浙江省金丽衢十二校2017届高三(上)第一次联考数学试卷+(理科)(解析版).doc

2016-2017学年浙江省金丽衢十二校高三（上）第一次联考数学试卷 （理科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合A=xR|x24，BxR|1x2，则（）AAB=BAB=RCBADAB2（2）8展开式中含x3项的系数为（）A112x3B1120x3C112D11203已知某几何体的正（主）视图与侧（左）视图都是直角边长为1的等腰直角三角形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是（）ABCD4过点（0，2）的直线交抛物线y2=16x于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且y12y22=1，则OAB（O为坐标原点）的面积为（）ABCD5设实数a，b，则“|ab2|+|ba2|1”是“（a）2+（b）2”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6回文数是从左到右与从右到左读都一样的正整数，如2，11，242，6776，83238等，设n位回文数的个数为an（n为正整数），如11是2位回文数，下列说法正确的是（）Aa4=100Ba2n+1=10a2n（nN+）Ca2n=10a2n1（nN+）D以上说法都不正确7如图，已知直线y=kx+m与曲线y=f（x）相切于两点，则F（x）=f（x）kx有（）A1个极大值点，2个极小值点B2个极大值点，1个极小值点C3个极大值点，无极小值点D3个极小值点，无极大值点8已知A1，A2，A3为平面上三个不共线的定点，平面上点M满足=（+）（是实数），且+是单位向量，则这样的点M有（）A0个B1个C2个D无数个二、填空题（每题5分，满分35分，将答案填在答题纸上）9在数列an中，a1=1，an+1=3an（nN*），则a3=，S5=10设aR，若复数（i为虚数单位）的实部和虚部相等，则， |=11若实数x，y满足，则的取值范围是12若函数f（x）=2sin2（x）+2sin（x+）1（0）的最小正周期为1，则=，函数f（x）在区间，上的值域为13甲、乙两人进行5局乒乓球挑战赛，甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立设甲赢的局数为，则P（=2）=，E（）=，D（）=14如图，已知矩形ABCD，AD=2，E为AB边上的点，现将ADE沿DE翻折至ADE，使得点A在平面EBCD上的投影在CD上，且直线AD与平面EBCD所成角为30，则线段AE的长为15对任意的两个实数a，b，定义，若f（x）=4x2，g（x）=3x，则min（f（x），g（x）的最大值为三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b（12cosA）=2acosB（1）证明：b=2c；（2）若a=1，tanA=2，求ABC的面积17如图，已知四棱锥PABCD的底面为菱形，且ABC=60，E是DP中点（1）证明：PB平面ACE；（2）若AP=PB=，AB=PC=2，求二面角APCD的余弦值18已知数列an的各项都不为零，其前n项为Sn，且满足：2Sn=an（an+1）（nN*）（1）若an0，求数列an的通项公式；（2）是否存在满足题意的无穷数列an，使得a2016=2015？若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，请说明理由19已知椭圆+y2=1（a1）的离心率为，P（m，n）为圆x2+y2=16上任意一点，过P作椭圆的切线PA，PB，设切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2）（1）证明：切线PA的方程为+y1y=1；（2）设O为坐标原点，求OAB面积的最大值20已知函数f（x）=xlnx（aR），g（x）=2x33x2（1）若m为正实数，求函数y=g（x），x，m上的最大值和最小值；（2）若对任意的实数s，t，2，都有f（s）g（t），求实数a的取值范围2016-2017学年浙江省金丽衢十二校高三（上）第一次联考数学试卷 （理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合A=xR|x24，BxR|1x2，则（）AAB=BAB=RCBADAB【考点】交、并、补集的混合运算【分析】先化简集合A，再根据集合的基本关系即可判断【解答】解：集合A=xR|x24=xR|x2或x2，B=xR|1x2，AB=，故选：A2（2）8展开式中含x3项的系数为（）A112x3B1120x3C112D1120【考点】二项式系数的性质【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得含x3项的系数【解答】解：二项式的展开式的通项公式为Tr+1=C8r28r（1）rx，令=3，求得r=6，故开式中含x3项系数为C86286（1）6=112，故选：C3已知某几何体的正（主）视图与侧（左）视图都是直角边长为1的等腰直角三角形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是（）ABCD【考点】简单空间图形的三视图【分析】由题意，正（主）视图与侧（左）视图都是直角边长为1的等腰直角三角形，根据三视图的“长对正，高平齐，宽相等”原则高已知，只需判断几何体的形状，依次对照计算下列各选项的视图的底面积，满足体积为即为答案【解答】解：对于A和C：正视图与侧视图都是直角边长为1的等腰直角三角形，俯视图是直角三角形，其体积为，故A，C不对；对于B：正视图与侧视图都是直角边长为1的等腰直角三角形，俯视图是正方形，其体积为，故B正确；对于D：正视图与侧视图都是直角边长为1的等腰直角三角形，俯视图是四分之一的圆，其体积为，故D不对故选：B4过点（0，2）的直线交抛物线y2=16x于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且y12y22=1，则OAB（O为坐标原点）的面积为（）ABCD【考点】抛物线的简单性质【分析】设直线方程为x=my+2m，代入y2=16x可得y216my32m=0，利用韦达定理，结合三角形的面积公式，即可得出结论【解答】解：设直线方程为x=my+2m，代入y2=16x可得y216my32m=0，y1+y2=16m，y1y2=32m，（y1y2）2=256m2+128m，y12y22=1，256m2=1，OAB（O为坐标原点）的面积为|y1y2|=故选：D5设实数a，b，则“|ab2|+|ba2|1”是“（a）2+（b）2”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由已知|ab2|+|ba2|1结合绝对值不等式的性质可得（a）2+（b）2，举例说明由（a）2+（b）2不一定有|ab2|+|ba2|1，则答案可求【解答】解：由|ab2|+|ba2|1，得|（ab2）+（ba2）|ab2|+|ba2|1，即|a2a+b2b|1，|1，得（a）2+（b）2；反之，若（a）2+（b）2，取a=1，b=0，此时|ab2|+|ba2|=21“|ab2|+|ba2|1”是“（a）2+（b）2”的充分不必要条件故选：A6回文数是从左到右与从右到左读都一样的正整数，如2，11，242，6776，83238等，设n位回文数的个数为an（n为正整数），如11是2位回文数，下列说法正确的是（）Aa4=100Ba2n+1=10a2n（nN+）Ca2n=10a2n1（nN+）D以上说法都不正确【考点】进行简单的合情推理【分析】由回文数的特点，故归纳猜想2n+2位回文数与2n+1位回文数个数相等，均为910n个，逐一判断即可【解答】解：由题意，1位回文数有9个，2位回文数有9个，3位回文数有90=910个，4位回文数有1001，1111，1221，1991，2002，9999，共90个，故归纳猜想2n+2位回文数与2n+1位回文数个数相等，均为910n个，即a2n+2=a2n+1=910n个，所以a2n=910n1个，所以a2n+1=10a2n（nN+）所以a2n=a2n1（nN+），故选：B7如图，已知直线y=kx+m与曲线y=f（x）相切于两点，则F（x）=f（x）kx有（）A1个极大值点，2个极小值点B2个极大值点，1个极小值点C3个极大值点，无极小值点D3个极小值点，无极大值点【考点】利用导数研究函数的极值【分析】对函数F（x）=f（x）kx，求导数，根据条件判断f（x）与k的关系进行判断即可【解答】解：直线y=kx+m与曲线y=f（x）相切于两点，kx+m=f（x）有两个根，且f（x）kx+m，由图象知m0，则f（x）kx，即F（x）=f（x）kx0，则函数F（x）=f（x）kx，没有零点，函数f（x）有1个极大值点，2个极小值点，则F（x）=f（x）k，结合图象，函数F（x）=f（x）kx有1个极大值点，函数F（x）=f（x）kx有2个极小值点，故选：A8已知A1，A2，A3为平面上三个不共线的定点，平面上点M满足=（+）（是实数），且+是单位向量，则这样的点M有（）A0个B1个C2个D无数个【考点】向量的线性运算性质及几何意义【分析】设A1，A2，A3的坐标，表示出M的坐标，令|+|=1得出关于的方程，判断方程的解的个数即可得出M的位置的个数【解答】解：以A1为原点建立坐标系，设A2（a，b），A3（m，n），则+=（a+m，b+n），M（a+m），（b+n），=（a+m），（b+n），=（a（a+m），b（b+n），=（m（a+m），n（b+n），+=（13）（a+m），（13）（b+n），+是单位向量，（13）2（a+m）2+（b+n）2=1，A1，A2，A3为平面上三个不共线的三点，（a+m）2+（b+n）20显然有两解，故满足条件的M有两个故选：C二、填空题（每题5分，满分35分，将答案填在答题纸上）9在数列an中，a1=1，an+1=3an（nN*），则a3=9，S5=121【考点】等比数列的通项公式【分析】由已知得数列an是首项为1，公比为3的等比数列，由此能求出结果，【解答】解：在数列an中，a1=1，an+1=3an（nN*），数列an是首项为1，公比为3的等比数列，=9，=121故答案为：9，12110设aR，若复数（i为虚数单位）的实部和虚部相等，则0， |=【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】根据复数的运算法则化简z，再根据实部和虚部相等求出a的值，求出其模即可【解答】解：复数=，由于复数（i为虚数单位）的实部和虚部相等，则a+1=1a，解得a=0，则z=i，则|=，故答案为：0，11若实数x，y满足，则的取值范围是，【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用斜率的几何意义进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，的几何意义是区域内的点到点D（1，1）的斜率，由图象知BD的斜率最大，AD的斜率最小，由得，得B（4，3），由得，得A（3，0），则BD的斜率k=，AD的斜率k=，则，即的范围是，故答案为：，12若函数f（x）=2sin2（x）+2sin（x+）1（0）的最小正周期为1，则=，函数f（x）在区间，上的值域为0，21【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】利用诱导公式和降次升角公式化简函数解析式，进而结合余弦型函数的图象和性质，可得答案【解答】解：函数f（x）=2sin2（x）+2sin（x+）1=cos（2x）+2cos（2x）=（21）cos（2x）函数f（x）的最小正周期为1，0=，f（x）=（21）cos（2x）当x，2x，f（x）0，21，故答案为：，0，2113甲、乙两人进行5局乒乓球挑战赛，甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立设甲赢的局数为，则P（=2）=，E（）=，D（）=【考点】离散型随机变量的期望与方差【分析】由题意B（5，），由此能求出P（=2），E（），D（）【解答】解：甲、乙两人进行5局乒乓球挑战赛，甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立设甲赢的局数为，B（5，），P（=2）=，E（）=5=，D（）=故答案为：14如图，已知矩形ABCD，AD=2，E为AB边上的点，现将ADE沿DE翻折至ADE，使得点A在平面EBCD上的投影在CD上，且直线AD与平面EBCD所成角为30，则线段AE的长为【考点】直线与平面所成的角【分析】过A作AF平面ABCD，垂足为F，连结EF，过F作FMAB，垂足为M，设AE=AE=x，分别在MEF和AEF中用勾股定理表示出EF，列方程解出x【解答】解：过A作AF平面ABCD，垂足为F，连结EF则F在CD上，且ADF=30，AD=AD=2，DF=，AF=1，过F作FMAB，垂足为M，则AM=DF=，设AE=x，则ME=x，AE=x，EF2=MF2+ME2=AE2AF2，4+（x）2=x21，解得x=故答案为：15对任意的两个实数a，b，定义，若f（x）=4x2，g（x）=3x，则min（f（x），g（x）的最大值为3【考点】函数最值的应用【分析】4x23x=（x+4）（x1），从而比较f（x）与g（x）的大小，再求min（f（x），g（x）的最大值即可【解答】解：4x23x=（x+4）（x1），当x4或x1时，f（x）g（x），当4x1时，f（x）g（x），故min（f（x），g（x）=，易知min（f（x），g（x）在（，1上是增函数，在（1，+）上是减函数，故min（f（x），g（x）的最大值为41=3；故答案为：3三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b（12cosA）=2acosB（1）证明：b=2c；（2）若a=1，tanA=2，求ABC的面积【考点】正弦定理；余弦定理【分析】（1）利用正弦定理、和差公式即可得出（2）利用同角三角函数基本关系式可得cosA，sinA再利用余弦定理可得c，利用三角形面积计算公式即可得出【解答】解：（1）b（12cosA）=2acosB，由正弦定理得sinB（12cosA）=2sinAcosB，sinB=2sinBcosA+2sinAcosB=2sin（A+B）=2sinC，b=2c（2）tanA=2，sinA=2cosA，sin2A+cos2A=+cos2A=1，A为锐角，解得，由余弦定理有，即，解得，17如图，已知四棱锥PABCD的底面为菱形，且ABC=60，E是DP中点（1）证明：PB平面ACE；（2）若AP=PB=，AB=PC=2，求二面角APCD的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定【分析】（1）连结BD，BDAC=F，连接EF，推导出EFPB，由此能证明PB平面ACE（2）取AB的中点Q，连结PQ、CQ，以Q点为原点，BA所在的直线为x轴，QC所在的直线为y轴，QP所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角APCD的余弦值【解答】解：（1）连结BD，BDAC=F，连接EF，四棱锥的底面为菱形，F为BD中点，又E是DP中点，在BDP中，EF是中位线，EFPB，又EF平面ACE，而PB平面ACE，PB平面ACE（2）取AB的中点Q，连结PQ、CQ，菱形ABCD，且ABC=60，正ABC，CQAB，AB=PC=2，且等腰直角PAB，即APB=90，PQABAB平面PQC，且PQ=1，PQ2+CQ2=CP2，PQCQ如图，以Q点为原点，BA所在的直线为x轴，QC所在的直线为y轴，QP所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则平面APC上， =（1，0，1），=（0，1），设平面APC的法向量为=（x1，y1，z1），则有，即=（），设平面DPC的法向量为=（x2，y2，z2），=（2，0，0），=（0，1），则有，可取=（0，1，），cos=，二面角APCD的余弦值为18已知数列an的各项都不为零，其前n项为Sn，且满足：2Sn=an（an+1）（nN*）（1）若an0，求数列an的通项公式；（2）是否存在满足题意的无穷数列an，使得a2016=2015？若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，请说明理由【考点】数列递推式【分析】（1）由2S1=2a1=a1（a1+1），解得a1=1，由2Sn+1=an+1（an+1+1），得an是以1为首项，以1为公差的等差数列，由此能求出an0（2）由a1=1，0=（an+1an1）（an+an+1），得an+1=an+1或an+1=an，由此能求出结果【解答】解：（1）数列an的各项都不为零且满足2S1=2a1=a1（a1+1），解得a1=12Sn+1=an+1（an+1+1），得，整理得到0=（an+1an1）（an+an+1），an+1an=1an是以1为首项，以1为公差的等差数列，an=1+（n1）1=n（2）根据（1）a1=1，0=（an+1an1）（an+an+1），可得an+1=an+1或an+1=an，从第二项开始每一项都有两个分支，通项为的数列满足题意，使得a2016=2015（其他符合的答案类似给分）19已知椭圆+y2=1（a1）的离心率为，P（m，n）为圆x2+y2=16上任意一点，过P作椭圆的切线PA，PB，设切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2）（1）证明：切线PA的方程为+y1y=1；（2）设O为坐标原点，求OAB面积的最大值【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）由椭圆的离心率e=，求得a，求得椭圆方程，当y1=0时，直线x1=2，求得PA的方程是x=2，当y10时，求导，求得PA的切线斜率，根据直线的点斜式方程及x12+4y12=4，即可求得+y1y=1； （2）由（1）可知：切线PB 的方程为，代入求得直线AB方程，代入椭圆方程，求得弦长丨AB丨，根据点到直线的距离公式d，由SOAB=丨AB丨d=，由均值不等式，即可求得OAB面积的最大值【解答】解：（1）证明：离心率e=，a=2，椭圆方程为：，当y1=0时，直线x1=2，x2=4，代入椭圆方程得到y=0