（应用数学专业论文）一类带临界非线性项的plaplace方程正解的存在性.pdf

摘要 本硕士论文运用变分法讨论了一类含临界非线性项p - l a p l a c e 方程的 d i r i c h l e t 问题： 害0 刈衅气2p 带+ 学制印嘞三茎未，c r ， it = ， z a q ， 正解的存在性其中：a p u = d i v ( v u p v u ) ，0 qc1 1 王( 3 ) 是具有光 滑边界的有界区域，0 肛 脚= f 业p1 - p ，1 p n ，矿( s ) = 啭警，0 s - , k l ，m a x p ，p 1 2 n - p 1 2 - p ) q p + 时，问题( 尸1 ) 至 少存在一个正解u 眦护( q ) 第四章证明了引理3 2 1 ，这个引理是本文的一个重要的引理，因为用 变分法解决问题( r ) 比较困难的地方是证明临界非线性项部分要具有紧 性，而这个引理能让我们克服这个困难从而使问题得到解决 关键词：p - l a p l a c e 方程；h a r d y 不等式；s o b o l e v 不等式；山路引理；正解 a bs t r a c t i nt h i sm a s t e r sd e g r e et h e s i sw ec o n s i d e rap - l a p l a c ee q u a t i o nw i t hd u a lc r i t i c a l 卜a p u + a l u i p _ 2 u = p 肾+ 哗+ 刚一u ，z q ， 【u = 0 ， z a q ， ( p 1 ) w h e r ea p u = d i v ( i v u l p 一2 v u ) ，0 qcr ( 3 ) i sab o u n d e dd o m a i nw i t h s m o 。t hb o u n d a r y , l e t0 p 蜥= ( 等) pa n d1 p ，矿( s ) = 刽， 0 s 一a 1a n dm a x ( p ，p ( 2 n - 呻p 1 2 - p ) j 0 ， 1 p 0 ，1 p n ， 0 p 豇= ( 尘害垃) p ，0 s ，t p ，p q p ( s ) = 丛n 型- p ，p 。( ) = 丛n 必- p k a n g 【1 9 】得到了问题( 1 4 ) 至少存在一个正解文中用到了l i o n s 【2 4 】著名的集 中紧性原理来验证问题相应的泛函满足局部p s 条件 本文将对下列临界椭圆问题进行讨论： f 喜0 刊衅气2p 带+ 学制印气三茎嚣( r )it 正= ， z a q 其中：a p 也= d i v ( 1 v u l p v u ) ，0 qcr ( 3 ) 是具有光滑边界的有界区 域，0 p 脚= ( 学) p ，1 p ，矿( s ) = 出n 型- p ，0 s - a l ，m a x p ，p ( 2 n “- 一p p 2 - p ) ，1 q 矿时，得到了问题( j p l ) 至少存在 一个正解u 崂p ( q ) 2 一类带临界非线性项的p - l a p l a c e 方程正解的存在性 用变分法来解决问题( 只) 的主要困难是验证相应泛函含临界非线性 项部分要满足p s 条件为了简化问题( p 1 ) ，因而把这部分单独拿出来讨 论，将其转化为最佳常数问题，即当0 弘 0 ， z r o ) ( p 2 ) iu 仇公p ( 乏) 因为这个方程是高阶及含有多项非齐次项，问题( p 2 ) 的解即对应于a 的 极值函数难以直接求出，所以只能估计它的解即估计对应于a 的极值函 数，而这要用到k a n g 【1 9 中的引理2 3 和康东升，黄燕和刘殊【3 3 】中定理 1 ，即本文中的引理3 2 1 和引理3 2 2 ，有了这个估计，我们就能得到含临界 非线性那部分的紧性，从而得到问题( p 1 ) 至少存在一个正解 3 一类带临界非线性项的p - l a p l a c e 方程正解的存在性 2 预备知识 2 1s o b o l e v 空间 设qcr 为一开区域对任一整数m 0 ，任一实数p ，1 p o o ，考 虑函数空间 ，p ( q ) = 秒：d 。u l p ( q ) ，i a i m 】， 其中a = ( a ，a ) 为整指标，l a i = l a i l ，d 。u 表示u 的分布导数这个空 间范数 | i m 霸n = ( 厶, o a v , p d x ) l a l m ；，胍郴， l 移，旷h m s a 。x e s ss 础u p d ( z ) i ) ，如p 2 。， 构成一个b a n a c h 空间，我们叫做s o b o l e v 空间 对于r 上每个函数u ，记 s u p p ( v ) = z q ：v ( x ) o ) ， 称之为函数u 的支集支集属于q 的紧集的一切无限次可微函数的全体 记为d ( 1 2 ) ，即 d ( 1 2 ) = u ：s u p p ( v ) cq 紧，u c 0 。( q ) ) d ( 1 2 ) 按范数l i v l l m ，p ，n 的闭包记为w 伊巾( q ) ，显然 伊伊( q ) cwm p ( q ) 一般，字p ( q ) 是w m ，p ( q ) 的一个真闭子空间，记 5 硕士学位论文 日m ( q ) = w i n , 2 ( q ) ， 卵( q ) = 昭2 ( q ) i m ，n = i r a , 2 ，n ，于是日”( q ) 依范数i m ，n 构成一个h i l b e r t 空间，船( q ) 为其闭子空间 为了简便，我们有时将以上空间中的范数记为”j l m 巾，” 2 2 s o b o l e v 嵌人定理 s o b o l e v 嵌入定理是s o b o l e v 空间中最重要的理论之一，其证明过程可 以参照文献 3 5 ，3 9 】 s o b o l e v 嵌人定理设qcr 为一有界区域，1 p + o o ( 1 ) 若q 满足一致内锥条件，则当p = n 时，有 w 1 护( q ) cl q ( q ) ，1 q + o o 而且对任意的u w 1 ，p ( q ) ，有 0ui il 口) c ( n ，q ，q ) j it 上i l w l ，( n ) ，1 q + o o 当p n 时，有 孵p ( q ) c 州_ ) 。 q 1 一苦， 6 一类带临界非线性项的p - l a p l a c e 方程正解的存在性 而且对任意的u w 1 ，p ( q ) ，有 l t 正l a ；q c ( ，口，q ) 0u l l ，( n ) ，o q 1 一i n 在这里，我们称p = 怒为p 的s o b o l e v 共轭指数，而称上述三个不等式中 的常数c ( n ，q ，q ) 为嵌入常数 注：上述嵌入定理可以简记为 f 功( q ) ql q ( q ) ，1 口p 惫，p ； w 1 ，p ( q ) ql q ( f t ) ，1 q + o c ，p = ； 【w l , p ( a ) qc 口( 豆) ，0 n 注：需要说明的是上面的第三个嵌入，即 1 ，p ( q ) qc 口( 豆) 其含义是，对任意的札w 1 巾( q ) ，总可以通过修改u 在一个零测度集上的 函数值，使u 为c 口( 砭) 中的函数 重复应用嵌入定理k 次，可以得到如下推论： i 彤七巾( q ) ql q ( q ) ，1 q p k 为，k p v ； w k , p ( q ) ql q ( f t ) ，1 q + o 。，切= ； l w 奄护( q ) qc 口( 固，0 n 1 巾( q ) q c 。( _ ) ，。 0 使得z ( u ) 卵，i l u l i = p ， ( i i ) 存在e x ，l l u l i p 使得i ( e ) 0 则存在一个序列 缸n ) cx 满足： l ( u 。) 一c 和 ，7 ( 乱n ) 一0 ，当n _ 。o ， 其中： c = i n ，。fs u p ，( 7 ( ) ) ，c 叩， 1 r 0 t 1 、。 r = 【7 c ( o ，1 】，x ) ：，y ( o ) = 0 ，y ( 1 ) = e r 是x 中联结0 与e 的道路的集合如果，再满足p s 条件，则c 是，的临 界值 注：山路引理是1 9 7 3 年由a m b r o s e t t i 和r a b i n o w i t z 【3 】得出的定理它 形象地说叽从盆地中心出发到盆地外部，必有一条道路从周围山脉的最 低点越过，这个最低点就是一个临界点 9 一类带临界非线性项的p - l a p l a c e 方程正解的存在性 3 含i 临界非线性项p - l a p l a c e 方程正解的存在性 3 1引言 本文讨论p - l a p l a c e 方程的d i r i c h l e t 问题： 卜川m i p 邓雹0 _ 学制讣气嚣0 1 2 ，c r ， 【 t 正= ， z ， 、 正解的存在性其中：a p u = d i v ( i v u l p v u ) ，0 qcr 是具有光滑边界 的有界区域，0 p 坳= ( 孚) p ，1 p n ，p 幸( s ) = 趔n - p ，0 1 的一般情形，例如【1 ，1 2 本文主要是用 1 9 】和( 3 3 】的结果获得了问题( p 1 ) 的正解的存在性 我们需要以下两个不等式： h a r d y 不等式 脚r im - z z l v u 阳z ，vu 嵋p ( q ) ，坳 。是最佳嵌入常数 h a r d y - s o b o l e v 不等式 上等等如( 上l v 札j p d z ) 掣，vu 哪巾( q ) ，肌 。是最佳嵌入常数 因为0 p 0 ，v 乱哪p ( q ) ， 再由h a r d y 和h a r d y - s o b o l e v 不等式得妒c 1 ( w j p ( q ) ，r ) 假定 n 驯，芈篇些 因为0 p 0 即： 肌p d x 石1 三( i v u i p _ p 矸l u l p 肛, , 7 = 舢l p 当0 p 如时，定义最佳常数： 心叫厶( 1 w 叫l 吖u l p ) d x ：上管虹1 ) 本文丰喜结果如下： 定理3 1 1 设0 p 一a 1 ，1 p ，m a x p ，p ( 2 n - - p p l 2 - p ) j 1 q p + ，0 l a p l a c e 方程匹舅的梦在垡 3 2 一些预备性引理 为了证明问题( p 1 ) 解的存在性，我们需要下面的一些引理 引理3 2 1 假定1 p n ，0 s p ，0 帅= 字， 满足 血v 叫删lp 警肛厶芈出= 胆 这里0 4 * ( z ) = 牡4 ( 1 2 1 ) 是满足 以1 ) = 牛卷掣】赤， 的问题( 岛) 唯一径向解也是a 的极小化子，矿具有下列性质： 她r i l u ( r ) = c 1 0 ，棚l i m r l l + 1 ( u + ) ( r ) 2 一c l f l 0 ，l i mr 1 2 + 1 ( t i ) v ) = - c 恐1 2 0 ， 7 - + 0 0 。 r - - 4 0 0 这里c 1 和c 2 是依赖于s ，芦，矽，n 的常数；l l 和1 2 是函数 f ( 1 ) = 一1 ) f p 一( 一p ) 2 p 一1 + 肛，f 0 的根，满足0 1 1 q = 等 1 2 0 ，选取 砂( z ) c 吕o ( s 2 r ( o ) ) 使得0 矽1 ，并且当z b r ( 0 ) 时矽( z ) 兰1 ，定义函数 仇( z ) = 妒( z ) u 。( z ) ，则当e _ 0 时有下面的估计结果： ( i ) 加划kp 雠) 扣席+ d ( e p ( 1 2 - a ) ) ， 硕士学位论文 ( i i ) z 带如= a 等+ 。( e l ( s ) ( 1 2 - a ) ) 证明见【3 3 】中定理1 引理3 2 3 在引理3 2 2 的条件下，当m a x p ，p ( 2 n 川- 一p t p 2 - p ) ， g 0 足够小时，我们得到 毗) 0 足够小时，得 z 【p 叫u 飞) 烁训k 弘( 蜘( 甜】句 p ( 2 n r - 一p l 口2 - p ) ，我们有一a q p ( f 2 一口) ，则 d ( e p ( 2 2 一口) 一o ( e p ( s ) ( f 2 一n ) 一0 ( e 一口9 ) 0 足够小时，我们得到 州 c 汐( q ) ( 1 p 。) ，如果 u n ) 在护( q ) 中有界，u n u 在q 上几乎处处收 敛，则有 l i m ( 1 u n 层一l u n u i ；) = l u l ； n + 也就是说当n _ 0 0 时， zi u n i p d x 一上l u i p d z = 上l u n 一札i p d x + 。( 1 ) 引理3 2 5 设【u 。) 是叼伊中的有界序列，则存在一个子列，我们仍用 u n ) 表示，当佗_ 。o 时，使得： 1 ) u 付j 札弱收敛到咐p ( q ) 中， 2 ) 乱。_ 札强收敛到( q ) 中，当1 0 ，因此我们得到 u n ) 在嘲p ( q ) 中有界，因而存在一个 子列，不失一般性，我们仍用 u n 表示，当n _ 0 0 时，使得在孵p ( q ) 中， u n u 弱收敛到某个u 眦巾( q ) 2 ) 我们证明这个子列在附，p ( q ) 中u n _ u 强收敛 首先我们从( 3 2 1 ) 得到 ( 妒u n ) ，u ) _ 0 ，( 妒( 仳n ) ，u ) 一( 妒7 ( u ) ，u ) ，当n _ ( 2 0 ， ( 3 2 9 ) 1 6 一类带临界非线性项的p - l a p l a c e 方程正解的存在性 则有 因而 毗：)+alulpfn1wl弊铲刊。 d x ， ( 3 2 1 0 ) p + 弊瞥一荆。， _ 妒( u ) = 矗 ；i v u i p + ；u p - - 世p 业i x t p 一_ p l 1 ( 。) u 蚓l p * ，o ) 一等l u l 9 d z = 矗 ( ；一矿b ) 叫铲+ ( ；一；) z l u l 9 d x ( 3 2 i i ) 0 通过引理3 2 4 ，特别是引理3 2 5 ，当n _ 0 0 时，我们得到 “d 瑙( i v u 竺乞跚告一铲- 1 - m ， q 2 m ， = 矗n v u i p p 也管严一坦铲) d z d ( 1 ) ， 、。 由上得到 上产如= v u = - p 警肌m i 似2 m ， 凼而得 d ( 1 ) = f ( 1 w 。一v u l 。al - ,p p 笋一甲) 如 矗( i v u n v u i p p ) d x j 一学( i v u - v u p p 铲) 如】掣 ：出 f n ( i v u 。一v u 带) 捌学v u n v 舭i “烈i = 1 p j 、一。- 个 ：【1 一a 一学( i v u 。一v 珏i p p 带) 酬学卅n u i i p ( 3 2 1 4 ) 设 e u n - - u ) = f 三l w , - w , i p + 扣叫k 箬警一高产肚 ( 3 2 1 5 ) 由( 3 2 1 1 ) 和引理3 2 5 ，当7 7 , 足够大时，有 e ( u n u ) = 9 ( u n ) 一妒( u ) + o ( i ) 妒( u 。) + o ( i )( 3 2 1 6 ) c + o ( 1 ) 1 7 硕士学位论文 对这样的佗，联立( 3 2 1 3 ) ，( 3 2 1 5 ) 和( 3 2 1 6 ) 得到 【；1 一雨11 上( 陬n v u i p - p 芦) 如+ d ( 1 ) q l l u n u 忆其中岛是正常数 从而我们证明了i l u 。一训i _ 0 ，佗叶o 。 3 3 主要结果的证明 我们用前面的引理来证明定理3 1 1 定理3 1 1 的证明应用h a r d y , s o b o l e v 和h a r d y - s o b o l e v 不等式，得 妒( u ) ；l l u | l p + 言厶l u l p d z 一歹专石( 厶l v u l p d z ) 学一半l l u l i 。 ；i t u l l p + m i n 0 ，击 l l u l l p 一丽1 p 小一竿9 = p 【；( 1 + m i n o ，砉 ) 一( 而i ii i 州沪p + 警仰) 】 l l u l l p ；( 1 + m i n o ，砉) ) 一m a x 歹南石，警 ( 1 l u l l p 嗨一p + | i u i i 口- p ) ， 其中g 0 是一个常数因而选取p 0 足够小，存在，7 0 使得对 u o b p = u 嚼p ( q ) ：1 1 u 1 1 = 办成立妒( u ) r l 因为。里妒( u ) = 一。o ，我 们选取t o l ，使得对某个u o c 3 b p ，有i l t o “o l l i l u o l l = p 和妒( t o u o ) 0 依照引理3 2 3 和3 2 6 以及山路引理，我们得到一个序列 0 ，从而得u o 是问题( p 1 ) 的正解 因而定理3 1 1 得证 1 9 一类带临界非线性项的p - l a p l a c e 方程正解的存在性 4 引理3 2 1 的证明 4 1 解的存在性 定义 纵u ) = 上( i v 让i p - p 丽t u l p 肛x i x ， ，r i ， m = u e 时( 叽上学d x 叫， 则 a = i n f ，q p ( u ) ( 4 1 1 ) u e m 、 引理4 1 。l 假设肛( o ，鳓) ，则存在珏o m 使得a = 仇( 扎o ) 。特别地存 在正数七使得k u 。也是问题p 2 的一个正解 证明：设 也n ) 是( 4 1 1 ) 的一个极小化序列，因为p ( 0 ，如) ，由h a r d y 不等式，我们得到 “。 在哪巾( r ) 中有晃因此应用l i o n s 【2 4 集中紧性 原理，得到存在一个正数列 盯n ) 使得序列 u n 2 口牡n ( 五) 在w g p ( r n ) 中相对紧的，因此序列 豇n ) 也是一个极小化序列所以我们有 u o = l i m 面n m ，q pu o ) = a 又u o 满足下列e u l e r - l a g r a n g e 方程 呜u 一卢箦 - a 并 ( p 3 ) 若设= 七u o ，其中忌= a 烈再，则得也是( p 2 ) 的一个解 引理4 1 2 ( 4 1 1 ) 的所有极小化子都是径向的 硕士学位论文 证明：因为如果u o 崂，p ( r n ) 是a 的极小化子( 即m ( u o ) = 1 ，钆( u o ) = a ) ，则u o 的单调递减重排u 5 可设为 t 正；( z ) = i n f t 0 ：l 可r ：t ( y ) t i , n l x l ) ， 也是极小化子，这里u 表示维单位球的体积( 2 5 1 ) 因而满足同一个 e u l e r - l a g r a n g e 方程，即： 呜u o + - p 筹= a 喾 ( 巧) 根据文献p o l y a 和s z e g s 2 5 ，我们获得 i v u o p d z i v u ；l p d x 又由u ；也是( 尼) 的一个解，所以我们有 止i v u ；l p d x = 止簪+ a 筚】如 丘山垒高+ a 垒管半】出 = ni v u o l p d x 因此我们得 i v u o p d z = l v u ；i p d x 注意到u ；是严格递增的，则得i _ 【v u ；= o l = 0 从文献b r o t h e r s 和z i e m e r 【7 】得存在知r n 使得u 0 ( ) = u ；( + x 0 ) 因为方程( 岛) 是平移不变的，推 出黝= 0 从而得到引理的结论 4 2 径向解的性态 我们现在来研究问题p 2 的所有径向解的渐近性态，假定u ( r ) 是问题 尸2 的一个径向正解，则有 r n - 1 1 u ，| p ，) t - t - r n - 1 万u p - - 1 + 竽 ( 4 2 1 ) 2 2 一类带临界非线性项的p - l a p l a c e 方程正解的存在性 我们假定 t = l n r ，y ( t ) = r a u ( r ) ，z ( t ) = r ( 1 + a ) ( p 一1 i u 7 ( r ) i u ，( r ) ( 4 2 2 ) 则由方程( 4 2 1 ) ，我们得到下列关于y 和z 方程组 ，客= n p - p y + 警z ， 【面d z = 一丛产z i 可i p 一2 y u l y l 一2 y z 通过直接计算易得y 满足下列非线性方程 ( 4 2 3 ) ( 4 2 4 ) p - 1 ) l a y y i p - 2 ( a y 7 一y ) + a l a y y 7 l p 一2 ( m y y ) 一u y p 一1 一y p ( 8 ) 一1 = 0 ( 4 2 5 ) 由( 4 2 1 ) 得r n - 1 l u ，( r ) i p - 2 u ，( r ) 是一个严格递减函数，则当r _ 0 时，它 一定存在一个极限因为v u ( r ) ，所以这个极限一定等于0 ，因此 r n - 1 l u ，( r ) i p _ 2 u ，( r ) 0 即乱协) 0 ，则有z 0 ，存在 q 使得 i 可( ) z ( ) i i z ( ) i 寿+ c 。l y ( t ) l p 再由( 4 2 6 ) 和( 4 2 7 ) 推得 k o 堡三! 1 名( ) l 南一q s i z ) i 南一e g l y 0 ) i p 因此取e 足够小，从y ( ) 有界，可以断定z 也有界 下面的引理可以得出k o = 0 引理4 2 2 对任一t r n ，成立( ( ) ，z ( t ) ) ( ! ，z ) r 2 ：v ( y ，z ) = o ) 证明：我们先定义下面偶函数 卅) = k o + 竿h k 高h 州引 ( 4 2 8 ) 我们容易得出咖在【0 ，r o 】上是严格递增而在l r b ，。】上是严格递减，其中 r o = ( q p p ) 盎，则有咖( 丁b ) = k o + k 1 ，这里k 1 = ；褊( q p p ) 而n - - # 因 ( y ( t ) ) 0 ，我们推得k o - k 1 我们可以分四种情况来讨论： 1 k o = 一k 1 2 一k l k o 04 k o = 0 对第一种情况：的最大值是0 ，但因( y ( ) ) 0 ，我们得到y ( t ) = 7 - 0 和 u ( r ) = ，7 。og 眦p ( r ) 2 4 一类带临界非线性项的p - l a p l a c c 方程正解的存在性 对第二种情况一k 1 o ：我们注意到只在某个正数假定是b 时为0 如 果f 是y 的一个临界点，则y l ( d = 0 ，由( 4 2 3 ) 和z 为负，我们得出 口3 ，( 刁= i z ( dj 寿( 4 2 9 ) 联立( 4 2 6 ) ，( 4 2 7 ) 和( 4 2 9 ) ，我们能推得咖( y ( d ) = 0 ，由此得y ( d = b 因而y 的所有驻点必定是与b 0 位于同一水平位置再由u 的可积性条件得：对 t 一r ( r 。 0 是某个足够大的常数) ，y 是严格递增；对于t 一疡( 岛 0 是某个足够大的常数) ，y 是严格递减特别地，1 i m 箩( ) 和j i m 可( ) 一定存 t - - - , 一$ - - - 4 在通过u 的可积性这两个极限一定为0 故当t _ 一o o 时，箩( ) _ 0 又z ( ) 有界，联立( 4 2 6 ) 和( 4 2 7 ) ，我们得 忙。皇氅孙) 和k o = 字吲寺 t 一o 。d 另一方面，由( 4 2 4 ) ，我们推断g 一定等于0 ，这与k o 0 矛盾 由此只有第四种情况即k o = 0 ，这样结论就成立 引理4 2 3 存在t o r ，使得! ，( ) 在t t o 上 是严格递减，而且有 m r a x 北) = y ( t o ) = 【篙( q p 刊 躺 ( 4 2 1 0 ) 证明：根据u 的可积性条件和y 0 ，我们可以得出y 只有一个临界点 按上面引理的讨论，如果y 7 ( 刁= 0 ，则咖( 可( 刁) = 0 ，这里函数咖就是( 4 2 8 ) 的 定义因为k o = o ，只有两个零点z = 0 和z = b ，其中 6 = 【两n - s ( o l p - - ) 勰 由y 0 我们得到y ( d = b ，因而y 的所有临界点必定是与b 0 位于同一水 平位置因此如果y 有两个不同的临界点t 1 和t 2 ，假定t 1 0( 4 2 1 1 ) 一 1 i me ( 1 2 - a m y ( t ) = 秒( o ) g = c 2 0 ( 4 2 1 2 ) t - - - + + 其中f 。和1 2 是函数 f ( 1 ) = p 一1 ) f f 一( n p ) t p - 1 + p 的两个零点，且0 1 l z 2 证明：因为，( f ) = p p 一1 ) 1 p 一( n p ) 一1 ) 1 p ，易得i x 0 ，从而得日是一个严格递增函数由( 4 2 3 ) 和爹，( 0 ) = 0 ， 我们发现日( o ) = 孚再由( 4 2 6 ) 得汹l i + m 。h ( t ) = z 2 ，从而这个论断得证 从( 4 2 1 3 ) 和( 4 2 1 4 ) 我们得出e 卜口。剪( ) 是增函数，因而。羔乳e q 2 - a ) t y ( t ) 存在，且 e 兰1 i r a 。e q 2 - a ) 删= y ( o ) e 付。1 1 2 - h ( 2 ) 】出 0 i - 十 为了证明( 4 2 1 2 ) ，需要( 0 因此得 ( = 1 i m e ( 1 2 - a ) 刺= y ( o ) e 付。 1 2 - h ( ) 】出= y ( 0 ) j 2 i ( o - - 1 1 ) 酬。1 打 十o 。 由f ， q 和i 夕( 盯) i 大于某个正数，当盯陋，l z 】时，我们得到臂耳南研打 + o o ，从而得( 0 使得( r ) = i 丫b 1 ( 言) 证明：设l 对应于方程组( 4 2 3 ) 和( 4 2 4 ) 的解记作( 耽( ) ，勿( z ) ) ，根据引 理4 2 3 ，存在t o ( 一。，+ o 。) 使得 吲一m a x 删y 2 ( 归以= 【篙( o l p - - u ) 】赫 设y 2 ( t ) = y 2 ( t t o ) ，忍( t ) = z 2 ( t t o ) 注意到 m慧1沈(t)=玩(o)=【篙(qp-#te(-oop ) 赫 ，+ )v 一 一类带临界非线性项的p - l a p l a c e 方程正解的存在性 由方程组是自治的，我们得出( 死( ) ，忍( ) ) 也是方程组的解因为( 乳( o ) = y l ( o ) ，再由引理4 2 5 ，可得( 扔( t ) ，厄( ) ) = ( ! 1 ( ) ，z 1 ( ) ) 又从( 4 2 2 ) 式，我们推 出 = 嘉u l ( 云) 5 面【丽j 因而得( r ) = 百n 让，( 云) ，其中c o = e 一 通过上面这些引理，我们可以得到下面的定理 定理4 2 7 问题( p 2 ) 的所有正的径向解都可以表示成 u ( ) = ( 吨让( ；) ， 其中u 是满足u ( 1 ) = y ( o ) = 【硒n - s ( o l p - - p ) 】菇专的唯一径向解 2 9 参考文献 【1 】a b d e l l a o u i ，b & v f e l l i i p e r a l e x i s t e n c ea n dn o n e x i s t e n c er e s u l t sf o rq u a s i l i n e a r e l l i p t i ce q u a t i o n si n v o l v i n gt h ep - l a p l a c i a n j 】b o l l e t t i n o 矿m 工，2 0 0 6 ，8 ( 9 - b ) ： 4 4 5 - 4 8 4 2 】a b d e u a o u i ，b v f e l l i & i f e r a l s o m er e n l a r k so ns y s t e m so fe l l i p t i ce q u a t i o n s d o u b l yc r i t i c a li nt h ew h o l er n j 】c a l c r ，2 0 0 9 ，3 4 ：9 7 - 1 3 7 【3 】a m b r o s e t t i ，a p h r a b i n o w i t z d u a lv a r i a t i o n a lm e t h o d si nc r i t i c a lp o i n tt h e o r y a n da p p l i c a t i o n s 【j 】zf u n c t a n a l ，1 9 7 3 ，1 4 ：3 4 9 - 3 8 1 【4 】b r d z i s ，h e l i e b ar e l a t i o nb e t w e e np o i n t w i s ec o n v e r g e n c eo ff u n c t i o n sa n d c o n v e r g e n c eo ff u n c t i o n a l s 【j 】p r o c a m e r m a t h $ o c ，1 9 8 3 ，8 8 ：4 8 6 - 4 9 0 【5 】b r 色z i s ，h & l n i r e n b e r g p o s i t i v es o l u t i o n so fn o n l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o ni n v o l v i n g c r i t i c a ls o b o l e ve x p o n e n t 【j 】c o m m 尸u 他a p p l m a t h ，1 9 8 3 ，3 6 ：4 3 7 - 4 7 7 【6 】b r 6 z i s ，h & m w i l l e m o ns o m en o n l i n e a re q u a t i o n sw i t hc r i t i c a le x p o n e n t s j 】z f u n c t i o n a la n a l y s i s ，2 0 0 8 ，2 5 5 ：2 2 8 6 - 2 2 9 8 【7 】b r o t h e r s ，j & w z i e m e r m i n i m a lr e a r r a n g e m e n t so fs o b o l e vf u n c t i o n s 【j 】a c t a u n i v c a r o l i n m a t h p h y s ，1 9 8 7 ，2 8 ( 2 ) ：1 3 - 2 4 【8 】c a f f a r e l l i ，l & r k o h n l n i r e n b e r g f i r s to r d e ri n t e r p o l a t i o ni n e q u a l i t i e sw i t h w e i g h t s 【j 】c o m p o s i t i om a t h e m a t i c a , 1 9 8 4 ，5 3 ( 3 ) ：2 5 9 - 2 7 5 【9 】c a o ，d m s j p e n g ag l o b a lc o m p a c t n e s sr e s u l tf o rs i n g u l a re l l i p t i cp r o b l e m s i n v o l v i n gc r i t i c a ls o b o l e ve x p o n e n t 【j 】p r o c a m e r m a t h s o c ，2 0 0 2 ，1 3 1 ( 6 ) ：1 8 5 7 - 1 8 6 6 【1 0 】e v a n s ，l c p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 【m 】p r o v i d e n c e ：a i n e r m a t h s o c ， 1 9 9 8 ，( 1 9 ) ：2 3 9 - 2 9 2 【1 1 】f e r r e r o ，a f g a z z o l a e x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rs i n g u l a rc r i t i c a lg r o w t hs e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s 【j 】zd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，2 0 0 1 ，1 7 7 ：4 9 4 - 5 2 2 【1 2 】f i l i p p u e c i ，r p p u c c i f r o b e r t o nap - l a p l a c ee q u a t i o nw i t hm u l t i p l ec r i t i c a l n o n l i n e a r i t i e s 【j 】zm a t h p u r e sa p p l ，2 0 0 9 ，9 1 ：1 5 6 - 1 7 7 【1 3 】g a r c f aa z o r e r o ，j p i p e r a la b n s o h a r d yi n e q u a l i t i e sa n ds o m ec r i t i c a le l l i p t i c a n dp a r a b o l i cp r o b l e m s j 】zd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，1 9 9 8 ，1 4 4 ：4 4 1 4 7 6 【1 41g h o u s s o u b ，n 。c y u a n m u l t i p l es o l u t i o n sf o rq u a s i - l i n e a rp d e si n v o l v i n gt h e c r i t i c a ls o b o l e va n dh a r d ye x p o n e n t s 【j 】t r a n s a m e r m a t h s a c ，2 0 0 0 ，3 5 2 ：5 7 0 3 - 5 7 4 3 【1 5 】g i d a s ，b w m n i l n i r e n b e r g s y m m e t r ya n dr e l a t e dp r o p e r t i e sv i a t h e m a x i m u m p r i n c i p l e 【j 】c o m m u n m