（工程力学专业论文）空气介质中非线性声场特性研究.pdf

国防科学技术大学研究生院学位论文 摘要 本文研究了空气介质中非线性声场的特性，用时域有限差分法模拟了有限振幅声波 在一维、二维空气介质中的传播。全文主要工作包括以下几个方面： 根据流体中声场的特点，从运动方程、连续性方程以及物态方程出发引出了以声压 为变量描述流体中非线性声场的w e s t e r v e l t 方程。 介绍了时域有限差分法的思想及其优点，给出了w e s t e r v e l t 方程的差分格式，并对 其稳定性进行了简单的说明；编写了求解空气介质中非线性声波传播问题的程序。 利用时域有限差分法程序对一维、二维非线性声场进行了模拟，验证了非线性条件 下波形畸变的存在，并分析了畸变的物理过程。对一维条件下的波形图进行了频谱分 析，研究了谐波的产生过程，给出了模拟得到的谐波比。 对有限振幅强声波的相互作用进行了研究，包括：不同频率声波之间的相互作用、 非线性与吸收效应的相互作用、特殊波形的有限振幅传播以及线阵列聚焦。结果表明： ( 1 ) 不同频率之间的非线性相互作用可以产生和差频波； ( 2 ) 非线性与吸收效应的相 互作用说明，在非线性作用下产生高频声波的同时，会使吸收效应也变得明显，这样形 成了非线性效应与吸收效应的相互竞争作用，在一定条件下吸收作用可以延缓有限振幅 强声波的间断的形成：( 3 ) 对特殊波形的有限振幅传播的初步研究表明，采用一定形式 的声源信号( 如初始逆冲击波) 可以延长冲击波的形成距离，延缓、甚至避免冲击波的 形成：( 4 ) 对非线性条件下的线阵列聚焦的研究表明，非线性作用对声场的焦点形成位 置、聚焦增益都有所影响。 关键词：空气介质，有限振幅声波，非线性传播，时域有限差分法，数值模拟 第i 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 a bs t r a c t i nt h i st h e s i s ，n u m e r i c a ls t u d i e so ft h en o n l i n e a rp r o p a g a t i o nc h a r a c t e r i s t i c sw i t ha c o u s t i c w a v ei n a i ra r ep r e s e n t e d t h ef i n i t e d i f f e r e n c et i m e d o m a i nm e t h o d ( f d t d ) i s i m p l e m e n t e d t os i m u l a t ef i n i t e a m p l i t u d ea c o u s t i c sw a v ep r o p a g a t i n gi n1d 2 da i r t h ee q u a t i o n ，w e s t e r v e l te q u a t i o n ，w h i c hd e s c r i b e st h en o n l i n e a ra c o u s t i cm o d e l ，w a s d e r i v e df r o mt h eb a s i ce q u a t i o n so ff l u i dm e c h a n i c sa n dt h e r m o d y n a m i c sf o rat h e r m o v i s c o u s f l u i d t h ef d t dw a si n t r o d u c e d t h ed i f f e r e n c ee x p r e s s i o nt ow e s t e r v e l te q u a t i o nw a sg i v e n ， a n dap r o g r a mf o rn o n l i n e a ra c o u s t i cf i e l ds o l v e rw a sw r i t t e ni nf o r t r a n t h en o n l i n e a ra c o u s t i cw a v e s ，e x i t e db yp l a n ec i r c u l a rp i s t o ni na i r ，w e r es i m u l a t e d t h e w a v e f o r mi sd i s t o r t e da si t p r o p a g a t e s u n t i lw e a ks h o c ki sf o r m e d 1 1 1 ef r e q u e n c y c h a r a c t e r i s t i c sw e r ei n v e s t i g a t e d ，a n dt h ed e t a i lo fs e c o n dh a r m o n i cg e n e r a t i o ni sg i v e n t h ei n t e r a c t i o no ff i n i t e a m p l i t u d ea c o u s t i c sw e r es i m u l a t e d i n c l u d i n g ：t h ei n t e r a c t i o no f t h ep l a n ec i r c u l a rp i s t o no fd i f f e r e n tf r e q u e n c i e s ，t h ei n t e r a c t i o no fn o n l i n e a r i t ya n da b s o r p t i o n ， t h ef i n i t e a m p l i t u d ei n v e r s es h o c k w a v ep r o p a g a t i o na n df o c u s i n gs o u r c eu s i n ga r r a y s 1 1 1 e r e s u l t ss h o wt h a t ： l1t h es u bo rt h ed i f f e r e n c e f r e q u e n c i e sw a sg e n e r a t e dd u et ot h e i n t e r a c t i o ne f f e c t ；2 ) b e c a u s eo ft h eg e n e r a t i o no fh i g hf r e q u e n c i e sh a r m o n i c ，t h ea b s o r p t i o n e f f e c ti n c r e a s e s ，a n dc o m p e t e s 锄t ht h en o n l i n e a re f f e c t ；s p e c i f i c a l l y ，t h ea b s o r p t i o ne f f e c tm a y i n f l u e n c et h ef o r m i n go fw e a ks h o c k ；311 1 1 ei n v e s t i g a t i o no ft h ef i n i t e - a m p l i t u d ei n v e r s e s h o c k w a v ep r o p a g a t i o ni n d i c a t e st h ed i s c o n t i n u i t yd i s t a n c ec o u l db em a x i m i z e do rt h e f o r m a t i o nc o u l db et o t a l l ya v o i d e d ；4 ) t h es t u d y i n go ff o c u s i n gu s i n ga r r a y si n d i c a t e st h a tt h e n o n l i n e a re f f e c td e g r a d e st h el i n ea r r a yf o c u s i n gp e r f o r m a n c e k e yw o r d s ：a i r ，t h ef i n i t e a m p l i t u d ea c o u s t i cw a v e s ，n o n l i n e a rp r o p a g a t i n g ，f d t d m e t h o d ，n u m e r i c a ls i m u l a t i o n 第v i i i 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 表目录 表2 1 各物理量的阶数表l o 表3 1 非线性作用下各点二阶谐波的谐波比3 0 表3 2 算例参数设置( 一) 3 0 表3 3 算例参数设置( 二) 3 0 第n i 一页 国防科学技术大学研究生院学位论文 图目录 图2 1 流体体积元运动示意图7 图2 2 流体体积元质量流动示意图8 图2 3 以声压为变量的时域有限差分法程序流程图1 6 图2 4 声源及边界条件示意图1 9 图3 1 时域有限差分法处理声学问题在不同位置处的波形图与理论解的对比2 2 图3 2 一维模拟空间2 2 图3 3f d t d 得到的全波场的波形图与理论解的对比2 3 图3 4 富比尼理论解和f d t d 得到的全波场的瞬态图2 4 图3 5 一维非线性声场简化模型2 5 图3 6 一维声场各时刻的瞬态图2 6 图3 7 一维声场空间各点的波形图2 8 图3 8 持续信号在空气介质中传播的频谱图2 9 图3 9 不同频率声场瞬态图3l 图3 1 0 不同初始声压的声场瞬态图3 l 图3 1 1 脉冲声源在空气介质中传播的瞬态图3 3 图3 1 2 脉冲声源在空气介质中传播的波形图3 4 图3 1 3 脉冲声源在空气介质中传播的频谱图3 5 图3 1 4 二维非线性声场简化模型3 6 图3 15 持续信号在空气介质中传播的二维瞬态图3 8 图3 1 6 持续信号在空气介质中传播的轴向瞬态图3 9 图3 1 7 持续信号在空气介质中传播y 方向的瞬态图4 0 图3 1 8 持续信号在空气介质中传播的指向性图案一4 l 图4 1 频率为1 0 0 0 h z 和1 5 0 0 h z 的持续信号在空气介质中传播的瞬态图4 4 图4 2 频率为1 0 0 0 h z 和l5 0 0 h z 的持续信号在空气介质中传播的频谱图4 5 图4 3 频率为1 0 0 0 i - i z 和1 5 0 0 h z 的持续信号在空气介质中传播非线性作用下的频谱图4 6 图4 4 吸收和非线性相互作用的瞬态图4 8 图4 5 不同位置处的频谱图4 9 图4 6 声源为1 0 0 0 h z 和2 0 0 0 h z 的声波在4 五处的频谱图5 0 图4 7 逆冲击波传播的瞬态图5 2 图4 8 逆冲击波传播的频谱图5 3 图4 9 空气介质中阵列聚焦模型5 6 第i v 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 图4 1 0 非聚焦阵列在空气介质中传播的瞬态图5 6 图4 1 1 基于时间延迟的阵列聚焦声场瞬态图5 7 图4 1 2 声场聚焦在焦点处的瞬态图对比图一5 8 图4 1 3 聚焦与非聚焦条件下的轴向各时刻的瞬态图5 9 第v 页 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得国防科学技术大学或其它教育机构的学 j 位或证书而使用过的材粹与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文 中作了明确的说明并表示谢意 学位论文题目： 空氢企厦生韭绫性虚垣挂丝珏究 学位论文作者签名：至垒垄叠叠 日期：哆年月驴日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解国防科学技术大学有关保留、使用学位论文的规定本人授权国 防科学技术大学可以保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子文档，允 许论文被查阅和借阅；可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文题目：空氢企厦生韭绫性虚垣挂性珏究 学位论文作者签名：丛必壶一日期：沙田年f 月旷日 k 占， 作者指导教师摊逝弘各一吼川年f ，月，7 日 j| 国防科学技术大学研究生院学位论文 第一章绪论 1 1 引言 声学是门既古老又年轻的科学。它的起源可追溯到古代人类对于听觉、语言、音乐 等的认识。到十九世纪中叶便已发展为- - i - 体系严密的学科，是- - f q 具有广泛应用性的 学科。 在现实生活中，通常遇到的声学量( 如声压级) 不是很大，能满足线性声学的假 设，因此在大部分的声学问题中我们研究的是小振幅声波的传播问题。然而声学基本是 非线性的，就和物理世界基本是非线性的一样，线性声学只是近似。随着大功率超声、 高速喷气发动机等强声源在国防、工业和医疗等领域的广泛应用，例如大功率低频声纳 的使用、超声水下扫雷、医疗中的聚集声波治疗、超声清洗、声化学等等，而出现了一 些线性声学所不能解决的问题有限振幅声波。 知 对于有限振幅声波，由于声学量的范围很大，质点的速度、位移、介质( 媒质) 的 密度增量都不能忽略，这种情况下，描述声学现象的各个参量( 例如声压、质点速度 等) 之间的关系不再满足线性关系。这样媒质的运动方程、连续性方程及物态方程都是 非线性的，同时声波的传播过程中还会出现物理量的积累。 这些都要求对有限振幅强声波在不同环境和不同介质中传播的非线性特性和由声波 与介质之间的非线性相互作用引起的非线性效应进行深入地研究。本文用时域有限差分 法模拟有限振幅声波在空气介质中的传播，通过研究有限振幅声波的传播问题，对有限 振幅声波在空气介质中传播的特性有了很好的认识。 1 2 非线性理论发展史及意义 运动非线性或者介质非线性不能忽略的声学问题即为非线性声学问题。在线性声学 领域，一列单频声波在线性介质中传播时，波形不会发生变化，并且不同频率声波之间 满足波的叠加原理。而在非线性声学领域，由于运动的非线性作用( 或者是介质的非线 性作用) ，一列单频波就会发生畸变，产生谐波，并且不同频率之间由于声场的非线性 也会发生相互作用，会产生和频波以及差频波。这些波的出现，使波的叠加原理就不再 成立，线性声学规律也不再遵守，因此需要新的学科分支非线性声学【l l 。 非线性声学的理论研究通常为：一方面引入一些简化假设，从而将定解问题适定的 偏微分方程组化归非线性的常微分方程；另一方面主要采用逐步近似的方法来处理问 题，大部分内容仅限于二级近似。这样得到的方程总是将低阶波作为高阶波的源函数。 第卜页 国防科学技术大学研究生院学位论文 早在1 8 世纪中叶，科学工作者就注意到许多非线性现象。非线性声学的理论研究 起始于1 8 6 0 年，黎曼( r i e m a n n ) 和厄恩肖( e a m s h a w ) 各自独立的发表了理想流体中 非线性一维波动方程的严格解，即黎曼厄恩肖的简单波理论解( 简称黎曼解) ，这个解 对于有限振幅声波发展为冲击波的过程给予了完整的描述在非线性声学中，声波传 播速度不仅取决于介质的特性而且还与质点的振动速度有关，质点振动速度代数值大的 地方波速大，代数值小的地方波速小，最终可能形成冲击波或锯齿波。 形成冲击波后问题有关的连续性方程( 例如运动方程、连续性方程) 不再成立， 1 8 7 0 年和1 8 8 9 年兰金( r a n k i n e ) 和休戈尼奥特( h u g o n i o t ) 先后发表了冲击波波面两 侧力学量的守恒关系式，对冲击波的传播特性有了进一步的了解，并可以得到冲击波的 形成距离。 在非理想介质中，随着冲击波的形成，波的能量将受到很大的衰减，就要考虑介质 的粘滞热传导效应，如果不考虑频散效应就得到了非线性声学的伯格斯( b u r g e r s ) 方 程，经霍普( h o p f ) 科尔( c o l e ) 变换化为热传导型方程求解。2 0 世纪末科特韦格 ( k o r t e w e g ) 德夫里斯( d e w i e s ) 得到了考虑介质的频散效应和弛豫吸收作用下的广义 伯格斯( k o r t e w e g d ev r i e s b u r g e r s ( k d v b ) ) 方程。 最近几年，随着能够产生高功率声波的强声声源在国防、工业和医疗等领域得到了 越来越多的应用，非线性理论也得到了广泛的应用。例如，l a s z l oa d l e r 对非线性声学的 冲击作用在无损探伤以及声光学中的应用作了研究【2 1 ；g w o j c i k 、b f o m b e r g 、r w a a g 和l c a r c i o n e 对大尺度非均匀生物组织中超声波传播进行了研究，在生物医学成像和热 处理研究方面具有重要应用价值【3 】：目前国内也存在非线性声学的研究，中科院东海研 究站的冯绍松，章瑞铨在文献【4 】、【5 】、【6 】中给出了超声造影技术的原理，说明了非线 性声学及其在医学诊断中的应用，指出了谐波成像的方法和造影剂的非线性物性：南京 大学近代声学国家重点实验室龚秀芬等人研究了含有微气泡液体的非线性声学特性，并 测量了含微气泡液体的非线性声参量 7 1 。崔华义给出了利用非线性声学测量冰的厚度的 方法( s 】；我国已开展了水声学非线性的研究，包括深海水温测量、声纳技术、海底地质调 查等声海洋学9 1 。 从根本上说，强声应用成果依赖于人们对非线性声波产生和传播的认识水平。同 时，强声技术的应用，又进一步促进了非线性声学理论的发展和完善。另外，电声学、 信号处理理论、应用数学等有关领域的发展也影响到了非线性声学的研究。传感器、组 阵技术以及计算机的发展都对非线性声学的发展起到了推动作用。目前非线性声学理论 的研究集中在以下几个方面：耗散流体中的传播、非平面波的传播、强声聚焦、非线性 成像、声空化。有关折射问题和二维反射问题已有所触及。总之，研究的问题越来越符 合实际，研究的程度越来越深入，研究的手段和方法越来越完善。 第2 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 1 3 非线性声学研究方法概述 研究强声波在介质中传播的问题，如果考虑菲静止、非均匀、非线性、粘滞热传导 效应、频散效应与弛豫吸收作用等因素，问题则会变得非常复杂，通常都是无法得到解 析解，需要用近似的手段来求解，这就使得数值模拟成为研究非线性声学传播问题的有 效手段之。2 0 世纪4 0 年代以来计算机技术的迅猛发展使得数值计算方法在声学计算 中得以广泛应用和发展，声学计算逐渐成为非线性声学研究的有效途径。为了模拟非线 性声波的传播，研究者们已经做了很多的工作。现有的工作包括：一方面，人们希望将 现有的线性声学计算方法向非线性声场计算推广，例如基于有限元方法的强声声场计算 和使用角谱方法的三维非线性传播模型；另一方面，使用时域频域有限差分方法直接对 已有的非线性声学方程进行离散，进而在一定的声源条件和边界条件下求解。注意到模 拟中通常关注强声区域中非线性效应、衍射效应和耗散效应三个因素对声场分布的影响 及其相互作用，因而要求计算所采用的非线性声波方程包含非线性项，衍射项和耗散项 等。 目前对于非线性声波传播问题的数值模拟一般都基于抛物近似的k z k 方程( 以及对 其进行坐标变换而得到的t b e 方程) 、非线性行波方程( n p e ) 和b u r g e r s 方程。求解这 些方程所采用的数值方法有很多种，大体可分为有限差分方法( f i n i t ed i f f e r e n c e m e t h o d ，f d m ) 1 0 l 、有限元方法( f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，f e m ) i l l 卜【1 4 i 、谱元法 ( s p e c t r a le l e m e n tm e t h o d ，s e m ) 1 5 1 、边界元法( b o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ， b e m ) 、算子分解方法( o p e r a t o rs p l i t t i n gm e t h o d ) u q 1 7 l 以及伪谱法( p s e u d o s p e c t r a l m e t h o d ，p s m ) 【3 】【1 8 】f 1 9 1 等。 k z k 方程以准线性条件和抛物近似为前提，g r e e rs g a r r e t t l 2 0 1 等人基于k z k 方程成 功建立了任意声源面分布条件下活塞声源的非线性参量声场和二次谐波场近场远场预测 理论，其研究声源为中等强度的高频声束，仅对偏离轴线小角度( 一般为2 0 度以内) 范围内的声场感兴趣，此时为了得到一般意义下的精确解和渐近解，理论以准线性条件 和抛物近似为前提是合适的。同样，绝大多数基于k z k 方程的非线性声场计算工作是围 绕非聚焦平面活塞声源、聚焦声源以及活塞声源阵列展开的，该类声源具有较强的指向 性，所以满足假设( 偏离轴线小角度) ，模拟中同时计入非线性、耗散和衍射效果。 总的来说，找到描述声波在具有显著吸收和非线性行为介质中传播和衍射过程的方 程并使用数学方法对其在一定的声源条件和边界条件下求解，成为非线性研究进一步的 发展趋势。 第3 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 1 4 本文的主要研究内容 非线性理论的研究已取得了若干研究成果，有些成果已经在生产实际中得到了应 用。但还有许多问题没有解决，例如非线性与吸收效应的相互作用、冲击波的形成以及 避免形成冲击波的条件、非线性条件下的聚焦等。本文主要工作是用时域有限差分法模 拟空气介质中有限振幅声波传播特性。全文主要内容如下： 1 从连续介质力学出发，引出了描述流体非线性声学的w e s t e r v e l t 方程。 2 从w e s t e r v e l t 方程出发针对维平面波的非线性传播问题采用时域有限差分法 进行模拟，验证时域有限差分法解决非线性声学问题的可行性，并初步得到非 线性声场的特性。 3 对有限振幅声波传播过程中的非线性效应与吸收效应的相互作用进行了研究， 对特殊波形的有限振幅传播进行了初步的研究，并探讨了避免在近场形成冲击 波的条件。 4 对不同频率的有限振幅声波之间的相互作用进行了模拟。 5 给出了非线性条件下的阵列聚焦的特点。 本文共分为5 章。第一章为绪论，扼要介绍了非线性理论的发展，以及非线性声学 的研究意义、非线性声学的研究方法；概括了本文的主要研究内容。第二章从连续介质 力学出发，引出了描述流体非线性声学的w e s t e r v e l t 方程，以及其在时域有限差分方法 下的差分格式。第三章从w e s t e r v e l t 方程出发针对平面波的非线性传播问题采用时域有 限差分法进行计算，验证时域有限差分法解决非线性声学问题的可行性，并初步得到非 线性声场的特性。第四章对不同频率的有限振幅声波之间的相互作用、有限振幅声波传 播过程中的非线性效应与吸收效应的相互作用、非线性条件下的阵列聚焦进行了研究， 并对特殊波形的有限振幅声波的传播进行了模拟，探讨了避免在近场形成冲击波的条 件。第五章为全文总结。 第4 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 第二章非线性模型及时域有限差分法 2 1 引言 研究有限振幅声波的非线性传播，首先要确定声波传播的模型。 声学是连续介质力学的分支，它是研究机械扰动的产生、传播、接收以及其在连续 介质中传播的- - f l 学科【1 1 。非线性是声学的一门学科分支，因此研究非线性声学首先要 从连续介质力学出发。 连续介质力学分为弹性力学和流体力学，弹性力学研究的对象是固体，而流体力学 研究的是流体。本文主要研究的是流体介质( 气体) 中的非线性声学问题，因此这里只 介绍流体力学。 首先引入质点( 即流体质点) 的概念，质点是包含大量流体分子的小尺度流体微 团。因此作为质点，其中必须包含大量的流体分子，以使得其大小比分子之间的平均距 离大得多，从而可以将它看成一个连续体：但质点的尺度又要足够的小，以使所有有关 物理量在整个质点上看不出变化，从而成为点函数。 。 在经典的声学里，获得线性波动方程时都要做线性化处理：假设声波是小振幅的。 即假设质点的速度甚小于声速、质点位移甚小于声波波长、媒质密度的扰动增量甚小于 静态密度，这样忽略了媒质运动方程、连续性方程以及物态方程中的二级以上微量，就 可以得到线性波动方程。 嗡 而当声波为有限振幅声波时，例如空气中声音的声压级为1 8 0 d b 时，它相当于 2 8 1 0 。n m 2 的声压振幅值，其相应的质点速度值为6 7 m s 1 2 1 | ，这时声压和质点速度的 振幅相对于大气压强和声速来说已不能认为是很小以至可以略去不计，因此，有限振幅 条件下的线性化条件不再成立。这样在流体力学方程中就要考虑非线性项。 例如，理想流体中的一维运动方程： p 坐：一望( 2 1 ) p 一= 一二 1 ， 西叙 展开为 堡+ 1 ，堡：一土望 ( 2 2 ) 一+ 1 ，一= 一一二 ii a 瓠p 融 。 上式中v i t g v 为非线性项。当声波为简谐波v = v os i n ( c o t 一h ) ，那么非线性项，兰的极大值 ( w l 弭 为联，其余项的量级为c o y o 。由于弼：旦培= v oc o v o ，而在有限振幅声波条件下，质点 第5 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 速度幅值可与声速相比拟，即非线性项与其他项有相同的数量级。因此，在有限振 幅声波条件下，非线性项应予以考虑。 2 2 流体动力学方程 本文所研究的流体媒质为空气介质，声波在空气介质中的传播特性依赖于空气本身 的性质。要研究空气介质中的有限振幅声波的非线性传播特征，首先要得到空气中声场 的数学模型传播方程。 本文中假设空气介质为静止、均匀、绝热的介质，即： ( 1 ) 没有扰动时，媒质在宏观上是静止的。即初速度为零。同时媒质是均匀的，假 设媒质中的静态压强p 。、静态密度风都为常数； ( 2 ) 声波传播时，媒质被压缩和稀疏的过程是绝热的，即媒质相邻部分不会由于声 波传播过程引起的温度差而产生热交换。 空气介质中表征声场特征的物理量有：介质中的声压p ，质点速度y 以及密度的变 化量p 等。以声场的典型物理量声压为例，在声传播过程中，同一时刻，声场中不同位 置声压都有不同的值；另一方面，声场中的同一个位置的声压在不同时刻也具有不同的 值；也就是说声压不仅随位置有一个空间上的分布并且还随时间变化。本节就是要根据 声场的物理性质建立声压随空间位置的变化和随时间的变化的数学关系声波动方 程。 声波动是声传播介质的物质运动，由牛顿质点动力学的观点，流体介质在宏观上是 连续的。流体介质可以看成是由许多紧密相连的微体积元d v 组成，每个体积元内的介 质集中到一点，质量为y 。在声扰动过程中，声压p ，质点速度y 以及密度的变化量 p 等量的变化是互相关联着的。 声波动作为一个宏观的物理过程，必然要遵循三大基本的物理定律：牛顿第二定 律、质量守恒定律以及描述压强、体积( 或者密度) 等状态参量关系的物态方程。运用 这些基本定律就可以推导出媒质的运动方程、连续性方程以及物态方程，进而得到介质 中的声波动方程。 依据前面对空气介质所作的基本假设，来考虑介质中各物理量的关系。先考虑一维 问题，即声场在空间的两个方向上是均匀的，只需考虑在另外一个方向( 如x 方向) 上 的运动特征。 认为声波是流体的扰动，其中各物理量表示为： p = p o + p 。 ( 2 3 ) v = v o + ， ( 2 4 ) p = p o + p + ( 2 5 ) 第6 页 同防科学技术大学研究生院学位论文 角标“0 ”表示流体介质初始状态，它们为空间的函数，均匀介质中它们为常数。角标 “表示由声波作用所引起的扰动逾量，它们为空间和时问的函数。由于假没介质初 始是静止的所以有v 0 = 0 ，故有v = ，。 2 2 1 运动方程 设有块足够小的体积元，如图2 1 所示，取体积元垂直于x 轴的侧面面积为s ， 则体积元的体积为鼢，由于声压p 随位置石而异，因此有咖= 罢出为位嚣r 变到 工+ 出以后声压的改变。该体积元内媒质的质量为夕脓，体积元的加速度为华，故由 d f p p 七却 ()() xx + 出 图2 1 流体体积元运动示意图 午顿弟二定律葡： p s d x - 害= p s d x f 占一塞鼢 整理后町得 尸告= 以一跏 ( 2 6 ) 其中，p 为总压，t 为时间，吒为介质单位质量所受体力，d 为物质导数，记为： ( 静 1 卜介蘑笔_ 二弼j 为0 ) 旦：旦+ ，v d to t 由于耗散介质中总压p 为： p = p o + p + p “ 其中，岛为外界压力，p 。为声压，p ”为粘滞应力所产生的压强， 知【2 1 l ： ( 2 7 ) ( 2 8 ) 由粘弹性介质理论可 第7 页 罔防科学技术大学研究生院学位论文 p ”= - ( 2 + 2 2 ) v v 取负号是因为压强的增最与粘滞应力所取的方向相反。 由：于不存在声场时有：p 三o ，v 暑0 ，亦有p ”；0 ，故可得： 赡= 二 p 因此存考虑粘弹性时，初始静l 上空气介质中的运动方程为： d_zv+vp一(力+2t)v(v，)：0p-bs- + v p 一( 力+ ，v t v v j 。 它描述了声场中压力p 与质点速度v 之间的关系。 2 2 2 连续性方程 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 连续件方程足由质量守恒定律得到的，由于媒质中单位时间内流入体积元的质量与 流出该体积元的质量之羞应等于该体积元内质量的增加或减少。 如图2 2 所示，其体积为s d x ，体积元左侧面x 处媒质质点的速度为( y ) 。，密度为 ( p ) 。，则在单位时间内流过左侧面进入该体积元的媒质的质量为( p v ) 。s ；在同一单位时 间内从体积元经过右侧面流出的质量为一( ) 。+ 矗s ，负号表示流出e 对一( ，b 矗s 做 ( p y ) 。 ( p v ) 岫 ( 爻 、 ，v ) 、，叶 ifil i c 7 l i li ii ， t、， ，、叶l ， x x + d x 泰取其一删蜘h + 掣出卜眦单位州内流入体积袖 净质量为一垡掣鼢( p ，v 都是x 的函数，以后不再标注下标工) 。而另一方面，体积 元内质疑增加，说明体积元内密度增大，密度在单位时间内的增加量为空，那么在单 d f 位时间内体积元质量的增加则为詈鼢。由于体积元内既没有产生质量的源，质量也彳i 第8 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 会无缘无故的消失，所以质量是守恒的。因此，在单位时间内体积元的质量的增加必然 等于流入体积元的净质量，即 一塑尘鼢：望鼢 反a 整理后可得 詈+ v ( 户，) = o ( 2 1 2 ) 其中，密度p ，和速度 i ，都为空间和时间的函数。把式( 2 1 2 ) 展开，注意到v p o = 0 并应 用式( 2 3 ) 可得 等+ p o v v = - p 吼一唧 ( 2 1 3 ) t 2 2 3 物态方程 物态方程是指描述处于热力学平衡态物质系统中压强、温度和密度之间的关系式， 反映的是媒质状态变化之间的规律。 我们仍考察媒质中包含定质量的某体积元，在没有声扰动时的状态以压强风、密 度p o 以及温度 s o 来表征，当声波传过该体积元时，由于声压的作用被压缩或者膨胀，介 质内的压强p 、密度p 和温度r 发生变化。并且三者的变化不是孤立的而是互相联系 的，即为物态方程所描述的规律。由于声波的传播过程进行的比较快，通常认为体积元 的压缩和膨胀过程周期比热传导需要的时间短得多，在这段时间内体积元内外的热量来 不及传递交换。所以，声传播过程被认为是绝热过程，故压力p 仅是密度p 的函数： p = p ( p ) ( 2 1 4 ) 因此，在声传播过程中，对流体的物态方程在等熵条件下在平衡态附近( p = 风) 做泰勒 展开，并保留到二阶项，其级数形式为： p 。岛+ ( 考) 鼻n ( p 一岛) + m 2 义r 助s i 夕内( p 一岛) 2 + 。2 。5 ， 彳l p 岛- p o + 三文警 2 + 一 嘞( 乳唰 州吼庸= 彳吼a ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 第9 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 非线性参量： 导嘲c o ( 孰 仁埘 它为无量纲的量，决定了流体媒质的非线性性质。非线性参量是非线性声学中最重要的 一个物理量，能衡量声波在媒质中传播时产生的非线性效应的大小，对于空气介质有 皇：0 4 1 2 1 1 。 2 3w e s t e r v e l t 方程 本文研究的是有限振幅波的非线性传播特性，所以各物理量近似到第二阶。我们先 考虑流体力学方程中各项的重要性，为此我们列出各项的阶数，如表2 1 所示。其中为 了描述各项的阶数，假设初始量( 如风，风，c o ) 为一阶量，记为0 ( 1 ) ( o r d e ro n e ) 。声 波引起的扰动认为是小量阶第一阶( f i r s to r d e r ) ，记为o ( c ) ，远远小于初始量 0 0 ) 项。这些项包括p ：p ：c ：等。拉梅常数与o o ) 项相比同样被认为是小阶量，记为 盘一 o ( ，7 ) 。初始量的导数( 如u p o ，砜) 被认为是o g ) 阶扰动( 均匀稳定介质中为0 ) ， 研 这里，叩和f 为远远小于l 的相似小量。 表2 1 各物理量的阶数表 黟p 幛 矿v ” 秒p ”孑吣 秽c 0 犷五4 8 ”8 瓠”厶”a s n 西”西”西“0 s ” o ( e ”) o ( e 聊) o ( e ”)o ( f ”)o ( f ”)o ( 矿悯) o ( 7 7 ”) 注1 ：s 表不导数中的时l 司或空i 司量。 她均匀髓介质中等，等均枷 另外，注意到一阶量0 ( 1 ) ( o r d e ro n e ) 和第一阶量( f i r s to r d e r ) o ( e ) 的区别，一阶 量可以称为“第零阶”量。并且两个第一阶量的乘积得到的是一个第二阶量并保证第二 阶精度。因此用第一阶精度的关系式处理第二阶精度的关系式可以保证第二阶精度。 把式( 2 1 5 ) 近似到第一阶精度可得 p 风+ ( p 一岛)( 2 1 9 ) 由式( 2 3 ) 和( 2 5 ) 可得 p 4 = 方p + ( 2 2 0 ) 同样把运动方程和连续性方程作第一阶近似可得 风罢亏一即 ( 2 2 1 ) 讲 。 第1 0 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 等一岛w ( 2 2 2 ) 把这些第阶精度的关系式代入到式( 2 1 3 ) 可以得到连咎性方程的另一种形式； 望o t + 胁v v = 丽1 百o p 2 ( 2 2 3 ) 上式对时间取偏导，得到 等+ 扁昙( v y ) = 丽1 可a 2 p 2 ( 2 2 4 ) 而f l ：i 式( 2 1 1 ) 可得 成v ( 詈) 庐( , 2 + 2 t ) v 2 ( v v ) + v ( 驴 ，) 预2 + 2 t ) ( 2 2 5 ) 式( 2 2 5 ) 减去式( 2 2 4 ) 得到 v 2 p 一等m 协) v 2 ( v v ) + 丽1 可0 2 p 2 一v ( v v ) v ( m 胪。( 2 2 6 ) 若认为空气介质的拉梅常数不随位置变化，上式最后一项为零。利用线性关系式( 2 ，2 1 ) 和( 2 2 2 ) 以及二阶近似物态方程和等熵关系式可以得到 p 枷故翻牟 加 爿去等 仁2 力 整理后得 p 5 等一去c 古一毒j 等一忑1 砑b p 2c 2 2 8 ， 其中，r 为热容，常数么和b 为物态方程中流体密度和声压之间的关系用级数展开得到 的系数，a a 为非线性参量，用来衡量声波在媒质中传播时产生的非线性效应的大小， 对于空气里= o 。对式f 2 。2 8 ) 4 取时间的两阶导数得到 对于空气等= o 。对式( 。 取时间的两阶导数得到 挚= 专等一去( 古一百1j 百0 3 p o t 一去旦2 a 等 9 ， 一= 一i i 一 z y l 皮2 菇皮2岛0lg0 j 岛0 皮2 - 7 把匕式代入到方程f 2 2 6 1 中，消去密度量，就得到仅关于声压的方程： 唧一专爹+ 去( 虿1 1 等+ 去等亿3 。， + ( 旯+ 2 ) 蔬1 刁0 3 p + 丽 可0 2 p 2 = 。 第1 1 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 其中各项的物理意义为：( a ) 为d a l e m b e r t i a n 项，该项存在于所有的波动方程 中，描述了声波在时间和空间中的传播。( b ) 和( d ) 为耗散项，是分别考虑了流体的 热传导和粘性等作用而产生的。g o ) 和( e ) 是由状态方程和连续性方程的非线性项引 起的非线性项。通过定义非线性系数和与声耗散率相关的吸收系数可以将方程( 2 3 0 ) t 乍 线性项和耗散项合并。其中非线性系数p 与非线性参量酬彳有关，记为： p = 1 + 暑 ( 2 3 1 ) 通过定义热粘性介质中的热传导和粘性耗散作用而引起的声耗散率艿来进一步简化 方程： 扣压1 【( 肌2 小硪( 必一) 】 ( 2 3 2 ) 得到著名的w e s t e r v e l t 方程【2 2 】为： v 2 p 一专窘毫窘+ 南等= 。 仁3 3 ， 此方程为描述声压第二阶精度的波动方程，其中声压由时间、空间和流体的性质决 定。方程的前两项代表衍射项和线性传播项，第三项描述介质的热粘性耗散，波传播的 非线性效应由方程的最后一项控制。 2 4 时域有限差分法 1 9 6 6 年，k a n es y e e 把带时间变量的m a x w e l l 旋度方程转化为差分格式，并成功地 模拟了电磁脉冲与理想导体作用的时域响应。这个y e e 氏网格的空间离散方式即为时域 有限差分法的雏形，近2 0 年来经过一批科学家的不断发展与完善使得时域有限差分法 逐渐走向成熟。 2 4 1 时域有限差分法的基本思想 时域有限差分法是用变量离散的、含有有限个未知数的差分方程近似的替代持续变 化的微分方程。因此应用时域有限差分法的首要任务是基于波动方程构造合理的差分格 式，使得数值解在相当高的精度范围内保持原问题的主要性质。有限差分法的基本思想 是把变量按某种方式离散化，然后用差商近似代替微分方程中的微商。 下面我们用一元函数来说明其差分格式及精确程度。 假设f ( x ) 为x 的连续函数，若在x 轴上每隔h 长取一个点，其中第i 个点用薯表 示，则在+ ，点的函数值( ) 可以通过泰勒级数展开表示为： 第1 2 - 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 m + ，) = m ) + 告 由此可得 ! 苎兰2 二( 苎2 ： h 剥+ 妻剖+ 等剖 舐i2 盘2f3 f 掰 i # 葛i 】：= zi f 2 2 剖0 叩) 同样有， 和 m 。叫小鲁掣f + 等 i # ( 墨! 二( 薯一。) 一 办 h 3 31 秒( x ) l ha 2 ( 到 。h 2 苏i 21 良231 l # = 蔫i # 篙 ：掣l + d ( 而) 叙i 、7 i x = - 毛 ( 2 3 5 ) + ( 2 ，3 6 ) ( 2 3 7 ) 其中，乏掣叫做( x ) 在薯点的向前差商，而掣叫做( x ) 在再点 的向后差商。由以上两式可以看到，向前差商和向后差商与微商的差均为变量离散步长 h 的一阶近似。 若把式( 2 3 4 ) 和式( 2 3 6 ) 相减，则可得到 ( t + 。) 一( 一。) 2 h 而2 + 31 o ( h 2 ) + 笙 51 ( 2 ，3 8