（概率论与数理统计专业论文）局部平稳高斯过程的最大值与点过程的渐近分布.pdf

局部平稳高斯过程的最大值与点过程的渐近分布 学科专业t 概率论与数理统计 指导教师。彭作祥教授 摘要 研究方向t 概率论 研究生t 杨春华( 2 0 0 2 3 5 4 ) 本文的研究主要限制在b e r m a , n 1 9 7 4 1 引进的局部平稳高斯过程，其定义为； x ( 力，t o ，为标准化高斯过程。存在连续函数c ( t ) ，t 0 ，连续且单调的函数( 8 ) ，k ( o ) = 0 k ( s 】 0 ，当8 0 时若 0 m i n c ( t ) ，t o ) ss u p c ( t ) ，t o ) 。 , j - - o 坐嗡2 1 ( 擦业删 f i 圳l 对t 一致地成立，则称 x c t ) ，t o ) 为局部平稳高斯过程 为了简单起见我们假定当8 + 0 时 k ( s ) = 8 。+ o ( s o ) ，8 - - 0 其中0 o ，口为任意b o r e l 集 1 定理3 2 高斯过程 x ( 0 ，0 茎t s 珥满足条件( 3 3 ) 、( 3 4 ) 、( 3 6 ) 、( 3 7 ) ，水平如( 3 1 3 ) 定 义则上穿过点过程蜥( ) 依分布收敛到一强度为r 唧 、，嘎计的p o i s s o n 过程 定义点过程心为规范化的局部最大值；( 8 i t ，a t ( x ( 8 。) 一b ) ) 形成的点过程( 其中a t = ( 2 l o g t ) ，b t = ( 2 l o g t ) 一( 2 1 0 9 t ) 一1 2 l 0 9 2 7 r ) 。点过程，为( 0 ，。) r 上的点过程，的 强度为相应的l e b e s g u e 测度和函数一e 【p 一。) 的增量的乘积我们有 定理4 2 高斯过程 x ( t ) ，0 ts 研满足引理( 4 2 ) 的条件，则t + o 。时，高水平的局部最 大值的规范化点过程：在( o ，o o ) r 依分布收敛到点过程n 关键词，局部平稳高斯过程多维高斯过程最大值点过程局部最大值 2 a s y m p t o t i c d i s t r i b u t i o no fm a x i m a a n d p o i n tp r o c e s s o f l o c a l l ys t a t i o n a r yg a u s s i a np r o c e s s m a j o r ：p r o b a b i l i t ya n d s t a t i s t i c s i 【l l t o r ：p r o f p e n gz u o - x i a n g a b s t r a e l s p e c i a l i t y ：p r o b a b i l i t y a u t h o r ：y a n gc h u n - h u a i nt h i sp a p e r ，t h e s t u d y i sr e s t r i c t e dt ol o c a l l ys t a t i o n a r yg a u s s i a np r o c e s si n t r o d u c e db yb e r m a n 1 0 7 4 w h i c hm e a n s x ( f ) ，0 ts ? b e8s t a n d a r dg a u s s i a np r o c e s s ，t h e r ee x i s t s 器c o n t i n u o u sf u n c t i o n c ( t ) ，t 0 w i t h 0 0 ) s u c ht h a t 熙塑等静燮：c ( t ) 州一n t o f o rs i m p l i c i t y ，w ea s s t l r ! l et h a t k ( s ) = 5 4 + 0 ( 8 4 ) s 叶0 t h i si m p l i e st h a t r ( t ， 4 - s ) 一1 一c ( t ) i s t 4 + o ( j s l 8 ) i nt h i sp a p e r ，t h ea s y m p t o t i cd i s t r i b u t i o no ft h em u l t i v a r i a t em a x i m aa n d p o i n tp r o c e s sa r ei n v e s t i g a t e d m 越nr e s u l t sa r e f o ra s y m p t o t i cd i s t r i b u t i o no fm a 】d m am u l t i v a r i a t e l o c a l l ys t a t i o n a r yg a u s s i a np r o c e s s ，w eh a v e t h e o r e m2 2 l e t x i 转) ，马( t ) ) ，0sl 2 ) b e am u l t i v a r i a t eg a u s s i a np r o c e s sw i t h e x ( t ) = m i ( t ) ，v a r 讯( t ) = 1 i ，钟= 1 ，pa n di ft h e i rc o v a r i a n c ef u n c t i o na n dc r o s s - c o v a r i a n c e f u n c t i o ns a t i s f y ( 2 1 ) 一( 2 4 ) ，梆 ( t ) s a t i s f y ( 2 5 ) a n dt h el e v e l sd 瓶n e da s ( 2 6 ) t h e n a s t p 。y ( t ) t r ，0 t 正奄= 1 p p ) - + e 州一n e x p 协) b 1 d e f i n ep o i n tp r o c e s sn t ( + ) s u c ht h a tn , r 够) = i 器t b ，盖瓣= * a t ，x t ) 8 kf o ra r b i t r a r y b o r e ls u b s e tb t h em a i nr u l ti s 3 t h e o r e m3 2 s u p p o s eg a u e s i a np r o c e s s 。x f 螃，0 t t ，s a t i s f i e s0 1 ) ，( 3 。4 ) ，秘。6 ) ，0 ，7 a n d t h el e v e lus a t i s f i e st h ec o n d i t i o n ( 3 1 3 ) ，t h e nt h ep o i n tp r o c e s s 蜥( ) o fu p c r o s s i n gf o r m e db y f x ( t ) ，0 t 兰? c o n v e r g e s i nd i s t r i b u t i o nt oap o i s s o np r o c e s sw i t hi n t e n s i t yr 唧 孙 d e f i n eap o i n tp r o c e s s 妮f o r m e db y ( s d t ，a r ( x ( s i ) 一b ) ) w i t h a t = ( 2 i o g r ) ，b r = ( 2 l o g t ) 一2 1 0 9 t ) 一l 0 9 2 # ，a n d & p o i n tp r o c e s sn d e 翻e do n 圆，c o ) 嚣w i t hi n t e n s i t ye q u a l t o t h ep r o d u c to fl e b e s g u em e t u s u l - ea n dh n c r e m e n t so ff u n c t i o n e 一2 , t h em a i nr e s u l ti s t h e o r e m 4 2s u p p o s e t h e g a n s s i a n p r o c e s s x ( t ) ，0 s i 墨，s a t i s f i e s t h ec o n d i t i o n o f l e m m a ( 4 2 ) t h e nt h ep o i n tp r o c e s sn 。c o n v e r g e si nd i s t r i b u t i o nt ot h e p o i n tp r o c e s s o i l ( 0 ，o o ) r k e yw o r d s ：l o c a l l ys t a t i o n a r yg a u a s i a np r o c e s s ；m u l t i v a r i a t eg a n s s i a np r o c e s s ；m a x i m a ； p o i n tp r o c e s s ；l o c a lm a x i m a 连 引言和预备知识 1 1 前言 各种定义在随机过程 x ( o ，0st t ) 的泛函极限分布是随机过程理论的一个重要发展方向由 于高斯过程的样本轨道性质完全由其均值函数m ( t ) = e x ( t ) 与协方差函数r ( 8 ，t ) = e o v ( x ( t ) ，x ( s ) ) 决定，且高斯过程在理论和应用中占有重要的地位在上个世纪，很多学者对经典的极值理论做了完 美和深入的研究p i c l m a d s 1 9 6 9 】证明了对于连续时间的平稳高斯过程，存在8 r 0 ，b 及非退化的 函数g 徊) ，当r - + o o 时 p f 些e 生 2 ) _ + g p ) d t 其中m t = 8 u p x ( t ) ，0 t 研，则a ( z ) = e x p 一e 1 ) ，$ 丑，称高斯过程 x ( ) ，0 t 丁) 在d ( a ) 吸引场内对高斯过程的最大值的渐近性质分析已成为研究极值理论的重要组成部分 姐2 文献综述 设 x ( t ) ，0st t ) 是均值为o 、方差为l 且具有连续的样本函数的平稳高斯过程当协方差 函数满足 r ( t ) = 1 一c o + o ( i t l 。) ， t 0 其中0 口2 ，且满足b e r m a n 条件 r ( t l l o g t f + 0 t - ( 1 1 ) ( 1 2 ) p i c k a n d s 1 9 6 9 在( 1 1 ) 和( 1 2 ) 的条件下研究了平稳高斯过程的最大值与上穿过的渐近分布l i n d g r e n 1 9 7 4 在n = 2 的情况下证明了有限个均方可微平稳高斯过程的上穿过点过程的渐近分布彭作 祥【1 9 9 6 】进一步推广研究了多维非均方可微高斯过程的上穿过点过程的渐近分布，同时得到了过程 最大值的渐近分布 由于平稳高斯过程的条件较强，在理论上还存在一类具有常数的方差且在每一点具有与平稳高 斯过程协方差函数相似的高斯过程。即首次由b e r m a n 1 9 7 4 】引入的，局部平稳高斯过程，其协方差函 数满足 r ( t ，t + 8 ) = 1 一c ( t ) 1 8 l 。+ o ( 1 8 1 0 ) ， 8 _ + 0 ( 1 3 ) 其中0 a 2 ，c ( t ) 为连续函数。且0 i n f c ( t ) ，9 t 珥 ，雪鸯矮意b o r e l 蔡 j e a n - m a r c 2 0 0 3 在较强的条件下获得了非乎稳可微高斯过程的渐近特性 率文基予黻上文献，在届部平穗嵩耨过程酶条件下。获得了多缭嵩斯遘程最大毽静渐透分雍； 其次磁比j e a n - m a r c 2 0 0 3 更弱的条件下得到了非平穗可微离斯过程的v t ( ) 渐近分布；最后在j e a n m a r c 2 0 0 3 豹条捧下获褥渤等兢( - ) 懿渐近筹傍。 1 3 预备知识 为了叔述的方便，我们给出几个全文通用的记号 1 记西和庐分别为标准正态分布的分布丽数和密发函数 2 e x ( t ) = m ( t ) ，r ( t ，# ) = c o t ，( x ( t ) ，x ( 8 ) ) 3 m ( b ) = s u p x ( t ) ，t 曰) ，助任意b o r e l 集 4 肛( j ) = p m 。a x 。x ( t ) u ( 1 ) ) = 丑二c ( 1 庐( “( z ) ) u ( j ) 1 ( 1 + o ( 1 ) ) 其中凰为p i c k a n d s 常数 5 n t ( b ) = t t b * x ( t ) = u t ，x ( 砷0 ) ，b ) b 任意b o r e l 集 6 蜕= 吣t b ，x ( d ；o ，x ( o “)嚣为任意b o r e 集 下面我们将分三部分依次给出证明 8 二 多维局部平稳高新过程最大值的联合渐近分布 对于局部平稳高斯过程，文献1 6 已经在一定的条件下获得了过程的渐近分布我们基于文献【6 j 已有的结论把上述结果推广到多维的局部平稳高斯过程的情形，获得了分量过程的渐近独立 令( ( x d o ，蜀( t ) ) ，0 茎茎r 为p 维高斯过程，e x k ( t ) = m k ( o ，d x k ( t ) = 1 ，0 墨 t ，k = 1 ，p ，其交互相关系数和各自的相关系数分别记为zr w ( t ，8 ) = e ( x k ( t ) 一m k ( t ) ) ( x h 小) 一 m ( t ) ) ，r ( t ，8 ) = e ( x k ( t ) 一m ( t ) ) ( x ( 8 ) 一m ( 8 ) ) ，女，= 1 ，p ，n 假定$ 一+ 0 时，r k ( t ，+ s ) 满足 “( ，t + 8 ) = 1 一c k ( t ) l s l 。+ o ( 1 8 1 0 ) f 2 ，1 1 其中0 a s2 ，“( t ) 是连续的函数，且满足0 功- + o 1 s ，m ：a m x 。s u p i 州如) 8 o ) 2 6 1 m ( t ) 是【0 ，o o ) 上的有界函数且当t - 4o 。时 m ( t ) 、丽_ 讥 。，当r _ o 。对霄 2 1 1 ) o s j = 噩。口) u 丁，如西，j 鬟竹，知= 1 ，力一p x k ( t ) t i ，r ，o s s ? ，露= 1 ，力- + o 2 2 ) o s 骐p 溉姚r ，血再，k - - 1 ，磅蠢p 忍秭s 鸭州莓五，蠡= l ，芦 呻o 2 1 3 汐 撼( 趣；# t t r ，j q e i l ，i s 强= 1 , - - - , p - i i p x u q ) 茎# 女，j q e i t , 女。i , - - , p l 。 证聪：由文献1 6 的引理3 1 知 。曼 ，o ) s 氓州e 五，f n 奄= l ，- p x ( 0 曼鞔t ，o 曼t 董r ，凫= l ，p ，n 一 。 。， 曼善墨( p 氙( ) s 毪引五，一p 弱( t ) 兰执州e 五u 狲) _ o e ib 由文献f 6 的引理3 2 知 。s - 隅各国! 瓴r ，j q e i ，；sn , k = l ，癣一p x d 0 _ t t ) = o ( e p 女0 ) ) = l pp 2 2 2 ) p x h ( t ) ，t 五，女= 1 ，一，p = 1 一p 胁( 而) t ，t ) + 。( p ( f ) ) 善睾串芦女8 ) ：= p 酶( 五) 钍于 ，五磊( 五) 湍m 8 x x 女0 ) ，t 磊 。 证明t 由文献 6 】的引理3 2 知，只需诫q - + 0 ，舭= q o - 4 0 的速度充分馒的情形下，有 p j m 口a “x x k ( y q ) 牡 t t , 如m 卧a x x k 7 0 彩 t i ， = 口( 肛女( j ) + 阳b ，( 驺) 由交欺潮鹣定理2 t 2 葶爨罨l 理3 2 糍p j m g a x x 0 势 l “缘 1 ) p ( 器糖乩( j 曰) 女，t ) p t 3 9 9 哆。* 芋l 弱，0 口) ，t ) = 。( 肛女( 1 ) + 肛妒( f ) ) 于是最黹证眠 p 嚣鼗强0 秘 搬，r ，p 雾餐溉，宰) 镧眭z 一p 册；甄渤) “ n 球m a “x x o q ) ，t ) = 。( 舢) + p 0 ) ) 程搽琵淼眈较弓l 理鲡： t ；：龄a 4 u 鲥 “p p ，m q t a 。x ；五u 的 u f t 计p ，m e a 冉x x 女( j q ) 牡女，t ，嚣菱爿妒f f q ) 奇t ，r ) 姐，。驯侧锄旧q 1 若 g 札聂唧 - 蔫 “咿卜p 慨( 五) u ”，慨，( 五) t 虬t ) 1 茎 茎p pp 以u ( m h ( i t ) u ) ) p 帆( 五) ) = 1 = 1 由2 2 1 ) 式知，2 2 2 ) 式成立 定理2 1 高斯过程 ( x l ( t ) ，x n ( t ) ) ，0 t 研的e x k ( t ) = 0 ，d h ( t ) = 1 ，= 1 ，p ，0 茎 t t ，相关系数和交互相关系数满足条件( 2 1 ) 、( 2 2 ) 、( 2 3 ) 、( 2 4 ) ，水平t i t 如( 2 6 ) 定义，则 t _ + 0 0 时 p p x k ( o k t ，0 t t ，= 1 ，- 一，p ) e x p 一n k = l 证明：由引理2 1 1 ) ，2 1 2 ) ，2 1 3 ) 知 p t y ( t ) ! u k t ，0 t t ，七= l ， j p x k ( j q ) u r ，j g 而，l n ，k = 1 n p ) 一尸 0 ) 兰“，t ，t 五，b = 1 ，- ，p ) i f = l ，p ) 一尸 y ( ) s “ 。t ，0 t t ，k = 1 ，- 一，p ) i + n p 诋o g ) u i t ，j 口五，j n ，= 1 ，- 一，p ) 一i i p 丑u 口) u t ，g 五，k = 1 ，p ) i + i = l n i i p x h ( j q ) u ，t ，j q 五，j n ，k = 1 l = l 又由文献 6 】的定理2 , 2 。定理4 , 2 和引理2 2 2 ) 知 n p ) 一p x k ( t ) “ ，t ，t 五，= 1 ，一，p ) i - 0 l = 1 p 虬( ) “ ，t ，t 五，k = l ，p ) j = i = e x p l o g ( p x k ( 0s ，t 五，k = 1 ，p ) ) 1 = 1 n pp = 唧 l o g ( 1 一p m k ( i i ) u + 。( p ( 1 ) ) ) ) l = lk = l k = l , r i p = e x p 一p m k ( 1 1 ) 眠t ) ) + o ( 1 ) i = 1 = l p _ + e 坤卜n ) 定理2 1 证毕 定理2 2 高斯过程 ( x 1 ( t ) ，耳( 0 ) ，0 t 研的e x i ( o = m 女( ) ，d x k ( t ) = 1 ，k ：1 ，p ， 相关系数和交互相关系数满足条件( 2 1 ) 、( 2 2 ) 、( 2 3 ) 、( 2 4 ) ，m ( t ) 满足条件( 2 ，5 ) ，水平u r 如 ( 2 6 ) 定义。则当t - - 4 0 0 时 p f x ( t ) 曼i l k , t , 0 曼t s t , k 揣1 ，p _ e p - 讯啦f 蚀) 证骥；率妨骥定搬8 ，搬= 0 憩憾彩巍垒赣裁秘j 粪氍巍荣荸孛( 2 5 ) 鞠t 对经意懿。1 ，秘襻 糍m 。，i m p ( t ) l 基m o ，并嶷对兖势太的t ，育m o ( 1 0 9 t ) p 蕺圣) 一辨女 | ) s 斟，一期( 砖，0 ， _ p 敬( 亡) 一m 女0 ) t 。筝一t n 。，0 蔓f 曼， = p 赫t ) 一，n 舞葑赳女。，一缸女( ? 蚤) 一m 。十船i 秽壶) ，0 so 鬟堂女 焚孛 = 挚 “女拶) ；( 2 l o g t l ) 1 7 2 + ( 2 1 0 9 t ) 一1 7 2 ( ( ( 2 8 2 盘) l 。g l o g 瘢+ l c 塔f 论蕊2 壮一8 7 2 8 ( 2 霄一1 7 2 ) ) 鞑女，f 一牡女稷峙) 一哟= ( 2 1 0 9 t ) 主一( 1 0 9 t ) i 一辩。十0 1 ) = 面面河l o g 丽t m 。十联1 ) ；0 0 9 t ) 幽文献【6 】的定理4 2 矩t 砷o 。 p x d 0 一m 女珏女汀一m 女( 0 ，0 曼? i ) _ 1 令p t = 蜮榉 p 溉器) 一m 女1 ) 钍，t m 女( ) ，0 l 羔t 0 2 燃p f 鼹( 醇一，n ( ) 蔓2 k , t m 0 ) ，? 篓茎掣p + 。( 1 ) 磷为女( ) 搬啊酊叶住，对糍分文弱t ，毒篓p r ，l m 女( 0 v m w r s3 b 敬土式 p 溉。) 一m ( 站曼# ，f t 墨t ” + 。1 ) = p 舔l 一撤女灏s n 女秽) r 一* 女汀”) 一茄笛，。墨s 7 + 雌) 其审：嚷，。主挚 8 i ”2 穆鹣弦7 ) 女+ ( 2 l o g t p ，一( ( 2 半) 知) 蛾l 。g p + l 谨妒，弱2 2 一神秘鼢) 一蝴 r 一诹矿) 一菘l 舾 。 ( 1 i o l t ) i 一2 魄? 一2 l o g l o g t ) + ( 2 1 0 9 t ) 一i ( 2 一a ) l 溆l o g i o g t ) - ( 2 1 0 9 t - 2 l o g l o g t ) 一女f ( 2 a ) a o o g l o g t + l o g 舸) ) + d f f 2 l o g 妁一t ) l - , 2 i o g m - 2 i o g l o g t 。藏两嚣鬻洒再蕊谢 十 ( 2 1 0 9 t - 1 l j o i l o i t ) , 一l j ( 2 8 ) 2 8 l o g l o g t + 。( 1 ) i l o g l o g t 对于任意m o ，存在充分大的t ，有u k , t - - u ( p 7 ) 一葫啭 了磊m 万石，由文献【6 】的定理4 2 知： 由m 的任意性。有 尸 x i ( f ) 一m k ( t ) u 女r m 女( t ) ，0 t s t p 7 ) p t 风o ) 一m 女( t ) u ( 丁”) + 了雷雨m 而，。s t s t ”) e x p 一e x p - m p x k ( t ) 一m ( t ) st i i ，t m i ( ) ，0s ts r 9 7 ) + 1 对于任意的对于充分大的t ，t p rs t t 有 同理 同理 ( 1 一0 ( 1 一e ) 兰m ( f ) 、，伍可若五于( 1 k + e ) ( 1 + e ) p ) “( t ) 一m ( ) u k ，t i n k ( t ) ，0 t ! t = p x 女( t ) 一m ( t ) u t n “( t ) ，t p tst 茎t ) + 0 0 ) p 砌) 一州怄b k , 7 号箍笋艇t 翊+ o ( 1 ) - + e x p 一ne x p + e ) ( 1 + 0 ) 由e 的任意性有 p x k ( t ) 一m h ( t ) u 女，t m ( t ) ，0 t t ) p 例t ) _ 叫雌札，一与篙产，。s t 丁) + 。( 1 ) _ + e x p 一ne x p ( 佻一e ) ( 1 一e ) ) p $ 女( ) 一m k ( t ) 曼“ ，t m ( t ) ，k = 1 ，p ，0 t t ) = p ( x k ( t ) 一i n k ( t ) 女t m ( ) ，k = 1 ，p ，t p ，t t ) + d ( 1 ) p 似州虹b k , t 一与麓产，女吐，p ，o 0 ，s u p ，纠 1 ，j 髓，避，1 1 i 0 1 o , m s u p ，畎叫糨恕学存在 ( 3 6 ) f l i ) 5o 冀中c ( 0 = r l l 辑棼爨连续函数，虽纛蘧0 m m e ( 0 茎s u p c ( o 。，嚣静毙条箨3 + 辞推广势 m ( t ) 川语叶叮芒r( 3 ，7 ) 藏们证疆的方法是将f 。 卸分成n = f 玉l 等份，当? _ + o o 时，罐一段静长度为坼_ 0 ，满足 h 。，- + ( 其中u t = m i n u t ( t ) ) ，每一段( 仃一1 ) h t ，y h t 】义分成两段五= ( ( 1 1 ) 姊，f 蛔- - e t ，灯= f l h t 一# ，嘲鏊满足条转舞_ 0 ，t l o ”g u w 叶，镬每令，l 、强簿毒上添魏分淼，等努瓣分患的长震 为q = 薪袈町，幽t _ + 。时咖宽分慢地叶o ( 见义献【7 1 引理8 1 ) ，为简单越见把? 错略对任意 墨定的0 c = o l d l 鬟晚 q ( t ) ，玎) - + 0 l = l rrm i p x ( t ) ! “( f ) ，t u e , n u 五 一p ( x ( o “ ) ，t u 蜀n u 五， i = 1i=l=1 1 = 1 善n 础m 州一掣) c 舢唧卜掣) ) + d ( 1 ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) c 一( 1 h ) = s u p x ( t ) ：t 五) i n f c ( t ) ：t 五) = c + q h ) u + ( 1 h ) = b u p u ( t ) ：t 五) i n f ( t ) ：t 正= “一( 1 h ) 0 p x ( j q l ) “( 1 h ) ，j 锄u 且n u 五 一p ( x ( o u ( 1 h ) ，t u e i n u 五 = 1f = 1t = 1j = l 兰乏：( 尸 y o 毋) “( ) ，姗五) 一p x ( ) 兰“( f ) ，i d ) 斗0( 3 1 1 ) r 0 u ( t h ) ，j q i m 芒g 臣n 丑，f 1 4 n 0 m u n 墨 ，u m 冲 耐“ 一 舀 x 叫 一 o 吣 _ u 埘 由( 3 9 ) 一( 3 1 2 ) 知 rr p x ( j q t ) u ( z ) ，j q l u 蜀nu 丑，) 一p x ( ) u ( t ) ，u b ) _ + 0 = l i e j o = 1 引理3 2 x ( ) ，0 茎t 茎n 是均值为0 的高斯过程，满足条件( 3 3 ) 、( 3 , 6 ) 、( 3 8 ) 则当丁_ + 时，有 rr i i p x o 卯) “( 1 ) ，j q t 日nu 五) 一p i x ( t ) u ( t ) ，t 目 - + 0 i = l l , i o - = 1 证明：对任意旧ls1 ，i 轨j 1 有 根据文献【6 】的引理3 1 、3 2 、3 3 同引理3 1 相似可证 引理3 3x ( t ) 是均值为0 的高斯过程，满足条件( 3 3 ) 、( 3 6 ) ，( 3 8 ) ，则当t _ + o 。时，有 r i p x ( j q , ) t “ ) ，j m u ( t q ，t 凼】nu 五) 一 i = 1 i e j o 证明：根据正态比较引理和文献【6 的引理3 4 知 i i p x u 伽) u q h ) ，如最nu 五) l - + 0 t - l j i h p x ( j q , ) 兰“q h ) ，j 卯b nu ) 一i ii ip x u 锄) u ( 1 ) ，j q t a n z , j i p x ( j q o t ( f ) ，如毋nu 丑) 一p x ( j q t ) u ( f ) ，j 鲫蜀n 五) j 胁。乏m 旧p - 警装辫卜铷 j 口j，j7 口l ，e 五, t l l t e j o i = 1e i je j o 。、0 1 jy 7 根据正态比较引理和文献 6 】的引理3 4 知 i p x ( j q , ) u ( j ) ，j a r u ( t c a ，t 凼】nu 五) 一p ( x u 位) “( 1 ) ，j 吼皿n ) j ! 一曲巾毛恻一警装群m, ，g p , i p e j o 3 q l , jq l,i=l j q * 1 。k j w jq ， 定理3 1 高斯过程t x ( f ) ，0 s r ) ，满足条件( 3 3 ) 、( 3 6 ) 、( 3 7 ) ，令水平u 为 u = 一i 。g r ( 2 l o g t ) 一 + ( 2 t o g t ) + ( 2 l o g t ) 一 ( 1 0 9 砖2 一j ”一1 ) ，茴：吊1f 1x 丽d t ( 3 1 3 ) 则当t _ + o o 时 p n ( x ( t ) u ，t 毋) 一i i p x ( t ) “，t 且) _ + 0 证明t 首先转化成为均值为0 的情形，p x ( t ) ! u ，0 兰研：= p x ( t ) 一m ( t ) 曼“( ) ，0 t 兰 q ，“( t ) = 一m ( t ) 1 5 9 一z ， 一 ， 一书 ， 首先验证水平u ( ) = 一m ( t ) 如( 3 1 3 ) 定义，满足条件( 3 8 ) 咿) = 去e x p 一萼) f 厕唧m ( f ) 一竺瑚 = 丛号端笋塑一塑鼍铲一t e x p 西，詹弧巧融 诉( t ) ” 因此由引理3 1 、引理3 2 、引理3 3 知 p x ( t ) 兰“( ) ，t u 蜀) 一i i 尸 x ( t ) u ( t ) ，t 毋) _ + 0 t = 1i = l 定理3 2 高斯过程 x ( ) ，0 兰t ) 满足条件( 3 3 ) 、( 3 4 ) 、( 3 6 ) 、( 3 7 ) ，水平如( 3 1 3 ) 定 义，则上穿过点过程n t ( ) 依分布收敛到一强度为re x p j 7 ) 的p o i s s o n 过程 证明r 不妨假定7 0 7 = 0 的情形的证明，完全相似只需证明t _ + o o 时 ( 口) e ( n t ( c ，d 】) _ + e ( n ( c ，d 1 ) = r e x p 西) ( d c ) ，对o c d r ( 6 ) p n t ( b ) = o ) _ + p p ( b ) = o ) = e x p - - r e x p ( v 臣7 ( d l c ) ) l = l 其中；b = u ( q ，吨 ，0 c l 西c 2 “( t ) ，t 毋) ) s p y ( 2 q ) “( t q ) ) + 0 1 7 由定理3 - 1 午口又腻l 6 j 阳引埋z z 刘 t - - o op 旦m 慨) _ o ) ) = ，, 一i r a i ! i p x ( t ) s “( t ) ，t 目) 2 热娶m 马d i 】口跑洲，眭丁棚1 n 五 = 恕e x p _ 砉e 镙酬一学附0 ( 1 ) ) ：血。p 一，e x p 、砷) ( 也一a ) ) 推论3 1 高斯过程 x ( ) ，0 z 茎t ) 满足条件( 3 3 ) ，( 3 4 ) 、( 3 6 ) 、( 3 7 ) ，水平i t 为( 3 1 3 ) 所定 义若b o r e l 可测集口边界的勒贝测度为0 ，则t - 40 0 有 p n t ( b ) ：，) + 。x p ( - r e x p ( - r y e ) 。旧) ) 巫煎等匦业，：o ，” 当b = ub i 时，其中鼠为互不相交b o r e l 可测集。则相应的联合分布收敛到相应的p o i s s o n 乘积 = 1 我们可以用相同的方法得到在不同的区间上对不同的水平的渐近p o i s s o n 特性 定理3 3 高斯过程协( ) ，0 t ! n 满足条件( 3 3 ) ，( 3 4 ) ，( 3 6 ) ( 3 7 ) ，取水平u ( ”，“( ) 满足 ) = 一l 。g n ( 2 l o g t ) 一 + ( 2 1 0 9 t ) + ( 2