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初一代数思维形成的教学实践与研究 中文摘要 初一代数思维形成的教学实践与研究 中文摘要 学生从算术到代数的过渡是对数的思考向符号的转变，是思维层次从特殊到一 般、形象到抽象的飞跃虽然在目前的数学新课程中，小学阶段就安排了比较丰富 的代数学习素材，发展小学生的代数思维，帮助学生实现由算术思维向代数思维的 过渡，但是教材在具体内容安排上缺乏系统性、层次性的训练铺垫、个别内容结构 安排比较混乱，不能够循序渐进地促进小学生代数思维的形成和发展另外教学的 重点和学生的认知水平使学生仍然以算术思维为主，六年级学生用代数方法解决问 题的总体表现不佳，所以把握好“初一 这个培养代数思维的重要时机，帮助学生 在这个关键入门阶段快速的形成代数思维有着极其重要的意义在对初一教师的访 谈和多次的教研活动中，许多教师也指出，有相当多的初一学生对有关以字母符号 来表示系数的方程、不等式感到无从下手，对于字母符号概念仍然一知半解，对于 解决实际问题感觉畏惧可以说初一学生是否较好地形成代数思维将直接影响函数 等后续代数知识的学习 本文以处在这一重要阶段的初一学生为研究对象，采用文献研究、问卷调查和案 例研究相结合的方式进行实践与研究结合小学生代数学习的现状以及初一代数内容 和教学要求，围绕以下主题开展初一代数思维形成的教学实践：如何帮助学生尽快克 服代数学习的困难? 如何促进初一学生代数思维的快速形成? 并针对学生在符号意 识、方程与解方程、不等式、变量描述、多元表征等方面的主要问题，以案例的形式 展开策略研究 关键词：初一代数；算术思维；代数思维；a p o s 理论 作者：李慧 指导老师：徐稼红 t h et e a c h i n gp r a c t i c ea n dr e s e a r c ho nt h ef o r m a t i o no ft h ea l g e b r at h i n k i n gi ns e v e n t hg r a d e t h e t e a c h i n gp r a c t i c ea n d r e s e a r c ho nt h ef o r m a t i o no ft h e a l g e b r at h i n k i n gi ns e v e n t hg r a d e a b s t r a c t s t u d e n t s t r a n s i t i o nf r o ma r i t h m e t i ct oa l g e b r ai st h et r a n s i t i o nf r o mt h i n k i n ga b o u t t h en u m b e rt os y m b o l sa n di sag i a n tl e a po ft h e i rt h o u g h t sf r o ms p e c i f i ct og e n e r a la n d i m a g et oa b s t r a c t a l t h o u g hp r e s e n tn e wm a t h e m a t i c sc u r r i c u l u mi ne l e m e n t a r ys c h o o l a r r a n g e dar i c ha l g e b r a i cl e a r n i n gm a t e r i a l s ，w h i c ha i m e dt oh e l ps t u d e n t sd e v e l o pt h e a b i l i t yo fa l g e b r a i ct h i n k i n ga n dt r a n s i tf r o ma r i t h m e t i ct h i n k i n gt oa l g e b r a i ct h i n k i n g b u t t h ea r r a n g e m e n to fm a t e r i a l si sl a c ko fab e d d i n go fs y s t e m a t i c ，l e v e lo ft r a i n i n ga n dt h e a r r a n g e m e n to fi n d i v i d u a lc o n t e n ta n ds t r u c t u r ei sc h a o t i c t h e r e f o r e ，s t u d e n t sa r en o ta b l e t og r a d u a l l yp r o m o t et h ef o r m a t i o na n dd e v e l o p m e n to fa l g e b r a i ct h i n k i n g b e s i d e s ，t h e f o c u so ft e a c h i n ga n dt h es t u d e n t s c o g n i t i v el e v e lo ft h i n k i n gd e c i d et h a ts t u d e n t sc o n t i n u e t ob eb a s e do na r i t h m e t i c ；s i x t hg r a d es t u d e n t sh a v ep o o rp e r f o r m a n c ei nu s i n ga l g e b r at o s o l v ep r o b l e m s s oi ns e v e n t hg r a d e ，w em u s tg r a s pt h eo p p o r t u n i t yt od e v e l o ps t u d e n t s a l g e b r a i ct h i n k i n g t oh e l ps t u d e n t sf o r ma l g e b r a i ct h i n k i n gr a p i d l ya tt h i sc r i t i c a ls t a g eo f e n t r yh a sa l li m p o r t a n ts i g n i f i c a n c e i nt h ei n t e r v i e w sw i t ht e a c h e r so fs e v e n t hg r a d ea n d d u r i n gm a n yt e a c h i n ga c t i v i t i e s ，m a n yt e a c h e r sr a i s e dt h a tac o n s i d e r a b l en u m b e ro f s e v e n t hg r a d es t u d e n t sd o n tk n o ww h a tt od ow i t ht h ee q u a t i o n sa n di n e q u a l i t i e si nw h i c h t h el e t t e rs y m b o l sr e p r e s e n tt h ec o e f f i c i e n t s t h e ye v e nh a v ea s u p e r f i c i a lk n o w l e d g e o ft h e l e t t e rs y m b o l sc o n c e p ta n df e e lf e a rf o rs o l v i n gp r a c t i c a lp r o b l e m s w ec a ns a yw h e t h e r s t u d e n t sf o r mg o o da l g e b r a i ct h i n k i n gw i l ld i r e c t l ya f f e c tt h ef o l l o w - u ps t u d y ，s u c ha s f u n c t i o n s t h i sp a p e ri sb a s e do nt h ea l g e b r as t u d yo fs e v e n t hg r a d es t u d e n t su s i n gl i t e r a t u r e r e s e a r c hm e t h o d ，q u e s t i o n n a i r es u r v e ya n dc a s es t u d y c o m b i n e dw i t ht h ep r e s e n ts i t u a t i o n o ft e a c h i n gr e q u i r e m e n t sa n dt e a c h i n gp r a c t i c eo fa l g e b r ai np r i m a r ys c h o o l ，t h i sa r t i c l e c a r r i e so nt h et e a c h i n gp r a c t i c eo ft h ef o r m a t i o no ft h ea l g e b r at h i n k i n go fs e v e n t hg r a d e s t u d e n t sf o c u s i n go nt h ef o l l o w i n gt o p i c s ：h o wt oh e l ps t u d e n t so v e r c o m ed i f f i c u l t i e si n a l g e b r as t u d y ；h o wt oa c h i e v ear a p i df o r m a t i o no fa l g e b r at h i n k i n ga m o n gt h es t u d e n t si n g r a d e s e v e n t h i sp a p e ra l s oi n c l u d e sr e s e a r c ho ns t u d e n t s s y m b o lc o n s c i o u s n e s s ， t h et e a c h i n gp r a c t i c ea n dr e s e a r c ho nt h ef o r m a t i o no ft h ea l g e b r at h i n k i n gi ns e v e n t hg r a d e a b s t r a c t e q u a t i o n a n d e q u a t i o ns o l u t i o n ，i n e q u a l i t y ，v a r i a b l ed e s c r i p t i o n a n dm u l t i v a r i a t e c h a r a c t e r i z a t i o nt h r o u g ht e a c h i n gp r a c t i c e k e y w o r d s ：a l g e b r ai ns e v e n t hg r a d e ；a r i t h m e t i ct h i n k i n g ；a l g e b r at h i n k i n g ；a p o s t h e o r y 1 1 i w r i t t e n b y ：l ih u i s u p e r v i s e db y ：x uj i a h o n g 初一代数思维形成的教学实践与研究第1 章引言 第1 章引言 “数与代数 是九年制义务教育第三个学段的重要教学内容，而初一代数的教学 是初中代数教学的关键时期本章就从代数学的发展历史、代数学习的重要性、中学 代数的学科特点、初一学生身心发展的状况与代数学习中的困难、教师教学中的困惑 与挑战，教育心理学、教学上的研究意义展开，论述了从算术向代数过渡这一特定阶 段对学生发展的重要性以及研究本课题的必要性及其意义 1 1 研究背景 数学是被誉为最简单的语言，主要是因为用符号简化了冗长的自然语言，特别是 建立了完善的代数符号系统这一伟大成果是几千年历史的积累和沉淀，它不但直接 促使了大量的数学发现，而且对人类文化和科技的发展具有重要的作用了解了代数 学的发展，我们就不难理解现在的学生要在短短的几年时间就要学习这些知识中的大 部分，确实存在很大的困难 ( 1 ) 代数学发展的历史 代数学的发展历史通常认为有三个阶段【l 】： 修辞代数阶段( r h e t o r i c a la l g e b r as t a g e ) ，指古希腊数学家丢番图提出文字符号 代表未知量以前它的特征是用通常的语言描述来求解特定类型的问题，并没有运用 符号或特别的记号来表示未知量在此阶段，人们以口语化的自然语言来描述解特定 方程式的过程，并没有使用特殊的符号或记号来表示未知数 半符号代数阶段( s y n c o p a t e da l g e b r as t a g e ) 是由丢番图开创的，他被誉为“代数 之父，他首次引进字母来代表未知的量，并将希腊人已完成的代数成果加以汇集编 目，写成算术一书，对后来的数论学者有很深的影响这一阶段的代数学家关心 的主要是字母身份( i d e n t i t y ) 的发现而不是要试图去表示一般式( g e n e r a l ) 所以在 此阶段代数符号系统并没有重大的发展 符号代数阶段( s y m b o l i z e da l g e b r as t a g e ) ，它开始于韦达的工作，即用统一符号 【1 】c a r o l y nk i e r a n t h el e a r n i n ga n dt e a c h i n go fs c h o o la l g e b r a m g r o u w s ，d a h a n d b o o ko fr e s e a r c ho n m a t h e m a t i c st e a c h i n ga n dl e a r n i n g n e w y o r k ：m a c m i l l a np u b l i s h i n gc o m p a n y , 1 9 9 2 ：3 9 0 - 3 9 1 1 第l 章引言初一代数思维的形成教学与实践研究 同时表示问题中的已知量和未知量，取代以往惯用的词的缩写的办法至此，代数逐 渐成为一种工具，能够提供数值关系的普遍性的法则，方程和代数恒等式有了简洁清 楚的表达方式，代数式本身也变成了可以运算的对象 从修辞代数到符号代数经历了3 世纪到1 6 世纪的漫长历程也就是说人类从“算 术”走向“代数”经历了千年，但在中学的课程中，短短几年，学生要从对数的思考 与理解转变到对符号的思考与理解，并全部学完这些内容，应该是有一定困难的 ( 2 ) 代数学习的重要性 多年来，数学教育的思维价值，特别是对以平面几何为载体的逻辑思维价值在我 国数学教育界一直受到充分的肯定和重视新世纪以来，则把对数学思维的教学扩展 到一个更为宽广的领域特别是突出了与计算机技术密切相关的“算法”思想，更为 进一步的是代数思维在中小学数学教育中的重要地位和作用从世界范围来看，尤其 在美国，则有许多数学教育专家明确提出，“数字化时代 ，代数已经成为通向高等 教育和机遇的大门，成功参与民主社会和科技市场离不开抽象代数思维f 2 】 早在1 9 9 4 年2 月，全美数学教师理事会( n c l m ) 就通过了一个关于“为每个人 的代数 ( a l g e b r a f o re v e r y o n e ) 的报告该报告指出，所有中学生都应该有机会学 习代数的基本思想和方法，而学校中的代数教学和学生的成绩并不理想进而，在美 国人们开始关注代数思维( a l g e b r a i ct h i n k i n g ) 的教学研究提出：以前教给少数学 生的代数，现在要为每一个提供工作和高等教育机会的公民的设计这其中包括，通 过代数核心思想( b i gi d e a ) 的教学，促进所有的人对代数思想的理解、促进有效的 教学由此，需要重新考虑一切：标准、课程、教学、评价及专业发展等“为所有 人的代数 ( a l g e b r af o ra 1 1 ) ，旨在使每个学生都能在代数学习中获得成就“为所 有人的代数”要求重新定义“代数”，“代数”不能再被看作支离破碎的片断和没有 意义的符号游戏，而是由代数思维贯穿的整体，同时这种代数思维还将延伸到几何、 概率等领域的课程中在这一目标的影响下，“代数思维 已经成为一个包含数学教 与学的短语，这种教与学将为学生在代数以及其他领域取得成功经验做好准备【3 】这 足以可见，代数在美国中学数学中的重要地位全美数学教师理事会( n c t m ) 关于 “为每个人的代数 的报告，促使了越来越多的数学教育专家开始关注代数思维的教 【2 1 2 曹一鸣，王竹婷数学“核心思想”代数思维教学研究【j 】数学教育学报，2 0 0 7 ( 1 ) 【3 1 全美数学教师理事会美国学校数学教育的原则和标准【m 1 蔡金法译北京：人民教育出版社，2 0 0 4 1 1 ，7 3 2- 初一代数思维形成的教学实践与研究第1 章引言 学研究 中学代数内容历来就是世界课程改革与数学教育研究的关注点之一，九年一贯制 义务教育，将九年的学习时间划分为前后相互承接的三个学段：第一学段( 1 。3 年级) 、 第二学段( 4 6 年级) 、第三学段( 7 。9 年级) 全日制义务教育数学课程标准( 实 验稿) ( 以下简称标准) 共设置了四个学习领域：数与代数、空间与图形、统 计与概率和实践与综合运用其中“代数 部分主要包含式、方程和不等式、函数它 们都是研究数量关系和变化规律的数学模型，可以帮助学生从数量关系的角度更准 确、更清晰地认识、描述和把握现实世界我t r 矢n 道，式即代数式，是用符号来表示 的，而符号是刻画现实世界数量关系的重要语言，它是数学思维的基础；字母表示数 的思想，深刻地揭示和阐明了存在于一类问题中的共性和普遍性，把认识和推理提到 一个更高的水平；方程和不等式是刻画现实世界中相等关系和不相等关系的重要模 型；函数是刻画现实世界中数量变化规律的数学模型 代数内容在义务教育阶段的数学课程中占有重要地位，具有很重要的教育价值： 有助于学生理解现实世界中的数量关系和变化规律：有助于学生形成运用数量关系进 行思考的思维方式；有助于学生数学思考、解决问题、情感态度等多方面的发展【4 】王 梓坤院士在今日数学及其应用一文中指出：“当代科技的一个突出特点是定量 化精确定量思维是对当代科技人员共同的要求”【5 】事实上，不管在科技领域， 还是在人们的日常工作、生活中，我们都越来越依赖定量化的思考 在“数与代数”这一学习领域，与传统教学大纲相比，标准无论是在设计思 路、内容安排，还是教学方法等方面，均发生了许多实质性的改变标准强调， 通过实际情境使学生体验、理解和感受数与代数的意义，注重让学生在实际背景中理 解基本的数量关系和变化规律，注重使学生经历从实际问题中建立数学模型的过程， 并逐步拥有建模的思想特别强调代数与现实生活的紧密联系，以及代数是解决实际 问题和进行交流的重要工具通过“数与代数 内容的学习，不仅要使学生掌握必要 的知识和技能，而且要使学生在学习过程中体验、感受、理解这些知识的来源、现实 背景和本质，发展学生的数感和符号感，使学生认识到数学与生活的密切联系，了解 数学的价值，提高提出问题、分析问题和解决问题的能力 4 1 刘兼数学课程设计【m 】北京：高等教育f l 版社，2 0 0 3 ：1 4 2 ，1 8 5 【5 】严士健典型群随机过程数学教育【m 】北京：北京师范大学出版社，2 0 0 5 ：3 1 9 - 4 1 8 第l 章引言初一代数思维的形成教学与实践研究 ( 3 ) 中学代数的学科特点 代数是数学的基础，它是一种解决问题的工具，它提供了一种一般化的语言和结 构去分析量之间的关系、建立模型以及说明和证明中学的代数内容不能完全等同于 基础代数，李士镝认为：6 q 丁学代数是由算术引入，在教学上与算术有很多相衔接的 地方，包括课题、方法、符号形式等但是随着内容的深入，它也引进了算术中从未 考虑过的专题和方法，形成自己的特点，并在认识上较之算术有着更高的层次算术 运算和代数运算的根本区别在于算术运算是过程性的，算术运算的目的是为了求出算 式的结果，而代数运算是结构性的是形式变换，代数运算具有过程和结果双重性；代 数的思考是在抽象层面上的思考，代数的方法具有一般性有助于培养高层次的思维， 代数对算术就像书面语言对口头语言因此，学生要顺利形成代数思维，教学安排 中亦应注重代数思维的符号化、一般化与结构化三个特征，我们的教学应该引导学生 从算术的思考逐步地过渡到代数的思考，逐步地从非形式化的水平上升到形式化的水 平 从算术向代数过渡是学生数学学习过程中极为重要的转变阶段 7 1 ，算术中的基本 对象是数，包括数的表示，数的意义，数之间的关系以及数的运算等，这些知识对学 生来说是基本的，它们将为学生今后的代数学习打下坚实的基础，所不同的是代数中 的基本对象除了数还出现了更具广泛意义的基本对象符号，这是代数不同于算术 的典型特征在代数中用字母表示数，用符号表示运算法则、运算性质、计算公式等， 将数的知识提升到一般化的水平在代数的课程中，学生要学习符号的意义，进行符 号之间的运算( 形式变换) 和转换、用符号进行表示、用符号解决问题在此过程中， 学生还要学习许多新的概念，如代数式、变量参数、图象、方程、函数等，而且他们 还需要懂得代数的结构研究算术方法和代数方法各自的特点，研究它们之间的联系 与不同，对于提高教师的专业水平以及有效地进行教学设计和有针对性地对学生进行 指导是十分重要的 ( 4 ) 初一学生身心发展的状况与代数学习中的困难 尽管新一轮基础教育课程改革设置九年一贯制课程标准，在第二学段已有“式与 方程”这一内容，介绍了字母表示数和简易方程的概念以及求解的过程与方法，但直 f 6 】6 李士铈p m e ：数学教育心理【m 1 上海：华东师大出版社，2 0 0 0 ：1 5 6 【7 j 史炳星从算术到代数【j 】数学教育学报，2 0 0 4 ( 2 ) ：7 9 - 8 1 4 初一代数思维形成的教学实践与研究第l 章引 言 到初一，学生才开始正式学习代数他们开始学习从问题情境中抽象出各种关系，用 代数符号表示这种关系，并按代数法则进行思考、计算、处理因此，我们说学生这 时才真正的进入了代数的范畴 首先，根据皮亚杰的认知发展理论，初一学生( 1 1 、1 2 岁) 正处于具体运算阶段 ( 7 、8 岁。1 1 、1 2 岁) 向形式运算阶段( 1 1 、1 2 岁。1 5 、1 6 岁) 的过渡时期，思维发展 水平有可能限制初一学生从算术到代数的转变 其次，小学与初中的数学学习内容也有很大的不同，直接导致了许多初一学生在 数学学习上的不适应，学生由于日常经验以及已有小学算术知识先入为主，代数内容 的学习可能产生负迁移，从而也极有可能影响学生从算术到代数的转变 再次，字母参加运算后，字母既代表一个具体的数又可以代表一个任意数、一个 抽象的数，抽象程度大大提高其间学生可能面对如下困难：1 ) 符号意义的不连续； 2 ) 运算客体的扩充；3 ) 程序性逆向思维的惯性运作i s 由奥苏贝尔的有意义学习理论，学生原有认知结构中如果没有足够的知识固着 点，那么将不足以同化新的代数知识由此可见，学生从算术向代数的过渡是顺应学 习的过程，需要对原有认知结构进行重组与改造，实现原有认知结构的质的变化这 个顺应学习的过程对于初一学生来说，也会有定的困难 ( 5 ) 教师教学中的困惑与挑战 在多年的教学经验中，可以发现不少初中学生在代数学习中存在着很大的困 难在代数学习的每个阶段，每个知识块上学生都存在一些典型的错误，而且应用能 力的缺失比较严重，这些错误与能力欠缺主要表现在：学生不能理解字母表示的是 变量这一事实；对于代数式、方程和不等式等未形成结构性的理解；不熟悉代数 符号语言中的语义规则：抽象出问题中的量的关系的困难，建立方程和函数模型的 困难学生代数学习的困难就在于此吗? 还有没有别的困难? 原因是什么? 对于某类 典型的题目，尽管老师加倍重视，可反复操练后为何效果仍然不佳? 如何准确理解初 中数学课程中“数与代数 领域的教育价值、教学设计的理念、原则、方法? 如何在 教学中培养学生的数感、符号感、应用意识? 如何改变学生的学习方式、教师的教学 方式? 怎样进行教学设计? 这些问题的研究，都是代数教学中面临的挑战 【8 】壮惠铃，孙玲小学教学研究川，2 0 0 6 ( 3 ) ：2 4 - 2 6 5 第1 章引言初一代数思维的形成教学与实践研究 1 2 研究意义 ( 1 ) 在教育心理学上的意义 教育心理学中关于知识的获得与理解的理论主要是同化理论德国教育家赫尔巴 特最早用“同化”这一概念来解释知识的学习他认为，学习过程是新观念进入原有 观念团内，使原有观念得到丰富和发展，从而为吸收新观念作好准备的统觉过程，亦 即新旧观念的同化过程【9 】奥苏贝尔的学习理论，认为同化是有意义学习的心理机制， 【l o 】把学生原有知识的实质内容及其组织特征看作是影响新知识学习的最重要变量他 们认为个体学习的新知识是包摄水平较低的，可以将其纳入原有认知结构之中，在新 旧知识之间形成实质性的、非人为的联系，就获得了新知识的意义，从而促进了理解 然而，从算术向代数转变的阶段，是典型的顺应学习的过程涂荣豹教授认为“初 一学生学习代数，就是顺应学习的过程初一学生此前只学过算术，就不能单靠同化 方式在原有的算术认知结构的基础上学习代数，而是首先要改造算术认知结构” 1 1 1 从算术到代数，学生学习的是包摄水平较高的知识，此时学生原有图式不能满足当前 的学习，需要顺应学习，即个体需要将原有图式进行重组与改造，以适应当前的学 习然而由于图式的“顽固性，学生要实现这个顺应过程是较为困难的 从上述意义上来说，本研究探讨初学生从算术向代数的转变特点，深入剖析顺 应学习的过程，从微观上丰富了教育心理学有关顺应学习方面的论述 ( 2 ) 在代数教学上的研究意义 本研究有助于教师采取有效的教学方式，促进初一学生代数思维的快速形成 通过各种文献资料对代数思维和初一学生学习代数的困难的剖析和研究，使笔者 能够站到较高的理论层次上，对代数思维有了清晰的概念，对初一代数思维形成过程 中的困难有了深刻的了解结合理论上的教学策略和建议，笔者积极投身到教学实践 中，寻求突破困难的方法，力求策略的可行性和可操作性，希望摸索出一套切实可行 的教学方式，能给一线教师提供有益的启示，促进学生形成扎实有效的代数思维模式 学生在代数学习中存在着种种困难，究其原因，有很大一部分在于代数入门教学 的不到位初一代数学习过程是由算术思维向代数思维过渡的过程学生必须面临几 【9 l 皮连生智育心理学【m 1 北京：人民教育出版社，2 0 0 0 ：9 7 【l o 】施良方学习论【m 】北京：人民教育f | ；版社，2 0 0 1 ：2 3 3 【1 1 1 涂荣豹新编数学教学论【m 】上海：华东师范人学出版社，2 0 0 6 ：4 9 6 初一代数思维形成的教学实践与研究 第l 章引言 个巨大的转变：1 ) 从字母表示数开始，数量的概念是从特殊到了一般，虽然并没有 提出变量的概念，但是实际上字母表示的是变量，是一般量；2 ) 思维方式的转变： 从单纯的进行计算到认识代数表达式的结构性侧面，理解其表示的关系；3 ) 语言的 学习：从文字语言辅以算式到运用符号语言，要学习运用符号语言来描述、刻画和演 绎，熟悉其中的语义规则如果不能在入门阶段初步完成这几个转变，代数的学习将 变成无意义的文字游戏 经过实践，笔者认为，这一阶段的教学首先要从调查六年级学生对代数已有的学 习和现状出发，掌握标准中“数与代数”领域在教学目标、教学内容、课程结构、 教学理念等方面的要求，对教材中初中代数的教学内容和教学目标、编排结构与编排 意图做全面而透彻的研究，从而可以有根据、有目的地作出创造性处理和教学设计然 后有计划地在以下方面进行培养和训练：1 ) 在有理数部分尽早引入字母符号，提前 接触符号语言，初步体验符号语言的特点；2 ) 特别重视从数字到字母过程中对字母 的认知，加强对变量概念的理解，培养符号意识；3 ) 通过代数推理的训练逐步发展 学生的一般化思维模式；4 ) 培养代数式、方程和不等式等过程和结构的二重属性概 念，采用a p o s 理论指导教学；5 ) 重视代数符号语言的学习，通过多元表征逐步发展 代数的结构意识；6 ) 提高学生建立方程、不等式模型来解决实际问题的能力，帮助 学生克服小学阶段习惯的算术方法的思维定势；7 ) 通过教学渗透使学生初步体验函 数思想此外，也要注意非智力因素对学习不可忽视的推动作用 初一代数的教学是初中代数教学的关键时期，是学生初中阶段代数学习的开端和 基础，初一阶段代数思维形成得好与否对学生三年的代数学习起着决定性因素，初一 代数思维良好的发展，将从很大程度上减轻后续代数学习的压力，所以这方面的研究 有重要的现实意义和理论价值 7 第2 章研究综述初一代数思维的形成教学与实践研究 第2 章研究综述 要做本项研究首先要区分算术与代数，从而对代数思维才可作全面的研究、明确 代数思维的特征与本质，然后结合数学概念二重性理论、数学概念的a p o s 理论等便可 对初一学生代数思维的培养提供科学的理论指导、确立培养目标和个性化的实施措施 2 1 算术到代数 在现代汉语词典中，“算术”一词被定义为：数学的一个分支，是数学中最基础、 最初等的部分主要研究零和正整数、正分数的记数法，在加、减、乘、除、乘方、 开方运算下产生的数的性质、运算法则以及在社会实践中的应用“代数”则被定义 为：数学的一个分支，用字母代表数来研究数的运算性质和规律，从而把许多实际问 题归结为代数方程或方程组在近代数学中，代数学的研究由数扩大到多种其他对象， 研究更为一般的代数运算的性质和规律【1 2 】定义中算术与代数变成了数学的两个分 支，它们的研究对象有了明确的分别比起代数，算术的研究对象更为具体，主要研 究记数、数的性质及运算法则，突出了基础性；而代数则研究数运算中产生的性质、 规则，并被看作是不断拓展的研究领域 算术中的基本对象是数，包括数的表示、数的意义、数的关系、数的运算等，它 们将为学生今后的代数学习打下坚实的基础代数的基本对象除了数，还出现了更具 广泛意义的基本对象符号，这是代数区别于算数的典型特征在代数中用字母表 示数，用符号表示运算法则、运算性质、计算公式等，将数的知识提升到一般化的水 平在代数的课程中，学生要学习符号的意义，进行符号之间的运算( 形式变换) 和 转换、用符号进行表示、用符号解决问题在此过程中，学生还要学习许多新的概念， 如代数式、变量参数、图象、方程、函数等，而且他们还需要懂得代数的结构 尤塞斯金认为代数可以从以下四方面来刻画：1 ) 代数作为一般化了的算术；2 ) 代数作为解决某种类型问题的过程的研究；3 ) 代数作为数量之间的关系的研究；4 ) 代数作为结构的研究【1 3 】其中，明确指出了代数与算术的关系：代数是一般化的算 【1 2 】中国社会科学院语言研究所词典编辑室现代汉语词典【m 1 北京：商务印书馆，2 0 0 5 2 6 1 【1 3 】c a r o l y nk i e r a n l e a r n i n ga n dt e a c h i n gm a t h e m a t i c s p s y c h o l o g yp r e s sl t d 1 9 9 7 ：1 3 6 1 3 7 8 初一代数思维形成的教学实践与研究第2 章研究综述 术由此可见，算术确实是代数研究的基础，而代数又为什么能成为算术的一般化呢? 这是因为代数中有了文字符号，在算术中参加运算的客体只是数字，但在代数中除数 字之外，文字符号和由文字符号组成的代数式也能参与运算，从而使算术中关于数的 理论有了更为普遍化、一般化的意义更进一步，正因为有了文字符号，改变了算术 中过分关注于计算结果的一种思维模式，转而更关注于对过程、关系与结构的研究， 转移了算术研究的重点，扩充了算术研究的领域 具体地说，它们的区别与联系可从以下几个方面来认识： ( 1 ) 符号意义的不连续 算术与代数共享了许多符号与对象如“l ，2 ，3 ，i 1 ，鲁， 、“+ ，一， 二j = ，但有的符号在算术与代数上的意义是不连续的，这使学生在面对这些符号时， 经常产生混淆特别以等号“= 为例，在代数中，“= 代表一种两边对称的等价关 系，a = 6 即是说口，b 是同一个对象但是在算术中经常被用来“宣布一个结果 ， 代表运算结果“得到 如2 + 3 = ? “= 所传达的信息是要把2 + 3 的结果算出来，宣布2 + 3 的结果是多少，在算术 方法中小学生用“= 表示计算结果，而不是用来表示等式两边对称的等量关系这 使得小学生在进行运算的过程中出现错误，如“小明和同学去商店买本子花去了7 元， 又向同学借了5 元去买笔，花了l o 元，最后剩1 元，则小明自己带了多少钱? 在算术 解法中，1 + 1 0 = 1l ，1 1 5 = 6 ，6 + 7 = 1 3 但有学生会写成1 + 1 0 = 1 l 一5 = 6 + 7 = 1 3 再如在解方程2 x 一3 ( x 一6 ) = 工的过程中出现： = 2 x 一3 x 一1 8 = 工 = 2 x = 1 8 = 工= 9 这种错误在初一很频繁，到了初二还经常出现，这种对等号意义的错误理解，原 因即在于学生的想法是一个程序性的运算虽然答案是对的，但却忽略了等号的不连 续性，不明白等号具有“二重性” 一旦学生仍以程序性的运算来看待等号，就会无法接受许多的等式例如，4 + 3 = 6 + l ，许多学生认为等式右边不代表一个运算的结果，而写成4 + 3 = 6 + 1 = 7 此 类学生即是尚未将等号视为一种等价关系嗍 9 第2 章研究综述 初一代数思维的形成教学与实践研究 ( 2 ) 程序与结构或过程与对象 结构，是代数最基本的方面之一，这里所说的结构正如弗赖登塔尔所指出的：“结 构是从语言表达抽象出来的一种形式 他给出了一个代数结构的简单的例子a + b = c ，即将一个数a 和另一个数6 加到一起就会得到数c 回想在算术中写两个数相加的形 式时，j t l l 2 + 7 通常就是要算出2 和7 的和9 ，2 + 7 通常只是一个过程，9 是2 + 7 的结果而 代数式a + 6 这个形式本身既表示a 和b 这两个数作加法运算，也表示a 和b 相加的结果即 a + 易本身既可以看作运算过程又可以看作运算结果，也就是作为一个对象看待将2 + 7 作为一个数的解释是真正的代数，它与文字演算紧密相关如果说把代数式作为一 个运算过程来理解，对于开始学代数的学生来说还不是太困难的话，那么把代数式作 为一个结果对象来理解就是比较困难的了 对代数式的意义的认识学生不是一蹴而就的，而是需要一个理解的过程d a v i d t a l l 提出了“过程一对象的对偶体 1 1 4 1 ，认为由过程向对象的过渡不只是一种单向的 运动，要能将数学概念既看成一个过程，又看成一个对象，并能在两者之间进行灵活 的转换，于是创造出了“p r o c e p t 这样一个新的词汇，即要在“过程 ( p r o c c s s ) 与 作为对象的“概念 ( c o n c e p t ) 这两者之间作必要的整合形象地描述了算术与代数 两者之间发展与转化的关系 代数式既表示运算过程同时也表示运算结果，这件事可以这样理解，如2 ( a + 厶) ， 当我们代入数值a = 2 ，b = 1 时，经过运算就得至u 2 ( 2 + 1 ) = 6 ，这显示了代数式过程性 的一面同时对于2 + 易) ，不论a 和b 代入何值，它都代表周长，代表长为a 、宽为b 的长方形的周长，是作为一个对象或者说是作为一个整体来理解的算术运算和代数 运算的根本区别在于算术运算是过程性的，算术运算的目的是为了求出算式的结果， 而代数运算是结构性的，是形式变换，代数运算具有过程和结果双重性网 ( 3 ) 逆向与顺向思维 小学生习惯于程序性的逆向思维来解决问题，在他们头脑中算术方法占主导地 位，但是用代数方法思考的过程却往往是顺向的如，“某数的一半与4 的和等于8 ， 求这个数”算术解法为( 8 4 ) 2 ，答案是8 代数方法为：设该数为工，列方程得要+ z 4 = 9 ，思考顺序恰好与算术运算相反从解决问题方法多样性的角度来看，算术的方 【1 4 】郑毓信认知科学、建构主义与数学教育 m 上海：上海教育出版社，2 0 0 2 ：1 2 8 1 0 初一代数思维形成的教学实践与研究 第2 章研究综述 法、代数方法都不失为解决问题的途径但是从思维发展的角度来说，代数的思考是 在抽象层面上的思考，代数的方法具有一般性，有助于培养高层次的思维又如“某 数的一半与4 的和等于该数，求这个数”这时用代数方法：设该数为x ，列方程得妻+ 上 4 = 工，再用移项来解方程可以看到代数方法充分显示出它顺向思维的优势，把未知 数先当已知量，根据题目构造等量关系，题目的难度也明显降低我们可看到抽象的 代数思维的应用范围更加广泛 c h a r b o r m e a u 总结出用代数的方法解题的步骤：【1 5 1 1 ) 把这个问题看成已经被解决： 2 ) 给所有的未知量命名；3 ) 未知数与己知数没有任何区别：4 ) 找到未知量与己知 量之间的联系，每一个量用两个方程表示出来 算术方法与代数方法两种方法都是化未知为已知，都要通过一系列分析、综合活 动来揭示隐蔽的东西，即条件及问题的相互联系，从而找到联结条件与问题的关系链 条区别在于用算术的方法寻求问题的结果，是从具体问题的已知数出发，通过对已 知数或计算产生的中间数进行一系列的计算而达到问题的解思维过程是逆向的算 术方法只允许已知数参与运算，问题即未知数始终处于关系链的末端，被动地等待由 已知数算它的值而用代数的方法解决问题，首先分析问题中的等量关系，把问题表 示为含出有未知数的等式，把问题形式化，然后利用等式的性质对方程进行恒等变形， 在变化的过程中始终保持方程两端对称的等量关系在代数方法中，已知数与未知数 地位是相同的，未知数可以插入关系链的任何部分【1 6 】 通过以上对算术与代数的分析，我们可以得出两点结论：( 1 ) 算术和代数是密 不可分的，算术是代数研究的基础，代数是算术研究的深入：( 2 ) 算术和代数的区 别主要表现在研究对象的不同：算术主要研究计数、数的性质和相关运算法则，具有 具体化、特殊化、程序化的特点，而代数则主要研究运算过程中产生的结构、关系， 具有结构化、抽象化、一般化的特点，由此也带来了算术与代数学习中思维方式 结构与程序、逆向与顺向的不同，这是开展本研究的重要基础 2 2 算术思维与代数思维 要有效地培养学生的代数思维，首先要理解算术思维与代数思维的本质本节将 【1 5 】k a y es t a c e y ，m o l l i em a c g r e g o r l e a r n i n gt h ea l g e b r a i cm e t h o do fs o l v i n gp r o b l e m s j j o u r n a lo fm a t h e m a t i c a l b e h a v i o r ，2 0 0 0 ，1 8 ( 2 ) ：1 4 9 - 1 6 7 1 1 6 1 曾培英小学数学教学改革探析【m 1 北京：人民教育出版社，2 0 0 4 ：5 0 1 1 第2 章研究综述 初一代数思维的形成教学与实践研究 从算术思维、代数思维各自的特点展开研究，在对比中把握算术思维和代数思维的联 系与区别 2 2 1 算术思维与代数思维的区别 徐文彬提出：从数学思维的角度来看，算术主要是由程序思维( p r o c e d u r a l t h i n k i n g ) 来刻画的，即算术程序思维的核心是获取一个正确的答案，以及确定获取 这个答案与验证这个答案是否正确的方法；而代数思维则是由关系或结构( r e l a t i o no r s t r u c t u r e ) 来描述的，它的目的是发现( 一般化的) 关系、明确结构、并把它们联接 起来【1 刀 我们可以分别用图2 1 和图2 1 所示的模型来描述算术思维和代数思维解决实际 问题的过程 图2 - l 算术思维解决实际问题的模型 代数模型 方稃、不等式、函教 代数符号 推理 变换 7 v 数学结论 i 方稃和不等式的解、函数佰 图2 - 2 代数方法解决实际问题的模型 通过分析代数思维与算术思维在问题解决中的不同，斯黛西等人给出了这两种思 维的区别( 见表2 1 ) ： 1 8 】 【1 7 】徐文彬试论算术中的代数思维：准变量表达式【j 1 学科教育，2 0 0 3 ( 1 1 ) ：6 - 1 0 【1 8 】周颖娴初一学生从算术思维过渡到代数思维中的困难分析【d 】苏州大学，2 0 0 9 1 2 初一代数思维形成的教学实践与研究第2 章研