（基础数学专业论文）有限群关于特征标的数量关系与群的结构.pdf

有限群关于特征标的数量关系与群的结构 基础数学专业硕士研究生叶凤英 指导教师张广祥教授 摘要 本文讨论了有限群关于特征标的某些数量关系与群的结构之间的联系在第2 节里，我们定义p ( g ) = i c l l i r r ( g ) ，研究a ( g ) 的数量性质以及在适当条件下p ( g ) 对群的结构的影响，并得到以下定理： 定理2 1 设p 为l gj 的最小素因子，设c d ( g ) = l ，m l ，m 2 ，- 一，m d ) ，1 m 1 m 。 m a 则肛( 蒜特别地，卢( g ) 鬲高，等号成立当且 仅当d = 1 且l g 7j = p 定理2 2 若群g 不可解，则p ( g ) 1 2 ，且肛( g ) = 1 2 当且仅当g ! a 5x a ，a 为 交换群 定理2 3 若群g 不可解，则卢( g ) 1 2 0 ，除非g ! a 5 a ，或有n 旦g ，使 c n ! s l ( 2 ，5 ) 其中j 4 是交换群 定理2 4 设g 是非交换有限群， 创若j c c 7 l = 2 ，则肛( g ) 2 ，且p ( g ) = 2 当且仅当g ! s 3 俐若【g g l = 3 ，则p ( g ) 3 ，且p ( g ) = 3 当且仅当g = 4 4 同时，也讨论了p ( g ) 为某些较小整数时群g 的结构和性质如： 定理2 5 设g 是非交换有限群，则下列条件等价： 门j 卢( g ) = 2 i 俐c d ( g ) = 1 ，2 且i g l = 3 i f 3 ) c z ( o 、2s 3 定理2 6 g 是有限群，则弘( g ) = 3 当且仅当c z ( g ) = a 4 ，d 1 8 ，或 且对任意的z ，g g ，b ，y g z + ( g ) 定理2 7 设r a i nc d l ( o ) 3 ，则p ( g ) = 4 当且仅当a z ( g ) 是2 口阶f r o b e n i u s 群，以g 7xz ( g ) z ( g ) 为核，其补是4 阶循环群 因为舻( g ) 是大于等于；的有理数我们自然会问：是不是每个大于等于；的 有理数a ，都有群g 使得卢( g ) = n ? 关于这个问题我们有以下结果： 命题2 1 肛( g ) 命题2 2 若g 是奇阶群，则p ( g ) 5 命题2 3 若g 是奇阶群，则肛( g ) 7 命题2 4 若p 是一个素数，则存在群e 使p ( g ) = p 一1 若n = n ( p 1 ) ，则存 p 在群g ，使“( g ) = n 在第3 节里，将利用轨道核研究当l c d ( c ) = i g i 时群g 的结构，得到如下两个 定理： 定理3 1 g 为有限群，且i 甜( g ) l = l g b 则g z ( g ) ，且g 为乒群 定理3 2g 为非交换有限群，且i c d ( e ) i = g i ，则 以j g = z 2 当且仅当l r r l ( g ) 的每个轨道核为1 俐g 2z 4 当且仅当i r r l ( g ) 恰有一个轨道核不为1 ， 俐g ，! 邑z 2 或g ! z s 当且仅当i r r l ( g ) 隆有3 个轨道核不为1 并且 g = z 2x 忍当且仅当这3 个轨道核互不相等 g = z s 当且仅当这3 个轨道核中恰有两个轨道核是相等的 在文献 9 】中，y b e r k o v i c h 给出了x ( 1 ) 素因子个数的一个上界，我们在第4 节 里对此结论进行了推广，并得到； 定理4 1g 为有限可解群，配妒i r r l ( g ) ，假设j r r ( ) ( ) + = p 1 ，o z 2 ，a n 令 q = nk e r q d s ( 1 ，2 ，) ) ，并规定当s = 西，取nk e r 啦为g ，设0 n 极大 i 6 s i 6 s 使 x n o ，妒。 0 ，贝1 ii ( ) ( 妒( 1 ) ) l i j r r ( x r 1 + 1 ( c y o ) l 特别地，当) ( = l p 时，i ”( c n o ) l = 0 ，从而i ( x ( 1 ) ) i i n r ( x 趸) + 1 关键词：不可约特征标特征标维数群的阶轨道核 t h eq u a n t i t i e sa b o u tc h a r a c t e r s a n dt h es t r u c t u r eo faf i n i t eg r o u p m a j o r ：p u r em a t h e m a t i c s t u t o r ：p r o f g u a n g x i a n gz h a n g a u t h o r ：f e n g y i n gy e ( 2 0 0 3 5 4 3 ) a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ed i s s c u s st h er e l a t i o no ft h eq u a n t i t i e sa b o u tc h a r a c t e r sa n dt h es t r u c t l l r eo faf i n i t eg r o u p i ns e c t i o n2 ，w ed e f i n ep ( g ) = i c i i i ”( g ) ja n di n v e s t i g a t et h ee f f e c t o fp ( g ) t ot h es t r u c t u r eo fgw i t hs o m ec o n d i t i o n s w eh a v et h ef o l l o w i n gr e s u l t s ： t h e o r e m2 - 1 s u p p o s e 积( g ) = 1 ，m l ，m 2 ，”d ) w i t h1 m 1 m d ，t h e n 卢( 研蒜e s p e c i a m w eh a v e ( 回研备, w h e r e p i ss m a u e s tp r i m e d i v i s o r 。f l a 川g ) = 南i f a n d o n l y i f d = 1a n d i g l 邓 t h e o r e m2 2l e tgb en o n - s o l v a b l eg r o u p ，t h e nu ( g ) 1 2 ，a n dp ( g ) = 1 2i fa 丑d o n l y i f g = a 5 a w h e r e ai sa b e l i a n t h e 。r e m2 3l e tgb en 。n 8 。l v a b l eg r 。u p ，t h e np ( g ) 1 2 ；0 一，。rg = 5 a ，。r t h e r e i s n 旦g ，s u c h t h a tg n = s l 啦，鼬j w h e r e a i sa b e l i a ng r o u p t h e o r e m2 4l e tgb en o n a b e l i a nf i n i t eg r o u p t h e n ( 1 ) i f c c 7j = 2 ，t h e nu ( c ) 2 a n dp ( g ) = 2i f a n do n l yi fg2 鼠 ( 2 ) ul a l e i = 3 , t h e n 肛( g ) 3 a n d 肛( g ) = 3i f a n do n l yi fg = a 4 m e a n w h i l e ，w es t u d yt h es t r u c t u r ea n dp r o p e r t yo ft h eg r o u pgw h e nu ( c ) a r es o m e s m a l li n t e g e r s f o re x a m p l e ： t h e o r e m2 5l e tgb en o n a b e l i a nf i n i t eg r o u p ，t h e nt h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sa s e e q u i v a l e n t ： ( 1 ) u ( g ) = 2 ； ( 2 ) c d ( g ) = l ，2 ) 且i g l l = 3 ； ( 3 ) g z ( g ) = s 3 t h e o r e m2 6u ( a ) = 3i f a n do n l yi f g z ( g ) ! a 4 ，d 1 8 ，o r ，a n df o ra n yz ，y g ，k y g z + ( g ) t h e o r e m2 7s u p p o s er a i nc 矗i ( g ) 3 ，t h e np ( g ) = 4i f fc z ( c ) i sa nf r o b e n i u s g r o u po fo r d e r2 0 ，w h e r ei t sp r o b e n i u sk e r n e li sg 7 z ( g ) z ( g ) ，a n di t sc o m p l e m e n ti sa c y c s cg r o u po f o r d e r4 b e c a u s e ( g ) i sar a t i o n a ln u m b e rw h i c hi sn o tl e s st h a n ；o n ew i l la s kw h e t h e r u e v e r ys u c hr a t i o n a ln u m b e r8i se q u a lt os o m ep ( g ) ? w eh a v et h ef o l l o w i n gp r o p o s i t i o n s f o rt h i sq u e s t i o n ： 7 p r o p o s i t i o n2 1 弘( g ) p r o p o s i t i o n2 2l e tgb eag r o u po fo d do r d e r ，t h e np ( g ) 5 p r o p o s i t i o n2 3l e tgb e ag r o u po fo d do r d e r ，t h a np ( g ) 7 p r o p o s i t i o n2 4l e tpb eap r i m e ，t h e nt h e r ei sag r o u pgs u c ht h a tp ( g ) = p 一1 a n d w h e nn = n ( p 一1 ) ，t h e n t h e r e i sa g r o u p gs u c h t h a tp ( g ) = n i ns e c t i o n3 ，w ei n v e s t i g a t et h es t r u c t u r eo fg r o u pgw h e ni c a ( g ) l = g i ，m a dp r o v e d t h ef o l l o w i n gt h e o r e m s ： t h e o r e m3 1l e tgb eaf i n i t eg r o u p ，a n di c d ( g ) i = i g 7 l ，t h e ng z ( g ) ，a n dg i s 2 - g r o u p t h e o r e m3 2l e tgb en o n a b e l i a nf i n i t eg r o u p ，a n di c d ( a ) i = l g 饥t h e n ( 1 ) c 7 = z 2i f ft h ek e r n e lo fe v e r yo r b i to fi r r l ( g ) i st r i v i a l ( 2 ) g 7 型z ti f ft h e r ei so n l yo u eo r b i to f ，r r l ( g ) w h o s ek e r n e li sn o n t r i v l a l ( 3 ) c ! z 2x 局o rg 71 疡i f ft h e r ea r et h r e eo r b i t s o fi r r t ( g ) w h o s ek e r n e li s n o n t r i v i a l a n dg = z 2xz 2i f fa n yt w oo fk e r n e l so ft h e s et h r e eo r b i t sa x en o te q u a l g ! z s 赶t h e r ea r et w ok e r n e l sa x ee q u a l i n y b e r k o v i c hg i v e sa nu p p e rb o u n df o rt h en u m b e ro fp r i m ed i v i s o r so fx o ) ，w e w i l li m p r o v ei ti ns e c t i o n4 ：。 t h e o r e m 4 1l e t gb e a f i n i t es o l v a b l e g r o u p a n d ) ( ，妒i r r l ( g ) s u p p o s e 打r ( x 科= o l ，( 2 2 ，) d e f i n eq = nk e r “i l s 1 ，2 ，n ) ) a n dl e tnk e r o i = gw h e n s = 垂t a k en 0 nm a x i m a ls u c ht h a tk 七，妒 b 0 ，t h e nl 丌( ) ( 妒( 1 ) ) l 1 i r r ( x 可) l + l ”( c l n o ) i e s p e c i a l l y , w h e nx = 仍w eh a v ei ( c n o ) i = 0 ，a n d1 ( x ( 1 ) ) i f j i r ( ) ( 又) + k e yw o r d sa n dp h r a s e s ：i r r e d u c i b l ec h a r a c t e r ；c h a r a c t e rd e g r e e s ； g r o u po r d e r ；k e r n e lo fo r b i t 独创性声明 9 8 17 5 7 学位论文题目： 焦熟叠苤主盟垒叠鱼缒堑查登鱼堡煎 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西南大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者： 叶风褒 签字日期：硼6 年5 月5 曰 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院可以将学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：讶不保密， 口保密期限至年月止) 。 学位论文作者签名：寸风褒 签字日期：二口口6 年5 月5 日 学位论文作者毕业后去向： 导师签名：；撬广i 寺 签字日期： 伽白年r 月f 日 工作单位：一显翻盟三查堡 通讯地址：丞蘼堵童丛星遁照隆幽三壹叠 电话：( p 奶) jj ? 。岔6 矿 邮编： 万岁d d 口 1引言 群的阶、不可约特征标个数以及不可约特征标维数是有限群表示论中几个最重 要最基本的数字特征量在很多情况下，这些数量关系能够决定这个群的群论结构 设g 是一个有限群，定义肛( g ) = i o l l l z ”( a ) 1 则p ( g ) 可以从某种角度上衡量 群g 与交换群的接近程度显然p ( g ) 1 ，并且肛( g ) = l 当且仅当g 交换1 9 6 8 年 j p o l a n d 研究了p ( g ) 这个能反映群的结构的重要数量函数之后，y b e r k o v i c h ，施 武杰，杜祥林，钱国华，钟祥贵等研究者对芦( g ) 有了更多、更深入的研究 y b e r k o v i c h 在文献【2 0 中定义了m c ( a ) = k ( a ) i c i = p ( g ) ，其中k ( a ) 是群g 的共轭类的个数并证明了：若m c ( a ) 型，则g 交换若m c ( g ) 之，则g 可 解其中p 是i g i 的最小素因子可以看出p ( g ) 的取值范围和群的结构有着相当密 切的联系 文献【1 9 】中，施武杰等人证明了对一般的非交换群g ，都有p ( g ) i o ，并且给出 了卢( g ) = i o 的群g 的结构后来钟祥贵，杜祥林先后推广了这个结果钟祥贵在文献 。 。3。3 f 5 】中得到p ( g ) 南，其中p 是j g i 的最小素因子，并给出了p ( g ) = 南 的群g 的结构- 杜祥林在文献( 2 中得到肛( g ) 万：；i 乇j ，p 同上，c l 为g 中非中 心共轭类长度中的最小者上述作者是从群的共轭类结构对非交换群“( g ) 范围进行 研究的，本文将从群的特征标结构出发研究p ( g ) 的数量性质以及p ( g ) 对g 的群论 结构的影响，首先有 定理2 1 设p 为i g i 的最小素因子，设c d ( g ) = 1 ，m l ，m 2 ，m d ) ，1 m 1 m 2 m d 则p ( g ) 磊需特别地，“( g ) 鼎，等号成立当且 仅当d = 1 且i g ，| = p 文 1 9 】证明：若g 是非交换单群，则u ( a ) 1 2 ，且p ( g ) = 1 2 当且仅当g 2 a s 这个结果引起了我们进一步的思考实际上我们采用特征标方法不难证明： 定理2 2g 不可解，则卢( g ) 1 2 且肛( g ) = 1 2 当且仅当g ! a 5 a ，a 交换 这一结果也较大幅度地加强了 2 0 】的结论，由文【2 0 1 ，若p ( g ) ( m i u r ( a ) ) 2 ，则 g 可解因为不可解群都有m i n f ( g ) = 2 ，于是文f 2 0 】实际上只证到p ( g ) 4 时g 可 解而由定理2 2 知卢( g ) m 一 引理2 7 f 文献i s 定理置础设i g l = p ”，则 i a m ( g ) l b 8 ( ”一曲( p d 一1 ) 扫。一p ) - ( p 4 p d - 1 ) ， 其中d 为p 一群g 的秩 引理2 8 设p s y l p ( g ) ，p 是素数，且p n g _ 1 若p ( g ) = p ，则p 茹g g ( g ) 证明：因为p ! p p ng ，= p g c 7 ，所以p 交换 若p c a ( g ，) ，则pc h a rp g 鱼g ，因此p 旦g 对任意的。只y g ，x - 1 护 p n g = 1 ，所以矽= 口，即p z ( g ) 故可设g = p h ，肛( g ) = 卢( p ) 。芦( 日) = 1 。肛( 日) = p 但日是g 的p 。- 子群，p 1 日1 ，矛盾口 引理2 9 厂文献p s i 的推论1 1 2 r 是g 的s c h u r 表示群当且仅当有a z ( r ) nf ，使r a ! g 且l a i = 阻( g ) l - 其中m ( v ) 是g 的s c h u r 乘子， 引理2 1 0 伍献埘t h e o r e m 3 圳g 为非交换有限群，且g 喾z 6 则p ( g ) = 3 当且 仅当g z ( g ) ! a 4 ，d 1 8 ， ， 且对任意的z ，y g ，i x ，y g z + ( g ) 6 定理2 1 设p 为i g l 的最小素因子，设耐( g ) = 1 ，m l ，”2 i 一，r o d ，1 m l m 。 m a 则肛( g ) 赫特别地，肛( g ) 磊高，等号成立当且 仅当d = 1 且i g j = p 证明：设g 中有s 个非线性不可约特征标，维数为m i 的特征标共有s i 个，则 s = s l + 8 2 + + 蚰，首先 g i = i g i g i + s l m 十s 2 稿+ + s d m ：i a l a 7 1 + 8 1 m + ( s s t ) r e ； 记n = f a a i ，t = j 所以 从而 而 = a l a i + s l ( m 一m ；) 4 - s m ；， 。竺= 坐监2 盟 仃i n 坩) _ 而n t 疆挚。而精 剀+ 詈m 2 ，詈锗 所以 胛胁磊五荪 。磅碡石舔f 可可i 可鬲丽 t m m g = 币熬22 = 幂各 等号成立当且仅当d = 1 因为g 非交换，所以t p 1 所以 邸) 鼎- 等号成立当且仅当d = 1 ，且lg ，i - - p o 推论2 1 若g 是非交换有限群，则p ( g ) ；j ，其中p 为i c l 的最小素 因子并且下面三条是等价的： n 肛( g ) 2 南； ( e ) c a ( c ) = l ，计且l g i = p j 仰g = p a ，p 为p 群，a 为交换群并且p z ( p ) = 磊昂，i p i = p 证明：由定理2 1 1 肛( g ) 鼎，易知，鼎是一个关于变量m 1 的 严格递增函数， m 1 p ，因此卢( g ) 希南并且等号成立当且仅 当甜( g ) = l ，p ) 且l g ，| = p 即( 1 ) 和( 2 ) 是等价的下证( 2 ) 和( 3 ) 等价 ( 2 ) = ( 3 ) ：若砸( g ) = f l ，p ) 且l g 7 i = p ，由文献【1 3 】的t h e o r e m 6 9 ，g 有交换 的正规p - 补a 从而g n a = 1 于是( a a ) = g a a = g c na 为p 阶群，且 甜( g a ) = 础( g ) = 他 故g 为非交换单群时，有p ( g ) 1 2 且p ( g ) = 1 2 当且仅当g ! a 5 第二步：证明若g 是非交换群，且l c g i = 1 ，则p ( g ) 1 2 ，且p ( g ) = 1 2 当且 仅当g ! a 5 首先我们证明肛( g ) 1 2 若不然，设g 为极小阶反例则p ( g ) 1 因为( g g ) = g n = g n n = g n ，且i g n i i g l ，由g 为极小反例，所以有, ( o g ) 2 2 ，但由引理2 4 知# ( g g ) 肛( g ) 1 并且( g n ) p ( g ) = 1 2 下面我们证明p ( g n ) = 1 2 若肛( g ) 1 2 ，则由第一步，g n 不是单群，取g n 的极大正规子群m n ，囡 g = g ，故a i m 为非交换单群，所以u ( g m ) 1 2 另一方面，由引理2 4 ，# ( g m ) = p ( ( g n ) ( m n ) ) p ( c n ) 1 2 矛盾故卢( g n ) = 1 2 因为( g n ) = g 7 = g n n = g n ，l g n f f g i ，由于g 是极小反例，从而 g n 是单群，即g 的任一非平凡正规子群必为g 的极大正规子群 又因, ( a n ) = 芦( g ) ，则由引理2 4 ，n z ( g ) ，所以n = z ( g ) 即g 只有唯一的 非平凡正规子群z c g ) z ( g ) 必是素数阶群 现在a z ( a ) 是满足p ( g 胆( g ) ) = 1 2 的非交换单群，故a l z ( a ) ! a s 1 如1 = 2 2 3 ，5 ，我们断言”( z ( g ) ) 2 ，3 ，讣 若有i z ( g ) i = 延 2 ，3 ，5 ) ，则g = a 5 z ( g ) ，与g = g 7 矛盾 所以p = 2 ，3 ，5 当p = 3 时，j g l 3 = 9 ，g 的s y l o w3 子群交换，从而l = ( 3 ，j g 7 n z ( g ) i ) = ( 3 ， gnz ( c ) 1 ) = ( 3 ，1 z ( g ) f ) ，矛盾 当p = 5 时，i g l 5 = 2 5 ，g 的s y l o w5 - 子群交换，从而1 = ( 5 ，lg ，n z ( g ) i ) = ( 5 ，i gnz ( a ) 1 ) = ( 5 ，f z ( g ) i ) ，矛盾 当p = 2 时，因为m ( a 5 ) = 2 ( 1 3 】习题1 1 1 7 ) ，所以l z ( g ) 【= f 扩( 4 5 ) i 又因为 g = g ，从而有z ( a ) g 由引理2 9 ，g 是 5 的s c h u r 表示群，于是g ! s l ( 2 ，5 ) 此时i i r r ( a ) l = 9 ，p ( g ) = 而# 赫= 学1 2 ，矛盾 综上所述，g 为单群，即g 为满足p ( g ) = 1 2 的非交换单群，由第一步，g = a s 第三步：定理的证明 首先证明g 不可解时p ( g ) 1 2 即p ( g ) 1 2 时g 可解若不然，设g 为极 小阶反例，则g 为单群否则g 若有非平凡正规子群，由引理2 4 知p ( c l n ) p ( g ) 1 2 ，肛( ) p ( g ) 1 2 ，由g 极小，g n ，n 可解，从而g 可解与假设矛盾 因此g 为单群，由第一步，肛( g ) 1 2 ，矛盾故g 可解 下证g 不可解时p ( g ) = 1 2 当且仅当g = a 5 a ，a 为交换群其中充分性显 1 0 然，我们分以下三点来证明必要性 ( 1 ) 0 72 a 5 若g = g ，由第二步，g ! a 5 结论成立 若g g ，由g 不可解，g 不可解，由引理2 4 得，1 2 p ( g ) 肛( g ) = 1 2 ， 从而u ( g ) = p ( g ) = 1 2 ，再由引理2 4 ( 1 ) 知，g ”= g 7 ，g 满足第二步的条件，因此 g 型且5 ( 2 ) 若有x r r r l ( g ) ，使k e r x 1 由g 单，g n k e r x = 1 设k e r x 极大，则g 7 k e r x g 下证g = g k e r x 若x k e r x - g ，因为g sg k e r x ，g ! a 5 ，所以g k e r x 不可解，# ( g k e r x ) 1 2 又# ( g k e r x ) 肛( g ) = 1 2 ，因此肛( g k e r x ) = 1 2 我们假设对阶比蚓小，且满足卢旧) = 1 2 的不可解群日，结论成立 因为i g k e r x k e r x 显然m n g = 1 ， 从而m 某k e r x ，x i r r l ( a ) 这样与k e r x 的选择矛盾 故g = k e r x 这时k e r x 当然交换 ( 3 ) 若对任意的x i r r l ( g ) ，k e r x = 1 则必有g = g 若不然，g 是g 的唯一极小正规子群 对任意的xei r r t ( g ) ，因( g 7 ) = p ( g ) ，由引理2 4 ( 1 ) , x a ，= 口i r r ( g ) ，从而 9 g = 始其中 x 1 ，) ( 2 ，地) 是i r r ( g g 7 ) 作用于l r r l ( g ) 产生的一个轨道因为 x ( i ) = 日( 1 ) ，口。( 1 ) = l a l a i oc 1 ) ，所以这个轨道的长为i g g 1 1 即 对任意的i g i r r ( g g 7 ) ，有权x ( + ) 记v ( x ) = 伯g lx ( g ) o ) ，易证v ( x ) 璺g 因为g 是g 的唯一极小正规子群， 所以g y ( ) ，或v ( x ) = 1 v ( x ) g ，因为g 的每个非线性不可约特征标都至少有一个零点 若g 7 v ( x ) g ，对任意的1 g e i r rc a t vc x ) ) ，有搬= x 与( + ) 矛盾 若v ( x ) = 1 ，则对任意的1 g i r r ( g g ) ，有搬= ) ( 也与( + ) 式矛盾故 g = g 这时g ! a 5 定理证完口 1 1 我们不妨称有理数p ( g ) 为群的类商观察几个阶较小的不可解群的类商tp ( 血) = 1 2 , u ( s l ( 2 ，5 ) ) ：竿，p ( 岛) ：半，p ( p s 工( 2 ，7 ) ) ：2 8 一般的不可解群我们有： 定理2 3 g 不可解，则p ( g ) 1 芦2 0 ，除非g ! a 5 ，或有gg ，使g = s l ( 2 ，5 ) 其中a 是交换群 证明：记r a d ( g ) 为g 的所有可解正规子群的积，记0 = g r a d ( a ) 则q 的极小 正规子群n 是非交换单群的直积注意到非交换单群最小非线性不可约特征标维数 ( 定理2 1 中的m 1 ) 大于