（基础数学专业论文）超有限因子中套子代数的lie理想.pdf

摘要 对于算子代数的l i e 结构的研究始于上世纪5 0 年代，一直以来都备 受人们的关注，这对于全面揭示各种算子代数的各种结构具有重要的意 义 许多代数的l i e 理想是可以完全确定的，而且l i e 理想与结合理想 之间都存在着密切的联系5 0 多年来，算子代数学家们在这一方面取得 了丰硕的成果 本文首先给出了超有限因子到其中的套代数的对角上的忠实的条件 期望的一个刻画，证明超有限因子套代数的中心恰好由纯量构成同时 描述了超有限因子中的正则套代数的盯一弱闭l i e 理想的结构，揭示了 其中的l i e 理想和结合理想之间的关系j 关键词：v n 代数；超有限因子；套子代数；条件期望；l i e 理想 a b s t r a c t m a n yo p e r a t o ra l g e b r a ss c i e n t i s t sh a v eb e e ns t u d y i n gt h el i ei d e a l so f o p e r a t o ra l g e b r a ss i n c e19 5 0 s ，a n dm o r ep e o p l ep a i dm o r ea t t e n t i o nt ot h e o p e r a t o ra l g e b r a sl i es t r u c t u r e ，t h i si sv e r yi m p o r t a n tt or e v e a lt h es t r u c t u r e o fv a r i o u so p e r a t o ra l g e b r a s i nm a n ya l g e b r a s ，t h el i ei d e a l sc a r lb ee x a c t l yd e t e r m i n e d ；a l s ot h e r ea r e c l o s ec o n n e c t i o n sb e t w e e nt h e l i ei d e a la n dt h ea s s o c i a t i v ei d e a lo fa l g e b r a s i nt h i sf i l e d ，w eh a v eg o ta p l e n t i f u lh a r v e s t i nt h i sp a p e r , t h ed e s c r i p t i o ni sf i r s tg i v e nf o rt h ef a i t h f u ln o r m a l c o n d i t i o n a le x p e c t a t i o nf r o mah y p e r f i n i t ef a c t o ro n t ot h ed i a g o n a lo fn e s t a l g e b r ao ft h eh y p e r f i n i t ef a c t o r i ti sp r o v e dt h a tc e n t e ro ft h en e s ta l g e b r ai s t h es c a l 颦a l g e b r a s e c o n d ，i ti sd e c r y p t e dt h es t r u c t u r eo fo - - w e a k l yc l o s e d l i ei d e a l so fr e g u l a rn e s ts u b a l g e b r a si nh y p e r f i n i t ef a c t o r s ，i ti sa l s o r e v e a l e dt h a tt h er e l a t i o nb e t w e e nt h el i ei d e a la n dt h ea s s o c i a t i v ei d e a l k e yw o r d s ：v na l g e b r a ；h y p e r f i n i t ef a c t o r ；n e s ts u b a l g e b r a ；c o n d i t i o n a l e x p e c t a t i o n ；l i ei d e a l 青岛大学硕士学位论文 学位论文独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文系本人在导师指导下独立完成的研究成果文中依 法引用他人的成果，均己做出明确标注或得到许可：论文内容未包含法律意义上已 属于他人的任何形式的研究成果，也不包含本人已用于其他学位申请的论文或成 果 本人如违反上述声明，愿意承担由此引发的一切责任和后果 论文作者签名： 卜笑晔 日期：细弓年6 月1 日 学位论文知识产权权属声明 本人在导师指导下所完成的学位论文及相关的职务作品，知识产权归属学校 学校享有以任何方式发表、复制、公开阅览、借阅以及申请专利等权利本人离校 后发表或使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，署名单位仍然为 青岛大学 本学位论文属于： 保密口，在年解密后适用于本声明 不保密口 ( 请在以上方框内打“ ) 论文作者签名： 卜；4 导师签名：叙以觎 日期：硼i 年月j 日 日期：加蛑6 月日 青岛大学硕士学位论文 引言 经过算子代数学家们的努力，到2 0 世纪中、下半叶，关于h i i b e r t 空间上的 套代数已经建立了一套完美的理论但对于一般的v n 代数的中套代数的相关理论还 比较少对于般的y o nn e u m a n n 代数中的套代数的结构的研究，多年来算子代数 学家一直都在追寻着，但由于一般的y o nn e u m a n n 代数不像h i i b e r t 空间上有界算 子的全体代数一样有充分多的秩算子，而对于y o nn e u m a n n 代数中的套代数的结 构与h i i b e r t 空间上的套代数的结构又有着本质的区别这成为了近年来一个比较 活跃的课题，特别是l i e 理想与结合理想间的关系占了比较重要的位置 对于l i e 理想的研究始于上世纪5 0 年代，对此的研究人们一直在进行着，这 是因为它对于全面揭示y o nn e u m a n n 代数的结构具有重要的意义五十多年来，围 绕着各种代数的l i e 理想和结合理想方面，人们进行了大量的研究，取得了丰硕的 成果 设a 是复数域c 上的一个结合代数，在括积k y l = 砂一y x 下，a 成为一个l i e 代数彳的一个线性子空间上如果满足任给口么，豇l 都有f 口，k 1 l ，则称三是4 的 l i e 理想在许多例子中，彳的l i e 理想和结合理想间存在密切联系 h e r s t e i n 1 于1 9 5 5 年作了关于l i e 理想的奠基性工作，首次描述了素环中的 l i e 理想与结合理想之间的关系，使代数的结构研究走向多元化五十多年来，围绕 着各种代数的l i e 理想和结合理想，人们进行了大量的研究，取得了丰硕的成果 h e r s t e i n 1 证明了若彳是有非零的局部幂零理想的环，且在么中，由2 x = 0 可 推得x = 0 ，那么若么的结合子环u 是a 的l i e 理想，则要么u 包含着彳的一个非 零理想，要么u 包含在么的中心里还证明了若彳是特征不等于2 的素环，u 是彳的 l i e 理想，则u 包含在么的中心里，或u3 i 么，彳。1 围绕算子代数的l i e 理想的研究，近年来又取得了丰富的成果其中经典的有： 1 9 8 2 年， f o n gck 、m i e r scr 与s o u r o u rar 4 刻画了当h 是无限维可 分的h i l b e r t 空间时，b ( h 1 中的l i e 理想并且给出了l i e 理想与结合理想的关系 2 0 0 2 年， m a r c o u xlw 与s o u r o u rar 3 又给出了非自伴算子代数中共轭不 变子空间与l i e 理想间的关系，即若是n e s t 代数( 或t u h f 代数) 中的弱闭( 或 范数闭) 线性流形，则三是l i e 理想当且仅当上是共轭不变，进而更进一步的刻画 了n e s t 代数中弱闭l i e 理想 2 0 0 4 年，h o p e n w a s s e ra 与p a u l s e nv 8 描述7 - - 角a f 代数中的l i e 理想 结构 引言 2 0 0 5 年，j ip e i s h e n g 与w a n gi i n 7 描述了a f c 。一代数的l i e 理想证明了如 果a f c + 一代数中的线性流形上是a 的闭l i e 理想，则存在彳的闭结合理想，和a 的 典型m a s a d 中的闭子代数e ，使得f 么，川clc ，+ e ，并且么中每一个这种形式的 闭子空间都是彳的闭l i e 理想 对于v n 代数及其子代数的坐标表示有下列结果： 1 9 7 7 年，f e l d m a nj 与m o o r ec 1 2 建立了遍历等价关系，及v o nn e u m a n n 代 数之间的关系其主要结果可描述如下： 设召是由c a r t a n 子代数d 的v n 代数，则存在一个标准的b o r e l 测度空间 ( x ，q ，) ，x 上的一个可数标准关系r 和一个复值2 一上环j 使得b 兰m ( r ，j ) ， d 兰r ( x ，) 映射b 1 6 是b 到d 的正规的忠实的条件期望 1 9 8 8 年，m u h l y 与s o l e l 1 4 给出了三角算子代数的坐标 关于代数的坐标表示，v n 代数的坐标表示f e d m a n 和m o o r e 在文献 1 2 中给出 了详细的描述；m u h l y ，s a i t o 和s o l e l 1 4 刻画了非自伴代数的坐标表示 本文首先给出了超有限因子到其中的套代数的对角上的忠实的条件期望的一 个刻画，证明超有限因子套代数的中心恰好由纯量构成同时描述了超有限因子中 的正则套代数的仃一弱闭l i e 理想的结构，揭示了其中的l i e 理想和结合理想之间 的关系 2 青岛大学硕士学位论文 第一章超有限因子中套代数的对角、理想与中心 对于套代数的结构从上世纪5 0 年代以来一直是人们研究的热点问题之一，对 于h i 1 b e r t 空间上的套代数已经建立了一套完美的理论，但对于一般的v 0 1 n e u m a n n 代数中的套代数的结构的研究还在继续，本文给出了超有限因子到其中的套代数的 对角上的忠实的条件期望的一个刻画，证明超有限因子套代数的中心恰好由纯量构 成的，举例说明了超有限因子中套代数的理想结构与h i l b e r t 空间上的套代数的理 想结构又有着本质的区别 第一节预备知识 首先介绍几个概念： 定义1 1 1v n 代数曰的c a r t a n 子代数d 是指d 是b 的一个正则的极大交换 的子代数，且存在从召到d 的正规的忠实的条件期望p ：b - - d 定义1 1 2 子代数d 称为正则的是指d 的正规化子集人0 ( d ) = “：“是b 中的 酉元且满足“d 纠= d ) 生成整个b ，其中的酉元称为d 的正规化子 定义1 1 3p ：b 寸d 称为正规期望是指p 为范数为l 的盯一w o t 连续的投 影p 称为忠实的是指如果p ( r ) = o ，t 0 ，那么t = o ? 定义1 1 4 因子曰成为超有限( 或a f ) 因子指男中存在一个单的有限维c 一子 代数链 鼠 使得u 二。e 按仃一w o t 稠y b 定义1 1 5 给定b 中这样一个单的有限维c 予代数链 最 ，存在b 的一个子 集 彤：f ，z ) ，满足任给门， e ；：f ，) 为色的一个矩阵单位系，并且每个彤是 g ；+ 1 ：f ， 中某些元素的和令d o 为集合 ：f ，z 的闭线性扩张，d 为d o 的仃一弱闭 包，则d 为b 的c a r t a n 子代数称 g ；：f ，2 为b 关于d 的一个矩阵单位系 定义1 1 6v n 代数b 的c a r t a n 子代数d 的广义正规化子的概念： b 中的部 分等距v 称为d 的广义正规化子指w 和，v 属于d 且满足记为= d w d 的广义正 规化子的全体记为g b ( d ) 第一章超有限因子中套代数的对角、理想与中心 如果b 是有限的，则v g n s ( d ) 当且仅当“虬( d ) 和d 中投影p 使得v = u p ， 显然每个属于g n 8 ( d ) 定义1 1 7 设b 为a f 因子，d 为召的c a r t a n 子代数，b 中的正则套指由d 中的投影组成的一个链，包含0 和单位元1 ，并且在完全投影格运算下封闭 定义1 1 8 相应的套代数r ( n ) 指集合 a b ：p a p = a p ，v p n ) ，显然丁( ) 是 包含d 的盯一弱闭子代数 定义1 1 9 称v n 代数丁( ) nr ( ) 为套代数丁( ) 的对角，记为d ( w ) ，其中 丁( ) = 口：口r ( ) 显然d ( ) = 7 ，是的交换子7 定义1 1 1 0 由n 生成的v nt 弋数c ( n ) 称为t ( n ) 的核，显然c ( n ) 是d ( ) 的 交换子，且为d 的子代数 定义1 1 11 称c ( ) 的极小投影为n 的原子，n 的原子的全体记为人任给n 的原子g ，有9 = 八 p n ：g p - v p n ：尸上g ，或存在p n 使得g = p 一卫， 其中且= v p 7 n ：p 7 口 定义1 ，1 12 记吼= g ，如果吼按范数稠于g 。蛾，则称是正则套，r ( n ) q e a 称为正则套代数 定义1 1 13t ( n ) 的原子对角见( n ) 指由 q b q q 人 生成的仃一弱闭子代 数，显然见( n ) = q b q q 人) 口e 存在唯一的从b 到见( ) 上的条件期望，其定义为：( 口) = q a q ，口b 显 q e a 然a7 e e t ( n 1 上是可乘的 4 青岛大学硕士学位论文 第二节主要结果及证明 本部分b 为a f 因子，d 为b 的c a r t a n 子代数 为证明此文下面的一些结果，我们将用到召的坐标表示对v n 代数的坐标化文 献( 1 2 】中f e l d m a n n 和m o o r e 作了详细的描述有关在非自伴代数上的应用的详细介 绍见m u h l y ，s a i t o 和s o l e l 文【1 4 下面我们给出坐标的相关方面的一个简明介绍 假设b 为带有c a r t a n 子代数d 的v n 代数f e l d m a n n 和m o o r e 在文献【1 2 】中用可 测等价关系给出了( b ，d ) 的结构：设( 彳，q ，) 是一个标准的b o r e l 测度空间且有 限，r 是彳上的一个可数标准关系( 即r 是义上的一个等价关系，r 是x z 的 b o r e l 子集，且每一个等价类是可数的) 如果( x ，y ) r ，称为x 与y 是等价的，记 为z y z 的等价类记为r ( x ) 存在从尺到的两个自然投影乃和刀，其定义为： 乃( x ，y ) = x 和万，( x ，y ) = y 由可定义尺上的一个右数数测度b 为 v ，( y ) = l j 莓厂( y ，x ) p ( x ) ，其中i s i 表示集合s 的基数( 同理可以定义一个左数数 测度) 从而有( x ，y ) 咖( 岁，y ) = l 厂( y ，x ) p ( 石) b 中的算子可表示为r j y， 上的函数厂( x ，y ) 这个表示可能需要定义在有序组灭r = ( x ，y ，z ) ：x y z 上的 一个复值2 一上环s ( x ，y ，z ) 在些简单的情况下( 如r 是a f 的) s 恒等于1 可测 g l 数f ( x ，y ) 称为左有限的指( 石，y ) 有界且存在正整数使得任给x ，y ex ，集合 z ：厂( x ，z ) ) o 和 z ：f ( z ，y ) o 的基数不大于n 左有限函数f ( x ，少) 按下式定义 了r ( r ，v ) 上一个有界算子( 仍记为f ) ：臂( x ，z ) = z ( 戈，y m ( y ，z ) s ( x ，y ，z ) 这 种算子的仃一弱闭包是r ( 尺，v ) 上的一个v 代数：记为m ( r ，s ) m ( r ，s ) 中的算子 可表示为r ( r ， ，) n p ( r ，v ) 中的函数乘法运算和伴随运算可表示为： 彳石( 础) - - z f , ( x ，y ) 五( 弘z ) s ( 而y ，z ) 和厂( 石，y ) - 冗两 j ，： 第一章超有限因子中套代数的对角、理想与中心 r ( x ，) 中的函数可理解为r 上的函数其支撑在对角上 文献 1 2 的主要结果是：设b 为带有c a f t a n 子代数d 的v n 代数，则存在一个 标准的b o r e l 测度空间( x ，q ，) ，x 上的一个可数标准关系r 和一个复值2 一上环 s ( x ，y ，z ) 使得b 兰m ( r ，s ) ，d 兰r ( x ，) ，并且映射6 _ bl z 是b 到d 的正常的忠 实的条件期望 设矽：e 寸，是x 的两个8 0 r e l 子集e 和，之间的b o r e l 同构，如果满足 r ( 矽) sr ，其中i ( 矽) 是的图像，则称矽是部分r 一同构，并且i ( ) 上的特征函数 z r ( ) eg n 8 ( d ) f t 2 _ ，如果v g ( d ) ，则存在一个部分五一同构矽，使得对几乎所 有的( 工，j ，) r ，有 ( 1 ) 如果( z ，y ) 仨r ( 矽) ，则v ( x ，y ) = 0 ； ( 2 ) 如果( 工，y ) r ( 矽) ，则v ( x ，y ) 0 按这种记号有v 卿( z ) = ( 口。酊1 ) ( x ) v v ( x ) ，其中a e d ，并且任给“，v e g n b ( d ) ， 有吮，= 丸。吮 设c 是r 的一个b o r e l 子集，记丁( c ) = 厂m ( r ，j ) ：厂的支撑含于c ) 如果 m 是b 的一个子集，记m = ( 工，y ) r ：存在厂m4 吏得f ( x ，y ) 0 文献 1 3 的主要结果是：如果m 是b 中的一个仃一弱闭的d 一双模，则 m = r ( 矗) 进一步，如果彳是b 中一个含。的v n 子代数，则映射：6 6 f 西：6 b 是b 到么上的正常的忠实的条件期望 下面的引理证明了是按仃一弱算子拓扑连续的 引理1 2 ，1 是按仃一弱算子拓扑连续的 证明显然是从召到见( ) 上的正映射任给b 中的有界单调递增网 唧 ，用 s u p a t ) 表示 q ) 的上确界，任给g a ，显然g ( s u p a ， ) g 是g q g 的上确界从而 6 青岛大学硕士学位论文 s u p ( ( 口) ) = s t l p l q a ，ql = s u p ( q a ，g ) = qs u p ( a ，) g = ( s u p ( a ，) ) 故任给b 、q e a，4 e q e a 两两正交的投影集 ) 有i - ( 巳) 二所以是b 上完全可加的映射任给 a b 上的正常态w ，wo 是b 上一个完全可加态，从而是矿一弱算子拓扑连续的所 以是按弱算子拓扑连续的 下面的命题用n 中的投影给出了b 到d ( n ) 上的正常的忠实的条件期望 p ：b d ( n ) p 的这个表示在研究t ( w ) 的盯一弱闭理想时非常有用我们将充分 利用子下面的性质 命题1 2 2 设b 为a f 因子，d 为b 的c a r t a n 子代数，为b 中的正则套， 令q 为中包含0 和单位元1 的有限子套类任给f q ，设 f = 0 = p 彳 p f = l j ，定义b 到b 的收缩投影耳：b 专b 为： 名( b ) = ( 一。声( p 厂一，) ，则 斥：，q 按点点仃一弱算子拓扑有聚点尸 i 事实上，尸是从b 到d ( n ) 上正常的忠实的条件期望b b i 以后都记为尸 i d f ) 证明记l ( b ) 为b 有界算子的全体，显然片l ( b ) 在空间l ( b ) 上考虑点点 0 - - 弱算子拓扑，则l ( b ) 可以看成乘积空间兀( 召，仃一w o t ) 的子集合，其中将 三( b ) 看成 ( 6 ) ：6 b ) 由于b 的闭单位球是盯一弱紧的，由t y c h o n o f f 定理 知兀 x b ：i l x l - l l b l l ) 是紧的从而( 召) 的闭单位球是点点仃一弱算子拓扑紧的由 于 0 ：f q ) 包含在( b ) 的闭单位球中，所以 耳：f q ) 按点点仃一弱算子拓扑 有聚点尸，且j i 尸忙1 不妨设网 耳：f q 按点点口一弱算子拓扑收敛于p ，否则可 用 昂) 的一个子网来代替它 下证尸是从b 到d ( n ) 上的正常的忠实的条件期望首先证明 n f 0 ( b ) = d ( ) 第一章超有限因子中套代数的对角、理想与中心 设d n f b ( b ) 给定p n ，任给包含p 的有限子套f ， 由于 d = 名( d ) = ( p _ ：f 一。p ( - p 2 。) ， 所以有 勿= ( 一p 2 。p ( 一。) p = 。( p ：- - p 二。矽( 一，) = 彬 i p ：一p l i s p 因为d ( n ) 是n 的交换子n 7 ，即d ( n ) = n 7 ，所以d d ( n ) 这样证明了 n f 耳( b ) d ( n ) 反之，设d d ( n ) ，则任给有限子套f ，有耳( d ) = d ，所以 den f 斥( b ) 从而证明了n f 斥( b ) = d ( ) 再证尸( b ) = d ( n ) 任给d d ( n ) ，由上面证明知任给f q ，有 最( d ) = d ，从而尸( d ) = d 所以尸( b ) 2d ( n ) 设d p ( b ) ，则p ( d ) = d 任给 f q ，有 p f ( d ) = z ( p f p 二p ( p f - p 2 ) = ( p ，- p 2 。) 尸( d ) ( 一。) = c r - w o t - l i m ，( 一p 。) 0 和) ( p ，- p 2 。) = 仃一w 萨l i m 删z ( a p 2 。) ( 7 一朗f ip ( 矽7 一，) ( 一p ，) = 仃一w 讲一l i m f 。f ，( p 夕7 j 一，) d ( p 夕7 一艮f i 。) = 尸( d ) = d 所以尸( b ) n 尸片( b ) ，从而有p ( b ) = d ( n ) 从b 到d ( n ) 上的正常的忠实的条件期望b bl 。 记为e ，下证p = e 设 d f l b b ，由于最( b ) 按仃一弱算子拓扑收敛于尸( 6 ) 以及e 按盯一弱算子拓扑连续，从 而e ( b ( 6 ) ) 按仃一弱算子拓扑收敛于e ( 尸( 6 ) ) = 尸( 6 ) 又 e ( 尸f ( 6 ) ) = e ( 莩( 一p 二弘( 旗。) = z ( p f - p 。声( 6 ) ( 一。) = ( p 厂一，) e ( b ) - - e ( b ) 所以p = e 如果n 是b 中的原子套，显然d ( n ) = d o ( n ) 当n 是连续套( 无原子) 时， 8 青岛大学硕士学位论文 对角d ( n ) 就变得复杂了下面给出一些例子说明 例1 2 3 本例给出一个连续套满足d ( ) = d 设b 是一个，型因子且含有一个仃一弱稠i 的c a r 代数么，其中彳丰周构于下面 定义的极限代数： 用坞。记2 ”阶矩阵代数任给，z ，令岛：m ：。一m 2 。为加细嵌入，( 即 岛( ) = ( i ：) ，其中( 1 2 ) 表示m ：。中的分块矩阵，1 2 表示鸩中的单位阵) 彳木 同构于极限代数i 血( m ：。，岛) 令p a ：鸭专彳表示从哆。到彳的典型嵌入 石：f ，_ ， 为m ：。的典型矩阵单位系，令p ；= 刍( 疗) ，并令d 为集合f p ：i ，z 的仃一弱闭线性扩 张，则d 为b 的c a r t a n 子代数； e v ”：f ，_ ，2 为b 关于d 的一个矩阵单位系令 k 群= p 三，其中k = l ，2 ，2 ”，z = 1 ，2 ，令o = o ，群：尼= 1 ，2 2 ”，z = 1 ，2 ， ，则o 是b 中的套；令是0 的完备化，则n 是连续套事实上，如果n 有原子g = p 一且， 其中p ，因为 e i 月i ：i ，聆 - 4 ： i 戎d ，所以存在咏p n 由于e 磊= 雕一珐。，及 g = p 一见是原子，所以p = ，n = p ：令p 7 = p 0 1 + g 裂l m 一1 ，则p 7 n ，但 只 p 7 尸，这与g = p 一且是原子矛盾所以是连续套 由于每个吃s p a n n o ，所以c ( ) = d 从而有 d ( ) = 7r 男= ( ) 7i i b = d 7a b = d 例1 2 4 本例给出一个连续套满足d ( ) d 设b ，d ， e ；：f ，胛 ， 群：尼，玎 和同例1 2 3 令 1 = p + 已三p e l ： pen ，p e l 。) ，则l 是连续套事实上，如果l 有原子g = p 二p 一， 其中p 1 ，因为 p j ! ；：f ，刀) 生成d ，所以存在吃p p 一如果g 磊q 1 - ，令 p 。= p l ，+ 8 ：n 。+ - 1 1 ：。一，+ 口；，( 一一。+ e ；芒。，：。一。) e ：，p ：= p ：一。+ g ：，p ：一。巳1 ：，贝o 9 第一章超有限因子中套代数的对角、理想与中心 最一p 2 = 已是l 似一l + 爿2 捌一l 吃+ p 2 n 川+ l 此2 叶女p 一卫，这与g = p 一见是原子矛盾 如果吃e ：1 ：，则有咚：川肛：+ p 卫类似上面的讨论也得到矛盾所以】是连续 套 推论q 1 ：d ( 1 ) 由于1 是套 p + e ：l 。p p 磊：pe o ，p 巧且 p 三一夕z ，两两正交设o 吉。由 此可得e ：p 一p ? ，否则 j ij 2 肛莩口夕( 咖磋蝌陋：) 哆( 砑一p ：o ) i p = 蚓 吉 矛盾，所以巧m o 一咳p ：证毕 显然例子1 2 3 中的套n 满足本引理的条件。 设h 为h i l b e r t 空间，b ( i - z ) 是日上有界线形算子的全体设人r 是日上的投影 套，乃( n ) = a e b ( h ) p a p = a p ，v pe e r o d s 和p o w e r 刻画了乃( n ) 中的盯一弱 闭理想：设j 是( ) 中万一弱闭的理想，则存在从n 到n 的左序连续的序同态 p 一；满足任给p ，都有；s p 使得= 口b ( 日) ：( i 一；) 印= 。，跏) 反 之，对每一个从n 到n 的左序连续的序同态p p 满足任给p n ，都有p5p ， 上面定义的，是乃( n ) 中仃一弱闭的理想 但是超有限因子中的套代数中的盯一弱闭的结合理想未必具有b ( 胃) 中的套代 数中的盯一弱闭的结合理想的特征见下例 例1 2 6 设套，b ，d ， 露：f ，刀) ， ：k ，n ) 同例1 2 3 我们知道， d ( ) = d 令，= x 丁( ) e ( x ) - - - o 由于尸是盯一弱连续的，所以，是盯一弱闭 的，易证是丁( ) 的盯一弱闭理想显然，是集合 p ：f ，p ；er ( n ) 的盯一弱闭 线性扩张如果存在从n 到的左序连续的序同态p 寸；满足任给p n ，都有 ；p 使得，= k 即) ：( ；) 印观砌) 如果存在p 使得； p ，则 ( p 一；) 丁( ) ( 少一；) n ，= 。) 由命题1 2 5 ，存在p p “从而有 第一章超有限因子中套代数的对角、理想与中心 蹦埘( p 一；) 砌) ( p 一；) ，但是础力“这与 ( p 一；) 丁( ) ( p 一；) n ，彳 9 ) 矛盾如果任给p ，都有；= 夕， 则，= 口b ( 日) ：( 1 一；) 印= 。，却) = 丁( ) ，显然矛盾所以不存在从n y ：4 的 左序连续的序同态p 寸p 满足任给p n ，都有p p 使得 ，= 仁即) ：( ，；) 印= o ，跏 下面的命题给出了套代数的中心，其证明用到了b 的坐标表示 命题1 2 7 r ( n 1 的中心z 是c 1 证明设f z ，由于d r ( n ) ，且d 是b 的极大交换的子代数，所以f d 现在，我们只需证明任给x ，y x ，都有厂( 工，石) = f ( y ，y ) 即可由于b 是因子，r 是 遍历的，以及丁( ) + 丁( ) 稠于b ，从而存在矩阵单位哆r ( ) 使得g ；( 工，y ) = 1 或 p ；( 少，x ) = 1 若嘭( x ，y ) = 1 ，因为f e ? = p ；厂，则有 群( x , y ) = s ( x ，x ) 彤( x ，y ) = 厂( x ，x ) = e ；f ( x ，y ) = p ；( z ，y ) f ( y ，y ) = 厂( y ，y ) 所以厂= a l ，其中口是一个纯量 1 2 青岛大学硕士学位论文 第二章n e s t 代数中的盯一弱闭l ie 理想 第一节引言弟一印5i 舌 对于某些特殊的算子代数中的l i e 理想的研究，已经取得了丰硕的成果例 如，1 9 9 8 年，h u d s o njd 、m a r c o u xlw 与s o u r o u rar 2 研究了两类特殊的算 子代数：n e s t 代数与t u h f 代数中的l i e 理想证明了：若是n e s t 代数的弱闭l i e 理想，则存在相对应的结合理想j 及对角子代数圾，使得，+ b ；而在t u h f 代数中，对每一个范数闭l i e 理想，存在对应的结合理想，及对角c 一代数仇， 使得三+ n 2 0 0 2 年，m a r c o u x 和s o u r o u r 在文献 3 中详细地描述了n e s t 代数中的所有l i e 理想 本文给出了超有限因子召和其c a r t a n 子代数d 的套子代数r ( n ) 的l i e 理想的 结构的详细描述证明了r ( n ) 的一个仃一弱闭子空间l 是丁( ) 的l i e 理想当且仅 当存在丁( ) 的一个莎一弱闭的结合理想，和t ( n ) 的对角线部的中心的予空间e ， 使得( j ) o l ，+ e ，其中j o 为中的零一迹元的集合 第二章n e s t 代数n e s t 代数中的o - 一弱闭l i e 理想 第二节预备知识 在这一部分中，令b 为含有c a r t a n 子代数d 的超有限因子( b ，d ) 有坐标表 示m ( r ) n 为b 中的投影套令s = 厂r ( t v ) ：尸( 厂) = o 因为p 为从b 到 d ( ) 的正规期望，所以s 为丁( ) 的仃弱闭结合理想，并且= 丁p ) d 加) ， 称s r 为r ( n ) 的对角不交部分 首先介绍下面的概念： 定义2 2 1 r ( n ) 的仃一弱闭结合理想k 称为对角不交的，如果k 满足 kn d ( n ) = o ，或等价地，k nd ( n ) = o ：r 炙k s 时显然，对v k 有p ( 厂) = o 显然，r ( ) 中的任何结合理想为l i e 理想在下面的命题中，我们将证明t ( n ) 中 任意的盯一弱闭l i e 理想三具有三= k + f 的形式，其中k 为对角不交的盯弱闭结 合理想，f 为d ( ) 中的仃一弱闭l i e 理想 本文用s p a n m 表示集合m 的线性扩张，仃一w 七一c 1 ( m ) 表示m 按盯一弱算子 拓扑的闭包 后面用到下面的结果： 命题2 2 2 设b 为带有唯一的正常的忠实的迹t r 的有限的超有限因子则集合 a b ：口s l o ，b b 的仃一弱闭线性扩张为b 证明对任意的矩阵单位嘭，i * j ，因为t r ( e ；) = o ，所以e ；s ；- 4 b ，恒 等映射1 b ，所以， a b ：aes l 占，b b xc r - w k - c l - s p a n ( 一，? 1 ：f ，珂 = b 所 以t r - w k - c l - s p a n a b ：a s l , ，b b = b 1 4 青岛大学硕士学位论文 第三节主要结果及证明 命题2 3 1 设为r ( n 1 中的仃一弱闭l i e 理想，令 k = 口三：尸( 口) = o = a - p ( a ) ：口上) ，f = lnd ( n ) 则上= k + ，_ i lk 为t ( n ) 的盯一弱闭对角不交的结合理想，f 为d ( n ) 的盯一弱 闭l i e 理想，显然k = ln s 证明因为p 为从b 到d ( n ) 的正规期望，并且上为盯一弱闭的，所以足为仃一 弱闭的显然，k 为对角不交的 为了证明k 是r ( n ) 的结合理想，先证明k 为的d ( n ) 一双模( 因此k 为仃一 弱闭d 一双模，这对证明k 为结合理想是有帮助的) 下面的引理在证明k 为d ( n 1 一双模时是有用的 引理2 3 2 设l 为t ( h ) 的l i e 理想，l ，设 9 1 ，g ：，吼 为d ( n ) 的两两正 交的投影族，并且g ，= 1 则对v i ，g j f - q ，力，l ，从而，任给d ( n ) 中的投影 ， p p j p 如l 证明给定f ，如果f ，则 g ，厂 ，9 = g ，力，+ g ，f q ，l 从而有 g ，局，+ 9 ，局， 并且有 g ，厂】- g ，厂一局，= 吼乃厂g 乃，= g ，力厂g 局，l 取平均得 j = l j = lj ij | g ，力，- - q ，f - q ，f q l ，由 设厂k 给定的一个有限子套，= 0 = 菇 夕f 硝= 1 ，由上面的讨论得 f - p f ( f ) = z ( p , f p 二沙( p 歹一艿。) ，j 和( p f 一。) 厂( 一，) + ( 一p 二) ( 一。) 属- t - l 为了证明k 为左d ( ) 槐 只须证明对v d d ( n ) ，v i ，j ，i j 第二章n e s t 代数n e s t 代数中的仃一弱闭l i e 理想 e l ( p ；一。) 厂( 一，) + ( 一，) 厂( 一，) k 这是因为由此可得矽一衅( 厂) k 再因为k 为巧一弱闭的，从而有 矽= 仃一w e a k l i m f ( 一d 昂( 厂) ) k 因为d ( ) 为其中的投影的闭线性扩张，并且d ( ) 昂( b ) ，又k 为盯弱闭 的，只须证明当d 为d ( n ) 中投影，并且属于某个( 既f p 川f ) 召( 一p 厶) 时有 d ( p f p ，) 厂( p 夕一c - 。) + ( 形一p 二1 ) 厂( 一p 。) k 因为f ，则要么 d ( 一p 二。) = o 要么d ( 矿- p j f _ 。) = o 在任何一种情况下都有 d ( 一p 二) 厂( 矿一p 川f ) + ( 一颤。) 厂( 一p f 。) d = o 由引理2 3 2 可得到 d ( 一虻。) ( 矿一。) + ( 衫一艿，) 厂( 一。) 1 = d ( p f p ，) 厂( p j 一。) + ( 一p 二1 ) 厂( p j p 硼 一d e ( p ；一虻，) 厂( 矿一p 川f ) + ( p j p 二( p - 一p 二) d l 又因为 - 尸( d ( 一。) 厂( 一。) + ( 衫一颤，) 厂( 一p 2 。) ) = 卯( ( p 2 ，) ( 衫一颤，) + ( 一茚，) ( 一p 2 ，) ) = o 所以，d ( 一p 2 。) 厂( 矿一p ，f ，) + ( 矿一，) 厂( p f p 2 ，) k ，这证明了k 为左 d ( ) 一模由于k + 为丁( ) 中口一弱闭l i e 理想r 的对角不交部分，所以k 为左 d ( ) 一模，i n i i = | s k 是右d ( n ) 一模，从而k 是d ( ) 一模 现在我们证明k 为丁( ) 的结合理想由于k 是仃一弱闭的d 一双模，所以 k 为集合 ：哆k ) 的盯一弱闭线性扩张，因此，只须证明对所有的矩阵单位 k 和所有的矩阵单位p r ( ) 有矿k ，f e k 假设p ，f e b ，令 乙= t ( n ) f q e ，厶= 三n 岛，疋= k n 最 16 青岛大学硕士学位论文 显然，厶为瓦的l i e 理想因为或c 瓦，所以乙为玩中的c s l 代数显然 巧n 乙= r ( n ) n r ( n ) ne = d ( ) ne 为的对角部分设只为从e 到巧n 乙的 条件期望则任给b 色，p ( b ) = b 当且仅当( b ) = 6 事实上，若e ( b ) = b ， b 毛d ( n ) 因此，6 d ( ) n e = 巧n 乙，所以有只( 6 ) = b 反之，若只( b ) = b ， 因为巧n 乃= d ( ) n 岛，所以p ( b ) = 6 因为 疋= kn 鼠= k nl = 6 厶：p ( 6 ) = o ，所以疋= 6 厶：只( 6 ) = o ，因此，巧 为c s l 代数瓦的l i e 理想厶的对角不交部分由 8 的命题3 4 知巧为乙的结合理 想因此e f k ，f e k 这样，我们证明了若为r ( n ) 的仃一弱闭l i e 理想，则其 对角不交部分k 为丁( ) 的结合理想 任给口工，因为d p ( 口) l ，所以p ( a ) l ，从而尸( 口) f ，因此三= k + ， 因为k ，l 为丁( ) 的l i e 理想，所以f 为d ( 叼的盯一弱闭l i e 理想 在下面的证明中，s p a nm 表示集合m 的线性扩张，t 7 - w k c 1 ( m ) 表示m 按仃 一弱算子拓扑的闭包 现在，我们将证明存在一个比较大的理想，它由k 加上某些原子构成，使得 j o ls + c x ，其中j o 表示，中的零一迹算子的集合( 在后面定义) ，c x 为中心 c ( n ) 的一个子代数 设k 为t ( n ) 的仃一弱闭对角不交结合理想定义a 的子集人f 为 人r = p - p _ ea ：( p - p