（基础数学专业论文）稳定环的相对k1和相对k2.pdf

摘要 本文主要讨论特殊稳定秩条件下的低阶k 一群第二章证明了环 r 上的任意两个稳定同构的有限生成投射模均同构当且仅当r 上 任意阶全矩阵环s 均是正则地稳定环( 即：对任意正则元a ，b s ， 若s a - 1 - s b = s ，则存在c s 使得a + c b 可逆) ，并给出了正则 地稳定环的环论刻划半局部环是满足h b a s s 提出的s r 2 ( r ，r ) 条件的重要环类第三章对s i l v e s t e r 9 关于半局部环的西群的 结果做了一个补充t 即举例说明了当r r a d ( r ) 的直和项中含有 f 2 0f 2 时，一般地有墨( r ) 喾u ( r ) u ( r ) ，这里r a d ( r ) 是r 的j a c o b s o n 根、f 2 是二元域、u ( r ) 是冗的单位群、u ( r ) 是u ( r ) 的换位子群；利用c o h n 2 2 】和s i l v e s t e r 9 ，1 0 提出的泛 ( u n i v e r s a l ) 和拟泛( q u a s i u n i v e r s a l ) 的概念，证明了对任意 半局部环r 及其理想，有l ( r ，j 呵( r ，) y ( r ，i ) ，这里 u ( r ，i ) = u ( r ) n ( 1 - 4 - i ) ，v ( r ，i ) 是由 ( 1 - t - a b ) ( 1 + h a ) _ 1f n ，b r 且a 或b i ，1 + a b u ( r ) ) 生成的u ( r ) 的子群记 礁( n ，r ，i ) = k e r ( k 2 ( n ，r ) - k 2 ( n ，r s ) ) 第四章证明了当环r 及其理想，满足s 总( r ，) 条件时，弼( mr ，) 具有满稳定性； 并且在s s r 2 ( r ，i ) 条件下计算了恐( r ，) 和弼( n ，r ，n 这里 s s r 2 ( r ，i ) 条件是指s r 2 ( r ，i ) 条件成立，且对任意o ，b i 有_ 单位伪正则元c r 使得1 十( a c ) b u ( r ) 对交换半局部环 r ，s i l v e s t e r 1 1 】证明了鲍( r ) 由s t e i n b e r g 符号生成这一结果 被推广到弼( n ，r ，j ) 上，其中，是半局部环r 的理想且包含于月 的中心，n 3 第五章是对有限环的鲍群的初步探讨，通过环 r 的j a c o b s o n 根的加群结构，给出了当冗是交换有限的局部环、 j a c o b s o n 根平方为零且2 u ( r ) 时的( r ) 的结构 a b s t r a c t t h i sp a p e rc o n s i d e r st h el o w e rk g r o u p su n d e rc e r t a i ns t a b l e r a n g ec o n d i t i o n s i nc h a p t e r2 ，i ti sp r o v e dt h a ta n yt w os t a b l e i s o m o r p h i cf i n i t e l yg e n e r a t e dp r o j e c t i v er - m o d u l ia r ei s o m o r p h i c i f ra n yf u l lm a t r i xr i n gso v e rri s r e g u l a r l ys t a b l ef i e f o ra n y r e g u l a re l e m e n t sa ，b sw i t hs a + s b = s ，t h e r ee x i s t sac s s u c ht h a ta + c 6 u ( s ) ) c h a r a c t e r i z a t i o n so fr e g u l a r l ys t a b l e r i n g sa r ea l s og i v e n s e m i l o c a lr i n g sa r ei m p o r t a n tr i n g ss a t i s l y i n gb a s s ss r 2 ( 冗，r ) c o n d i t i o nc h a p t e r3g i v e sac o m p l e m e n t a r i t yt os i l v e s t e r 9 sr e s u l ta b o u tt h ek ig r o u po fas e m i l o c a l r i n g ，i e ，a ne x a m p l ei sg i v e nt os h o wt h a ti fr r a d ( r ) c o n t a i n s f 2of 2a sas u m m a n d ，t h e nk l ( r ) 喾u ( r ) u ( r ) i ng e n e r a l u s i n gt h ec o n c e p t i o no fu n i v e r s a la n dq u a s i u n i v e r s a lp r o p o s e db y c o h n 2 2 】a n ds i l v e s t e r 9 ，1 0 1 ，i ti s a l s op r o v e dt h a tf o ra n ys e m i l o c a lr i n gra n di t si d e a li ，k 1 ( r ，i ) 兰u ( r ，s ) v ( r ，nw h e r e u ( r ，i ) = u ( r ) n ( t + i ) a n dv ( r ，) i st h es u b g r o u po f u ( r ) g e n e r - a t e d b y ( 1 + 0 6 ) ( 1 + b a ) 一1io ，b r w i t h a o r 6 i ，l + a b u ( r ) ) l e t 矗j ( n ，r ，i ) = k e r ( k 2 ( n ，r ) + 配( n ，r s ) ) c h a p t e r4p r o v e s t h a tt h e 弼( n ，r ，i ) g r o u ph a ss u r j e c t i v es t a b i l i t yi ft h es r 2 ( r ，i ) c o n d i t i o ni ss a t i s f i e d ，a n dc a l c u l a t e st h e ( 2 ( r ，i ) a n d 弼( n ，r ，i ) g r o u p su n d e rt h es s r 2 ( r ，) c o n d i t i o n ( i e ，t h es r 2 ( 兄，i ) c o n d i t i o ni s s a t i s f i e d ，a n df o ra n yo ，b i ，t h e r ee x i s t sa ni - u n i ts e m i r e g u l a re l e m e n tc r s u c ht h a t1 + ( a e ) b u ( r ) ) i fri sa c o m m u t a t i v es e m i - l o c a lr i n g ， 1 1 p r o v e dt h a t ( 兄) i s g e n e r a t e db y s t e i n b e r gs y m b o l s t h es i m i l a rs t a t e m e n ti sp r o v e dt ob es t i l lv a l i d f o r 弼( n ，r ，nw h e r er i ss e m i l o c a la n dii sa ni d e a lc o n t a i n e di n t h ec e n t e ro fr ，n 3 t h el a s tc h a p t e r i n v e s t i g a t e st h ek 2g r o u p s o fs o m ef i n i t er i n g s u s i n gt h ea d d i t i v es t r u c t u r eo f r a d ( r ) ，i tg i v e s o u tt h es t r u c t u r eo fk 2 ( 兄) ，w h e r er i sac o m m u t a t i v ef i n i t el o c a l r i n g w i t h t a d ( r ) 2 = 0a n d2 u ( r ) 致谢 本文是在宋光天老师的精心指导下完成的三年来，宋老师为作者开 设了大量的讨论班，教授了全面的经典代数一理论知识这是本文得以完 成的坚实基础同时，宋老师严谨务实的工作作风也使得作者在完成论文的 过程中受益匪浅，并为以后的工作树立了榜样宋老师和叶林秀老师对作者 的生活更是无微不至地关怀，作者对此表示最衷心的感谢 还要感谢在科大七年来一起生活和学习的所有同学们尤其是李忠华同 学，他给予了作者许多帮助，包括对本文有益的讨论和建议 最后，作者将此文献给我的母亲和父亲 第一章前言 1 1 背景和主要结果 自a g r o t h e n d i e c k 于1 9 5 7 年证明广义r i e m a n r o c h 定理以来，代数 k 一理论经过许多数学家的研究和发展，已经成为- - f l 独立的数学学科例 如a g r o t h e n d i e c k 、m f a t i y a h 、j p s e r r e 、jm i l n o r 、d q u i l l e n 和v v o e v o d s k y 等著名的数学家都在代数耳一理论的发展中作出了重要贡 献代数k 一理论已经被深刻地应用于代数数论、代数几何、代数拓扑、口一 代数、表示理论、典型群论和其他一些学科代数k 一理论的主要研究对象 是从结合含幺环范畴到阿贝尔群范畴的下列函子： 1 0 ，k 1 ，k 2 ，一，k n ， 从而研究环本身的一些深层次性质本文主要考虑娲、蜀和鲍除特别 指出外，本文中的环均指含幺结合环，所有的理想均是双边理想，所用记号 均与附录中的说明一致 定义1 1 1 ( j 如( r ) ) 对任意环r ，记p ( r ) 为由所有有限生成投射r 模构成的范畴对任意p ，q p ( r ) ，如果p o 兄“型q o f 芒n 对某n n 成立，则称p 和q 是稳定同构的稳定同构关系是p ( r ) 中的等价关系， 记( p 】为p 口( r ) 所在的等价类设f 是由集合 【p 1lp p ( r ) ，生 成的自由阿贝尔群，并记t 是f 中由 i f o q 】一 p 一 q ip ，q 腊( r ) ) 生成的子群定义凰( r ) 为商群j t 例1 1 2 若兄是主理想整环或局部环，则j ( r ) 型器；r 是d e d e k i n d 整环，则k o ( r ) z 型c l ( r ) ，其中c l ( r ) 表示r 的理想类群；若r 是域f 上的无限维线性空间的自同态环，则k a ( 用= 0 设r 是环，p 1 q p ( r ) 且p 与q 稳定同构，如果q 是自由冗模， 则称p 是稳定自由的以下几个条件对于计算( r ) 是有用的： 条件1 ( m i l n o r 7 ) 每个p p ( r ) 都是自由的； 条件2 ( m i l n o r 7 ) 如果舻皇舻，则m = n ； 条件3 ( l a m l 3 4 ) 如果p 稳定自由，则p 自由 1 9 7 6 年，d q u i l l e n 和a s u s l i n 分别独立地证明了著名的s e r r e 猜 2 0 0 3 年2 月中国科学技术大学硕士学位论文 第2 页 第一章前言5 1 1 背景和主要结果 测，即域上的多元多项式环满足条件1 和2s u s l i n 的证明主要是证明此类 环满足条件3 ，参见l a m 3 4 ，c h a p t e r3 若环冗满足条件1 和2 ，则易知 甄f r ) 型z 注意到即使是d e d e k i n d 整环也不一定满足条件1 ，但满足 条件4 如果p 稳定同构于q ，则p 竺q 显然条件3 是条件4 的特例如果环r 满足条件3 ，则l a m 3 4 定义 兄为h e r m i t i a n 的，并利用幺模向量的概念给出了这类环的环论刻划，参 见l a m 3 4 ，推论4 5 1 在第二章中，我们定义环r 为强h e r m i t i a n 的，如 果r 满足条件4 ；并在命题2 2 2 中利用正则元给出这类环的环论刻划定 理2 2 j j 证明了r 是强h e r m i t i a n 环当且仅当对任意n n 均有 厶( r ) 是正则地稳定环( 见定义j 2 2 ) 设a 是r 模，若对a 的任意两个分解 a = a 1o b i = a 2o b 2 且a l 兰a 2 ，均有b 1 型b 2 ，则称a 具有内消击 性定理2 2 8 证明了r 一模a 具有内消去性当且仅当其自同态环是正则地 稳定环，从而改进了舟只定理j 2 中n = 1 时的结果 定义1 1 3 ( k 1 ( r ) ) 对任意环r ，记g l 。( r ) 为兄上n 阶一般线性群，记 ( r ) 为冗上n 阶初等线性群在视a g l 。( r ) 为d i a g ( a ，1 ) g l 。+ l ( r ) 的意义下， g l 。( r ) 可看成是g l 。+ 1 ( r ) 的子群记g l ( r ) = ug l 。( 兄) o 。 n = l 且记e ( r ) = ue 。( r ) 由w h i t e h e a d 引理知e ( r ) 正规于g l ( r ) 定义 k 】( r ) 为商群g l ( r ) e ( r ) 例l 1 4 若r 是局部环，则k l ( r ) 皇u ( r ) u ( r ) ；若r 是欧几里德 整环，则k 1 ( r ) 望u ( r ) ；若s 兄( r ，兄) 条件成立( 见定义j 2 j ) ，则 k 1 ( r ) 呈g l e ( r ) e 2 ( r ) s i l v e s t e r 9 】详细地研究了半局部环的l 群利用g 五i 的准泛( q u a s i u n i v e r s a l ) 的概念，他证明了耳1 ( 功兰u ( r ) v ( r ) ；且当瓦= r r a d ( r ) 中没有( f 2 ) 或f 2 f 2 为直和项时，- ( r ) 掣u ( r ) u ( r ) ，即u ( r ) = v ( r ) ，这里f 2 = z 2 是二元域，v ( r ) 是u ( r ) 中由 ( 1 + n 6 ) ( 1 + 6 n ) 一1i a ，b r ，l + a b 矿( r ) ) 生成的子群熟知当面含有 如( f 2 ) 为直和项时，必 有矿( r ) v ( r ) ( 【2 0 】指出这个事实首先由v a s e r s t e i n 1 6 发现) ；然而，没 有看到关于r 含有f 2 f 2 为直和项的情况的讨论第三章第一节中给出了 一个例子说明当r 合有f 2 f 2 为直和项时，一般地有u ( 兄) 互v ( r ) 第四 章定义了g s l 环，这是一类较为广泛的环类，包括了半局部环，单位正则环 2 0 0 3 年2 月 第一章前言 中国科学技术大学硕士学位论文第3 页 5 1 1 背景和主要结果 和单位稳定环( 见口刃) 在推论4 2 1 2 中，我们证明了蜀( r ) 型u ( r ) v ( n ) 对任意g s l 环r 仍然是成立的 定义1 1 5 ( k 2 ( r ) ) 对任意环r 和n 3 ，记s t 。( r ) 为由符号 。o ( 。) l 1 i j n ，a r ) 按下列关系生成的群： ( 1 ) x i j ( a ) x i j ( b ) = x l j ( a + b ) ； ( 2 ) x i j ( a ) x k l ( b ) = x k l ( b ) x i j ( a ) ，其中i z ，j ； ( 3 ) x i j ( a ) x j k ( b ) = 。，女( 6 ) 。玎( o ) z n ( 口6 ) ，其中i k ( 1 ) 一( 3 ) 称为s t e i n b e r g 关系由于晶( 兄) 也满足s t e i n b e r g 关系，从而 可知有满同态：s t 。( r ) _ e 。( 兄) ix i j ( a ) v - + 最j ( o ) 同理有同态： s t 。( r ) _ + s t 。+ 1 ( r ) ix l j ( a ) s t 。( r ) 时x l j ( a ) s t 。+ 1 ( r ) 群s t ( r ) 定义 为 ( s t 。( r ) ，) ln n ，n 3 ) 的正向极限，从而有满同态 妒：s t ( r ) _ f ( 兄) ix | j ( a ) v - + 噩j ( o ) 定义j g ( n ，r ) 为k e r ( 妒。) ，定义k 2 ( r ) 为k e r ( q o ) 例1 1 6 若r 是有限域，则鲍( r ) = 1 ；鲍( z ) 掣z 2 ；j 幻( q ) 竺 a 2oa 3oa 5o 一，其中a 2 皇z 2 且a n = u ( z p ) ，p 3 是素数 完全计算出一个环的鲍群是很困难的计算有限环的鲍群被列为 2 8 】 中的问题2 4 第五章中，我们计算了一些具体有限环的j 如群若r 是交 换有限局部环、r a d ( r ) 2 = 0 且2 u ( r ) ，记有限域r r a d ( r ) 的特征为 p ，定理5 2 3 证明了k j ( r ) 型鲍( r p r ) ，从而是若干个z j 的直和 对n 3 ，是由d q u i l l e n 利用同伦群来定义的函子 蜀，1o n ( r ) ，n 0 定义匠( 兄，) 为k e r ( 墨( p 1 ) ) ，其中i = 0 ，1 2 0 0 3 年2 月 第一章前言 中国科学技术大学硕士学位论文第4 页 5 1 1 背景和主要结果 注记1 1 8 ( 1 ) 一般不将k 2 ( r ，j ) 定义为k e r ( k 2 ( p 1 ) ) ，参见m i l n o 叫7 j 注记 6 可( 2 ) ，( r ，) 可等价地定义为g l ( r ，i ) e ( r ，) ，其中g l ( r ，i ) = u n = l o 。 g l 。( r ，i ) 且e ( r ，i ) = ue 。( r ，) 本文采用这种定义 ，1 = l 设，是半局部环兄的理想，b a s s 4 ，定理9 6 1 证明了v ( r ，i ) 包含于 k e r ( u ( r ，i ) - k 1 ( r ，nq ) ，此处 o 表示o l 在k l ，f ) 中的等价 类；若兄是其中心上由u ( r ) 生成的代数且icr a d ( r ) ，则k l ( r ，i ) 垒 u ( a ，) y ( 兄，i ) ，此处v ( r ，) 是由 ( 1 + 0 6 ) ( 1 + 6 0 ) - 1lo 或b i ，l + a b u ( r ) ) 生成的u ( r ) 的子群b a s s 猜测对半局部环r 及其任意理想均有 甄( r ，) 型u ( r ，i ) v ( r ，j ) 本文仿照s i l v e s t e r 关于g f _ n 的泛和准泛( 见 ，9 7 ) 的概念，在第三章第二节中提出了日( r ) 的泛和准泛的概念，即给出 一类环的n 阶初等线性群的定义关系( 见w ) 利用这些定义关系，我们 在定理，口中证明了玛( 兄，i ) 兰u ( r ，) y ( 兄，) 对任意半局部环r 及 其理想，成立 由 8 ，推论2 2 6 】知k 1 ( r ) 型u ( n ) u ( r ) 对任意局部环兄成立推 论只4 ? 证明了垃( r ，i ) 望u ( n ，) c 厂( r ，) 7 在一定条件仍是成立的但例 3 4 1 表明在大多数情况下有甄( r ，) 第v ( a ，s ) l u ( n ，) 鲍( r ，) 的定义首先是由d q u i l l e n 在定义所有高阶k 一群的同时给出 的，但不是一个具体的代数定义后来，f k e u n e 和j l o d a y 发现了如下 的等价的代数定义( 见 2 ，【6 】) 定义1 _ 1 9 ( j 屯( r ，i ) ) 对任意环r 的任意理想，记环r o i = ( r ，z ) l r r ，。) ，其运算定义为；( r ，z ) - i - ( s ，y ) = p + 8 ，z + ) ，( r ，。) ( s ，y ) = p s ，r g + x 8 + x y ) 易见0 0 i 是r o i 的一个理想记s ( r o i ，0 0 i ) 是s t ( r o i ) 中由 。玎( ( o ，z ) ) iz n 生成的正规子群对任意z ，y ，称 。巧( ( o ，z ) ) ，。j ( ( ，一g ) ) 】为交叉换位子相对s t e i n b e r g 群，记 做s t ( r ，i ) ，定义为s ( ro i ，0oi ) 模去由交叉换位子生成的正规子群 所得的商群环同态a d ：r o i _ r i ( r ，z ) 卜r + z 诱导满的群同态 s t ( a d ) ：s t ( roi ) _ + ( r ) ix l j ( r ，$ ) 卜+ x q ( r + x ) ，显然交叉换位子 均在k e r ( s t ( a d ) ) 中故s t ( a d ) 诱导满同态s t ( a d ) ：s t ( r ，i ) _ + s ( n ，j ) i 孙( r ，o ) 时x l i ( r + z ) 记s t ( a d ) 和( 妒：s t ( r ) 叶e ( 兄) ；x i j ( a ) 卜b j ( o ) ) 的 复合为a d d 凰( r ，i ) 定义为k e r ( a d d ) 2 0 0 3 年2 月中国科学技术大学硕士学位论文第5 页 第一章前言5 1 2 稳定秩条件 注记1 1 1 0 定义弼( r ，j ) 为k e r ( 尥( r ) _ 硷( r i ) ) ，则有满同态秘( r e i ，0oi ) - - 9 , j 如( r ，) 和尬( r ，j ) 弼( r ，) 由于k e r ( k 2 ( p 1 ) ) 型弼( ro i ，0 0 ，) ，故k 2 ( r ，i ) 是介于k e r ( 娲( p 1 ) ) 和弼( r ，) 之间的一个群 由注记1 1 1 0 ，鲍( r ，) 可以通过计算玛( r ( g i ，0 ( 9 i ) 来得到【1 7 ，3 8 】 计算了当，是根理想时的弼( r ，) ； 3 9 计算了当，满足关于，的单位稳 定秩一条件( 见 3 9 ，定义1 】) 时的玛( r ，) 在本文中，定理42 如证明了 当s s r 2 ( r ，i ) 条件( 见定义j 2 3 ) 成立且n 3 时，对任意a & ( r ，i ) 均有a k ( r ，i ) l 1 呷l 。，从而弼( n ，r ，i ) c k ( r ，j ) 若又有f 包含于 兄的中心，则醚( n ，r ，i ) 由下列元素生成： ( o ，b ) = 日玎( o ，b ) h l j ( 1 + n 6 ) 一1ia ，b r ，1 + a b u ( r ) 且a 或b j 定理43 1 0 证明了对任意半局部环r 及其理想j ，若，包含于r 的中心且 n 充分大，则玛( n ，r ，i ) 由s t e i n b e r g 符号 “， 生成，这里u ，u u ( r ，i ) 或者“c ，( r ) ，v u ( r ，i n r a d ( r ) ) 利用这些结果，定理4 2 i j 证明了：若 沿用s 礼( r o i ，0 0 i ) 中元素的记号来表示其在s k ( r ，j ) 中的像，( 1 ) 如果 s r 2 ( r ，i ) 条件成立，则鲍( r ，i ) c 砜( r ( 9 i ，0 ( 9 ，) p n ( r o ，0 ( 9 i ) ；( 2 ) 如 果s s r 2 ( r ，i ) 条件成立，则j 毛( r ，i ) c 珥。( r o j ，o o ，) ，且若又有j 包含 于r 的中心，则k j ( r ，i ) 由下列元素生成： ( o ，b ) = 甄j ( a 抽) b ( 1 + 0 6 ) 一1l a ，b r o i ，1 + a b u ( r o i ) 且a 或b 0 0 ，) 此外，定理4 3 2 证明了 当s 见( 兄，) 条件成立时，弼( n ，月，) 具有满稳定性 1 2 稳定秩条件 设是环r 的理想b a s s 5 】提出了如下的s r 2 ( r ，i ) 条件 定义1 2 1 ( b a s s ) 设j 是环兄的理想，若对任意口一1 ，b i 且r a + 冗b = 兄，均存在c i 使得a + c 6 u ( a ) ，则称s r 2 ( r ，i ) 条件成立 若s r 2 ( r ，r ) 条件成立，则称兄为稳定环关于s 凡( r ，) 条件的更 多事实可参考v a s e r s t e i n 1 5 许多文章都对s 岛( r ，) 条件做了各种推广， 本文也提出了如下的两个类似条件 定义1 2 2 设月是环若对任意z - 月 l 元a ，b r 且a r + b r = r ，均存在 c r 使得a + b c u ( r ) ，则称兄为正则地稳定环 2 0 0 3 年2 月 第一章前言 中国科学技术大学硕士学位论文 第6 页 5 1 2 稳定秩条件 定义1 2 3 设，是环r 的理想，记r a d ( r ) 为r 的j a c o b s o n 根对任意 a r ，若a 2 一o r a d ( r ) ，则称a 是伪幂等的；若存在u u ( r ，i ) 使得 “o 伪幂等，则称a 是，单位伪正则的如果s r 2 ( r ，i ) 条件成立，且对任 意o ，b i 均存在，一单位伪正则元c r 使得1 + ( a c ) b u ( r ) ，则称 s s r 2 ( r ，i ) 条件成立 定义1 2 2 中的条件是比s r 2 ，兄) 条件更弱的条件，且是左右对称 的s s r 2 ( r ，r ) 条件比s 昆( 兄，r ) 强，但比 1 】1 中的带许多单位正则元条 件弱若，是根理想或满足关于，的稳定秩一条件，则s s r 2 ( 兄，i ) 条件成 立；不难构造例子说明存在环兄及其理想，满足s s r 2 ( r ，i ) 条件，但，既 不是根理想又不满足 3 9 】中的关于，的稳定秩一条件 关于s r 2 ( r ，兄) 条件，我们引叙下面的重要而有趣的事实，从而揭示稳 定秩条件和模论中的消去性问题的深刻联系 定义1 2 4 设a 是一个r 一模如果对任意r 一模m 的任意两个分解m = a lo b l = a 2 0 8 2 且a 1 型a 皇4 2 ，均存在m 的子模a 使得a 垒4 且 m = a o b 1 = a ob 2 ，则称a 具有替换性质 定理1 2 5 ( f u c h s 1 翻和w a r f i e l d 2 3 ) 设p 1q 是r - 模p oq 具有替换 性质当且仅当p 和q 均具有替换性质；p 具有替换性质当且仅当p 的自 同态环满足s 冗2 ( 兄，兄) 条件 第二章即( r ) 中的稳定同构 本章中的模均指右模设r 是环，且p ，q 俨( r ) 是稳定同构的回 忆当q 自由时称p 是稳定自由的 3 4 】定义环r 为h e r m i t i a n 的，如果每 个稳定自由的b 模均是自由的本文定义环r 为强h e r m i t i a n 的，如果任 意两个稳定同构的有限生成投射b 模均是同构的本章给出了强h e r m i t i a n 环的环论刻划 2 1 皿( r ) 中的稳定同构 设r 是环，a ，b r 回忆若存在u u ( r ) 使得a = u b u ，则称。和 b 是相似的；对任意幂等元a ，b “( r ) ，若存在m z 使得d i a g ( a ，0 。) 和d i a g ( b ，0 。) 在尬。+ 。( r ) 中相似，则称a 和b 是。一相似的由 8 ，幂等 元a ，b 。( r ) 是0 一相似的当且仅当作为b 模有a 彤型b r 下面利用 幂等元的相似和0 一相似，给出强h e r m i t i a n 环上的全矩阵环的刻划 命题2 1 1 对任意环r ，下列条件等价： ( 1 ) 对任意p q 珊( r ) 和礼n ，若p o r “皇q o 船，则p 竺q ； ( 2 ) 对任意p 】q ，s 珊( r ) ，若p o s 皇q os ，则p 型q ； ( 3 ) 对任意n n 和幂等元a ，b 呱( r ) ，若存在m n 使得 d i a g ( a ，k ) 和d i a g ( b ，k ) 是0 一相似的，则a 和b 是0 - 相似的； ( 4 ) 对任意n n 和幂等元a ，b 矗( r ) ，如果a 和b 是。一相似的， 则a 和b 是相似的 证明( 1 ) 号( 2 ) 由于s p ( 兄) ，故存在t p ( r ) 使得so t 型r “ 对某n n 成立由pos 掣q0s 知posot 竺qo so t ，即 p 0 形竺q0 酽，从而由( 1 ) 知p 型q ( 2 ) 辛( 1 ) 是平凡的，因为对任意n n 有印p ( r ) ( 1 ) = = ( 3 ) 由r o s e n b e r g 8 ，引理1 2 1 】立得 ( 2 ) 净( 4 ) 注意到舻= a 卯o 一a ) 酽= b r ”o 一b ) 钟若a 是。一相似于b 的，则a r “型b 印，从而由( 2 ) 知一a ) j p 垒一日) 舻 设，：a r “- b r 和g ：一a ) 印_ 一b ) r “是上述两个同构，则 7 2 0 0 3 年2 月中国科学技术大学硕士学位论文 第8 页 第二章开( r ) 中的稳定同构5 21 开( r ) 中的稳定同构 【p = ，0 9 是册的自同构故存在m g l 。( 兄) 使得妒( ( r l ，t 2 ，r 。) 7 ) = m ( r 1 ，r 2 ，r 。) 7 对任意列向量( r 1 ，r 2 ，) 7 即成立，这里t 表示 矩阵的转置由于妒( a 即) = b r “且妒( ( 厶一a ) 卯) ) = 一b ) 彤， 故( 厶一b ) m a = b m ( 厶一a ) = 0 从而m a = b m a = b m ，即 7 m 月 ，一l = b ( 4 ) 号( 1 ) 设印op 些r ”oq 对某n n 和p 1 q 皿( 兄) 成立， 则存在k n 和幂等元a ，b 呱( r ) 使得p 竺a r k 且q 皇b r 2 故 d i a g ( a ，厶) 在螈十k ( r ) 中0 一相似于d i a g ( b ，厶) 由( 4 ) 知d i a g ( a ，l ) 与 d i a g ( b ，厶) 相似，从而d i a g ( i k a ，0 。) 是o - 相似于d i a g ( 厶一b ，0 。) 的， 即 一a 是0 一相似于 一日的同样由( 4 ) 知 一a 相似于 一b ，故 a 相似于b 从而说明p 皇a r 兰b r k 型q 口 推论2 1 2 若环r 满足命题2 j 中任一条件，则r 是强h e r m i t i a n 的口 例如，稳定环是强h e r m i t i a n 的( 见【1 5 ，定理2 7 1 ) ；d e d e k i n d 整环是 强h e r m i t i a n 的设r 是环，回忆若r 的每个幂等元均是中心的，则称r 是a b e l i a n 的；若r 上的每个幂等阵均相似于对角阵，则称兄是p t 环；若 兄是a b e l i a n 的p t 环，则称兄是a p t 环( 见 3 i ) 命题2 1 3 a p t 环是强h e r m i t i a n 的 证明设p q v z ( r ) 由 3 ，命题6 】，存在幂等元e - ，岛且e 整除8 州 ( 即e h l = e 。r 对某r r 成立，1 i s 一1 ) ，和幂等元 ，t r 且 整除 + l ( 1 i t 一1 ) ，使得p 望e i ro8 2 ro oe 。r 且 q 型 r 0 ，2 r 0 0 r 如果酽op 皇r “oq ，则1 r o o1 r 0 e x r 08 2 r o oe 。r 型1 r o 0 1 r 0 1 1 r o ，2 r 0 o ，t r ，贝0 由3 ， 命题6 知8 = t 且q r 型，i r 对任意1 i s 成立，故p 兰0 从而兄是 强h e r m i t i a n 的 口 设兄是环，若对任意舻型f p 均有n = m ，则称r 是i b n 的 命题2 1 4 强h e r m i t i a n 环既是h e r m i t i a n 的又是佃的 证明设胛掣00r “如果m n t ，则称o 。t 是下三角位置上的元素记r = ( a i j ) nj 至多有有 限个下三角位置上的元素a q 0 ) 在通常的矩阵运算下，r 是含幺结合 环可验证r 是g s l 环且j a c o b s o n 根为零；但r 不是正则的，因为x = f ：；：1 1i 在r 中正则当且仅当z = 0 f r 。 事实上，除少数域f 外，上例中的环r 是单位稳定秩一的，但不正则 4 2 & ( r ，) 的结构 类似于命题3 3 3 ，在s t 。( 兄) 中，记s t ( i ) 是由 。u ( 口) ia n 生成 的s t 。( r ) 的子群；记晶( r ，i ) 为由s t 。( i ) 生成的s t 。( r ) 的正规子群 命题4 2 1 设，是环r 的理想， n 3 若s 岛( r ，) 条件成立，则 晶( 兄，i ) = k ( r ，z ) s t 。( j ) 口 2 0 0 3 年2 月中国科学技术大学硕士学位论文 第3 2 页 第四章稳定环的相对k 25 4 2s k ( r ，j ) 的结构 下命题也是熟知的 命题4 2 2 设r 是环，j 是r 的理想若s 兄( r ，j ) 条件成立，则对任意1 i ，n 和a ，b ，c ，均存在口，b ，d i ，使得占b ( n ) 马，( 6 ) 岛( c ) 易f ( 口，) e , j ( 6 ) e j , ( c ，) 是e ；( r ) 中的对角阵 口 设a s t 。( r ) ，回忆若l p 。( a ) 在晶( r ) 中是对角的，则称a 为对角 的若a = r l x i 航( a k ) 是对角的，且a 的某个表达式中只用到m 个不同的下 标i k ，j k ，则称a 是m 一对角的由命题4 2 2 ，若s 尼( 月，i ) 条件成立，则对 任意a ，b ，c i ，均存在a ，c ，i 使得。玎( n ) 。撕( 6 ) 。玎( c ) 。舟( 口) x l j ( b ) ，( c ) 是2 一对角的虽然0 ，b ，c 并不一定由a ，b ，c i 唯一确定，但总可取定一组 a ，b ，d ，并记此时的对角元素为( o ，b ，c ) 设r ( r ，j ) 为a ，b ，c 遍取i i 中所有三元组是按上述方法所得到的所有( n ，b ，c ) 所生成的s t 。( r ) 的子 群，其中1 i j n 由下面的s h a r p e 引理( 见 3 2 】) 或由 2 8 ，8 a 】，可知 对任意p p n ( r ，i ) 和x l j ( a ) s t 。( r ) ，若记妒。( p ) = d i a g ( 0 1 ，) ， 则在s t 。( r ) 中有p ，( o ) p 一1 = x l j ( o i o o i l ) f i h a r p e 引理在s t ( r ) 中， 。0 ： 10 y z x l 1 1 x z y 一1 o1 这里 ： 表示。c 删中在作用下像为 素，而。，y ，z 可以是适当大小的矩阵块 ： ： ( 为了在s “( r ) 中更方便地应用s h a r p e 引理，我们复述本文所要讨论 情况下的s h a r p e 引理对任意a s t 。( r ) ，若a 有表达式兀。埘。( a k ) 且 满足m a x i i k ， ) m ，则记lai m 满足lal m 的所有a 构成了 s k ( r ) 在s t 。( r ) 中的像，为简化记号我们将s k ( r ) 在s t 。( r ) 中的像仍 记为s k ( r ) 对任意m n ，设三二是s t ( r ) 中由 ( 口) fa i ，j m ) 生成的子群；记1 二是s t 。( r ) 中由 z n ( o ) la i ，i m 生成的子群记 l 1 是由所有l ：生成的群，且记1 j 是由所有的1 生成的群，这里2 i n 元 口 惠 隆的兄 ，【 g 、， 0 可 2 0 0 3 年2 月中国科学技术大学硕士学位论文 第3 3 页 第口章稳定环的相对鲍5 4 2 靠( 冗，i ) 的结构 引理4 2 3 对任意环r 及其理想j ，s t 。( r ) l i ，s t 。( r ) 。cl 二，且 s t 。( r ) 1 二，s t 。( r ) _ 1c - 1 0 对任意m h l 西( 1 + v l a t ) = 一铆，l + v l a , h l l j l ( 1 + 铆a 1 ) ，故a = 兀 一q ，l + v t a , i h i h ( = k ) l - i f j l ( 1 + v l a z ) 其中v t u ( r ) 且1 + v l a l u ( r ，i nr a d ( r ) ) 注意到兀 。 ( u k ) n h i j 。( 1 + v l a l ) 弼( 吼r ，i ) 可由适当的 u ， ) 生成，其中u ， u ( r ，i ) ， 从而可知原命题成立 口 第五章特殊交换有限环的尬 本章考虑交换有限环的鲍在第一节中我们具体地记算几个例子利 用这些计算的结果，第二节给出了k 2 ( r ) 的结构，其中r 是交换有限局部 环、t a d ( r ) 2 = 0 且f = r r a d ( r ) 是特征p 3 的域 5 1z 州z ( 茁2 ) 的娲 设j 是环r 的理想，是环s 的理想作为晶( r ) 的子群，日( ) 仅由决定，即只要i 兰i ，就有b i 望晶( ，) 此外，当环r 与 s 同构时亦有s t 。( r ) 型s t 。( s ) 一个自然的问题是：当i 垒i 时是否有 s 。( ) 垒s t 。( j ) ? 在下面给出的情况下，这个问题的回答是否定的 设s = f 2 m ( z 2 ) ，其中f 2 是二元域，f 2 是f 2 上一元多项式环， ( 。2 ) 是其由z 2 生成的理想则s 是交换局部环，由 1 1 ，第2 4 4 页推论1 3 4 】 知