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关于d 空间和d u a l l y 离散空间的性质 中文提要 中文提要 在本文的第一部分，我们给出了a - d 子集的定义，并且证明了可数个a - d 子集的并是d 空间，这一结果改进了a b o r g e s 和a c w e h r l y 的结果：可数个 闭的d 子空间的并是d 空间；在本文的第二部分，我们讨论了d u a l l y 离散空 间的性质 关键词：d 空间，a - d 子集，d 子集，d u a l l y 离散空间 作者：卞小霞 指导教师：恽自求 o ns o m ep r o p e r t i e so fd s p a c e sa n dd u a l l yd i s c r e t es p a c e s a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h ef i r s tp a r to ft h i sp a p e r w eg i v et h ed e f i n i t i o no fq - d s u b s e t sa n dp r o v et h a t i fxi st h ec o u n t a b l eu n i o no fa - d - s u b s e t s t h e nx i sad s p a c e o u rr e s t f l ti m p r o v e st h e r e s u l to b t a i n e db yc r b o r g e sa n da c w e h r l y st h a ti fx i st h ec o u n t a b l eu n i o no fc l o s e dd s u b s p a c e s ，t h e nx i sad s p a c e i nt h es e c o n dp a r to ft h i sp a p e r ，w ed i s c u s ss o m ep r o p e r t i e s o fd u a l l yd i s c r e t es p a c e s k e y w o r d s ：d - s p a c e ，a - d s u b s e t ，d - s u b s e t ，d u a l l yd i s c r e t es p a c e i i w r i t t e n b y s u p e r v i s e db y b i a nx i a o x i a p r o f y u nz i q i u 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人 或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教育 机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律责任。 研究生签名：僻日期：望堡：生! 皇 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合 作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印 件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文 档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文 被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布 ( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名： 导师签名： 每毕日期= 塑业 蝮囱苦日期：文竺2 & ：耸心 关于d 空间和d u a l l y 离散空间的性质 引言 引言 d 空间的概念是v a nd o u w e n 在1 9 7 9 年提出的由于度量空间与一些广义 度量空间，例如s o r g e n f r e y 线的有限积，是d 空间d 空间引起了拓扑学界的 广泛注意1 9 9 1 年，c r b o r g e s 和a c w e h r l y 证明了半分层空间是d 空间 但是，d 空间与一些具有重要覆盖性质的空间之间的关系，至今仍然不是 十分清楚，例如v d o u w e n 在1 9 7 9 年提出的正则l i n d e l s f 空间是否为d 空间的 著名问题仍未得到解决，于是d 空间和作为度量空间重要推广的仿紧空间 之间没有明显的包含关系2 0 0 4 年，俄罗斯数学家a a r h a n g e l ，s k i i 在权威数学 杂志“p r o c e e d i n g so ft h ea m e r i c a nm a t h e m a t i c a ls o c i e t y ”上发表论文，详细讨论了 d 空间的性质，并在此基础上提出了一系列公开问题，这些公开问题引起了 许多拓扑学者，其中包括一些国际著名拓扑学家，例如美国的g g r u e n h a g e ， 芬兰的h j u n n i l a 等人的兴趣，他们围绕着a a r h a n g e l s k i i 提出的公开问题， 详细讨论了d 空间及相关空间的性质，得到了许多重要的结果，这些结果 解决或者部分解决了a a r h a n g e l s k i i 提出的一部分公开问题但仍有一部分 问题至今未得到解决我国拓扑学工作者也开展了对d 空间的研究，例如 林寿教授得到了具有争垫状( m o d k ) 网络的空间是d 空间，彭良学教授给出 了具有点可数弱基的空间或者正则的具有点可数k 网的序列型空间是d 空 间等结果上述这些对d 空间的研究工作可以参考文献2 】f 3 】 4 】【6 】 7 】【8 】1 0 】 1 2 】【1 3 】 1 4 】 1 6 】【1 7 】 1 8 】 在a a r h a n g e l ，s k i i 提出的公开问题中，特别值得一提的一个问题是两个d 空间的并是否为d 空间( 【2 ，问题1 7 】) 虽然1 9 9 1 年c r b o r g e s 和a c w e h r l y 证 明了可数个闭的d 空间的并仍为d 空间【6 】，而且a a r h a n g e l s k i i 在【1 】中证明 了一个闭的d 子集与另一个d 子集的并为d 空间，并在【2 】2 中得到了另一结 论：若x = r u z ，其中y 为x 的闭的d 子集，且z 中任一子集若在x 中闭 关于d 空间和d u a l l y 离散空间的性质 引言 则为d 子集，那么x 为d 空间但是这一问题至今仍然没有完全解决 c a u u 在文献 5 】5 中提出了口仿紧子集的概念，并用它来定义强遗传仿紧 空间，给出了强遗传仿紧空间的等价刻画，即仿紧空间x 为强遗传仿紧空间 当且仅当它是完备正规空间本文第一部分用类似口仿紧子集与强遗传仿 紧空间的概念，定义了a - d 子集和强遗传d 空间，并给出强遗传d 空间在序 列型空间中的刻画作为a - d 子集的应用，我们证明了a - d 子集与d 子集的 并是d 空间以及可数个o t - d 子集的并是d 空间，这些结果改进了a b o r g e s ， a c w e h r l y 和a a r h a n g e l s k i i 等人的相应结果 最近，& v a nm i l l 等人推广了d 空间的定义，提出了d u a l l yp 空间的概念 其中，当p 为离散性时，则称d u a l l yp 空间为d u a l l y 离散空间而当p 为闭 的离散性时，则d u a l l yp 空间即为d 空间尽管d 空间与d u a l l y 离散空间的 定义表面上看起来差别不大，但j v a n m i l l 证明了u - 是d u a l l y 离散空间却不是 d 空间，从而说明与d 空间不同，d u a l l y 离散空间不一定为i s o 紧空间( 这空 间的每一可数紧的闭子集是紧的) ，这个结果说明了d u a l l y 离散空间与d 空间 有很大差别本文第二部分，我们证明，尽管d u a l l y 离散空间与d 空间有着 巨大差别，d 空间的很多性质仍然可以在d u a l l y 离散空间上得到平行推广 2 关于d 空间和d u a l l y 离散空间的性质第一章关于d 空间的遗传性 第一章关于d 空间的遗传性 1 1 预备知识 本文涉及到的空间均为乃空间，n 表示全体自然数的集合 定义1 【8 1 ：设( x ，下) 是拓扑空间，映射：x _ 丁满足z 妒( z ) 对任意z x 成立，则称参或者集族 ( $ ) ：z x ) 为空间x 上的邻域设计 定义2 【8 】设a 是拓扑空间( x ，) 的子集，咖：a 一r 满足z 西( z ) 对任意 z a 成立，则称或者集族 ( z ) ：z a ) 为a 在空间x 中的邻域设计 定义3 【8 】称空间( 五丁) 为d 空间，若对x 上的任意邻域设计，存在x 的闭的离散子集d ，使得x = u 西c d ) ：d d ) 其中子集d 称为离散的，如果 d 作为子空间是离散空间或者等价地对任意z d ，存在z 的开邻域v ( z ) ，使 得u ( 。) n d = 【z ) 注记空间x 的子集d 称为在x 中离散，如果对任意x x ，存在z 的开 邻域u ( z ) ，使得u ( x ) n d = 扛) 显然d 是x 的闭的离散子集当且仅当d 在x 中离散 定义4 【5 】设a 为拓扑空间x 的子集，如果对x 中每个覆盖j 4 的开集族 甜，“有部分开加细y 在x 中局部有限且覆盖a ，则称a 为x 的q 仿紧子集； 称a 为空间x 的仿紧子集，若a 作为x 的子空间是仿紧空间；如果x 的每 一子集都是x 的仿紧子集 仿紧子集) ，则称空间x 为遗传仿紧空间( 强遗 3 关于d 空间和d u a l l y 离散空间的性质 第一章关于d 空间的遗传性 传仿紧空间) 仿照定义4 ，下面我们给出d 子集( a - d 子集) 和遗传d 空间( 强遗传 d 空间) 的定义 定义5 设a 为拓扑空间x 的子集，称a 为空间x 的a - d 子集，若对 a 在x 中的任意邻域设计：a _ 丁，存在x 的闭的离散子集fca ，使得 acu 【西( d ) ：d f ) 称a 为空间x 的d 子集，若a 作为x 的子空间是d 空 间 定义6 称空间x 为遗传d 空间( 强遗传d 空间) ，若x 的任意子集为 d 子集( a - d 子集) 4 关于d 空间和d u a l l y 离散空间的性质第一章关于d 空间的遗侉陛 1 2 相关问题及本文的工作 在 6 】中c r b o r g e s 和a c w e h r l y 指出可数个闭的d 空间的并是d 空间， a a r h a n g e l s k i i 在【2 】中给出一个闭的d 子集与另一d 子集的并为d 空间，即 设x = x ，u 托，若其中墨为闭的d 子集，拖为d 子集，则x 为d 空间 本节中我们主要研究d 空间的遗传性质与强遗传性质，作为这些性质 的应用，我们将对上述结论进行改进 引理1 1 ( 1 ) 拓扑空间x 的a - d 子集的闭子集是d 子集 ( 2 ) 拓扑空间x 中闭的d 子集是a - d 子集 证明：( 1 ) 设a 是空间x 的a - d 子集，f 为a 的闭子集， ( 。) ：z f ) 是f 在x 中的邻域设计若对v y a f ，定义咖( ) = a f ，则存在x 的开子集( 可) ， 使得西( 可) n a = ( 可) ，于是【( z ) ：z f ) u ( y ) ：v a f ) 是a 在x 中的邻域设 计由以为x 的a - d 子集，知存在x 的离散闭子集d ，使得acu 0 ，( z ，秒) 是x 的孤立点； 对y = 0 ，( z ，可) 的邻域基元形如 y ( z ，礼) = o ，s ) x ：t = z 士s ，0 8 l n ，n n x 称为y 空间，或h e a t h 的y 空间易见x 是正则空间，类似【1 9 】中例 2 2 1 3 可以证明x 不是正规空间，从而x 不是仿紧空间 置= y p ，几) ：z r ) u ( z ，耖) x ：y 1 n ，n n ) 贝0 ：n n ) 是x 的 展开，于是x 是m o o r e 空间，又根据m o o r e 空间是半分层空间，以及半分层 空间是d 空间且具有遗传性 6 1 ，可以得到x 为遗传性d 空间 口 定理1 4 设x = x 1u 拖，其中若墨为a - d 子集，恐为d 子集，则x 为 d 空间 证明：设 毋( z ) ：z x ) 是x 上的邻域设计，则存在x 的离散闭子集 d 1cx 1 ，使得矾= 【咖( d ) ：d d 1 ) 覆盖墨置v 1 = u 嘶因 ( z ) ：z 托) 是 x 2 y l 在x 中的邻域设计，恐是弼的闭子集，由引理1 1 ( 2 ) 知，x 2 v l 为 x 的a - d 子集，于是存在x 的离散闭子集d 2 ，使得 妒( d ) ：d d 2 ) 覆盖恐 置d = d 。ud 2 ，则易见 ( d ) ：d d ) 覆盖x ，且其中的d 为x 的闭的离散子 集，从而x 为d 空间 口 推论1 2 【1 】若x = yu z ，其中y ，z 为x 的d 子集，且y 为x 的闭子集， 7 关于d 空间和d u a l l y 离散空间的性质第一章关于d 空间的遗传性 则x 为d 空间 引理1 1 ( 2 ) 与例1 1 说明定理1 4 是推论1 2 的改进 定理1 5 可数个a - d 子集的并是d 空间 证明：设x = u 咒：i n ) ，其中对n ，x 是x 的a - d 子集若 咖( z ) ：z x ) 是x 上的邻域设计，则存在x 的离散闭子集d 1cx 1 ，使得 = ( d ) ：d d 1 ) 覆盖x 1 置= u 因【( z ) ：z 弼) 是恐在x 中 的邻域设计，恐是恐的闭子集，由引理1 1 ( 1 ) 知，恐h 为x 的a - d 子集，于是存在x 的离散闭子集d 2 ，使得地= _ 【咖( d ) ：d d 2 ) 覆盖恐置 = u u 2 易见d 1u d 2 仍是x 的离散闭子集，且u u ：覆盖x 1u 恐假设对 k = 1 ，2 ，n 一1 ，已经作出d 七，碓及垓，满足下列条件( 木) ： ( 木) d kcx k u 【k ：i = 1 ，2 ，k 一1 ) ，且仇为x 的离散闭子集， 阮= 妒( d ) ：d d k 覆盖扎u k ：i = 1 川2 一，k 一1 ) ，k l = u 玩“y o = o 因 ( z ) ：z u k ：k = 1 ，2 ，t l 1 ) ) 是x _ u 垓：k = 1 ，2 ，礼一1 ) 在x 中的邻域设计，且由u k ：k = 1 ，2 ，n 一1 ) 是的闭子集， 知u k ：七= 1 ，2 ，n 一1 ) 是x 的a - d 子集，于是存在x 的离散闭子 集巩c u 【k ：k = 1 ，2 ，t i 一1 ) ，使得u k ：k = 1 ，2 ，n 一1 】被 = 咖( d ) ：d d n ) 覆盖令= u 则巩，仍满足条件( 木) 由归纳法 原理，对y n n ，存在巩，满足条件( 木) 置d = u 巩：n 町，“= u 伽+ 1 ) = d 因 u 皿：i = 1 ，2 ，n o ) 是有限个x 中离散闭子集的并，仍为x 的离散闭子集， 因此存在开集u ( 茁) ，使得i u ( z ) n ( u 现：i = 1 ，2 ，礼z ) ) i 1 置u = v o f i t r ( z ) ， 则u 为z 在x 中的开邻域，并且i u a d i l ，从而d 为x 的离散闭子集，因 8 关于d 空间和d u a l l y 离散空间的性质 第一章 关于d 空间的遗传性 此结论成立 口 推论1 3 ( 2 命题7 ) 可数个闭的d 子空间的并是d 空间 证明：由引理1 1 ( 2 ) 及定理1 5 立得 口 引理1 1 ( 2 ) 与例1 1 说明定理1 5 是推论1 3 的改进 9 关于d 空间和d u a l l y 离散空间的性质 第二章d u a l l y 离散空间的性质 第二章d u a l l y 离散空间的性质 j v a n m i l l 等人在【6 】中推广了d 空间的定义，提出了d u a l l yp 空间的概念 这里尹是某种性质其中，当p 为离散性时，则称d u a l l y7 9 空间为d u a l l y 离 散空间而当p 为闭的离散性时，则d u a l l y 尹空间即为d 空间尽管d 空 间与d u a l l y 离散空间的定义表面上看起来差别不大，但j v a n m i l l 证明了u 1 是 d u a l l y 离散空间却不是d 空间，由文献【1 0 】知，d 空间是i s o 紧空间，但众所 周知，u 。是列紧空间而不是紧空间因此与d 空间不同，d u a l l y 离散空间不 一定为i s o 紧空间，这个结果说明了d u a l l y 离散空间与d 空间有很大差别 本文第二部分，我们证明，尽管d u a l l y 离散空间与d 空间有着巨大差别，d 空间的很多性质仍然可以在d u a l l y 离散空间上得到平行推广 定义2 1 设p 是某种性质，如果x 的子集a 具有p ，则记为a p 称 空间x 为d u a l l yp 空间，若对空间x 上的任一邻域设计 u ( z ) ：z x ) ，存在 ycx ，y p ，使得u u ( z ) ：z y ) = x 从定义立即可以看出，d u a l l y 有限空间就是紧空间，d u a l l y 可数空间就 是l i n d e l 拼空间，而d u a l l y 闭、离散空间即为d 空间 定理2 1 若p 具有闭遗传性，则d u a l l yp 空间具有闭遗传性 证明：设( 五r ) 是d u a l l yp 空间，a 为x 的闭子集，( u ( z ) ：z a ) 为a 上的邻域设计，则对每一u ( z ) ，存在x 的开子集y ( z ) ，使得y ( z ) na = u ( z ) 对 z 聋a ，置v ( x ) = x a ，于是【y ( z ) ：z x ) 是x 上的邻域设计因x 为d u a l l yp 空间，则存在x 的具有性质p 的子集f ，使得u y ( z ) ：z f ) = x 由p 具 1 0 关于d 空间和d u a l l y 离散空间的性质 第二章d u a l l y 离散空间的性质 有闭遗传性，知a 的子集f n a 具有性质p 又acu y ( z ) ：x f da 否则 孔a ( u y ( z ) ：z f n a ) ，于是动f a ，使得z y ( ) ，与y ( y ) = x a 矛 盾从而u 【y ( z ) n a ：z f na ) = a ，即有u u ( z ) ：z fna = a ，其中f n a 为a 的子集，并且具有性质p 故a 为d u a l l yp 空间 i - - 1 推论2 1d u a l l y 离散空间具有闭遗传性 定理2 2 设x = x 1u 恐，其中若噩，恐为d u a l l y 离散空间，且x 1 为x 的 闭子集，则x 为d u a l l y 离散空间 证明：设 u ( z ) ：z x ) 为x 上的邻域设计，则 u ( z ) ：z x 1 ) 为x 1 在 x 中的邻域设计，由x 。为d u a l l y 离散空间，知存在x 。的离散子集a ，使 得x 1cu u ( z ) ：z a 1 ) ，置爱= x ( u 矿( z ) ：z a 1 ) ) ，则z 为尥的闭子 集，由推论2 1 知砭为d u a l l y 离散空间，于是存在墨的离散子集以。，使得 x ：cu u ( x ) ：z a 2 】，从而x = u 【u ( z ) ：z a 1u a 2 ) 下证a 1u a 2 为x 的离散子集由a 1 ，a 2 的取法知a 1n a 2 = 0 对z a 1u a 2 ，若z a 1 ，则存在z 的开邻域d ( 。) ，使得o ( z ) n a l = 【z ) ，置v ( x ) = d ( z ) n ( u u ( z ) ：z a 1 ) ) ，贝l jy ( z ) n a 2 = d 于是y ( z ) n ( 以1 u a 2 ) = z ) 若z a 2 ， 则存在z 的开邻域d ( z ) ，使得d ( z ) n a 2 = 扛) ，置y ( z ) = d ( z ) n ( x x 1 ) ，则y ( z ) 为z 的开邻域，且y ( z ) n ( a 。u a 。) = z ) 从而a - u 以z 为x 的离散子集，故命 题成立 r l 定理2 3 设空间x 是可数个闭的d u a l l y 离散子空间的并，则x 为d u a l l y 离散空间 证明：设x = u r ：n u ) ，其中每一r 是x 的闭的d u a l l y 离散空间， _ u ( z ) ：z x ) 为x 上的邻域设计设d ，是毋中的离散子集，满足口- = u ( z ) ： z d 1 ) 覆盖f 1 ，因 u ( z ) ：z 易u v l ) 覆盖而u v l ，其中恐u z ) 1 为尼的闭 关于d 空间和d u a l l y 离散空间的性质 第二章d u a l l y 离散空间的性质 子集，取尼u v l 的离散子集d 2 ，使得7 ) 2 = u ( z ) ：。d 2 ) 覆盖f 2 u 9 1 ，则类 似定理2 2 的证明可证d ! = d 1u d 2 为乃uf 2 中的离散子集，置趔= d lu 9 2 则趔覆盖毋o f 2 如此继续推导，因 u ( z ) ：z r u 碟一，) 覆盖r u 破卸其中r u 碟一， 为u 亿：i = i ，2 ，n 一1 ) 的闭子集( d 8 = o ) ，则存在r u 碟一1 的离散子集玩， 使得巩= 【u ( z ) ：z 玩) 覆盖r u 破。置硝= d ：一。u d n ，硝= 磁一1u g ， 由于u - 【只：t = 1 ，2 ，礼一1 ) 是x 的闭子集，则仍用类似定理2 2 的证明可 证硝是u 只：江1 川2 一，n ) 的离散子集，硝覆盖u 只：江1 川2 一，礼) 置 d = u 【玩：n 于是d 为x 的离散子集，故结论成立 1 3 推论2 3d u a l l y 离散空间的完备逆像是d u a l l y 离散空间 推论2 4 若x 为d u a l l y 离散空间，y 为恐、沪紧空间，则x y 是d u a l l y 1 3 关于d 空间和d u a l l y 离散空间的性质第二章d u a l l y 离散空间的性质 离散空间 证明：设y = u k ：i n ) ，其中每一m 为y 的紧子集，则对每一i n ，x x y 为k 在完备映射下的逆像，由推论2 3 知x m 为d u a l l y 离散空间由于 x y = u x m ：i n ) ，根据定理2 3 知x y 是d u a l l y 离散空间 口 1 4 关于d 空间和d u a l l y 离散空间的性质 结论 结论 本文研究了d 空间的遗传性质以及由d 空间的定义推广得到的d u a l l y 离 散空间的性质，现对本文所得结论做一回顾 本文主要证明了三个结论： ( 一) 一个a - d 子集与另一d 子集的并是d 空间； ( 二) 可数个a - d 子集的并是d 空间； ( 三) 可数个闭的d u a l l y 离散空间的并仍为d u a l l y 离散空间 1 5 关于d 空间和d u a l l y 离散空间的性质 参考文献 参考文献 【1 】a r h a n g e l s k i ia v a n db u z y a k o v ar z a d d i t i o nt h e o r e m sa n dd s p a c e s ，c o m m e n t a - t i o n e sm a t h e m a t i c a eu n i v e r s i t a t i sc a r o l i n a e ，2 0 0 2 ，4 ，4 3 ，6 5 3 - 6 6 3 【2 】a r h a n g e l s k i ia v ，d s p a c e sa n df i n i t eu n i o n s ，p r o c e e d i n g so ft h ea m e r i c a nm a t h e m a t - i c a ls o c i e t y , 2 0 0 4 ，7 ，1 3 2 ，2 1 6 3 - 2 1 7 0 【3 】a r h a n g e l s k i ia v ，d s p a c e sa n dc o v e r i n gp r o p e r t i e s ，t o p o l o g ya n di t sa p p l i c a t i o n s ， 2 0 0 5 ，1 4 6 ，4 3 7 - 4 4 9 【4 】s t a n l e ya ，d s p a c e sa n dad o w k e rs p a c e ，t h e s i s ，u n i v e r s i t yk a n s a s ，1 9 9 7 【5 】a u l lc ，p a r a c o m p a c ts u b s e t s ，p r o c e e d i n go ft h e2 n dp r a g u ls y m p o s i u m ，1 9 6 6 ，4 5 5 1 6 b o r g e sc r a n dw e h r l ya c ，as t u d yo fd s p a c e s ，t o p o l o g yp r o c e e d i n g s ，1 9 9 1 ，1 6 ，7 - 1 5 【7 】b o r g e sc r a n dw e h r l ya c ，a n o t h e rs t u d yo fd s p a c e s ，q u e s t i o n sa n da n s w e r si n g e n e r a lt o p o l o g y , 1 9 9 6 ，1 ，1 4 ，7 3 - 7 6 【8 】v a nd o u w e ne k a n dp f e f f e rw f ，s o m ep r o p e r t i e so fs o r g e n f r e yl i n ea n dr e l a t e ds p a c e s ， p a c i f i cj o u r n a lo fm a t h e m a t i c s ，1 9 7 9 ，2 ，8 1 ，3 7 1 3 7 7 【9 】v a nd o u w e ne k a n dw i c k eh h ，ar e a l ，w e i r dt o p o l o g yo nt h er e a l s h o u s t o nj o u r n a l o fm a t h e m a t i c s ，1 9 7 7 ，1 ，1 3 ，1 4 1 - 1 5 2 【1 0 1g r u e n h a g eg ，an o t eo nd s p a c e s ，t o p o l o g ya n d i t sa p p l i c a t i o n s ，2 0 0 6 ，1 5 3 ，2 2 2 9 - 2 2 4 0 【1 1 】h e a t hr w a r c - w i s ec o n n e c t e d n e s si ns e m i - m e t r i cs p a c e s p a c i f i cj o u r n a lo fm a t h e - m a t i c s ，1 9 6 2 ，1 2 ，1 3 0 1 1 3 1 9 【1 2 】l i ns h o u ，an o t eo nd s p a c e s ，c o m m e n t a t i o n e sm a t h e m a t i c a eu n i v e r s i t a t i sc a r o l i n a e ， 2 0 0 6 ，2 ，4 7 ，3 1 3 - 3 1 6 【1 3 】p e n gl i a n g x u e ，t h ed - p r o p e r t yo fs o m el i n d e l s fs p a c e sa n dr e l a t e dc o n c l u s i o n s ，t o p o l - o g ya