（机械电子工程专业论文）倒立摆系统模糊控制算法研究.pdf

摘要 倒立摆系统是一个典型的多变量、非线性、强耦合和快速运动的自然不稳定系 统。因此倒立摆在研究双足机器人直立行走、火箭发射过程的姿态调整和直升机 飞行控制领域中有重要的现实意义，相关的科研成果已经应用到航天科技和机器 人学等诸多领域。 本文围绕一级倒立摆系统和二级倒立摆系统，采用模糊控制理论研究了倒立摆 的控制系统仿真和实物系统控制问题。实物控制的成功进一步证明了本文设计的 模糊控制器有很好的稳定性、鲁棒性和适应性。主要研究工作如下： 1 建立了一级、二级倒立摆系统的数学模型，对倒立摆系统进行定性分析。 证明了倒立摆系统开环是不稳定的，但在平衡点是能控的和能观的，同时 指出二级倒立摆的相对能控度比一级倒立摆小很多，说明其更难控制。 2 倒立摆系统的模糊控制算法研究。运用最优控制方法设计了融合函数，减 少模糊控制器的输入变量维数，成功解决了“规则爆炸”问题。研究了量 化因子对控制效果的影响，通过设置闽值使量化因子可以自动切换，进而 提升了模糊控制器的性能品质。 3 介绍了如何利用s i m u l i n k 5 0 建立倒立摆系统模型，特别是利用m a s k 封装 功能，使模型更具灵活性，给仿真带来很大方便。实现了倒立摆模糊控制 系统的仿真。仿真结果证明：模糊控制器不仅可以稳定倒立摆系统，还可 以使小车定位在特定位置。 4 利用b o r l a n dc + + 编写模糊控制算法程序，实现了倒立摆实物系统控制。 给出了一级、二级倒立摆稳定时和受干扰时各状态变量的响应曲线和控制 量曲线以及倒立摆稳定时的照片。 关键词：倒立摆模糊控制融合函数量化因子计算机控制 a b s t r a c t i n v e r t e d p e n d u l u ms y s t e m i s m u l t i v a r i a b l e ，n o n l i n e a r , s t r o n g c o u p l i n g a n d i n s t a b i l i t yn a t u r a l l y t h er e s e a r c ho fi n v e r t e dp e n d u l u mh a sm a n yi m p o r t a n tr e a l i s t i c m e a n i n gi nt h er e s e a r c hs u c ha s ，t h ew a l k i n go fb i c ) e dr o b o t ，t h el u n c h i n gp r o c e s so f r o c k e ta n d f l y i n g c o n t r o lo f h e l i c o p t e r , a n dm a n y c o r r e l a t i v e p r o d u c t i o n sh a s a p p l i c a t i o n s i n t h e f i e l do f t e c h n o l o g yo fs p a c e f l i g h t a n ds u b j e c to f r o b o t f u z z yc o n t r o lt h e o r yi si n t r o d u c e dt os t u d ys i m u l a t i o na n dt h ec o n t r o l l i n gp r o b l e m i nr e a l t i m eo fi n v e r t e dp e n d u l u mi nt h i s p a p e r s u c c e s so fc o n t r o l o fh a r d w a r ep e n d u l u m s y s t e mp r o v e s t h a tt h i sc o n t r o l l e rh a s v e r yg o o ds t a b i l i t y ，r o b u s t n e s s a n da d a p t a b i l i t y m a i n r e s e a r c hw o r ki sd e c l a r e db e l o w ： 1 n l em a t h e m a t i c a lm o d e lo fs i n g l ei n v e r t e d p e n d u l u m a n dd o u b l ei n v e r t e d p e n d u l u mi sp r o p o s e d i ti sp r o v e dt h a to p e nc o n t r o li n v e r t e dp e n d u l u ms y s t e mi s i n s t a b i l i t y , b u ti ti sc o n t r o l l a b l ea n do b s e r v a b l eo ne q u i l i b r i u mp o i n t a ts a m et i m e c o m p a r a t i v ec o n t r o l l a b i l i t y o fd o u b l ei n v e r t e dp e n d u l u mi sm u c hs m a l l e rt h a n s i n g l ei n v e g e dp e n d u l u m s oc o n t r o lo f d o u b l ei n v e r t e dp e n d u l u m i sm o r ed i f f i c u l t 2 ，r e s e a r c ho nf u z z yc o n t r o la l g o r i t h mo fi n v e g e dp e n d u l u ms y s t e m t h ed i m e n s i o n o fi n p u tv a r i e t i e so ff u z z yc o n t r o l l e ri sd e p r e s s e db yd e s i g n i n gaf u s i o nf u n c t i o n u s i n go p t i m i z a t i o nc o n t r o lt h e o r y ，a n di tc a n r e d u c et h er u l e so f f u z z ys h a r p l y ，r u l e e x p l o s i o n p r o b l e mi s s o l v e d t h ei n f e c t i o no fq u a n t i f i c a t i o nf a c t o r st oe f f e c to f c o n t r o li ss t u d i e d ，t h eq u a l i t yo ff u z z yc o n t r o l l e ri s i m p r o v e db ya d d i n ga u t o s w i t c h i n gq u a n t i f i c a t i o nf a c t o r s 3 。t h es i m u l a t i o no f f u z z yc o n t r o lo fi n v e r t e dp e n d u l u ms y s t e m ，i ti si n t r o d u c e dh o w t or e a l i z et h es i m u l a t i o no ft h ei n v e r t e dp e n d u l u ms y s t e mb yt h es i m u l i n k 5o t o o l b o x s p e c i a l l ym a s kf u n c t i o ni sa p p l i e d i tm a k e ss i m u l a t i o nm o d e lm o r e a g i l i t y ，s i m u l a t i o nw o r kb e c o m em o r ec o n v e n i e n t s i m u l a t i o ne x p e r i m e n to ft h e f u z z yc o n t r o l o fi n v e r t e dp e n d u l u mi s v e r yw e l li m p l e m e n t e db yu s i n gf u z z y c o n t r o lt h e o r y ，t h a tt h er e s u l ts h o w st h a ti tn o to n l yh a sq u i t eg o o ds t a b i l l t y , b u t a l s oi sa b l et om a k et h ec a r to ft h ep e n d u l u mm o v i n gt ot h ep l a c ew h e r ei ti s a p p o i n t e db y u si na d v o n c e ，a l o n gt h eo r b i t 。 4 ，f u z z yc o n t r o la l g o r i t h mi sp r o g r a m m e db yb o r l a n dc + + c o n t r o lo fi n v e r t e d p e n d u l u m h a r d w a r es y s t e mi sr e a l i z e d m o r e o v e r ，t h er e s p o n s ec u r v e so fe a c hs t a t e v a r i a b l ea n dt h ec u r v eo fc o n t r o iq u a n t i t yw h e nt h ep e n d u l u mi ss t a b l eo rb e i n g d i s t u r b e da r ep r e s e n t e d a tl a s t s e v e r a ip h o t o sw h e nt h ep e n d u l u mi ss t a b l ea r e s h o w n k e y w o r d ：i n v e r t e dp e n d u l u m f u z z yc o n t r o l f u s i o nf u n c t i o n q u a n t i f i c a t i o n f a c t o r s c o m p u t e r c o n t r o l 创新性声明 y6 9 5 3 0 0 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以注明和致谢中所罗列的内容以外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得西安电子科技大学或 其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做 的任何贡献均已在论文中做了明确的况明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名豫日期：上卫 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保证毕 业离校后，发表论文或使用论文工作成果时署名单位仍然为西安电子科技大学。 学校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文：学校可以公布论文的全 部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。( 保密的论文 在解密后遵守此规定) 本学位论文属于保密，在年解密后适用本授权书。 本人签名：泌塑 导师签名：遣丑a 塑二 日期：丛：型2 日期：! r 上f 占 第一章绪论 第一章绪论 简要介绍倒立摆系统的研究意义和目的。同时，对倒立摆系统国内外的研究 情况作了简要介绍。最后，简要介绍了本论文所作的工作。 i 1 研究意义和目的 倒立摆系统作为研究控制理论的一种典型的实验装置，具有成本低廉，结构简 单，物理参数和结构易于调整的优点，然而倒立摆系统本身所具有的高阶次、不 稳定、多变量、非线性和强耦合特性，是一个绝对不稳定系统，必须采用十分有 效的控制策略才能使之稳定。倒立摆系统是研究变结构控制，非线性控制，目标 定位控制，智能控制等控制方法理想的实验平台，被誉为：“控制领域中的一颗明 珠”【”。 研究倒立摆系统除了很强的理论意义，同时也具有深远的实践意义。许多抽 象的控制概念如稳定性、能控性、快速性和鲁棒性，都可以通过倒立摆系统直观 的表现出来。同时其动态过程与人类的行走姿态类似，其平衡与火箭的发射姿态 调整类似，因此倒立摆在研究双足机器人直立行走、火箭发射过程的姿态调整和 直升机飞行控制领域中有重要的现实意义，相关的科研成果已经应用到航天科技 和机器人学等诸多领域。 ( a ) 直线二级倒立摆系统 ( c ) 柔性连接二级倒立摆系统( c ) 环形一级倒立摆系统 ( d ) 环形二级倒立摆系统( e ) 环形并联倒立摆系统( o 平面倒立摆系统 图1 1 各类例立摆系统 倒立摆系统的最初研究开始于二十世纪五十年代，麻省理工大学电机工程系设 计出单级倒立摆系统这个实验设备。后来在此基础上，人们又进行拓展，产生了 直线二级倒立摆、多级倒立摆，柔性连接直线倒立摆，环形倒立摆，平面倒立摆 和环形并联多级倒立摆的实验设各，图1 i 给出了几种不同类型的倒立摆系统实 物图。因此，倒立摆系统成为控制领域中不可或缺的研究设备和验证各种控制策 倒立摆系统模糊控制算法研究 略有效性的实验平台。 1 2 国内外研究情况简介 对于倒立摆的研究主要集中在两个方面： 1 ) 研究控制器使倒立摆系统稳定并可以定位在特定位置 2 ) 倒立摆系统的自动起摆 从目前的研究情况看，大部分研究成果集中在第一方面。 1 2 1 研究使倒立摆稳定的控制器 倒立摆系统的研究始于2 0 世纪5 0 年代，当时主要集中在直线倒立摆系统的线 性控制上面。 1 9 7 6 年m o r i e t c ( 2 】发表的研究论文，首先把倒立摆系统在平衡点附近线性化， 利用状态空间方法设计比例微分控制器。1 9 8 0 年，f u r u t ae t c 圈等人基于线性化 方法，实现y - - 级倒立摆的控制。1 9 8 4 年，f u r u t a 等人首次实现双电机三级倒立 摆实物控制【4 1 0 1 9 8 4 年，w a r e s 研究了l q r ( l i n e a rq u a d r a t i cr e g u l a l o r ) 方法控制倒立摆f 5 】。l q r 方法主要基于系统的线性化模型和二次性能指标： j = 【f q x + u 7 q u p ( i - 1 ) 实际上是寻找一个最优豹状态反馈向量世，从而设计一个最优反馈控制器。w a t t e s 验证了改变权重矩阵可以得到不同的状态反馈向量，从而产生不同的控制效果。 控制器原理框图如图1 2 所示。 图1 2 屉优的状态反馈控制器框图 八十年代后期开始，倒立摆系统中的非线性特性得到较多的研究，并且提出了 一系列基于非线性分析的控制策略。 1 9 9 2 年，f u r u t a 等人【6 】提出了倒立摆系统的变结构控制。1 9 9 5 年，f r a d k o v 等 第一章绪论 人【7 1 提出的基于无源性的控制。另外w i k l u n d 等人嘲应用基于李亚普诺夫的方法控 制了环形一级倒立摆，y a m a k i t a 等人【9 j 给出了环形二级倒立摆的实验结果。 近年来随着智能控制方法的研究逐渐受到人们的重视，模糊控制、神经网络、 拟人智能控制、遗传算法和专家系统等越来越多的智能算法应用到倒立摆系统的 控制上： 1 9 9 7 年，t h h u n g 等 1 0 1 设计了类p i 模糊控制器应用于一级倒立摆控制，具 有系统结构简单对硬件依赖小的特点。1 9 9 5 年，l i 【1 1 利用两个并行的模糊滑模来 分别控制小车和摆杆偏角。1 9 9 6 年张乃尧等【l2 】采用模糊双闭环控制方案成功地稳 定住了一级倒立摆。 d o r i s ”】利用神经网络的自学习能力来整定p i d 控制器参数。1 9 9 7 年， g o r d i l l o 1 4 比较了l q r 方法和基于遗传算法的控制方法，结论是传统控制方法比 遗传算法控制效果更好。1 9 9 3 年，b o u s l a m a ”l 利用一个简单的神经网络来学习模 糊控制器的输入输出数据，设计了新型控制器。还有些文章利用神经网络的实 时学习能力来控制倒立摆 2 4 , 2 5 , 2 6 。 1 9 9 4 年，北京航空航天大学张明廉教授n 6 j 将人工智能与自动控制理论相结合， 提出“拟人智能控制理论”，实现了用单电机控制三级倒立摆实物。 北京师范大学李洪兴【2 2 】教授采用变论域自适应模糊控制理论研究四级倒立摆 控制问题，成功实现了三级倒立摆实物系统控制田】。 神经网络与模糊控制相结合也取得了很多成果。 总而言之，倒立摆系统是各检验控制算法、研究控制理论很有效的实验设备。 目前应用在倒立摆上的算法有以下几类：经典控制( l m i ，p i d ) ；现代控制( 极 点配置法，l q r 法) ；何。控制；变结构控制；模糊控制；神经网络控制；拟人控 制等。 1 2 2 倒立摆自起摆 倒立摆起摆问题：倒立摆在静止状态下，由于重力作用摆杆是竖直垂下状态。 使摆杆从垂下状态到竖直向上状态的过程就是倒立摆的起摆问题。 较早研究起摆问题的文献有：1 9 7 6 年，m o r i 【1 1 等人提出包含两个控制器。一 个控制器用来自起摆，另一个用来镇定进入平衡态附近的倒立摆系统。1 9 9 6 年， k j a s t r o m l l 8 】研究了用能量控制策略，实现了一级倒立摆的起摆。b o r t o 一西】实现二 级环形倒立摆起摆控制。 朱江滨等人提出了一种基于专家系统及变步长预测控制的实时非线性系统控 制方法，仿真实现了二级倒立摆的摆起及稳定控$ j j t 2 7 1 。李祖枢等人利用拟人智能 控制理论研究了二级倒立摆的起摆和控制问题。 2 0 , 2 1 倒立摆系统模糊控制算法研究 图1 3 二级环形倒立摆摆起后的情形 目前用于倒立摆起摆的控制方法主要有：能量控制，启发式控制，拟人智能 控制等。 1 3 论文主要工作 本论文的主要工作是研究了直线倒立摆系统的模糊控制问题，本文以下提到的 倒立摆都指直线倒立摆。用m a f l a b 和s i m u l i n k 对一级倒立摆、二级倒立摆的模糊控 制系统进行了仿真，然后通过计算机实现了倒立摆实物系统的控制。具体内容如 下： j ) 详细论述了一级倒立摆和二级倒立摆的数学建模方法，推导出他们的微分方 程，以及线性化后的状态方程，并且分析倒立摆系统的能控性、能观性及相对 能控性。 2 ) 讨论了倒立摆系统的模糊控制方法。通过融合函数解决了“模糊规则爆炸”问 题，利用专家知识设计隶属度函数和模糊规则，用重心法解模糊。研究了量化 因子对控制效果的影响，通过设置阂值使量化因子可以自动调节，进而提升了 模糊控制器的性能品质。 3 ) 用s i m u l i n k 实现了倒立摆模糊控制仿真系统，给出一级倒立摆系统和二级倒立 摆系统各状态变量及控制量的响应曲线。通过仿真说明控制器的有效性。 4 ) 介绍倒立摆实物系统，并用计算机实现一级、二级倒立摆实物系统的模糊控制。 给出了级、二级倒立摆稳定时和受干扰时各状态变量的响应曲线和控制量曲 线以及倒立摆稳定时的照片。 5 ) 对论文的工作进行总结和下一步工作的展望。 第二章倒立摆系统建模和定性分析 第二章倒立摆系统建模和定性分析 分析了倒立摆系统特性，建立了一级、二级倒立摆系统的数学模型，对倒立 摆系统进行定性分析。利用力学分析方法和l a g r a n g e 方程建立了倒立摆系统的微 分方程，并在平衡位置附近线性化，推导出倒立摆系统的线性状态方程。应用自 动控制相关理论分析了倒立摆系统的能控性、能观性及相对能控度，证明倒立摆 系统开环是不稳定的，但在平衡位置是能控的和能观的，同时二级倒立摆的相对 能控度比一级摆小很多，说明其更难控制。 2 1 倒立摆系统特性分析 倒立摆系统是典型的机械电子系统。无论那种类型的倒立摆系统都具有如下 特性： 1 ) 欠冗余性。一般的，倒立摆控制系统采用单电机驱动，因而它与冗余机构， 比如说冗余机器人有较大的不同。之所以采用欠冗余的设计是要在不失系统可靠 性的前提下节约经济成本或者节约有效的空间。研究者常常是希望通过对倒立摆 控制系统的研究获得性能较为突出的新型控制器设计方法，并验证其有效性及控 制性能。 2 ) 仿射非线性系统。倒立摆控制系统是一种典型的仿射非线性系统，可以应 用微分几何方法进行分析。 3 ) 不确定性。主要是指建立系统数学模型时的参数误差、量测噪声以及机械 传动过程中的非线性因素所导致的难以量化的部分。 4 ) 耦合特性。倒立摆摆杆和小车之间，以及多级倒立摆系统的上下摆杆之间 都是强耦合的。这既是可以采用单电机驱动倒立摆控制系统的原因，也是使得控 制系统的设计、控制器参数调节变得复杂的原因。 5 ) 开环不稳定系统。倒立摆系统有两个平衡状态：竖直向下和竖直向上。竖 直向下的状态是系统稳定的平衡点( 考虑摩擦力的影响) ，而竖直向上的状态是系 统不稳定的平衡点，开环时微小的扰动都会使系统离开竖直向上的状态而进入到 竖直向下的状态中。 针对以上倒立摆系统的特性，在建模时，为了简单起见，一般忽略掉系统中一 些次要的难以建模的因素，例如空气阻力、伺服电机由于安装而产生的静摩擦力、 系统连接处的松弛程度、摆杆连接处质量分布不均匀、传动皮带的弹性、传动齿 轮的间隙等等。将小车抽象为质点，摆杆抽象为匀质刚体，摆杆绕转轴转动，这 样可以通过力学原理建立系统较为精确的数学模型。 为了方便研究倒立摆系统的控制方法，建立一个比较精确的倒立摆系统的线性 倒立摆系统模糊控制算法研究 模型是必不可少的。目前，人们对倒立摆系统建模一般采用两种方法 2 8 , 2 9 , 3 0 ：牛顿 力学分析方法，欧拉一拉格朗日原理( l a g r a n g e 方程) 。 应用欧拉一拉格朗目原理( 3 1j 可得如下方程： 象( 嚣j 嚣+ 嚣= q ，三( 蛳) 玎( 咖) 川( 删) ( 2 - 1 ) 其中，l 为拉格朗日算子，q j 为系统的广义坐标，q 称为广义变量，q 是系统 沿该广义坐标方向上的广义外力。t 是系统的动能，y 是系统的势能，d 是系统 的耗散能。 建立系统数学模型时所定义的坐标系原点及方向应与实际物理系统的方向一 一对应。 通过建模我们发现，一级倒立摆系统有四个状态变量，而二级倒立摆系统有六 个状态变量。一般的，级倒立摆系统有2 ( n + 1 ) 个状态变量。对于一级平面倒立 摆和一级柔性连接倒立摆系统都有六个状态变量。 通过定义状态变量可咀将所建立的数学模型写成仿射非线性系统的形式： f 童= ，( 功+ 吕( z ) 砖 1 y = 南( 工) ( 2 - 2 ) 其中x = ( g ，亩) 。为系统状态变量，一般输出为y = q ”，屿为系统控制量。一 般的，i = 1 ，即是单电机驱动的控制系统。 2 2 一级倒立摆系统数学模型 一级倒立摆小车系统如图2 1 所示。系统由沿导轨运动的小车和通过转轴固 定在小车上的摆杼组成。 圈2 i 一级倒立摆系统示意图 第二章倒立摆系统建模和定性分析 表2i 一级倒立摆参数表 符号禽义 取值( 单位) ， 小车相对初始位置的位移 i l l 口摆杆与竖直向上方向的夹角r a d “ 作用在倒立摆系统上的控制量( 力)n m小车质量 1 0 9 6 k g 册 一级摆杆质量0 1 0 9 k g 三一级摆杆长度40cm ， 一级摆质心到转轴d 1 的距离 2l c m 一级摆杆转动惯量 o 0 0 3 4 k g * m * m 6小车的滑动摩擦系数0 1 n * s m 对系统作如f 假设： 1 ) 摆体为匀质刚体。 2 1 摩擦力与相对速度( 角速度) 成正比。 对小车和摆杆分剐进行受力分析，得到以下两个微分方程： ( 且j + ，”) ，+ 6 产+ ， ，百c o s 疗一m ，扫2s i n 0 = “( 2 3 ) ( 1 + m 1 2 ) 舀一埘s i n 口= 一m 伊c o s 目 ( 2 4 ) 我们把摆杆在竖直向上状态时称为系统平衡位簧，即0 0 1r a d 时，可近似成： c o s 0 = 一1 ，s i n 0 = 0 ，口= 0 ，由( 2 - 3 ) 式和( 2 4 ) 式线性化，取状态变量 = r p 0 占 ，可得系统的状态方程： i = 似+ b u - = ( 分倒 ( 2 _ 5 ) 其中： 0l 。器 。币瓦- 面m l 五b 丽 00 m z g 1 2 l ( m + m ) + m m l 2 。 v 01 l(m型+im丝)+三m型m12x(m mm m l 。 u ( 2 6 ) 倒立摆系统模糊控制算法研究 丽等。丽蒜丽 7 00 0l 010l 把表2 1 中参数取值代入( 2 6 ) 式和( 2 7 ) 式得到 a = o1 0 - 0 0 8 7 6 00 oo ，2 4 4 5 00 0 5 4 8 30 01 2 8 8 6 2 50 b = ( o 0 8 7 6 3 0 2 a 4 4 1 ) 7 2 3 二级倒立摆系统数学模型 2 3 1 二级倒立摆系统结构 ( 2 - 7 ) ( 2 - 8 ) 圈22 二级倒立摆系统不恿凹 二级倒立摆系统如图2 2 所示。二级倒立摆装置由沿导轨运动的小车和通过转 轴固定在小车上的摆体组成。在轨道一端装有用来测量小车位移的光电编码器。 摆体与小车之间、摆体与摆体之间由转轴连接，并在连接处有2 个光电编码器分别 用来测量一级摆和二级摆的角度。一摆、二摆可以绕各自的转轴在水平导轨所在 的铅垂面内自由转动而小车则由交流伺服电机、皮带轮、传动带带动在水平导轨 上左右运动，从而使倒立摆稳定在竖直位置并且可以沿着导轨倒立行走。 一l一 = = b c 第二章倒立摆系统建模和定性分析 2 3 2 二级倒立摆系统的微分方程 图2 3 二级倒立摆运动分析示意图 系统中的符号含义及其取值见表2 2 表2 , 2 二级倒立摆系统符号参数表 符号含义 取值( 单位) 埘o小车质量1 3 2 k g 州，一级摆杆的质麓0 2 1 5 k g m 2 二级摆杆的质擐 0 1 3 2 k g j t一级摆绕质心g l 的转动惯量 o 0 0 8 3 9 8k g + m 2 j 2二级摆绕质心g 2 的转动惯量 0 0 1 8 2 5k 9 4 m 2 ，j一级摆质心g l 到转轴o l 的距离 0 1 3 m 1 2二级摆质心g 2 到转轴d 2 的距离 0 2 2 m ，一级摆杆的长度0 1 6 m 三2 - 二级摆杆的艮度 0 4 0 m 如 小车与导轨闯的滑动摩擦系数 2 3 6 7 8 2n * s m “ 一级摆绕转轴0 1 转动的摩擦阻力矩系数 0 0 0 3 4 2 5n * s * m 止 _ 二级摆绕转轴q 转动的摩擦阻力矩系数0 0 0 3 4 2 5n * s * m g 当地重力加速度 9 8 m s e e 2 “ 倒立摆系统的控制餐( 力) n 倒立摆系统模糊控制算法研究 本文采用分析力学中的l a g r a n g e 方程建立二级倒立摆系统的微分方程。 首先，对系统作如下假设： 1 1 小车、级摆杆和二级摆杆都是刚体。 2 1 皮带轮与皮带问无相对滑动，皮带不能拉伸变长。 3 ) 小车与导轨之间的摩擦力与小车速度成正比。 4 1 各级摆杆与转轴间的转动摩擦力矩与摆杆的角速度成正比。 数学模型推导： a ) 系统总动能：t = 五+ 巧+ 墨 小车的动能：t o = 圭i 2 一级摆动能：石= 三1 z ，牟+ 圭m 击c r + ts ；n q ， 2 + d ( t , c o s 0 ) 2 = 圭z 寄+ 圭m ( ，十4 c 。s 岛磅) 2 + ( 4s i n6 l 馥) 2 二级摆动能： 正= 圭以彦+ 圭，坞 鲁c ，+ 厶s i n q + 己s i n 岛， 2 + 昙c 厶c 。s 鸟+ tc 。s 岛， 2 = 吉五宏+ 互1 。r ( f + 厶c 。s 岛萌+ c 。s 岛睫) 2 + ( 厶s i n 岛磅+ s i n b 睫) 2 b ) 系统总势能：v = + 巧+ k ， 小车势能：v o = 0 ， 一级摆势能：k = m “c o s 0 i ， 二级摆势能：= 鸭g ( 上ic o s + c o s 0 2 ) 。 c ) 系统总耗散能：d = d 0 + 日+ d 2 ， 小车耗散能：d o = = 1 工i 2 ， 一级摆耗散能：q = 妻彳牟， 二级摆耗散能：旦= 妻石( 龟一酋) 2 ； 第二章倒立摆系统建模和定性分析 工a g r a n g e 7 y ：旦d t f t 丝m s , ) 1 一面8 1 , + 面o d = q j i 其中：q f 表示广义力；吼表示广义坐标：在本文中为，岛，岛。 设g 。= m - d d t - 引f f j 一雾+ i o d = ” ( 2 - 9 ) 吼2 q 时丢 嚣卜盖+ 嚣- o c z 硼， 吼2 岛时：丢( 盖j _ 盖+ 丽a s s ) = 。 c z 州， 将三= t - v 和d 代入式( 2 - 9 ) 、式( 2 1 0 ) 、式( 2 1 1 ) ，并进行化简的到： ( 十+ ? ) ? ( 啊4 + 厶垮c 0 8 矗i + # i z 毛硅c o s 岛 ( 2 1 2 ) - ( m , 4 + m 2 厶) 4 2s i n o t 一所2 7 2 幺2s i n 0 2 五，= “ ”1 鬈：裂鬻三瓣s i p n ( 0 2 孺麓心+ m 咱z l ，；gs i n o ：0 + ( 石+ 五) 岛一( 五+ 厶，2 岛一嚷) ) 幺一( ) = 、。 历2 ，2 ，c o s 砬+ 删2 厶，2 反c o s r 岛一日1 + f 以+ r a f t , 2 1 彘 + ( m ：厶毛砬。i n ( 0 2 - e , ) + 五) 喀+ 正蠢一，f 2 占。i ：岛：o 2 以4 i m o + m i + 刀 ( 硝十m 2 厶) c o s 马，啦c o s 0 2 l q ，岛) = j ( 码+ 厶) c o s 岛 以+ m 2 + 鸭厶2 ，2 厶c o s 幢鼋) f ( 2 - 1 5 ) l 鸭，2 c o s 0 2 j ，1 2 f 2 厶c o s ( 岛一岛)五+ r a f l 2 2i 卜f o ( + 厶) bs i n bj 2 岛s i n 0 2 i 吐( q ，0 2 ，只，岛) = f 0 z 一正 k 厶幺s i n ( o ：一b ) + 五i ( 2 1 6 ) j 0 一”屯f 2 厶岛s i n ( 0 2 一岛) + 正一石 i 吃( 岛，o p = ( o ( + m 2 厶) g s i n 岛m f l ：g s i n 0 2 ) 7 ( 2 1 7 ) = o 0 o ) 7 ( 2 1 8 ) 则根据微分方程式( 2 - 1 2 ) 、式( 2 - 1 3 ) 、式( 2 - 1 4 ) 可写成： q c 岛，岛， 差 = 皿c 岛，岛，哇，晓， 差 + 岛c 儡，岛，+ “ c 2 一。， 倒立摆系统模糊控制算法研究 2 3 3 微分方程线性化及状态方程 一、微分方程线性化 令z = ( rq 岛) 7 ，我们在系统平衡位置z = j = o 处，对式( 2 1 9 ) 线性化。 当z = j = 0 即：包= 4 = 0 ，s i n s i “谚，c o s “1 ( i = 1 ，2 ) 时，由式( 2 1 9 ) 得到 m o + + m + m 2 厶 m = 啊( o ，0 ) = i 铂+ 聊2 厶以+ r o l l l 2 + m 2 厶2 l m 2 1 2用2 f 2 厶 ，o ，o ，o ，= 瞄一参三 如 。( r e , l , + m 2 l 、) g 咄g = ( 1 0 o ) r ( 2 - 2 0 ) 埘：厶 m ：，2 厶i( 2 - 2 1 ) 以+ 岛2 j ( 2 - 2 2 ) r 2 2 3 ) f 2 2 4 ) 假设：毛= = ( ，鼋岛厂 之= m 。心+ m 。g z + m 1 “ 4 - x = pqbp 反晓】7 ，则式( 2 2 0 ) 可以写成状态方程： i 文= a x + b u 卜 陆2 5 ) 第二章倒立摆系统建模和定性分析 其中： 4 = ( 0 g 叠 ，占= ( 善强 ， f 1oooo o ( 2 2 6 ) 。l。0。00 010 00 j ij 这里0 3 为3 阶零矩阵，厶为3 阶单位阵，0 3 ，f = ( 0 0 o ) 。 把表2 2 中的参数取值代入上式得到： a = 000l0 0 0000l 0 00000 l 0 - 3 3 2 6 4 - 0 0 4 5 3 18 4 7 5 50 0 2 18- 0 0 10 7 07 2 1 9 2 8 - 3 5 2 1 89 6 3 2 1 50 5 1 5 5 0 2 7 4 1 0 9 7 9 2 81 2 3 9 3 93 6 4 8 40 1 8 0 70 1 4 8 0 b = r 00 0 0 8 0 6 3 4 2 0 3 5 一o 1 5 9 2 ) 。 2 4 倒立摆系统的定性分析 2 4 1 相关定理简介 在得到系统的数学模型之后，为了进一步的了解系统性质，需要对系统的特 性进行分析，最主要的是系统的稳定性、能控性以及能观性。 系统的稳定性分析一般可以应用l a s s i e st h e o r e m 或者李皿普诺夫稳定性理 论。最常用的是后者。对于系统在平衡点邻域的稳定性可以根据前面得到的系统 线性模型分析。一般摆杆竖直向上是系统的不稳定平衡点，需要设计控制器来镇 定系统。既然需要设计控制器镇定系统，那么就要考虑系统是否能控。我们所关 心的是系统在平衡点附近的性质，因而可以采用线性模型来分析。 在进行倒立摆的定性分析之前，先介绍线性控制理论中几个关于能控性、能 观性的判定定理 3 2 , 3 3 , 3 4 】： 定理1 ( 能控性判据) n 阶线性定常连续系统鼻= a x + b u 状态完全能控，当且 仅当系统的能控性矩阵： s = i ba ba 2 b a 1 b j( 2 2 7 ) 倒立摆系统模糊控制算法研究 满秩，即r a n k ( s ) = n 。特别，当输入控制量“( t ) 为标量时，能控性矩阵s 为方阵： r a n k ( s ) = 等价于s 的行列式值d e t ( s ) 0 。 定理2 ( 能观性判据) n 阶线性定常连续系统 l 文：丸x + b u 气 l y ：c x 状态完全能观，当且仅当系统的能观性矩阵： 矿= cc a c a ”1 7 ( 2 - 2 8 ) 满秩，即r a n k ( v ) = n 。特别，当输出量y ( ，) 为标量时，能观性矩阵v 为方阵；r a n k ( v ) = n 等价于矿的行列式值d e t ( v ) 0 。 为了衡量系统控制器设计的难度，或者说衡量系统本身能控性的相对程度， 一般称之为相对能控性，可通过计算能控性矩阵的奇异值占来判断”1 。 定理3 ( 相对能控性判据) 线性定常连续系统膏= a x 4 - b u ，矩阵a 的最小奇 异值与最大奇异值的比值为系统的相对能控度，记作占。 2 4 2 一级倒立摆系统定性分析 一级倒立摆系统的特征方程为d e t 2 1 - a l 一0 ，经过计算得到系统的开环 特征根： ( 0 - 0 0 8 3 05 3 7 0 1 5 3 7 4 7 ) 系统有一个极点在平面的右半平面上，有一个极点在原点，因此系统是不稳 定的。 对一级倒立摆系统线性状态方程式( 2 5 ) ，根据定理l 和定理2 得到： r a n k 8 a ba 2 b a 3 b = 4 ， r a n k c c ac a 2 c a 3 7 = 4 所以一级倒立摆系统是能控的和能观测的。 对于一级倒立摆状态方程( 2 5 ) ，对爿矩阵进行奇异值分解得到一矩阵的奇异 值阵： 第二章倒立摆系统建模和定性分析 w = 2 8 8 6 8 8 1 0 0 3 4 o a 矩阵的奇异值为对角线上的值，所以一级倒立摆的相对能控度 j = 1 2 8 8 6 8 8 = 0 0 3 4 6 。j 越小时系统越难控制。 2 4 3 二级倒立摆系统定性分析 二级倒立摆系统的特征方程为d e t 2 1 一a _ 0 ，经过计算得到系统的开环 特征根： ( 0 - 1 9 6 6 4 3 7 5 4 7 9 - 6 9 6 2 8 - 3 4 1 2 7 3 3 5 2 9 ) 系统有两个极点在平面的右半平面上，有一个极点在原点，因此系统是不稳定的。 对于二级倒立摆系统状态方程( 2 2 5 ) ，根据定理1 和定理2 得到： r a n k l - b a b 4 “b = 6 ， r a n k r cc a c a 6 1 7 ：6 lj 所以二级倒立摆线性系统能控的和能观测的。 对于二级倒立摆状态方程( 2 2 5 ) ，对4 矩阵进行奇异值分解得到a 矩阵的奇异 值阵缈： w = 1 2 1 6 3 9 3 1 7 0 2 1 6 57 2 7 1 0 9 9 8 2 o 二级倒立摆的相对能控度占：o 9 9 8 2 1 2 1 6 3 9 3 = 0 0 0 8 2 ，可见二级倒立摆系统 将比一级倒立摆系统更难控制。 2 5 本章小结 本章详细讨论了一级倒立摆系统和二级倒立摆系统的数学模型，并推导出倒 立摆系统在平衡位置的线性状态方程。由此分析了倒立摆系统的能控性、能观性 和相对能控度。 一般情况下，倒立摆系统均是能控的。相对能控性与系统本身的特性有关， 主要是倒立摆杆的长度及其相对比例，转动惯量的大小及其相对比例，其相互之 倒立摆系统模糊控制算法研究 问的关系需要加以进一步的研究。 第二章倒立摆的模糊控制方法研究 第三章侄i 一 - 摆的模糊控制方法研究 模糊控制理论是建立在模糊集合论、模糊语言变量及模糊逻辑推理基础上的 - - t e e 计算机数字控制理论。它因在设计系统时不需要建立被控对象精确的数学模 型而得到了r 益广泛的应用。所以模糊控制在研究像倒立摆这样的高度非线性系 统上有很大的优势。但是，在用模糊控制理论解决倒立摆这样多变量系统控制问 题时，不可避免会遇到规则爆炸( r u l ee x p l o s i o n ) 问题，本章提出运用最优控制方法 设计了融合函数以降低模糊控制器的输入变量维数，大大减少模糊控制的规则数， 成功解决了规则爆炸问题；并研究了量化因子对控制效果的影响，通过设置阈值 使量化因子可以自动调节，进而提升了模糊控制器的性能品质。 3 1 模糊控制理论简介 模糊控制是以模糊集合、模糊语言变量及模糊逻辑推理为基础的一种计算机 数字控制。从线性控制与非线性控制的角度分类，模糊控制是一种非线性控制： 从控制器的智能性看，模糊控制属于智能控制的范畴，而且它己经成为目前智能 控制的一种重要而有效的形式 3 6 , 3 7 1 。 3 1 1 模糊控制系统组成 模糊控制属于计算机数字控制的一种形式，因此，模糊控制系统的组成类似 于一般数字控制系统，其框图如图3 1 所示。 图3 1 模糊控制系统框图 1 ) 模糊控制器：这是模糊控制系统的核心部分，采用基于模糊控制知识表示 和规则推理的语言型“模糊控制器”，这也是模糊控制系统区别于其他自动控制系 统的特点所在。 2 ) 输入输出接口：模糊控制器通过输入输出接口从被控对象获取数字信号 量，并将模糊控制器决策的数字信号经过数模转换，将其转变为模拟信号，然后 送给被控对象。在i o 接口装置中，除a d ，d a 转换外，还包括必要的电平转换 倒立摆系统模糊控制算法研究 电路。 3 ) 执行机构：包括交、直流电机，伺服电机，步进电机，气动调节阀和液压 电动机、液压阀等。 4 ) 被控对象：这些被控对象可以是确定的或者模糊的、单变量的或者多变量 的、有滞后的或者无滞后的，也可以是线性的或者非线性的，定常的或者时变的， 以及具有强耦合和干扰等多种情况。对于那些难以建立精确数学模型的复杂对象， 更加适合采用模糊控制。 5 ) 传感器：是将被控对象或者各种过程的被控量转换为电信号( 模拟或者数字1 的一类装置。被控制量往往是非电量，如位移、速度、加速度、温度、压力、流 量、浓度、湿度等。传感器在模糊控制系统中占有十分重要的地位，它的精度往 往直接影响整个控制系统的精度，因此，在选择传感器时，应该选择精度高且稳 定性好的传感器。 3 1 2 模糊控制器设计的基本方法 图3 2 模糊控制器结构图 模糊控制系统的核心是模糊控；$ 1 j ：器( f