（机械工程专业论文）基于非概率凸集的不确定性多目标优化及应用.pdf

t h e u n c e r t a i n t ym u l t i - o b j e c t i v eo p t i m i z a t i o nb a s e do nn o n - p r o b a b i l i s t i c c o n v e xm o d e la n di t sa p p l i c a t i o n l ix i n l a n b e ( c h a n g s h as c i e n c ea n dt e c h n o l o g yu n i v e r s i t y ) 2 0 0 6 at h e s i ss u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fe n g i n e e r i n g m e c h a n i c a le n g i n e e r i n g i n t h e g r a d u a t es c h o o l o f h u n a nu n i v e r s i t y s u p e r v i s o r a s s o c i a t ep r o f e s s o rj i a n gc h a o ，p r o f e s s o rh a nx u m a y , 2 0 1 1 伽6洲5 椰2川609 删脚y 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律后果由本人承担。 作者签名：名奶兰 日期：弘，7 年月为日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇 编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密囱。 ( 请在以上相应方框内打“4 ) 作者签名 导师签名 扣l1 年上月砂日 为i 年j 月如日 个禾r0 y l 、义 冢 秀蔓寥 ， 皋于1 概率凸集的不确定性多目标优化及应用 摘要 随着科学技术的高速发展，我们所需要考虑的实际工程问题越来越复杂，很 多工程问题常常需要考虑多个设计目标。并且多个目标相互冲突、相互竞争，不 能简单地采用单目标优化的方法来处理。同时，不确定性广泛存在于实际工程问 题中，传统的优化理论和方法已不再适合对其进行求解。由于随机优化方法和模 糊优化方法在获取概率密度函数和模糊隶属度函数比较困难，而非概率凸集合模 型只需要少量的样本信息获取不确定量的边界信息，其在不确定性建模上具有方 便性和经济性的特点。因此，本文采用非概率凸集合模型来描述参数的不确定性， 并对不确定性多目标优化问题进行研究，同时将其应用于实际工程问题当中。主 要工作如下： 首先，构造了一种基于区间的不确定性多目标优化方法。该方法利用非线性 区间分析方法求出每个目标函数和约束在每一设计矢量下的上下界，采用区间序 关系来处理不确定性目标函数，利用目标函数中点值来计算多目标优化问题的非 劣解，同时，通过区间可能度来处理约束函数，将非线性区间多目标优化问题转 化为确定性多目标优化问题，利用微型多目标遗传算法对转换后的确定性多目标 优化问题进行求解。 其次，构建了一种基于超椭球凸模型的不确定性多目标优化方法。该方法采 用非概率凸模型来模拟参数的不确定量，将结构中的不确定参数表示为超椭球模 型。利用不确定参数名义值来求取目标函数值，对于不确定约束，采用可靠性指 标方法，将不确定性问题转化为确定性问题。 研究成果被应用于商用车车架结构和汽车耐撞性优化设计当中，计算结果表 明了算法具有较好的工程实用性。 关键词：多目标优化；不确定性；凸模型：区间；超椭球 硕l j 学位论文 a b s t r a c t w i t ht h eh i g hd e v e l o p m e n to fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y , t h ep r a c t i c ee n g i n e e r i n g p r o b l e m sw h i c hw ec o n s i d e r e da r eb e c o m em o r ea n dm o r ec o m p l e x ，m a n ye n g i n e e r i n g p r o b l e m so f t e nn e e dt ob ec o n s i d e r e dm o r et h a no n ed e s i g n i n go b je c t i v e ，a n dt h e s e o b j e c t i v e sa r ea l w a y sc o m p e t i t i v ea n dc o n f l i c t i n g ，s ot h e s em u l t i - o b j e c t i v e sc a n tb e s o l v e db yu s i n gt h e s i n g l eo b j e c t i v eo p t i m i z a t i o nm e t h o d i nt h em e a n t i m e ，t h e u n c e r t a i n t i e sa l w a y se x i s t si nt h ep r a c t i c a le n g i n e e r i n gp r o b l e m s ，s ot h ec o n v e n t i o n a l o p t i m i z a t i o nm e t h o d sc a n tb eu s e dt os o l v et h e s ep r o b l e m s b e c a u s ei ti sh a r dt o c o n s t r u c tt h ep r e c i s ep r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o n so rf u z z ym e m b e r s h i pf u n c t i o n sf o rt h e s t o c h a s t i ca n df u z z yo p t i m i z a t i o n s ，b u ti ti s e a s yt oc o n s t r u c tt h en o n p r o b a b i l i t y c o n v e xm o d e l ，i to n l yn e e df e ws a m p l e si n f o r m a t i o nt oc o n s t r u c tt h eb o u n d so ft h e u n c e r t a i nv a r i a b l e s t h e r e f o r e ，t h i sp a p e rs t u d yo nt h e u n c e r t a i n t ym u l t i o b je c t i v e o p t i m i z a t i o np r o b l e m sw h i c hu s et h en o n p r o b a b i l i t yc o n v e xm o d e lt os i m u l a t et h e u n c e r t a i np a r a m e t e r s ，a n dt h e s em e t h o d sa r e a p p l i e dt o t h ep r a c t i c a le n g i n e e r i n g p r o b l e m s t h ew o r k sa r es u m m a r i z e da sf o l l o w i n g ： f i r s t l y , t h eu n c e r t a i n t ym u l t i - o b je c t i v eb a s e do ni n t e r v a li sc o n s t r u c t e d t h i s m e t h o du s et h ei n t e r v a ls t r u c t u r ea n a l y s i sm e t h o dt oc a l c u l a t et h e u p p e ra n dl o w e r b o u n d so fe v e r yo b je c t i v ea n dc o n s t r a i n tf u n c t i o n sf o re a c hv e c t o r , b yu s i n gt h ec e n t e r v a l u eo ft h ei n t e r v a lo b je c t i v ef u n c t i o n ，t oc a l c u l a t et h en o n d o m i n a t e ds o l u t i o no ft h e m u l t i 。o b j e c t i v eo p t i m i z a t i o np r o b l e m s ，w i t ht h ei n t e r v a lp o s s i b i l i t yd e g r e e s ，w ec h a n g e t h en o n l i n e a ri n t e r v a lm u l t i - o b j e c t i v ep r o b l e m si n t ot h ed e t e r m i n i s t i cm u l t i o b j e c t i v e p r o b l e m s w eu s et h eg m o g at oc a l c u l a t et h ec o n v e r t e dd e t e r m i n i s t i cm u l t i o b j e c t i v e p r o b l e m s s e c o n d l y , a n o t h e rm u l t i o b je c t i v eo p t i m i z a t i o nm e t h o di ss u g g e s t e db a s e do nt h e c o n v e xm o d e l t h i sm e t h o du s e st h ec o n v e xm o d e lt o s i m u l a t et h eu n c e r t a i n p a r a m e t e r s ，a n dl e tt h eu n c e r t a i np a r a m e t e r sr e p r e s e n ta sah y p e r - e l l i p s o i dm o d e l w e u s et h en o m i n a lv a l u eo ft h eu n c e r t a i np a r a m e t e r st os o l v et h eo b j e c t i v ef u n c t i o n ，嬲 t h eu n c e r t a i nc o n s t r a i n t ，w eu s et h er e l i a b l e a n a l y s i sm e t h o d ，l e tt h eu n c e r t a i n t y q u e s t i o nt r a n s f o r mt ot h ed e t e r m i n i s t i cq u e s t i o n t h er e s e a r c h p r o d u c t i o n s a r ea p p l i e dt ot h ec o m m e r c i a l a u t o m o b i l ef r a m e o p t i m i z a t i o n a n dt h ev e h i c l ec r a s h w o r t h i n e s s o p t i m i z a t i o n ；t h er e s u l t so ft h e s e e x a m p l e sd e m o n s t r a t et h e s em e t h o d sh a v et h eg o o de n g i n e e r i n gp r a c t i c a b i l i t y i 基于1 f 概率凸集的不确定性多日标优化及应用 k e yw o r d s ：m u l t i o b j e c t i v eo p t i m i z a t i o n ；u n c e r t a i n t y ；c o n v e xm o d e l ；i n t e r v a l ； h y p e r e l l i p s o i dm o d e l i v 第1 章绪论l 1 1 多目标优化的研究背景及意义1 1 2 不确定性多目标国内外研究现状2 1 3 非概率凸集不确定性研究现状3 1 4 本文研究目标及主要研究内容一4 第2 章基于非概率凸集的不确定性分析方法6 2 1 引言一6 2 2 凸集的定义6 2 3 区间凸集不确定性分析7 2 3 1 区间的基本概念7 2 3 2 区间结构分析方法8 2 4 超椭球凸集不确定性分析9 2 4 1 超椭球模型的基本概念9 2 4 2 基于超椭球凸模型的可靠性指标法1 1 2 5 本章小结1 3 第3 章基于区间的不确定多目标优化方法及应用1 4 3 1 引言1 4 3 2 区间多目标优化模型1 4 3 3 不确定性目标函数确定性化1 5 3 3 1 区间序关系1 5 3 3 2 不确定目标函数处理方法1 5 3 4 不确定性约束函数确定性化1 6 3 4 1 区间可能度_ 16 3 4 2 不确定约束函数处理17 3 5 不确定性目标函数确定性化1 7 v 基于非概率凸集的不确定件多目标优化及戍用 3 5 1 区间结构分析方法1 7 3 5 2 不确定多目标优化处理方法l8 3 6 微型多目标遗传算法1 9 3 6 1 微型多目标遗传算法介绍1 9 3 6 2 微型多目标遗传算法基本流程2 0 3 7 区间多目标优化算法的基本流程2 l 3 8 数值算例和工程应用2 3 3 8 1 显式函数问题2 3 3 8 2 桁架结构的设计2 6 3 8 3 车架结构的优化设计3 l 3 9 本章小结3 3 第4 章基于超椭球凸模型的多目标优化方法及应用3 4 4 1 引言3 4 4 2 椭球凸模型多目标优化模型3 4 4 3 不确定性多目标优化问题确定性化：3 5 4 4 超椭球凸模型多目标优化方法的基本流程3 6 4 5 基于近似模型的不确定多目标优化3 7 4 5 1 基于最优拉丁超立方的响应面模型的构建3 7 4 5 2 基于近似模型的不确定多目标优化方法3 9 4 6 数值算例和工程应用4 0 4 6 1 数值算例一4 0 4 6 2 数值算例二4 l 4 6 3 汽车耐撞性多目标优化设计4 2 4 7 本章小结4 5 结论与展望4 6 参考文献4 8 致谢5 2 附录攻读学位期间所发表的学术论文目录5 3 硕l ：学位论文 第1 章绪论 1 1 多目标优化的研究背景及意义 现代工程技术中，很多问题都属于多目标问题。比如，进行新产品设计时， 既要满足产品的使用性能，又要使产品的生产成本最低，同时还需考虑产品的使 用寿命、可靠性、可制造性、可维修性等等。这些设计目标之间可能会相互抵触， 要使每个目标都达到最优通常是不现实也是不可能的，例如好的使用性能会引起 生产成本的增加，而好的可维修性势必会引起可靠性的降低。我们希望各个目标 之间加以折中和协调，尽量使各个子目标都达到系统所需的最优情况，这类同时 要求多个目标都尽可能好的优化问题一般称之为多目标优化问题。在实际工程问 题中，多目标优化问题是大量存在的，因此，对多目标优化问题的研究显得尤为 重要。 早在十八世纪七十年代，f r a n k l i n t i j 就针对多个相互冲突的目标如何进行协调 求解而率先提出了多目标优化的思想。十九世纪末，p a r e t o 2 】将p a r e t o 有效解的概 念引入其文献中，并将多目标优化的概念拓展到了经济学领域中。1 9 4 7 年，v o n n e u m a n 和m o r g e n s t e m 在其著作中提及到多目标决策的问题，此时的多目标优化 问题引起了许多研究者的重视。1 9 5 1 年，k o o p m a n s i 列在经济学研究中提出了有辫 解的定义，得到了有效的结果，为多目标优化的研究奠定了初步的基础。1 9 6 8 年， z j o h n s e n 对多目标决策模型进行了系统的总结，此时多目标最优化出现了一个新 的转折点。之后，许多学者专家致力于多目标优化理论和算法的探索，并成功地 应用于工程实际问题当中。1 9 8 5 年，s c h a f f e r t 4 l 首次应用遗传算法用于求解多目标 优化问题，提出了多目标遗传算法( 即向量评价遗传算法) 。1 9 8 9 年，g o l d b e r 9 1 5 】 提出了一种多目标遗传算法，该算法中采用支配概念进行个体比较和选择。1 9 9 4 年，s r i n i v a s 和d e b 6 】提出了n s g a ，2 0 0 2 年，d e b 等1 7 1 人在n s g a 的基础上进 行了改进，提出了n s g a i i 。2 0 0 6 年，l i u 和h a n1 8 】在微型遗传算法的基础上提 出了一种微型多目标遗传算法( “m o g a ) ，该算法建立在小种群的基础上，具有较 高的求解效率。近些年来，多目标优化技术出现了迅猛发展的趋势。 多目标优化问题的求解结果通常不止一个，它会有多个乃至无穷多个解，这 多个解表示在目标空间中的折中和权衡所得的结果，多目标优化问题求解的最终 目的是希望在问题的可行域中找到一个设计者最满意的妥协解。目前主要有两大 类求解多目标问题的方法，第一类是在求解之前根据决策者或设计者的偏好信息 基于非概率凸集的不确定性多目标优化及心用 把多个目标转换为个目标，最后采用单目标优化的理论和方法来求得最优妥协 解，这种方法被称之为基于偏好的方法。大部分传统的多目标优化方法均属于这 类方法，如权重和方法【9 1 、目标规划方法10 1 、功效函数法【1 1 】等。在目标函数的偏 好信息明确时，这类方法得出的结果准确而且简单，但是对于复杂的工程问题或 者不是很有经验的决策者而言，这种偏好信息很难精确地获得，此时这种方法实 现起来比较困难。另一类是在问题的可行域内找到一系列p a r e t o 最优解集，再根 据决策者的经验来选取一个解作为最优妥协解，这类方法称之为产生式方法。产 生式方法不需要事先对各个目标提供偏好信息，而是直接求出整个p a r e t o 最优解 集，然后从求出的解集中选取需要的最优妥协解。即使偏好信息不明确也不需要 重新计算，只需要决策者重新选取最优解即可。 传统多目标优化问题大部分针对确定性的优化问题，然而在工程实际问题当 中，经常会存在着结构的几何特性、边界条件、材料性质、安装误差、荷载特性、 测量偏差、初始条件、模型精度等各方面的误差或者不确定性，这些误差或者不 确定性虽然在大多数情况下数值较小，但是这些误差或者不确定性耦合在一起时 可能使系统响应产生较大的偏差，特别对于复杂的工程系统，这种耦合程度更大。 因此，构建一种不确定性多目标优化方法具有非常重要的意义。 1 2 不确定性多目标国内外研究现状 由于不确定性的普遍存在，且这些不确定性的表现形式多种多样，如模糊性、 随机性等，对于这些不确定性大量存在的优化问题，采用经典的优化理论和方法 往往难以解决。因此，用以处理不确定优化的理论随之产生，这些方法的产生为 工程问题中不确定性问题的研究提供了理论基础，且这些方法的产生具有重大的 理论价值和实际意义。 目前主要有两种传统的不确定性多目标优化方法，第一种方法利用随机变量 描述多目标优化问题中的不确定量，这种不确定性多目标优化方法被称为随机多 目标规划方法。这种方法有许多学者对其进行了研究，且其应用比较广泛，如 s t a n c u m i n a s i a n 于1 9 8 4 年在其编著的随机多目标规划中，对随机多目标规划 方法进行详细的探讨，给出了求解随机多目标规划问题的一些求解方法。t e g h e m 等【1 2 】人提出了一种线性随机多目标规划( m o s l p ) 的求解方法，这种方法被称之为 s t r a n g e 方法，其特点是将随机多目标规划问题转化为确定性的多目标规划问题， 再采用交互规划的方法来求取原问题的解。第二种方法利用模糊变量描述多目标 优化问题中的不确定量，这种不确定性多目标优化方法称为模糊多目标优化，这 种方法应用了模糊的概念与多目标优化进行有机结合，来表示决策者对解的满意 2 硕l 学位论文 程度，从而求出最终解。如m a r i a n o 和a m e l i a l l 3 】提出了种g e n e r a lp r o c e d u r e 方 法，针对一个目标已经完全达到要求，且此时的模糊有效解可能不是最优非劣解 的情况，通过此方法仍然能找到模糊有效最优非劣解集。 近年来，随机多目标优化方法和模糊多目标优化方法得到了广泛地研究，但 目前这两类方法还存在着许多的局限性。如概率密度函数一般需要建立在大量统 计数据的基础上，然后运用数理统计的相关理论来获得，对于随机变量属于什么 样的概率分布类型和其分布函数对应什么样的参数，设计者们均做了一定程度上 的假设，因而可能会导致计算结果在概率体系下往往不可靠。对模糊问题进行求 解时，我们需要获得不确定变量的精确的模糊隶属度函数，然而在实际工程问题 中，都是通过有限个样本点，加上决策者的经验来获取不确定变量的隶属度函数， 这样获得精确的模糊隶属度函数往往很难，从而给模糊问题的求解带来了很大的 误差。由于随机多目标优化方法和模糊多目标优化方法中精确的概率密度函数和 模糊隶属度函数都难以获得，而不确定参数的可能取值范围却比较容易获取，所 以近些年来，国内外有很多研究者研究了基于非概率凸集的不确定性建模，并在 这种建模的基础上构造出了相对应的基于非概率凸集合的不确定性优化理论和方 法，这使得传统不确定优化理论和方法得到了有益的补充。 至今为止，基于非概率凸集合模型的不确定优化理论和方法均得到了系统的 研究，结合这种不确定优化方法，出现了一系列基于非概率凸集合的多目标优化 方法。h a s s a n 和m a r z i e h i 】考虑具有区间数的线性多目标优化( i m o l p ) 问题，并采 用必要有效点来求取多目标优化问题的解。s o a r e s 【”】等提出一种区间鲁棒性多目 标优化方法，用于解决区间鲁棒性线性多目标优化( i r m o a ) 问题。c a r l a 和 c a r l o s t l 6 j 对现有的具有区间系数的多目标线性规划模型作出了系统地总结。李方 义等【l 7 】提出了一种基于区间的不确定多目标优化方法，并将其应用到汽车碰撞优 化设计当中【1 8 j 。 1 3 非概率凸集不确定性研究现状 由于不确定量的概率密度函数或者模糊隶属度函数的获取存在着某些困难， 相比较而言，非概率凸集合方法只需要利用不确定变量的边界信息来描述变量的 不确定性，即只需通过较少的样本信息来获得不确定参数的边界即可，这为不确 定性的度量带来了很大的方便性。因此基于非概率凸集合理论，研究不确定性优 化设计方法，对于复杂工程问题的求解具有深刻的理论意义和工程实用价值。 从上世纪9 0 年代开始，非概率凸集合理论及其应用方面都得到了系统的研 究。b e n h a i m 和e l i s h a k o f f 【1 9 】于1 9 9 0 年首次提出了凸模型，并用凸域来处理不 幕于1 e 概牢凸集的不确定件多目标优化及应用 确定量，此时不确定事件的已知程度可由凸域的形状来反映，而不确定事件的扰 动情况( 即偏离程度) 可由凸域的大小来反映。之后，有许多学者对非概率凸集合 模型作了系统的应用研究。b e n h a i m 和e l i s h a k o f f l 2 0 】将凸集合理论模型的理论和 方法应用于车辆在非规则路况下行驶的问题。1 9 9 2 年，l i n d b e r g t 2 i 】应用凸集合模 型的理论和方法于控制问题之中。1 9 9 2 年，g i v o l i 和e l i s h a k o f f 2 2 】将凸集合模型的 方法用于解决孔洞出现的应力集中问题。1 9 9 5 年，e l i s h a k o f f , h a f i k a 和f a n g 【z 列 将凸集合理论和方法应用于桁架结构的优化设计当中。q i u 和e l i s h a k o f f l 2 4 j 基于区 间凸集合模型，利用上下界来描述不确定参数，并采用区间算法来处理桁架结构 的优化问题。1 9 9 8 年，p a n t e l i d e s 和g a n z e l i l 2 5 】提出了椭球凸集合模型的建模方法， 并将其应用于工程实际问题当中。j i a n g 和h a n 等【2 6 2 9 】研究了基于区间的不确定性 优化方法，并对其进行了比较系统的研究，提出了几种高效地区间数优化方法。 郭书祥和吕震宙【3 0 1 在非概率可靠性模型的基础上建立了稳健可靠性设计方法和结 构优化设计分析模型，并将建立的方法应用于实际问题轴承和桁架结构的优化设 计当中。邱志平和顾元宪【3 i j 结合非概率凸集合理论和有限元摄动理论，提出了一 种求解不确定参数结构静力位移的数值方法。g a n z e r l i 和p a n t e l i d e s l 3 2 j 将椭球和区 间两种凸模型设计和最不利工况设计进行了比较，并提出了一种凸模型叠加方法 【3 3 j 来获得结构的响应机制，这种方法能避免反优化计算，从而减少了计算量，提 高了效率。 目前，能够被用来描述工程领域中不确定性参数的凸模型很多，主要有【3 4 j ： 包容边界凸模型( 及区间凸模型) ，可以描述结构的零部件尺寸公差、初始几何 缺陷等等。区间凸模型所需的样本信息量较少，且具有简单的表示形式，是目前 凸模型中研究广泛且比较深入的一种。能量边界凸模型，它最初由梁的不确定 性弯曲变形推导出来。采用一个不确定函数来假定梁所有可能出现的挠度曲线形 状，而梁总的应变能是有界的，即使梁所发生弯曲变形的总能量是有界的。由于 大量工程实际问题均可表示成二次泛函的形式，而从数学理论上讲，能量边界凸 模型表示的是二次泛函的变差范围，因此能量边界凸模型的应用面较广。有界 f o u r i e r 凸模型，假定部分不确定现象的谱信息我们已经获得，则其谱系数中的不 确定性可用超椭球凸集合模型来描述。在几何上其模型表示为多维超椭球，它跟 能量边界凸模型一样，因此也被称之为椭球凸模型。斜率边界凸模型，这种凸 模型用来表示倒数具有有界性的未知函数。以上是工程实际问题中比较常用的凸 集合模型，而区间凸模型和超椭球凸模型是最为简单实用的的凸集合模型，因此 本文采用区间或者超椭球来界定参数的不确定量。 1 4 本文研究目标及主要研究内容 4 硕i j 学位论文 尽管目前已经出现了一系列基于非概率理论的不确定多目标优化方法，但由 于这些理论本身还有待成熟，且对于工程问题的求解也有待进一步研究。因此， 研究一种新的基于非概率凸集合模型的非线性不确定多目标优化方法显得很有必 要。同时，不确定量对多目标优化问题造成的影响，对不确定多目标优化问题进 行可靠性设计显得很有必要。 本文基于不确定量的区间凸模型或者超椭球凸模型，研究了不确定性多目标 优化方法，将不确定性优化理论应用到多目标优化问题当中，并将其应用于实际 工程问题当中。本文的主要内容如下： 第一章，阐述了多目标优化方法的研究背景和意义，调研了国内外目前不确 定性多目标优化问题的研究现状。简要介绍了非概率凸集合的度量模型，选用区 间或者超椭球模型作为本文不确定量的度量。 第二章，阐述了凸集的定义，研究了基于非概率凸集的不确定性分析方法。 介绍了基于区间凸集的不确定性优化问题，包括区间的基本概念和区间数的优化 方法；阐述了基于超椭球凸集的不确定性分析，对超椭球模型的一些基本概念、 超椭球凸模型的可靠性分析等进行详细的介绍。 第三章，构造了一种基于区问的不确定性多目标优化方法。采用区间结构分 析方法来计算目标函数和约束函数的上下界，利用目标函数中点值进行非支配求 解，采用区间序关系和区间可能度的方法处理约束函数，并将此算法应用到数值 算例、十杆桁架结构优化设计以及商用车车架的优化设计当中，通过算例证明了 该方法的有效性以及工程实用性。 第四章，构建了一种基于非概率超椭球凸模型的多目标优化方法。该方法中， 采用不确定量的名义值来计算各个目标函数值，对于约束函数，采用可靠性指标 法，当求出的可靠度值大于给定的可靠度值时，则认为系统可靠，否则系统不可 靠，从而将不确定性多目标优化问题转换为确定性的多目标优化问题。最后，将 此方法应用于两个数值算例和汽车正面碰撞的工程实际问题当中，计算结果表明 了算法的有效性。 最后对课题研究情况进行了概括性的总结，阐述了所获得的一些成果，并对 下一步的研究工作进行了展望。 5 基于1 f 概率凸集的不确定性多目标优化及戍用 2 1 引言 第2 章基于非概率凸集的不确定性分析方法 随着科学技术的高速发展，现在对工程问题的功能和性能方面均提出了越来 越高的要求，而科学技术的精密化和缜密化使得工程问题中需要考虑的不确定因 素也越来越多。过去人们通常把不确定性归结为随机性或者模糊性，但实际工程 问题当中，关于不确定变量概率密度的样本信息和模糊隶属度的样本信息常常是 缺乏的，或者是不完整的，一旦这些概率密度或者模糊隶属度假定和工程结构中 不确定变量的真正分布不符合，此时的不确定结构系统的响应就可能失去意义。 实际上，在科学研究和工程实际问题当中，很多不确定性是未知但有界的，研究 这种未知但有界的不确定性数学理论和方法称之为非概率凸集合方法。因此，本 文采用区间凸模型和超椭球凸模型这两种常用的非概率凸集合模型来处理不确定 参数。 本章介绍了区间凸集不确定性问题的研究思路，介绍了区间的基本概念和区 间结构分析方法。同时，给出了超椭球凸集不确定性问题的研究方法，介绍了超 椭球模型的基本概念和基于超椭球凸模型的可靠性指标法，给出了怎样利用可靠 性指标法来求解约束函数。 2 2 凸集的定义 上世纪6 0 年代，由于数学规划、数值逼近、变分学、数学经济学以及最优控 制等多方面的需要，涌现出了一个新的数学分支凸分析。这一新的数学分支 较浅显易懂，因此，这个方法应用广泛，且广大科研工作者和工程师们应用这些 研究出的许多成果作为有力的研究工具【3 引。此后，有关凸分析的文献、专著以及 教程不断出现，此时凸分析方法变得很普及。凸函数和凸集合是凸分析的基本研 究对象，其采用凸集分离定理做为使用的基本工具。 凸模型被定义为：设c r ”，如果对于任意x ，y c ，0 a l ，有 ( 1 一五h + 2 y c ，则称c 是凸集合。此定义中r 表示全体实数集合，尺”表示r l 维 欧式空间。从定义可知，凸集合的特点是如果它包含任意两个不同的点x 、y ，它 必然也包含x 、y 之间的线段，如图2 1 所利 j 。 图2 2 表示几个非凸集合的例子。 6 硕：上学位论文 图2 1 几个凸集合图例 ( 6 ) 图2 2 几个非凸集合图例 2 3 区间凸集不确定性分析 2 3 1 区间的基本概念 在区间数学理论中，区间被定义为一种新型的数，即为“区间数 ，简称为 “区间 。设尺为实数域，对于给定的两个实数u 工，u 尺r ，且u 工u 只，则区 间数可表述为【3 5 1 ： u 7 = 【u i - u 凡】= u ：u 足，u u u 足)( 2 1 ) 式中u r 表示区间的上界，u 表示区间的下界，在实数域尺上的所有有界闭区间 组成的集合计为，( 尺) 。假若两个区间对应的端点相等，则称为这两个区间相等， 如果区间的上界和下界相等，此则称此区间为点区间。 设u 7 = u ，u 月】i ( r ) ，则区间的中点( 即中值) 为： u c = m ( u 7 ) ：u l i + 一u r ( 2 2 ) 7 基于非概率凸集的不确定件多目标优化及应用 区间的半径( 即不确定性大小) 为： ( ，w _ w ( ：兰芒 利用区间的半径值和区间的中点值来描述不确定变量的区间， 义为如下的形式： u 。= u ，u ) = uu 。一u ”u u 。+ u ”) 图2 3 为区间u 7 的几何描述【3 6 】： ( 2 3 ) 则不确定变量可定 u 。：一 7 i i l i i l ( 2 4 ) 图2 3 区间几何描述 此时，可定义区间u 7 的不确定性水平r ( u 7 ) 为： ，w 八卜荫 q 5 ) 2 3 2 区间结构分析方法 区间结构分析方法( i n t e r v a ls t r u c t u r ea n a l y s i sm e t h o d ) 通过将区间数学和有限 元理论相结合，往往只需要较少的有限元计算次数就能获取结构在不确定变量影 响下的响应函数的响应上下界，这种方法用于求解结构在不确定参量影响下的响 应边界。目前已有很多学者致力于对区间结构分析方法进行研究，并获得了一系 列的成果【3 7 3 引，且这些获取的成果已经被广泛应用于静力学、动力学等工程结构 问题当中。根据不确定量的不同的不确定性水平，区间结构分析方法可以分为两 大类：“小不确定性区间结构分析方法 和“大不确定性区间结构分析方法 ， 对于实际工程问题而言，大部分的不确定量只是在名义值附近的扰动，不确定性 小的条件一般能够满足，因此，本文主要考虑小不确定性的情况。下面介绍下“小 不确定性区间结构分析方法 。 利用区间向量u 7 来描述矽的不确定性，有： u u 7 = 【u l , u r 】，以叫= 【吖，吖】，扛1 ，2 ，q ( 2 6 ) 可以采用区间半径值和区间中点值的形式表示不确定变量，此时不确定变量又可 写成： 8 硕一 ：学位论文 u 。= u 。+ 【一1 ，1 u ”= w + 卜l ，l l u 7 ，i = 1 ，2 ，q ( 2 7 ) 上式中， 儿半，w = 华小1 ，2 ，棚 ( 2 8 ) u w ：堡芒，吖：娑芒小1 ，2 ，g ( 2 9 ) 由式( 2 6 ) 和式( 2 7 ) ，u 可表示成： u = u 。+ 8 u ( 2 1 0 ) 上式中， 6 u 【一1 ，q v ”，观r ，【- 1 ，l l u 7 ，i = 1 ，2 ，g ( 2 11 ) 当不确定变量u 中所有变量的不确定性水平都较小时，可在不确定量中点u 。 处对不确定响应函数f ( u ) 进行一阶泰勒展开： 邶h ( u c + s u m ( 嘻等u ( 2 1 2 ) 采用自然区间扩展，即可获得上式响应函数的响应区间【3 5 】： 八叻坝+ 问l c g f 眦( u 。) 卜，w 此时可显式表达响应函数的下界和上界为： 删m c 一喜l 署p 删m c + 喜i 筹p ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 从上述的分析结果中可以看出，通过区间结构分析方法能够得到响应的上界 和下界，从而能得到结构所对应的响应区间。而且这个计算方法比较简单，只需 要计算出结构在不确定量中点值的结构响应以及结构对于每一个不确定量的一阶 梯度值即可。 2 4 超椭球凸集不确定性分析 2 4 1 超椭球模型的基本概念 区间凸模型在几何上是一个超立方盒，它假定了所有的不确定参数均独立变 化而不相关，在这样的情形下，结构最可能在各个变量均取边界值的时候发生失 效，也就是结构失效会出现在超立方盒的项点上面。然而，在实际工程问题当中， 不确定性参数之间往往会存在一定的相关性，此时几乎很难让所有的不确定参数 都同时取到边界值，因此，采用区间凸模型来描述不确定量可能会使计算结果出 9 接于1 f 概率凸集的不确定性多目标优化及应用 现过于保守的现象【3 9 1 。 相比较区间凸模型而言，单椭球凸模型则能在一定程度上反映出各个参量之 间的相关性，因此能避免设计过保守设计的情况，且用单椭球凸模型表示参数时， 其变化的边界光滑可微，此时优化问题中的数值处理变得更为容易【3 9 1 。如图2 4 所表示的为三个不确定变量的情形，假如这三个不确定变量具有一定的相关性， 则更适宜采用单椭球凸模型的方法。当然，对于不同的不确定参数而言，需要根 据参数之间的是否具有相关性的特征来选择是采用椭球凸模型还是采用区间凸模 型。假如各个参数都互不相关，则适合采用区间凸模型来描述不确定变量；反之， 假如各个参数之间存在着某种相关性，则适合采用椭球凸模型1 3 4 1 。 设聆维不确定向量u r ”，则可采用一个多维超椭球凸集e 来界定不确定参 数向量u f 3 们，即 u e = u l ( u 一砜) 7g ( u u o ) - 占2 ( 2 1 6 ) 式中，g 为椭球凸模型对应的特征矩阵，它为一对称正定矩阵，确定了超椭球体 主轴的方向，不确定参数u 的名义值用玑来表示，参数占取非负实数，它与特征 矩阵一起定义了不确定参量的不确定性程度( 即为椭球体的大小) ，当处于特殊情 况，即g 的值取零时，凸集合模型只包含有参数的名义值这一个元素，此时的参 数为确定量。在工程实际问题当中，这些超椭球体可以根据制造允许精度或者测 量数据来得到。 图2 4 三个参数时区问模型与超椭球模型的比较 1 0 型 硕l ：学位论文 对于不确定变量只有一个的情况，此时式( 2 1 6 ) 被退化为一区间变量，即此时 的单椭球凸模型变成了一种特殊情形( 即为区间凸模型) ，可以称之为“一维椭 球凸模型”，可表示为： 睢肚俐一州一 ( 2 1 7 ) 在实际工程问题中，当考虑多个不确定参数时，可能并不是所有的不确定参 数都具有相关性，而是会出现部分不确定参数存在某种相关性而与其它参数之间 相互独立的情况。针对出现的这种情况，则可以将不确定参数分成若干个组，每 一个组内的参数均存在着相关性，而每