等比数列知识要点.doc

知识要点1 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为。2 递推关系与通项公式3 等比中项：若三个数成等比数列，则称为的等比中项，且为是成等比数列的必要而不充分条件。4 前项和公式5 等比数列的基本性质， 反之不真！ 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列。 仍成等比数列。6 等比数列与等比数列的转化 是等差数列是等比数列； 是正项等比数列是等差数列； 既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列。7 等比数列的判定法定义法：为等比数列；中项法：为等比数列； 通项公式法：为等比数列；前项和法：为等比数列。1 2 已知数列是等比数列，且70 （问题引入）猜想：是等比数列，公比为。证明如下： 即：，是首项为，公比为的等比数列。 二、性质运用例2：在等比数列中，求，若 在等比数列中，若，则有等式成立，类比上述性质，相应的在等比数列中，若则有等式 成立。 解：由等比数列的性质可知： 由等比数列的性质可知，是等差数列，因为由题设可知，如果在等差数列中有成立，我们知道，如果，而对于等比数列，则有所以可以得出结论，若成立，在本题中点拨：历年高考对性质考查较多，主要是利用“等积性”，题目“小而巧”且背景不断更新，要熟练掌握。典例精析一、 错位相减法求和例1：求和： 解： 由得：点拨：若数列是等差数列，是等比数列，则求数列的前项和时，可采用错位相减法； 当等比数列公比为字母时，应对字母是否为1进行讨论； 当将与相减合并同类项时，注意错位及未合并项的正负号。二、 裂项相消法求和例2：数列满足=8， （） 求数列的通项公式；则所以，=8（1）（2）102 对一切恒成立。故的最大整数值为5。点拨：若数列的通项能转化为的形式，常采用裂项相消法求和。 使用裂项消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项。三、 奇偶分析法求和例3：设二次函数 1 在等差数列中，=1，前项和满足 求数列的通项公式 记，求数列的前项和。解：设数列的公差为，由所以=由，有 所以 得课外练习 数列的前项和为，若等于（ B ）2的定义域为，且是以2为周期的周期函数，数列是首项为，公差为1的等差数列，那么的值为（ C ）A1 B1 C0 D10解：因为函数的定义域为，且是以2为周期的周期函数，所以又数列是首项为，公差为1的等差数列故原式=0，选C。3设等比数列的公比与前项和分别为和，且1，4数列满足，则数列的前项和为= ）5数列的前100项的和为。（）6. 设an是等比数列，且a1=，S3=，则它的通项公式为an= ( )(A) (B) (C) (D)或7. 已知a、b、c、d是公比为2的等比数列，则= ( )(A)1 (B) (C) (D)8. 已知等比数列an 的公比为q，若=m（n为奇数），则= ( )(A)mqn1 (B) mqn (C) mq (D) 9、已知等比数列前10项的和为10，前20项的和为30，那么前30项的和为( )(A)60 (B)70 (C)90 (D)12610.若an是等比数列，已知=512，a2+a9=254，且公比为整数，则数列的a12是 ( )(A)2048 (B)1024 (C)512 (D)51211、数列an、bn都是等差数列，它们的前n项的和为，则这两个数列的第5项的比为 ( )(A) (B) (C) (D)以上结论都不对12、已知，则a，b，c ( )(A)成等差数列 (B)成等比数列(C)既成等差数列又成等比数列 (D)既不成等差数列又不成等比数列13、若a+b+c，b+ca，c+ab，a+bc成等比数列，且公比为q，则q3+q2+q的值为 ( )(A)1 (B)1 (C)0 (D)214、若一等差数列前四项的和为124，后四项的和为156，又各项的和为350，则此数列共有 ( )(A)10项 (B)11项 (C)12项 (D)13项15、在3和9之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则二数之和为 ( )(A) (B) (C) (D)16、等比数列an中, a1+a2+a3+a4=80, a5+a6a7+a8=6480, 则a1必为_.17.有两个各项都是正数的数列