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山东大学硕士学位论文 变形介质中流体流动的数值方法 王慧 ( 山东大学数学学院，济南，山东2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 多孔介质是一种固体介质，其中含有任意分布的、彼此连通且大小不一的 孔隙 多孔介质承受很高的压力和温度时，会发生部分或完全的不可逆形变， 如果多孔介质具有了变形性质，我们称这之为变形介质 在造纸业等工业应用中，变形介质中的动态流动是十分重要的造纸的挤 压阶段可以抽象为变形介质中的流体流动问题，认识并改进j 二作机理可以提 高效率，节约能耗1 1 前人已做了很大的努力开发造纸业中的数值模拟工具 来预测和控制造纸湿压过程中的去水，例如e i - h o s s e i n y ( 1 9 9 1 ) 阐述了湿压过 程中水流的动态特性 本文针对变形介质中的过滤和湿压过程中的动态特性【2 】，在原坐标：的 基础上引入了坐标，导出了孔隙比随时间t 和空间的抛物型方程进一 步，我们给出了方程的g a l e r k i n 有限元数值解法，并进行了误差分析，获得 了孔隙比和位置函数z 的先验误差估计 【3 】- 【9 中的作者讨论了各种方程的 g a l e r k i n 有限元数值解法 全文共分三章 第章描述了物理背景、基本概念和数学模型第节给出了一些基本的 物理概念，第二节给出了变形介质流体流动一维问题的数学模礁 窘一考- 2 。, 。2 南 k ( x ) 鲁h f 0 - 】 和一些记号 山东大学硕士学位论文 第二章讨论了变形介质问题的半离散有限元格式和收敛性分析第一节 给出了变形介质问题的变分形式和半离散格式，第二节给出了半离散问题的 收敛性分析和误差估计 l l 又 ( ) 一文( ) | | c i l l 文o ，h 一文0 0 十h 2 ) 第三节给出了位置函数名的半离散形式的误差估计 z 一| | c ( 1 l 叉o ， 一粕0 + h 2 ) 第三章讨论了变形介质问题的全离散格式及收敛性分析第一节给出了 变形介质问题的有限元全离散格式，第二节给出了全离散格式的收敛性分析， 第三节给出了位置函数名的全离散形式的误差估计 关键词：变形介质，g a l e r k i n 有限元，非线性问题，孔隙比 山东大学硕士学位论文 nu m e r i c a lm e th od sf o r f h f i df l o wi nd e f o r m e dp o r o u sm e d i a h u iw a n g ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n s h a n d o n g2 5 0 1 0 0 ，p r c h i n a ) a b s - i r a c t t h es o l i dm e d i u mc o n s i s to fh o l e sc o n n e c t e de a c ho t h e ra n dl o c a t e dr a n d o m l y w i t hd i f f e r e n ts h a p ea n ds i z ei sc a l l e dp o r o u sm e d i m n d u et ot h ev e r yh i g hp r c 赎q u r ea n dt e m p e r a t u r et h ep o r o u sm e d i ae n d u r e d ，t h e p o r o u sm e d i at e n d st oc h a n g ei ns h a p ec o m p l e t e l ya n dp a r t l y s ot h ep o r o u sm e d i a h a st h ep r o p e r t yo fd e f o r m a t i o n w en a m et h i sk i n do fm e d i ac o m p r e s s i b l ep o r o l t s m e d i a k n t m l e d g ca b o u tt h ed y n a n f i cf l o wc o n d i t i o t a so fp o r o u sm - d i ai so ft h eu t m o s t i m p o r t a n c ei ni n d u s t r i a la p p l i c a t i o ns u c h 嬲p a p e r m a k i n g i n c r e a s i n gt h ee f f i c i e n c y o ft h ep r e s ss e c t i o no fp a p e rm a c h i n e si sa na t t r a c t i v er o u t et oa c h i e , 五n ge n e r g y s a v i u g s , w h i c hbr e c o g n i z e da st h ep r o b l e mo ff l u i df l o wi nd e f o r m e dp o r o u sm e d i a t g r e a te f f o r t sh a v eb e e nm a d et od e v e l o pn u m e r i c a ls i m u l a t i o nt o o l sf o rp a p e r m a k i n g t op r e d i c ta n dc o n t r o lt h ew a t e rr e m o v a ld u r i n gt h ew e tp r e m i n go fp a p e rw e b s a c o m p r e h e n s i v er e v i e wo fa r t i c l e st r e a t i n gt i l ed y n a m i c so fw a t e rf l o wd u r i n gw e t p r e s s i n gh a sb e e np u b l i s h e db ye l - l l o s s e i n y ( 1 9 9 1 ) t | i l sa r t i c l ed e a l sw i t ht h ed y n m t f i cb c h a v k n t sd u r i n gf i l t r a t i o na n dw e tp r e s s i n g o fe o m p r e 霞s i b l ep o r o u sm e d i a l 2 t h i sa r t i c l ei n t r o d u c e san e wc o o r d i n a t es y s t e m yo nt h eb a s i so fp r e v i o u sc o o r d i n a t es y s t e mz , w h i c hd e f o r m sw i t ht h em e d i u m a np a r a b o l i ce q u a t i o ni sd e v e l o p e dw h i c hv o i dr a t i oc h a n g e sw i t ht i m ef u n ds p a c c y f u r t h e r m o r e ，w eg i v eg a l e r k i nn u m e r i c a ls o l u t i o no ft h ee q u a t i o na n de r r o re s t i m a t e s o ft h ef i n i t ee l e n l e n ts o l u t i o na n dl o ( a t i o nf u n c t i o nzl l a v eb e e ns h o w n g a l e r k i n n u m e r i c a ls o l u t i o no f , a l lk i n d so fe q u a t i o n sh a v eb e e nd i s c u s s e di n 【3 【9 】 t h ew h o l ed i s s e r t a t i o nc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s i i i 山东大学硕士学位论文 i nt h ec h a p t e rl , w ed i s c u s s e dt h ep 1 1 y s i c a lb a c k g r o u n d 、b a s i cc o n c e p t sa n d m a t h e m a t i c a lm o d e l t h es e c t m n1d i s u s s 腻ls o m eb a s i cp h y s i c a lc o n c e p t s t h es e c - t i o n2d i s c u s s e dm a t h e m a t i c a lm o d a lo fo n e - d i m e n s i o n a lp r o b l e mo ff l u i df l o wi n p o r o u sm e d i a ， a n ds o m em a r k o x o t i l w 2 霹南瞰x ) o 口p 夕m ，= i nt h ec h a p t e r2 w ed i s c u s s e ds e m i - d i s c r e t ef o r ma n dc o n v e r g e n c ea n a l y s i so f d e f o r m e dp o r o u sm e d i ap r o b l e m t l l es e c t i o n1d i s u s s e dt h ev a r i a t i o n a lf o r ma n d s e m i - d i s c r e t ef o r mo fd e f o r m e dp o r o u sm e d i ap r o b l e m i ns e c t i o n2 , w eg i v ec o n v e r - g e n c ea n a l y s i sa n de r r o re s t h n a t eo fs e m i - d i s c r e t ef o r m ， l i x h ( t ) 一爻( t ) i i c ( 1 1 h 一爻0 l | + h 2 ) i l ls e c t i m l3 w eg i v ee r r o re s t i m a t eo fs e m i - d i s c r e t ef o r mo fl o c a t i o nf u n c t i o nz ， l i z z h i i c ( 1 l 氟i ， 一殳o l + h 2 ) i nt h ec h a p t e r3 ：w ed i s c u s s e df u l l yd i s c r e t ef o r ma n dc o n v e r g e n c ea n a l y s i so f d e - f o r m e dp o r o u sm e d i ap r o b l e m t h es e c t i o n1d i s u s s e df u l l yd i s c r e t ef o r mo fd e f o r m e d p o r o u sm e d i ap r o b l e m i ns e c t i o n2 , w eg i v ec o n v e r g e n c ea n a l y s i sa n de r r o re s t i m a t e o fh i l l yd i s c r e t ef o r m i ns e c t i o n3 w cg i v ee r r o re s t i m a t eo ff u l l ) 7d i s c r e t ef o r mo f l o c a t i o nf l m e t i o nz k e y w o r d s ：d e t b l 1 1 1 t , m , 1p o r o u sm e d i a ，g a l e l k i nf i u i t ee l e m e n tm e t h o d ，1 1 0 1 1 一l i n e a r p r o b l e m ，v o i dt a t i o i v 山东大学硕士学位论文 符号说明 x ( v o i dr a t i 0 1 孔隙比 ( p o r o s i t y ) 孔隙度 口( c o m p r e s f s i b i l i t y ) 压缩系数 ，乞( m e c h a n i c a lp r e 鼎s l t r e ) 机械压 “( h y d r a u l i cp r e s s u r e ) 水压 k ( z ) ( p e r m c a b i l i t yf u n c t i o n ) 渗透率函数 w ( b a s i sw e i g h t ) 单位体积质量 m 。f a m o u n t so fs o l i d ) 同体骨架的质量 ( t o t a lv o l u m e ) 介质的总体积 k ( t h ev o l u m eo fs o l i dm a t e r i a l ) 固体骨架的体积 k ( t h cv o l u m eo fa d s o r b e dw a t e r ) 吸附水体积 ( t h ev o l m n eo fs o l i da n da d s o r b e dw a t e r ) 固体骨架和吸附水体积 k ( t h ev o i dv o l u m e ) 孔隙体积 v 船( s p e e i f i co b s t l a t c t i o nv o h u n e ) 障碍体积比 s ( t h cs u r f a c ee x p o s c x it ot i l ef l u i dp e ru n i ti i 1 a s s 单位质量固体( 与流体接触) o fs o h dm a t e r i a l l的表面积 v 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立 进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果对本论文 的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本声明的法律责任由本人承担 论文作者签名： 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制 手段保存论文和汇编本学位论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：导师签名：圣圣萎杰日期：垒翌多爰7 i 山东大学硕士学位论文 第一章物理背景和数学模型 1 1 物理背景 本节中，我们给出了多孔介质的若干概念和性质，以及与后一节相关的数 学模型的物理背景为了保持模型的简化，次要的物理效应放忽略我们给出 如下的假设： 仅考虑一维情形； 这里考虑的物理系统是恒温的； 忽略毛管力； 忽略重力效应； 可压缩多孔介质； 单相不可压缩的流体 多孔介质中的流体流动称为渗流，已有许多文章讨论，如m u s k a t ( 19 3 7 ) ， s c h c i d e g g e r ( 1 9 5 7 ) ，p h i l i p ( 1 9 7 0 ) 等各种工程应用如地下水模拟、油藏模拟等 是典型的渗流问题，这些问题的描述依赖于多孔介质中的流体的物理特性 大部分文章讨论的是刚体材料中的渗流，即假定介质是不可压缩，没有变形 的本节我们考虑变形多孔介质中的流体的流动问题 多孔介质中最重要的两个性质就是孔隙度和渗透率 孔隙度 孔隙度- 2 定义为多孔介质中适用于流体流动的体积分数即孔隙体积k 和介质总体积耐之比 仁瓦 k 孔隙度是孔隙空问的一种度量 本文中模型基于孔隙比x ，定义为 k 扣瓦 其中k 。是固体物质和吸附水的体积 孔隙度和孔隙比之间的关系为 2 r 忑 渗透率 山东大学硕士学位论文 渗透率表示的是在外压的影响下，流体穿过介质的难易程度，也即流体在 多孔介质中的渗透能力，渗透率是多孔介质的一个重要特性参数，它是根据达 西定律通过实验而得到的 可压缩性 可压缩性是系统体积随承受压力而变化的一种度量压缩系数p 定义为 在常温下体积和压力的变分的比率，即 1i ， p = 一古( 暑) r ( 1 ) m 多孔介质的动态特性的描述基于以下几点假定- 多孔介质的总体积分为同体骨架的体积k ，吸附水的体积k 和孔隙体 积圪固体骨架的体积和吸附水的体积圪。假定是介质中不可压缩的部分， 因此，介质的变形仅影响孔隙体积k 固体骨架中不同层之间没有混合，每层在压缩或膨胀时并不影响其它 层 在介质之问没有内层传输这个假设下，我们引入新坐标耖这个坐标系是 随着介质的变化而变化的，这就使得单位厚度曲的固体骨架和吸附水的体积 6 k 吐即竺是不变的，如图1 ，在秽坐标系q - , 定义0s 剪1 ，固体质量 6 小。为：跏b = 。彤曲其中w 是单位体积质量，a 为介质的截面积 介质中不可压缩部分的体积为： 1 巩：。= 6 ( m 舭) 2 焘4 娩 i 厂 其中心。为介质的障碍体积比，l 厶。= 兰 则垂直坐标：和坐标可的关系为： ，一 兰= 。( 1 + x ) ( 2 ) u 当可压缩介质承受水压或机械压，且流体流过介质时，介质的总体积会减 小，总压力r 以可分解为两个独立的变量，分别为施加于介质的压缩应力，乞， 和引起液体流动的水压r 尽管介质中不同位氍的压力分量不同，但是他们 的总和是常数，且等于介质受的总压力，b o f = 只。+ r 2 山东大学硕士学位论文 ：于t = t 一l 也i e c 6 0 no f f l o w i l l i 毒础t 图1 ：两个坐标系的对比示意网 单位截面面积的流量和单位厚度的压力降之问的关系由d a r c 、定律的微 分形式描述： j ：墅华( 3 ) j z “z 其中d 为多孔介质的渗透率，肛为流体的粘性系数，在z 的负方向上定 义为正的 为f 衙化以后的数值计算，我们引进无量纲渗透翠，新的渗透翠函戳破 定义为； 脚) = 雨k v ( 甍) n ( 4 ) 其中r 为单位质量固体( 与流体接触j 的表面积 结合疗程( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) 得： ，( 沪热胁) 等 山东大学硕1 ：学位论文 图2 ：流体在可压缩介质中流动的示意图 厚魇6 y 的介庾的体积变化为， 1 & s r v = 丢p k 。( 1 叶x ) 】= 爰瞰m 。n ) ( 1 十x ) 】= 6 n t a 虼。啬j 其中等扎 体积的时间导数可由下式表示； 警刮f ，( 川沪以删= 舶可面d 1 由( 5 ) ( 6 ) 可得： d x1d ， 一= 一一 出 w ，名n 咖 其中 ，( 萨旒k ( x ) 等 又 d ，毛d ( 以。一，= k )d ，) m 曲l ( 1 u 。 则得到下面方程； 瓦o x 一一1 洲。可 k # w 2( x ) 等】 ( 8 ) 一= 一一 x l 一1 ln i u ) ；c ，可 v 7 d 耖1 、。 联合方程( 7 ) 和压缩系数、渗透率的表达式得到介质中不同位髓的孔隙比的 时间导数的表达式，k ( x ) 和只，。( x ) 为已知函数或实验数据 4 山东大学硕士学位论文 对可压缩的粘弹性介质，压缩恢复出现滞后现象，恢复程度依赖于介质 的物理特性和外加压力，弹性材料的初始体积可以完全恢复( 压缩应力去掉 时) ，而对于粘弹性材料，会有部分变形不可恢复所以可压缩介质的压缩可 分为第一阶段压缩和其后的压缩两个阶段 对许多材料来说，第一阶段压缩过程中的物理压缩系数号外压满足下列 关系： p = n 石6 ，( 9 ) 其中和b 是材料参数，不同的材料，的值变化很大，对于大部分材料来 说，b = 1 尽管成功地应用与低压区域，但是方程( 9 ) 不能普遍应用，因此我们把压 缩系数与孔隙体积( 而不是总体体积) 联系起来降低缺点， 风=n笨6，(10) ( 其中崩，为孔隙体积的压缩系数) 方程( 9 ) 是基于下面这个假设的，即多孔介质可分为多个不混溶的体积， 于是l 缸= e = 虬+ 圪+ k ，其中圪为固体骨架体积，圪为吸附水体积，k i 为孔隙体积，且每个体积都有压缩系数反j 同体颗粒和吸附水的压缩系数一般 很小，因此，固体颗粒和吸附水的体积认为是不可压的，此时店= 0 戊= 0 肖压缩系数只和孔隙体积有关时， 由( 1 ) 和( 1 0 ) 可得： x = x ，( 每) - ， ( 1 1 ) 其中是x 是第一阶段压缩过程中在压力心下的孔隙比 第一阶段压缩过程中不可恢复的变形量减少，不可恢复的变形重复发生 直到观察不到更多的不可恢复的变形也即第阶段压缩后没有不可恢复的 变形压力对于第一阶段压缩后的压缩系数的影响为：或者在风= nf 乞6 中 赋予j v 较小的值，或者第一阶段压缩后的忽略压力，本文我们选择后者，也 即假定第一阶段压缩后的压缩系数为常数( 定值) ，因此，我们认为第一阶段压 缩过程屉不可逆过程，然而第一阶段压缩后，我们认为介质是具有常数压缩系 数的弹性材料，风= ni 之恐，其中，名娜是介质所受的最大压力因此( 1 ) 式 又可写为： v p x = x ( 只。) c x p ( n 一岳竺) 1 5 山东大学硕士学位论文 本文仅讨论第一阶段压缩过程中的孔隙比的变化，因此我们只需用( 1 1 ) 式即 可 1 2 数学模型 由上节的描述我们可建立下面一个模型： 一o 。x 。m 1 q 。o 彤 m ) 鲁h ，= 【叫， ( 1 2 ) 其中x 为孔隙比，p 为流体粘度，彤为基质重量，& 为单位质量固体( 与 流体接触) 的表面积，k ( x ) 为渗透率函数， p m 为机械压 边界条件为；x ( o ，) = x 1 ( ) ，x ( 1 ，1 ) = x 2 ( ) ， 初始条件为：x ( y ，0 ) = x o ， 其中为x l ( t ) ，x 2 ( t ) 已知函数，) ( o 为已知常数 现在我们考虑可压缩多孔介质( 含饱和水) 受压缩的第一阶段由j ：节中的( 1 1 ) 式可得， = 只i 。( = = 7 x ) 一 ( 1 3 ) 从而 鲁= 一扣。x 虻扣= ) 可把( 1 2 ) 化简为： 窘= 一p w 南南( k ( x ) g ( x ) 嵩】， ( 1 4 ) f ” 2 霹f 一v v “p v 沏” ”叫 其中( 1 3 ) 用m a t l a b 作出，如图3 其中 6 瞄掣恐，+ ， 出) = 3 k ( x ) 吣) ，甘一志 ( 1 6 ) 山东大学硕七学位论文 圈3 ：p m 号x 的关系图 本文主要是对模型( 1 5 ) 建立g a l e r k i n 有限元数值格式，并对数值格式进 行收敛性分析，给出了半离散和全离散情形的误差估计，同时对( 2 ) 式我们也 给出了位置函数z 的相应格式和误差估计 一些记号和假定：f 1 i | 表示iel 2 模，| | r 表示s o b o l e v 空间爿7 ( ，) = w l ( ，) 的模，这样对于实值函数v m i = ( v 2 d x ) m j i 和对于整数r ， l ，= ( i 。i r l id 。t ，1 1 2 ) m 假定给定了现( f ) 的一族有限维子空间 ) ，使得对某一整数_ r22 和 充分小的h i 蜓 i i , 一x l i + h l i x 7 0 ，一x ) l l 冬c h 。帅，扎， ) 【t 3 h 1ss nt ，1 1 5 ( j ) n 哪( j ) 对于 瓢) 中的插值厶弘 ， u ( 局) = r ( 约) j = 1 2 。v 7 山东大学硕七学位论文 来确定对如此定义的插值函数，有误差估计成立， 8 如t ，一v l i c h 2 1 2 ， v l h v v r | | c h l l t ，1 1 2 山东大学硕士学位论文 第二章g a l e r k i n 方法及收敛性分析 本章主要给出了变形介质问题的线性无半离散有限无格式和收敛性分析 2 1 半离散有限元格式 x + 是满足边界条件的一个指定的函数，即x 4 l o f 等于已知边界条件令 x = 爻+ x 则( 1 5 ) 变为： ， ix t v ( 口( 爻) v 文) = ，( 又) ， 又( o ) = 0 又( 1 ，) = 0 ， ( 1 7 ) i 叉( ! ，0 ) = x o 一端= 又o ， 其中n ( x ) = 劈k ( x ) 心?b = 一翮1 ，n 是光滑函数，a 由初等函数组成， 且n 有正下界，则0 p a ( x ) m ，对石r ，另外假定n 是整体l i p s c h i l z 连续的，进而，( 牙) 是整体连续的 我们假设上面的问题具有唯一解，并且为了我们讨论的需要，假设解是充分光 滑的，对，进行网格剖分，0 = x 1 x 2 x n = 1h i = x i 一毪一1 ，h = m o z m ，& = s p a n ( c 1 也，痧 f ) ? 痧2 ：西为鼠的基函数，且为山形 函数，砩= v h 瓢，。，j l ( o ) = 0 v h ( 1 ) = o 对于问题( 6 ) 我们可以设立半离散问题，寻求 氟：【o ， _ 瓯= x l ( ) 咖+ x 2 ( t ) o n + 托哦) = | 【x l ( f ) 1 + x 2 ( t ) o n 。嘏 使得 ( 氟勘) + ( “( ) v v ) = ( ，( 氟) 川h ) ， v 1 壤， ( 1 8 ) 【 稚( o ) = 弱m 其中x 。= x 1 ( ) 幽+ x 2 ( ) 痧为x + 在中的椭网投影( 后面将介绍椭网投影 的定义) h 为弱在瓢中的一个近似将半离散问题( 1 8 ) 的解表示成如 下形式 2 h ( z ，) = 嘶( ) 鲫) 9 山东大学硕士学位论文 则半离散问题可以写成如下形式： ，一1v ln ln l 。( “机) + 啦( ) ( n ( 。f ( f ) 咖) v 丸v c k ) = i f ( ( t ) 也) ，钒) ， i = 2i = 2 1 - - - 2 i = 2 ( 1 9 ) z ：= 2 ，一1 若令n ( ) = ( q 2 ，t 2 n 1 ) t a = ( a i k ) ，则上述方程也可表示成如下形式： a a 。( t ) = f ( n ( f ) ) 口( ( 】) = r t 之0 由于a 是正定的，这个非线性常微分方程组至少局部有唯一解事实上， 由于a 和f 是l i p s c h t i z 连续的，向量f 是整体l i p s c h t i z 连续的，所以对所 有的正的t ，解，l ( ，) 存在 2 2 半离散格式的收敛性 下面我们要估计半离散格式的误差，将误差写成x 一x ，由于x = 文+ x ，x h = 瓢+ ，x h x = 又一+ x 一故先估计文一氟，将误差分解成t 又 一又= 又 一文 + 文 一又= 6 l + 尸，( 2 0 ) 其中文 是又在砩中的椭圆投影。这里我们所用的投影是t ( n ( 叉) ( v ( 文 一叉) v t ) = 0 ，协偏s o ：( 2 1 ) 定义的，我们需要这个投影的某些误差估计 引理1 设a 是i 上的个光滑函数，并且有0 肛sa ( x ) m ，z ， 设粕，h 是由下式定义的t( n ( v ( ，h 一又o ) v r h ) = 0 v 2 ，h 。b , 。o 则有 l i v ( 又o ，h 一又o ) ( ? l 圳粕恢 ( 2 2 ) 和 i i ( 弱， 一弱) j j u o h 2j | 勘怯( 2 3 ) 其中g ? a 依赖于剖分、p 和m ，并且n 还与v a 的一l ：界有关 证明：对于1 磁，我们有 1 0 圳v ( 叉0 一曼o ) 1 1 2 s ( ( v ( 勘 一筠) v ( 琊， 一孙) ) = ( “v ( 粕 一爻0 ) v ( i i h 一弱) ) ml i v ( 元o _ f l 一灵( ) ) i 川v ( 1 ，7 一) 山东大学硕士学位论文 由此并利用黏的插值， 弱，可得 l i v ( 殳o ，h 一又o ) i isc l v ( 黏，h 一弱) 0 c i l 又o1 1 2 ： 则推出了( 2 2 ) 式，为了用对偶方法证明( 2 3 ) 式，我们考虑边 蓖问题 一v ( n v 妒) = 一，撕妒一v n v 妒= 妒，i n l ( 2 4 ) 曲= 0 ，册i ) j 并且注意： ，, l l v v , i l5 ( n v 妒，v 砂) = ( ，砂) i i 妒1l i 咖1 f c l l 咖l ll l v v ，| | j 于是有 i v , , i isc i l 西1 1 由于v a 有界的，故还有 | i t l 2sc 1 1 , ，砂1 l | l 棚砂| l = | i o + v “v 纠isc l l , , 1 1 所以，若令2 h = ，7 l 砂，则 ( 弱 一粕妒) = ( a v ( 元o ，_ i 一弱) ：v 妒) = ( n v ( 粕， 一爻0 ) v ( 咖一v h ) ) c l l v ( 黏， 一粕) i v ( ，一) s ( c 酬粕) ( f 7 i i | i t f l 2 ) ( 肌f | 弱l 酬 至此引理证完 由于v n ( 爻) = ( 叉) v 又是有界的，所以在叉的适当的正则性假设之下可 以推出 引理2 设p = x h 一又，则有 l l p ! i + h l i v p t ( j ( 又) 九2 我们还需要关于m 的估计 山东大学硕士学位论文 弓l 理3 设p = 曼，l 一又，贝0 有 l i p 0 + h l t v p t0 c ( 又) 2 证明我们首先估计梯度，由对微分方程( 1 0 ) 进行微分，我们有 ( n ( 元) v ，) v t ，h ) + ( n ( 又) v ，) ，v ? ，h ) = 0v t 慨s o 因此， u l l v p 1 1 2 ( n ( 又) t v p t ，v p t ) = ( a ( 2 ) v p t ，v ( ? 饥一) ) + ( n ( 又) v 肌，v ( 文 ，f v h ) ) = ( 仃( 爻) v n ，v ( v h 一冠) ) + ( n 伍) t v ，) v ( 1 j l 一，c ) ) c ( 1 l v p , l l l l v ( v h 一文) r ) l i + i i v p l i i i v ( v h 一文 ，) l i ) 若令= l h x t ，则有 u l t v p , 1 1 2 c h ( 1 l v p , i i | 1 殳, 1 1 2 + l i v p l i ( c h l i 曼t i l 2 + l i v p ，1 1 ) # 2 1 1 v p 。1 1 2 + c ( 1 l v p l l 2 + h 2 l i 靴眩) ， 再根据引理2 ，可得l i v p d i c ( x ) h 对于l 2 估计，我们再次利用引理1 证明中的对偶论证方法，设矿是由 ( 1 3 ) 定义的，则有 ( p t ，) = ( n ( 又) v p t ，v ，) = ( a ( 2 ) v p t ：v ( o f ， ) ) + ( ( 又) v p v ( p v h ) ) 一( v p n ( 又) v 妒) 选取v h = 厶妒，并对最后一项应用分部积分公式，我们得到 i ( 仇，妒) isc ( i i v p , i i h l i w l l 2 + l i v p l l h l l 砂t 1 , + i i p l 川驴1 1 2 ) 从而，由引理2 和上面对v 风的估计，有 i ( p t 驴) isc ( 叉) 2 i 掣，1 1 由此，引理得证 下面，我们还需要v 氟的有界性 引理4v 2 h 有与t 和h 无关的界 i i v 爻| l 冬p ( 孓) 1 2 山东大学硕士学位论文 证明：显然有 f l v 文，l l i 厶。i i v 一 h x i l 。4 - i i v 如又l i 厶， 利用逆估计，引理2 以及对i h y ( 的已知误差估计，我们有 | | v 文 囊l i l 。c h _ 1 i f v 文 一靠爻i | 冬c h 一1 ( 1 1 v p l i + l i v ( t h 爻一元l i ) c ( 爻) 其次，容易得到l v 水忆。e l i v 刘l 。j 所以引理的结果成立 我们现在转向抛物问题的l 2 误差估计 定理1 在关于孓适当的正则性假设之下，对于半离散问题( 1 5 ) ，有误 差估计 i i 殳，l ( ) 一又( ) l i c ( i t 殳o ，h 一粕| l + h 2 ) 其中c = c ( 叉) 证明：根据( 2 0 ) 和引理2 ，只需估计i ；= r h 一氟我们有 ( o t ，v h ) + ( a ( 爻h ) v o ：v v h ) = ( 出l 饥) + ( “( 文，1 ) v 又 ，v ? ， ) 一( 文 ，t ，v h ) 一( n ( 氟) v ，v ? h ) = ( f c 元h ) ，t f ) 一( p t t ，h ) 一( 又z h ) 一( ( n ( 文) v 文 ，v 口 ) + ( “( 又) 一n ( 囊 ) ) v 文 ，v l ，h ) = ( ，( 又 ) 一，( 囊) v h ) 一( 胁：v h ) + ( ( 口( 文) 一n ( 殳，1 ) ) v 文 ，v v h ) 根据引理4 ，v 文l 是有界的，若取= 0 ，则有 剐卵+ i l , l l w l l 2 c l | 爻 一x l l ( 1 l o l i + i i v 口i i ) + i i p , l l l l o l | c ( i l o l i + i i p i l + l l 矶i i ) l l v o l l p l l v p l l 2 + a ( 1 l o l l 2 + i l p l l 2 + i i i f , d 1 2 ) 因此，根据g r o n w a l l 引理，可得t t l i o ( t ) 1 1 2sc l l o ( o ) 1 1 2 + ( i l p i 2 + l p f i l 2 ) d s ，0 根据引理2 和引理3 ，这就证明了 i i o ( t ) 1 1s ( r ? ( 1 i 勘，l 一弱l + 7 7 2 ) ， 从而定理得证从而可得 l i x ；一x l l r ( l 瑶 一x o l i + h 2 ) 】3 山东大学硕士学位论文 进而可得 f i x ，l x i l = | l 一爻+ x ：一x 0 爻 一又十lj x ：一x ，| i c ( x ) ( 1 l x o ，f l x o i l + 2 ) 2 3 关于位置函数z 的收敛性分析 笔= w ( 1 + x ) u 两边同时积分得 z = z i 矿。( 1 + x ) 咖， 则我们可得z 的解的形式，进而可得z 的离散解z h 的形式： z h = t w ( 1 + x h 则 呛一l i ：o 厂可v i v s a ( x x ) 咖l i ， - ，0 南s c h w a r z 不等式得 z z h l i 。y 1 2 i i x x h ( 2 5 ) ( 2 6 ) 又因为3 1 ， 0 ，l 】所以 i l z 一孙i | m i l x x l i ， 其中 ，为常数由前面我们已经得出x 的半离散情形的误差估计，因此我们 直接可得出： 1 1 名一z h l i 冬c ( 1 l 受o ，h 一知i l + 2 ) 至此，我们得到了位置函数z 的半离散误差估计 1 4 山东大学硕士学位论文 第三章全离散有限元格式及收敛性分析 本章主要是讨论全离散有限元格式及收敛性分析 3 1 全离散有限元格式 我们现在开始讨论非线性抛物问题的全离散格式，考虑c r a n k - n i c o l s o n - g a l e r k i n 格式，于是这个格式可以叙述成如下形式： 翻又”，珊) + ( 口( 文) v 文”，v 姜：三鬈1 l 娥 c 2 7 ， 其中k 是时间步长，影是- p b 寸刻n k 的近似解，魄rr - = 惫_ 1 ( 文n 一艾铲1 ) 文= ( r + r - 1 ) ，这个方程关于点t = 一1 2 ) k 是对称的，所以我们可以 期望在时间方向上有二阶精度然而此方法有一个缺点，就是每一个时间步必 须解一一个非线性代数方程组为了克服这个困难，我们也考虑它的4 个线性化 修正。在这个线性化修正方法中，a 和f 的自变量是由艾”叫和文铲2 做外推 得到的，或者更确切的说，修正方法为： ( 岛又”- t 1 1 ) + ( n ( 文) v 艾作v ) = ( ( 文，。) t ) t 硼似之2 ， ( 2 8 ) 其中 ， 文= 罢又”一去又”， 非线性方程( 1 6 ) 对于充分小的k ，关于r 是可解的，而线性化方程( 1 7 ) ，当 又”1 和爻”2 给定时。关于又“总足可解的由于 文；3 2 r ”一1 一互1 爻n - 2 = 又”一专+ o ( k 2 ) ， ( 2 9 ) 当k 一0 时，这种选择恰好满足了我们所要求的精确度，注意到，由于现在 的方程中包含有r ，所以它只能应用于n 2 的情形，所以我们必须用另 外的方法补充确定又17 我们将在后面讨论这个问题下面我f f j 给出对于基本 的c r a n k - n i c o l ：s o n - g a l e r k i n 方法的误差估计，为此还需要另外的辅助估计 1 5 山东大学硕士学位论文 3 2 全离散格式的收敛性分析 引理5 假设又有适当的正则性质，则对于椭圆投影，有 j w x h l l r ? ( 支) ， 证明；将( 2 1 ) 关于t 微分两次，得到 ( “( 叉) v 文 ，托，v v h ) = ( o ( 又) v 。，v v h ) 一2 ( n ( 叉) 。v p t ，v l h ) 一( n ( 又) 托v nv 1 一 ) 取v h = 文 t t ，则有 , l l v ：t h m i f 2 c 伍) 州v 又“f f + i l v p , i i 十i l v p l l ) l l v ：x h , n | | 由此根据引理2 和3 ，便得出结论 我们现在可以证明如下的误差估计 定理2 对于c r a n k - n i c o l s o n - g a l e r k i n 方法，当k 充分小时，有误差估计 l l 更。一x ( n k ) l isc ( 1 l 又o ， 一) j j + h 2 + 七2 ) ， 其中g = c ( 叉) 与k 和h 无关 证明：设妒= 又( ”膏) ，令 又”一又”= 文”一文”+ 文“一又n ：6 n + 矿： 其中爻“是又“的椭网投影且由 ( n ( 叉”) v ( 文”一叉“) v t ，1 1 ) = ( n ( 叉n ) v 矿，v t t ) = o ：i h s o ( 3 0 ) 由于这个方程和( 2 1 ) 一样，故引理2 , 3 ，4 的