（工程力学专业论文）水管冷却仿真计算的相似有限元方法研究.pdf

摘要 在大体积混凝土施工过程中预埋冷却水管，利用冷却水管中循环冷水的流动 降低混凝土内部水泥的水化热温升，是混凝土温度控制的最有效措施之一。以往 在含冷却水管的混凝土温度场仿真计算中，等效负热源法是在只考虑水管散热不 考虑边界散热的情况下得到绝热温升曲线，计算误差较大；子结构法计算精度有 所提高，建模过程复杂，计算量增大；杂交元等与理论解结合的方法能够更加准 确地计算水管周边的温度梯度，但有限元列式十分繁琐，不便于应用。 本论文提出了全新水管冷却模拟方法，建立了冷却水管单元。其基本原理是： 在水管周围自动进行相似网格剖分，利用相似单元劲度矩阵之间的关系，进行相 似单元的凝聚，以及热源荷载及水管散热边界的凝聚，从而实现普通单元与相似 单元的协调应用。 本文提出具有高精度的含有冷却水管的大体积混凝土温度场的计算模型，并 编制平面温度场水管冷却的相似有限元计算程序。应用冷却水管单元，通过对无 限长圆柱域冷却问题计算结果与理论解的比较，验证冷却水管单元的可行性与准 确性；分析了不同有限元网格划分对计算精度影响，表明冷却水管单元的引入， 无需在水管附近进行密集剖分，从而大大降低了前后处理的数据量和计算量：研 究了混凝土表面散热对水管冷却效果的影响，说明采用冷却水管方法是大体积混 凝土非常有效的温控措施；通过分析分层浇筑中冷却水管的影响，进一步证实冷 却水管单元的实用性。 冷却水管单元的引入，丰富了有限元计算单元库，显著地减化前后处理工作 量，能够提高水管冷却计算的准确性，解决计算速度与计算精度的矛盾，具有很 大的优越性。 关键词：相似单元法、水管冷却、冷却水管单元、凝聚、温度场 a b s t r a c t t h e h y d r a t i o t lh e a to f c e m e n ti nc o n c r e t ew i l lc , a i , i s et e m p e r a t u r er i s i n g , i tc a n b e r e d u c e db yt h ef l o wo fc y c l ec o o lw a t e ri nc o o l i n gw a t e rp i p e , w l a i e hi sb u r i e di n a d v a n c ed u r i n gc o n s t r u c t i o no fm a 鼹c o n c r e t e t h i si s 0 1 1 eo fm o s te f f e c t i v e t e m p e r a t u r ec o n t r o l l i n gm e t h o d i nt h ep a s t , i nt h es i m u l a t i o no f c o n c r e t et e m p e r a t u r e f i e l d 、撕mc o o l i n gw a t e rp i p e , t h ec o o l i n ge f f e c tw a sc o n s i d e r e di nt h ev i e wo f a v e r a g e , w h i l et h eb o u n d a r ye f f e c tw a sn e g l e e t c d r e s u l t i n gi nl o wa c c u r a c y , s u b s t a u e t u r e m e t h o di n c r e a s e dt h ea c c u r a c yt os o m q ed e g r e e , w h i l et h ew o r ka m o u n tw a sa l s o i n c r e a s e da n dt h ei n e - p r o c e s sw l i , si n c o n v e n i e n t ；h y t n _ i de l e m e n tm e t h o dc a l lc a l c u l a t e t h eg r a d i e n to f t e m p e r a t ea r o u n dp i p em o l ea c c u r a t e l y , b u ti t si n c o n v e n i e n tt oa p p l y d u et ot h ec o m p l e xe x p r e s s i o n t h ec o o l i n gw a t e rp i p ec l e m e n ti sf o u n d e di nt h em e t h o ds t u d i e di nt h i sp a p e r t h eb a s i cp r i n c i p l ei st om a k cs i m i l a re l e m e n td i v i s i o na u t o m a t i c a l l ya r o u n dt h ep i p e , e o r t d e n s es i m i l a re l e m e n t su s i n gt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h e i rs t i f f a l e s sm a t r i x e sa n d c o n d e n s et h eh e a tl o a da n dr a d i a t i n gb o u n d a r y , i no r d e rt oa p p l yo r , l i n a r ye l e m e n t s a n ds i m i l a rd e m e n t sc o o r d i n a t e l y t h eh i g h - a c c u r a c ym o d e lo f m a s s c o r i c r e t 嚣t e m p e r a t u r ef i e l d 丽t l lc o o l i n gp i p ei s p r o v i d e d , a n dt h es i m i l a rf e mp r o g r a mf o rp i p ec o o l i n gi nt h ep l a n et e m p e r a t u r ef i e l d i sw o r k e do u t f i x i n g0 1 3 t h ec o o l i n go f a ni n f i n i t ec y l i n d r i c a lf i e l d ，t h ef e a s i b i l i t ya n d a c c u r a c yo fe o o l i n gp i p ed e m e n ti st e s t e db yc o m p a r i n gt h er e s u l td e d u c e db yi ta n d t h e o r e t i c a ls o l u t i o n , a n dt h ee f f e c to fd i f f e r e n tm e s hd i v i s i o nt oa c c u r a c yo f r e s u l ti s d i s c u s s 缸w h i c hs h o w st h a tw h e nu s i n gc o o l i n gp i p ee l e m e n t , t h e r ei s1 3 0n e e dt o m e s hd e n s e l ya r o u n d p i p e , l e a d i n gt o s m a l l e rw o r k l o a do fp r e - p r o e e s sa n d p o s t - p r o c e s s t h ee f f e c t i v eo f r a d i a t i n gc a p a b i l i t yo f c o n c r e t et ot h ec o o l i n go f p i p ei s s t u d i e da n ds h o w si t q 姐e f f e c t i v et e m p e r a t u r ec o n t r o l l i n gm e t h o dt oa d o p tc o o l i n g p i p em e t h o d a d d i t i o n a l l y ，t h ep r a c t i e a b i t i t yo f e o o l i n gp i i , em e t h o d i st e s t e df l l l t h e l b ya n j a l y z i n gt h ee f f e c t i v eo f c o o l i n gp i p ei nl a m i n a rp o u r i n g b yi n t r o d u c i n gt h ee o o l i a gp i p ed e m e n t ，m a n ya d v a n t a g e sh a v eb e e nb r o u g h t , f o re x a m p l e , t h ef e me l e m e n tl i b r a r yi se n r i c h e d ，t h ea m o u n to f p r e - p r o e e s sa n dp o s t p r o c e s si ss i m p l i f i e ds i g n i f i c a n t l y , a n dt h ea c c u r a c yi si n c r e a s e d , c o n s e q u e n t l y , t h e c o n t r a d i c t i o nb e t w e e nc a l c u l a t i n gs p e e da n da c c u r a c yi ss e t t l e d k e y w o r d l s ：s i m i l a re l e m e n tm e t h o d p i p ec o o l i n gc o o l i n gp i p ee l e m e n t c o n d e n s et e m p e r a t u r e 丘e l d 学位论文独创性声明； 本人所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工 作的同事对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意。如不实，本人负全部责任。 论文作者( 签名) ：雕1 怫月7 日 学位论文使用授权说明 河海大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、中国学术 期刊( 光盘版) 电子杂志社有权保留本人所送交学位论文的复印件或 电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子 文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外， 允许论文被查阅和借阅。论文全部或部分内容的公布( 包括刊登) 授权 河海大学研究生院办理。 论文作者( 签名) ： i 乱三一 m _ 年月) 1 5 1 第一章绪论 1 1 问题的提出 第一章绪论帚一早硒亿 二十世纪3 0 年代，冷却水管首先在美国胡佛坝应用，效果良好，这之后在 全世界得到广泛应用，成为大体积混凝土施工中的一项重要冷却措施。其具有灵 活性、适应性及有效性等优点，用以控制大体积混凝土温度和减小温度应力，己 成为大体积混凝土施工的主要温控措施之一“_ 叼。 在大体积混凝土结构中，为了更好地发挥冷却水管的作用，需要对冷却水管 问题进行计算分析，确定合适的控制指标。由于混凝土内部数目众多的冷却水管 中流动水体和混凝土的热交换、以及浇筑层面与表面的散热，使整个混凝土体的 温度场变得非常复杂，成为极复杂的不稳定温度场问题。水管附近的温度梯度很 大，必须布置密集的网而且要同时计算温度场和应力场，因此问题非常复杂，工 作量巨大卅“针对水管冷却问题国内外学者已作了大量的研究工作。 1 、理论解方面 美国垦务局、朱伯芳和一些前苏联学者分别采用分离变量法和拉氏变换法， 把水冷却边界当作第一类边界，求得无( 有) 热源平面问题的理论解答和空问问题 的近似解答m 一。但是这些解答都没有考虑冷却区域边界散热作用，与实际情况 相差很远，不能反映混凝土内部温度变化的真实过程。因此，采用经典的数学分 析方法目前尚无法求得冷却水管问题严格意义上的理论解。 2 、数值解法方面 一般把水冷却边界当作第一类边界，采用有限元分析方法，从混凝土平面温 度场出发得到空间温度场的近似解。 朱伯芳院士曾提出了一些简化的近似算法“圳，其中把冷却水管看成负热 源，从而建立了大体积混凝土的等效热传导方程，在平均意义上考虑水管冷却效 果，等效算法是一种应用较广的方法。等效负热源法不仅使冷却水管问题得到了 简化，而且采用通常的有限元网格，可以同时计算考虑水管冷却的温度场和应力 场。等效负热源方法中的等效绝热温升是在假定冷却区域外表面绝热，只考虑了 冷却水管的散热作用的情况下得到，不能反映混凝土内部温度变化的真实过程。 河海大学硕士学位论文 实际上，除了水管外，混凝土与空气、水、岩石的接触也会传递热量，也有散热 作用。例如，混凝土浇筑过程中，浇筑层面的散热作用是显著的。 河海大学工程力学系刘宁教授和清华大学刘光廷等提出水管冷却效应的有 限元子结构模拟技术吣“，将冷却水管所在之处的单元视为子结构，冷却水管的 冷却效应通过子结构内部结点效应向出口结点凝聚，而后由常规有限元计算获 得。子结构方法计算精度有所提高，计算工作量却没有太大的减少，单元剖分和 子结构程序都较复杂。 蔡建波等采用杂交元求解有冷却水管的平面不稳定温度场，该方法在冷却水 管周围取一个特殊的杂交单元，在该单元内构造复杂的贝赛尔函数形式的温度函 数。捌。杂交元方法能够更加准确地计算水管周边的温度梯度，但有限元列式十 分繁琐。不便应用。 综上所述，冷却水管问题尚无法求得其理论解。而目前所采用的等效负热源 法、冷却水管子结构方法、杂交元等数值解法，通常都存在一些不足：等效负热 源方法中的等效绝热温升在假定冷却区域外表面绝热，只考虑了冷却水管的散热 作用的情况下得到：子结构方法计算网格数目庞大，建模过程复杂，计算量大， 对计算硬件提出了很高的要求：杂交元等与理论解结合的方法对冷却水管的处理 基于没有考虑冷却区域边界散热作用的理论解，且有限元列式十分繁琐，不便应 用。因此，上述方法的结果都具有较大的近似性，不能精确反映混凝土体的真实 温度场。”1 1 2 国内外研究概况及发展趋势 自上世纪3 0 年代美国在胡佛坝首次采用水管冷却以来，这种冷却方式逐渐 得益广泛采用。后经过各国学者的努力，有关水管冷却作用的温度计算问题，相 继得到了解析解答和数值解答。世界上最早把有限元时间过程分析法引入混凝土 温度场分析中的，是美国加州大学的威尔逊( e l w i l s o n ) 教授。他在1 9 6 8 年为 美国陆军工程师团研制出可模拟大体积混凝土结构分期施工温度场的二维有限 元程序d o t - d i c e ，并用于德沃歇克( 1 ) 霄o r k s h a k ) 坝温度场的计算。威尔逊还和他 人合作研制了考虑混凝土徐变的应力分析程序嘲。 近年来，考虑施工过程的高坝仿真应力分析与研究愈来愈受到各国学者的重 2 第一章绪论 视。但由于常态混凝土坝是分块分层浇筑的，且全过程较长( 数年之久) ，所以要 进行较精确的仿真应力( 特别是温度应力) 分析，准确模拟水管冷却效果，一般需 要划分许多单元，计算许多时段。有时由此而引起的计算规模会达到令人无法接 受的程度，更没有可能在个人计算机上进行计算，从而也达不到实用的目的，因 而有必要在满足一定精度要求的前提下，尽量减小计算规模。 我国在研究大体积混凝土结构全过程温度场和温度徐变应力场有限元计算 方面散了大量开创性的工作，目前己处于世界先进水平。如中国工程院院士朱伯 芳提出了“并层算法”臼3 m 蛔( 或浮动网格法) ，并在此基础上，提出了温度场和 应力场的分区异步长算法嘲；武汉水利电力大学的王建江和陆述远提出了适合编 程的“非均质单元法”，对降低单元数和计算时间起了一定的作用仇卅。西安理工 大学结合三峡大坝坝体快速施工，对大仓面薄层浇筑的混凝土全过程温度场和应 力场进行了粘弹性有限元模拟，采用了一种将两层或多层单元并于一层单元的 “互层单元”。在“互层单元”概念的基础上，经过多年的探索和研究，提出了 “三维有限元浮动网格法”“ 在以上的温度场分析中，冷却水管的降温作用主要是采用中国工程院院士朱 伯芳提出的等效算法腻”1 。等效算法主要是为解决局部单元剖分的问题。由于冷 却水管的尺寸相对坝体很小，若在其附近剖分单元及过渡单元，势必使单元太多 且复杂。等效负热源算法是将单元内的冷却水管看成热量的汇项，通过热传导控 制方程求出冷却水管对单元传导矩阵的等效贡献，然后与其它单元组装成总体传 导矩阵求解温度场。 近来，中国工程院院士朱伯芳又提出了考虑水管冷却效果的复合算法蚴。其 基本思路如下：在坝段上部用较精细方法计算一期水管冷却的效果，在坝段下部 的广大范围内，以常规稀疏网格用等效热传导方程进行二期和三期水管冷却的计 算。根据浇筑时间、浇筑部位的不同，文中提出了5 种复合算法，并比较了各自 的优越性。 清华大学刘光廷教授利用在岩土工程渗流场分析中用到的“排水子结构”法， 进行了水管冷却效应的有限元子结构模拟，将冷却水管所在之处的单元视为子结 构，冷却水管的冷却效应通过子结构内部结点效应向出口结点凝聚，而后由常规 有限元计算获得。予结构的形式根据冷却水管排列的密集程度、结构大小以及计 算规模而定，可选用单管子结构、双管子结构或多管子结构等” 3 河海大学硕士学位论文 蔡建波等采用杂交元求解有冷却水管的平面不稳定温度场嘲，该方法在冷却 水管周围取一个特殊的杂交单元，在该单元内构造复杂的贝赛尔函数形式的温度 函数。与常规有限元模式相比，杂交模式所需的单元少速度较快，并能比较精确 地反映水管附近温度剧烈变化的情况。 河海大学的朱岳明教授，针对混凝土水管冷却的温度场问题，在目前用有限 单元法迭代算法近似求解的基础上，根据水管与混凝土之间热量交换的平衡原 理，提出了一种耨的有限单元法计算的新算法。在计算水管水温沿程变化时，通 过水管截面的形心位置和水管半径来实现沿程搜索水管的边界单元，再进行曲面 积分，就可以严格地模拟水管的实际走向来计算管内水温的沿程增量。同时，针 对实际工程中为提高混凝土温度场和应力场计算精度而带来的计算规模增大的 问题，提出了运用有限单元法的并行计算技术以及子结构两种方法，来降低计算 规模n 1 “ 石油大学的梅甫良教授在子结构模拟的基础上，对一期水管冷却计算方法进 行了改进，将混凝土结构瞬态温度场的有限元控制方程表示成状态方程形式，视 冷却水管所在单元为予结构，其它单元为常规单元，然后用状态方程的精细积分 法求得了问题的解。结果表明，可以降低对计算机贮存量的要求和提高冷却水管 附近温度梯度的精度m “。 除此以外，清华大学的麦家煊教授提出了将水管冷却理论解与有限元结合的 计算方法；广州水利局的刘勇军博士提出了水管冷却计算的部分自适应精度法 瓯蜘等等，都是在等效算法基础上做出了一些改进，取得了一定的效果。 今后，大体积混凝土坝全过程温度场、温度应力分析和温控设计方法研究方 面的发展趋势，是建立一套能在微机上实施的二维、三维线性和非线性有限元全 过程仿真计算方法和程序，计算中能模拟大体积混凝土分层施工的实际情况，综 合考虑外界温度变化、混凝土水化热、水管冷却效果、弹模及徐变随龄期变化、 不同材料分区及浇筑温度的实际情况，并建立一套良好的人机交互界面，使工程 技术人员在施工过程中，能根据各种因素的变化，通过良好的微机界面，随时了 解坝体温度场和应力的变化，以便采取相应的温控方法措施。在后处理方面，建 立一套与界面配套的图形处理系统，从浩繁的成果数据中，将所需成果以图形输 出，达到简便实用快捷的效果。 4 第一章绪论 1 3 本文的研究内容 综上所述，等效负热源方法中的等效绝热温升是在假定冷却区域外表面绝 热，只考虑冷却水管的散热作用的情况下得到，与实际情况相差很远，不能反映 混凝土内部温度变化的真实过程；子结构方法计算网格数目庞大，建模过程复杂， 计算量大，对计算机硬件提出了很高的要求；杂交元等与理论解结合的方法，依 赖于含冷却水管的理论解，而理论解本身也没有考虑冷却区域边界的散热作用。 为了解决大体积混凝土温度场水管冷却的计算问题，本文在总结前人成果基 础上，提出了具有高精度的含有冷却水管的大体积混凝土温度场的计算模型。主 要工作如下： l 、总结归纳了温度场计算原理和利用有限单元法计算温度场。 2 、利用单元的几何相似性，研究了相似单元单元劲度矩阵特点，并推导了 相似单元凝聚与求解。 3 、总结推导了利用普通单元与相似单元法联合求解偏微分方程数值解。 4 、建立了基于相似单元的冷却水管单元的数学和计算模型并编制相应程序。 完成时域和空域的藕合，即实现冷却水管区域的相似单元和水管区域以外的普通 单元的藕合。使其更加有效和更加适合于各种边界条件。 5 、根据仿真计算的结果的对比分析，验证水管冷却仿真计算的相似有限元 方法在计算大体积混凝土温度场的可行性和准确性，为工程实践精确求解水管冷 却问题提供了重要的参考。 5 河海大学硕士学位论文 第二章温度场有限元基本理论 温度场问题，一般分为稳态温度场问题和瞬态温度场问题，前者与时间无关， 后者与时间有关。 2 1 导热微分控制方程 设空间六面体均质各向同性，从中取出一无限小的六面体出咖出( 微分单元 如图( 2 1 1 ) ) ，在固体热传导方程中，热流量q ( 单位时间内通过单位面积的 热量) 与温度梯度a 州缸成正比，但热流方向与温度梯度方向相反，即 g ，：一五塑 ( 2 1 1 ) 吼一 瓦 。2 1 1 式中：a 一导热系数，k j ( m 。c ) ； 吼一x 轴方向的热流量： r 一微分体的温度。 y 图2 1 1 热传导示意图 显然，热流量q , g x 的函数，将其展开成泰勒级数并只取前两项，得 钆+ 赛凼= 以挈一五丽0 2 t o x ( 2 1 2 ) 0譬c一 于是，沿x 轴方向流入微分体的净热量为： q = 也一撇= 五窘姒( 2 1 3 a ) 6 第二章温度场的有限元基本原理 同理，沿y ，z 轴方向流入微分体的净热量分别为 g = 芬蚴( 2 1 3 b ) q = 旯窘蚴( 2 1 3 c ) 六面体吸收的热量为 q = 绞+ 姨+ q ( 2 1 4 a ) 设由于水泥水化热作用，在单位时间单位体积中所发出的热量q ，则在体积 正哟珂内单位时间发出的热量为 q 2 = q 蚴 ( 2 1 4 b ) 在时间d z 内，此微分体温度升高所吸收的热量为： q 3 ：印婴d 彘纰 ( 2 1 4 c ) 式中：c 一为比热，材，( 培。c ) ； f 一为时间，j i ； p 一为混凝土的密度，培历3 。 由热量平衡原理，混凝土温度升高所需要的热量等于它所吸收的热量，即 q 3 = q l + q 2 ( 2 1 4 d ) 印 叩警打蚴= 五( 等+ 矿0 2 t + 窘 + q 蚴c z ， 由此得混凝土热传导微分方程： i a t 一：口l , 0 再2 t + 西0 2 t + 百0 2 t j , + 旦 ( 2 1 6 ) 瓦跏。丽+ 矿+ 萨j + 荔 皑l ” 式中：t 一温度，。c a 一导温系数，口= 州印，m 2 h ； q 一由于水化热作用，单位时间内单位体积中发出的热量，材，( m 2 h ) ； c 一混凝土比热，材( 堙。c ) ； p 一混凝土密度，堙m 2 ； 7 河海大学硕士学位论文 f 一时同，| | i ； 由于水化热作用，在绝热条件下混凝土的温度上升速度为： a _ o ：旦：堕 ( 2 i 7 ) t c pc p 式中：口一混凝土的绝热温升，。c ； 矽一混凝土中的水泥用量，堙所2 ； g 一单位重量水泥在单位时间内放出的水化热，u ，( 堙| 1 ) ； 将式( 2 i 7 ) 代入式( 2 i 6 ) ，则热传导方程将改写为： a 缸i r ：a 磐+ 害+ 移+ 筹 汜m ， a f 【丽+ 萨+ 可) + 瓦 8 ( 1 ) 若温度t 沿z 轴方向为常数，则结构的温度场为两向的平面问题，热传 导方程简化为： 塑v - - ：4 ( 窑+ 婴) + 塑 ( 2 1 9 ) 瓦。4 ( 可+ 萨) + 瓦 2 1 9 ( 2 ) 如果温度场不随时间变化，则称为稳定温度场。此时，罢：o ，罢：o 故 热传导方程为。 窘+ 窘+ 窘= 。缸2 。却2 如2 。 2 2 初始条件及边界条件 热传导方程建立了物体的温度与时间、空间的关系，但满足热传导方程的解 有无限多个，为了确定需要的温度场，求解域q 还应满足相应的初始条件和边界 条件。初始条件为初始瞬时物体内部的温度变化规律，边界条件为混凝土表面与 周围介质( 如空气或水) 之间温度相互作用的规律。即求解域q 的全部边界r 应满 足： r = f l + r 2 + r 3 + r 4 ( 2 2 1 ) 初始条件和边界条件合称边值条件。 8 第二章温度场的有限元基车原理 2 2 1 初始条件 求解温度场问题时初始条件为己知，即初始瞬时物体内部的温度分布规律己 知，数学表达式为 r o ，y ，z ，o ) = 瓦( 毛只力 ( 2 2 1 1 ) 多数情况下，初始瞬时的温度分布可认为是常数，即当f = 0 时 r k j ，z ，o ) = t o = c o a s t ( 2 2 1 2 ) 2 2 2 边界条件 边界条件为混凝土表面与周围介质( 如空气和水) 之间温度相互作用的规律。 温度场计算时的边界条件有四类： ( 1 ) 第一类边界条件 r = 亍在e 边界上得到满足，e 边界上己知物体表 面的温度，即第一类边界条件为混凝土表面的温度r 是时问f 的已知函数，数学表达式为： t = f p ) ( 2 2 2 1 ) 在实际工程中，属于第一类边界条件的情况是混凝 土表面与流水直接接触，这时可取混凝土表面的温度 r 1 等于流水的温度五，即： 一 c2 r = 瓦 ( 2 2 2 2 ) 图2 3 2 1 边界条件示意图 ( 2 ) 第二类边界条件 k ，d 苏t n ，+ k ，a 砂t n ，+ 也罢= g 在r 2 边界上得到满足，r 2 边界上己知物体表 面输入的热流量，即第二类边界条件为混凝土表面的热流量q 是时间f 的己知函 数，即： 一五擘) ；g ( r ) 砌 式中：疗一混凝土表面的法线方向； 五一混凝土的导热系数。 9 河海大学硕士学位论文 若表面的热流量等于零，则第二类边界条件转化为绝热边界条件，即： 堡：o 锄 如果结构的几何形状和边界条件都是对称的，则在对称面上热流量为零( 绝 热边界条件) ，此时只需取对称面一侧的结构进行温度分析。 ( 3 ) 第三类边界条件 屯罢以+ k ，8 却t n ，+ t 罢心= ( 一即在l 边界上得到满足，b 边界上己知 对流时的环境的温度，即第三类边界条件为混凝土与空气接触时的情况，在实际 计算中可用对流边界条件来表示。它表示了固体与流体( 如空气) 接触时的传热条 件，即混凝土的表面热流量和表面温度r 与气温l 之差成正比，数学表达式为： 一丑擘) ：( 互一r ) 式中：一表面放热系数，2 j | i 。c ) 。 又当混凝土与空气接触时，经过混凝土表面的热流量是： a z q = 一 ：一 册 对于第三类边界条件，当表面放热系数趋于无穷时，t = ，从而转化为 第一类边界条件；当表面放热系数；o 时，娶：0 ，又转化为绝热边界条件。 伽 在工程中，多数情况下第一、二类边界条件都可以用第三类边界条件来表示。 ( 4 ) 第四类边界条件 当两种不同的固体接触时，如果接触良好，则在接触面上温度和热流量都是 连续的，边界条件如下 猫，a 羞= 如鼍 如果两固体之间接触不良，则温度是不连续，五乃，这时需要引入接触热 阻的概念。假设接触裂隙中的热容量可以忽略，那么接触面上热流量应保持平衡， 因此边界条件如下： t o 第二章温度场的有限元基本原理 瑶= 去c h ，1 饥r 一“ a 塑； 盟 o n ,o n , 式中：r 因接触不良而产生的热阻，由实验确定。 在以上四类边界条件中，以第一类边界条件的处理最为简便。在混凝土建筑 物中广泛适用的第三类边界条件，在数学处理上比较困难。 2 3 水泥水化热与混凝土绝热温升 水泥水化热是影响混凝土温度的一个重要因素，而实际上温度场计算中采用 的是混凝土的绝热温升口。要测定绝热温升通常有两种方法。一种是直接法，即 用绝热温升试验设备直接测定；另一种方法是间接法，即先测定水泥的水化热， 再根据水泥的水化热及混凝土的比热、容重和水泥的用量计算绝热温升。在缺乏 实测资料的时候，通常采用间接法。对于重要工程，常需做混凝土绝热温升实验。 2 3 1 水泥水化热 水泥水化热的发热速率与环境温度密切相关。温度越高，化学反应越快，但 养护温度的增高只是促使水化过程提前结束，不会影响最终水化热总量。 水泥的水化热是依赖于龄期的，通常采用双曲线式来计算水泥的水化热。 q 扛) ：盟 n 十f 式中：烈r ) 一水泥水化热，k j 培； f 一龄期，d ； q 一龄期趋于无穷时的最终水化热，k j 堙 n 一为常数，需通过试验值来得到。 式( 2 3 1 1 ) 具有下列特性： 当f = 0 时，q ( f ) = 0 当f = o o 时，q ( f ) = q o 当f = 一时，q ( f ) = q o 2 河海大学硕士学位论文 由上面特性分析可见，玎是水泥水化热达到一半时的龄期。为了便于对试验 资料进行整理，上式常改写如下： 二：旦+ 三( 2 3 1 2 ) q ( o 蜴蜴 若以f 为横坐标，r q ( r ) 为纵坐标，通过试验点作一直线，此直线的斜率为 i 0 - o 它在纵坐标轴上的截距为，l q ，一次作图便可求出疗和岛。 2 3 2 混凝土绝热温升 目前采用的混凝土绝热温升计算公式有以下几种： 根据水泥水化热计算： o ( 0 = q ( f ) ( 矿+ 七一代纠 指数式： 口( r ) = 岛( 1 一矿) 双曲线式： 复合指数式： e ( r ) = o o r ( n + f ) p ( r ) = 岛( 1 一矿矿) 式中：矽为水泥用量；c 为混凝土比热；p 为混凝土密度；，为混合材用量： q ( f ) 为水泥水化热；k 为折减系数；r 为龄期；o o 为最终绝热温升；脚，廿、 日、b 等为常数。一般后两式与实验资料符合较好删。 混凝土的绝热温升最好也要由试验资料来确定。若缺乏实测资料的时候，可 根据水泥水化热来换算。当绝热温升实验资料具备时，对混凝土通常采用双曲线 式来拟合水泥的绝热温升，拟合过程基本上与水泥水化热拟合过程一样 2 4 本章小结 本章总结了温度场计算的主要原理，包括热传导方程的推导过程，初始条 件和边界条件的确定，为本文温度场有限元分析提供理论依据。 第三章相似单元法 3 1 概述 第三章冷却水管相似单元 相似有限元方法是在普通的有限元方法中适当地利用单元相似性以求减少 运算量。到目前为止，有关相似有限元的研究主要是从数学的角度针对偏微分方 程数值解法进行的，研究者多为计算数学工作者。在计算力学方面，有关相似有 限元的研究非常少见，中山大学张涤明教授将相似单元法应用于液体静压轴承压 力分布的计算”；河海大学工程力学系秦忠国教授在二维单元相似的基础上提出 三维单元准相似概念，应用准相似单元，研究了复合材料层板直边和孔边的自由 边缘效应。”；李有堂提出了计算平面切口应力集中系数的无限相似单元方法彻； 燕山大学杜风山研究了基于相似理论的相似有限元理论。相似单元方法是有限 元方法的一个有益补充，理论与应用价值都十分明显。 有限元法具有适应性好、简明易懂等特点，目前已形成成熟的有限元软件。 对于计算温度场水管冷却的问题，由于水管附近的温度梯度很大，必须布置密集 的网格，不仅占用计算机内存，数据输入也很困难。如果需要同时计算温度场和应 力场，则往往由于计算机内存的限制，实际上无法计算。本章主要论述水管冷却 单元的原理：在水管周围自动进行相似网格剖分，利用相似单元劲度矩阵之间的 关系，进行相似单元的凝聚，以及热源荷载及水管散热边界的凝聚，从而实现普 通单元与相似单元的协调应用。 利用单元相似性可以节省许多运算量，这主要体现在有限元求解的两个阶 段：单元系数矩阵形成阶段和总体求解阶段。本章第二节讨论单元的相似性关系。 首先，给出单元相似所必须满足的条件，在此基础上，根据单元特点，推导彼此 相似的单元其劲度矩阵之间的关系式；第三节利用单元劲度矩阵之间的关系，讨 论总体求解时相似单元法的算法。鉴于基于坐标交换( 等参变换) 的单元应用比 较广泛，因此本章的讨论都将结合参数变换进行。对于非参数变化的单元，相似 情形的单元劲度矩阵可以在其显式中予以判明，或者作与本文相同的讨论。 河海大学硕士学位论文 3 2 相似单元的劲度矩阵 3 2 1 平面弹性问题的相似单元 以四结点平面等参元为例进行讨论。平面佶，r ) 局部坐标中单元国，如图 ( 3 2 1 1 a ) 通过形函数变换 44 x = m g ，j 7 ) 而j ，= m ( 善，7 ) 乃 ( 3 2 1 1 ) i = l目 转换成总体坐标y ) 的四边形单元q ，如图( 3 2 1 i b ) 。q 与m 各节点坐标分 别为( 而，只) 及皤，仉) ，m 为形函数，满足 皤，聃) = 磊和m ( 善，节) = l a ：四结点正方形单兀口 b ：任惹四结点四边形单兀2 图3 2 1 1 四结点平面等参单元 设单元i 和单元i i ，它们的结点坐标分别为( f ，乃1 ) ，( x i n ，乃“) ，并且 “，矿) = ( 耳1 ，p y , 1 ) + ( x o ，)( f = 1 ，2 ，栉) ( 3 2 1 2 ) 式中的口为一常数，则称这两组节点坐标是相似的，设i 、h 两个单元取同样的 等参变换： 单元i ： 单元i i ： f ，= 删 1 y 1 = m j 妒= 毛“= m ( 以1 + 而) l y “= i 咒“= m ( 鼽1 + ) 1 4 第三章相似单元法 由上式可见，节点坐标相似的单元经等参变换后各点的坐标仍然存在一一对 应的相似关系，即它们等参变换后具有相似的几何形状。 下面研究单元i 、的单元劲度矩阵耐，置“之间的关系。 由等参元的定义，位移可表为 卜= g ，7 心 i v = g ，7 ) m 弹性力学平面问题的单元刚度矩阵为 【足】。= 【占】r 【d 】陴】蚴，= j 【矗r d b i j l d f d r i ( 3 2 1 6 ) no 式中： d 】为弹性矩阵。 单元的结点位移 j = 【蝴，v l ，屹，v 2 , , , - - , t ，屹r ( 3 2 1 7 ) 单元的应变为 p ) = 【明舻 。 ( 3 2 1 8 ) 将形函数代入后，可以得到应变的矩阵表达式 = 可将应变占表示为 盟。盟 盟 缸舐 缸 0 塑 盟盟 砂砂勿 叭叭巩巩巩弧 却缸云! ，缸却缸 p = 【明p ) 。= ( 置，马，只) 矿 应变矩阵的分块矩阵 置】= a m 缸 o a n , 砂 o a m 砂 a n 缸 嘶m 屹 1-t-lj o q 叶 岛o q ，。l 一| | i 河海大学硕士学位论文 及 岛= ( 喜等乃) 嚣一( 嘉等乃 等 q = 一陲鲁- ) 嚣+ 。( 笥- - o 虿n 7 _ 筹 【j 】= 叙却 8 8 芎 缸砂 a 玎a 玎 o n , 西 州 a 叩 a 2 8 a 2 a ，7 o n 带 o n 口玎 焉弗 屯咒 - x ty t 设单元i 、的j a c o b i 矩阵分别为- ，1 和，n ，j a c o b i 行列式分别为i ，1i 和 ，“i ，由式( 3 2 1 4 ) 和( 3 2 1 1 4 ) 可得 j “= 1 ( 3 2 1 1 5 ) j j “l ：声2 i j l l ( 3 2 1 1 6 ) 应变矩阵 曰“；土占1 9 将以上二式代入( 3 2 1 6 ) 单元劲度矩阵的表达式可得 k ：= k ? 即：平面弹性问题的相似单元具有相同的单元劲度矩阵。 3 2 2 平面温度场问题的相似单元 单元的形函数为 【川= 【l 2 m 】 单元结点的温度为 r = 【五五】r 单元内部的温度分布为 1 6 第三章相似单元法 r = 【r r r 单元温度系数矩阵表达式为 【k r = 【口r d 】【曰】出西，= f 【占r d t b l d l d f d j 7 ( 3 2 2 4 ) n 式中：t 。，= 台 为导热系数矩阵 【b - - 塑盟盟 苏融苏 盟盟盟 勿砂勿 设单元i 、的j a e o b i 矩阵分别为和，“，j a c o b i 行列式分别为l ，l 和 户i ，由式( 3 2 1 4 ) 、( 3 2 。1 1 4 ) 和( 3 2 2 5 ) 可得 ，“_ - ，9 1 i 户净i ， 曰n ：三曰 e 将以上二式代入( 3 2 1 6 ) 单元温度系数矩阵的表达式可得 k ：= k ? 即：平面温度场问题的相似单元具有相同的温度系数矩阵。 3 3 相似单元的凝聚 3 3 1 概述 上一节讨论了在单元劲度矩阵形成阶段如何利用相似性，给出了彼此相似的 单元及劲度矩阵之间的关系。本节在此基础上，讨论总体求解时相似单元法的算 法。相似单元法有两种情况：一、有限相似单元法，作有限个自由度离散，与一 般方法的区别仅在于强调网格的划分是相似的，如图( 3 3 1 1 a ) 二、无限相 1 7 河海大学硕士学位论文 似单元法，简称无限元方法，在无限元方法中，又分为两种情况：其一是单元划 分趋近无限小，这个点附近的解往往带有奇异性，如图( 3 3 1 - 1 b ) ；其二是单 元划分趋于无限大，用于求解无限域上的或半无限域上的问题，如图( 3 3 1 1 c ) 。 不管单元剖分趋于无限大还是无限小，无限元方法使用了无限多个自由度， 这里的无限是从有限而来的，因此，用无限元求解问题经历了从无限到有限再到 无限的过程，其关键问题是如何求解这无限多个自由度。利用单元的规律性，可 以找出这些无限多个自由度之间的递推关系，有了这样的递推关系，就可以对奇 异点任意近，如图( 3 3 1 1 a ) 或者任意远，如图( 3 3 1 1 b ) 处的解进行比较 精确的逼近。在运算量方面，由于利用了单元相似性，与一般有限元相比，相似 元方法大大提高了计算效率，由于采用分层解法，对机器容量的要求也大为降低。 d 1 0 a ：有限相似剂分 3 3 2 凝聚法 p 1 0 c ：半无限域 图3 3 1 1 相似剖分 凝聚法用于求解有限层剖分的相似单元。设有如图( 3 3 1 1 a ) 所示平面的 有限相似单元，取 l ，以1 ，卢2 ，为比例，以中心点为相似中心， 单元边作外边界在孔外作孔口的相似单元，r i ，r 2 ，f 3 ，f ，从而形成 单元层l 、2 、3 、m ，在层内按相同方式划分单元，这样各层对应的单元 几何上相似，设共有用= z 层单元，由于考虑的是平面问题，故各层对应单元的 劲度矩阵相等。另由于各层的剖分方式一致，因此按同样方式进行组集而得到的 层的劲度矩阵也相等。因此只需计算一层的劲度阵即可。现在的问题是如何求 1 一m 层总的劲度矩阵。r 0 ，r 。围成的区域称为求解区域q 。 1 8 第三章相似单元法 设各层的劲度矩阵写成分块形式是 弓= 匕冲乩z ，川 则m = 2 。层上总的有限元方程为 【x ) = ，) 或 4一岛 一酲a n + 氐一b o b ：q + 氐一b 一碗一b t 磊 磊 最 瓯 式中：屯u = o ，1 ，2 ，神为r 上结点位移构成的列向量，即 = ( 均v l 屹v 2 蜥嘶) 7 ，为r 上的结点数，f j ( j = 0 , i ，2 ，御) 为l 上结点构成的列向量，即 乃；( 墨k 五k 蜀巧) ( 3 3 2 6 ) 方程( 3 3 2 3 ) 中包含了m = 2 4 层上的全部未知量，因此，当m 较大时，所需 计算量和存储量是很大的。现作如下处理：将单元层一次不相重迭地两两合并， 采用凝聚消去两层中间的未知量，例如，第l 、2 两层的劲度矩阵为 凝聚之后为 式中 磁= 喜彳譬- b o 喝a o 叫丢喝a i i4 = a o - b o ( a 。o + 磊) - 1 乓t a j = a o - b 毒