（光学专业论文）激光混沌的相空间重构研究.pdf

摘要 激光混沌在光信息技术，保密通信技术等方面有着广泛的应用。实际产生混沌的 系统可能会涉及多个变量，但只有其中的部分变量可以观测。通常我们并不能直接得 到系统的内部特征，能获得的信息只是关于某一变量的时间序列。近年来发展起来的 相空间重构方法能够通过单变量信息重构吸引子，从而分析该数据的内在动力学系统 的特征。因此，相空间重构技术对于混沌理论的实际应用是非常重要的。 本文以延迟坐标状态空间相空间重构方法及嵌入定理为基础，对相空间重构的具 体方法进行了理论分析；以l o r e n z 系统和r o s s l e r 系统等典型混沌系统为例，验证了 所采用相空间重构方法的可行性；通过数值模拟，完成了对半导体激光器产生的混沌 时间序列的相空间重构，为进一步研究激光混沌的动力学特性奠定了基础。 关键词：激光潺沌 时间序列相空间重构延迟时间 嵌夕雌 吸引子 李雅普诺夫指数 a b s t r a c t t h ec h a o t i cl a s e rh a sb e e nw i d e l yu s e di nt h eo p t i c a li n f o r m a t i o nt e c h n o l o g ya n dt h e s e c r e tc o m m u n i c a t i o nt e c t m o l o b r y a r e a lc h a o t i cs y s t e mh a sm a n yv a r i a b l e s ，b u to n l yo n eo r m o r eo ft h e mc a nb ed e t e c t e d w ec a n to b t a mt h ei n t e r n a lc h a r a c t e r i s t i c so ft h es y s t e m d i r e c t l y , t h eo n l yt h i n gt h a tc a l lb eo b t a i n e di st h et i m es e r i e so fs o m ev a r i a b l e s i nr e c e n t y e a r s ，t h et e c h n i q u eo fp h a s es p a c er e c o n s t r u c t i o ni sa p p u e dt oc o n s t r u c tt h ea n r a i c t o rf r o m s i n g l ev a r i a b l ei n f o r m a t i o na n da n a l y s et h ei n t e r n a lc h a r a c t e r i s t i c so ft h es y s t e m 。t h e r e f o r e ， i ti sv e r yi m p o r t a n to fp h a s es p a c er e c o n s t r u c t i o nf o r t h ep r a c t i c a la p p l i c a t i o no fc h a o s t h e o r y o nt h eb a s i so ft h em e t h o do fd e l a y sa n de m b e d d i n gt h e o r e m , t h et h e o r ya n dm e t h o d s o fp h a s es p a c er e c o n s t r u c t i o na r ei n v e s t i g a t e di nt h et h e s i s t h ev a l i d i t yo ft h em e t h o di s p r o v e db yb e i n ga p p h e d t ot h el o r e n zs y s t e ma n dr o s s l e rs y s t e m n u m e r i c a ls i m u l a t i o ni s c o m p l e t e df o rt h ep h a s es p a c er e c o n s t r u c t i o no ft h ec h a o t i ct i m es e r i e sw h i c hi sc r e a t e db y t h es e m i c o n d u c t o rl a s e ra n dl a i dt h ef o u n d a t i o nf o rt h ef u r t h e rs t u d yo ft h ed y n a m i c so f c h a o t i cl a s e r k e yw o r d s ：t h ec h a o t i cl a s e r t i m es e r i e s p h a s es p a c er e c o n s t r u c t i o nd e l a yt i m e e m b 9 d d i n gd i m e n s i o n a t t r a c t o r l y a p u n o ve x p o n e n t 长春理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的硕士学位论文，激光混沌的相空间重构研究是本人在指导教师的 指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他 个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：扬始垄堕年主月堑日 长春理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解。长春理工大学硕士、博士学位论文版权使用规定”，同 意长春理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和 借阅。本人授权长春理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可 采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文 作者签名：盎丕丛上生堡兰年王月! ! 日 指导导师签名：富挫鱼益! 星年。l 月旦日 第一章绪论 混沌这门科学自2 0 世纪8 0 年代以来以惊人的速度向前发展着，它几乎覆盖了一 切学科领域，尤其是在物理学、天体力学、数学、生物学、经济学等方面得到了广泛 的应用。混沌是一种普遍现象，在学科上属于非线性动力学，它是在确定性系统中产 生的貌似随机运动的不规则运动，这种非周期运动对初始条件极其敏感。混沌状态广 泛存在于自然现象和社会现象中，对混沌理论和方法的研究将大大加深对这些自然现 象和社会现象的认识。 混沌研究的鼻祖是1 9 世纪法国物理学家、天文学家庞加莱。他在研究保守系统天 体力学时，发现了三体引力相互作用可以产生惊人的复杂性，一个确定性动力学方程 的某些解具有不可预见性，这实质上就是现在所讲的“混沌现象”1 9 6 3 年，美国气 象学家e n l o r e n z 在研究大气在温度梯度作用下的自然对流系统时发现：在三阶非线 性自治系统中可能会出现混乱解。1 9 7 5 年，美籍华人学者李天岩和美国数学家 j y o r k e 在美国数学月刊上联名发表了一篇震动整个学术界的论文周期三蕴涵 混沌“1 ，这是一个关于混沌的数学定理，它率先引入了“混沌”一词。1 9 7 7 年，第 一次国际混沌会议在意大利召开，混沌科学由此正式诞生。 光学系统中的混沌包括激光混沌、光学双稳态混沌、非线性光学效应混沌嘲。早 在2 0 世纪6 0 年代初激光器研制出来后，就在实验上观察到激光器输出的尖峰效应及 跳模现象，存在确定性混沌。1 9 7 5 年h h a k e n 田在理论上预言存在激光混沌。他在研 究激光器不稳定性结果的基础上，建立了描写均匀加宽激光器混沌的方程组，即洛仑 兹一哈肯方程，并预言了这类激光器产生混沌的条件。1 9 8 0 年t y a m a d a 等人，从理论 上指出通过增加激光器的自由度数目，一些激光器可以产生混沌嘲。进入2 0 世纪8 0 年代，在一系列的激光器中观测到混沌。1 9 8 2 1 9 8 5 年，人们先后在c o ：激光器、h e n e 激光器旧，x e 激光器研及n i 。激光器哪和半导体激光器帆中观测到了混沌。 混沌的离散情况常常表现为混沌时间序列，混沌时间序列在电力系统短期负荷预 测、殷价波动的混沌度分析、水文预报、转子剩余寿命预报、计算机软件失效的预测、 边坡位移、d n a 序列等方面有广泛的应用。混沌时间序列中蕴含着系统丰富的动力学 信息，如何提取这些信息并应用到实际中去是混沌应用的一个重要方面。在对混沌时 间序列的各种分析中，如混沌预测、动力学不变量的估计、混沌信号的诊断等，所要 进行的第一步工作是要对混沌信号进行相空间重构。因此，相空间重构技术对于非线 性动力系统的研究有着十分重要的作用。 相空间重构概念最早出现在统计学领域中，后被n h p a c k a r d ，d r u e l l e 。 f t a k e n s 等人先后引入动力学体系中。系统中独立变量构成的空间称为相空间，通过 对系统相空间的分析，可以了解系统的动力学特性。但是对于实际系统而言，大量非 线性系统的内部结构并不清楚，相空间并不知道，其外部特性通常只能是某一个单变 量的时间序列，即只知道系统的一些响应信号，表现为时间序列的形式，如语音信号， 心电信号等。分析单变量时间序列可以得到原系统的许多动力学特征。时间序列的非 线性特征是系统呈现混沌现象的重要因素之一，分析处理混沌系统问题的方法包括理 论分析、数值仿真、实验验证等方法。非线性系统所产生的时闻序列虽然在数据流上 表现为一维现象，却是由复杂的非线性动力学原因所产生的，要解读其复杂的背景原 因，恢复或近似模拟其潜在的高维动力学环境是非常重要的基础工作之一，这就是相 空间重构在处理非线性系统过程中的重要作用。 最初提出相空间重构的目的在于在高维相空间中恢复混沌吸引子。为了根据实验 观测数据来研究未知的动力系统，n h p a c k a r d 和f 。t a k e n s 根据惠特尼拓扑嵌入定理 提出重构动力学轨道相空间重构法“”，从时间序列形式的实验数据直接计算得到系 统的奇异吸引子的统计特征，如分数维、l y a p u n o v 指数和k o l m o g o r o v 熵等混沌特征 量。而且，f t a k e n s 对延迟坐标状态空间法以定理的形式给予严格的证明，从而奠定 这一方法的理论基础。 接下来，在具体实施相空间重构过程中，如何正确确定嵌入维数和合理选择时间 跨度成为两个关键因素。1 9 8 6 年，d s b r o o m h e a d 和g p k i n g 引进p c a 方法来解决嵌 入维数的确定问题“”，同年，a 也f r a s e r 和h l s v i n n e y 提出互信息的概念“，后来 推广为冗余信息来解决时问跨度的选择闻题。 为了重构一个正确的相空阊，必须选择合适的延迟时间和嵌入维数。近年来，人 们从不同角度出发，已经提出了很多种选择延迟时间的方法。d k u g i u m t z i s 等指出延 迟时间与嵌入维数的选取存在较强的关联。 且瓤曲于人类对于许多未知的复杂系统缺乏先验知识，混沌时序的相空间重构 技术在国民经济的各个部门中不仅非常重要，而且也得到了广泛的运用，事实上它是 混沌理论在实际问题中得以佐证的一个重要方面。 本文研究的是激光混沌的相空间重构。主要针对来自确定动力系统的混沌数据和 激光产生的混沌时问序列，重构吸引子的相空间，并结合某些实例进行相空闻重构方 法的探讨。基于此可以恢复或近似模拟其潜在的高维动力学环境，从而得到原系统复 杂的动力学特征，对它产生的机制和本质了解的更加深刻，让它更好地为我们所用， 这也正是本文的意义所在。 2 第二章混沌时间序列分析 2 1 混沌动力学 2 1 1 混沌 混沌是服从确定性规律但具有随机性的运动。所谓服从确定性规律，是指系统的 运动( 或演化) 可以用确定的动力学方程表达，而不像噪声那样不服从任何动力学方 程。所谓运动具有随机性，是指不能像经典力学中的机械运动那样由某时刻状态可以 预言( 或预测) 以后任何时刻的运动状态，混沌运动倒是像其他随机运动或是噪声那 样，其运动状态是不可预言的，换言之，混沌运动在相空间中没有确定的轨道。 e n l o r e n z 把混沌运动这种在确定性系统中出现的随机性称为“貌似随机” 2 1 2 混沌运动的一些特点 ( 1 ) 混沌运动是决定性和随机性的对立统一，即它具有随机性但又不是真正的或 完全的随机运动。 、 通常所说的随机性不仅是非周期的，而且不服从确定的动力学规律，从而其随时 间的演化是完全不可预言的。也就是说，它不服从因果律。因此过去一直认为，随机 性与决定性或因果性是截然对立的。但是混沌运动是在确定性系统中发生的，这与完 全随机运动有着本质的区别：( i ) 混沌运动服从确定的动力学规律；( i i ) 混沌振荡虽 具有随机性且不是规则的j 但其运动也不是完全杂乱无规的；( i i i ) 虽然混沌运动在整 个时间进程中具有随机性，即在较长时间上不能对其运动作出预言，或者说它不服从 因果律，但是在较短的一定的时间范围内，预言还是可能的，或者说，因果律并未被 完全否定。因此，混沌运动是决定性和随机性的对立统一。 ( 2 ) 对初始状态的敏感依赖。 系统作通常规则运动时，无法避免的涨落或噪声干扰所引起的初始条件的微小变 化一般只引起运动状态的微小差别。即初始状态很接近的轨道总是很接近的，甚至可 能趋于一致。 混沌运动则不然，由于系统无法避免的涨落( 内禀的噪声) ，初始条件的微小差别 往往会使轨道按指数形式分开。以下述受迫达芬方程为例： 膏+ 0 3 跨一工+ ，1 0 3 1 c o s l 2 f ( 2 1 ) 用计算机求解此方程：当两初始条件相差极小时，解z ( f ) 随时间变化如图所示。 3 图2 1 受迫达芬方程两个邻近初始条件的x t 曲线 可以看出，时间不长时，两个解差别极小以致不能分辨。但随着时间增长至超过 某一临界值t 时，两个解的差别越来越大，最后就变得完全分道扬镶了。e n l o r e n z 称混沌运动这种对初始条件的敏感依赖性为蝴蝶效应； 可以说，蝴蝶效应是区别混沌同其他确定性运动的最重要标志。因为不但经典力 学中常见的各种确定性运动不具有蝴蝶效应，即使貌似具有随机性的准周期运动也不 具有蝴蝶效应，因为准周期运动的初始条件的微小差别不会使两相邻轨道分道扬镶。 ( 3 ) 只有非线性系统才可能作混沌运动。 对于线性微分方程，初始条件给定了，它就有确定的解。也就是说，线性系统不 可能作有随机性的混沌运动。因此，混沌运动只可能出现在非线性系统中。 2 1 2 洛仑兹方程和混沌 一 1 洛仑兹方程 美国气象学家e n l o r e n z 在研究区域小气候时，发现混沌现象，于1 9 6 3 年提出 洛仑兹方程。 如图2 2 所示，温度为t 、厚度为h 的一层流体，如将底层均匀加热( 模拟大气在 地表受阳光加热时的情形) ，上层不加热，上下层之间有温差a t 。当t 大于某一定 值时，该层流体出现六角形的对流花样。 啦咝 ( a )( b ) 图2 2 瑞利一贝尔纳德对流 4 分析这一热对流问题，取主要的对流模式为滚动形对流。简化后，得到了以下三 个常微分方程： x - 一o x + d y y r x y x z ( 2 2 ) z - x y b z 式( 2 2 ) 中的x 表示对流动运动的振幅，y 表示上升流与下降流的温度差，z 表 示垂直温度分布与线性温度廓线的偏差。口一，k ，表示流体分子的粘性系数v 与热 传导系数k 的比，称为普朗特( p r a n t l ) 数，b 为几何因子，没有直接的物理意义， ，- r r , ，r 为瑞利数，兄- g a h 3 a v v k ，g 表示重力加速度，口为热膨胀系数，r 是恐的临界值，是产生定态对流时的瑞利系数，r 的最小值为墨= 2 7 x 4 4 。所以，r 是方程( 2 2 ) 的控制系数，当r = l 时，即兄- r , 时发生对流。 2 定态解 用x o ，k 和z o 表示定态，则( 2 2 ) 的定态方程为： f 町蜀+ 噶一0 一k j 编- 0 ( 2 3 ) l 锅一b z o - o 由( 2 3 ) 式求出三组定态解： ( 1 ) 当r 取任何值时，有定态解为 x 1 0 - 0 , y , o - o ，z 1 0 一0 ( 2 4 ) ( 2 ) 当r l 时，有定态解为： x z a - 6 ( r 一1 ) ，l 二一乒( ，一1 ) ，z 。- r 一1 ( 2 5 ) ( 3 ) 当r 1 时，有另一组定态解为： 扣( r 一1 ) ，r ( r 一1 ) ，z 。- r - 1 ( 2 6 ) 3 定态解的稳定性分析 ( 2 2 ) 的线性化方程为： # - - o r 。三一x 。o 眵y ik 蜀- 6i i z ( 2 7 ) 对第一组定态解五。一一z l o 一0 ，得到决定特征值 的方程为： ( a + 6 ) a 2 + ( 口+ 1 ) + o ( 1 一r ) 】一0 ( 2 8 ) 由方程( 2 8 ) 求出的特征值为： 尢- b 。 如一丢【一( a + ，) + 、 ：i ：j j i ：i 丽1 2 9 - 丢 。( ，+ - ) ，、 ：i ：j j f 二j ：_ i i 习】 上述结果表明，当，在0 至1 之间取值时，即o j l 时，则 ：变为正实数， 定态失稳。当，；1 盹即在阈值时，三个特征值为： - b ，九一o ，九- - ( o + 1 ) ( 2 1 0 ) 此时，系统有个模式进入介稳状态。 再来研究第二、第三组定态解的稳定性。由式( 2 5 ) ，( 2 6 ) 得到的特征方程为： a 3 + ( 盯+ 6 + 1 ) a 2 + ( r + 仃) 厶a + 2 6 盯( ，一1 ) - 0 ( 2 1 1 ) 三个特征根是一个实根和一对共轭复根。若- 2 项和 项的系数之积为常数项，则共 轭复根是纯虚数，此时 ，。名盯掣 ( 2 。1 2 ) ，。名。盯i 坦。 上式的白是定态对流失稳的阈值。若仃( 6 + 1 ，定态对流是稳定的；而口，6 + 1 ，对足 够大的瑞利数，定态对流是不稳定的。对盯- 1 0 ，b 8 3 ，阈值名- 2 4 7 4 。若将定 态解( 2 9 ) ，( 2 1 0 ) 表示为： ( 土瓜两，预两，r _ 1 ) ( 2 1 3 ) 所以，；i ! e l r r u 范围内，c l 和c 2 是平衡点，在r - 珞外，复本征值与虚轴相交，发 生霍普夫分岔，平衡点c ，c 失稳。 6 表2 - 1r 取不同值时l o r e n z 方程( 口- t o , b - 8 3 ) 的运动情况 r 范围相空间中的运动情况 o 0 。当z 很小，系统处于x y 平面( z = o 平面) 附近时，轨线仍是从p 或原点发出的螺旋线。但当x 增大至x c 时，方程( 2 1 4 ) 第三式中z 的系数大于零，从而使2 的值随着z 的增大而不断增大。从方程( 2 1 4 ) 第 一式可知，这将使x 停止增大并变为减小。于是将出现x 和z ( 随之还有y ) 反复增大 和减小( 图2 5 ) ，从而也要使系统是有界的。 9 i 睡，。i 溪 图2 5 若斯勒方程( a ：0 2 ，b = o 2 ，c = 5 7 ) 在相空间中的轨线和吸引子 从以上可以看出，若斯勒系统能够使各变量来回变化的关键在于方程( 2 1 4 ) 第三 式中z 的系数( x - c ) 能正负变化。也就是式中有x z 这样的非线性项。因此这种振荡是 非线性引起的。这种振荡的表现依赖于各变量a 、b 和c 的取值，它既可能是周期的， 也可能具有随机性而是非周期的，也就是混沌。 2 2 混沌时间序列与动力系统 人们对时间序列的分析研究已经有几十年的历史，但主要是以线性方法为主。近 年来，混沌背景下产生的时间序列分析越来越受到重视。 从时间序列研究混沌，始于n h p a c k a r d 等人提出的相空间重构理论。对于决定 系统长期演化的任一变量的时间演化，均包含了系统所有变量长期演化的信息。因此， 可以通过决定系统长期演化的任一单变量时间序列来研究系统的混沌行为。这就是混 沌时间序列的应用基础。 2 2 1 混沌时间序列 时间序列是按时间顺序取得的一系列数据观测值，其观测值按固定的时间间隔采 样前1 1 个等时间距的数据采样序列记为 巧，而，毛 。在实际情况中，很多数据是 以时间序列的形式出现的。时间序列多用时序点图来描述。对时间序列进行统计分析， 称为时间序列分析。时间序列分析主要分为预测分析和控制分析。时序预测分析就是 在已有的时间序列一，毛，的基础上，对该时间序列未来的时刻。，。的数值 进行预测。时序控制分析就是对某时序变量的观测结果研究分析后，寻求发生规律和 控制措施，使未来的时序达到某种优化的目的。 在混沌理论的发展过程中，许多研究者在对现实世界的建模与研究中提出许多混 沌模型。如前文提到的l o r e n z 模型，除此以外，m h e n o n 在1 9 6 4 年给出了h e n o n 映 射，r m m a y 在1 9 7 6 年分析了l o g i s t i c 方程。许多研究表明，这些典型的混沌模型 存在于自然界中。混沌时间序列是由混沌模型生成的具有混沌特性的时间序列，混沌 时间序列分析的方法通常以典型的混沌时间序列为研究对象，通过对典型混淹时阃序 列的分析验证算法的性能。 具有h e n o n 吸引子的简单动力学系统是二维的非线性动力学系统，其离散方程为： f z ( 厅+ 1 ) = 1 - 1 4 x 2 ( 厅) + y ( 玎) t l y ( 玎+ 1 ) - o 3 x ( ) ( 2 1 9 ) 用初始值( 而，y o ) - ( o 3 ，o 3 ) 迭代后产生两个时间序列毛和乃，见图2 6 ，该系统的真实 轨迹是可见的，因为是二维的，图2 7 就是该系统的吸引子形状。 龟 r 01 0 0 2 0 0 t 3 0 04 0 00 1 0 0 2 0 0 f 3 0 04 0 0 图2 6h e n o n 系统的变量时间序列 1 1 x l t ) 图2 7h e n o n 系统的吸引子 得到的混沌时间序列的时间历程图如图2 。8 所示该时间序列相邻数据和。之间 有如图2 9 所示的对应关系，即t 和。构成的相图反映了该时序的简单规律。 图2 8l o g i s t i c 系统的时间序列 绷q毳| h 兰 肫 b i 于对 图2 9l o g i s t i c 系统的相图 通过对以上系统混沌时间序列的分析，可得到混沌时间序列具有以下基本性质： 混沌时间序列是由非线性简单机制决定的，混沌时间序列的内部含有简单规律；混沌 时间序列长期不可预测，但短期可预测；混沌时间序列对初值敏感，具有拓扑传递性。 2 2 2 混沌时序与动力系统 1 l i - y o r k 定理：设有连续单峰映射，：j j ，存在4 ，使b 一，( 口) ，c 一，( 6 ) ， d f ( c ) ，且ds 4 c b c ( 或d a 6 c ) ，则映射，按l i y o r k 定义是混沌的。 这种混沌并非都是物理上可观察的。若映射，的s c h w a r a z 导数为负，即 卧，- 锱一氧锱卜 亿z ， 则关于周期轨道有以下结论： ( 1 ) 最多有一条稳定周期轨道； ( 2 ) 不收敛于稳定周期轨道的点集的测度为零。 l i y o r k 定理是对参量固定的一个映射的相空间中轨道的论述。并未涉及有关周 期轨道的稳定性。事实上，定理中提到的周期轨道的绝大多数都是不稳定的。 2 动力系统及其简单分类 假设动力系统由以下m 个耦合的常微分方程构成的方程组来描述： 争f ( 耶，卢) + 叮 ( 2 2 2 ) 其中x 是m 维状态向量，f 是状态向量x 、时间f 、控制参数p 的m 维函数，叮为系 统的动态噪声。动力系统的状态不可直接观测，但可通过以下观测函数进行观测： x - g ( 五) + f ( 2 2 3 ) 其中，y 是l 维向量，l 是同时测量的可观测量的数目。当l = i 时，y 是单变量时间 序列，当l i 时，z 是多变量时间序列，是观测或测量噪声。 上式描述的动力系统，当f 不依赖于t 时，称为自治的；当f 是线性时，称动力 系统是线性的，反之当f 是非线性时，称动力系统是非线性的；当叩。0 时，称动力系 统是确定性的，当町，0 时，称动力系统为随机性。 2 3 特征量 吸引子的特征量是刻画吸引子某个方面特征的量，它分为4 微观”和“宏观”两 个层次。“微观”层次是指构成奇怪吸引子的骨架的不稳定周期数目、种类和它们的特 征值；“宏观”层次是指使用对整个吸引子或无穷长的轨道平均后锝到的特征量，如 l y a p u n o v 指数、维数和熵等。自2 0 世纪8 0 年代中期以来，这两个方面的工作都形成 了一套理论框架和方法，也都发展了从实验数据中提取有关信息的技术，并且两者都 在高维情形下显示出威力。 2 3 1l y a p u n o v 指数 混沌最重要的一个特征量是李雅普诺夫( l y a p u n o v ) 指数“8 ，简称李指数，它用来 刻画混沌行为对初始条件的高度敏感性，它表示了奇怪吸引子中相邻轨道分离的快慢， 根据系统的李指数的正负可以确定系统是否处于混沌状态。 对于一维非线性微分方程系统： 警一f ( x ) ( 2 2 4 ) ( 2 。2 4 ) 式中的f ( x ) 是非线性函数。设x 。为定态，为了研究稳定性，令 x ( t ) - x 。+ 6 x ( t ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 5 ) 式中的6 z ( f ) 表示偏差。将( 2 2 5 ) 式代x ( 2 2 4 ) 式，经过线性化处理，得到偏 差d x ( f ) 的方程 蠹6 x ( f ) i 彳6 j ( f ) ( 2 2 6 ) 1 4 ( 2 2 6 斟的a 表示枷( 警) 毛删自( 2 2 6 懈： d x 一6 x ( o 弦如 上式中的tc a ，6 z ( o ) 表示初值的偏差。由( 2 2 6 ) 式看- w , ，t 具有判断吸引子x 。的 稳定性的功能。由( 2 2 6 ) 式得： a 。u m l - l n t ( 2 2 7 ) t 表示p 石l 在长时间o 一* ) 的平均交化。( 2 2 7 ) 式定义的九，称为李雅普诺夫指数 ( t ) a 丸总是实数，当屯 o 时表示相邻点以指数方式离开，出现混沌运动，因此正 的l y a p u n o v 指数是混沌运动的特征量；当丸to 时，表示相邻点以指数方式靠近，表 明体积收缩，轨道在局部稳定，对初始条件不敏感的情形对应于周期运动；屯- o x 寸 应于稳定边界。可根据l y a p u n o v 指数的正负来判断吸引子类型，对于三维相空间内的 情况，根据l y a p u n o v 指数( ，九， ) ，判断吸引予的类型如表2 2 所示。 表2 - 2 根据l y a p u n o v 指数判定三维相空间吸引子类型 ( - ，a ：，)吸引子类型 ( ，屯，毛) - ( - , - ，一) ( 五，五， ) - ( o ，_ ，一) ( ，九，毛) 一( o , o , - ) ( ，屯，也) 一( + ，+ ，0 ) ( ，屯， ) 一( + ，o o ) ( ，t ， ) - ( + ，0 ，一) 稳定定点 极限环( 周期运动) 二维环面( 准周期振荡) 不稳定极限环 不稳定二维环面 奇怪吸引子( 混沌运动) l y a p u n o v 指数 的意义是可以表征系统运动特征：所有l y a p u n o v 指数取值的集 合决定系统在相空间轨线( 吸引子) 的性质；沿某一方向l y a p u n o v 指数 取值的正负 和大小表示长时间系统在相空间中相邻轨线沿该方向平均发散( ，o ) 或收敛( t o ) 1 5 的快慢程度；最大l y a p u n o v 指数决定相邻轨线是( 九5o 时) 否( ，o 时) 能靠拢形成 稳定轨道或稳定定点；最小l y a p u n q y 指数则表示相空间中所有轨线能( 九t0 时) 否 ( a 。，0 时) 收缩形成稳定吸引子。 由a 的意义和表2 2 还可以看出“”： ( 1 ) 任何吸弓i 子，不论其奇怪与否，至少有一个l y a p u n o v 指数 a 。) 小于零，否 则轨线就不可能收缩为吸引子； ( 2 ) 稳定定态和周期运动( 以及准周期运动) 不可能有正的l y a p u n o v 指数。稳定定 态的i 都是负的；周期运动的 一0 ，其余 也都是负的； ( 3 ) 混沌运动至少有一个正的l y a p u n o v 指数。反之，如果计算得知系统至少有一 个正的l y a p u n o v 指数，则可肯定系统作混沌运动。 2 3 2 维数 奇怪吸引子是轨道在相空间中经过无数次靠拢和分离，来回拉伸与折叠形成的几 何图形，具有无穷层次的自相似结构。由于耗散系统运动在相空间的收缩，使奇怪吸 引子维数小于相空间的维数。故奇怪吸引子的几何性质，可以通过研究它的空间维数 来确定“”。 相空间维数是动力学系统的一个重要的特征量，动力学系统的一些本质特征可以 通过相空间维数体现出来，非线性动力学研究表明：确定系统的维数是有限整数；自 噪声的维数是无限的；而混沌动力学系统的维数一定是一个有限分数。因此，要验证 系统的混沌行为，离不开相空间维数的计算。通过相空间维数的计算和分析，给出系 统的混沌行为提供部分依据。 1 、李雅普诺夫( l y a p u n o v ) 维数： 一般地，正的l y a p u n o v 指数代表的方向对吸引子起支撑作用：而负的l y a p u n o v 指数对应的收缩方向，在抵消膨胀方向的作用后，贡献吸引子维数的分数部分。设 l y a p u n o v 指数按从大到小的顺序排列为 2 九屯苫， 混沌吸引子的l y a p u n o v 维数定义为 d , - k + j 是, i ( 2 2 8 ) 其中。善 2 0 t 七是保证s o 的最大七值。j l k a p l a n 和j y 。r “e 曾猜想“” l y a p u n o v 维数与分维相等。 2 、关联维数 非线性系统的相空闻可能维数很高，甚至无穷，有时还不知道维数是多少，而吸 引子的维数一般都低于相空间的维数。从一个时间间隔一定的单变量时间序列五，噩， 局出发，构造一批n 维的矢量，支起一个嵌入空间。只要嵌入维足够高( 通常要求 n ，2 d - b l ，d 维吸引子的维数) ，就可以在拓扑等价的意义下恢复原来的动力学性态o ”。 1 9 8 3 年i p g r a s s b e r g e r 和i p r o c a c c i a u ”提出了从时间序列计算吸引子的关联维的 g - p 算法。对于1 1 维重构混沌动力系统，奇怪吸引子由点 y j2 【x j , 。，z ，+ 2 ，石，+ _ 一1 ) r ) ( 2 2 9 ) 所构成。在构造好矢量y ，之后，需要先定义它们之间的距离。因为只要满足距离公理 的定义均可，不妨以两个矢量的最大分量差作为距离 l y ；一y 一芋秘i y 业一y 社i j 2 3 0 ) 并且规定，凡是距离小于给定正数r 的矢量，称为有关联的矢量设重构相空间中有 n 个点( 即矢量) ，计算其中有关联的矢量对数，它在一切可能的n 2 种配对中所占的 比例称为关联积分 、 e i ：r ) | 嘉蠢口( 啼啊i ) ( 2 s ) 其中e 为阶跃函数日g ) = o ：。 已经知道，关联积分q ( ，) 在，一0 时与r 存在以下关系 1 鲤e ( r ) o c r 如 ( 2 3 2 ) 其中区称为关联维数，恰当地选取r ，使得d 能够描述混沌吸引子的自相似结构。由 于式( 2 3 2 ) 有近似数值。计算关系式 咖警盟( 2 3 3 ) 在实际数值计算中，通常给定一些具体的，值( ，充分小) ，如果r 取得太小，已 经低于环境噪声和测量误差造成的矢量差别，从式( 2 3 3 ) 算出的就不是关联维，而 是嵌入维。 1 7 第三章相空间重构 3 1 相空阊重构及t a k e n s 定理 一个系统在某一时刻的状态称为相，决定状态的几何空间，称为相空间：l 般来 说，非线性系统的相空间可能维数很高，甚至无穷，但在大多数情况下维数并不知道。 在实际问题中，对于给定能j b t n 序n x , ，t ，。，通常是将其扩展到三维甚至更 高维的空间中去，以便把时间序列中蕴藏的信息充分她显露出来，这就是延迟坐标状 态空间重构法。 混沌吸引子作为混沌系统的特征之一，体现着混沌系统的规律性，意味着混沌系 统最终会落入某一特定的轨迹之中，这种特定的轨道就是混沌吸引子。系统中任一分 量的演化都是与之相互作用着的其他分量所决定的，因此，这些相关分量的信息就隐 含在任一分量的发展过程中嘲嘲，为了重构一个等价的状态空间，只需考察一个分 量，并将它在某些固定的时间延迟点上的测量做为新维处理，它们确定了某个多维状 态空间的一个点，重复这过程，可以产生许多这样的点，它可以把吸引子的许多特 征保存下来即用系统的一个观察量可以重构出原动力系统模型。这就是p 。t a k e n s 于 1 9 8 1 年提出的相空间重构的延迟坐标法的基本思想。它奠定了相空间重构技术的基 础，这种方法用实际的单一标量时间序列来重构相空间，包括吸引子、动态特性和相 空间的拓扑结构。这样，就可以从某一分量的一批时间序列数据中提取和恢复出系统 原来的规律，这种规律是高维空间下的一种轨迹。也就是说，由一个混沌系统产生的 轨迹经过一定时期的变化后，最终会做一种有规律的运动，产生一种规则的、有形的 轨迹( 混沌吸引子) ，这种轨迹在经过类似拉伸和折叠后转化成与时间相关的序列时， 却呈现出混乱的、复杂的特征。由于混沌系统的策动因素是相互影响的，因而在时间 上先后产生的数据点也是相关的。n h ，p a c k a r d 等建议用原始系统中的某变量的延迟 坐标来重构相空间，f t a k e n s 证明了可以找到一个合适的嵌入维，即如果延迟坐标的 维数脚z2 d + 1 ，d 是动力系统的维数，在这个嵌入维空间里可以把有规律的轨迹( 吸 引子) 恢复出来。亦即在重构的r ”空间中的轨线上原动力系统保持微分同胚，从而为 混沌时间序列的预测奠定了坚实的理论基础。 设( ，p ) ，( 1 ，n ) 是两个度量空间，如果存在映射矿：n n i 满足：( 1 ) 妒满射； ( 2 ) p ( x ，_ ) ，) ，n ( 9 0 ) ，妒( ) ，) ) ( k y e n ) ，则称( ，p ) ，( l ，岛) 是等距同构的。 如果( l ，岛) 与另一度量空间( 2 ，n ) 的子空间( 0 ，见) 是等距同构的，则称 ( l ，n ) 可以嵌入( 2 ，p 2 ) 。 t a k e n s 定理：m 是d 维流形，妒：m m ，9 是一个光滑的微分同胚，y ：肘一口， y 有二阶连续导数，妒( 妒，y ) ：肼一口。“，其中 妒( 妒，y ) i ( y ( 工) ，y ( 妒( z ) ) ，y ( 妒2 ( 石) ) ，) ，( 妒“( 工) ) ) 则尹( 仍) ，) 是膨到口“的一个嵌入。 此定理很容易与实际问题相对应，上式中各符号的意义如下：妒对应一动力系统 的系统方程，m 对应于该系统吸引子，而y 对应于系统状态与测量数据之同的函数关 系，口为欧几里得空间，口“是维数为拟+ 1 的欧几里得空间。因此，在对时间序列 进行重构时，可以用下面的方法来应用t a k e n s 嵌入定理。 实际观测到的时间序列是 而，x 2 ， ，a t 是两次相邻采样的时间间隔 x ，- x ( 1 小l - t o + j j - 1 , 2 , ， ( 3 1 ) 通过如下方法构造出麓个m 维向量： _ - x l , x i 。，_ + 2 f ，_ 小一咖) ，一1 ，2 ，。，一m 一( 州一1 卜 ( 3 2 ) 其中m 称为嵌入维数，f 为延迟时间，只要m ，f 选择恰当，就可以在拓扑等价的意 义下恢复原来系统的动力学性态，比如分形维数，李雅普诺夫指数都可以保持。这“ 个矢量在m 维相空间描述出的轨迹，在m 2 d + 1 时( d 是吸引子维数) ，可将吸引子 完全展开，只不过这实际上是一个充分条件，而不是必要条件实践表明，在很多情 况下，当嵌入维小于嵌入定理所需的维数时同样可以将吸引子完全打开。 相空间重构法虽然是用一个变量在不同时刻的值构成相空间，但此变量随时问的 变化隐含着整个系统的动力学规律。这样，重构的相空间中轨线的分布或结构( 即所谓 吸引子) 便反映了系统的运动特征。当重构相空间中的轨线最后趋于点时，表示系统 处于稳定定态，如果轨线最终构成一闭曲线，表明系统的运动是周期的；如果轨线最 后是杂乱无章密集在一个有限的范围内，表明系统做随机运动；如果轨线分布具有某 些特殊的结构( 即奇怪吸引子) ，则系统的运动很可能是混沌的。 3 2 相空间重构参数的确定 为了重构的相空间能较充分而细致地反映系统运动的特征，恰当地选取嵌入维m 和延迟时间f 的大小是相空间重构的关键。但是，这种选取也是很困难的。关于时间 延迟f 和嵌入维数加的选取，现在主要有两种观点：一种是认为两者是互不相关的， 即r 和加的选取是独立进行的。现有的时间延迟的选取方法一般基于以下两个准则； i 序列相关法。让r 内元素之间的相关性减弱，同时一包含的原动力学系统的信息不 丢失。如自相关法咖噙1 、互信息量法嘲、高阶相关法等；2 相空间扩展法。重构捆 空间轨迹应从相空间的主对角线( f 很小时) 尽可能地扩展，但又不出现折叠，如填 充因子法、摆动量法、平均位移法、s v f 法等；3 复自相关法和去偏复自相关法，它 是一种介于两类准则之间的方法，具有很强的理论依据，其计算复杂度不大，对数据 长度依赖性不强，具有很强的抗噪能力。另一种是认为两者是相关的，即f 和册的选 取是互相依赖的。如时间窗口法，c c 方法可同时计算出时间延迟和时间窗口。 3 2 1 嵌入维数小的确定 按照嵌入定理，原则上m 的选择应较大，这是因为，当系统的状态变量数较多时， 如果小值取得较小，吸引子不能被完全展开，轨线必然要相交，从而不能充分确定地 表达系统的动态规律，由此计算出来的非线性特征量也是不准确甚至是错误的，如果 需要描述整个轨道的性态，应有用2 d ；但如只需要研究维数，李雅谱诺夫指数等轨 道的平均情况，实际中m 的取值满足d t m t 2 d 就可以了，其中d 是吸引子的维数。 由于d 的后验性，通常针对不同的m 值，经过混沌分析方法，以保证d 及其它动力学 特征稳定，从而确定最小的相空间维数小。基于t a k e n s 定理最佳嵌入维数的计算的 研究到目前为止主要有： 1 g - p 算法：， p g r a s s b e r g e r 眦1 ( 简称g - p 算法) 通过计算奇怪吸引子分维数的量c r ，n ， t ，其思想是增加m ，当量c bn ，m ，t 不再增加，则m 为最佳嵌入维数。 假设通过实验或现场所得到的等时采样的时序为 毛，而，毛 ，侧其延迟向量可 表示为： 誓一【，五+ f ，五+ 2 r ，五+ 一- 1 pj ，i 1 , 2 ，一( j l f 一1 弦 ( 3 3 ) 关联积分c ( ，n ，m ，f ) 常采用如下定义： c ( 州川一而南丽耋善h ”一k i ) ( 3 t ) 其中，h 为h e a v i s i d e 函数，即蟊( 工) 。器：已， 同时要求n ，应满足条件： ( 号) 二一 s ， f 为时序的间隔，髓为嵌入维数，时序的关联维数定义为： 均想堡d 謦l o gr严dr r o 爿- 。 i，i ( 3 6 ) 争p 算法的思想是：增加m ，上式中d 变化逐渐减小，最终趋于平稳，此时的关联 维数称为饱和关联维数，而最佳嵌入维则可取使d 趋于平稳的嵌入维数的下限。 通过关联维数来研究系统的复杂性，其主要是研究相空间中点的分布，在确定性 系统中，关联维数就是生成相应系统所必须的独立变量个数，一般来说，规则的确定 性系统有整数关联维数，而混沌系统有非整数关联维数，大于此关联维数的下一个整 数便是独立变量的个数。 ， 铲p 算法如上所述，利用了混沌时序重构中的特征量的拓扑不变性，但该算法需 要样本数据量较大，计算也较为复杂。 2 伪邻近点法 地k e n n e l ，r b r o w n ，h a b a r b a n e l 通过邻近替代法( 虚假邻点法) 寻找最佳嵌入 维数。 。 伪邻近点法是一种基于吸引子空闻几何结构是否被完全打开的方法。嵌入维数选 的较小相当于吸引子投影到低维空间，将使得原本离的较远的点成为邻近点，因而产 生了“伪邻近点”。因此可以通过判断伪邻近点的比率来选取合适的嵌入维数。设重构 延迟矢量置的邻近点