坐标 XB=505.411YB=477.114 C点大坐标 XC=520.835YC=419.685 D点大坐标 XD=525.346YD=475.503 1）以A为原点（测站点）计算C点（后视点） 对纵轴角度差及距离e a a ? ? 14.62018307角差 519.9999886距离r E421.296）EX9.685500.900，4120.835SHIFTpol（5 = = 袁成才 编制 2013-6-1 大坐标换成小坐标实例 例1）将B点大坐标换成小坐标 解：设A点小坐标（原点）xa=0.000，ya=0.000 1、B点对A点的增量 xBA=505.411-500.900=4.511 yBA=477.114-421.296=55.818 2、转换为极坐标（r=？ =？）BA对纵轴夹角及距离 SHIFTpol(4.511,55.818)EXE r=55.99998433 =85.37961296 3、加角度差a（后视与测站点对X轴角度差） =85.37961296+4.620183071=89.99979603=90.000 4、转换为直角坐标（B点小坐标）X=?,Y=? SHIFT rec（55.99998433，90.000） Xb小=0.000 yb小=55.999 袁成才 编制 2013-6-1 大坐标换成小坐标实例 例2）将D点大坐标换成小坐标 1、D点对A点（测站点，原点）增量 xDA=525.346-500.900=24.446 yDA=475.503-421.296=54.207 2、转换为极坐标（r=？ =？）DA对纵轴距离及 夹角 SHIFTpol（24.446，54.207）EXE r=59.46432346 =65.7258172 3、加角度差a（后视与测站点对X轴角度差）AC对 X轴夹角 =65.7258172+4.620183071=70.34600027 4、转换为直角坐标（D点小坐标）x=？，y=？ SHIFTrec（59.46432346，70.34600027）EXE Xd小=20.000 Yd小=55.999 袁成才 编制 2013-6-1 大坐标换成小坐标实例 例3）将C点大坐标换成小坐标 1、C点对A点（原点 、测站点）增量 xCA=520.835-500.900=19.935 yCA=419.685-421.296=-1.611 2、转换为极坐标（r=？ =？）CA对纵轴距离及 夹角 SHIFTpol（19.935，-1.611）EXE r=19.99998868 =-4.620183071 3、加角度差a（CA对x轴（纵轴）夹角 =-4.620183071+4.620183071=0.000 4、转换为直角坐标（C点小坐标）x=？，y=？ SHIFTrec（19.99998865，0.000）EXE Xc小=19.999 Yc小=0.000袁成才 编制 2013-6-1 小坐标换成大坐标实例 施工图坐标换成大地坐标 如上图： 已知A点（原点，测站点），C点（后视点）坐标